IIT JEE 2012 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया है $z^2 + z + 1 - a = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$z = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1-a)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4a - 3}}{2}$।
चूंकि $z$ का काल्पनिक भाग शून्य नहीं है,इसलिए विविक्तकर (discriminant) ऋणात्मक होना चाहिए।
अतः,$4a - 3 < 0$,जिसका अर्थ है $a < \frac{3}{4}$।
दिए गए विकल्पों में से,$\frac{3}{4}$ का मान $\frac{3}{4}$ से कम नहीं है,इसलिए $a$ का मान $\frac{3}{4}$ नहीं हो सकता।

(B) $5$ अलग-अलग गेंदों को $3$ व्यक्तियों के बीच वितरित करने के लिए,ताकि प्रत्येक को कम से कम एक गेंद मिले,हम समूहों $(3, 1, 1)$ और $(2, 2, 1)$ का उपयोग करते हैं।
स्थिति $1$: समूह का आकार $(3, 1, 1)$.
$5$ गेंदों को $(3, 1, 1)$ के समूहों में विभाजित करने के तरीके $\frac{5!}{3!1!1! \cdot 2!} = 10$ हैं।
चूंकि व्यक्ति अलग-अलग हैं,$3!$ से गुणा करने पर: $10 \times 6 = 60$.
स्थिति $2$: समूह का आकार $(2, 2, 1)$.
$5$ गेंदों को $(2, 2, 1)$ के समूहों में विभाजित करने के तरीके $\frac{5!}{2!2!1! \cdot 2!} = 15$ हैं।
चूंकि व्यक्ति अलग-अलग हैं,$3!$ से गुणा करने पर: $15 \times 6 = 90$.
कुल तरीके $= 60 + 90 = 150$.

(A) माना $P(t, \frac{4t - 20}{5})$ रेखा $4x - 5y = 20$ पर एक बिंदु है।
वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ के लिए $P$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$tx + (\frac{4t - 20}{5})y = 9$ --- $(1)$
माना $M(h, k)$ इस जीवा का मध्य-बिंदु है। मध्य-बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है:
$hx + ky = h^2 + k^2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{t}{h} = \frac{4t - 20}{5k} = \frac{9}{h^2 + k^2}$
$\frac{t}{h} = \frac{9}{h^2 + k^2}$ से,$t = \frac{9h}{h^2 + k^2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{4t - 20}{5k} = \frac{9}{h^2 + k^2}$ से,$4t - 20 = \frac{45k}{h^2 + k^2}$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण में $t$ का मान रखने पर:
$4(\frac{9h}{h^2 + k^2}) - 20 = \frac{45k}{h^2 + k^2}$
$36h - 20(h^2 + k^2) = 45k$
$20(h^2 + k^2) - 36h + 45k = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ है:
$20(x^2 + y^2) - 36x + 45y = 0$

(C) दीर्घवृत्त $E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ के शीर्ष $(\pm 3, 0)$ और $(0, \pm 2)$ हैं।
चूंकि $E_1$ निर्देशांक अक्षों के समानांतर भुजाओं वाले आयत $R$ के भीतर स्थित है,इसलिए आयत $R$ के शीर्ष $(\pm 3, \pm 2)$ हैं।
मान लीजिए दीर्घवृत्त $E_2$ का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
चूंकि $E_2$ बिंदु $(0, 4)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{0}{a^2}+\frac{16}{b^2}=1$,जिससे $b^2=16$ प्राप्त होता है।
चूंकि $E_2$ आयत $R$ के बाहर स्थित है,यह बिंदु $(3, 2)$ से गुजरता है।
$E_2$ के समीकरण में $(3, 2)$ रखने पर: $\frac{9}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1$.
$b^2=16$ रखने पर: $\frac{9}{a^2}+\frac{4}{16}=1$ $\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{1}{4}=1$ $\Rightarrow \frac{9}{a^2}=\frac{3}{4}$ $\Rightarrow a^2=12$.
दीर्घवृत्त $E_2$ के लिए,$b^2 > a^2$ (क्योंकि $16 > 12$),इसलिए उत्केंद्रता $e$ का मान $a^2=b^2(1-e^2)$ द्वारा दिया जाता है।
$12=16(1-e^2) \Rightarrow 1-e^2=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$.
$e^2=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} \Rightarrow e=\frac{1}{2}$.

(C) दिया है $\tan (2\pi - \theta) > 0 \Rightarrow \tan \theta < 0$.
साथ ही,$-1 < \sin \theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ का अर्थ है $\theta \in (\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3})$.
सर्वसमिका $\tan \frac{\theta}{2} + \cot \frac{\theta}{2} = \frac{2}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर,समीकरण $2 \cos \theta + 1 = 2 \sin(\theta + \phi)$ हो जाता है।
$\theta \in (\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3})$ के लिए,$2 \cos \theta + 1 \in (1, 2)$,अतः $\frac{1}{2} < \sin(\theta + \phi) < 1$.
इससे $\phi \in (\frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3})$ प्राप्त होता है।
अतः,$\phi$ विकल्प $(A), (C), (D)$ को संतुष्ट नहीं कर सकता है।

(D) रेखा $2x - y = 1$ की ढाल $m = 2$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होता है।
यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है,इसलिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = 2x \pm \sqrt{9(2)^2 - 4} = 2x \pm \sqrt{32} = 2x \pm 4\sqrt{2}$ है।
स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ के लिए सूत्र $\left(\frac{a^2m}{c}, \frac{b^2}{c}\right)$ है।
$c = 4\sqrt{2}$ के लिए,बिंदु $\left(\frac{9(2)}{4\sqrt{2}}, \frac{4}{4\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{9}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ प्राप्त होता है,जो $(A)$ है।
$c = -4\sqrt{2}$ के लिए,बिंदु $\left(-\frac{9}{2\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ प्राप्त होता है,जो $(B)$ है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(A)$ और $(B)$ हैं।

