Mix Examples - Polynomials Questions in Gujarati

(A) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{2} + 3x + k$ છે.
આપેલ છે કે $2$ એ બહુપદીનું એક શૂન્ય છે,તેથી $p(2) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = 2$ મૂકતા:
$p(2) = (2)^{2} + 3(2) + k = 0$
$4 + 6 + k = 0$
$10 + k = 0$
$k = -10$

(B) ધારો કે ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ના શૂન્યો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે બે શૂન્યો $0$ છે,તેથી ધારો કે $\alpha = 0$ અને $\beta = 0$.
ત્રિઘાત બહુપદીના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$ થાય છે.
અહીં $\alpha = 0$ અને $\beta = 0$ મૂકતા: $0 + 0 + \gamma = -\frac{b}{a}$.
તેથી,ત્રીજું શૂન્ય $\gamma = -\frac{b}{a}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = (k-1)x^2 + kx + 1$ નું એક શૂન્ય $-3$ છે.
તેથી,$p(-3) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -3$ મૂકતા:
$(k-1)(-3)^2 + k(-3) + 1 = 0$
$9(k-1) - 3k + 1 = 0$
$9k - 9 - 3k + 1 = 0$
$6k - 8 = 0$
$6k = 8$
$k = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

(D) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = k(x^2 - (\text{શૂન્યોનો સરવાળો})x + (\text{શૂન્યોનો ગુણાકાર}))$ છે, જ્યાં $k$ એ શૂન્યતર અચળાંક છે.
આપેલ શૂન્યો $\alpha = -3$ અને $\beta = 4$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $(\alpha + \beta) = -3 + 4 = 1$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $(\alpha \cdot \beta) = -3 \times 4 = -12$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને $p(x) = k(x^2 - 1x + (-12)) = k(x^2 - x - 12)$ મળે છે.
જો આપણે $k = \frac{1}{2}$ લઈએ, તો બહુપદી $\frac{1}{2}(x^2 - x - 12) = \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} - 6$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બહુપદીને શૂન્યતર અચળાંક વડે ગુણવાથી તેના શૂન્યો બદલાતા નથી, તેથી વિકલ્પ $D$ એ આપેલ શૂન્યો ધરાવતી એક માન્ય દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{2} + (a+1)x + b$.
આપેલ છે કે $2$ અને $-3$ એ દ્વિઘાત બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યો છે.
તેથી,$p(2) = 0$ અને $p(-3) = 0$.
$x = 2$ માટે:
$2^{2} + (a+1)(2) + b = 0$
$4 + 2a + 2 + b = 0$
$2a + b = -6$ ..... $(i)$
$x = -3$ માટે:
$(-3)^{2} + (a+1)(-3) + b = 0$
$9 - 3a - 3 + b = 0$
$-3a + b = -6$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(2a + b) - (-3a + b) = -6 - (-6)$
$2a + b + 3a - b = 0$
$5a = 0 \Rightarrow a = 0$.
$a = 0$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2(0) + b = -6 \Rightarrow b = -6$.
આમ,જરૂરી કિંમતો $a = 0$ અને $b = -6$ છે.

(B) ધારો કે $p(x) = a(x^2 - (\text{શૂન્યોનો સરવાળો})x + (\text{શૂન્યોનો ગુણાકાર}))$ એ બહુપદીનું સામાન્ય સ્વરૂપ છે.
આપેલ શૂન્યો $\alpha = -2$ અને $\beta = 5$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $= \alpha + \beta = -2 + 5 = 3$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \alpha \cdot \beta = -2 \times 5 = -10$.
આમ, બહુપદી $p(x) = a(x^2 - 3x - 10)$ સ્વરૂપની છે, જ્યાં $a$ એ કોઈપણ શૂન્યતર વાસ્તવિક અચળાંક છે.
કારણ કે $a$ કોઈપણ શૂન્યતર વાસ્તવિક કિંમત લઈ શકે છે (જેમ કે $1, 2, 3, \dots, 0.5, \dots$), તેથી આવી અસંખ્ય બહુપદીઓ મળે.
તેથી, આવી બહુપદીઓની સંખ્યા $3$ કરતા વધારે છે.

(C) ધારો કે $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ એ ત્રિઘાત બહુપદી છે.
ધારો કે બહુપદીના શૂન્યો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે એક શૂન્ય $0$ છે,તેથી ધારો કે $\alpha = 0$.
ત્રિઘાત બહુપદીના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$ થાય છે.
સમીકરણમાં $\alpha = 0$ મૂકતા:
$(0)\beta + \beta\gamma + \gamma(0) = \frac{c}{a}$
$0 + \beta\gamma + 0 = \frac{c}{a}$
$\beta\gamma = \frac{c}{a}$
આમ,બાકીના બે શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ થાય છે.

(D) ધારો કે ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ છે.
ધારો કે બહુપદીના શૂન્યો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે એક શૂન્ય $\alpha = -1$ છે.
કારણ કે $\alpha = -1$ એ શૂન્ય છે,તેથી $p(-1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$(-1)^{3} + a(-1)^{2} + b(-1) + c = 0$
$-1 + a - b + c = 0$
$c = 1 - a + b$ ... $(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિઘાત બહુપદી $Ax^{3} + Bx^{2} + Cx + D$ માટે,શૂન્યોનો ગુણાકાર $-\frac{D}{A}$ થાય છે.
અહીં,શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta \cdot \gamma = -\frac{c}{1} = -c$ છે.
$\alpha = -1$ મૂકતા:
$(-1) \cdot \beta \cdot \gamma = -c$
$\beta \cdot \gamma = c$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $c$ ની કિંમત મૂકતા:
$\beta \cdot \gamma = 1 - a + b$.
આમ,બાકીના બે શૂન્યોનો ગુણાકાર $b - a + 1$ છે.

(A) ધારો કે આપેલી દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = x^{2} + 99x + 127$ છે.
$p(x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = 99$ અને $c = 127$ મળે છે.
દ્વિઘાત બહુપદી $ax^{2} + bx + c$ માટે,જો $a, b, c > 0$ હોય,તો શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a} = 127 > 0$ અને શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -99 < 0$ થાય.
શૂન્યોનો ગુણાકાર ધન હોવાથી,બંને શૂન્યો સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે.
શૂન્યોનો સરવાળો ઋણ હોવાથી,બંને શૂન્યો ઋણ હોવા જોઈએ.
વૈકલ્પિક રીતે,દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-99 \pm \sqrt{99^{2} - 4(1)(127)}}{2(1)} = \frac{-99 \pm \sqrt{9801 - 508}}{2} = \frac{-99 \pm \sqrt{9293}}{2}$.
અહીં $\sqrt{9293} \approx 96.4$ હોવાથી,શૂન્યો આશરે $\frac{-99 + 96.4}{2} = -1.3$ અને $\frac{-99 - 96.4}{2} = -97.7$ મળે છે.
આમ,બંને શૂન્યો ઋણ છે.

