PhysicsQ1–37 of 37 questions
Page 1 of 1 · Gujarati
1
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
$2$ મોલ હિલિયમ વાયુ (પરમાણ્વીય દળ $= 4 \ amu$) અને $1$ મોલ આર્ગોન વાયુ (પરમાણ્વીય દળ $= 40 \ amu$) ના મિશ્રણને એક પાત્રમાં $300 \ K$ તાપમાને રાખવામાં આવે છે. તેમના rms ઝડપનો ગુણોત્તર $\left(\frac{v_{\text{rms}} \text{ (હિલિયમ)}}{v_{\text{rms}} \text{ (આર્ગોન)}}\right)$ કેટલો થાય?
A
$0.32$
B
$0.45$
C
$2.24$
D
$3.16$
Solution
(D) વાયુની rms ઝડપનું સૂત્ર $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
બંને વાયુઓ એક જ પાત્રમાં સમાન તાપમાન $T = 300 \ K$ પર હોવાથી,તેમની rms ઝડપનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{v_{\text{rms}} \text{ (હિલિયમ)}}{v_{\text{rms}} \text{ (આર્ગોન)}} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M_{\text{He}}}}}{\sqrt{\frac{3RT}{M_{\text{Ar}}}}} = \sqrt{\frac{M_{\text{Ar}}}{M_{\text{He}}}}$
અહીં $M_{\text{He}} = 4 \ amu$ અને $M_{\text{Ar}} = 40 \ amu$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{v_{\text{rms}} \text{ (હિલિયમ)}}{v_{\text{rms}} \text{ (આર્ગોન)}} = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.16$.
બંને વાયુઓ એક જ પાત્રમાં સમાન તાપમાન $T = 300 \ K$ પર હોવાથી,તેમની rms ઝડપનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{v_{\text{rms}} \text{ (હિલિયમ)}}{v_{\text{rms}} \text{ (આર્ગોન)}} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M_{\text{He}}}}}{\sqrt{\frac{3RT}{M_{\text{Ar}}}}} = \sqrt{\frac{M_{\text{Ar}}}{M_{\text{He}}}}$
અહીં $M_{\text{He}} = 4 \ amu$ અને $M_{\text{Ar}} = 40 \ amu$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{v_{\text{rms}} \text{ (હિલિયમ)}}{v_{\text{rms}} \text{ (આર્ગોન)}} = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.16$.
0 likesView Solution
2
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
એક નાનો બ્લોક $4.9 \ m$ ની અખિંચાયેલી લંબાઈ ધરાવતી દળરહિત સ્પ્રિંગના એક છેડે જોડાયેલ છે. સ્પ્રિંગનો બીજો છેડો $O$ પર જડિત છે. આ તંત્ર સમક્ષિતિજ ઘર્ષણરહિત સપાટી પર રહેલું છે. બ્લોકને $0.2 \ m$ ખેંચીને $t = 0$ સમયે સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. તે $\omega = \frac{\pi}{3} \ rad/s$ ની કોણીય આવૃત્તિ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. તે જ સમયે $t = 0$ પર,એક નાનો પથ્થર આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $P$ બિંદુથી $45^{\circ}$ ના ખૂણે $v$ ઝડપથી ફેંકવામાં આવે છે. બિંદુ $P$ એ $O$ થી $10 \ m$ ના સમક્ષિતિજ અંતરે છે. જો પથ્થર $t = 1 \ s$ પર બ્લોકને અથડાય,તો $v$ નું મૂલ્ય શોધો ($g = 10 \ m/s^2$ લો):
A
$\sqrt{50} \ m/s$
B
$\sqrt{51} \ m/s$
C
$\sqrt{52} \ m/s$
D
$\sqrt{53} \ m/s$
Solution
(A) $1$. સૌ પ્રથમ,$t = 1 \ s$ સમયે બ્લોકનું સ્થાન નક્કી કરો. બ્લોક $t = 0$ સમયે અંતિમ સ્થાન $x = A = 0.2 \ m$ થી શરૂ થાય છે. ગતિનું સમીકરણ $x(t) = A \cos(\omega t)$ છે.
$2$. $t = 1 \ s$ પર,$x(1) = 0.2 \cos(\frac{\pi}{3} \times 1) = 0.2 \cos(60^{\circ}) = 0.2 \times 0.5 = 0.1 \ m$. તેથી,બ્લોક $O$ થી $0.1 \ m$ અંતરે છે.
$3$. પથ્થરને $P$ બિંદુથી $x = 10 \ m$ પરથી ફેંકવામાં આવે છે. તે $x = 0.1 \ m$ પર બ્લોકને અથડાય છે. પથ્થર દ્વારા કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $d = 10 - 0.1 = 9.9 \ m$ છે.
$4$. વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos(45^{\circ}) = \frac{v}{\sqrt{2}}$ છે.
$5$. સમક્ષિતિજ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_x} \implies 1 = \frac{9.9}{v/\sqrt{2}} \implies v = 9.9 \sqrt{2} \approx 14 \ m/s$.
$6$. જો કે,$t = 1 \ s$ પર પથ્થર જમીનના સ્તરે પણ હોવો જોઈએ. શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y(t) = (v \sin 45^{\circ})t - \frac{1}{2}gt^2$ છે. $y(1) = 0$ લેતા,આપણને $v \sin 45^{\circ} = \frac{1}{2}g(1) = 5 \implies v = 5\sqrt{2} = \sqrt{50} \ m/s$ મળે છે.
$2$. $t = 1 \ s$ પર,$x(1) = 0.2 \cos(\frac{\pi}{3} \times 1) = 0.2 \cos(60^{\circ}) = 0.2 \times 0.5 = 0.1 \ m$. તેથી,બ્લોક $O$ થી $0.1 \ m$ અંતરે છે.
$3$. પથ્થરને $P$ બિંદુથી $x = 10 \ m$ પરથી ફેંકવામાં આવે છે. તે $x = 0.1 \ m$ પર બ્લોકને અથડાય છે. પથ્થર દ્વારા કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $d = 10 - 0.1 = 9.9 \ m$ છે.
$4$. વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos(45^{\circ}) = \frac{v}{\sqrt{2}}$ છે.
$5$. સમક્ષિતિજ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_x} \implies 1 = \frac{9.9}{v/\sqrt{2}} \implies v = 9.9 \sqrt{2} \approx 14 \ m/s$.
$6$. જો કે,$t = 1 \ s$ પર પથ્થર જમીનના સ્તરે પણ હોવો જોઈએ. શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y(t) = (v \sin 45^{\circ})t - \frac{1}{2}gt^2$ છે. $y(1) = 0$ લેતા,આપણને $v \sin 45^{\circ} = \frac{1}{2}g(1) = 5 \implies v = 5\sqrt{2} = \sqrt{50} \ m/s$ મળે છે.
0 likesView Solution
3
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતી ત્રણ ખૂબ મોટી પ્લેટો એકબીજાની નજીક અને સમાંતર રાખવામાં આવી છે. તેમને આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થો (ideal black surfaces) ગણવામાં આવે છે અને તેમની ઉષ્મીય વાહકતા ખૂબ ઊંચી છે. પ્રથમ અને ત્રીજી પ્લેટના તાપમાન અનુક્રમે $2\ T$ અને $3\ T$ જાળવી રાખવામાં આવે છે. સ્થાયી અવસ્થામાં વચ્ચેની (એટલે કે બીજી) પ્લેટનું તાપમાન કેટલું હશે?
A
$\left(\frac{65}{2}\right)^{\frac{1}{4}} \ T$
B
$\left(\frac{97}{4}\right)^{\frac{1}{4}} \ T$
C
$\left(\frac{97}{2}\right)^{\frac{1}{4}} \ T$
D
$\left(97\right)^{\frac{1}{4}} \ T$
Solution
(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,વચ્ચેની પ્લેટ દ્વારા શોષાયેલી ઉર્જા એ વચ્ચેની પ્લેટ દ્વારા મુક્ત કરાયેલી ઉર્જા જેટલી હોય છે.
ધારો કે વચ્ચેની પ્લેટનું તાપમાન $T'$ છે.
પ્રથમ પ્લેટ ($3T$ પર) થી વચ્ચેની પ્લેટ પર આપાત થતી વિકિરણ ઉર્જા $\sigma A (3T)^4$ છે.
વચ્ચેની પ્લેટ દ્વારા પ્રથમ પ્લેટ તરફ ઉત્સર્જિત વિકિરણ ઉર્જા $\sigma A (T')^4$ છે.
પ્રથમ પ્લેટમાંથી શોષાયેલી ચોખ્ખી ઉર્જા $\sigma A (3T)^4 - \sigma A (T')^4$ છે.
