$10$ को दो भागों में इस प्रकार विभाजित करें कि पहले भाग का दोगुना और दूसरे भाग का वर्ग का योग न्यूनतम हो।

समय $t$ पर एक कण का विस्थापन $x$ है,जहाँ $x = t^4 - k t^3$ है। यदि समय $t = 2$ पर कण का वेग न्यूनतम है,तो

यदि $x + 2y = 8$ है,तो $xy$ का अधिकतम मान ....... है।

यदि फलन $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$,जहाँ $a > 0$,अपना अधिकतम और न्यूनतम मान क्रमशः $p$ और $q$ पर प्राप्त करता है,इस प्रकार कि $p^2 = q$,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए:

एक बेलनाकार पात्र को कुछ ठोस सामग्री से निम्नलिखित शर्तों के साथ बनाया जाना है: इसका आंतरिक आयतन $V \ mm^3$ निश्चित है,इसकी दीवार $2 \ mm$ मोटी है और यह ऊपर से खुला है। पात्र का निचला हिस्सा $2 \ mm$ मोटाई की एक ठोस गोलाकार डिस्क है और इसकी त्रिज्या पात्र की बाहरी त्रिज्या के बराबर है। यदि पात्र बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली सामग्री का आयतन न्यूनतम है जब पात्र की आंतरिक त्रिज्या $10 \ mm$ है,तो $\frac{V}{250 \pi}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a > 0$ है। यदि फलन $f(x) = 6x^3 - 45ax^2 + 108a^2x + 1$ अपने स्थानीय उच्चतम और न्यूनतम मान क्रमशः $x_1$ और $x_2$ बिंदुओं पर प्राप्त करता है,जहाँ $x_1x_2 = 54$ है,तो $a + x_1 + x_2$ का मान ज्ञात कीजिए: