Textbook - Polynomials Questions in Hindi

(N/A) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y = p(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ में,वक्र $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,$p(x)$ के शून्यकों की संख्या $1$ है।

(2) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $x-$अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ में,वक्र $x-$अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या $2$ है।

(N/A) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $X$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ में,वक्र $X$-अक्ष को $3$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या $3$ है।

(1) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y = p(x)$ का ग्राफ $X$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ में,रेखा $X$-अक्ष को केवल $1$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
अतः,$p(x)$ के शून्यकों की संख्या $1$ है।

(1) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $X$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ में,परवलय $X$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या $1$ है।

(N/A) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ का अवलोकन करने पर,हम देख सकते हैं कि वक्र $x$-अक्ष को $4$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या $4$ है।

(0) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ में,रेखा $x$-अक्ष के समांतर है और इसे किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती है।
अतः,$p(x)$ के शून्यकों की संख्या $0$ है।

(A) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है। दिए गए ग्राफ में,वक्र $x$-अक्ष को केवल $1$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है। अतः,बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या $1$ है।

(N/A) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ में,वक्र $x$-अक्ष को $3$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या $3$ है।

(2) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ में,वक्र $x$-अक्ष को $2$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या $2$ है।

(4) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ का अवलोकन करने पर,हम देख सकते हैं कि वक्र $x$-अक्ष को $4$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या $4$ है।

(N/A) किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ $y=p(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दिए गए ग्राफ में,वक्र $x$-अक्ष को $3$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के शून्यकों की संख्या $3$ है।

(N/A) हमारे पास द्विघात बहुपद $p(x) = x^{2}+7x+10$ है।
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं:
$x^{2}+7x+10 = 0$
$x^{2}+5x+2x+10 = 0$
$x(x+5)+2(x+5) = 0$
$(x+2)(x+5) = 0$
अतः,शून्यक $x = -2$ और $x = -5$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= (-2) + (-5) = -7 = \frac{-7}{1} = \frac{-(x \text{ का गुणांक})}{x^{2} \text{ का गुणांक}}$.
शून्यकों का गुणनफल $= (-2) \times (-5) = 10 = \frac{10}{1} = \frac{\text{अचर पद}}{x^{2} \text{ का गुणांक}}$.
अतः,संबंध सत्यापित होता है।

(A) माना कि द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है और इसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।
द्विघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध इस प्रकार है:
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -3$
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha \beta = \frac{c}{a} = 2$
यदि हम $a = 1$ मान लें,तो:
$-b = -3 \implies b = 3$
$c = 2$
इन मानों को मानक रूप $ax^2 + bx + c$ में रखने पर,हमें $x^2 + 3x + 2$ बहुपद प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट द्विघात बहुपद $x^2 + 3x + 2$ है।

(A) दिए गए बहुपद $p(x) = 3x^3 - 5x^2 - 11x - 3$ की तुलना मानक रूप $ax^3 + bx^2 + cx + d$ से करने पर,हमें $a = 3, b = -5, c = -11, d = -3$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,हम शून्यकों की जाँच करते हैं:
$p(3) = 3(3)^3 - 5(3)^2 - 11(3) - 3 = 81 - 45 - 33 - 3 = 0$
$p(-1) = 3(-1)^3 - 5(-1)^2 - 11(-1) - 3 = -3 - 5 + 11 - 3 = 0$
$p(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^3 - 5(-\frac{1}{3})^2 - 11(-\frac{1}{3}) - 3 = -\frac{1}{9} - \frac{5}{9} + \frac{11}{3} - 3 = -\frac{6}{9} + \frac{33}{9} - \frac{27}{9} = 0$
अतः,$3, -1, -\frac{1}{3}$ शून्यक हैं।
माना $\alpha = 3, \beta = -1, \gamma = -\frac{1}{3}$ है।
$1$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = 3 - 1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} = -\frac{b}{a}$.
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (3)(-1) + (-1)(-\frac{1}{3}) + (-\frac{1}{3})(3) = -3 + \frac{1}{3} - 1 = -4 + \frac{1}{3} = -\frac{11}{3} = \frac{c}{a}$.
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = (3)(-1)(-\frac{1}{3}) = 1 = -\frac{d}{a} = -(\frac{-3}{3}) = 1$.
सभी संबंध सत्यापित हो गए हैं।

(N/A) दिया गया बहुपद: $p(x) = x^{2}-2x-8$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं:
$x^{2}-2x-8 = 0$
$x^{2}-4x+2x-8 = 0$
$x(x-4)+2(x-4) = 0$
$(x-4)(x+2) = 0$
अतः,शून्यक $x = 4$ और $x = -2$ हैं।
सत्यापन:
$x^{2}-2x-8$ की तुलना $ax^{2}+bx+c$ से करने पर,हमें $a=1, b=-2, c=-8$ प्राप्त होता है।
शून्यकों का योग $= 4 + (-2) = 2$.
सूत्र: $-b/a = -(-2)/1 = 2$.
चूँकि $2 = 2$,शून्यकों का योग सत्यापित होता है।
शून्यकों का गुणनफल $= 4 \times (-2) = -8$.
सूत्र: $c/a = -8/1 = -8$.
चूँकि $-8 = -8$,शून्यकों का गुणनफल सत्यापित होता है।

(N/A) दिया गया बहुपद: $p(s) = 4s^{2}-4s+1$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,$p(s) = 0$ रखें:
$4s^{2}-4s+1 = 0$
$(2s-1)^{2} = 0$
$2s-1 = 0 \implies s = \frac{1}{2}$.
अतः,शून्यक $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{2}$ हैं।
जाँच:
शून्यकों का योग $= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 = \frac{-(-4)}{4} = \frac{-(s \text{ का गुणांक})}{s^{2} \text{ का गुणांक}}$.
शून्यकों का गुणनफल $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = \frac{\text{अचर पद}}{s^{2} \text{ का गुणांक}}$.
अतः,संबंध सत्यापित होता है।

(N/A) सबसे पहले,बहुपद को मानक रूप में लिखिए: $6x^{2}-7x-3$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,द्विघात बहुपद का गुणनखंड कीजिए:
$6x^{2}-7x-3 = 6x^{2}-9x+2x-3 = 3x(2x-3)+1(2x-3) = (3x+1)(2x-3)$.
$6x^{2}-7x-3$ का मान शून्य होता है जब $3x+1=0$ या $2x-3=0$ हो,जिससे $x = -1/3$ या $x = 3/2$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यक $\alpha = -1/3$ और $\beta = 3/2$ हैं।
शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच:
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta = -1/3 + 3/2 = (-2+9)/6 = 7/6 = -(-7)/6 = -(\text{x का गुणांक}) / (\text{x}^{2} \text{ का गुणांक})$.
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha \times \beta = (-1/3) \times (3/2) = -3/6 = -1/2 = -3/6 = (\text{अचर पद}) / (\text{x}^{2} \text{ का गुणांक})$.

(N/A) दिया गया बहुपद: $p(u) = 4u^{2} + 8u$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,$p(u) = 0$ रखें:
$4u^{2} + 8u = 0$
$4u(u + 2) = 0$
इसका अर्थ है $4u = 0$ या $u + 2 = 0$.
अतः,$u = 0$ या $u = -2$.
शून्यक $0$ और $-2$ हैं।
सत्यापन:
$4u^{2} + 8u$ की तुलना $au^{2} + bu + c$ से करने पर,$a = 4, b = 8, c = 0$ प्राप्त होता है।
शून्यकों का योग $= 0 + (-2) = -2$.
संबंध: $\frac{-b}{a} = \frac{-8}{4} = -2$.
चूंकि शून्यकों का योग $= \frac{-b}{a}$,अतः संबंध सत्यापित होता है।
शून्यकों का गुणनफल $= 0 \times (-2) = 0$.
संबंध: $\frac{c}{a} = \frac{0}{4} = 0$.
चूंकि शून्यकों का गुणनफल $= \frac{c}{a}$,अतः संबंध सत्यापित होता है।

(N/A) दिया गया बहुपद: $p(t) = t^{2}-15$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,$p(t) = 0$ रखें:
$t^{2}-15 = 0$
$t^{2} = 15$
$t = \pm \sqrt{15}$
अतः,शून्यक $\alpha = \sqrt{15}$ और $\beta = -\sqrt{15}$ हैं।
$t^{2}-15$ की तुलना मानक रूप $at^{2}+bt+c$ से करने पर,हमें $a=1, b=0, c=-15$ प्राप्त होता है।
सत्यापन:
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta = \sqrt{15} + (-\sqrt{15}) = 0$.
गुणांकों से: $\frac{-b}{a} = \frac{-0}{1} = 0$.
अतः,$\alpha + \beta = \frac{-b}{a}$ सत्यापित होता है।
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha \cdot \beta = (\sqrt{15})(-\sqrt{15}) = -15$.
गुणांकों से: $\frac{c}{a} = \frac{-15}{1} = -15$.
अतः,$\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ सत्यापित होता है।

(N/A) दिया गया बहुपद: $p(x) = 3x^{2}-x-4$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं:
$3x^{2}-x-4 = 0$
$3x^{2}-4x+3x-4 = 0$
$x(3x-4)+1(3x-4) = 0$
$(3x-4)(x+1) = 0$
अतः,शून्यक $x = \frac{4}{3}$ और $x = -1$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= \frac{4}{3} + (-1) = \frac{4-3}{3} = \frac{1}{3}$.
बहुपद से,$-\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^{2} \text{ का गुणांक}} = -\frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$.
चूंकि $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$,योग सत्यापित होता है।
शून्यकों का गुणनफल $= \frac{4}{3} \times (-1) = -\frac{4}{3}$.
बहुपद से,$\frac{\text{अचर पद}}{x^{2} \text{ का गुणांक}} = \frac{-4}{3}$.
चूंकि $-\frac{4}{3} = -\frac{4}{3}$,गुणनफल सत्यापित होता है।