ત્રીજી પ્લેટ ($2T$ પર) થી વચ્ચેની પ્લેટ પર આપાત થતી વિકિરણ ઉર્જા $\sigma A (2T)^4$ છે.
વચ્ચેની પ્લેટ દ્વારા ત્રીજી પ્લેટ તરફ ઉત્સર્જિત વિકિરણ ઉર્જા $\sigma A (T')^4$ છે.
ત્રીજી પ્લેટને મુક્ત કરાયેલી ચોખ્ખી ઉર્જા $\sigma A (T')^4 - \sigma A (2T)^4$ છે.
શોષાયેલી અને મુક્ત થયેલી ચોખ્ખી ઉર્જાને સરખાવતા:
$\sigma A (3T)^4 - \sigma A (T')^4 = \sigma A (T')^4 - \sigma A (2T)^4$
$(3T)^4 - (T')^4 = (T')^4 - (2T)^4$
$81T^4 + 16T^4 = 2(T')^4$
$97T^4 = 2(T')^4$
$(T')^4 = \frac{97}{2} T^4$
$T' = \left(\frac{97}{2}\right)^{\frac{1}{4}} T$
ધારો કે વચ્ચેની પ્લેટનું તાપમાન $T'$ છે.
પ્રથમ પ્લેટ ($3T$ પર) થી વચ્ચેની પ્લેટ પર આપાત થતી વિકિરણ ઉર્જા $\sigma A (3T)^4$ છે.
વચ્ચેની પ્લેટ દ્વારા પ્રથમ પ્લેટ તરફ ઉત્સર્જિત વિકિરણ ઉર્જા $\sigma A (T')^4$ છે.
પ્રથમ પ્લેટમાંથી શોષાયેલી ચોખ્ખી ઉર્જા $\sigma A (3T)^4 - \sigma A (T')^4$ છે.
ત્રીજી પ્લેટ ($2T$ પર) થી વચ્ચેની પ્લેટ પર આપાત થતી વિકિરણ ઉર્જા $\sigma A (2T)^4$ છે.
વચ્ચેની પ્લેટ દ્વારા ત્રીજી પ્લેટ તરફ ઉત્સર્જિત વિકિરણ ઉર્જા $\sigma A (T')^4$ છે.
ત્રીજી પ્લેટને મુક્ત કરાયેલી ચોખ્ખી ઉર્જા $\sigma A (T')^4 - \sigma A (2T)^4$ છે.
શોષાયેલી અને મુક્ત થયેલી ચોખ્ખી ઉર્જાને સરખાવતા:
$\sigma A (3T)^4 - \sigma A (T')^4 = \sigma A (T')^4 - \sigma A (2T)^4$
$(3T)^4 - (T')^4 = (T')^4 - (2T)^4$
$81T^4 + 16T^4 = 2(T')^4$
$97T^4 = 2(T')^4$
$(T')^4 = \frac{97}{2} T^4$
$T' = \left(\frac{97}{2}\right)^{\frac{1}{4}} T$
0 likesView Solution
4
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
$O$ પર ધરી ધરાવતો એક પાતળો સમાન સળિયો સમક્ષિતિજ સમતલમાં અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ થી ફરે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. $t = 0$ સમયે,$m$ દળ ધરાવતું એક નાનું જીવડું $O$ થી શરૂઆત કરે છે અને સળિયાની સાપેક્ષમાં અચળ ઝડપ $v$ થી બીજા છેડા તરફ ગતિ કરે છે. તે $t = T$ સમયે સળિયાના છેડે પહોંચે છે અને અટકી જાય છે. સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન તંત્રની કોણીય ઝડપ $\omega$ રહે છે. $O$ ની સાપેક્ષમાં તંત્ર પર લાગતા ટોર્ક $(|\vec{\tau}|)$ ના મૂલ્યને સમયના વિધેય તરીકે નીચેનામાંથી કયો આલેખ શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવે છે?
A
એક આલેખ જે $t < T$ માટે સમય સાથે ટોર્કમાં રેખીય વધારો અને $t > T$ માટે શૂન્ય દર્શાવે છે.
B
એક આલેખ જે $t < T$ માટે અચળ ટોર્ક અને $t > T$ માટે શૂન્ય દર્શાવે છે.
C
એક આલેખ જે $t < T$ માટે સમય સાથે ટોર્કમાં પરવલયાકાર વધારો અને $t > T$ માટે શૂન્ય દર્શાવે છે.
D
એક આલેખ જે $t < T$ માટે સમય સાથે ટોર્કમાં રેખીય ઘટાડો અને $t > T$ માટે શૂન્ય દર્શાવે છે.
Solution
(A) ધરી $O$ ની સાપેક્ષમાં જીવડાનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જીવડાની જડત્વની ચાકમાત્રા છે. જીવડું $O$ થી $r = vt$ અંતરે હોવાથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m(vt)^2 = mv^2t^2$ છે.
આમ,$L = (mv^2t^2)\omega = mv^2\omega t^2$.
અચળ કોણીય ઝડપ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau$ એ કોણીય વેગમાનના ફેરફારનો દર છે:
$\tau = \frac{dL}{dt} = \frac{d}{dt}(mv^2\omega t^2) = 2mv^2\omega t$.
$\tau = 2mv^2\omega t$ હોવાથી,$0 \le t \le T$ માટે ટોર્ક એ સમય $t$ ના સમપ્રમાણમાં છે. આ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$t > T$ માટે,જીવડું ગતિ કરવાનું બંધ કરે છે,તેથી તેનું કોણીય વેગમાન અચળ થઈ જાય છે અને ટોર્ક શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,આલેખ $t=0$ થી $t=T$ સુધી રેખીય વધારો અને ત્યારબાદ શૂન્ય દર્શાવવો જોઈએ.
આમ,$L = (mv^2t^2)\omega = mv^2\omega t^2$.
અચળ કોણીય ઝડપ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau$ એ કોણીય વેગમાનના ફેરફારનો દર છે:
$\tau = \frac{dL}{dt} = \frac{d}{dt}(mv^2\omega t^2) = 2mv^2\omega t$.
$\tau = 2mv^2\omega t$ હોવાથી,$0 \le t \le T$ માટે ટોર્ક એ સમય $t$ ના સમપ્રમાણમાં છે. આ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$t > T$ માટે,જીવડું ગતિ કરવાનું બંધ કરે છે,તેથી તેનું કોણીય વેગમાન અચળ થઈ જાય છે અને ટોર્ક શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,આલેખ $t=0$ થી $t=T$ સુધી રેખીય વધારો અને ત્યારબાદ શૂન્ય દર્શાવવો જોઈએ.
0 likesView Solution
5
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
સીર્લની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને યંગ મોડ્યુલસ $\left(Y=\frac{4 MLg}{\pi \ell d^2}\right)$ નક્કી કરવામાં,$L=2 \ m$ લંબાઈ અને $d=0.5 \ mm$ વ્યાસ ધરાવતા તારનો ઉપયોગ થાય છે. $M=2.5 \ kg$ ના ભાર માટે,તારની લંબાઈમાં $\ell=0.25 \ mm$ નો વધારો જોવા મળે છે. $d$ અને $\ell$ રાશિઓ અનુક્રમે સ્ક્રૂ ગેજ અને માઈક્રોમીટરનો ઉપયોગ કરીને માપવામાં આવે છે. બંનેનો પિચ $0.5 \ mm$ છે. તેમના વર્તુળાકાર સ્કેલ પરના વિભાગોની સંખ્યા $100$ છે. $Y$ માપનમાં મહત્તમ સંભવિત ભૂલમાં ફાળો:
A
$d$ અને $\ell$ ના માપનમાં થતી ભૂલોને કારણે સમાન છે.
B
$d$ ના માપનમાં થતી ભૂલને કારણે $\ell$ ના માપનમાં થતી ભૂલ કરતા બમણો છે.
C
$\ell$ ના માપનમાં થતી ભૂલને કારણે $d$ ના માપનમાં થતી ભૂલ કરતા બમણો છે.
D
$d$ ના માપનમાં થતી ભૂલને કારણે $\ell$ ના માપનમાં થતી ભૂલ કરતા ચાર ગણો છે.
Solution
(A) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{4 MLg}{\pi \ell d^2}$ છે.
$Y$ માં મહત્તમ સાપેક્ષ ભૂલ $\left(\frac{\Delta Y}{Y}\right)_{\max} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta d}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સાધનોનું લઘુત્તમ માપ (Least Count) $\text{LC} = \frac{\text{pitch}}{\text{divisions}} = \frac{0.5 \ mm}{100} = 0.005 \ mm$ છે. તેથી,$\Delta d = \Delta \ell = 0.005 \ mm$.
