Mix Examples - Polynomials Questions in Hindi

(A) दिया गया बहुपद: $p(x) = 2x^3 + 11x^2 - 7x - 6$.
चरण $1$: जाँचें कि क्या $-6, -\frac{1}{2}, 1$ शून्यक हैं।
$p(-6) = 2(-6)^3 + 11(-6)^2 - 7(-6) - 6 = 2(-216) + 11(36) + 42 - 6 = -432 + 396 + 42 - 6 = 0$.
$p(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{8}) + 11(\frac{1}{4}) - 7(-\frac{1}{2}) - 6 = -\frac{1}{4} + \frac{11}{4} + \frac{7}{2} - 6 = \frac{10}{4} + \frac{14}{4} - 6 = 6 - 6 = 0$.
$p(1) = 2(1)^3 + 11(1)^2 - 7(1) - 6 = 2 + 11 - 7 - 6 = 0$.
अतः,$-6, -\frac{1}{2}, 1$ शून्यक हैं।
चरण $2$: संबंध की जाँच करें।
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -6 - \frac{1}{2} + 1 = -5.5 = -\frac{11}{2} = -\frac{x^2 \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$.
शून्यकों के गुणनफलों का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (-6)(-\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2})(1) + (1)(-6) = 3 - 0.5 - 6 = -3.5 = -\frac{7}{2} = \frac{x \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$.
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = (-6)(-\frac{1}{2})(1) = 3 = -\frac{-6}{2} = -\frac{\text{अचर पद}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$.

(D) यह दिया गया है कि $-2$ बहुपद $p(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ का एक शून्यक है,जिसका अर्थ है कि $(x + 2)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
शेष शून्यक ज्ञात करने के लिए,बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करके $p(x)$ को $(x + 2)$ से विभाजित करें:
$(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) \div (x + 2) = x^2 + 4x + 3$.
अब,द्विघात बहुपद $x^2 + 4x + 3$ का गुणनखंड करें:
$x^2 + 3x + x + 3 = x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 1)(x + 3)$.
इन गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखने पर $x + 1 = 0$ और $x + 3 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $x = -1$ और $x = -3$ मिलता है।
अतः,शेष शून्यक $-1$ और $-3$ हैं।

(A) बहुपदों के विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, $p(x) = s(x) \cdot q(x) + r(x)$ होता है।
यहाँ $p(x) = x^{3} - 3x^{2} + x + 2$, $q(x) = x - 2$, और $r(x) = -2x + 4$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $x^{3} - 3x^{2} + x + 2 = s(x) \cdot (x - 2) + (-2x + 4)$।
$s(x) \cdot (x - 2)$ के लिए हल करने पर: $s(x) \cdot (x - 2) = (x^{3} - 3x^{2} + x + 2) - (-2x + 4)$।
$s(x) \cdot (x - 2) = x^{3} - 3x^{2} + x + 2 + 2x - 4$।
$s(x) \cdot (x - 2) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 2$।
अब, $s(x)$ ज्ञात करने के लिए $x^{3} - 3x^{2} + 3x - 2$ को $(x - 2)$ से विभाजित करें।
बहुपद विभाजन का उपयोग करने पर: $(x^{3} - 2x^{2}) - (x^{2} - 2x) + (x - 2) = x^{2}(x - 2) - x(x - 2) + 1(x - 2) = (x^{2} - x + 1)(x - 2)$।
अतः, $s(x) = x^{2} - x + 1$।