(D) परवलय $y^2=8x$ की नाभि $S \equiv (2, 0)$ है।
उभयनिष्ठ जीवा ज्ञात करने के लिए,वृत्त के समीकरण से परवलय के समीकरण को घटाएं:
$(x^2+y^2-2x-4y) - (y^2-8x) = 0$
$x^2+6x-4y = 0$
चूंकि $y^2=8x$,जीवा के समीकरण में $x = \frac{y^2}{8}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{y^2}{8})^2 + 6(\frac{y^2}{8}) - 4y = 0$
$\frac{y^4}{64} + \frac{3y^2}{4} - 4y = 0$
$y^4 + 48y^2 - 256y = 0$
$y(y^3 + 48y - 256) = 0$
एक हल $y=0$ है,जो $x=0$ देता है। अतः,$P \equiv (0, 0)$.
$y^3 + 48y - 256 = 0$ के लिए,निरीक्षण द्वारा,$y=4$ एक मूल है $(64 + 192 - 256 = 0)$।
यदि $y=4$ है,तो $x = \frac{16}{8} = 2$। अतः,$Q \equiv (2, 4)$।
$\triangle PQS$ के शीर्ष $P(0, 0)$,$Q(2, 4)$,और $S(2, 0)$ हैं।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(4-0) + 2(0-0) + 2(0-4)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + 0 - 8| = \frac{1}{2} |-8| = 4$.

(A) माना $t = \sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}\sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}\sqrt{4-\dots}}}$.
तब $t = \sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}t}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4-\frac{1}{3\sqrt{2}}t = t^2$,जिसका अर्थ है $t^2 + \frac{1}{3\sqrt{2}}t - 4 = 0$.
$3\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,$3\sqrt{2}t^2 + t - 12\sqrt{2} = 0$.
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(3\sqrt{2})(-12\sqrt{2})}}{2(3\sqrt{2})} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 288}}{6\sqrt{2}} = \frac{-1 \pm 17}{6\sqrt{2}}$.
चूंकि $t > 0$,इसलिए $t = \frac{16}{6\sqrt{2}} = \frac{8}{3\sqrt{2}}$.
व्यंजक $6 + \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{8}{3\sqrt{2}}\right) = 6 + \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{8}{18}\right) = 6 + \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{4}{9}\right)$.
चूंकि $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2 = (\frac{3}{2})^{-2}$,इसलिए व्यंजक $6 + \log_{\frac{3}{2}}\left((\frac{3}{2})^{-2}\right) = 6 - 2 = 4$ है।

(A) दिया है $a=2, b=\frac{7}{2}, c=\frac{5}{2}$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = 4$.
व्यंजक $\frac{2 \sin P - \sin 2P}{2 \sin P + \sin 2P} = \frac{2 \sin P(1 - \cos P)}{2 \sin P(1 + \cos P)} = \tan^2(P/2)$.
सूत्रानुसार $\tan^2(P/2) = \frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}$.
मान रखने पर: $s-a = 2, s-b = 0.5, s-c = 1.5$.
$\tan^2(P/2) = \frac{0.5 \times 1.5}{4 \times 2} = \frac{0.75}{8} = \frac{3}{32}$.
यहाँ $\Delta = \sqrt{4 \times 2 \times 0.5 \times 1.5} = \sqrt{6}$.
अतः,$\left(\frac{3}{4 \Delta}\right)^2 = \frac{9}{16 \times 6} = \frac{3}{32}$.
अतः सही उत्तर $\left(\frac{3}{4 \Delta}\right)^2$ है।

(D) यदि $a_1, a_2, \ldots$ हरात्मक श्रेणी में हैं,तो उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \ldots$ समांतर श्रेणी में होंगे।
माना समांतर श्रेणी $b_n = \frac{1}{a_n} = A + (n-1)D$ है।
दिया है $a_1 = 5 \Rightarrow b_1 = \frac{1}{5}$ और $a_{20} = 25 \Rightarrow b_{20} = \frac{1}{25}$.
$b_{20} = b_1 + 19D \Rightarrow \frac{1}{25} = \frac{1}{5} + 19D$.
$19D = \frac{1}{25} - \frac{1}{5} = -\frac{4}{25}$.
$D = -\frac{4}{475}$.
$a_n < 0$ के लिए,$b_n = \frac{1}{5} - (n-1)\frac{4}{475} < 0$.
$\frac{1}{5} < (n-1)\frac{4}{475}$.
$\frac{475}{20} < n-1$.
$23.75 < n-1$.
$n > 24.75$.
अतः,$n$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान $25$ है।

(B) दिया गया समीकरण $((1+a)^{1/3}-1)x^2 + ((1+a)^{1/2}-1)x + ((1+a)^{1/6}-1) = 0$ है।
मान लीजिए $1+a = t^6$। जैसे $a \rightarrow 0^{+}$,$t \rightarrow 1^{+}$।
समीकरण $(t^2-1)x^2 + (t^3-1)x + (t-1) = 0$ बन जाता है।
$(t-1)$ से विभाजित करने पर (चूंकि $a > 0$ है,इसलिए $t \neq 1$):
$(t+1)x^2 + (t^2+t+1)x + 1 = 0$।
$t \rightarrow 1$ पर सीमा लेने पर:
$(1+1)x^2 + (1^2+1+1)x + 1 = 0$।
$2x^2 + 3x + 1 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(2x+1)(x+1) = 0$।
अतः,मूल $x = -\frac{1}{2}$ और $x = -1$ हैं।

(A) बिना किसी क्रमागत $0$ वाले $n$-अंकीय पूर्णांक के लिए:
यदि यह $1$ पर समाप्त होता है,तो पिछला अंक $0$ या $1$ हो सकता है। अतः,$b_n = b_{n-1} + c_{n-1} = a_{n-1}$।
यदि यह $0$ पर समाप्त होता है,तो पिछला अंक $1$ होना चाहिए। अतः,$c_n = b_{n-1}$।
चूंकि $a_n = b_n + c_n$,हमारे पास $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ है।
$1.$ $(A)$ के लिए,पुनरावृत्ति संबंध के अनुसार $a_{17} = a_{16} + a_{15}$ सही है।
$(B)$ के लिए,$c_{17} = c_{16} + c_{15}$ सही है,इसलिए $c_{17} \neq c_{16} + c_{15}$ गलत है।
$(C)$ के लिए,$b_{17} = b_{16} + c_{16}$ सही है,इसलिए $b_{17} \neq b_{16} + c_{16}$ गलत है।
$(D)$ के लिए,$a_{17} = b_{17} + c_{17} = (b_{16} + c_{16}) + c_{17} = a_{16} + c_{17}$। चूंकि $a_{16} = b_{16} + c_{16}$,यह $a_{17} = c_{17} + b_{16}$ में सरल नहीं होता है।
अतः,केवल $(A)$ सही है।
$2.$ हमारे पास $b_n = a_{n-1}$ है।
$a_1 = 1$ $(1)$
$a_2 = 2$ $(10, 11)$
$a_3 = 3$ $(101, 110, 111)$
$a_4 = 5$ $(1010, 1011, 1101, 1110, 1111)$
$a_5 = 8$
इसलिए,$b_6 = a_5 = 8$।
सही विकल्प $(B)$ है।