$\ell$ ને કારણે સાપેક્ષ ભૂલનો ફાળો $\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{0.005 \ mm}{0.25 \ mm} = 0.02$ છે.
$d$ ને કારણે સાપેક્ષ ભૂલનો ફાળો $2 \frac{\Delta d}{d} = 2 \times \frac{0.005 \ mm}{0.5 \ mm} = 2 \times 0.01 = 0.02$ છે.
બંને ફાળો $0.02$ જેટલો સમાન હોવાથી,$d$ અને $\ell$ ના માપનમાં થતી ભૂલો $Y$ ની મહત્તમ સંભવિત ભૂલમાં સમાન ફાળો આપે છે.
$Y$ માં મહત્તમ સાપેક્ષ ભૂલ $\left(\frac{\Delta Y}{Y}\right)_{\max} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta d}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સાધનોનું લઘુત્તમ માપ (Least Count) $\text{LC} = \frac{\text{pitch}}{\text{divisions}} = \frac{0.5 \ mm}{100} = 0.005 \ mm$ છે. તેથી,$\Delta d = \Delta \ell = 0.005 \ mm$.
$\ell$ ને કારણે સાપેક્ષ ભૂલનો ફાળો $\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{0.005 \ mm}{0.25 \ mm} = 0.02$ છે.
$d$ ને કારણે સાપેક્ષ ભૂલનો ફાળો $2 \frac{\Delta d}{d} = 2 \times \frac{0.005 \ mm}{0.5 \ mm} = 2 \times 0.01 = 0.02$ છે.
બંને ફાળો $0.02$ જેટલો સમાન હોવાથી,$d$ અને $\ell$ ના માપનમાં થતી ભૂલો $Y$ ની મહત્તમ સંભવિત ભૂલમાં સમાન ફાળો આપે છે.
0 likesView Solution
6
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
એક નાનું દળ $m$ એક દળરહિત દોરી સાથે જોડાયેલું છે જેનો બીજો છેડો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $P$ પર નિશ્ચિત છે. આ દળ $O$ કેન્દ્ર ધરાવતા $x-y$ સમતલમાં અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે વર્તુળાકાર ગતિ કરી રહ્યું છે. જો તંત્રનું કોણીય વેગમાન,$O$ અને $P$ ની સાપેક્ષે અનુક્રમે $\vec{L}_O$ અને $\vec{L}_P$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે,તો
A
$\vec{L}_O$ અને $\vec{L}_P$ સમય સાથે બદલાતા નથી.
B
$\vec{L}_O$ સમય સાથે બદલાય છે જ્યારે $\vec{L}_P$ અચળ રહે છે.
C
$\vec{L}_O$ અચળ રહે છે જ્યારે $\vec{L}_P$ સમય સાથે બદલાય છે.
D
$\vec{L}_O$ અને $\vec{L}_P$ બંને સમય સાથે બદલાય છે.
Solution
(C) કોઈ બિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $O$ (વર્તુળનું કેન્દ્ર) માટે,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ એ $x-y$ સમતલમાં છે અને વેગ $\vec{v}$ એ વર્તુળને સ્પર્શક છે. કોણીય વેગમાન $\vec{L}_O = \vec{r} \times m\vec{v}$ એ $z$-અક્ષની દિશામાં (ગતિના સમતલને લંબ) હોય છે. ઝડપ અને ત્રિજ્યા અચળ હોવાથી,$\vec{L}_O$ નું મૂલ્ય અને દિશા અચળ રહે છે.
બિંદુ $P$ ($z$-અક્ષ પરનું બિંદુ) માટે,$P$ થી દળ $m$ સુધીનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}'$ જેમ દળ વર્તુળમાં ગતિ કરે છે તેમ તેની દિશા બદલે છે. પરિણામે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{L}_P = \vec{r}' \times m\vec{v}$ ની દિશા સતત બદલાતી રહે છે,ભલે તેનું મૂલ્ય અચળ રહે. તેથી,$\vec{L}_P$ સમય સાથે બદલાય છે.
આમ,$\vec{L}_O$ અચળ રહે છે જ્યારે $\vec{L}_P$ સમય સાથે બદલાય છે.
બિંદુ $O$ (વર્તુળનું કેન્દ્ર) માટે,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ એ $x-y$ સમતલમાં છે અને વેગ $\vec{v}$ એ વર્તુળને સ્પર્શક છે. કોણીય વેગમાન $\vec{L}_O = \vec{r} \times m\vec{v}$ એ $z$-અક્ષની દિશામાં (ગતિના સમતલને લંબ) હોય છે. ઝડપ અને ત્રિજ્યા અચળ હોવાથી,$\vec{L}_O$ નું મૂલ્ય અને દિશા અચળ રહે છે.
બિંદુ $P$ ($z$-અક્ષ પરનું બિંદુ) માટે,$P$ થી દળ $m$ સુધીનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}'$ જેમ દળ વર્તુળમાં ગતિ કરે છે તેમ તેની દિશા બદલે છે. પરિણામે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{L}_P = \vec{r}' \times m\vec{v}$ ની દિશા સતત બદલાતી રહે છે,ભલે તેનું મૂલ્ય અચળ રહે. તેથી,$\vec{L}_P$ સમય સાથે બદલાય છે.
આમ,$\vec{L}_O$ અચળ રહે છે જ્યારે $\vec{L}_P$ સમય સાથે બદલાય છે.
0 likesView Solution
7
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
એક વ્યક્તિ લાંબી પાઇપના ખુલ્લા છેડામાં ફૂંક મારે છે. પરિણામે,હવાનું ઉચ્ચ-દબાણનું પલ્સ પાઇપમાં નીચે તરફ ગતિ કરે છે. જ્યારે આ પલ્સ પાઇપના બીજા છેડે પહોંચે છે ત્યારે:
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, D)$
D
$(C, D)$
Solution
(A) જ્યારે ઉચ્ચ-દબાણનું પલ્સ (સંકોચન) ખુલ્લા છેડે પહોંચે છે,ત્યારે તે નિમ્ન-દબાણના પલ્સ (વિઘનન) તરીકે પરાવર્તિત થાય છે કારણ કે ખુલ્લા છેડે દબાણ અચળ (વાતાવરણીય દબાણ) રહેવું જોઈએ. આમ,નિમ્ન-દબાણનું પલ્સ પાછું ફરે છે.
જ્યારે ઉચ્ચ-દબાણનું પલ્સ (સંકોચન) બંધ છેડે પહોંચે છે,ત્યારે તે ઉચ્ચ-દબાણના પલ્સ (સંકોચન) તરીકે પરાવર્તિત થાય છે કારણ કે હવાના કણો સીમાની પેલે પાર જઈ શકતા નથી,જેનાથી દબાણ વધે છે. આમ,ઉચ્ચ-દબાણનું પલ્સ પાછું ફરે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા:
$(B)$ જો બીજો છેડો ખુલ્લો હોય તો નિમ્ન-દબાણનું પલ્સ પાઇપમાં ઉપર તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે (સાચું).
$(D)$ જો બીજો છેડો બંધ હોય તો ઉચ્ચ-દબાણનું પલ્સ પાઇપમાં ઉપર તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે (સાચું).
તેથી,સાચું સંયોજન $(B, D)$ છે.
જ્યારે ઉચ્ચ-દબાણનું પલ્સ (સંકોચન) બંધ છેડે પહોંચે છે,ત્યારે તે ઉચ્ચ-દબાણના પલ્સ (સંકોચન) તરીકે પરાવર્તિત થાય છે કારણ કે હવાના કણો સીમાની પેલે પાર જઈ શકતા નથી,જેનાથી દબાણ વધે છે. આમ,ઉચ્ચ-દબાણનું પલ્સ પાછું ફરે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા:
$(B)$ જો બીજો છેડો ખુલ્લો હોય તો નિમ્ન-દબાણનું પલ્સ પાઇપમાં ઉપર તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે (સાચું).
$(D)$ જો બીજો છેડો બંધ હોય તો ઉચ્ચ-દબાણનું પલ્સ પાઇપમાં ઉપર તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે (સાચું).
તેથી,સાચું સંયોજન $(B, D)$ છે.
0 likesView Solution
8
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2012
$0.1 \ kg$ દળનો એક નાનો બ્લોક એક સ્થિર ઢળતી સપાટી $PQ$ પર રહેલો છે,જે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બ્લોકના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર $1 \ N$ નું સમક્ષિતિજ બળ લાગે છે. જો ($g = 10 \ m/s^2$ લો),તો બ્લોક સ્થિર રહે છે જો:
A
$(B, C)$
B
$(A, C)$
C
$(A, D)$
D
$(C, D)$
Solution
(B) ઢળતી સપાટી પર બ્લોક પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ જે $P$ તરફ નીચેની દિશામાં લાગે છે અને સમક્ષિતિજ બળનો ઘટક $F \cos \theta$ જે $Q$ તરફ ઉપરની દિશામાં લાગે છે. અહીં,$m = 0.1 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $F = 1 \ N$ છે.