(B) $p(x) = 6x^5 + 5x^4 + 11x^3 - 3x^2 + x + 1$ को $g(x) = 3x^2 - 2x + 4$ से विभाजित करने पर:
$1$. $6x^5$ को $3x^2$ से भाग देने पर $2x^3$ प्राप्त होता है। $2x^3(3x^2 - 2x + 4) = 6x^5 - 4x^4 + 8x^3$। घटाने पर $9x^4 + 3x^3 - 3x^2 + x + 1$ प्राप्त होता है।
$2$. $9x^4$ को $3x^2$ से भाग देने पर $3x^2$ प्राप्त होता है। $3x^2(3x^2 - 2x + 4) = 9x^4 - 6x^3 + 12x^2$। घटाने पर $9x^3 - 15x^2 + x + 1$ प्राप्त होता है।
$3$. $9x^3$ को $3x^2$ से भाग देने पर $3x$ प्राप्त होता है। $3x(3x^2 - 2x + 4) = 9x^3 - 6x^2 + 12x$। घटाने पर $-9x^2 - 11x + 1$ प्राप्त होता है।
$4$. $-9x^2$ को $3x^2$ से भाग देने पर $-3$ प्राप्त होता है। $-3(3x^2 - 2x + 4) = -9x^2 + 6x - 12$। घटाने पर $-17x + 13$ प्राप्त होता है।
शेषफल $r(x) = -17x + 13$ है।
बहुपद को पूर्णतः विभाज्य बनाने के लिए,हमें $-r(x) = -(-17x + 13) = 17x - 13$ जोड़ना होगा।

(C) क्या घटाया जाना चाहिए यह ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद $P(x) = 8x^4 + 14x^3 - 2x^2 + 8x - 12$ को $D(x) = 4x^2 + 3x - 2$ से विभाजित करेंगे।
चरण $1$: $8x^4$ को $4x^2$ से विभाजित करने पर $2x^2$ प्राप्त होता है। $2x^2(4x^2 + 3x - 2) = 8x^4 + 6x^3 - 4x^2$ होता है। इसे $P(x)$ से घटाने पर $(14x^3 - 6x^3) + (-2x^2 + 4x^2) + 8x - 12 = 8x^3 + 2x^2 + 8x - 12$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $8x^3$ को $4x^2$ से विभाजित करने पर $2x$ प्राप्त होता है। $2x(4x^2 + 3x - 2) = 8x^3 + 6x^2 - 4x$ होता है। इसे शेषफल से घटाने पर $(2x^2 - 6x^2) + (8x + 4x) - 12 = -4x^2 + 12x - 12$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: $-4x^2$ को $4x^2$ से विभाजित करने पर $-1$ प्राप्त होता है। $-1(4x^2 + 3x - 2) = -4x^2 - 3x + 2$ होता है। इसे वर्तमान शेषफल से घटाने पर $(12x + 3x) + (-12 - 2) = 15x - 14$ प्राप्त होता है।
अतः,शेषफल $15x - 14$ है,जिसे मूल बहुपद से घटाने पर वह $4x^2 + 3x - 2$ से पूर्णतः विभाज्य हो जाएगा।

(D) दूसरा बहुपद ज्ञात करने के लिए,हम गुणनफल $x^{5}+3x^{4}+5x^{3}+3x^{2}+9x+15$ को दिए गए बहुपद $x^{2}+3$ से विभाजित करेंगे।
बहुपद का विभाजन करने पर:
पदों को समूह में विभाजित करने पर: $x^{3}(x^{2}+3) + 3x^{2}(x^{2}+3) + 5(x^{2}+3) = (x^{3}+3x^{2}+5)(x^{2}+3)$.
अतः,दूसरा बहुपद $x^{3}+3x^{2}+5$ है।

(A) बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, भाज्य $p(x)$ को इस सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है: $p(x) = (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}$।
दिया गया है:
भाजक $d(x) = x^{2}+4x+2$
भागफल $q(x) = x^{2}-4x+14$
शेषफल $r(x) = 9x-13$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$p(x) = (x^{2}+4x+2)(x^{2}-4x+14) + (9x-13)$
सबसे पहले, भाजक और भागफल का गुणा करने पर:
$(x^{2}+4x+2)(x^{2}-4x+14) = x^{2}(x^{2}-4x+14) + 4x(x^{2}-4x+14) + 2(x^{2}-4x+14)$
$= (x^{4}-4x^{3}+14x^{2}) + (4x^{3}-16x^{2}+56x) + (2x^{2}-8x+28)$
समान पदों को जोड़ने पर:
$= x^{4} + (-4x^{3}+4x^{3}) + (14x^{2}-16x^{2}+2x^{2}) + (56x-8x) + 28$
$= x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} + 48x + 28$
अब, शेषफल $r(x) = 9x-13$ को जोड़ने पर:
$p(x) = (x^{4}+48x+28) + (9x-13)$
$p(x) = x^{4} + (48x+9x) + (28-13)$
$p(x) = x^{4} + 57x + 15$.