(A) $1.$ वृत्त $x^2+y^2=4$ के लिए बिंदु $P(\sqrt{3}, 1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\sqrt{3}x + y = 4$ है।
वृत्तों के केंद्र $C_1(0,0)$ (त्रिज्या $r_1=2$) और $C_2(3,0)$ (त्रिज्या $r_2=1$) हैं।
बाह्य समानता का केंद्र $B$,$C_1C_2$ को $2:1$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है,अतः $B(6,0)$ है।
उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $y-0 = m(x-6)$ लेने पर,$mx - y - 6m = 0$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(0,0)$ से लंबवत दूरी त्रिज्या $2$ के बराबर है,अतः $\left|\frac{-6m}{\sqrt{m^2+1}}\right| = 2$,जिसे हल करने पर $m = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$ मिलता है।
अतः समीकरण $x \pm 2\sqrt{2}y = 6$ है। इसलिए $(D)$ सही विकल्प है।
$2.$ $PT$ की ढाल $-\sqrt{3}$ है,इसलिए $L$ की ढाल $\frac{1}{\sqrt{3}}$ होगी।
$L$ का समीकरण $x - \sqrt{3}y + k = 0$ लेने पर,वृत्त $(x-3)^2+y^2=1$ के केंद्र $(3,0)$ से लंबवत दूरी $1$ है।
$\left|\frac{3+k}{2}\right| = 1$ से $k = -1$ या $k = -5$ प्राप्त होता है।
अतः $x - \sqrt{3}y = 1$ या $x - \sqrt{3}y = 5$ संभव है। विकल्प $(C)$ में $x - \sqrt{3}y = -1$ दिया गया है।

(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+x+1}{x+1}-a x-b\right)=4$.
सीमा के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+x+1-ax(x+1)-b(x+1)}{x+1}\right)=4$
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{(1-a)x^2+(1-a-b)x+(1-b)}{x+1}\right)=4$
सीमा का मान परिमित होने के लिए,$x^2$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$1-a=0 \Rightarrow a=1$.
अब,$a=1$ को व्यंजक में रखने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{-bx+(1-b)}{x+1}\right)=4$
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{-b+\frac{1-b}{x}}{1+\frac{1}{x}}\right)=4$
$-b=4 \Rightarrow b=-4$.
अतः,$a=1$ और $b=-4$.

(A) बिंदुओं $Q(2, 3, 5)$ और $R(1, -1, 4)$ से गुजरने वाली रेखा $QR$ का समीकरण $\frac{x-2}{1-2} = \frac{y-3}{-1-3} = \frac{z-5}{4-5}$ है,जिसे $\frac{x-2}{-1} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z-5}{-1} = \lambda$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,रेखा पर कोई भी बिंदु $P(2-\lambda, 3-4\lambda, 5-\lambda)$ है।
चूंकि $P$ समतल $5x - 4y - z = 1$ पर स्थित है,इसलिए $5(2-\lambda) - 4(3-4\lambda) - (5-\lambda) = 1$.
$10 - 5\lambda - 12 + 16\lambda - 5 + \lambda = 1 \Rightarrow 12\lambda - 7 = 1 \Rightarrow 12\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ रखने पर,$P = (2-\frac{2}{3}, 3-\frac{8}{3}, 5-\frac{2}{3}) = (\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, \frac{13}{3})$ प्राप्त होता है।
अब,$T(2, 1, 4)$ से $QR$ पर लंब के पाद $S$ के लिए,मान लीजिए $S = (2-\mu, 3-4\mu, 5-\mu)$.
सदिश $\vec{TS} = (2-\mu-2, 3-4\mu-1, 5-\mu-4) = (-\mu, 2-4\mu, 1-\mu)$.
चूंकि $\vec{TS}$ रेखा की दिशा के सदिश $\vec{v} = (-1, -4, -1)$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा: $(-\mu)(-1) + (2-4\mu)(-4) + (1-\mu)(-1) = 0$.
$\mu - 8 + 16\mu - 1 + \mu = 0 \Rightarrow 18\mu = 9 \Rightarrow \mu = \frac{1}{2}$.
अतः,$S = (2-\frac{1}{2}, 3-2, 5-\frac{1}{2}) = (\frac{3}{2}, 1, \frac{9}{2})$.
दूरी $PS = \sqrt{(\frac{4}{3}-\frac{3}{2})^2 + (\frac{1}{3}-1)^2 + (\frac{13}{3}-\frac{9}{2})^2} = \sqrt{(-\frac{1}{6})^2 + (-\frac{2}{3})^2 + (-\frac{1}{6})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{4}{9} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{2}{36} + \frac{16}{36}} = \sqrt{\frac{18}{36}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) माना $t = \sec x + \tan x$. तब $dt = (\sec x \tan x + \sec^2 x) dx = \sec x(\tan x + \sec x) dx = \sec x \cdot t \cdot dx$.
अतः,$\sec x dx = \frac{dt}{t}$.
साथ ही,$\sec x - \tan x = \frac{1}{t}$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2 \sec x = t + \frac{1}{t} \implies \sec x = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right)$.
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int \frac{\sec x \cdot (\sec x dx)}{t^{9/2}} = \int \frac{\frac{1}{2}(t + \frac{1}{t}) \cdot \frac{dt}{t}}{t^{9/2}} = \frac{1}{2} \int \frac{t + t^{-1}}{t^{11/2}} dt = \frac{1}{2} \int (t^{-9/2} + t^{-13/2}) dt$.
समाकलन करने पर:
$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^{-7/2}}{-7/2} + \frac{t^{-11/2}}{-11/2} \right] + K = -\left[ \frac{1}{7 t^{7/2}} + \frac{1}{11 t^{11/2}} \right] + K$.
$-\frac{1}{t^{11/2}}$ कॉमन लेने पर:
$I = -\frac{1}{t^{11/2}} \left[ \frac{t^2}{7} + \frac{1}{11} \right] + K$.
$t = \sec x + \tan x$ वापस रखने पर,हमें विकल्प $A$ प्राप्त होता है।

