प्रत्येक पूर्णांक n के लिए,मान लीजिए a_n और b | vedclass

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Question

(A) $f$ के $x = 2n$ पर संतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा $f(2n)$ के बराबर होनी चाहिए।$f(2n) = a_n + \sin(2n\pi) = a_n$.$f(2n^+) =

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$(B, D)$

Vedclass · Answer

(A) $f$ के $x = 2n$ पर संतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा $f(2n)$ के बराबर होनी चाहिए।$f(2n) = a_n + \sin(2n\pi) = a_n$.$f(2n^+) = a_n + \sin(2n\pi) = a_n$.$f(2n^-) = b_n + \cos(2n\pi) = b_n + 1$.$f(2n^+) = f(2n^-)$ को बराबर करने पर,हमें $a_n = b_n + 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a_n - b_n = 1$। अतः,$(B)$ सही है।$f$ के $x = 2n+1$ पर संतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा $f(2n+1)$ के बराबर होनी चाहिए।$f(2n+1) = a_n + \sin((2n+1)\pi) = a_n$.$f((2n+1)^-) = a_n + \sin((2n+1)\pi) = a_n$.$f((2n+1)^+) = b_{n+1} + \cos((2n+1)\pi) = b_{n+1} - 1$.$f((2n+1)^-) = f((2n+1)^+)$ को बराबर करने पर,हमें $a_n = b_{n+1} - 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a_n - b_{n+1} = -1$। $n$ को $n-1$ से बदलने पर,हमें $a_{n-1} - b_n = -1$ प्राप्त होता है। अतः,$(D)$ सही है।

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मान लीजिए $S_n = 1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + \ldots$ ($n$ पद) और $-\frac{1}{3} < x < \frac{1}{3}$ है। यदि $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n = f(x)$ है,तो $f(x)$ बिंदु $x =$ पर असंतत है।

सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = x^{n}$ बिंदु $x = n$ पर संतत है,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है।

यदि $f(x) = \frac{1+\cos \pi x}{\pi(1-x)^2}$ जहाँ $x \neq 1$,$x=1$ पर सतत है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{|x|}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ पर विचार करें।

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