(B) चूंकि $\sqrt{2}$ और $-\sqrt{2}$ बहुपद $p(x)$ के शून्यक हैं,इसलिए $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = x^{2} - 2$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
$p(x) = 2x^{4} + 7x^{3} - 19x^{2} - 14x + 30$ को $(x^{2} - 2)$ से भाग देने पर,हमें भागफल $2x^{2} + 7x - 15$ प्राप्त होता है।
अन्य शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $2x^{2} + 7x - 15 = 0$ को हल करते हैं।
$2x^{2} + 10x - 3x - 15 = 0$
$2x(x + 5) - 3(x + 5) = 0$
$(2x - 3)(x + 5) = 0$
अतः,$x = \frac{3}{2}$ और $x = -5$ अन्य शून्यक हैं।

(C) द्विघात बहुपद $p(x) = ax^{2} + bx + c$ के लिए,शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए बहुपद $p(x) = ax^{2} - 6x - 6$ में,गुणांक $A = a$,$B = -6$ और $C = -6$ हैं।
शून्यकों का गुणनफल $4$ दिया गया है।
इसलिए,$\frac{C}{A} = 4$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{-6}{a} = 4$ प्राप्त होता है।
$a$ के लिए हल करने पर: $4a = -6$,जिसका अर्थ है कि $a = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$ है।
अतः,$a$ का सही मान $-\frac{3}{2}$ है।

(D) द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ के लिए,शून्यकों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए बहुपद $p(x) = 3x^2 - 10x + 3$ में,$a = 3$,$b = -10$ और $c = 3$ है।
माना शून्यक $\alpha = \frac{1}{3}$ और $\beta$ दूसरा शून्यक है।
शून्यकों के गुणनफल के सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{3} \cdot \beta = \frac{3}{3} = 1$।
$\beta$ के लिए हल करने पर: $\beta = 1 \cdot 3 = 3$।
अतः,दूसरा शून्यक $3$ है।

(A) बहुपद $p(x) = \sqrt{3}x - 3$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$\sqrt{3}x - 3 = 0$
$\sqrt{3}x = 3$
$x = \frac{3}{\sqrt{3}}$
चूंकि $3 = \sqrt{3} \times \sqrt{3}$,इसलिए:
$x = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$x = \sqrt{3}$
अतः,बहुपद का शून्यक $\sqrt{3}$ है।

(B) $ax^{2}+bx+c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योगफल ज्ञात करने का सूत्र $-\frac{b}{a}$ है।
यहाँ,$a = 1$,$b = 7$ और $c = 12$ है।
अतः,शून्यकों का योगफल $= -\frac{7}{1} = -7$ होगा।

(C) $p(x) = x^2 - 9$ का ग्राफ $X$-अक्ष को कहाँ प्रतिच्छेद करता है,यह ज्ञात करने के लिए हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^2 - 9 = 0$
$(x - 3)(x + 3) = 0$
इससे हमें $x = 3$ और $x = -3$ प्राप्त होता है।
चूँकि यहाँ दो भिन्न वास्तविक शून्य हैं,इसलिए ग्राफ $X$-अक्ष को दो भिन्न बिंदुओं $(3, 0)$ और $(-3, 0)$ पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ के रूप वाले त्रिघात बहुपद के लिए,शून्यकों का गुणनफल $-\frac{d}{a}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए बहुपद $x^{3}+4x^{2}+x-6$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a=1$,$b=4$,$c=1$ और $d=-6$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
शून्यकों का गुणनफल $= -\frac{-6}{1} = 6$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ रूप के त्रिघात बहुपद के लिए,इसके शून्यकों का गुणनफल $-\frac{d}{a}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए बहुपद $kx^{3}-6x^{2}+11x-6$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a=k$,$b=-6$,$c=11$,और $d=-6$ प्राप्त होता है।
शून्यकों का गुणनफल $4$ दिया गया है।
अतः,$-\frac{-6}{k} = 4$.
$\frac{6}{k} = 4$.
$4k = 6$.
$k = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