(B) $(i)$ $x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच:
$LHD = f'(0^-) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(-h)^2 |\cos(-\pi/h)| - 0}{-h} = \lim_{h \to 0^+} -h |\cos(\pi/h)| = 0$.
$RHD = f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2 |\cos(\pi/h)| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} h |\cos(\pi/h)| = 0$.
चूँकि $LHD = RHD = 0$,$f(x)$ $x=0$ पर अवकलनीय है।
$(ii)$ $x=2$ पर अवकलनीयता की जाँच:
$f(2) = 2^2 |\cos(\pi/2)| = 0$.
$RHD = f'(2^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2+h)^2 |\cos(\pi/(2+h))|}{h}$.
छोटे $h > 0$ के लिए $\cos(\pi/(2+h)) > 0$ है,इसलिए $|\cos(\pi/(2+h))| = \cos(\pi/(2+h)) = \sin(\pi/2 - \pi/(2+h)) = \sin(\pi h / (2(2+h)))$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2+h)^2 \sin(\pi h / (2(2+h)))}{h} = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi$.
$LHD = f'(2^-) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2-h) - f(2)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2-h)^2 |\cos(\pi/(2-h))|}{-h}$.
छोटे $h > 0$ के लिए $\cos(\pi/(2-h)) < 0$ है,इसलिए $|\cos(\pi/(2-h))| = -\cos(\pi/(2-h)) = -\sin(\pi/2 - \pi/(2-h)) = -\sin(-\pi h / (2(2-h))) = \sin(\pi h / (2(2-h)))$.
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2-h)^2 \sin(\pi h / (2(2-h)))}{-h} = 4 \cdot (-\pi/4) = -\pi$.
चूँकि $LHD \neq RHD$,$f(x)$ $x=2$ पर अवकलनीय नहीं है।

(B) दिया गया फलन: $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 1$,जहाँ $x \in [0, 3]$.
चरण $1$: एकैकी (one-one) गुण की जाँच करें।
अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^2 - 30x + 36 = 6(x^2 - 5x + 6) = 6(x-2)(x-3)$.
अंतराल $[0, 3]$ में $x=2$ पर $f'(x)$ का चिह्न बदलता है,इसलिए फलन एकदिष्ट (monotonic) नहीं है। अर्थात,$f(x)$ अंतराल $[0, 2]$ पर बढ़ता है और $[2, 3]$ पर घटता है। इसलिए,यह एकैकी नहीं है (बहु-एक है)।
चरण $2$: आच्छादक (onto) गुण की जाँच करें।
$[0, 3]$ पर $f(x)$ का परिसर (range) ज्ञात करें।
$f(0) = 2(0)^3 - 15(0)^2 + 36(0) + 1 = 1$.
$f(2) = 2(8) - 15(4) + 36(2) + 1 = 16 - 60 + 72 + 1 = 29$.
$f(3) = 2(27) - 15(9) + 36(3) + 1 = 54 - 135 + 108 + 1 = 28$.
चूँकि फलन $[0, 3]$ पर सतत है,इसका परिसर $[min(f(0), f(2), f(3)), max(f(0), f(2), f(3))] = [1, 29]$ है।
यहाँ परिसर $[1, 29]$ सह-प्रांत (codomain) $[1, 29]$ के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक है।
निष्कर्ष: फलन आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(D) दिया गया है $P = [a_{ij}]_{3 \times 3}$ और $b_{ij} = 2^{i+j} a_{ij}$.
$Q = [b_{ij}]_{3 \times 3} = \begin{bmatrix} 2^{1+1}a_{11} & 2^{1+2}a_{12} & 2^{1+3}a_{13} \\ 2^{2+1}a_{21} & 2^{2+2}a_{22} & 2^{2+3}a_{23} \\ 2^{3+1}a_{31} & 2^{3+2}a_{32} & 2^{3+3}a_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4a_{11} & 8a_{12} & 16a_{13} \\ 8a_{21} & 16a_{22} & 32a_{23} \\ 16a_{31} & 32a_{32} & 64a_{33} \end{bmatrix}$.
प्रत्येक पंक्ति से उभयनिष्ठ गुणनखंड लेने पर:
पंक्ति $1$ से $4 = 2^2$ उभयनिष्ठ है।
पंक्ति $2$ से $8 = 2^3$ उभयनिष्ठ है।
पंक्ति $3$ से $16 = 2^4$ उभयनिष्ठ है।
$|Q| = (2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^4) \begin{vmatrix} a_{11} & 2a_{12} & 4a_{13} \\ a_{21} & 2a_{22} & 4a_{23} \\ a_{31} & 2a_{32} & 4a_{33} \end{vmatrix}$.
प्रत्येक स्तंभ से उभयनिष्ठ गुणनखंड लेने पर:
स्तंभ $2$ से $2 = 2^1$ उभयनिष्ठ है।
स्तंभ $3$ से $4 = 2^2$ उभयनिष्ठ है।
$|Q| = (2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^4) \cdot (2^1 \cdot 2^2) \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$.
$|Q| = 2^{2+3+4+1+2} |P| = 2^{12} \cdot 2 = 2^{13}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - y \tan x = 2x \sec x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\tan x$ और $Q = 2x \sec x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{-\int \tan x dx} = e^{-\ln(\sec x)} = \cos x$ है।
दोनों पक्षों को $I$.$F$. से गुणा करने पर,हमें $\frac{d}{dx}(y \cos x) = 2x \sec x \cdot \cos x = 2x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y \cos x = x^2 + C$ प्राप्त होता है।
दिया है $y(0) = 0$,इसलिए $0 = 0^2 + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$ है।
अतः,$y = x^2 \sec x$ प्राप्त होता है।
विकल्प $(A)$ के लिए: $y(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4})^2 \sec(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{16} \cdot \sqrt{2} = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}}$। यह सत्य है।
विकल्प $(D)$ के लिए: $y'(x) = 2x \sec x + x^2 \sec x \tan x$ है।
$y'(\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{\pi}{3}) \sec(\frac{\pi}{3}) + (\frac{\pi}{3})^2 \sec(\frac{\pi}{3}) \tan(\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{\pi}{3})(2) + \frac{\pi^2}{9}(2)(\sqrt{3}) = \frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi^2\sqrt{3}}{9}$। यह सत्य है।
इसलिए,विकल्प $(A)$ और $(D)$ सही हैं।

