यदि फलन f(x) जो f(x) = begin{cases} x sin fra | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x 
eq 0 \ k, & x = 0 \end{cases}$ है।चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए शर्त $\

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(A) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x 
eq 0 \ k, & x = 0 \end{cases}$ है।चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए शर्त $\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0)$ का पालन होना चाहिए।हम सीमा की गणना करते हैं: $\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} x \sin \frac{1}{x}$।हम जानते हैं कि सभी $x 
eq 0$ के लिए,$-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$ होता है।$x$ से गुणा करने पर,हमें $-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|$ प्राप्त होता है।स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,जैसे $x 	o 0$ होता है,$-|x|$ और $|x|$ दोनों $0$ की ओर अग्रसर होते हैं।अतः,$\lim_{x 	o 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$।चूंकि $f(0) = k$ है,इसलिए $k = 0$ प्राप्त होता है।

यदि फलन $f(x)$ जो $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,$x = 0$ पर सतत है,तो $k = . . . . . .$

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