(A) माना कि द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ है और इसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि शून्यकों का योग $\alpha + \beta = \frac{1}{4}$ और शून्यकों का गुणनफल $\alpha \beta = -1$ है।
हम जानते हैं कि एक द्विघात बहुपद को $k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta]$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $k$ एक शून्येतर अचर है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $k[x^2 - (\frac{1}{4})x + (-1)]$ प्राप्त होता है।
सरल बनाने के लिए,$k = 4$ लेने पर।
तब बहुपद $4[x^2 - \frac{1}{4}x - 1] = 4x^2 - x - 4$ हो जाता है।
अतः,अभीष्ट द्विघात बहुपद $4x^2 - x - 4$ है।

(D) माना कि द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है और इसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।
शून्यकों का योग $\alpha + \beta = \sqrt{2} = -\frac{b}{a}$ दिया गया है।
शून्यकों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{1}{3} = \frac{c}{a}$ दिया गया है।
इन मानों को समान हर $a$ के साथ व्यक्त करने के लिए,हम लिख सकते हैं $\alpha + \beta = \frac{3\sqrt{2}}{3} = -\frac{b}{a}$।
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $a = 3$,$b = -3\sqrt{2}$ और $c = 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सामान्य रूप $ax^2 + bx + c$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें द्विघात बहुपद $3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है और इसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।
शून्यकों का योग $\alpha + \beta = 0 = \frac{0}{1} = -\frac{b}{a}$ दिया गया है।
शून्यकों का गुणनफल $\alpha \times \beta = \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{1} = \frac{c}{a}$ दिया गया है।
गुणांकों की तुलना करने पर,यदि हम $a = 1$ लेते हैं,तो $b = 0$ और $c = \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सामान्य रूप $ax^2 + bx + c$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें द्विघात बहुपद $x^2 + 0x + \sqrt{5}$ प्राप्त होता है,जिसे $x^2 + \sqrt{5}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) माना कि द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है और इसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।
शून्यकों का योग $\alpha + \beta = 1 = \frac{-b}{a}$ दिया गया है।
शून्यकों का गुणनफल $\alpha \times \beta = 1 = \frac{c}{a}$ दिया गया है।
यदि हम $a = 1$ मान लें,तो:
$-b = 1 \implies b = -1$
$c = 1$
इन मानों को सामान्य रूप $ax^2 + bx + c$ में रखने पर,हमें $x^2 - x + 1$ बहुपद प्राप्त होता है।

(A) माना कि द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है और इसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।
शून्यकों का योग $\alpha + \beta = -\frac{1}{4} = -\frac{b}{a}$ दिया गया है।
शून्यकों का गुणनफल $\alpha \times \beta = \frac{1}{4} = \frac{c}{a}$ दिया गया है।
अनुपातों की तुलना करने पर,यदि हम $a = 4$ लेते हैं,तो $b = 1$ और $c = 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सामान्य रूप $ax^2 + bx + c$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें बहुपद $4x^2 + x + 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ इसके शून्यक हैं।
शून्यकों का योग $\alpha + \beta = 4 = \frac{4}{1} = \frac{-b}{a}$ दिया गया है।
शून्यकों का गुणनफल $\alpha \times \beta = 1 = \frac{1}{1} = \frac{c}{a}$ दिया गया है।
अनुपातों की तुलना करने पर,यदि हम $a = 1$ मानते हैं,तो $b = -4$ और $c = 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सामान्य रूप $ax^2 + bx + c$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें द्विघात बहुपद $x^2 - 4x + 1$ प्राप्त होता है।

(N/A) $2x^2 + 3x + 1$ को $x + 2$ से विभाजित करने के लिए, हम बहुपद का लंबा विभाजन (long division) करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(2x^2)$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $2x$ प्राप्त होता है। यह भागफल का पहला पद है।
$2$. भाजक $(x + 2)$ को $2x$ से गुणा करने पर $2x^2 + 4x$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर: $(2x^2 + 3x + 1) - (2x^2 + 4x) = -x + 1$ प्राप्त होता है।
$3$. नए व्यंजक के पहले पद $(-x)$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $-1$ प्राप्त होता है। यह भागफल का दूसरा पद है।
$4$. भाजक $(x + 2)$ को $-1$ से गुणा करने पर $-x - 2$ प्राप्त होता है। इसे वर्तमान व्यंजक से घटाने पर: $(-x + 1) - (-x - 2) = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि शेषफल की घात ($3$, जो $0$ है) भाजक की घात ($x + 2$, जो $1$ है) से कम है, इसलिए हम विभाजन प्रक्रिया रोक देते हैं।
अतः, भागफल $2x - 1$ है और शेषफल $3$ है।
सत्यापन:
$(2x - 1)(x + 2) + 3 = (2x^2 + 4x - x - 2) + 3 = 2x^2 + 3x + 1$.
इसलिए, $\text{भाज्य} = \text{भाजक} \times \text{भागफल} + \text{शेषफल}$.