(A) दी गई प्रायिकताएँ: $P(X_1) = \frac{1}{2}, P(X_2) = \frac{1}{4}, P(X_3) = \frac{1}{4}$।
मान लीजिए $X_1^c, X_2^c, X_3^c$ वे घटनाएँ हैं कि इंजन कार्य नहीं कर रहे हैं,इसलिए $P(X_1^c) = \frac{1}{2}, P(X_2^c) = \frac{3}{4}, P(X_3^c) = \frac{3}{4}$।
जहाज चालू $(X)$ है यदि कम से कम दो इंजन कार्य करते हैं:
$P(X) = P(X_1 X_2 X_3^c) + P(X_1 X_2^c X_3) + P(X_1^c X_2 X_3) + P(X_1 X_2 X_3)$
$P(X) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) = \frac{3}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$।
$(A) P(X_1^c \mid X) = \frac{P(X_1^c \cap X)}{P(X)} = \frac{P(X_1^c X_2 X_3)}{P(X)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{8} \neq \frac{3}{16}$। (असत्य)
$(B) P(\text{ठीक दो} \mid X) = \frac{P(X_1 X_2 X_3^c) + P(X_1 X_2^c X_3) + P(X_1^c X_2 X_3)}{P(X)} = \frac{\frac{3}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32}}{\frac{1}{4}} = \frac{7/32}{1/4} = \frac{7}{8}$। (सत्य)
$(C) P(X \mid X_2) = \frac{P(X \cap X_2)}{P(X_2)} = \frac{P(X_1 X_2 X_3^c) + P(X_1^c X_2 X_3) + P(X_1 X_2 X_3)}{P(X_2)} = \frac{\frac{3}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32}}{\frac{1}{4}} = \frac{5/32}{1/4} = \frac{5}{8} \neq \frac{5}{16}$। (असत्य)
$(D) P(X \mid X_1) = \frac{P(X \cap X_1)}{P(X_1)} = \frac{P(X_1 X_2 X_3^c) + P(X_1 X_2^c X_3) + P(X_1 X_2 X_3)}{P(X_1)} = \frac{\frac{3}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} = \frac{7/32}{1/2} = \frac{7}{16}$। (सत्य)

(B) क्षेत्रफल $S$ को समाकलन $S = \int_0^1 e^{-x^2} dx$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. $x \in [0, 1]$ के लिए,हमारे पास $0 \leq x^2 \leq x \leq 1$ है। अतः,$-x^2 \geq -x$,जिसका अर्थ है $e^{-x^2} \geq e^{-x}$।
दोनों पक्षों का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर:
$S = \int_0^1 e^{-x^2} dx \geq \int_0^1 e^{-x} dx = [-e^{-x}]_0^1 = 1 - \frac{1}{e}$.
चूंकि $1 - \frac{1}{e} \approx 0.633$ और $\frac{1}{e} \approx 0.367$,इसलिए $S \geq 1 - \frac{1}{e} > \frac{1}{e}$। अतः,$(A)$ और $(B)$ सही हैं।
$2$. $\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $1-\frac{1}{\sqrt{2}}$ चौड़ाई वाले दो आयतों के साथ ऊपरी रीमान योग का उपयोग करने पर:
फलन $f(x) = e^{-x^2}$ अंतराल $[0, 1]$ पर ह्रासमान है।
$S = \int_0^{1/\sqrt{2}} e^{-x^2} dx + \int_{1/\sqrt{2}}^1 e^{-x^2} dx$.
प्रत्येक उप-अंतराल पर $f(x)$ के अधिकतम मान का उपयोग करने पर:
$S \leq \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) f(0) + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$S \leq \frac{1}{\sqrt{2}}(1) + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) e^{-(1/\sqrt{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \frac{1}{\sqrt{e}}$.
अतः,$(D)$ सही है।

(D) चूंकि $p(x)$ का $x=1$ पर स्थानीय अधिकतम और $x=3$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है,इसलिए $p^{\prime}(x)$ के शून्य $x=1$ और $x=3$ होंगे।
अतः,$p^{\prime}(x) = \lambda(x-1)(x-3) = \lambda(x^2-4x+3)$।
$p^{\prime}(x)$ का समाकलन करने पर,$p(x) = \lambda(\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x) + \mu$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $p(1) = 6$,इसलिए $6 = \lambda(\frac{1}{3} - 2 + 3) + \mu = \frac{4}{3}\lambda + \mu$,जिसका अर्थ है $18 = 4\lambda + 3\mu \quad \dots (i)$।
दिया गया है $p(3) = 2$,इसलिए $2 = \lambda(\frac{27}{3} - 2(9) + 3(3)) + \mu = \lambda(9 - 18 + 9) + \mu = \mu$।
अतः,$\mu = 2$।
समीकरण $(i)$ में $\mu = 2$ रखने पर,$18 = 4\lambda + 3(2) \implies 18 = 4\lambda + 6 \implies 4\lambda = 12 \implies \lambda = 3$।
अतः,$p^{\prime}(x) = 3(x-1)(x-3)$।
$x=0$ पर मान ज्ञात करने पर,$p^{\prime}(0) = 3(0-1)(0-3) = 3(-1)(-3) = 9$।

