MHT CET 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया है,नत समतल की ऊँचाई $h = 7 \ m$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ठोस गोले द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा,प्राप्त कुल गतिज ऊर्जा (स्थानांतरीय + घूर्णन) के बराबर होती है।
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ और बिना फिसले लुढ़कने की शर्त $\omega = \frac{v}{R}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}mR^2\right) \left(\frac{v}{R}\right)^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2$
$mgh = \frac{7}{10}mv^2$
$v^2 = \frac{10}{7}gh$
$v = \sqrt{\frac{10}{7} \times 10 \times 7} = \sqrt{100} = 10 \ m/s$.

(A) प्रारंभिक रैखिक वेग $= v$
प्रारंभिक त्रिज्या $= r$
कोणीय संवेग $L = mvr$
जब डोरी की लंबाई आधी कर दी जाती है,तो नई त्रिज्या $r' = \frac{r}{2}$ हो जाती है।
चूंकि कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है:
$mvr = mv'r'$
$mvr = mv' \left(\frac{r}{2}\right)$
$v = \frac{v'}{2}$
$v' = 2v$
अतः,नया रैखिक वेग $2v$ होगा।

(A) दिया गया संबंध $v = r \omega$ है।
घूर्णन करते हुए एक दृढ़ पिंड में,सभी कण घूर्णन अक्ष के परितः समान कोणीय वेग $\omega$ से घूमते हैं।
यद्यपि किसी कण का रैखिक वेग $v$ अक्ष से उसकी दूरी $r$ पर निर्भर करता है ($v = r \omega$ के अनुसार),कोणीय वेग $\omega$ पूरे दृढ़ पिंड के घूर्णन का एक गुण है।
इसलिए,पिंड के सभी कणों के लिए $\omega$ स्थिर रहता है,चाहे अक्ष से उनकी दूरी $r$ कुछ भी हो।
अतः,$\omega$,$r$ पर निर्भर नहीं करता है।

(B) मान लीजिए कि द्रव्यमान $L$ भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों $A, B,$ और $C$ पर स्थित हैं। मान लीजिए $O$ त्रिभुज का केंद्रक है।
किसी भी शीर्ष से केंद्रक $O$ तक की दूरी $R = \frac{L}{\sqrt{3}}$ है।
$O$ से गुजरने वाली और त्रिभुज के तल के लंबवत अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण है:
$I = 3 \times (m R^2) = 3 \times m \times \left(\frac{L}{\sqrt{3}}\right)^2 = 3 \times m \times \frac{L^2}{3} = m L^2$.
निकाय के घूमने के लिए,द्रव्यमानों के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
अन्य दो द्रव्यमानों के कारण एक द्रव्यमान पर गुरुत्वाकर्षण बल $F_{net} = 2 \times \left(\frac{G m^2}{L^2}\right) \cos 30^{\circ} = 2 \times \frac{G m^2}{L^2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} G m^2}{L^2}$ है।
यह बल अभिकेंद्री बल के रूप में कार्य करता है: $F_{net} = m \omega^2 R$.
$\frac{\sqrt{3} G m^2}{L^2} = m \omega^2 \left(\frac{L}{\sqrt{3}}\right)$.
$\omega^2 = \frac{\sqrt{3} G m}{L^2} \times \frac{\sqrt{3}}{L} = \frac{3 G m}{L^3}$.
चूंकि $T = \frac{2 \pi}{\omega}$,इसलिए $T^2 = \frac{4 \pi^2}{\omega^2} = \frac{4 \pi^2 L^3}{3 G m}$.
अतः,$T^2 \propto L^3$,जिसका अर्थ है कि $T \propto L^{3/2}$.

(C) बल-युग्म का आघूर्ण,बलों में से एक के परिमाण और दोनों बलों की क्रिया रेखाओं के बीच की लंबवत दूरी के गुणनफल के बराबर होता है।
माना छड़ और बल की दिशा के बीच का कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
$l$ लंबाई की छड़ के सिरों पर कार्य करने वाले दो समानांतर बलों $F$ के बीच की लंबवत दूरी $d = l \sin \theta$ है।
बल-युग्म का आघूर्ण $\tau$ इस प्रकार है:
$\tau = F \times d = F \times l \sin 30^{\circ}$
दिया है $\sin 30^{\circ} = 0.5 = \frac{1}{2}$।
मान रखने पर:
$\tau = F \times l \times \frac{1}{2}$
$\tau = \frac{F l}{2}$
$F$ के लिए हल करने पर:
$F = \frac{2 \tau}{l}$