(N/A) सबसे पहले हम भाज्य और भाजक के पदों को उनकी घातों के घटते क्रम में व्यवस्थित करते हैं। इसे बहुपदों को मानक रूप में लिखना कहते हैं। भाज्य पहले से ही मानक रूप में है,और भाजक का मानक रूप $x^{2}+2x+1$ है।
चरण $1$: भागफल का पहला पद प्राप्त करने के लिए,भाज्य के उच्चतम घात वाले पद $(3x^{3})$ को भाजक के उच्चतम घात वाले पद $(x^{2})$ से विभाजित करें। इससे $3x$ प्राप्त होता है। भाजक को $3x$ से गुणा करने पर,हमें $3x(x^{2}+2x+1) = 3x^{3}+6x^{2}+3x$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर,हमें $(3x^{3}+x^{2}+2x+5) - (3x^{3}+6x^{2}+3x) = -5x^{2}-x+5$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: भागफल का दूसरा पद प्राप्त करने के लिए,नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद $(-5x^{2})$ को भाजक के उच्चतम घात वाले पद $(x^{2})$ से विभाजित करें। इससे $-5$ प्राप्त होता है। भाजक को $-5$ से गुणा करने पर,हमें $-5(x^{2}+2x+1) = -5x^{2}-10x-5$ प्राप्त होता है। वर्तमान भाज्य से इसे घटाने पर,हमें $(-5x^{2}-x+5) - (-5x^{2}-10x-5) = 9x+10$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: शेषफल $9x+10$ की घात $1$ है,जो भाजक की घात $(2)$ से कम है। अतः,विभाजन प्रक्रिया यहीं समाप्त होती है।
अतः,भागफल $3x-5$ है और शेषफल $9x+10$ है।

(N/A) ध्यान दें कि दिए गए बहुपद मानक रूप में नहीं हैं। विभाजन करने के लिए,हम पहले भाज्य और भाजक दोनों को उनकी घातों के घटते क्रम में लिखते हैं।
अतः,भाज्य $= -x^{3}+3x^{2}-3x+5$ और भाजक $= -x^{2}+x-1$।
विभाजन की प्रक्रिया:
$(-x^{2}+x-1) \overline{) -x^{3}+3x^{2}-3x+5}$
$1$. भाज्य के पहले पद $-x^{3}$ को भाजक के पहले पद $-x^{2}$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है। यह भागफल का पहला पद है।
$2$. भाजक $(-x^{2}+x-1)$ को $x$ से गुणा करने पर $-x^{3}+x^{2}-x$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर $2x^{2}-2x+5$ प्राप्त होता है।
$3$. नए भाज्य के पहले पद $2x^{2}$ को भाजक के पहले पद $-x^{2}$ से विभाजित करने पर $-2$ प्राप्त होता है। यह भागफल का दूसरा पद है।
$4$. भाजक $(-x^{2}+x-1)$ को $-2$ से गुणा करने पर $2x^{2}-2x+2$ प्राप्त होता है। इसे वर्तमान भाज्य से घटाने पर $3$ प्राप्त होता है।
हम यहाँ रुकते हैं क्योंकि शेषफल $(3)$ की घात $0$ है,जो भाजक $(-x^{2}+x-1)$ की घात $2$ से कम है।
अतः,भागफल $= x-2$,शेषफल $= 3$।
सत्यापन:
भाजक $\times$ भागफल $+$ शेषफल
$= (-x^{2}+x-1)(x-2)+3$
$= -x^{3}+2x^{2}+x^{2}-2x-x+2+3$
$= -x^{3}+3x^{2}-3x+5$
$= \text{भाज्य}$।
इस प्रकार,विभाजन एल्गोरिथ्म सत्यापित होता है।

(N/A) चूंकि दो शून्यक $\sqrt{2}$ और $-\sqrt{2}$ हैं,इसलिए $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) = x^{2}-2$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।
अब,अन्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए हम दिए गए बहुपद को $x^{2}-2$ से विभाजित करते हैं।
विभाजन करने पर:
$2x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+6x-2 = (x^{2}-2)(2x^{2}-3x+1)$
अब,हम मध्य पद को विभाजित करके द्विघात बहुपद $2x^{2}-3x+1$ का गुणनखंड करते हैं:
$2x^{2}-2x-x+1 = 2x(x-1)-1(x-1) = (2x-1)(x-1)$
इन गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x-1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$
$x-1 = 0 \implies x = 1$
अतः,दिए गए बहुपद के सभी शून्यक $\sqrt{2}, -\sqrt{2}, \frac{1}{2},$ और $1$ हैं।

(N/A) $p(x) = x^{3} - 3x^{2} + 5x - 3$ को $g(x) = x^{2} - 2$ से विभाजित करने के लिए:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{3})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है। यह भागफल का पहला पद है।
$2$. $x$ को $(x^{2} - 2)$ से गुणा करने पर $x^{3} - 2x$ प्राप्त होता है। इसे $p(x)$ में से घटाने पर $-3x^{2} + 7x - 3$ प्राप्त होता है।
$3$. नए भाज्य के पहले पद $(-3x^{2})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $-3$ प्राप्त होता है। यह भागफल का दूसरा पद है।
$4$. $-3$ को $(x^{2} - 2)$ से गुणा करने पर $-3x^{2} + 6$ प्राप्त होता है। इसे वर्तमान शेषफल में से घटाने पर $7x - 9$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x - 3$ है और शेषफल $7x - 9$ है।