(B) द्विघात बहुपद का मानक रूप $p(x) = ax^{2} + bx + c$ होता है।
यहाँ $a = 1$,$b = -2\sqrt{3}$ और $c = 2$ दिया गया है।
इन मानों को मानक रूप में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(x) = (1)x^{2} + (-2\sqrt{3})x + 2$
$p(x) = x^{2} - 2\sqrt{3}x + 2$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,$p(x) = x^{3} - 3x^{2} - x + 3$ और भाजक $(x - 1)$ है,इसलिए $a = 1$ है।
शेषफल ज्ञात करने के लिए,$p(1)$ का मान निकालें:
$p(1) = (1)^{3} - 3(1)^{2} - (1) + 3$
$p(1) = 1 - 3(1) - 1 + 3$
$p(1) = 1 - 3 - 1 + 3$
$p(1) = 0$.
अतः,शेषफल $0$ है।

(D) बहुपद $p(x) = x^{3} - 4x$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^{3} - 4x = 0$
व्यंजक से $x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$x(x^{2} - 4) = 0$
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करके,हम $x^{2} - 4$ को $(x - 2)(x + 2)$ के रूप में लिख सकते हैं:
$x(x - 2)(x + 2) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 0$,$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$,और $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$।
अतः,शून्यक $0, 2, -2$ हैं,जिन्हें $0, \pm 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) बहुपद का वर्गीकरण उसकी घात के आधार पर किया जाता है,जो व्यंजक में उपस्थित चर $x$ की उच्चतम घात होती है।
दिए गए बहुपद $p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ में,$x$ की उच्चतम घात $2$ है।
$2$ घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहा जाता है।
अतः,$p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ एक द्विघात बहुपद है।

(C) बहुपद का वर्गीकरण उसकी घात के आधार पर किया जाता है,जो व्यंजक में उपस्थित चर $x$ की उच्चतम घात होती है।
दिए गए बहुपद $P(x) = 4x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1$ में,$x$ की उच्चतम घात $3$ है।
$3$ घात वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहा जाता है।
अतः,$P(x)$ एक त्रिघात बहुपद है।

(A) $x = 1$ पर बहुपद $p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $1$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$p(1) = 3(1)^2 + 7(1) + 4$
$p(1) = 3(1) + 7 + 4$
$p(1) = 3 + 7 + 4$
$p(1) = 14$
अतः,$x = 1$ पर बहुपद का मान $14$ है।

(C) बहुपद $p(x) = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1$ का मान $x = 1$ पर ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $1$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$p(1) = 4(1)^3 + 3(1)^2 + 2(1) + 1$
$p(1) = 4(1) + 3(1) + 2 + 1$
$p(1) = 4 + 3 + 2 + 1 = 10$
अतः,$x = 1$ पर बहुपद का मान $10$ है।

(D) किसी बहुपद की घात उस बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
दिया गया बहुपद $p(x) = 3x - x^4 + x^2 + 2x^3 + 7$ है।
पदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर,हमें $p(x) = -x^4 + 2x^3 + x^2 + 3x + 7$ प्राप्त होता है।
यहाँ $x$ की घातें $4, 3, 2, 1$ और $0$ (अचर पद के लिए) हैं।
इनमें सबसे बड़ी घात $4$ है।
अतः,बहुपद की घात $4$ है।

(B) किसी बहुपद की घात उस बहुपद में चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित होती है।
दिया गया बहुपद $p(x) = x^2 - x^3 + x + 1$ है।
यहाँ चर $x$ की घातें $2, 3, 1$ और $0$ (अचर पद $1$ के लिए) हैं।
इनमें सबसे बड़ी घात $3$ है।
अतः,बहुपद $p(x)$ की घात $3$ है।

