int_{0}^{pi / 2} frac{sin x-cos x}{1-sin x cd | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x - \cos x}{1 - \sin x \cos x} d x$  $(i)$ गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयो

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(A) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x - \cos x}{1 - \sin x \cos x} d x$  $(i)$ गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,$x$ को $(\frac{\pi}{2} - x)$ से प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x) - \cos(\frac{\pi}{2} - x)}{1 - \sin(\frac{\pi}{2} - x) \cos(\frac{\pi}{2} - x)} dx$ चूंकि $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$ और $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x - \sin x}{1 - \cos x \sin x} dx$ $I = - \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x - \cos x}{1 - \sin x \cos x} dx$ $I = -I$  (ii) समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर: $I + I = 0$ $2I = 0$ $I = 0$

$\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x-\cos x}{1-\sin x \cdot \cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{x}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$n \in N$ के लिए,मान लीजिए $P_n = \int_1^e (\ln x)^n dx$ है। तो $(P_{10} - 90P_8)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(\alpha) = \int_{1}^{\alpha} \frac{\log_{10} t}{1+t} dt, \alpha > 0$ है,तो $f(e^{3}) + f(e^{-3})$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^\pi x \sin x \cos^4 x \, dx = $

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right) d \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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