(A) चूंकि धुरी $C$ के परितः कोई बाहरी टॉर्क नहीं है,इसलिए निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = (2m)(v)(L) + (m)(2v)(2L) = 2mvL + 4mvL = 6mvL$.
अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_f = I_{\text{rod}} + I_{2m} + I_{m} = \frac{(8m)(6L)^2}{12} + (2m)(L)^2 + (m)(2L)^2$.
$I_f = \frac{8m \cdot 36L^2}{12} + 2mL^2 + 4mL^2 = 24mL^2 + 2mL^2 + 4mL^2 = 30mL^2$.
$L_i = I_f \omega$ का उपयोग करने पर:
$6mvL = (30mL^2) \omega$.
$\omega = \frac{6mvL}{30mL^2} = \frac{v}{5L}$.

(C) दिया गया है,अधिकतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_m = 289.8 \ nm = 289.8 \times 10^{-9} \ m = 2.898 \times 10^{-7} \ m$.
स्टीफन नियतांक $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W \ m^{-2} \ K^{-4}$.
वीन नियतांक $b = 2898 \ \mu m \ K = 2898 \times 10^{-6} \ m \ K$.
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m = \frac{b}{T}$,इसलिए $T = \frac{b}{\lambda_m}$.
मान रखने पर,$T = \frac{2898 \times 10^{-6}}{289.8 \times 10^{-9}} = 10^4 \ K$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,विकिरण की तीव्रता $I = \sigma T^4$ (तारे को कृष्णिका मानते हुए,$e=1$).
मान रखने पर,$I = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^4)^4 = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{16} = 5.67 \times 10^8 \ W \ m^{-2}$.

(D) लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
अवकलन करने पर,आवर्तकाल में परिवर्तन $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dL}{L}$ होता है।
चूंकि $\frac{dL}{L} = \alpha \Delta \theta$,इसलिए $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$T = 0.5 \ s$,$\alpha = 9 \times 10^{-7} /^{\circ}C$,और $\Delta \theta = 30^{\circ}C - 20^{\circ}C = 10^{\circ}C$ है।
मान रखने पर: $dT = T \times \frac{1}{2} \times \alpha \times \Delta \theta$.
$dT = 0.5 \times \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-7}) \times 10$.
$dT = 0.25 \times 9 \times 10^{-6} = 2.25 \times 10^{-6} \ s$.

(C) रेफ्रिजरेटर का निष्पादन गुणांक $\alpha$,ठंडे जलाशय से निकाली गई ऊष्मा $(Q_2)$ और निकाय पर किए गए कार्य $(W)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है: $\alpha = \frac{Q_2}{W}$.
चूंकि $W = Q_1 - Q_2$,जहाँ $Q_1$ गर्म जलाशय को दी गई ऊष्मा है,इसलिए $\alpha = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $\alpha(Q_1 - Q_2) = Q_2$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $\alpha Q_1 - \alpha Q_2 = Q_2$.
$Q_2$ के लिए हल करने पर: $\alpha Q_1 = Q_2 + \alpha Q_2 = Q_2(1 + \alpha)$.
अतः,$Q_2 = \frac{\alpha Q_1}{1 + \alpha}$.

(A) आघूर्ण (टॉर्क) की विमा $[M^1 L^2 T^{-2}]$ है।
टॉर्क को बल और घूर्णन अक्ष से लंबवत दूरी के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $\tau = F \times r$ द्वारा दर्शाया जाता है।
बल $(F)$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}]$ है।
दूरी $(r)$ का विमीय सूत्र $[L^1]$ है।
अतः,टॉर्क $(\tau)$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}] \times [L^1] = [M^1 L^2 T^{-2}]$ है।

(D) स्टीफन के नियम के अनुसार,किसी पिंड द्वारा प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में उत्सर्जित ऊर्जा उसके परम ताप की चौथी घात के समानुपाती होती है।
$E = \sigma T^4$
जहाँ $E$ प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में उत्सर्जित ऊर्जा है,$T$ केल्विन में परम ताप है,और $\sigma$ स्टीफन नियतांक है।
$\sigma$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sigma = \frac{E}{T^4}$.
$E$ का मात्रक $\frac{J}{m^2 s}$ है।
इसलिए,$\sigma$ का मात्रक $\frac{J}{m^2 s K^4}$ है।
ऊर्जा की विमा $[M L^2 T^{-2}]$,क्षेत्रफल की $[L^2]$,समय की $[T]$ और तापमान की $[K]$ है।
$\sigma = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L^2] [T] [K^4]} = [M^1 L^0 T^{-3} K^{-4}]$.