(D) दिया गया बहुपद $p(x) = 7 - 5x^4 - 2x^3 - x^2$ है।
पद $-5x^4$ में,चर भाग $x^4$ है और संख्यात्मक गुणांक $-5$ है।
अतः,रेखांकित पद $-5x^4$ का गुणांक $-5$ है।

(C) बहुपद $p(x) = 2x^{4} - 3x^{3} + 7x + 5$ का $x = -2$ पर मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $-2$ प्रतिस्थापित करेंगे:
$p(-2) = 2(-2)^{4} - 3(-2)^{3} + 7(-2) + 5$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$2(-2)^{4} = 2(16) = 32$
$-3(-2)^{3} = -3(-8) = 24$
$7(-2) = -14$
इन मानों को जोड़ने पर:
$p(-2) = 32 + 24 - 14 + 5 = 47$
अतः,$x = -2$ पर बहुपद का मान $47$ है।

(B) $p(-1)$ ज्ञात करने के लिए,दिए गए बहुपद $p(x) = 3x^3 + 2x^2 + 7x + 8$ में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर।
$p(-1) = 3(-1)^3 + 2(-1)^2 + 7(-1) + 8$
$p(-1) = 3(-1) + 2(1) - 7 + 8$
$p(-1) = -3 + 2 - 7 + 8$
$p(-1) = -1 + 1 = 0$
अतः,$p(-1)$ का मान $0$ है।

(D) दिया गया बहुपद $p(x) = x^{2} - 2x - 3$ है।
$p(3)$ का मान ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(3) = (3)^{2} - 2(3) - 3$
$p(3) = 9 - 6 - 3$
$p(3) = 3 - 3$
$p(3) = 0$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) बहुपद $p(x) = x^{3} - 3x^{2} + 9x - 27$ के गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम समूहन विधि (grouping method) का उपयोग कर सकते हैं।
चरण $1$: बहुपद के पदों का समूह बनाएं: $p(x) = (x^{3} - 3x^{2}) + (9x - 27)$।
चरण $2$: प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ (common) पदों को बाहर निकालें: $p(x) = x^{2}(x - 3) + 9(x - 3)$।
चरण $3$: उभयनिष्ठ द्विपद $(x - 3)$ को बाहर निकालें: $p(x) = (x - 3)(x^{2} + 9)$।
अतः,गुणनखंड $(x - 3)$ और $(x^{2} + 9)$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$(x - 3)$ एक गुणनखंड है।

(B) $p(x) = x^{3} + 2x^{2} + 3x + 2$ के गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।
यदि $(x + 1)$ एक गुणनखंड है,तो $p(-1) = 0$ होना चाहिए।
$p(-1) = (-1)^{3} + 2(-1)^{2} + 3(-1) + 2$
$p(-1) = -1 + 2(1) - 3 + 2$
$p(-1) = -1 + 2 - 3 + 2 = 0$
चूंकि $p(-1) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $(x + 1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(C) एक रैखिक बहुपद $p(x) = ax + b$ के रूप का होता है,जहाँ $a \neq 0$ और $a, b$ वास्तविक संख्याएँ हैं।
समीकरण $y = ax + b$ का आलेख कार्तीय तल में एक सरल रेखा को दर्शाता है।
इसलिए,रैखिक बहुपद का आलेख हमेशा एक सरल रेखा होता है।

(A) एक रैखिक बहुपद को $p(x) = ax + b$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $a \neq 0$ है।
$X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$ax + b = 0$
$ax = -b$
$x = -b/a$
चूँकि $a \neq 0$ है,इसलिए $x$ का केवल एक अद्वितीय मान प्राप्त होता है जिसके लिए $p(x) = 0$ होता है।
अतः,रैखिक बहुपद का आलेख $X$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है,जो $(-b/a, 0)$ है।