(N/A) $p(x)$ को $g(x)$ से विभाजित करने के लिए,हम पहले उन्हें मानक रूप (घातों के अवरोही क्रम) में लिखते हैं:
$p(x) = x^{4} + 0x^{3} - 3x^{2} + 4x + 5$
$g(x) = x^{2} - x + 1$
बहुपद का भाग करने पर:
$1$. $p(x)$ के पहले पद को $g(x)$ के पहले पद से विभाजित करें: $x^{4} / x^{2} = x^{2}$। यह भागफल का पहला पद है।
$2$. $x^{2}$ को $(x^{2} - x + 1)$ से गुणा करें: $x^{4} - x^{3} + x^{2}$। इसे $p(x)$ से घटाने पर $x^{3} - 4x^{2} + 4x + 5$ प्राप्त होता है।
$3$. नए बहुपद के पहले पद को $g(x)$ के पहले पद से विभाजित करें: $x^{3} / x^{2} = x$। यह भागफल का दूसरा पद है।
$4$. $x$ को $(x^{2} - x + 1)$ से गुणा करें: $x^{3} - x^{2} + x$। इसे घटाने पर $-3x^{2} + 3x + 5$ प्राप्त होता है।
$5$. नए बहुपद के पहले पद को $g(x)$ के पहले पद से विभाजित करें: $-3x^{2} / x^{2} = -3$। यह भागफल का तीसरा पद है।
$6$. $-3$ को $(x^{2} - x + 1)$ से गुणा करें: $-3x^{2} + 3x - 3$। इसे घटाने पर $8$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x^{2} + x - 3$ है और शेषफल $8$ है।

(N/A) $p(x) = x^{4} - 5x + 6$ को $g(x) = -x^{2} + 2$ से विभाजित करने के लिए,हम पदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं:
$p(x) = x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} - 5x + 6$
$g(x) = -x^{2} + 2$
लंबी विभाजन प्रक्रिया करने पर:
$1$. $p(x)$ के पहले पद को $g(x)$ के पहले पद से विभाजित करें: $x^{4} / (-x^{2}) = -x^{2}$। यह भागफल का पहला पद है।
$2$. $-x^{2}$ को $(-x^{2} + 2)$ से गुणा करने पर $x^{4} - 2x^{2}$ प्राप्त होता है। इसे $p(x)$ से घटाने पर $2x^{2} - 5x + 6$ प्राप्त होता है।
$3$. नए बहुपद के पहले पद $(2x^{2})$ को $g(x)$ के पहले पद $(-x^{2})$ से विभाजित करें: $2x^{2} / (-x^{2}) = -2$। यह भागफल का दूसरा पद है।
$4$. $-2$ को $(-x^{2} + 2)$ से गुणा करने पर $2x^{2} - 4$ प्राप्त होता है। इसे $2x^{2} - 5x + 6$ से घटाने पर $-5x + 10$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $-x^{2} - 2$ है और शेषफल $-5x + 10$ है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $t^{2}-3$,$2t^{4}+3t^{3}-2t^{2}-9t-12$ का एक गुणनखंड है,हम बहुपद का भाग करते हैं।
भाजक को $t^{2}+0t-3$ के रूप में लिखते हैं।
$2t^{4}+3t^{3}-2t^{2}-9t-12$ को $t^{2}+0t-3$ से भाग देने पर:
$1$. $2t^{4}$ को $t^{2}$ से भाग देने पर $2t^{2}$ प्राप्त होता है। $2t^{2}(t^{2}+0t-3) = 2t^{4}+0t^{3}-6t^{2}$ का गुणा करें। इसे भाज्य से घटाने पर $3t^{3}+4t^{2}-9t-12$ प्राप्त होता है।
$2$. $3t^{3}$ को $t^{2}$ से भाग देने पर $3t$ प्राप्त होता है। $3t(t^{2}+0t-3) = 3t^{3}+0t^{2}-9t$ का गुणा करें। घटाने पर $4t^{2}+0t-12$ प्राप्त होता है।
$3$. $4t^{2}$ को $t^{2}$ से भाग देने पर $4$ प्राप्त होता है। $4(t^{2}+0t-3) = 4t^{2}+0t-12$ का गुणा करें। घटाने पर शेषफल $0$ प्राप्त होता है।
चूँकि शेषफल $0$ है,इसलिए $t^{2}-3$,$2t^{4}+3t^{3}-2t^{2}-9t-12$ का एक गुणनखंड है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या प्रथम बहुपद,द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है,हम $3x^{4}+5x^{3}-7x^{2}+2x+2$ को $x^{2}+3x+1$ से विभाजित करते हैं।
चरण $1$: $3x^{4}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $3x^{2}$ प्राप्त होता है। $3x^{2}(x^{2}+3x+1) = 3x^{4}+9x^{3}+3x^{2}$ का गुणा करें। इसे भाज्य से घटाने पर $-4x^{3}-10x^{2}+2x+2$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $-4x^{3}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $-4x$ प्राप्त होता है। $-4x(x^{2}+3x+1) = -4x^{3}-12x^{2}-4x$ का गुणा करें। इसे घटाने पर $2x^{2}+6x+2$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: $2x^{2}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $2$ प्राप्त होता है। $2(x^{2}+3x+1) = 2x^{2}+6x+2$ का गुणा करें। इसे घटाने पर शेषफल $0$ प्राप्त होता है।
चूँकि शेषफल $0$ है,इसलिए प्रथम बहुपद,द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है।