(A) बल की विमा $[F] = [M L T^{-2}]$ है।
घनत्व की विमा $[d] = [M L^{-3} T^0]$ है।
दिए गए संबंध $F = \frac{y}{\sqrt{d}}$ से,हम लिख सकते हैं $y = F \sqrt{d}$।
$F$ और $d$ की विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[y] = [M L T^{-2}] \times [M L^{-3}]^{1/2}$
$[y] = [M L T^{-2}] \times [M^{1/2} L^{-3/2}]$
$[y] = [M^{1 + 1/2} L^{1 - 3/2} T^{-2}]$
$[y] = [M^{3/2} L^{-1/2} T^{-2}]$.

(B) गाइरोमैग्नेटिक अनुपात $(\gamma)$ को चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(M)$ और कोणीय संवेग $(L)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\gamma = \frac{M}{L}$
चूंकि चुंबकीय आघूर्ण $M = I \cdot A$ (जहाँ $I$ धारा है और $A$ क्षेत्रफल है),इसकी विमाएँ $[I^1 L^2]$ हैं।
चूंकि कोणीय संवेग $L = mvr$ है,इसकी विमाएँ $[M^1 L^2 T^{-1}]$ हैं।
अतः,गाइरोमैग्नेटिक अनुपात की विमाएँ हैं:
$\text{Dimension} = \frac{[I^1 L^2]}{[M^1 L^2 T^{-1}]} = [M^{-1} L^0 T^1 I^1]$।

(A) टॉर्क का विमीय सूत्र $\tau = r \times F$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल $F$ की विमाएँ $[M^1L^1T^{-2}]$ हैं और दूरी $r$ की विमाएँ $[L^1]$ हैं,इसलिए टॉर्क की विमाएँ $[M^1L^1T^{-2}] \times [L^1] = [M^1L^2T^{-2}]$ होती हैं।
बल आघूर्ण (moment of force) को बल और घूर्णन अक्ष से लंबवत दूरी के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो टॉर्क की परिभाषा के समान ही है।
इसलिए,बल आघूर्ण की विमाएँ भी $[M^1L^2T^{-2}]$ होती हैं।
अतः,टॉर्क की विमाएँ बल आघूर्ण की विमाओं के समान होती हैं।

(B) अवमंदित $SHM$ में,अवमंदन बल $F_d$ दोलक के वेग $v$ के समानुपाती होता है,जिसे $F_d = -bv$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $b$ अवमंदन नियतांक है।
इसलिए,अवमंदन नियतांक $b = \frac{F_d}{v}$ है।
बल $F_d$ का $SI$ मात्रक $Newton$ $(N)$ या $kg \cdot m/s^2$ है।
वेग $v$ का $SI$ मात्रक $m/s$ है।
अतः,अवमंदन नियतांक $b$ का $SI$ मात्रक $\frac{kg \cdot m/s^2}{m/s} = kg/s$ होगा।
इसलिए,अवमंदन नियतांक का $SI$ मात्रक $kg/s$ है।

(C) $SHM$ निष्पादित कर रहे एक कण के लिए,विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi)$ है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = -A \omega^2 \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 x$ है।
हम जानते हैं कि कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ है।
अब,विकल्प $(c)$ में दिए गए व्यंजक का विमीय विश्लेषण करते हैं:
$\frac{a T}{v}$ की विमा $= \frac{[L T^{-2}] [T]}{[L T^{-1}]} = \frac{[L T^{-1}]}{[L T^{-1}]} = [M^0 L^0 T^0]$.
यह व्यंजक विमाहीन है और $SHM$ की विशेषता दर्शाने वाला एक स्थिरांक है,इसलिए यह समय के साथ नहीं बदलता है।

(C) प्लांक नियतांक $h$ की विमाएँ $[h] = [M L^2 T^{-1}]$ होती हैं।
जड़त्व आघूर्ण $I$ की विमाएँ $[I] = [M L^2]$ होती हैं।
प्लांक नियतांक और जड़त्व आघूर्ण की विमाओं का अनुपात लेने पर:
$\frac{[h]}{[I]} = \frac{[M L^2 T^{-1}]}{[M L^2]} = [T^{-1}]$.
विमा $[T^{-1}]$ आवृत्ति की विमा को दर्शाती है।

(C) पृथ्वी का व्यास $(D_e)$ = $2 \times 6371 \ km = 12742 \ km = 1.2742 \times 10^4 \ km$.
पृथ्वी के व्यास की कोटि $10^4$ है।
कक्षा का व्यास $(D_o)$ = $2 \times 149 \times 10^6 \ km = 298 \times 10^6 \ km = 2.98 \times 10^8 \ km$.
कक्षा के व्यास की कोटि $10^8$ है।
कोटि में अंतर $8 - 4 = 4$ है।
अतः,कक्षा के व्यास की कोटि पृथ्वी के व्यास की कोटि से $10^4$ अधिक है।