તેથી,$mg \sin \theta = 0.1 \times 10 \times \sin \theta = 1 \sin \theta$ અને $F \cos \theta = 1 \times \cos \theta = \cos \theta$.
ઢાળ પરનું પરિણામી બળ $F_{net} = mg \sin \theta - F \cos \theta = \sin \theta - \cos \theta$ છે.
જો $\sin \theta = \cos \theta$ હોય,તો $\theta = 45^{\circ}$ થાય,પરિણામી બળ શૂન્ય થાય અને બ્લોક ઘર્ષણ વગર $(f = 0)$ સ્થિર રહે છે.
જો $\sin \theta > \cos \theta$ (એટલે કે $\theta > 45^{\circ}$) હોય,તો બ્લોક $P$ તરફ નીચે સરકવાની વૃત્તિ ધરાવે છે,તેથી તેને સ્થિર રાખવા માટે ઘર્ષણ બળ $f$ એ $Q$ તરફ લાગવું જોઈએ.
જો $\sin \theta < \cos \theta$ (એટલે કે $\theta < 45^{\circ}$) હોય,તો બ્લોક $Q$ તરફ ઉપર સરકવાની વૃત્તિ ધરાવે છે,તેથી તેને સ્થિર રાખવા માટે ઘર્ષણ બળ $f$ એ $P$ તરફ લાગવું જોઈએ.
આમ,બ્લોક $\theta = 45^{\circ}$ (ઘર્ષણ વગર),$\theta > 45^{\circ}$ ($Q$ તરફ ઘર્ષણ),અથવા $\theta < 45^{\circ}$ ($P$ તરફ ઘર્ષણ) હોય ત્યારે સ્થિર રહે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચી જોડીઓ $(A)$ અને $(C)$ છે.
તેથી,$mg \sin \theta = 0.1 \times 10 \times \sin \theta = 1 \sin \theta$ અને $F \cos \theta = 1 \times \cos \theta = \cos \theta$.
ઢાળ પરનું પરિણામી બળ $F_{net} = mg \sin \theta - F \cos \theta = \sin \theta - \cos \theta$ છે.
જો $\sin \theta = \cos \theta$ હોય,તો $\theta = 45^{\circ}$ થાય,પરિણામી બળ શૂન્ય થાય અને બ્લોક ઘર્ષણ વગર $(f = 0)$ સ્થિર રહે છે.
જો $\sin \theta > \cos \theta$ (એટલે કે $\theta > 45^{\circ}$) હોય,તો બ્લોક $P$ તરફ નીચે સરકવાની વૃત્તિ ધરાવે છે,તેથી તેને સ્થિર રાખવા માટે ઘર્ષણ બળ $f$ એ $Q$ તરફ લાગવું જોઈએ.
જો $\sin \theta < \cos \theta$ (એટલે કે $\theta < 45^{\circ}$) હોય,તો બ્લોક $Q$ તરફ ઉપર સરકવાની વૃત્તિ ધરાવે છે,તેથી તેને સ્થિર રાખવા માટે ઘર્ષણ બળ $f$ એ $P$ તરફ લાગવું જોઈએ.
આમ,બ્લોક $\theta = 45^{\circ}$ (ઘર્ષણ વગર),$\theta > 45^{\circ}$ ($Q$ તરફ ઘર્ષણ),અથવા $\theta < 45^{\circ}$ ($P$ તરફ ઘર્ષણ) હોય ત્યારે સ્થિર રહે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચી જોડીઓ $(A)$ અને $(C)$ છે.
0 likesView Solution
9
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,સમાન દળ ઘનતા અને $2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી મોટી તકતીમાંથી $2R$ વ્યાસની નાની તકતી દૂર કરીને એક લેમિના બનાવવામાં આવે છે. આ લેમિનાની $O$ અને $P$ માંથી પસાર થતી અક્ષોને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ અનુક્રમે $I_0$ અને $I_P$ છે. આ બંને અક્ષો લેમિનાના સમતલને લંબ છે. $\frac{I_P}{I_0}$ નો ગુણોત્તર નજીકના પૂર્ણાંકમાં કેટલો થાય?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(C) ધારો કે નાની તકતીનું દળ $m$ છે. ક્ષેત્રફળ ત્રિજ્યાના વર્ગના પ્રમાણમાં હોવાથી,મોટી તકતી (ત્રિજ્યા $2R$) નું દળ $4m$ થશે.
$I_0$ માટે:
મોટી તકતીની $O$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{large, O} = \frac{(4m)(2R)^2}{2} = 8mR^2$ છે.
નાની તકતીની તેના પોતાના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $\frac{mR^2}{2}$ છે. સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$O$ ને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{small, O} = \frac{mR^2}{2} + mR^2 = \frac{3}{2}mR^2$ થાય.
આમ,$I_0 = 8mR^2 - \frac{3}{2}mR^2 = \frac{13}{2}mR^2$.
$I_P$ માટે:
મોટી તકતીની $P$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ (સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા) $I_{large, P} = \frac{(4m)(2R)^2}{2} + (4m)(2R)^2 = 8mR^2 + 16mR^2 = 24mR^2$ થાય.
નાની તકતીની $P$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ (સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા) $I_{small, P} = \frac{mR^2}{2} + m((2R)^2 + R^2) = \frac{mR^2}{2} + 5mR^2 = \frac{11}{2}mR^2$ થાય.
આમ,$I_P = 24mR^2 - \frac{11}{2}mR^2 = \frac{37}{2}mR^2$.
ગુણોત્તર $\frac{I_P}{I_0} = \frac{37/2}{13/2} = \frac{37}{13} \approx 2.846$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $3$ મળે છે.
$I_0$ માટે:
મોટી તકતીની $O$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{large, O} = \frac{(4m)(2R)^2}{2} = 8mR^2$ છે.
નાની તકતીની તેના પોતાના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $\frac{mR^2}{2}$ છે. સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$O$ ને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{small, O} = \frac{mR^2}{2} + mR^2 = \frac{3}{2}mR^2$ થાય.
આમ,$I_0 = 8mR^2 - \frac{3}{2}mR^2 = \frac{13}{2}mR^2$.
$I_P$ માટે:
મોટી તકતીની $P$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ (સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા) $I_{large, P} = \frac{(4m)(2R)^2}{2} + (4m)(2R)^2 = 8mR^2 + 16mR^2 = 24mR^2$ થાય.
નાની તકતીની $P$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ (સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા) $I_{small, P} = \frac{mR^2}{2} + m((2R)^2 + R^2) = \frac{mR^2}{2} + 5mR^2 = \frac{11}{2}mR^2$ થાય.
આમ,$I_P = 24mR^2 - \frac{11}{2}mR^2 = \frac{37}{2}mR^2$.
ગુણોત્તર $\frac{I_P}{I_0} = \frac{37/2}{13/2} = \frac{37}{13} \approx 2.846$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $3$ મળે છે.
0 likesView Solution
10
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
એક પાતળું સમાન નળાકાર કવચ,જે બંને છેડેથી બંધ છે,તે આંશિક રીતે પાણીથી ભરેલું છે. તે પાણીમાં અડધું ડૂબેલું રહીને ઊભું તરે છે. જો $\rho_c$ એ કવચના દ્રવ્યની પાણીની સાપેક્ષ ઘનતા હોય,તો સાચું વિધાન કયું છે?
A
જો $\rho_c < 0.5$ હોય તો તે અડધાથી વધુ ભરેલું છે
B
જો $\rho_c < 1.0$ હોય તો તે અડધાથી વધુ ભરેલું છે
C
જો $\rho_c < 0.5$ હોય તો તે અડધું ભરેલું છે
D
જો $\rho_c < 0.5$ હોય તો તે અડધાથી ઓછું ભરેલું છે
Solution
(A) ધારો કે કવચનું બહારનું કદ $V_0$ છે અને અંદરનું કદ $V_i$ છે.
ધારો કે કવચની અંદરના પાણીનું કદ $V$ છે.
ધારો કે કવચના દ્રવ્યની સાપેક્ષ ઘનતા $\rho_c$ છે.
કવચ અડધું ડૂબેલું રહે તે માટે,કવચ અને અંદરના પાણીનું કુલ વજન એ વિસ્થાપિત પાણી દ્વારા લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
કવચનું વજન $W_s = \rho_c (V_0 - V_i) g$ છે.
અંદરના પાણીનું વજન $W_w = V g$ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = \frac{V_0}{2} g$ છે (કારણ કે તે અડધું ડૂબેલું છે).
વજન અને ઉત્પ્લાવક બળને સરખાવતા: $\rho_c (V_0 - V_i) g + V g = \frac{V_0}{2} g$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $\rho_c (V_0 - V_i) = \frac{V_0}{2} - V$.
આમ,$\rho_c = \frac{V_0/2 - V}{V_0 - V_i}$.
જો $\rho_c < 0.5$ હોય,તો $\frac{V_0/2 - V}{V_0 - V_i} < \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ $2(V_0 - V_i)$ વડે ગુણતા: $V_0 - 2V < V_0 - V_i$.
આનું સાદુરૂપ $-2V < -V_i$ અથવા $V > V_i / 2$ થાય છે.
જેથી,$V > V_i / 2$ નો અર્થ એ છે કે કવચ અડધાથી વધુ ભરેલું છે.
ધારો કે કવચની અંદરના પાણીનું કદ $V$ છે.
ધારો કે કવચના દ્રવ્યની સાપેક્ષ ઘનતા $\rho_c$ છે.
કવચ અડધું ડૂબેલું રહે તે માટે,કવચ અને અંદરના પાણીનું કુલ વજન એ વિસ્થાપિત પાણી દ્વારા લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
કવચનું વજન $W_s = \rho_c (V_0 - V_i) g$ છે.
અંદરના પાણીનું વજન $W_w = V g$ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = \frac{V_0}{2} g$ છે (કારણ કે તે અડધું ડૂબેલું છે).
વજન અને ઉત્પ્લાવક બળને સરખાવતા: $\rho_c (V_0 - V_i) g + V g = \frac{V_0}{2} g$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $\rho_c (V_0 - V_i) = \frac{V_0}{2} - V$.
આમ,$\rho_c = \frac{V_0/2 - V}{V_0 - V_i}$.
જો $\rho_c < 0.5$ હોય,તો $\frac{V_0/2 - V}{V_0 - V_i} < \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ $2(V_0 - V_i)$ વડે ગુણતા: $V_0 - 2V < V_0 - V_i$.
આનું સાદુરૂપ $-2V < -V_i$ અથવા $V > V_i / 2$ થાય છે.
જેથી,$V > V_i / 2$ નો અર્થ એ છે કે કવચ અડધાથી વધુ ભરેલું છે.
0 likesView Solution
11
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
એક ડિસ્કને તેના કેન્દ્ર $O$ ની આસપાસ અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે સમક્ષિતિજ સમતલમાં ફરતી ધ્યાનમાં લો. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ડિસ્કના વ્યાસની એક બાજુએ છાયાંકિત ભાગ અને બીજી બાજુએ અછાયાંકિત ભાગ છે. જ્યારે ડિસ્ક આકૃતિમાં દર્શાવેલ સ્થિતિમાં હોય,ત્યારે બે કાંકરા $P$ અને $Q$ ને એકસાથે $R$ તરફ એક ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. પ્રક્ષેપણનો વેગ $y-z$ સમતલમાં છે અને ડિસ્કની સાપેક્ષમાં બંને કાંકરા માટે સમાન છે. ધારો કે $(i)$ તેઓ ડિસ્ક $\frac{1}{8}$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે તે પહેલાં ડિસ્ક પર પાછા ફરે છે,$(ii)$ તેમની રેન્જ ડિસ્કની અડધી ત્રિજ્યા કરતા ઓછી છે,અને $(iii)$ $\omega$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે. તો
A
$P$ છાયાંકિત ભાગમાં અને $Q$ અછાયાંકિત ભાગમાં પડે છે
B
$P$ અછાયાંકિત ભાગમાં અને $Q$ છાયાંકિત ભાગમાં પડે છે
C
બંને $P$ અને $Q$ અછાયાંકિત ભાગમાં પડે છે
D
બંને $P$ અને $Q$ છાયાંકિત ભાગમાં પડે છે
Solution
(A) ધારો કે કાંકરાનું સ્થાન કેન્દ્ર $O$ થી તેમના અંતર $r$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં કણની કોણીય ઝડપ $\omega_{p} = \frac{v_{\theta}}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_{\theta}$ એ વેગનો સ્પર્શક ઘટક છે.
કાંકરા $P$ માટે,કેન્દ્ર $O$ થી અંતર $r$ શરૂઆતમાં ઘટે છે કારણ કે તે $O$ તરફ ગતિ કરે છે અને પછી $O$ ને પસાર કર્યા પછી વધે છે. $v_{\theta}$ અચળ હોવાથી,કોણીય ઝડપ $\omega_{p} = \frac{v_{\theta}}{r}$ શરૂઆતમાં વધે છે અને પછી ઘટે છે. $P$ ની સરેરાશ કોણીય ઝડપ ડિસ્કની કોણીય ઝડપ $\omega$ કરતા વધારે છે. આમ,$P$ ડિસ્ક કરતા મોટો ખૂણો કાપે છે અને છાયાંકિત ભાગમાં પડે છે.
કાંકરા $Q$ માટે,કેન્દ્ર $O$ થી અંતર $r$ સતત વધતું જાય છે કારણ કે તે $O$ થી દૂર જાય છે. પરિણામે,કોણીય ઝડપ $\omega_{q} = \frac{v_{\theta}}{r}$ સતત ઘટતી જાય છે. $Q$ ની સરેરાશ કોણીય ઝડપ ડિસ્કની કોણીય ઝડપ $\omega$ કરતા ઓછી છે. આમ,$Q$ ડિસ્ક કરતા નાનો ખૂણો કાપે છે અને અછાયાંકિત ભાગમાં પડે છે.
કાંકરા $P$ માટે,કેન્દ્ર $O$ થી અંતર $r$ શરૂઆતમાં ઘટે છે કારણ કે તે $O$ તરફ ગતિ કરે છે અને પછી $O$ ને પસાર કર્યા પછી વધે છે. $v_{\theta}$ અચળ હોવાથી,કોણીય ઝડપ $\omega_{p} = \frac{v_{\theta}}{r}$ શરૂઆતમાં વધે છે અને પછી ઘટે છે. $P$ ની સરેરાશ કોણીય ઝડપ ડિસ્કની કોણીય ઝડપ $\omega$ કરતા વધારે છે. આમ,$P$ ડિસ્ક કરતા મોટો ખૂણો કાપે છે અને છાયાંકિત ભાગમાં પડે છે.
કાંકરા $Q$ માટે,કેન્દ્ર $O$ થી અંતર $r$ સતત વધતું જાય છે કારણ કે તે $O$ થી દૂર જાય છે. પરિણામે,કોણીય ઝડપ $\omega_{q} = \frac{v_{\theta}}{r}$ સતત ઘટતી જાય છે. $Q$ ની સરેરાશ કોણીય ઝડપ ડિસ્કની કોણીય ઝડપ $\omega$ કરતા ઓછી છે. આમ,$Q$ ડિસ્ક કરતા નાનો ખૂણો કાપે છે અને અછાયાંકિત ભાગમાં પડે છે.
0 likesView Solution
12
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
એક વિદ્યાર્થી રેઝોનન્સ કોલમનો પ્રયોગ કરી રહ્યો છે. કોલમ ટ્યુબનો વ્યાસ $4 \ cm$ છે. ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $512 \ Hz$ છે. હવાનું તાપમાન $38^{\circ} C$ છે,જેમાં ધ્વનિની ઝડપ $336 \ m/s$ છે. મીટર સ્કેલનું શૂન્ય રેઝોનન્સ કોલમના ઉપરના છેડા સાથે સુસંગત છે. જ્યારે પ્રથમ રેઝોનન્સ થાય છે,ત્યારે કોલમમાં પાણીના સ્તરનું રીડિંગ કેટલું હશે ($cm$ માં)?
A
$14.0$
B
$15.2$
C
$16.4$
D
$17.6$
Solution
(B) બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં પ્રથમ રેઝોનન્સ માટેની શરત છે: $\frac{V}{4(\ell + e)} = f$,જ્યાં $V$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$\ell$ એ હવાના સ્તંભની લંબાઈ છે,$e$ એ એન્ડ કરેક્શન છે અને $f$ એ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ,એન્ડ કરેક્શન $e$ ની ગણતરી કરો. ત્રિજ્યા $r$ વાળી ટ્યુબ માટે,$e = 0.6r$. આપેલ વ્યાસ $d = 4 \ cm$ છે,તેથી $r = 2 \ cm$. આમ,$e = 0.6 \times 2 = 1.2 \ cm$.
$\ell$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\ell = \frac{V}{4f} - e$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V = 336 \ m/s = 33600 \ cm/s$,$f = 512 \ Hz$,અને $e = 1.2 \ cm$.