(C) फलन $f(x) = |x| + |x^2 - 1|$ द्वारा दिया गया है।
हम विभिन्न अंतरालों में फलन का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x < -1$ के लिए: $f(x) = -x + x^2 - 1 = x^2 - x - 1$। शीर्ष $x = 1/2$ पर है,जो इस अंतराल में नहीं है। जैसे $x \to -1^-$,$f(x) \to 1$। यहाँ कोई स्थानीय चरम बिंदु नहीं है।
$2$. $-1 \leq x < 0$ के लिए: $f(x) = -x - (x^2 - 1) = -x^2 - x + 1$। अवकलज $f'(x) = -2x - 1$ है। $f'(x) = 0$ रखने पर $x = -1/2$ प्राप्त होता है। चूँकि $f''(-1/2) = -2 < 0$,इसलिए $x = -1/2$ पर स्थानीय अधिकतम मान $f(-1/2) = 5/4$ है।
$3$. $x = -1$ पर: $f(-1) = 1$। चूँकि $f(x)$ बाईं ओर से $1$ तक घटता है और दाईं ओर से $5/4$ तक बढ़ता है,इसलिए $x = -1$ एक स्थानीय न्यूनतम है।
$4$. $x = 0$ पर: $f(0) = 1$। चूँकि $f(x)$ बाईं ओर से $1$ तक घटता है और दाईं ओर से $1$ तक बढ़ता है,इसलिए $x = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है।
$5$. $0 < x < 1$ के लिए: $f(x) = x - (x^2 - 1) = -x^2 + x + 1$। अवकलज $f'(x) = -2x + 1$ है। $f'(x) = 0$ रखने पर $x = 1/2$ प्राप्त होता है। चूँकि $f''(1/2) = -2 < 0$,इसलिए $x = 1/2$ पर स्थानीय अधिकतम मान $f(1/2) = 5/4$ है।
$6$. $x = 1$ पर: $f(1) = 1$। चूँकि $f(x)$ बाईं ओर से $1$ तक घटता है और दाईं ओर से $1$ तक बढ़ता है,इसलिए $x = 1$ एक स्थानीय न्यूनतम है।
बिंदुओं का सारांश:
- स्थानीय न्यूनतम $x = -1, 0, 1$ पर ($3$ बिंदु)।
- स्थानीय अधिकतम $x = -1/2, 1/2$ पर ($2$ बिंदु)।
कुल बिंदुओं की संख्या = $3 + 2 = 5$।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
दिए गए समीकरण का विस्तार करने पर: $|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2=9$.
यह $(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2\vec{b} \cdot \vec{c}) + (|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2-2\vec{c} \cdot \vec{a}) = 9$ हो जाता है।
चूंकि $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = 1$,इसलिए $6 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 9$.
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}$.
अब,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 3 + 2(-\frac{3}{2}) = 0$ पर विचार करें।
इसका अर्थ है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}$,इसलिए $\vec{b}+\vec{c} = -\vec{a}$.
हमें $|2 \vec{a}+5 \vec{b}+5 \vec{c}| = |2 \vec{a}+5(\vec{b}+\vec{c})| = |2 \vec{a}+5(-\vec{a})| = |-3 \vec{a}| = 3|\vec{a}| = 3(1) = 3$ ज्ञात करना है।

(A) समतलों $x+2y+3z-2=0$ और $x-y+z-3=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $(x+2y+3z-2) + \lambda(x-y+z-3) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
इसे सरल करने पर $(1+\lambda)x + (2-\lambda)y + (3+\lambda)z - (2+3\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
इस समतल की बिंदु $(3,1,-1)$ से दूरी $\frac{|(1+\lambda)(3) + (2-\lambda)(1) + (3+\lambda)(-1) - (2+3\lambda)|}{\sqrt{(1+\lambda)^2 + (2-\lambda)^2 + (3+\lambda)^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
अंश का सरलीकरण: $|3+3\lambda + 2-\lambda - 3-\lambda - 2-3\lambda| = |-2\lambda|$.
हर का सरलीकरण: $\sqrt{(1+2\lambda+\lambda^2) + (4-4\lambda+\lambda^2) + (9+6\lambda+\lambda^2)} = \sqrt{3\lambda^2+4\lambda+14}$.
अतः,$\frac{|-2\lambda|}{\sqrt{3\lambda^2+4\lambda+14}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4\lambda^2}{3\lambda^2+4\lambda+14} = \frac{4}{3}$.
$3\lambda^2 = 3\lambda^2+4\lambda+14$,जिससे $4\lambda = -14$,अतः $\lambda = -\frac{7}{2}$.
$\lambda = -\frac{7}{2}$ को समीकरण में रखने पर: $(1-\frac{7}{2})x + (2+\frac{7}{2})y + (3-\frac{7}{2})z - (2-\frac{21}{2}) = 0$.
$-\frac{5}{2}x + \frac{11}{2}y - \frac{1}{2}z + \frac{17}{2} = 0$.
$-2$ से गुणा करने पर,$5x-11y+z-17=0$,या $5x-11y+z=17$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $X$,$D_4$ द्वारा दिखाई गई संख्या है। चारों पासों के लिए कुल परिणामों की संख्या $6^4 = 1296$ है।
वैकल्पिक रूप से,$D_4$ के एक निश्चित मान के लिए प्रायिकता पर विचार करें। $D_4$ द्वारा दिखाई गई किसी भी विशिष्ट संख्या $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ के लिए,इस बात की प्रायिकता कि $k$,$D_1, D_2, D_3$ में से किसी पर भी न दिखाई दे,$(\frac{5}{6})^3 = \frac{125}{216}$ है।
इसलिए,इस बात की प्रायिकता कि $k$,$D_1, D_2, D_3$ में से कम से कम एक पर दिखाई दे,$1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216}$ है।
चूंकि यह प्रायिकता $D_4$ द्वारा दिखाए गए मान से स्वतंत्र है,इसलिए कुल प्रायिकता $\frac{91}{216}$ है।

(B) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(x^2 + \ln \frac{\pi+x}{\pi-x}\right) \cos x \, dx$.
हम इसे दो समाकलनों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} x^2 \cos x \, dx + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \ln \left(\frac{\pi+x}{\pi-x}\right) \cos x \, dx$.
माना $f(x) = \ln \left(\frac{\pi+x}{\pi-x}\right) \cos x$. चूँकि $\ln \left(\frac{\pi+x}{\pi-x}\right)$ एक विषम फलन है और $\cos x$ एक सम फलन है,इसलिए उनका गुणनफल एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} f(x) \, dx = 0$.
अब,$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} x^2 \cos x \, dx$. चूँकि $x^2 \cos x$ एक सम फलन है,$I = 2 \int_0^{\pi / 2} x^2 \cos x \, dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - \int 2x \sin x \, dx = x^2 \sin x - 2 \left( -x \cos x + \int \cos x \, dx \right) = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x$.
$0$ से $\pi / 2$ तक सीमाएँ रखने पर: $2 \left[ (x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x) \right]_0^{\pi / 2} = 2 \left[ ((\pi/2)^2 \cdot 1 + 0 - 2(1)) - (0 + 0 - 0) \right] = 2 \left( \frac{\pi^2}{4} - 2 \right) = \frac{\pi^2}{2} - 4$.