(B) $SHM$ तरंग का दिया गया समीकरण $y = 0.03 \sin \pi (2 t - 0.01 x) \ m$ है।
इसे विस्तारित करने पर,हमें $y = 0.03 \sin (2 \pi t - 0.01 \pi x) \ m$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना सामान्य तरंग समीकरण $y = a \sin (\omega t - k x)$ से करने पर,हम तरंग संख्या $k = 0.01 \pi \ rad/m$ प्राप्त करते हैं।
$\Delta x$ दूरी पर स्थित दो कणों के बीच कलांतर $\Delta \phi = k \Delta x$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\Delta x = 25 \ m$ और $k = 0.01 \pi \ rad/m$ दिया गया है,इसलिए मान रखने पर:
$\Delta \phi = (0.01 \pi) \times 25 = 0.25 \pi = \frac{\pi}{4} \ rad$।
अतः,कलांतर $\frac{\pi}{4} \ rad$ है।

(B) एक खींचे हुए तार द्वारा उत्पन्न आवृत्ति $f = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$p$ लूपों की संख्या है,$l$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $m$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
चूंकि एक ही तार के लिए $T$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए हमारे पास $f \propto \frac{1}{l}$ है।
आवृत्तियों का अनुपात $f_1 : f_2 : f_3 = 2 : 3 : 4$ दिया गया है,इसलिए लंबाई का अनुपात $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ होगा।
लघुत्तम समापवर्त्य $(12)$ से गुणा करने पर,हमें $l_1 : l_2 : l_3 = 6 : 4 : 3$ प्राप्त होता है।
अनुपात के भागों का योग $6 + 4 + 3 = 13$ है।
कुल लंबाई $L = 260 \ cm$ दी गई है,इसलिए व्यक्तिगत लंबाई इस प्रकार है:
$l_1 = \frac{6}{13} \times 260 = 120 \ cm$
$l_2 = \frac{4}{13} \times 260 = 80 \ cm$
$l_3 = \frac{3}{13} \times 260 = 60 \ cm$.

(A) दोनों सिरों पर बंधी एक तनी हुई डोरी के लिए,लंबाई $l$ का सूत्र $l = \frac{p \lambda}{2}$ है,जहाँ $p$ लूप्स की संख्या है।
दोनों सिरों पर बंधी डोरी पर अप्रगामी तरंगों में,लूप्स की संख्या $p$ प्रस्पंदों (anti-nodes) की संख्या के बराबर होती है।
निस्पंदों $m$ और प्रस्पंदों $p$ के बीच संबंध $m = p + 1$ होता है।
इसलिए,लूप्स की संख्या $p = m - 1$ होगी।
$p$ का यह मान लंबाई के सूत्र में रखने पर,हमें $l = \frac{(m-1) \lambda}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) बीट्स ध्वनि की तीव्रता में होने वाले आवधिक परिवर्तन हैं जो तब सुनाई देते हैं जब थोड़ी अलग आवृत्तियों और तुलनीय आयामों वाली दो ध्वनि तरंगें एक-दूसरे के साथ व्यतिकरण (interference) करती हैं।
स्पष्ट बीट्स के निर्माण के लिए,दो ध्वनि स्रोतों की आवृत्तियाँ लगभग समान होनी चाहिए ताकि बीट आवृत्ति $(f_{beat} = |f_1 - f_2|)$ इतनी कम हो कि मानव कान उसे महसूस कर सके।
इसके अतिरिक्त,उनके आयाम लगभग समान होने चाहिए ताकि व्यतिकरण के परिणामस्वरूप तीव्रता के अधिकतम और न्यूनतम मान स्पष्ट रूप से सुनाई दें।

(C) $L$ लंबाई वाली खुली ऑर्गन पाइप के लिए,$P^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_{\text{open}} = (P+1) \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है।
समान लंबाई $L$ वाली बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$P^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_{\text{closed}} = (2P+1) \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
खुली पाइप के $P^{\text{th}}$ ओवरटोन और बंद पाइप के $P^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्तियों का अनुपात लेने पर:
अनुपात $= \frac{(P+1) \frac{v}{2L}}{(2P+1) \frac{v}{4L}}$.
अनुपात $= \frac{P+1}{2L} \times \frac{4L}{2P+1} = \frac{2(P+1)}{2P+1}$.