$\ell = \frac{33600}{4 \times 512} - 1.2 = \frac{33600}{2048} - 1.2 = 16.406 - 1.2 = 15.206 \ cm$.
નજીકની કિંમત લેતા,રીડિંગ $15.2 \ cm$ મળે છે.
પ્રથમ,એન્ડ કરેક્શન $e$ ની ગણતરી કરો. ત્રિજ્યા $r$ વાળી ટ્યુબ માટે,$e = 0.6r$. આપેલ વ્યાસ $d = 4 \ cm$ છે,તેથી $r = 2 \ cm$. આમ,$e = 0.6 \times 2 = 1.2 \ cm$.
$\ell$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\ell = \frac{V}{4f} - e$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V = 336 \ m/s = 33600 \ cm/s$,$f = 512 \ Hz$,અને $e = 1.2 \ cm$.
$\ell = \frac{33600}{4 \times 512} - 1.2 = \frac{33600}{2048} - 1.2 = 16.406 - 1.2 = 15.206 \ cm$.
નજીકની કિંમત લેતા,રીડિંગ $15.2 \ cm$ મળે છે.
0 likesView Solution
13
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
સમાન ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતી બે સમાન તકતીઓ તેમની ધરી પર વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ થી ભ્રમણ કરે છે. તકતીઓ એક જ સમક્ષિતિજ સમતલમાં છે. સમય $t=0$ પર,બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એકબીજાની સામે છે. બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચેની સાપેક્ષ ઝડપ સમયના વિધેય તરીકે નીચેનામાંથી કયા આલેખ દ્વારા શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવવામાં આવી છે?
A
B
C
D
Solution
(A) ધારો કે બંને તકતીઓનો કોણીય વેગ $\omega$ છે. તકતીની કિનારી પરના કોઈપણ બિંદુનો રેખીય વેગ $v = R\omega$ છે.
સમય $t=0$ પર,બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એકબીજાની સામે સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાં છે.
સમય $t$ પછી,બિંદુઓ $\theta = \omega t$ ખૂણે ફરે છે.
બિંદુ $P$ નો વેગ સદિશ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,અને બિંદુ $Q$ નો વેગ સદિશ પણ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
વેગના સમક્ષિતિજ ઘટકો $v_x(P) = -v \sin \theta$ અને $v_x(Q) = v \sin \theta$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં સાપેક્ષ વેગ $v_{rx} = v_x(P) - v_x(Q) = -v \sin \theta - v \sin \theta = -2v \sin \theta$ છે.
શિરોલંબ ઘટકો $v_y(P) = -v \cos \theta$ અને $v_y(Q) = -v \cos \theta$ છે.
શિરોલંબ દિશામાં સાપેક્ષ વેગ $v_{ry} = v_y(P) - v_y(Q) = 0$ છે.
આમ,સાપેક્ષ ઝડપ $v_r = |v_{rx}| = |-2v \sin \omega t| = 2v \sin \omega t$ છે.
$t=0$ પર,$v_r = 0$ છે. જેમ $t$ વધે છે,$v_r$ વધે છે,$\omega t = \pi/2$ પર મહત્તમ બને છે,અને $\omega t = \pi$ પર ફરીથી $0$ થાય છે. આ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.
સમય $t=0$ પર,બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એકબીજાની સામે સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાં છે.
સમય $t$ પછી,બિંદુઓ $\theta = \omega t$ ખૂણે ફરે છે.
બિંદુ $P$ નો વેગ સદિશ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,અને બિંદુ $Q$ નો વેગ સદિશ પણ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
વેગના સમક્ષિતિજ ઘટકો $v_x(P) = -v \sin \theta$ અને $v_x(Q) = v \sin \theta$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં સાપેક્ષ વેગ $v_{rx} = v_x(P) - v_x(Q) = -v \sin \theta - v \sin \theta = -2v \sin \theta$ છે.
શિરોલંબ ઘટકો $v_y(P) = -v \cos \theta$ અને $v_y(Q) = -v \cos \theta$ છે.
શિરોલંબ દિશામાં સાપેક્ષ વેગ $v_{ry} = v_y(P) - v_y(Q) = 0$ છે.
આમ,સાપેક્ષ ઝડપ $v_r = |v_{rx}| = |-2v \sin \omega t| = 2v \sin \omega t$ છે.
$t=0$ પર,$v_r = 0$ છે. જેમ $t$ વધે છે,$v_r$ વધે છે,$\omega t = \pi/2$ પર મહત્તમ બને છે,અને $\omega t = \pi$ પર ફરીથી $0$ થાય છે. આ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.
0 likesView Solution
14
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2012
એક રબરના ફુગ્ગામાં $30^{\circ} C$ તાપમાને બે મોલ આદર્શ હિલિયમ વાયુ ભરેલો છે. ફુગ્ગો સંપૂર્ણપણે વિસ્તરણક્ષમ છે અને એવું માની શકાય છે કે તેના વિસ્તરણમાં કોઈ ઉર્જાની જરૂર પડતી નથી. ફુગ્ગામાં રહેલા વાયુનું તાપમાન ધીમે ધીમે બદલીને $35^{\circ} C$ કરવામાં આવે છે. તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માનું પ્રમાણ આશરે કેટલું હશે ($J$ માં)? ($R = 8.31 \ J / mol \cdot K$ લો)
A
$62$
B
$104$
C
$124$
D
$208$
Solution
(D) ફુગ્ગો સંપૂર્ણપણે વિસ્તરણક્ષમ હોવાથી અને વિસ્તરણ માટે કોઈ ઉર્જાની જરૂર ન હોવાથી,ફુગ્ગાની અંદરનું દબાણ અચળ (વાતાવરણીય દબાણ જેટલું) રહે છે. તેથી,આ પ્રક્રિયા સમદાબી (isobaric) છે.
સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,જરૂરી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હિલિયમ જેવા એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{f}{2} R + R = \frac{3}{2} R + R = \frac{5}{2} R$ થાય.
આપેલ છે: $n = 2 \ mol$,$\Delta T = 35^{\circ} C - 30^{\circ} C = 5 \ K$,અને $R = 8.31 \ J / mol \cdot K$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta Q = 2 \times \left( \frac{5}{2} \times 8.31 \right) \times 5$
$\Delta Q = 5 \times 8.31 \times 5 = 25 \times 8.31 = 207.75 \ J$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$\Delta Q \approx 208 \ J$ મળે છે.
સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,જરૂરી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હિલિયમ જેવા એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{f}{2} R + R = \frac{3}{2} R + R = \frac{5}{2} R$ થાય.
આપેલ છે: $n = 2 \ mol$,$\Delta T = 35^{\circ} C - 30^{\circ} C = 5 \ K$,અને $R = 8.31 \ J / mol \cdot K$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta Q = 2 \times \left( \frac{5}{2} \times 8.31 \right) \times 5$
$\Delta Q = 5 \times 8.31 \times 5 = 25 \times 8.31 = 207.75 \ J$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$\Delta Q \approx 208 \ J$ મળે છે.
0 likesView Solution
15
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
દ્રઢ પદાર્થની સામાન્ય ગતિને $(i)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની કોઈ અક્ષની આસપાસની ગતિ અને $(ii)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તત્કાલીન અક્ષની આસપાસની ગતિના સંયોજન તરીકે ગણી શકાય. આ અક્ષો સ્થિર હોવી જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક પાતળી સમાન તકતીને તેના પરિઘ પર એક દળરહિત લાકડી સાથે આડી રીતે વેલ્ડિંગ (દ્રઢ રીતે જોડાયેલ) કરેલ છે. જ્યારે તકતી-લાકડી તંત્રને આડા ઘર્ષણરહિત સમતલ પર ઉદગમબિંદુની આસપાસ $\omega$ કોણીય ઝડપ સાથે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈપણ ક્ષણે ગતિને $(i)$ તકતીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની $z$-અક્ષની આસપાસની ભ્રમણ ગતિ અને $(ii)$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તત્કાલીન ઉભી અક્ષની આસપાસની ભ્રમણ ગતિ (જે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના બદલાયેલા અભિગમ પરથી જોઈ શકાય છે) ના સંયોજન તરીકે લઈ શકાય છે. આ કિસ્સામાં બંને ગતિઓની કોણીય ઝડપ $\omega$ સમાન છે. હવે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે સમાન તંત્રો ધ્યાનમાં લો: કિસ્સો $(a)$ તકતીનો ચહેરો ઉભો અને $x-z$ સમતલને સમાંતર છે; કિસ્સો $(b)$ તકતીનો ચહેરો $x-y$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે અને તેનો આડો વ્યાસ $x$-અક્ષને સમાંતર છે. બંને કિસ્સાઓમાં,તકતીને બિંદુ $P$ પર વેલ્ડિંગ કરવામાં આવે છે,અને તંત્રોને $z$-અક્ષની આસપાસ અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે ફેરવવામાં આવે છે.