(D) दिया गया समीकरण $P^{\top} = 2P + I$ है।
दोनों पक्षों का परिवर्त लेने पर,$(P^{\top})^{\top} = (2P + I)^{\top}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(P^{\top})^{\top} = P$,इसलिए $P = 2P^{\top} + I$ है।
इस समीकरण में $P^{\top} = 2P + I$ का मान रखने पर:
$P = 2(2P + I) + I$.
$P = 4P + 2I + I$.
$P = 4P + 3I$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$3P = -3I$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $P = -I$ है।
अतः,किसी भी स्तंभ आव्यूह $X \neq 0$ के लिए,$PX = (-I)X = -X$ होता है।

(B) $1.$ दिया गया है $f(x)=(1-x)^2 \sin^2 x+x^2$ और $g(x)=\int_1^x \left(\frac{2(t-1)}{t+1}-\ln t\right) f(t) dt$.
कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,$g'(x) = \left(\frac{2(x-1)}{x+1}-\ln x\right) f(x)$.
माना $\phi(x) = \frac{2(x-1)}{x+1}-\ln x$. तब $\phi'(x) = \frac{2(x+1)-2(x-1)}{(x+1)^2} - \frac{1}{x} = \frac{4}{(x+1)^2} - \frac{1}{x} = \frac{-(x-1)^2}{x(x+1)^2}$.
चूंकि $x > 1$ के लिए $\phi'(x) \leq 0$,$\phi(x)$ ह्रासमान है। $\phi(1) = 0$ होने के कारण,$x > 1$ के लिए $\phi(x) < 0$. साथ ही $f(x) > 0$ होने से $g'(x) < 0$,अतः $g$,$(1, \infty)$ पर ह्रासमान है।
$2.$ $P$ के लिए: $f(x)+2x = (1-x)^2 \sin^2 x + x^2 + 2x = 2(1+x^2) = 2+2x^2$.
$(1-x)^2 \sin^2 x = (x-1)^2 + 1$. चूंकि $\sin^2 x \leq 1$,यह संभव नहीं है। अतः $P$ असत्य है।
$Q$ के लिए: $H(x) = 2f(x) + 1 - 2x(1+x)$ लें। $H(0) = 1$ और $H(1) = -1$. फलन सतत है,इसलिए $H(x)=0$ के लिए $x$ का अस्तित्व है। अतः $Q$ सत्य है।

(B) दिया गया है $P(X \mid Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)} = \frac{1}{2}$.
चूँकि $P(X \cap Y) = \frac{1}{6}$,हमारे पास $\frac{1/6}{P(Y)} = \frac{1}{2} \Rightarrow P(Y) = \frac{1}{3}$ है।
दिया गया है $P(Y \mid X) = \frac{P(X \cap Y)}{P(X)} = \frac{1}{3}$.
चूँकि $P(X \cap Y) = \frac{1}{6}$,हमारे पास $\frac{1/6}{P(X)} = \frac{1}{3} \Rightarrow P(X) = \frac{1}{2}$ है।
अब,$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3+2-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है। अतः,$(A)$ सही है।
स्वतंत्रता के लिए जाँचें: $P(X) \cdot P(Y) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ है।
चूँकि $P(X \cap Y) = \frac{1}{6} = P(X) \cdot P(Y)$,इसलिए $X$ और $Y$ स्वतंत्र हैं। अतः,$(B)$ सही है।
$P(X^C \cap Y) = P(Y) - P(X \cap Y) = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ है। अतः,$(D)$ गलत है।

(C) दिया गया है $f(x)=\int_0^x e^{t^2}(t-2)(t-3) dt$.
कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,$f^{\prime}(x)=e^{x^2}(x-2)(x-3)$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f^{\prime}(x)=0$ रखने पर,हमें $x=2$ और $x=3$ प्राप्त होते हैं।
$f^{\prime}(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करने पर:
$x < 2$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ (वर्धमान)।
$2 < x < 3$ के लिए,$f^{\prime}(x) < 0$ (ह्रासमान)।
$x > 3$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ (वर्धमान)।
अतः,$f$ का $x=2$ पर स्थानीय उच्चतम और $x=3$ पर स्थानीय निम्नतम मान है। यह सिद्ध करता है कि $(A), (B)$ और $(D)$ सही हैं।
अब,$f^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx} [e^{x^2}(x^2-5x+6)] = e^{x^2}(2x)(x^2-5x+6) + e^{x^2}(2x-5) = e^{x^2}(2x^3-10x^2+14x-5)$.
माना $g(x) = 2x^3-10x^2+14x-5$ है। चूँकि $g(0) = -5$ और $g(1) = 1$,मध्यवर्ती मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (0, 1)$ विद्यमान है जिसके लिए $g(c) = 0$,अर्थात $f^{\prime \prime}(c) = 0$ है। अतः,$(C)$ भी सही है।
इसलिए,सभी विकल्प $(A), (B), (C), (D)$ सही हैं।