(N/A) यह जाँचने के लिए कि क्या प्रथम बहुपद,द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करेंगे।
$x^{5}-4x^{3}+x^{2}+3x+1$ को $x^{3}-3x+1$ से भाग देने पर:
$1$. भाज्य के प्रथम पद $(x^{5})$ को भाजक के प्रथम पद $(x^{3})$ से भाग देने पर $x^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{2}$ को $(x^{3}-3x+1)$ से गुणा करने पर $x^{5}-3x^{3}+x^{2}$ प्राप्त होता है।
$3$. इसे भाज्य से घटाने पर: $(x^{5}-4x^{3}+x^{2}+3x+1) - (x^{5}-3x^{3}+x^{2}) = -x^{3}+3x+1$ प्राप्त होता है।
$4$. नए बहुपद के प्रथम पद $(-x^{3})$ को भाजक के प्रथम पद $(x^{3})$ से भाग देने पर $-1$ प्राप्त होता है।
$5$. $-1$ को $(x^{3}-3x+1)$ से गुणा करने पर $-x^{3}+3x-1$ प्राप्त होता है।
$6$. इसे वर्तमान शेषफल से घटाने पर: $(-x^{3}+3x+1) - (-x^{3}+3x-1) = 2$ प्राप्त होता है।
चूँकि शेषफल $2$ है (जो $\neq 0$ है),इसलिए प्रथम बहुपद,द्वितीय बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

(N/A) माना $p(x) = 3x^{4} + 6x^{3} - 2x^{2} - 10x - 5$ है।
चूँकि $\sqrt{\frac{5}{3}}$ और $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ बहुपद $p(x)$ के दो शून्यक हैं,इसलिए $(x - \sqrt{\frac{5}{3}})(x + \sqrt{\frac{5}{3}}) = (x^{2} - \frac{5}{3})$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अन्य शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x)$ को $(x^{2} - \frac{5}{3})$ से विभाजित करते हैं:
$3x^{4} + 6x^{3} - 2x^{2} - 10x - 5 = (x^{2} - \frac{5}{3})(3x^{2} + 6x + 3)$
$= 3(x^{2} - \frac{5}{3})(x^{2} + 2x + 1)$
$= 3(x^{2} - \frac{5}{3})(x + 1)^{2}$
अब,शेष शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $(x + 1)^{2} = 0$ रखते हैं,जिससे $x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $x = -1$ है।
चूँकि गुणनखंड $(x + 1)^{2}$ है,इसलिए शून्यक $x = -1$ दो बार आता है।
अतः,बहुपद के अन्य दो शून्यक $-1$ और $-1$ हैं।

(N/A) दिया गया है:
भाज्य $p(x) = x^{3}-3 x^{2}+x+2$
भागफल $q(x) = x-2$
शेषफल $r(x) = -2 x+4$
भाजक $g(x) = ?$
बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करने पर:
$p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$
$x^{3}-3 x^{2}+x+2 = g(x) \cdot (x-2) + (-2 x+4)$
$g(x) \cdot (x-2)$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$g(x) \cdot (x-2) = (x^{3}-3 x^{2}+x+2) - (-2 x+4)$
$g(x) \cdot (x-2) = x^{3}-3 x^{2}+x+2+2 x-4$
$g(x) \cdot (x-2) = x^{3}-3 x^{2}+3 x-2$
अब,$g(x)$ ज्ञात करने के लिए $(x^{3}-3 x^{2}+3 x-2)$ को $(x-2)$ से विभाजित करने पर:
बहुपद के लंबे विभाजन (long division) का उपयोग करने पर:
$(x^{3}-3 x^{2}+3 x-2) \div (x-2) = x^{2}-x+1$
अतः,$g(x) = x^{2}-x+1$.

(N/A) विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,यदि $p(x)$ और $g(x)$ दो बहुपद हैं जहाँ $g(x) \neq 0,$ तो हम ऐसे बहुपद $q(x)$ और $r(x)$ ज्ञात कर सकते हैं कि $p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ हो,जहाँ $r(x) = 0$ या $\operatorname{deg} r(x) < \operatorname{deg} g(x).$
बहुपद की घात बहुपद में चर की उच्चतम घात होती है।
$\operatorname{deg} p(x) = \operatorname{deg} q(x)$ को संतुष्ट करने के लिए,भागफल की घात भाज्य की घात के बराबर होनी चाहिए। यह तब होता है जब भाजक $g(x)$ एक अचर पद हो।
मान लीजिए कि $p(x) = 6x^2 + 2x + 2$ को $g(x) = 2$ से विभाजित किया जाता है।
यहाँ,$p(x) = 6x^2 + 2x + 2,$
$g(x) = 2,$
$q(x) = 3x^2 + x + 1,$
$r(x) = 0.$
$p(x)$ की घात $2$ है और $q(x)$ की घात भी $2$ है,अतः $\operatorname{deg} p(x) = \operatorname{deg} q(x).$
विभाजन एल्गोरिथ्म की जाँच:
$p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$
$6x^2 + 2x + 2 = 2(3x^2 + x + 1) + 0$
$6x^2 + 2x + 2 = 6x^2 + 2x + 2.$
इस प्रकार,विभाजन एल्गोरिथ्म संतुष्ट होता है।