(B) ધારો કે $p(x) = x^{2} + kx + k, k \neq 0$.
શૂન્યો વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D$ એ $0$ અથવા તેનાથી મોટો હોવો જોઈએ.
$D = b^{2} - 4ac = k^{2} - 4k \geq 0$.
$k(k - 4) \geq 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $k \in (-\infty, 0] \cup [4, \infty)$. કારણ કે $k \neq 0$,તેથી $k \in (-\infty, 0) \cup [4, \infty)$.
ધારો કે શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે. તો:
શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -k/1 = -k$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = k/1 = k$.
કિસ્સો $I$: જો $k \in (-\infty, 0)$,તો $k < 0$. ગુણાકાર $\alpha \beta = k < 0$ હોવાથી,શૂન્યો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે.
કિસ્સો $II$: જો $k \in [4, \infty)$,તો $k > 0$. ગુણાકાર $\alpha \beta = k > 0$ હોવાથી,બંને શૂન્યો સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. સરવાળો $\alpha + \beta = -k < 0$ હોવાથી,બંને શૂન્યો ઋણ હોવા જોઈએ.
બંને કિસ્સાઓમાં,શૂન્યો ક્યારેય બંને ધન હોઈ શકે નહીં.

(C) દ્વિઘાત બહુપદી $ax^{2} + bx + c$ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = 0$ હોય તો તેના શૂન્યો સમાન મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $b^{2} = 4ac$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $b$ માટે $b^{2}$ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી $4ac$ પણ અ-ઋણ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $c \neq 0$,જો $a = 0$ હોય તો તે દ્વિઘાત બહુપદી ન રહે. તેથી,$a \neq 0$.
$4ac = b^{2} \geq 0$ હોવાથી,ગુણાકાર $ac$ એ $0$ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
$c \neq 0$ અને $a \neq 0$ હોવાથી,$ac > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $a$ અને $c$ ના ચિહ્નો સમાન હોવા જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે:
$(i)$ $x^{2} + 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x+2)^{2} = 0 \Rightarrow x = -2, -2$ (અહીં $a=1, c=4$,બંને ધન છે).
$(ii)$ $x^{2} - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^{2} = 0 \Rightarrow x = 2, 2$ (અહીં $a=1, c=4$,બંને ધન છે).

(D) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = x^{2} + ax + b$ ના શૂન્યો $\alpha$ અને $-\alpha$ છે।
શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{\text{અચળ પદનો સહગુણક}}{\text{$x^2$ નો સહગુણક}} = -a$
અહીં $\alpha + (-\alpha) = 0$ હોવાથી $0 = -a$, તેથી $a = 0$
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{\text{અચળ પદ}}{\text{$x^2$ નો સહગુણક}} = b$
અહીં $\alpha \cdot (-\alpha) = -\alpha^{2}$ હોવાથી $-\alpha^{2} = b$
ચોક્કસ $\alpha^{2} \ge 0$ હોવાથી $-\alpha^{2} \le 0$, એટલે $b < 0$
આમ, બહુપદીમાં રેખીય પદ હોતું નથી ($a = 0$) અને અચળ પદ ઋણ હોય છે ($b < 0$)

(A) કોઈપણ દ્વિઘાત બહુપદી $ax^{2} + bx + c$ $(a \neq 0)$ માટે,સંબંધિત સમીકરણ $y = ax^{2} + bx + c$ નો આલેખ એક પરવલય (parabola) છે,જે કાં તો ઉપરની તરફ ખુલ્લો હોય છે (જો $a > 0$ હોય) અથવા નીચેની તરફ ખુલ્લો હોય છે (જો $a < 0$ હોય).
$1$. દ્વિઘાત બહુપદીનો આલેખ $X$-અક્ષને વધુમાં વધુ બે બિંદુઓ પર છેદી શકે છે.
$2$. વિકલ્પ $(A)$ માં દર્શાવેલ આલેખ એક વક્ર છે જે $X$-અક્ષને ત્રણ અલગ-અલગ બિંદુઓ પર છેદે છે,જે ત્રિઘાત બહુપદીની લાક્ષણિકતા છે,દ્વિઘાત બહુપદીની નહીં.
$3$. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ માં આપેલો આલેખ દ્વિઘાત બહુપદીનો આલેખ નથી.

(B) ના,$x-1$ શેષ હોઈ શકે નહીં.
બહુપદીઓ માટેના ભાગાકારના પૂર્વધારણા (Division Algorithm) મુજબ,જો કોઈ બહુપદી $p(x)$ ને ભાજક $g(x)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $r(x)$ એ શરત સંતોષવી જોઈએ કે કાં તો $r(x) = 0$ હોય અથવા $r(x)$ ની ઘાત એ $g(x)$ ની ઘાત કરતાં ઓછી હોય.
અહીં,ભાજક $g(x) = 2x+3$ છે,જેની ઘાત $1$ છે.
સૂચિત શેષ $r(x) = x-1$ છે,જેની ઘાત પણ $1$ છે.
શેષની ઘાત એ ભાજકની ઘાત કરતાં ઓછી ન હોવાથી,$x-1$ શેષ હોઈ શકે નહીં.

(A) આ વિધાન સાચું છે.
ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ ના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે,જ્યાં $\alpha < 0$ અને $\beta < 0$ છે.
શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ થાય. કારણ કે $\alpha$ અને $\beta$ બંને ઋણ છે,તેથી તેમનો સરવાળો $(\alpha + \beta)$ ઋણ જ હોય. તેથી,$-\frac{b}{a} < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b}{a} > 0$. આ દર્શાવે છે કે $a$ અને $b$ ના ચિહ્નો સમાન છે.
$2$. શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ થાય. બે ઋણ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર ધન હોવાથી,$\frac{c}{a} > 0$ થાય. આ દર્શાવે છે કે $a$ અને $c$ ના ચિહ્નો સમાન છે.
આમ,$a$ અને $b$ ના ચિહ્નો સમાન છે,અને $a$ અને $c$ ના ચિહ્નો પણ સમાન છે,તેથી $a, b$ અને $c$ ત્રણેયના ચિહ્નો સમાન છે.