(D) $l$ लंबाई की बंद पाइप के लिए,मूलभूत आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
ध्वनि तरंग द्वारा पाइप की लंबाई $l$ तय करने में लिया गया समय $t = \frac{l}{v}$ है,जिसका अर्थ है $v = \frac{l}{t}$।
आवृत्ति के सूत्र में $v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$f_0 = \frac{l/t}{4l} = \frac{1}{4t}$।
अतः,कंपन की आवृत्ति $(4t)^{-1}$ है।

(D) एक खुले पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $l$ पाइप की लंबाई है।
दो पाइपों के लिए,हमारे पास $l_1 = \frac{v}{2n_1}$ और $l_2 = \frac{v}{2n_2}$ है।
जब दोनों पाइपों को जोड़ा जाता है,तो नई लंबाई $L = l_1 + l_2$ हो जाती है।
नई मूल आवृत्ति $n'$ का मान $n' = \frac{v}{2L} = \frac{v}{2(l_1 + l_2)}$ है।
$l_1$ और $l_2$ के मान रखने पर:
$n' = \frac{v}{2(\frac{v}{2n_1} + \frac{v}{2n_2})} = \frac{v}{\frac{v}{n_1} + \frac{v}{n_2}} = \frac{1}{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} = \frac{n_1 n_2}{n_1 + n_2}$.

(A) दिया गया समीकरण $Y = 0.04 \cos(\pi x) \sin(50 \pi t)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करके,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$Y = 0.02 \sin(50 \pi t + \pi x) + 0.02 \sin(50 \pi t - \pi x)$.
इसे मानक तरंग समीकरण $y = a \sin(\omega t \pm kx)$ के साथ तुलना करने पर:
$1$. आयाम $a = 0.02 \text{ m}$.
$2$. कोणीय आवृत्ति $\omega = 50 \pi \text{ rad/s}$.
$3$. तरंग संख्या $k = \pi \text{ m}^{-1}$.
अब,मापदंडों की गणना करने पर:
- आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{50 \pi} = 0.04 \text{ s}$.
- तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{\pi} = 2 \text{ m}$.
- वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{50 \pi}{\pi} = 50 \text{ m/s}$.
इन परिणामों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $A$ (आवर्तकाल $= 0.02 \text{ s}$) में दिया गया कथन गलत है,क्योंकि गणना किया गया आवर्तकाल $0.04 \text{ s}$ है।

(C) अनुप्रस्थ तरंग का सामान्य समीकरण $Y = A \sin(kx + \omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $Y = 0.05 \sin(x + 15t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 15 \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = 1 \ m^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग की चाल $v = \frac{\omega}{k} = \frac{15}{1} = 15 \ m/s$ है।
डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
यहाँ $\mu = 10^{-3} \ kg/m$ दिया गया है,इसलिए $15 = \sqrt{\frac{T}{10^{-3}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$225 = \frac{T}{10^{-3}}$.
अतः,$T = 225 \times 10^{-3} \ N = 0.225 \ N$.

(D) सोनोमीटर के तार की कंपन आवृत्ति $v$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{m}}$
जहाँ $T$ तनाव (भार $w$) है और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
प्रथम स्थिति के लिए,आवृत्ति:
$v = \frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{w}{m}} \quad (i)$
दूसरी स्थिति के लिए,भार को घटाकर $\frac{w}{4}$ कर दिया जाता है और लंबाई $L_2$ हो जाती है:
$v = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{w/4}{m}} = \frac{1}{2L_2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{w}{m}} = \frac{1}{4L_2} \sqrt{\frac{w}{m}} \quad (ii)$
चूंकि ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $v$ समान रहती है,इसलिए समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{w}{m}} = \frac{1}{4L_2} \sqrt{\frac{w}{m}}$
$\frac{1}{2L_1} = \frac{1}{4L_2}$
$4L_2 = 2L_1$
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{4}{2} = 2$
अतः,अनुपात $\frac{L_1}{L_2}$ का मान $2:1$ है।

(C) एक तने हुए तार की मूल आवृत्ति का सूत्र $v = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ होता है।
चूंकि $l$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए $v \propto \sqrt{T}$ है।
माना प्रारंभिक आवृत्ति $v$ है और प्रारंभिक तनाव $T$ है।
जब तनाव $69 \%$ बढ़ाया जाता है,तो नया तनाव $T' = T + 0.69T = 1.69T$ हो जाता है।
नई आवृत्ति $v' = v + 9$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{v'}{v} = \sqrt{\frac{T'}{T}} = \sqrt{\frac{1.69T}{T}} = \sqrt{1.69} = 1.3$।
अतः,$v + 9 = 1.3v$।
$0.3v = 9$।
$v = \frac{9}{0.3} = 30 \ Hz$।