(N/A) विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,यदि $p(x)$ और $g(x)$ दो ऐसे बहुपद हैं जहाँ $g(x) \neq 0$,तो हम ऐसे बहुपद $q(x)$ और $r(x)$ प्राप्त कर सकते हैं कि $p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$,जहाँ $r(x) = 0$ या $\operatorname{deg} r(x) < \operatorname{deg} g(x)$ हो।
हमें ऐसे उदाहरण खोजने हैं जहाँ $\operatorname{deg} q(x) = \operatorname{deg} r(x)$ हो।
मान लीजिए $p(x) = x^3 + x$ और $g(x) = x^2$ है।
विभाजन करने पर:
$x^3 + x = (x^2) \cdot x + x$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$q(x) = x$ और $r(x) = x$ है।
शर्तों की जाँच:
$1$. $\operatorname{deg} q(x) = \operatorname{deg}(x) = 1$ है।
$2$. $\operatorname{deg} r(x) = \operatorname{deg}(x) = 1$ है।
चूँकि $1 = 1$,इसलिए $\operatorname{deg} q(x) = \operatorname{deg} r(x)$ की शर्त संतुष्ट होती है।
$3$. $\operatorname{deg} r(x) < \operatorname{deg} g(x)$ अर्थात $1 < 2$,जो सत्य है।
अतः,विभाजन एल्गोरिथ्म संतुष्ट होता है।

(A) विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,यदि $p(x)$ और $g(x)$ दो ऐसे बहुपद हैं जहाँ $g(x) \neq 0$,तो हम ऐसे बहुपद $q(x)$ और $r(x)$ ज्ञात कर सकते हैं कि $p(x) = g(x) \times q(x) + r(x)$ हो,जहाँ $r(x) = 0$ या $\operatorname{deg} r(x) < \operatorname{deg} g(x)$ हो।
बहुपद की घात,बहुपद में चर की उच्चतम घात होती है।
$\operatorname{deg} r(x) = 0$ के लिए,शेषफल एक शून्येतर अचर होना चाहिए।
मान लीजिए कि हम $x^3 + 1$ को $x^2$ से विभाजित करते हैं।
यहाँ,$p(x) = x^3 + 1$,$g(x) = x^2$ है।
विभाजन करने पर: $(x^3 + 1) \div x^2$ से भागफल $q(x) = x$ और शेषफल $r(x) = 1$ प्राप्त होता है।
स्पष्ट रूप से,$r(x) = 1$ की घात $0$ है।
विभाजन एल्गोरिथ्म की जाँच:
$p(x) = g(x) \times q(x) + r(x)$
$x^3 + 1 = (x^2) \times x + 1$
$x^3 + 1 = x^3 + 1$
अतः,विभाजन एल्गोरिथ्म संतुष्ट होता है।

(A) माना $p(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2$.
दिए गए मान $\alpha = \frac{1}{2}, \beta = 1, \gamma = -2$ हैं।
सबसे पहले,हम सत्यापित करते हैं कि ये शून्यक हैं:
$p(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 2 = -2 + 2 = 0$.
$p(1) = 2(1)^3 + (1)^2 - 5(1) + 2 = 2 + 1 - 5 + 2 = 0$.
$p(-2) = 2(-8) + 4 - 5(-2) + 2 = -16 + 4 + 10 + 2 = 0$.
अतः,$\frac{1}{2}, 1,$ और $-2$ बहुपद के शून्यक हैं।
$p(x)$ की तुलना $ax^3 + bx^2 + cx + d$ से करने पर,$a = 2, b = 1, c = -5, d = 2$ प्राप्त होता है।
संबंधों का सत्यापन:
$1$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2} + 1 - 2 = -\frac{1}{2} = \frac{-b}{a}$.
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (\frac{1}{2})(1) + (1)(-2) + (-2)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 - 1 = -\frac{5}{2} = \frac{c}{a}$.
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = (\frac{1}{2})(1)(-2) = -1 = \frac{-d}{a} = \frac{-2}{2} = -1$.
इस प्रकार,संबंध सत्यापित होता है।

(A) माना बहुपद $p(x) = x^{3} - 4x^{2} + 5x - 2$ है।
दी गई संख्याएँ $2, 1, 1$ हैं।
$x = 2$ के लिए: $p(2) = (2)^{3} - 4(2)^{2} + 5(2) - 2 = 8 - 16 + 10 - 2 = 0$.
$x = 1$ के लिए: $p(1) = (1)^{3} - 4(1)^{2} + 5(1) - 2 = 1 - 4 + 5 - 2 = 0$.
चूंकि $p(2) = 0$ और $p(1) = 0$,इसलिए $2, 1, 1$ दिए गए बहुपद के शून्यक हैं।
बहुपद $p(x)$ की तुलना मानक रूप $ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ से करने पर,हमें $a = 1, b = -4, c = 5, d = -2$ प्राप्त होता है।
संबंधों का सत्यापन:
$1$. शून्यकों का योग: $2 + 1 + 1 = 4 = -(-4)/1 = -b/a$.
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $(2)(1) + (1)(1) + (2)(1) = 2 + 1 + 2 = 5 = 5/1 = c/a$.
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $2 \times 1 \times 1 = 2 = -(-2)/1 = -d/a$.
अतः,शून्यकों और गुणांकों के बीच का संबंध सत्यापित होता है।