(B) ના. બહુપદીઓ માટેના ભાગાકારના પૂર્વધારણા મુજબ,જો $p(x)$ ભાજ્ય હોય અને $g(x)$ ભાજક હોય,તો $p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ થાય,જ્યાં $\text{deg}(r(x)) < \text{deg}(g(x))$ હોય.
અહીં,$\text{deg}(p(x)) = 6$ અને $\text{deg}(g(x)) = 5$ આપેલ છે.
જો ભાગફળ $q(x) = x^{2}-1$ હોય,તો $\text{deg}(q(x)) = 2$ થાય.
ગુણાકાર $g(x) \cdot q(x)$ ની ઘાત $\text{deg}(g(x)) + \text{deg}(q(x)) = 5 + 2 = 7$ થશે.
ભાજ્ય $p(x)$ ની ઘાત $6$ છે,અને ગુણાકાર $g(x) \cdot q(x)$ ની ઘાત $7$ છે,તેથી $x^{2}-1$ ભાગફળ હોઈ શકે નહીં કારણ કે ગુણાકારની ઘાત ભાજ્યની ઘાત કરતા વધારે ન હોઈ શકે (જો શેષ શૂન્ય હોય અથવા ઓછી ઘાત ધરાવતી હોય).
તેથી,$x^{2}-1$ ભાગફળ હોઈ શકે નહીં.

(N/A) અહીં આપેલ છે કે,ભાજક $px^{3} + qx^{2} + nx + s$ $(p \neq 0)$ છે અને ભાજ્ય $ax^{2} + bx + c$ છે.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ભાજકની ઘાત $3$ છે અને ભાજ્યની ઘાત $2$ છે.
બહુપદીઓ માટેના ભાગાકારના પૂર્વધારણા મુજબ,જો ભાજકની ઘાત એ ભાજ્યની ઘાત કરતા વધારે હોય,તો ભાગાકાર શક્ય નથી.
તેથી,ભાગફળ $0$ મળશે અને શેષ એ ભાજ્ય જેટલી જ એટલે કે $ax^{2} + bx + c$ રહેશે.

(N/A) બહુપદીઓ માટેના ભાગાકારના પૂર્વધારણા મુજબ,$p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$,જ્યાં $q(x)$ એ ભાગફળ છે અને $r(x)$ એ શેષ છે.
અહીં આપેલ છે કે ભાગફળ $q(x) = 0$ છે,તેથી સમીકરણ $p(x) = g(x) \cdot 0 + r(x)$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $p(x) = r(x)$ થાય છે.
બહુપદીના ભાગાકારમાં,શેષ $r(x)$ ની ઘાત હંમેશા ભાજક $g(x)$ ની ઘાત કરતાં ઓછી હોય છે,એટલે કે $\text{deg}(r(x)) < \text{deg}(g(x))$.
આમ,$p(x) = r(x)$ હોવાથી,$\text{deg}(p(x)) < \text{deg}(g(x))$ થાય.
તેથી,$p(x)$ ની ઘાત એ $g(x)$ ની ઘાત કરતાં ઓછી છે.

(N/A) જો શૂન્યતર બહુપદી $p(x)$ ને બહુપદી $g(x)$ વડે ભાગતા શેષ શૂન્ય મળે,તો તેનો અર્થ એ છે કે $g(x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે. બહુપદીઓના ભાગાકારના પૂર્વધારણા મુજબ,$p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$,જ્યાં $r(x) = 0$ છે. કારણ કે $p(x)$ અને $g(x)$ શૂન્યતર બહુપદીઓ છે,તેથી $g(x) \cdot q(x)$ નો ઘાત એ $p(x)$ ના ઘાત જેટલો જ હોવો જોઈએ. તેથી,$g(x)$ નો ઘાત એ $p(x)$ ના ઘાત કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો જ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\text{deg}(g(x)) \le \text{deg}(p(x))$.

(A) ના. ધારો કે $p(x) = x^{2} + kx + k$. જો $p(x)$ ના શૂન્યો સમાન હોય,તો તેનો વિવેચક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
વિવેચકનું સૂત્ર $D = B^{2} - 4AC = 0$ છે ... $(i)$.
$p(x)$ ની સરખામણી પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Ax^{2} + Bx + C$ સાથે કરતા,આપણને $A = 1$,$B = k$,અને $C = k$ મળે છે.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$k^{2} - 4(1)(k) = 0$
$k^{2} - 4k = 0$
$k(k - 4) = 0$
આથી $k = 0$ અથવા $k = 4$ મળે છે.
$0$ કે $4$ એ $1$ કરતા મોટી કોઈ એકી પૂર્ણાંક સંખ્યા નથી,તેથી દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2} + kx + k$ માટે $k > 1$ હોય તેવા કોઈ પણ એકી પૂર્ણાંક $k$ માટે સમાન શૂન્યો શક્ય નથી.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $ax^2 + bx + c$ ના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે. બંને શૂન્યો ધન હોવાથી,$\alpha > 0$ અને $\beta > 0$ થાય.
શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$1$. શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ થાય. $\alpha > 0$ અને $\beta > 0$ હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta > 0$ થાય. તેથી,$\frac{c}{a} > 0$,જેનો અર્થ છે કે $a$ અને $c$ ના ચિહ્નો સમાન હોવા જોઈએ.
$2$. શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ થાય. $\alpha > 0$ અને $\beta > 0$ હોવાથી,તેમનો સરવાળો $\alpha + \beta > 0$ થાય. તેથી,$-\frac{b}{a} > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b}{a} < 0$. આનો અર્થ એ છે કે $a$ અને $b$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
આમ,$a$ અને $c$ ના ચિહ્નો સમાન છે,પરંતુ $b$ નું ચિહ્ન $a$ અને $c$ કરતા વિરુદ્ધ છે. તેથી,$a, b$ અને $c$ ત્રણેયના ચિહ્નો સમાન હોતા નથી.

(B) આ વિધાન 'ખોટું' છે.
દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ માટે જો વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ હોય,તો તેનો આલેખ $x$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુમાં સ્પર્શે છે.
આ કિસ્સામાં,દ્વિઘાત બહુપદીના બે સમાન વાસ્તવિક શૂન્યો હોય છે અને આલેખ $x$-અક્ષને બરાબર એક બિંદુમાં સ્પર્શે છે.
તેથી,દ્વિઘાત બહુપદી $x$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુમાં છેદી શકે છે.