(D) वह बिंदु जहाँ बहुपद $p(x) = 3x - 6$ का ग्राफ $X$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है,उसे ज्ञात करने के लिए हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
बहुपद को शून्य के बराबर रखने पर: $3x - 6 = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $6$ जोड़ने पर: $3x = 6$ प्राप्त होता है।
$3$ से भाग देने पर: $x = 2$ प्राप्त होता है।
चूँकि यह बिंदु $X$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $0$ होगा।
अतः,ग्राफ $X$-अक्ष को $(2, 0)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।

(D) दी गई बहुपद $p(x) = x^{2} + 5x + 6$ है।
यह $ax^{2} + bx + c$ के रूप का एक द्विघात बहुपद है,जहाँ $a = 1$,$b = 5$,और $c = 6$ है।
किसी भी द्विघात बहुपद $p(x) = ax^{2} + bx + c$ (जहाँ $a \neq 0$) का आलेख हमेशा एक वक्र होता है जिसे परवलय (parabola) कहा जाता है।
चूँकि $x^{2}$ का गुणांक धनात्मक $(a = 1 > 0)$ है,इसलिए परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
अतः,$p(x) = x^{2} + 5x + 6$ का आलेख एक परवलय है।

(C) बहुपद $p(x) = 3x - 6$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
व्यंजक को शून्य के बराबर रखने पर: $3x - 6 = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $6$ जोड़ने पर: $3x = 6$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर: $x = 6 / 3 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,बहुपद का शून्यक $2$ है।

(D) बहुपद $p(x) = x^{2} + 4x + 3$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^{2} + 4x + 3 = 0$
मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण का गुणनखंड करते हैं:
$x^{2} + 3x + x + 3 = 0$
$x(x + 3) + 1(x + 3) = 0$
$(x + 3)(x + 1) = 0$
अतः,$x + 3 = 0$ या $x + 1 = 0$।
इससे हमें $x = -3$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,शून्यक $-1$ और $-3$ हैं।

(A) बहुपद $p(x) = 2 + x - x^{2}$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$2 + x - x^{2} = 0$
पदों को मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$-x^{2} + x + 2 = 0$
सरल बनाने के लिए $-1$ से गुणा करने पर:
$x^{2} - x - 2 = 0$
अब,मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण का गुणनखंड करें:
$x^{2} - 2x + x - 2 = 0$
$x(x - 2) + 1(x - 2) = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
अतः,शून्यक $-1$ और $2$ हैं।

(B) बहुपद $p(x) = x^{2} + 6x + 9$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^{2} + 6x + 9 = 0$
यह $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ के रूप का एक द्विघात व्यंजक है।
यहाँ,$a = x$ और $b = 3$ है,इसलिए $x^{2} + 2(x)(3) + 3^{2} = (x + 3)^{2}$ होगा।
अतः,$(x + 3)^{2} = 0$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $x + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x = -3$।

(A) बहुपद $p(x) = -x^2 + 2x - 1$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$-x^2 + 2x - 1 = 0$
समीकरण को सरल बनाने के लिए इसे $-1$ से गुणा करने पर:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
यह $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ के रूप का एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है,जहाँ $a = x$ और $b = 1$ है।
$(x - 1)^2 = 0$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
अतः,बहुपद का शून्यक $1$ है।

(A) द्विघात बहुपद $p(x) = 3x^2 + 5x - 8$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$3x^2 + 5x - 8 = 0$
मध्य पद को विभाजित करके हम इस द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करते हैं। हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $3 \times (-8) = -24$ हो और जिनका योग $5$ हो। ये संख्याएँ $8$ और $-3$ हैं।
$3x^2 - 3x + 8x - 8 = 0$
$3x(x - 1) + 8(x - 1) = 0$
$(3x + 8)(x - 1) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$3x + 8 = 0 \implies x = -\frac{8}{3}$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
अतः,शून्यक $-\frac{8}{3}$ और $1$ हैं।