(A) माना कि त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है और इसके शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
गुणांकों और शून्यकों के बीच संबंध इस प्रकार हैं:
$1.$ शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -b/a = 2/1$
$2.$ दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = c/a = -7/1$
$3.$ शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = -d/a = -14/1$
मानों की तुलना करने पर,हमें $a = 1, b = -2, c = -7$ और $d = 14$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सामान्य रूप $ax^3 + bx^2 + cx + d$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें बहुपद प्राप्त होता है:
$p(x) = x^3 - 2x^2 - 7x + 14$.

(A) दिया गया बहुपद $p(x) = x^{3}-3x^{2}+x+1$ है।
शून्यक $a-b, a, a+b$ दिए गए हैं।
बहुपद की तुलना मानक रूप $Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$ से करने पर,हमें $A=1, B=-3, C=1, D=1$ प्राप्त होता है।
शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध का उपयोग करते हुए:
शून्यकों का योग $= (a-b) + a + (a+b) = -B/A$.
$3a = -(-3)/1 = 3$.
$a = 1$.
शून्यकों का गुणनफल $= (a-b)(a)(a+b) = -D/A$.
$(1-b)(1)(1+b) = -1/1$.
$1-b^{2} = -1$.
$b^{2} = 2$.
$b = \pm\sqrt{2}$.
अतः,$a=1$ और $b=\pm\sqrt{2}$ है।

(7, -5) दिया गया है कि $2+\sqrt{3}$ और $2-\sqrt{3}$ दिए गए बहुपद के शून्यक हैं।
इसलिए,$(x-(2+\sqrt{3}))(x-(2-\sqrt{3})) = ((x-2)-\sqrt{3})((x-2)+\sqrt{3}) = (x-2)^{2} - (\sqrt{3})^{2} = x^{2}-4x+4-3 = x^{2}-4x+1$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।
अन्य शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद $x^{4}-6 x^{3}-26 x^{2}+138 x-35$ को $x^{2}-4 x+1$ से विभाजित करेंगे:
$x^{4}-6 x^{3}-26 x^{2}+138 x-35 = (x^{2}-4 x+1)(x^{2}-2 x-35)$
अब,हम द्विघात बहुपद $x^{2}-2 x-35$ का गुणनखंड करेंगे:
$x^{2}-2 x-35 = x^{2}-7x+5x-35 = x(x-7)+5(x-7) = (x-7)(x+5)$
इन गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $x-7=0$ या $x+5=0$ प्राप्त होता है,जिससे $x=7$ या $x=-5$ मिलता है।
अतः,अन्य दो शून्यक $7$ और $-5$ हैं।

(A) विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार:
भाज्य $=$ भाजक $\times$ भागफल $+$ शेषफल
अतः,भाज्य $-$ शेषफल $=$ भाजक $\times$ भागफल।
भाज्य में से शेषफल $(x+a)$ घटाने पर:
$(x^{4}-6x^{3}+16x^{2}-25x+10) - (x+a) = x^{4}-6x^{3}+16x^{2}-26x+10-a$.
यह परिणामी बहुपद $x^{2}-2x+k$ से पूर्णतः विभाज्य होना चाहिए।
$(x^{4}-6x^{3}+16x^{2}-26x+10-a)$ को $(x^{2}-2x+k)$ से विभाजित करने पर:
$1$. $x^{4}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $x^{2}$ प्राप्त होता है। $(x^{2}-2x+k)$ को $x^{2}$ से गुणा करने पर $x^{4}-2x^{3}+kx^{2}$ प्राप्त होता है। घटाने पर $-4x^{3}+(16-k)x^{2}-26x$ शेष बचता है।
$2$. $-4x^{3}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $-4x$ प्राप्त होता है। $(x^{2}-2x+k)$ को $-4x$ से गुणा करने पर $-4x^{3}+8x^{2}-4kx$ प्राप्त होता है। घटाने पर $(8-k)x^{2}+(4k-26)x+(10-a)$ शेष बचता है।
$3$. $(8-k)x^{2}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $(8-k)$ प्राप्त होता है। $(x^{2}-2x+k)$ को $(8-k)$ से गुणा करने पर $(8-k)x^{2}-2(8-k)x+k(8-k)$ प्राप्त होता है।
पिछले शेषफल से इसे घटाने पर,अंतिम शेषफल $[(4k-26) + 2(8-k)]x + [10-a - k(8-k)] = 0$ प्राप्त होता है।
$x$ के गुणांक को सरल करने पर: $4k-26+16-2k = 2k-10$। $2k-10=0$ रखने पर $k=5$ प्राप्त होता है।
अचर पद को सरल करने पर: $10-a-8k+k^{2} = 0$। $k=5$ रखने पर: $10-a-8(5)+25 = 10-a-40+25 = -5-a = 0$,जिससे $a=-5$ प्राप्त होता है।
अतः,$k=5$ और $a=-5$ है।