(A) આ વિધાન 'સાચું' છે.
જો કોઈ બહુપદીનો આલેખ $x$-અક્ષને બરાબર બે બિંદુઓમાં છેદે,તો તે દ્વિઘાત બહુપદી જ હોય તે જરૂરી નથી.
$n > 2$ ઘાતવાળી બહુપદી પણ $x$-અક્ષને બરાબર બે બિંદુઓમાં છેદી શકે છે જો તેના બે વાસ્તવિક શૂન્યો હોય અને બાકીના $(n-2)$ શૂન્યો કાલ્પનિક (અવાસ્તવિક) હોય.
ઉદાહરણ તરીકે,$4$ ઘાતવાળી બહુપદીને બે વાસ્તવિક શૂન્યો અને બે કાલ્પનિક શૂન્યો હોઈ શકે છે,જેના પરિણામે તેનો આલેખ $x$-અક્ષને માત્ર બે જ બિંદુઓમાં છેદે છે.

(A) સાચું. ધારો કે ત્રિઘાત બહુપદીના શૂન્યો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે. આપેલ છે કે બે શૂન્યો $0$ છે. ધારો કે $\alpha = 0$ અને $\beta = 0$.
ત્રિઘાત બહુપદીને $f(x) = k(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $k$ એ શૂન્યતર અચળાંક છે.
કિંમતો મૂકતા: $f(x) = k(x - 0)(x - 0)(x - \gamma) = k(x^2)(x - \gamma) = k(x^3 - \gamma x^2) = kx^3 - k\gamma x^2$.
આને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^3 + bx^2 + cx + d$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સુરેખ પદ $(c)$ અને અચળ પદ $(d)$ ના સહગુણકો બંને $0$ છે. આમ,બહુપદીમાં સુરેખ અને અચળ પદ હોતા નથી.

(A) આ વિધાન સાચું છે.
ધારો કે ત્રિઘાત બહુપદી $f(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ છે,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma < 0$ એ ઋણ શૂન્યો છે.
ધારો કે $\alpha = -p, \beta = -q, \gamma = -r$,જ્યાં $p, q, r > 0$ છે.
તેથી $f(x) = a(x + p)(x + q)(x + r)$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $f(x) = a[x^3 + (p + q + r)x^2 + (pq + qr + rp)x + pqr]$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$b = a(p + q + r)$
$c = a(pq + qr + rp)$
$d = a(pqr)$
કારણ કે $p, q, r > 0$ છે,તેથી $(p + q + r)$,$(pq + qr + rp)$,અને $(pqr)$ ત્રણેય ધન છે.
તેથી,$a, b, c,$ અને $d$ બધા જ $a$ જેવું સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે.

(B) ખોટું. ધારો કે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ એ ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = x^{3}+ax^{2}-bx+c$ ના ત્રણ શૂન્યો છે.
શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$1$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha \beta \gamma = -\frac{c}{1} = -c$. કારણ કે $\alpha, \beta, \gamma > 0$,તેથી તેમનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma > 0$ થાય. તેથી,$-c > 0$,જેનો અર્થ છે કે $c < 0$.
$2$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{a}{1} = -a$. કારણ કે $\alpha, \beta, \gamma > 0$,તેથી તેમનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma > 0$ થાય. તેથી,$-a > 0$,જેનો અર્થ છે કે $a < 0$.
$3$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{-b}{1} = -b$. કારણ કે $\alpha, \beta, \gamma > 0$,તેથી તેમનો સરવાળો $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha > 0$ થાય. તેથી,$-b > 0$,જેનો અર્થ છે કે $b < 0$.
આમ,ત્રણેય શૂન્યો ધન હોય તે માટે $a, b$ અને $c$ ત્રણેય ઋણ હોવા જોઈએ. તેથી,આપેલ વિધાન કે તેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક અ-ઋણ છે,તે ખોટું છે.

(B) ખોટું.
ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $f(x) = k x^{2} + x + k$ છે.
બહુપદીના શૂન્યો સમાન હોય તે માટે તેનો વિવેચક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
વિવેચકનું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
અહીં,$a = k$,$b = 1$,અને $c = k$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (1)^{2} - 4(k)(k) = 0$
$1 - 4k^{2} = 0$
$4k^{2} = 1$
$k^{2} = \frac{1}{4}$
$k = \pm \frac{1}{2}$
તેથી,$k$ ની બે કિંમતો $\frac{1}{2}$ અને $-\frac{1}{2}$ મળે છે,જેના માટે દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યો સમાન હોય છે. આમ,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) શૂન્યો શોધવા માટે,બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવો: $x^{2}+\frac{1}{6} x-2 = 0$.
સરળ બનાવવા માટે $6$ વડે ગુણતા: $6x^{2}+x-12 = 0$.
દ્વિઘાત બહુપદીના અવયવ પાડતા: $6x^{2}+9x-8x-12 = 0$.
$3x(2x+3)-4(2x+3) = 0 \implies (3x-4)(2x+3) = 0$.
આમ,શૂન્યો $\alpha = \frac{4}{3}$ અને $\beta = -\frac{3}{2}$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta = \frac{4}{3} - \frac{3}{2} = \frac{8-9}{6} = -\frac{1}{6}$.
બહુપદી $ax^2+bx+c$ પરથી,સરવાળો $= -\frac{b}{a} = -\frac{1/6}{1} = -\frac{1}{6}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = \frac{4}{3} \times (-\frac{3}{2}) = -2$.
બહુપદી પરથી,ગુણાકાર $= \frac{c}{a} = \frac{-2}{1} = -2$.
બંને સંબંધો ચકાસાયેલ છે.

(N/A) ધારો કે $f(x) = 4x^2 - 3x - 1$.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને બહુપદીના અવયવો પાડીશું:
$f(x) = 4x^2 - 4x + x - 1$
$f(x) = 4x(x - 1) + 1(x - 1)$
$f(x) = (x - 1)(4x + 1)$
શૂન્યો શોધવા માટે $f(x) = 0$ લેતા:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$4x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{4}$
આમ,શૂન્યો $\alpha = 1$ અને $\beta = -\frac{1}{4}$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= \alpha + \beta = 1 + (-\frac{1}{4}) = \frac{3}{4} = -\frac{-3}{4} = -\frac{x \text{ નો સહગુણક}}{x^2 \text{ નો સહગુણક}}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \alpha \cdot \beta = 1 \cdot (-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4} = \frac{-1}{4} = \frac{\text{અચળ પદ}}{x^2 \text{ નો સહગુણક}}$.
આમ,શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસાય છે.