(D) माध्यम '$Y$' के सापेक्ष माध्यम '$x$' का अपवर्तनांक इस प्रकार दिया जाता है: $n_{xy} = \frac{1}{\sin \theta}$.
साथ ही,अपवर्तनांक की परिभाषा के अनुसार: $n_{xy} = \frac{V_{Y}}{V_{x}}$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{V_{Y}}{V_{x}} = \frac{1}{\sin \theta}$.
अतः,माध्यम '$Y$' में प्रकाश की चाल: $V_{Y} = \frac{V_{x}}{\sin \theta}$ होगी।

(D) किसी माध्यम का अपवर्तनांक उस माध्यम में प्रकाश की गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे $\mu = \frac{c}{v}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
जब प्रकाश तेल (माध्यम $1$) से क्रिस्टल (माध्यम $2$) में यात्रा करता है,तो गति का अनुपात उनके अपवर्तनांक के व्युत्क्रम अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$\frac{v_{crystal}}{v_{oil}} = \frac{\mu_{oil}}{\mu_{crystal}}$
यहाँ $\mu_{crystal} = 1.68$ और $\mu_{oil} = 1.2$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\frac{v_{crystal}}{v_{oil}} = \frac{1.2}{1.68} = \frac{120}{168} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$.
अतः,वेग $\frac{5}{7}$ के कारक से बदल जाएगा।

(A) जब प्रकाश निर्वात से कांच में प्रवेश करता है,तो उसकी तरंगदैर्ध्य घट जाती है। इसका कारण यह है कि कांच में प्रकाश की गति निर्वात की तुलना में कम होती है। जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है तो उसकी आवृत्ति स्थिर रहती है। संबंध $v = f \lambda$ से,जहाँ $v$ गति है,$f$ आवृत्ति है,और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,हमारे पास $\lambda = \frac{v}{f}$ है। चूंकि निर्वात की तुलना में कांच में गति $v$ कम हो जाती है और आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ घट जाती है।

(B) एक पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta$ का सूत्र है: $\delta = (n - 1)A$,जहाँ $n$ प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म का अपवर्तक कोण है।
दिया गया है:
अपवर्तक कोण $A = 3^{\circ}$
विचलन कोण $\delta = 1^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$1^{\circ} = (n - 1) \cdot 3^{\circ}$
$n - 1 = \frac{1}{3}$
$n = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
$n = 1.33$
अतः,पानी का अपवर्तनांक $1.33$ है।

(B) $LED$ (लाइट एमिटिंग डायोड) एक $p-n$ जंक्शन डायोड है जो फॉरवर्ड बायस में होने पर प्रकाश उत्सर्जित करता है।
इसलिए,इसके $V-I$ अभिलक्षण फॉरवर्ड बायस क्षेत्र में कार्य करने वाले एक मानक $p-n$ जंक्शन डायोड के समान होते हैं।
फॉरवर्ड बायस क्षेत्र में,थ्रेशोल्ड वोल्टेज (नी वोल्टेज) तक पहुँचने के बाद लागू वोल्टेज के साथ धारा घातीय (exponentially) रूप से बढ़ती है।
ग्राफ $(b)$ पहले चतुर्थांश में वोल्टेज के साथ धारा में इस घातीय वृद्धि को दर्शाता है,जो फॉरवर्ड बायस में $LED$ का विशिष्ट व्यवहार है।
ग्राफ $(a)$ फॉरवर्ड और रिवर्स बायस दोनों को दिखाता है,जो एक सामान्य डायोड के लिए है।
ग्राफ $(c)$ सौर सेल (solar cell) के अभिलक्षणों को दर्शाता है।
ग्राफ $(d)$ फोटोडायोड के अभिलक्षणों को दर्शाता है।

(B) $p-n$ जंक्शन डायोड में,जब इसे रिवर्स बायस किया जाता है,तो लगाया गया वोल्टेज बैरियर विभव (barrier potential) का समर्थन करता है,जिससे अवक्षय परत की चौड़ाई बढ़ जाती है।
फॉरवर्ड बायसिंग में,अवक्षय परत की चौड़ाई कम हो जाती है क्योंकि फॉरवर्ड वोल्टेज विभव प्राचीर (potential barrier) का विरोध करता है।
इसके अतिरिक्त,भारी डोपिंग के साथ अवक्षय परत की चौड़ाई कम हो जाती है क्योंकि आवेश वाहकों (charge carriers) की बढ़ी हुई सांद्रता के कारण स्पेस चार्ज क्षेत्र संकरा हो जाता है।

(C) डायोड फॉरवर्ड बायस में जुड़ा है क्योंकि $p$-सिरा $+3 \text{ V}$ पर है और $n$-सिरा $+1 \text{ V}$ पर है।
चूंकि डायोड आदर्श है, फॉरवर्ड बायस में इसका प्रतिरोध शून्य है।
प्रतिरोध $R = 100 \ \Omega$ के सिरों पर विभवांतर $V = 3 \text{ V} - 1 \text{ V} = 2 \text{ V}$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{2 \text{ V}}{100 \ \Omega} = 0.02 \text{ A}$ है।
मिलीएम्पीयर में बदलने पर, $I = 0.02 \times 1000 \text{ mA} = 20 \text{ mA}$ प्राप्त होता है।

(C) एक ट्रांजिस्टर में,एमिटर क्षेत्र भारी रूप से डोप्ड होता है क्योंकि इसका प्राथमिक कार्य बेस में बड़ी संख्या में चार्ज वाहकों को इंजेक्ट करना है।
बेस क्षेत्र बहुत हल्के रूप से डोप्ड होता है और इसे पतला रखा जाता है ताकि चार्ज वाहकों का पुनर्संयोजन (recombination) कम से कम हो,जिससे उनमें से अधिकांश कलेक्टर तक पहुँच सकें।
कलेक्टर क्षेत्र एमिटर और बेस की तुलना में मध्यम रूप से डोप्ड होता है।
इसलिए,एमिटर भारी रूप से डोप्ड है और बेस हल्के रूप से डोप्ड है।

(B) कलेक्टर धारा $(I_C)$ और उत्सर्जक धारा $(I_E)$ के अनुपात को कॉमन-बेस करंट एम्प्लीफिकेशन फैक्टर कहा जाता है,जिसे $\alpha$ द्वारा दर्शाया जाता है। दिया गया है: $\alpha = \frac{I_C}{I_E} = 0.98$।
कलेक्टर धारा $(I_C)$ और आधार धारा $(I_B)$ के अनुपात को कॉमन-एमिटर करंट एम्प्लीफिकेशन फैक्टर कहा जाता है,जिसे $\beta$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$\alpha$ और $\beta$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: $\beta = \frac{0.98}{1 - 0.98} = \frac{0.98}{0.02} = 49$।
अतः,कलेक्टर धारा और आधार धारा का अनुपात $49$ होगा।

(B) कॉमन-एमिटर ट्रांजिस्टर कॉन्फ़िगरेशन के लिए धारा लाभ $\beta_{dc}$ को संग्राहक धारा $(i_c)$ और आधार धारा $(i_b)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\beta_{dc} = \frac{i_c}{i_b} = \frac{\text{संग्राहक धारा}}{\text{आधार धारा}}$।

(A) विद्युत ध्रुवीकरण $(P)$ को प्रति इकाई आयतन द्विध्रुव आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$P = \frac{p}{V} = \frac{q \cdot d}{A \cdot d} = \frac{q}{A}$
जहाँ $q$ आवेश है और $A$ क्षेत्रफल है।
आवेश $q$ का विमीय सूत्र $[I^1 T^1]$ है।
क्षेत्रफल $A$ का विमीय सूत्र $[L^2]$ है।
इसलिए,$P$ के लिए विमीय सूत्र है:
$[P] = \frac{[I^1 T^1]}{[L^2]} = [M^0 L^{-2} T^1 I^1]$।

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ को प्रति इकाई आवेश बल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $E = \frac{F}{q}$.
बल की विमा $[F] = [M L T^{-2}]$ और आवेश की विमा $[q] = [A T]$ है।
अतः,विद्युत क्षेत्र की विमा $[E] = \frac{[M L T^{-2}]}{[A T]} = [M L T^{-3} A^{-1}]$ है।
विद्युत क्षेत्र में द्रव्यमान की घात $1$ है।
विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $p$ को आवेश और दूरी के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $p = q \times d$.
आवेश की विमा $[q] = [A T]$ और दूरी की विमा $[d] = [L]$ है।
अतः,विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण की विमा $[p] = [A T L] = [M^0 L^1 T^1 A^1]$ है।
विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण में द्रव्यमान की घात $0$ है।
इस प्रकार,द्रव्यमान की घातें क्रमशः $1$ और $0$ हैं।

(C) किसी कुंडली का स्वप्रेरकत्व या अन्योन्य प्रेरकत्व प्रति इकाई धारा फ्लक्स परिवर्तन द्वारा परिभाषित होता है,जो इस संबंध द्वारा दिया जाता है:
$L \text{ या } M = \frac{\phi}{I}$
जहाँ $\phi$ चुंबकीय फ्लक्स है और $I$ विद्युत धारा है।
चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-2} I^{-1}]$ है।
विद्युत धारा $I$ का विमीय सूत्र $[I^1]$ है।
अतः,प्रेरकत्व की विमा होगी:
$[L] = \frac{[\phi]}{[I]} = \frac{[M L^2 T^{-2} I^{-1}]}{[I^1]} = [M L^2 T^{-2} I^{-2}]$