(A) $f$ के $x = 2n$ पर संतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा $f(2n)$ के बराबर होनी चाहिए।
$f(2n) = a_n + \sin(2n\pi) = a_n$.
$f(2n^+) = a_n + \sin(2n\pi) = a_n$.
$f(2n^-) = b_n + \cos(2n\pi) = b_n + 1$.
$f(2n^+) = f(2n^-)$ को बराबर करने पर,हमें $a_n = b_n + 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a_n - b_n = 1$। अतः,$(B)$ सही है।
$f$ के $x = 2n+1$ पर संतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा $f(2n+1)$ के बराबर होनी चाहिए।
$f(2n+1) = a_n + \sin((2n+1)\pi) = a_n$.
$f((2n+1)^-) = a_n + \sin((2n+1)\pi) = a_n$.
$f((2n+1)^+) = b_{n+1} + \cos((2n+1)\pi) = b_{n+1} - 1$.
$f((2n+1)^-) = f((2n+1)^+)$ को बराबर करने पर,हमें $a_n = b_{n+1} - 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a_n - b_{n+1} = -1$। $n$ को $n-1$ से बदलने पर,हमें $a_{n-1} - b_n = -1$ प्राप्त होता है। अतः,$(D)$ सही है।

(B) दो रेखाओं के समतलीय होने के लिए,प्रत्येक रेखा पर एक बिंदु को जोड़ने वाले सदिश और रेखाओं के दिशा सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए: $[\vec{a}-\vec{c}, \vec{b}, \vec{d}] = 0$.
दिए गए बिंदु $\vec{a} = (1, -1, 0)$ और $\vec{c} = (-1, -1, 0)$ हैं,इसलिए सदिश $\vec{a}-\vec{c} = (2, 0, 0)$ है।
दिशा सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} + k\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{d} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + k\hat{k}$ हैं।
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\left|\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 2 & k & 2 \\ 5 & 2 & k \end{array}\right| = 0 \Rightarrow 2(k^2 - 4) = 0 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k = \pm 2$.
स्थिति $1$: यदि $k = 2$ है,तो दिशा सदिश $\vec{b} = (2, 2, 2)$ और $\vec{d} = (5, 2, 2)$ हैं।
अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = \vec{b} \times \vec{d} = \left|\begin{array}{lll} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 2 \end{array}\right| = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n}_1 = 0 \Rightarrow 0(x-1) + 6(y+1) - 6(z-0) = 0 \Rightarrow y - z = -1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: यदि $k = -2$ है,तो दिशा सदिश $\vec{b} = (2, -2, 2)$ और $\vec{d} = (5, 2, -2)$ हैं।
अभिलंब सदिश $\vec{n}_2 = \vec{b} \times \vec{d} = \left|\begin{array}{lll} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 2 \\ 5 & 2 & -2 \end{array}\right| = 0\hat{i} + 14\hat{j} + 14\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n}_2 = 0 \Rightarrow 0(x-1) + 14(y+1) + 14(z-0) = 0 \Rightarrow y + z = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,समतल $y-z=-1$ और $y+z=-1$ हैं,जो विकल्पों $(C)$ और $(B)$ के अनुरूप हैं।

(A, D) माना कि $P$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है। हमें दिया गया है कि $\operatorname{adj}(P) = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 2 & 1 & 7 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ है।
हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj}(P)| = |P|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $|\operatorname{adj}(P)| = |P|^{3-1} = |P|^2$ होगा।
सबसे पहले,$\operatorname{adj}(P)$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|\operatorname{adj}(P)| = 1(1 \times 3 - 7 \times 1) - 4(2 \times 3 - 7 \times 1) + 4(2 \times 1 - 1 \times 1)$
$|\operatorname{adj}(P)| = 1(3 - 7) - 4(6 - 7) + 4(2 - 1)$
$|\operatorname{adj}(P)| = 1(-4) - 4(-1) + 4(1)$
$|\operatorname{adj}(P)| = -4 + 4 + 4 = 4$ है।
अब,इसे $|P|^2$ के बराबर रखें:
$|P|^2 = 4$
$|P| = \pm 2$ है।
अतः,$P$ के सारणिक के संभावित मान $2$ और $-2$ हैं,जो विकल्प $(A)$ और $(D)$ के अनुरूप हैं।

(AB) दिया गया है कि $f(\cos 4 \theta) = \frac{2}{2-\sec^2 \theta}$.
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} = \frac{2}{1+\cos 2 \theta}$.
इसे $f(\cos 4 \theta)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(\cos 4 \theta) = \frac{2}{2 - \frac{2}{1+\cos 2 \theta}} = \frac{2(1+\cos 2 \theta)}{2(1+\cos 2 \theta) - 2} = \frac{1+\cos 2 \theta}{\cos 2 \theta} = 1 + \frac{1}{\cos 2 \theta}$.
अब,मान लीजिए $\cos 4 \theta = \frac{1}{3}$.
सर्वसमिका $\cos 4 \theta = 2 \cos^2 2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 \cos^2 2 \theta - 1 = \frac{1}{3} \Rightarrow 2 \cos^2 2 \theta = \frac{4}{3} \Rightarrow \cos^2 2 \theta = \frac{2}{3}$.
अतः,$\cos 2 \theta = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$.
इस मान को $f(\cos 4 \theta)$ के व्यंजक में रखने पर:
$f\left(\frac{1}{3}\right) = 1 + \frac{1}{\pm \sqrt{2/3}} = 1 \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$.
अतः,मान $1+\sqrt{\frac{3}{2}}$ और $1-\sqrt{\frac{3}{2}}$ हैं।

(A) दिया गया है $\vec{a} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})=(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \times \vec{b}$.
हम जानते हैं कि $\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$,इसलिए $(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \times \vec{b} = -\vec{b} \times (2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$.
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें मिलता है $\vec{a} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) + \vec{b} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = \vec{0}$.
इसका अर्थ है $(\vec{a}+\vec{b}) \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = \vec{0}$.
इसका मतलब है कि सदिश $(\vec{a}+\vec{b})$ सदिश $(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$ के समानांतर है।
माना $\vec{a}+\vec{b} = \lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,$|\vec{a}+\vec{b}| = |\lambda| \sqrt{2^2+3^2+4^2} = |\lambda| \sqrt{4+9+16} = |\lambda| \sqrt{29}$.
दिया गया है $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{29}$,इसलिए $|\lambda| \sqrt{29} = \sqrt{29}$,जिससे $\lambda = \pm 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{a}+\vec{b} = \pm(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$.
अब,अदिश गुणनफल की गणना करते हैं: $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(-7 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) = \pm(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \cdot(-7 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$.
$= \pm((2)(-7) + (3)(2) + (4)(3)) = \pm(-14 + 6 + 12) = \pm 4$.
इसलिए,एक संभावित मान $4$ है।