(N/A) ધારો કે $f(x) = 3x^2 + 4x - 4$.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને બહુપદીના અવયવો પાડીશું:
$3x^2 + 6x - 2x - 4 = 3x(x + 2) - 2(x + 2) = (x + 2)(3x - 2)$.
$f(x) = 0$ લેતા શૂન્યો મળે છે:
$(x + 2)(3x - 2) = 0$,તેથી $x = -2$ અથવા $x = \frac{2}{3}$.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= -2 + \frac{2}{3} = \frac{-6 + 2}{3} = -\frac{4}{3}$.
બહુપદી $ax^2 + bx + c$ માં $a=3, b=4, c=-4$ છે,તેથી શૂન્યોનો સરવાળો $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{3}$ થાય છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= (-2) \times \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$.
બહુપદી પરથી,શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{c}{a} = \frac{-4}{3}$ થાય છે.
આમ,શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર સહગુણકો સાથે સુસંગત હોવાથી સંબંધ ચકાસાય છે.

(A) ધારો કે $f(t) = 5 t^{2}+12 t+7$.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને બહુપદીના અવયવો પાડીશું:
$5 t^{2}+12 t+7 = 5 t^{2}+5 t+7 t+7$
$= 5 t(t+1)+7(t+1)$
$= (5 t+7)(t+1)$
શૂન્યો શોધવા માટે $f(t) = 0$ લેતા:
$5 t+7 = 0 \implies t = -7/5$
$t+1 = 0 \implies t = -1$
આમ,શૂન્યો $\alpha = -7/5$ અને $\beta = -1$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= \alpha + \beta = -7/5 - 1 = -12/5$.
બહુપદી $5 t^{2}+12 t+7$ માં,$t$ નો સહગુણક $12$ છે અને $t^{2}$ નો સહગુણક $5$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $= -(t \text{ નો સહગુણક}) / (t^{2} \text{ નો સહગુણક}) = -12/5$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \alpha \cdot \beta = (-7/5) \cdot (-1) = 7/5$.
બહુપદીમાં,અચળ પદ $7$ છે અને $t^{2}$ નો સહગુણક $5$ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= (\text{અચળ પદ}) / (t^{2} \text{ નો સહગુણક}) = 7/5$.
આમ,શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસાય છે.

(A) ધારો કે $f(t) = t^{3}-2 t^{2}-15 t$.
$= t(t^{2}-2 t-15)$
$= t(t^{2}-5 t+3 t-15)$ [મધ્યમ પદના ભાગ પાડીને]
$= t[t(t-5)+3(t-5)]$
$= t(t-5)(t+3)$
તેથી,$f(t)$ ની કિંમત શૂન્ય થાય જ્યારે $t=0, t-5=0$ અથવા $t+3=0$ હોય.
આમ,શૂન્યો $t=0, t=5$ અને $t=-3$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= 0 + 5 + (-3) = 2 = -(-2)/1 = -(\text{t}^{2} \text{ નો સહગુણક}) / (\text{t}^{3} \text{ નો સહગુણક})$.
બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો $= (0)(5) + (5)(-3) + (-3)(0) = 0 - 15 + 0 = -15 = (-15)/1 = (\text{t} \text{ નો સહગુણક}) / (\text{t}^{3} \text{ નો સહગુણક})$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= (0)(5)(-3) = 0 = -(0)/1 = -(\text{અચળ પદ}) / (\text{t}^{3} \text{ નો સહગુણક})$.
આમ,સંબંધ ચકાસાયેલ છે.

(N/A) ધારો કે $f(x) = 2x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{3}{4}$.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $f(x) = 0$ લઈએ,તેથી $2x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{3}{4} = 0$.
આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા,આપણને $8x^2 + 14x + 3 = 0$ મળે છે.
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $8x^2 + 12x + 2x + 3 = 0$.
$4x(2x + 3) + 1(2x + 3) = 0$.
$(2x + 3)(4x + 1) = 0$.
આમ,શૂન્યો $x = -\frac{3}{2}$ અને $x = -\frac{1}{4}$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{3}{2} + (-\frac{1}{4}) = -\frac{6}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{7}{4}$.
સહગુણક સંબંધ: $-\frac{x \text{ નો સહગુણક}}{x^2 \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{7/2}{2} = -\frac{7}{4}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= (-\frac{3}{2}) \times (-\frac{1}{4}) = \frac{3}{8}$.
સહગુણક સંબંધ: $\frac{\text{અચળ પદ}}{x^2 \text{ નો સહગુણક}} = \frac{3/4}{2} = \frac{3}{8}$.
બંને સંબંધો સમાન હોવાથી,શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસાય છે.

(N/A) ધારો કે $f(x) = 4x^{2} + 5\sqrt{2}x - 3$.
અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીએ: $4x^{2} + 6\sqrt{2}x - \sqrt{2}x - 3$.
$= 2\sqrt{2}x(\sqrt{2}x + 3) - 1(\sqrt{2}x + 3)$.
$= (\sqrt{2}x + 3)(2\sqrt{2}x - 1)$.
$f(x) = 0$ લેતા,આપણને $\sqrt{2}x + 3 = 0$ અથવા $2\sqrt{2}x - 1 = 0$ મળે.
આમ,શૂન્યો $x = -\frac{3}{\sqrt{2}}$ અને $x = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{-6 + 1}{2\sqrt{2}} = -\frac{5}{2\sqrt{2}} = -\frac{5\sqrt{2}}{4}$.
$x$ નો સહગુણક $5\sqrt{2}$ છે અને $x^{2}$ નો સહગુણક $4$ છે. તેથી,$-\frac{x \text{ નો સહગુણક}}{x^{2} \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{5\sqrt{2}}{4}$. (ચકાસાયેલ)
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= (-\frac{3}{\sqrt{2}}) \times (\frac{1}{2\sqrt{2}}) = -\frac{3}{4}$.
અચળ પદ $-3$ છે અને $x^{2}$ નો સહગુણક $4$ છે. તેથી,$\frac{\text{અચળ પદ}}{x^{2} \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{3}{4}$. (ચકાસાયેલ)

(N/A) ધારો કે $f(s) = 2s^{2} - (1 + 2\sqrt{2})s + \sqrt{2}$.
$= 2s^{2} - s - 2\sqrt{2}s + \sqrt{2}$
$= s(2s - 1) - \sqrt{2}(2s - 1)$
$= (2s - 1)(s - \sqrt{2})$
$f(s)$ નું મૂલ્ય શૂન્ય થાય જ્યારે $2s - 1 = 0$ અથવા $s - \sqrt{2} = 0$ હોય.
આમ,$s = \frac{1}{2}$ અથવા $s = \sqrt{2}$.
તેથી,બહુપદીના શૂન્યો $\frac{1}{2}$ અને $\sqrt{2}$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= \frac{1}{2} + \sqrt{2} = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2} = \frac{-[-(1 + 2\sqrt{2})]}{2} = \frac{-(\text{s નો સહગુણક})}{\text{s}^{2} \text{ નો સહગુણક}}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= \frac{1}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\text{અચળ પદ}}{\text{s}^{2} \text{ નો સહગુણક}}$.
આમ,શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસાય છે.

