વિધેય $f(x) = \sqrt{3} \sin 2x - \cos 2x + 4$ કયા અંતરાલમાં એક-એક (one-one) છે?

ધારો કે $A$ અને $B$ એ $\mathbb{R}$ માં અરિક્ત ગણો છે અને $f : A \to B$ એક એક-વ્યાપ્ત (bijective) વિધેય છે.
વિધાન $1$ : $f$ એક વ્યાપ્ત (onto) વિધેય છે.
વિધાન $2$ : એવું વિધેય $g : B \to A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f \circ g = I_B$ થાય.

ગણ $A = \{x \in N: x^{2}-10x+9 \leq 0\}$ થી ગણ $B = \{n^{2}: n \in N\}$ પરના વિધેયો $f$ ની સંખ્યા શોધો કે જેથી દરેક $x \in A$ માટે $f(x) \leq (x-3)^{2}+1$ થાય.

ગણ $\{1, 2, \ldots, 11\}$ થી ગણ $\{1, 2, \ldots, 10\}$ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એ $f(x) = 3^{-|x|} - 3^x + \operatorname{sgn}(e^{-x}) + 2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે (જ્યાં $\operatorname{sgn}(x)$ એ $x$ નું સિગ્નમ વિધેય દર્શાવે છે). તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. તો $S$ થી $S$ પરના યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ વ્યાપ્ત વિધેય $g$ માટે $g(3) = 2g(1)$ નું પાલન થાય તેની સંભાવના કેટલી છે?