यदि int frac{f(x)}{log (sin x)} d x=log [log | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int \frac{f(x)}{\log (\sin x)} d x = \log [\log \sin x] + c$. $f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष

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$\cot x$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int \frac{f(x)}{\log (\sin x)} d x = \log [\log \sin x] + c$. $f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{d}{d x} \left( \int \frac{f(x)}{\log (\sin x)} d x \right) = \frac{d}{d x} (\log [\log \sin x] + c)$. बाईं ओर कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करने पर: $\frac{f(x)}{\log (\sin x)} = \frac{d}{d x} (\log [\log \sin x])$. दाईं ओर श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर: $\frac{d}{d x} (\log [\log \sin x]) = \frac{1}{\log \sin x} \cdot \frac{d}{d x} (\log \sin x)$. चूंकि $\frac{d}{d x} (\log \sin x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$,इसलिए हमें प्राप्त होता है: $\frac{f(x)}{\log \sin x} = \frac{1}{\log \sin x} \cdot \cot x$. दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $f(x) = \cot x$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{f(x)}{\log (\sin x)} d x=\log [\log \sin x]+c$ है,तो $f(x)=$

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$\int \frac{x^5}{x^2+1} \, dx =$

$\int \frac{\sin 4x}{\sin x} \, dx =$ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

$\lambda$ का वह मान जिसके लिए $\int \frac{4x^3 + \lambda 4^x}{4^x + x^4} \, dx = \log (4^x + x^4) + c$ है,वह है:

निम्नलिखित समाकल ज्ञात कीजिए:
$\int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x$

यदि $x \neq (2n+1) \frac{\pi}{2}, n \in Z$ और $\cos x \neq \frac{-1}{2}$ है,तो समाकलन ज्ञात कीजिए:
$\int \left( \frac{\sin x + \sin 2x}{1 + \cos x + \cos 2x} \right)^2 dx$

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