(A) ધારો કે $f(v) = v^{2} + 4 \sqrt{3} v - 15$.
અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીએ: $v^{2} + (5 \sqrt{3} - \sqrt{3}) v - 15 = 0$.
$= v^{2} + 5 \sqrt{3} v - \sqrt{3} v - 15 = 0$.
$= v(v + 5 \sqrt{3}) - \sqrt{3}(v + 5 \sqrt{3}) = 0$.
$= (v + 5 \sqrt{3})(v - \sqrt{3}) = 0$.
આમ,શૂન્યો $v = -5 \sqrt{3}$ અને $v = \sqrt{3}$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= -5 \sqrt{3} + \sqrt{3} = -4 \sqrt{3} = -\frac{v \text{ નો સહગુણક}}{v^{2} \text{ નો સહગુણક}}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= (-5 \sqrt{3})(\sqrt{3}) = -5 \times 3 = -15 = \frac{\text{અચળ પદ}}{v^{2} \text{ નો સહગુણક}}$.
આમ,સંબંધ ચકાસાયેલ છે.

(A) ધારો કે $f(y) = y^{2} + \frac{3}{2} \sqrt{5} y - 5$.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $f(y) = 0$ લઈએ,જેનો અર્થ છે $y^{2} + \frac{3}{2} \sqrt{5} y - 5 = 0$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2y^{2} + 3\sqrt{5}y - 10 = 0$ મળે છે.
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $2y^{2} + 4\sqrt{5}y - \sqrt{5}y - 10 = 0$.
$2y(y + 2\sqrt{5}) - \sqrt{5}(y + 2\sqrt{5}) = 0$.
$(y + 2\sqrt{5})(2y - \sqrt{5}) = 0$.
આમ,શૂન્યો $y = -2\sqrt{5}$ અને $y = \frac{\sqrt{5}}{2}$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો $= -2\sqrt{5} + \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{-4\sqrt{5} + \sqrt{5}}{2} = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
બહુપદી $y^{2} + \frac{3}{2} \sqrt{5} y - 5$ માં,$y$ નો સહગુણક $\frac{3\sqrt{5}}{2}$ છે અને $y^{2}$ નો સહગુણક $1$ છે. તેથી,$-\frac{y \text{ નો સહગુણક}}{y^{2} \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= (-2\sqrt{5}) \times (\frac{\sqrt{5}}{2}) = -5$.
અચળ પદ $-5$ છે અને $y^{2}$ નો સહગુણક $1$ છે. તેથી,$\frac{\text{અચળ પદ}}{y^{2} \text{ નો સહગુણક}} = -5$.
આમ,સંબંધ ચકાસાયેલ છે.

(A) ધારો કે $f(y) = 7y^2 - \frac{11}{3}y - \frac{2}{3}$.
શૂન્યો શોધવા માટે,$f(y) = 0$ લેતા,જેનો અર્થ છે $\frac{1}{3}(21y^2 - 11y - 2) = 0$,તેથી $21y^2 - 11y - 2 = 0$.
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $21y^2 - 14y + 3y - 2 = 0$.
$7y(3y - 2) + 1(3y - 2) = 0$.
$(3y - 2)(7y + 1) = 0$.
આમ,શૂન્યો $y = \frac{2}{3}$ અને $y = -\frac{1}{7}$ છે.
ચકાસણી:
શૂન્યોનો સરવાળો = $\frac{2}{3} + (-\frac{1}{7}) = \frac{14 - 3}{21} = \frac{11}{21}$.
બહુપદી $7y^2 - \frac{11}{3}y - \frac{2}{3}$ માં,$y$ નો સહગુણક $-\frac{11}{3}$ છે અને $y^2$ નો સહગુણક $7$ છે.
શૂન્યોનો સરવાળો = $-\frac{y \text{ નો સહગુણક}}{y^2 \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{-11/3}{7} = \frac{11}{21}$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર = $(\frac{2}{3})(-\frac{1}{7}) = -\frac{2}{21}$.
અચળ પદ $-\frac{2}{3}$ છે,$y^2$ નો સહગુણક $7$ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર = $\frac{\text{અચળ પદ}}{y^2 \text{ નો સહગુણક}} = \frac{-2/3}{7} = -\frac{2}{21}$.
આમ,સંબંધ ચકાસાયેલ છે.

(N/A) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે અને તેના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે,શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = \sqrt{2}$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = -\frac{3}{2}$ છે.
દ્વિઘાત બહુપદીનું સૂત્ર $k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta]$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $k[x^2 - \sqrt{2}x - \frac{3}{2}]$ મળે છે.
જો $k=2$ લઈએ,તો બહુપદી $2x^2 - 2\sqrt{2}x - 3$ મળે.
શૂન્યો શોધવા માટે,$2x^2 - 2\sqrt{2}x - 3 = 0$ લો.
$2x^2 - 3\sqrt{2}x + \sqrt{2}x - 3 = 0$.
$\sqrt{2}x(\sqrt{2}x - 3) + 1(\sqrt{2}x - 3) = 0$.
$(\sqrt{2}x + 1)(\sqrt{2}x - 3) = 0$.
આમ,શૂન્યો $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $x = \frac{3}{\sqrt{2}}$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3}+2 x^{2}+k x+3$.
શેષ પ્રમેય મુજબ,$p(x)$ ને $x-3$ વડે ભાગતા શેષ $p(3)$ મળે.
આપેલ છે કે $p(3) = 21$,તેથી:
$3^{3}+2(3)^{2}+k(3)+3 = 21$
$27 + 18 + 3k + 3 = 21$
$48 + 3k = 21$
$3k = 21 - 48 = -27$
$k = -9$.
હવે,$x^{3}+2 x^{2}-9 x+3$ ને $x-3$ વડે ભાગાકાર કરતા:
$x^{3}+2 x^{2}-9 x+3 = (x-3)(x^{2}+5x+6) + 21$.
ભાગફળ $x^{2}+5x+6$ છે.
$x^{3}+2 x^{2}-9 x-18$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,તેનું અવયવીકરણ કરીએ:
$x^{3}+2 x^{2}-9 x-18 = x^{2}(x+2) - 9(x+2)$
$= (x^{2}-9)(x+2)$
$= (x-3)(x+3)(x+2)$.
બહુપદીને $0$ સાથે સરખાવતા,શૂન્યો $x = 3, -3, -2$ મળે છે.