(C) एकल-स्लिट विवर्तन प्रतिरूप में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,स्लिट की चौड़ाई $a$,केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $w$ के बराबर है।
इसलिए,हम $a = \frac{2 \lambda D}{a}$ लिख सकते हैं।
$D$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $a^2 = 2 \lambda D$.
अतः,$D = \frac{a^2}{2 \lambda}$.

(D) पर्वत के पीछे सूर्योदय होने से ठीक पहले पर्वत की रूपरेखा के चारों ओर दिखाई देने वाली चमकदार सीमा प्रकाश के विवर्तन के कारण होती है। विवर्तन किसी अवरोध या छिद्र के किनारों पर प्रकाश के मुड़ने की घटना है। जब सूर्य क्षितिज से थोड़ा नीचे होता है,तो प्रकाश की किरणें पर्वत के किनारों के पास से गुजरती हैं। ये किरणें विवर्तन के कारण किनारों पर मुड़ जाती हैं,जिससे पर्वत की रूपरेखा चमकदार दिखाई देती है।

(C) व्यतिकरण की घटना में,माध्यम में ऊर्जा का पुनर्वितरण होता है।
संपोषी व्यतिकरण के बिंदुओं पर तीव्रता (और इसलिए ऊर्जा) अधिकतम होती है,जबकि विनाशी व्यतिकरण के बिंदुओं पर तीव्रता न्यूनतम होती है।
चूंकि माध्यम में कुल ऊर्जा स्थिर रहती है,इसलिए व्यतिकरण की घटना ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n$-वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति इस प्रकार दी जाती है:
$x_n = \frac{D}{d} (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{2 x_n d}{D(2n - 1)} \quad \dots (i)$
दिया गया है कि पाँचवीं अदीप्त फ्रिंज $(n=5)$ एक स्लिट के सामने बनती है,इसलिए इस फ्रिंज की केंद्रीय अक्ष से दूरी स्लिटों के बीच की दूरी की आधी होगी:
$x_5 = \frac{d}{2} \implies 2x_5 = d$
समीकरण $(i)$ में $n=5$ और $2x_5 = d$ रखने पर:
$\lambda = \frac{(2x_5) d}{D(2 \times 5 - 1)}$
$\lambda = \frac{d \cdot d}{D(10 - 1)}$
$\lambda = \frac{d^2}{9D}$

(D) फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $D = 1.2 \ m$ स्रोत और ऐपिस के बीच की दूरी है और $d = 0.84 \ mm = 0.84 \times 10^{-3} \ m$ आभासी स्रोतों के बीच की दूरी है।
जब ऐपिस को $y = 2.799 \ cm = 2.799 \times 10^{-2} \ m$ की दूरी तक अनुप्रस्थ रूप से स्थानांतरित किया जाता है,तो स्थानांतरित फ्रिंजों की संख्या $n = 30$ है।
संबंध $y = n \beta = n \frac{\lambda D}{d}$ है।
मान रखने पर: $2.799 \times 10^{-2} = 30 \times \frac{\lambda \times 1.2}{0.84 \times 10^{-3}}$.
$\lambda = \frac{2.799 \times 10^{-2} \times 0.84 \times 10^{-3}}{30 \times 1.2}$.
$\lambda = \frac{2.35116 \times 10^{-5}}{36} = 0.06531 \times 10^{-5} \ m = 6531 \times 10^{-10} \ m$.
अतः,$\lambda = 6531 \ \mathring{A}$.

(C) प्रकाश के लिए डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब प्रकाश का स्रोत प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f'$ स्रोत की आवृत्ति $f$ की तुलना में बढ़ जाती है।
यह सूत्र $f' = f \sqrt{\frac{c+v}{c-v}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ प्रेक्षक की ओर स्रोत का वेग है और $c$ प्रकाश की गति है।
चूंकि आवृत्ति बढ़ती है,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ घटती है $(\lambda = c/f)$।
तरंगदैर्ध्य में कमी दृश्य स्पेक्ट्रम के नीले सिरे की ओर विस्थापन के अनुरूप है,जिसे 'ब्लू शिफ्ट' के रूप में जाना जाता है।
इसलिए,पीला प्रकाश नीले रंग की ओर बदलता हुआ प्रतीत होगा।