(A) दी गई बहुपद $p(x) = ax^{2} + bx + c$ के रूप की एक द्विघात बहुपद है,जहाँ $a = 1$,$b = 6$ और $c = 8$ है।
चूँकि $x^{2}$ का गुणांक $a = 1$ है,जो $0$ से बड़ा है $(a > 0)$,इसलिए द्विघात बहुपद का ग्राफ ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) द्विघात बहुपद $p(x) = x^{2} - x - 2$ का ग्राफ $X$-अक्ष को कितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है,यह निर्धारित करने के लिए हमें समीकरण $p(x) = 0$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या ज्ञात करनी होगी।
$1$. बहुपद को शून्य के बराबर रखें: $x^{2} - x - 2 = 0$.
$2$. विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac$ की गणना करें,जहाँ $a = 1$,$b = -1$,और $c = -2$ है।
$3$. $D = (-1)^{2} - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$.
$4$. चूँकि $D > 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक शून्यक हैं।
$5$. अतः,बहुपद का ग्राफ $X$-अक्ष को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

(D) दी गई बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ के रूप में एक द्विघात बहुपद है,जहाँ $a = -1$,$b = 1$ और $c = 6$ है।
चूंकि बहुपद की घात $2$ है,इसलिए इसका ग्राफ एक परवलय (parabola) होता है।
एक द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ में,यदि $a > 0$ है,तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है और यदि $a < 0$ है,तो परवलय नीचे की ओर खुलता है।
यहाँ,$a = -1$ है,जो $0$ से छोटा है।
इसलिए,$p(x) = -x^2 + x + 6$ का ग्राफ नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है।

(C) $p(x) = x^{2} + 6x + 9$ का ग्राफ $X$-अक्ष को कैसे काटता है,यह निर्धारित करने के लिए हम $p(x) = 0$ रखकर बहुपद के शून्यक ज्ञात करते हैं।
$x^{2} + 6x + 9 = 0$
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है,जिसे $(x + 3)^{2} = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
अतः,$x = -3$ ही एकमात्र शून्यक (पुनरावृत्त शून्यक) है।
चूंकि यहाँ केवल एक ही वास्तविक शून्यक है,इसलिए द्विघात बहुपद द्वारा निरूपित परवलय $X$-अक्ष को केवल एक बिंदु $(-3, 0)$ पर स्पर्श करता है।

(A) बहुपद $p(x) = x^{2} - 9$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^{2} - 9 = 0$
$x^{2} = 9$
$x = \pm \sqrt{9}$
$x = 3$ या $x = -3$।
चूँकि $x$ के दो अलग-अलग मान प्राप्त होते हैं जिनके लिए बहुपद का मान शून्य होता है,इसलिए शून्यकों की संख्या $2$ है।

(C) बहुपद $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
दिए गए रैखिक बहुपद $p(x) = ax + b$ के लिए,हम $ax + b = 0$ रखते हैं।
दोनों पक्षों से $b$ घटाने पर,हमें $ax = -b$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $a$ से विभाजित करने पर (जहाँ $a \neq 0$),हमें $x = -\frac{b}{a}$ प्राप्त होता है।
अतः,बहुपद का शून्यक $-\frac{b}{a}$ है।

(D) $ax^{2} + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योग ज्ञात करने का सूत्र $-\frac{b}{a}$ है।
दिए गए बहुपद $p(x) = x^{2} + 3x + 2$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 1$,$b = 3$ और $c = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यकों का योग $= -\frac{b}{a} = -\frac{3}{1} = -3$ होगा।

(B) $p(x) = ax^{2} + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$p(x) = x^{2} + 5x + 6$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 1$,$b = 5$ और $c = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यकों का गुणनफल $= \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$ है।

(C) $ax^2 + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योग ज्ञात करने का सूत्र $-\frac{b}{a}$ है।
दिए गए बहुपद $p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ में,गुणांक $a = 3$,$b = 7$ और $c = 4$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
शून्यकों का योग = $-\frac{b}{a} = -\frac{7}{3}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) $ax^2 + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बहुपद $p(x) = 3x^2 + 7x + 4$ में,गुणांक $a = 3$,$b = 7$ और $c = 4$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
शून्यकों का गुणनफल = $\frac{c}{a} = \frac{4}{3}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।