(N/A) આપેલ છે કે,શૂન્યોનો સરવાળો $(S) = -\frac{8}{3}$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $(P) = \frac{4}{3}$ છે.
દ્વિઘાત બહુપદીનું સામાન્ય સ્વરૂપ $f(x) = k(x^2 - Sx + P)$ છે,જ્યાં $k$ એ શૂન્યતર અચળ છે.
કિંમતો મૂકતા,$f(x) = x^2 - (-\frac{8}{3})x + \frac{4}{3} = x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{4}{3}$ મળે.
સરળતા માટે,આપણે બહુપદીને $3x^2 + 8x + 4$ તરીકે લખી શકીએ.
શૂન્યો શોધવા માટે,$3x^2 + 8x + 4$ ના અવયવો પાડીએ:
$3x^2 + 6x + 2x + 4 = 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (3x + 2)(x + 2)$.
$f(x) = 0$ લેતા,$(3x + 2)(x + 2) = 0$ મળે.
તેથી,$3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3}$ અને $x + 2 = 0 \implies x = -2$.
આમ,બહુપદીના શૂન્યો $-2$ અને $-\frac{2}{3}$ છે.

(A) આપેલ છે કે,શૂન્યોનો સરવાળો $S = \frac{21}{8}$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $P = \frac{5}{16}$ છે.
જરૂરી દ્વિઘાત બહુપદી $f(x) = k(x^2 - Sx + P)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે. છેદ દૂર કરવા માટે $k = 16$ લેતા:
$f(x) = 16(x^2 - \frac{21}{8}x + \frac{5}{16}) = 16x^2 - 42x + 5$.
શૂન્યો શોધવા માટે,$f(x) = 0$ લેતા:
$16x^2 - 42x + 5 = 0$.
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $16x^2 - 40x - 2x + 5 = 0$.
$8x(2x - 5) - 1(2x - 5) = 0$.
$(8x - 1)(2x - 5) = 0$.
આમ,શૂન્યો $x = \frac{1}{8}$ અને $x = \frac{5}{2}$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે,શૂન્યોનો સરવાળો $(S)$ = $-2 \sqrt{3}$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $(P)$ = $-9$.
દ્વિઘાત બહુપદીનું સામાન્ય સ્વરૂપ $f(x) = x^{2} - Sx + P$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $f(x) = x^{2} - (-2 \sqrt{3})x + (-9) = x^{2} + 2 \sqrt{3}x - 9$ મળે છે.
અવયવીકરણ દ્વારા શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદ $2 \sqrt{3}x$ ને $3 \sqrt{3}x - \sqrt{3}x$ માં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$f(x) = x^{2} + 3 \sqrt{3}x - \sqrt{3}x - 9$
$f(x) = x(x + 3 \sqrt{3}) - \sqrt{3}(x + 3 \sqrt{3})$
$f(x) = (x + 3 \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$
$f(x) = 0$ લેતા,આપણને $x + 3 \sqrt{3} = 0$ અથવા $x - \sqrt{3} = 0$ મળે છે.
તેથી,શૂન્યો $-3 \sqrt{3}$ અને $\sqrt{3}$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે,શૂન્યોનો સરવાળો $(S)$ = $-\frac{3}{2 \sqrt{5}}$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $(P)$ = $-\frac{1}{2}$.
દ્વિઘાત બહુપદીનું સામાન્ય સ્વરૂપ $f(x) = k(x^2 - Sx + P)$ છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
કિંમતો મૂકતા,$f(x) = x^2 - (-\frac{3}{2 \sqrt{5}})x + (-\frac{1}{2}) = x^2 + \frac{3}{2 \sqrt{5}}x - \frac{1}{2}$.
સરળ બનાવવા માટે,$2\sqrt{5}$ વડે ગુણતા આપણને $2\sqrt{5}x^2 + 3x - \sqrt{5}$ બહુપદી મળે છે.
હવે,$2\sqrt{5}x^2 + 3x - \sqrt{5}$ ના અવયવો પાડતા:
$= 2\sqrt{5}x^2 + 5x - 2x - \sqrt{5}$
$= \sqrt{5}x(2x + \sqrt{5}) - 1(2x + \sqrt{5})$
$= (2x + \sqrt{5})(\sqrt{5}x - 1)$
$f(x) = 0$ લેતા,$2x + \sqrt{5} = 0$ અથવા $\sqrt{5}x - 1 = 0$ મળે છે.
તેથી,શૂન્યો $x = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ અને $x = \frac{1}{\sqrt{5}}$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = x^{3}-6x^{2}+3x+10$.
આપેલ છે કે $a, (a+b),$ અને $(a+2b)$ એ $f(x)$ ના શૂન્યો છે.
શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{x^{2} \text{ નો સહગુણક}}{x^{3} \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{-6}{1} = 6$.
તેથી,$a + (a+b) + (a+2b) = 6 \Rightarrow 3a + 3b = 6 \Rightarrow a+b = 2 \Rightarrow b = 2-a \dots (i)$.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $= -\frac{\text{અચળ પદ}}{x^{3} \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{10}{1} = -10$.
તેથી,$a(a+b)(a+2b) = -10$.
$a+b=2$ અને $b=2-a$ મુકતા,આપણને મળે $a(2)(a+2(2-a)) = -10$.
$2a(a+4-2a) = -10 \Rightarrow 2a(4-a) = -10 \Rightarrow 8a - 2a^{2} = -10$.
$2a^{2} - 8a - 10 = 0 \Rightarrow a^{2} - 4a - 5 = 0$.
$(a-5)(a+1) = 0$.
આમ,$a = 5$ અથવા $a = -1$.
જો $a = 5$,તો $b = 2-5 = -3$. શૂન્યો $5, 5-3, 5-6$ એટલે કે $5, 2, -1$ છે.
જો $a = -1$,તો $b = 2-(-1) = 3$. શૂન્યો $-1, -1+3, -1+6$ એટલે કે $-1, 2, 5$ છે.
આમ,કિંમતો $(a=5, b=-3)$ અથવા $(a=-1, b=3)$ છે અને શૂન્યો $-1, 2, 5$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = 6x^{3}+\sqrt{2}x^{2}-10x-4\sqrt{2}$.
આપેલ છે કે $\sqrt{2}$ એ $f(x)$ નું એક શૂન્ય છે,તેથી $(x-\sqrt{2})$ એ $f(x)$ નો એક અવયવ છે.
$f(x)$ ને $(x-\sqrt{2})$ વડે ભાગતા:
$6x^{3}+\sqrt{2}x^{2}-10x-4\sqrt{2} = (x-\sqrt{2})(6x^{2}+7\sqrt{2}x+4)$.
હવે,દ્વિઘાત બહુપદી $6x^{2}+7\sqrt{2}x+4$ ના અવયવો પાડતા:
$6x^{2}+3\sqrt{2}x+4\sqrt{2}x+4 = 3\sqrt{2}x(\sqrt{2}x+1) + 4(\sqrt{2}x+1) = (3\sqrt{2}x+4)(\sqrt{2}x+1)$.
આ અવયવોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$\sqrt{2}x+1 = 0 \implies x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$3\sqrt{2}x+4 = 0 \implies x = -\frac{4}{3\sqrt{2}}$.
આમ,બાકીના બે શૂન્યો $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $-\frac{4}{3\sqrt{2}}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $(x^{2}+2x+k)$ એ $2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ નો અવયવ છે,તેથી ભાગાકાર કરતી વખતે શેષ શૂન્ય હોવી જોઈએ.
$2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ ને $(x^{2}+2x+k)$ વડે ભાગતા:
$1$. $2x^{4}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $2x^{2}$ મળે. $(x^{2}+2x+k)$ ને $2x^{2}$ વડે ગુણતા $2x^{4}+4x^{3}+2kx^{2}$ મળે. બાદબાકી કરતા $-3x^{3}-(2k+14)x^{2}+5x+6$ મળે.
$2$. $-3x^{3}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $-3x$ મળે. $(x^{2}+2x+k)$ ને $-3x$ વડે ગુણતા $-3x^{3}-6x^{2}-3kx$ મળે. બાદબાકી કરતા $(-8-2k)x^{2}+(3k+5)x+6$ મળે.
$3$. $(-8-2k)x^{2}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $(-8-2k)$ મળે. $(x^{2}+2x+k)$ ને $(-8-2k)$ વડે ગુણતા $(-8-2k)x^{2} + 2(-8-2k)x + k(-8-2k)$ મળે.
અંતિમ શેષ: $(7k+21)x + (2k^{2}+8k+6)$ મળે.
શેષ શૂન્ય હોવા માટે,બંને સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$7k+21=0 \Rightarrow k=-3$.
$2k^{2}+8k+6=0 \Rightarrow 2(k+1)(k+3)=0 \Rightarrow k=-1$ અથવા $k=-3$.
બંને શરતો સંતોષાય તે માટે $k=-3$ લેતા.
$k=-3$ માટે,ભાજક $x^{2}+2x-3 = (x+3)(x-1)$ છે,તેથી તેના શૂન્યો $x=-3, 1$ છે.
ભાગફળ $2x^{2}-3x-2 = (2x+1)(x-2)$ છે,તેથી તેના શૂન્યો $x=-1/2, 2$ છે.
આમ,$x^{2}+2x-3$ ના શૂન્યો $1, -3$ છે અને $2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ ના શૂન્યો $1, -3, 2, -1/2$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = x^{3}-3 \sqrt{5} x^{2}+13 x-3 \sqrt{5}$.
આપેલ છે કે $(x-\sqrt{5})$ એ $f(x)$ નો એક અવયવ છે,તેથી ભાગાકાર કરતા:
$x^{3}-3 \sqrt{5} x^{2}+13 x-3 \sqrt{5} = (x-\sqrt{5})(x^{2}-2 \sqrt{5} x+3)$.
હવે,દ્વિઘાત અવયવ $x^{2}-2 \sqrt{5} x+3 = 0$ ના શૂન્યો શોધવા માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{(-2 \sqrt{5})^{2}-4(1)(3)}}{2(1)}$
$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{20-12}}{2} = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \sqrt{5} \pm 2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{5} \pm \sqrt{2}$.
આમ,બહુપદીના શૂન્યો $\sqrt{5}, (\sqrt{5}+\sqrt{2})$ અને $(\sqrt{5}-\sqrt{2})$ છે.

(A) આપેલ છે કે $q(x) = x^{3} + 2x^{2} + a$ ના શૂન્યો એ $p(x) = x^{5} - x^{4} - 4x^{3} + 3x^{2} + 3x + b$ ના પણ શૂન્યો છે,જેનો અર્થ છે કે $q(x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
$p(x)$ ને $q(x)$ વડે ભાગતા:
$x^{5} - x^{4} - 4x^{3} + 3x^{2} + 3x + b$ ને $x^{3} + 2x^{2} + a$ વડે ભાગતા ભાગફળ $x^{2} - 3x + 2$ મળે છે અને શેષ $-(1+a)x^{2} + (3+3a)x + (b-2a)$ મળે છે.
$q(x)$ એ અવયવ હોવાથી,શેષ શૂન્ય હોવી જોઈએ,તેથી સહગુણકો શૂન્ય થવા જોઈએ:
$-(1+a) = 0 \Rightarrow a = -1$
$3+3a = 0 \Rightarrow 3+3(-1) = 0$ (સુસંગત)
$b-2a = 0 \Rightarrow b = 2(-1) = -2$.
આમ,$a = -1$ અને $b = -2$.
આ કિંમતો મૂકતા,$p(x) = (x^{3} + 2x^{2} - 1)(x^{2} - 3x + 2)$.
ભાગફળના અવયવ પાડતા: $x^{2} - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.
$p(x)$ ના શૂન્યો એ $q(x)$ ના શૂન્યો અને ભાગફળના શૂન્યોનો સમૂહ છે,જે $x=1$ અને $x=2$ છે. તેથી,$p(x)$ ના શૂન્યો જે $q(x)$ ના શૂન્યો નથી તે $1$ અને $2$ છે.

(B) આપેલ બહુપદી $p(x) = 3.14x^2 + 1.57x + 1$ છે.
બહુપદીની ઘાત એટલે તેમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આ પદાવલિમાં $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
$2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$p(x)$ એ એક દ્વિઘાત બહુપદી છે.