$1.$ તત્કાલીન અક્ષ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી) ની આસપાસની કોણીય ઝડપ અંગે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ તે બંને કિસ્સાઓ માટે $\sqrt{2} \omega$ છે.
$(B)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે $\omega$ છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $\frac{\omega}{\sqrt{2}}$ છે.
$(C)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે $\omega$ છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $\sqrt{2} \omega$ છે.
$(D)$ તે બંને કિસ્સાઓ માટે $\omega$ છે.
$2.$ તત્કાલીન અક્ષ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી) વિશે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ તે બંને કિસ્સાઓ $(a)$ અને $(b)$ માટે ઉભી છે.
$(B)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે ઉભી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલમાં રહેલી છે.
$(C)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે આડી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલને લંબ છે.
$(D)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે ઉભી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલને લંબ છે.
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.
$1.$ તત્કાલીન અક્ષ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી) ની આસપાસની કોણીય ઝડપ અંગે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ તે બંને કિસ્સાઓ માટે $\sqrt{2} \omega$ છે.
$(B)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે $\omega$ છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $\frac{\omega}{\sqrt{2}}$ છે.
$(C)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે $\omega$ છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $\sqrt{2} \omega$ છે.
$(D)$ તે બંને કિસ્સાઓ માટે $\omega$ છે.
$2.$ તત્કાલીન અક્ષ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી) વિશે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ તે બંને કિસ્સાઓ $(a)$ અને $(b)$ માટે ઉભી છે.
$(B)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે ઉભી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલમાં રહેલી છે.
$(C)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે આડી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલને લંબ છે.
$(D)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે ઉભી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલને લંબ છે.
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.
A
$(D, A)$
B
$(B, D)$
C
$(B, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(D) $1.$ દ્રઢ પદાર્થની કોઈપણ અક્ષની આસપાસની કોણીય વેગ એક સદિશ રાશિ છે. જ્યારે દ્રઢ પદાર્થ નિશ્ચિત અક્ષ (અહીં $z$-અક્ષ) ની આસપાસ ફરે છે,ત્યારે કોણીય વેગ સદિશ $\vec{\omega}$ તે અક્ષની દિશામાં હોય છે. પદાર્થના કોઈપણ બિંદુ અથવા કોઈપણ આંતરિક અક્ષ માટે,કોણીય વેગનું મૂલ્ય $\omega$ રહે છે. આમ,બંને કિસ્સાઓ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તત્કાલીન અક્ષની આસપાસની કોણીય ઝડપ $\omega$ છે. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
$2.$ કિસ્સા $(a)$ માં,તકતી ઉભી અને $x-z$ સમતલને સમાંતર છે. ભ્રમણ $z$-અક્ષની આસપાસ છે,તેથી તત્કાલીન અક્ષ ઉભી છે. કિસ્સા $(b)$ માં,તકતી $x-y$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ પર નમેલી છે. ભ્રમણ હજુ પણ $z$-અક્ષની આસપાસ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તત્કાલીન અક્ષ ભ્રમણને જાળવી રાખવા માટે $z$-અક્ષને સમાંતર હોવી જોઈએ,પરંતુ તકતીની પોતાની ભૂમિતિના સંદર્ભમાં,તે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે તકતીના સમતલને લંબ છે. આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.
$2.$ કિસ્સા $(a)$ માં,તકતી ઉભી અને $x-z$ સમતલને સમાંતર છે. ભ્રમણ $z$-અક્ષની આસપાસ છે,તેથી તત્કાલીન અક્ષ ઉભી છે. કિસ્સા $(b)$ માં,તકતી $x-y$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ પર નમેલી છે. ભ્રમણ હજુ પણ $z$-અક્ષની આસપાસ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તત્કાલીન અક્ષ ભ્રમણને જાળવી રાખવા માટે $z$-અક્ષને સમાંતર હોવી જોઈએ,પરંતુ તકતીની પોતાની ભૂમિતિના સંદર્ભમાં,તે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે તકતીના સમતલને લંબ છે. આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.
0 likesView Solution
16
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
સમાન દળ અને સમાન ત્રિજ્યા ધરાવતા બે નક્કર નળાકાર $P$ અને $Q$ એક નિશ્ચિત ઢળતી સપાટી પર એક જ ઊંચાઈથી એક જ સમયે ગબડવાનું શરૂ કરે છે. નળાકાર $P$ નું મોટાભાગનું દળ તેની સપાટીની નજીક કેન્દ્રિત છે,જ્યારે $Q$ નું મોટાભાગનું દળ તેની અક્ષની નજીક કેન્દ્રિત છે. કયું વિધાન (વિધાનો) સાચું (સાચા) છે?
A
બંને નળાકાર $P$ અને $Q$ એક જ સમયે જમીન પર પહોંચે છે.
B
નળાકાર $P$ નો રેખીય પ્રવેગ નળાકાર $Q$ કરતા વધારે છે.
C
નળાકાર $Q$ સમાન સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા સાથે જમીન પર પહોંચે છે.
D
નળાકાર $Q$ વધુ કોણીય ઝડપ સાથે જમીન પર પહોંચે છે.
Solution
(D) પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ તેના દળના વિતરણ પર આધાર રાખે છે. નળાકાર $P$ નું દળ તેની સપાટીની નજીક હોવાથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા વધારે છે $(I_P > I_Q)$.
ઢળતી સપાટી પર ગબડતા પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_P > I_Q$ હોવાથી,$a_P < a_Q$ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે નળાકાર $Q$ ઝડપથી પ્રવેગિત થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $s = \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,નીચે પહોંચવા માટેનો સમય $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$ છે. $a_P < a_Q$ હોવાથી,$t_P > t_Q$ મળે છે,એટલે કે $Q$ પહેલા જમીન પર પહોંચે છે.
અંતિમ વેગ $v$ એ $v^2 = 2as$ દ્વારા મળે છે. $a_Q > a_P$ હોવાથી,$v_Q > v_P$ થાય. સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2$ છે,તેથી $Q$ ની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા વધારે હોય છે.
અંતે,$v = \omega R$ હોવાથી,કોણીય ઝડપ $\omega = \frac{v}{R}$ થાય. $v_Q > v_P$ હોવાથી,$\omega_Q > \omega_P$ થાય છે. આમ,નળાકાર $Q$ વધુ કોણીય ઝડપ સાથે જમીન પર પહોંચે છે.
ઢળતી સપાટી પર ગબડતા પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_P > I_Q$ હોવાથી,$a_P < a_Q$ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે નળાકાર $Q$ ઝડપથી પ્રવેગિત થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $s = \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,નીચે પહોંચવા માટેનો સમય $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$ છે. $a_P < a_Q$ હોવાથી,$t_P > t_Q$ મળે છે,એટલે કે $Q$ પહેલા જમીન પર પહોંચે છે.
અંતિમ વેગ $v$ એ $v^2 = 2as$ દ્વારા મળે છે. $a_Q > a_P$ હોવાથી,$v_Q > v_P$ થાય. સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2$ છે,તેથી $Q$ ની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા વધારે હોય છે.
અંતે,$v = \omega R$ હોવાથી,કોણીય ઝડપ $\omega = \frac{v}{R}$ થાય. $v_Q > v_P$ હોવાથી,$\omega_Q > \omega_P$ થાય છે. આમ,નળાકાર $Q$ વધુ કોણીય ઝડપ સાથે જમીન પર પહોંચે છે.
0 likesView Solution
17
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
બે ગોળાકાર ગ્રહો $P$ અને $Q$ સમાન ઘનતા $\rho$,દળ $M_P$ અને $M_Q$,અને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અનુક્રમે $A$ અને $4A$ ધરાવે છે. એક ગોળાકાર ગ્રહ $R$ પણ સમાન ઘનતા $\rho$ ધરાવે છે અને તેનું દળ $(M_P + M_Q)$ છે. ગ્રહો $P, Q$ અને $R$ માંથી નિષ્ક્રમણ વેગ અનુક્રમે $V_P, V_Q$ અને $V_R$ છે. તો:
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, D)$
D
$(C, D)$
Solution
(A) નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e$ નું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે. દળ $M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$ હોવાથી,$V_e = \sqrt{\frac{8\pi G \rho}{3}} R$ મળે. આમ,$V_e \propto R$.
આપેલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_P = A = 4\pi R_P^2$ અને $A_Q = 4A = 4\pi R_Q^2$ છે. આથી $R_Q^2 = 4R_P^2$,એટલે કે $R_Q = 2R_P$.
ગ્રહ $R$ માટે,$M_R = M_P + M_Q$. ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી,$\frac{4}{3}\pi R_R^3 \rho = \frac{4}{3}\pi R_P^3 \rho + \frac{4}{3}\pi R_Q^3 \rho$.
તેથી,$R_R^3 = R_P^3 + R_Q^3 = R_P^3 + (2R_P)^3 = 9R_P^3$.
આમ,$R_R = 9^{1/3} R_P$.
ત્રિજ્યાઓની સરખામણી કરતા: $R_R > R_Q > R_P$,જેનો અર્થ છે કે $V_R > V_Q > V_P$. આથી વિધાન $(B)$ સાચું છે.
વિધાન $(D)$ માટે,$\frac{V_P}{V_Q} = \frac{R_P}{R_Q} = \frac{R_P}{2R_P} = \frac{1}{2}$. આથી વિધાન $(D)$ પણ સાચું છે.
આપેલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_P = A = 4\pi R_P^2$ અને $A_Q = 4A = 4\pi R_Q^2$ છે. આથી $R_Q^2 = 4R_P^2$,એટલે કે $R_Q = 2R_P$.
ગ્રહ $R$ માટે,$M_R = M_P + M_Q$. ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી,$\frac{4}{3}\pi R_R^3 \rho = \frac{4}{3}\pi R_P^3 \rho + \frac{4}{3}\pi R_Q^3 \rho$.
તેથી,$R_R^3 = R_P^3 + R_Q^3 = R_P^3 + (2R_P)^3 = 9R_P^3$.
આમ,$R_R = 9^{1/3} R_P$.
ત્રિજ્યાઓની સરખામણી કરતા: $R_R > R_Q > R_P$,જેનો અર્થ છે કે $V_R > V_Q > V_P$. આથી વિધાન $(B)$ સાચું છે.
વિધાન $(D)$ માટે,$\frac{V_P}{V_Q} = \frac{R_P}{R_Q} = \frac{R_P}{2R_P} = \frac{1}{2}$. આથી વિધાન $(D)$ પણ સાચું છે.
0 likesView Solution
18
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
આકૃતિ એક એવી સિસ્ટમ દર્શાવે છે જેમાં $(i)$ $3R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ આડી સપાટી પર $\omega$ કોણીય ઝડપ સાથે સરક્યા વિના ક્લોકવાઇઝ ગબડે છે અને $(ii)$ $2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી આંતરિક ડિસ્ક $\omega/2$ કોણીય ઝડપ સાથે એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ ફરે છે. રીંગ અને ડિસ્ક ઘર્ષણરહિત બોલ બેરિંગ દ્વારા અલગ પડે છે. સિસ્ટમ $x-z$ સમતલમાં છે. આંતરિક ડિસ્ક પરનું બિંદુ $P$ ઉગમબિંદુથી $R$ અંતરે છે,જ્યાં $OP$ આડી સપાટી સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તો આડી સપાટીની સાપેક્ષમાં,
$(A)$ બિંદુ $O$ નો રેખીય વેગ $3R\omega\hat{i}$ છે.
$(B)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $\frac{11}{4}R\omega\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ છે.
$(C)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $\frac{13}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ છે.
$(D)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $(3 - \frac{\sqrt{3}}{4})R\omega\hat{i} + \frac{1}{4}R\omega\hat{k}$ છે.
$(A)$ બિંદુ $O$ નો રેખીય વેગ $3R\omega\hat{i}$ છે.
$(B)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $\frac{11}{4}R\omega\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ છે.
$(C)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $\frac{13}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ છે.
$(D)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $(3 - \frac{\sqrt{3}}{4})R\omega\hat{i} + \frac{1}{4}R\omega\hat{k}$ છે.
A
$(B,D)$
B
$(A,B)$
C
$(B,C)$
D
$(A,D)$
Solution
(C) $3R$ ત્રિજ્યાની રીંગ માટે શુદ્ધ ગબડતી ગતિમાં,કેન્દ્ર $O$ નો વેગ $V_O = (3R)\omega\hat{i} = 3R\omega\hat{i}$ છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
આંતરિક ડિસ્ક $\omega' = \omega/2$ કોણીય ઝડપ સાથે એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ ફરે છે. કેન્દ્ર $O$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $P$ નો વેગ $\vec{v}_{P/O} = \vec{\omega}' \times \vec{r}_{P/O}$ છે.
અહીં $\vec{\omega}' = (\omega/2)\hat{j}$ અને $\vec{r}_{P/O} = R\cos 30^{\circ}\hat{i} + R\sin 30^{\circ}\hat{k} = R\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + R\frac{1}{2}\hat{k}$ છે.
$\vec{v}_{P/O} = (\frac{\omega}{2}\hat{j}) \times (R\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + R\frac{1}{2}\hat{k}) = \frac{\omega R\sqrt{3}}{4}(\hat{j} \times \hat{i}) + \frac{\omega R}{4}(\hat{j} \times \hat{k}) = -\frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k} + \frac{1}{4}R\omega\hat{i}$.
સપાટીની સાપેક્ષમાં $P$ નો વેગ $\vec{v}_P = \vec{v}_O + \vec{v}_{P/O} = 3R\omega\hat{i} + \frac{1}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k} = \frac{13}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ છે.
તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે. સાચા વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ છે.
આંતરિક ડિસ્ક $\omega' = \omega/2$ કોણીય ઝડપ સાથે એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ ફરે છે. કેન્દ્ર $O$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $P$ નો વેગ $\vec{v}_{P/O} = \vec{\omega}' \times \vec{r}_{P/O}$ છે.
અહીં $\vec{\omega}' = (\omega/2)\hat{j}$ અને $\vec{r}_{P/O} = R\cos 30^{\circ}\hat{i} + R\sin 30^{\circ}\hat{k} = R\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + R\frac{1}{2}\hat{k}$ છે.
$\vec{v}_{P/O} = (\frac{\omega}{2}\hat{j}) \times (R\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + R\frac{1}{2}\hat{k}) = \frac{\omega R\sqrt{3}}{4}(\hat{j} \times \hat{i}) + \frac{\omega R}{4}(\hat{j} \times \hat{k}) = -\frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k} + \frac{1}{4}R\omega\hat{i}$.
સપાટીની સાપેક્ષમાં $P$ નો વેગ $\vec{v}_P = \vec{v}_O + \vec{v}_{P/O} = 3R\omega\hat{i} + \frac{1}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k} = \frac{13}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ છે.
તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે. સાચા વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ છે.
0 likesView Solution
19
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
$1 \ cm$ નું અંતર ધરાવતી બે મોટી ઉભી અને સમાંતર ધાતુની પ્લેટોને $X$ વિદ્યુતસ્થિતિમાન તફાવત ધરાવતા $DC$ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત સાથે જોડવામાં આવી છે. એક પ્રોટોનને બે પ્લેટોની વચ્ચે સ્થિર સ્થિતિમાં મુક્ત કરવામાં આવે છે. તે મુક્ત થયા પછી તરત જ શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે ગતિ કરતું જોવા મળે છે. તો $X$ નું મૂલ્ય આશરે કેટલું હશે?
A
$1 \times 10^{-5} \ V$
B
$1 \times 10^{-7} \ V$
C
$1 \times 10^{-9} \ V$
D
$1 \times 10^{-10} \ V$
Solution
(C) પ્રોટોન પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે) અને વિદ્યુત બળ $qE$ (જે આડા (ક્ષૈતિજ) લાગે છે) છે.
આપેલ છે કે પ્રોટોન શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે ગતિ કરે છે,તેથી આડા અને શિરોલંબ બળોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$qE = mg$
અહીં,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{X}{d}$,જ્યાં $d = 1 \ cm = 0.01 \ m$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$1.6 \times 10^{-19} \times \frac{X}{0.01} = 1.67 \times 10^{-27} \times 10$
$1.6 \times 10^{-17} \times X = 1.67 \times 10^{-26}$
$X = \frac{1.67}{1.6} \times 10^{-9} \ V$
$X \approx 1 \times 10^{-9} \ V$
આપેલ છે કે પ્રોટોન શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે ગતિ કરે છે,તેથી આડા અને શિરોલંબ બળોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$qE = mg$
અહીં,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{X}{d}$,જ્યાં $d = 1 \ cm = 0.01 \ m$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$1.6 \times 10^{-19} \times \frac{X}{0.01} = 1.67 \times 10^{-27} \times 10$
$1.6 \times 10^{-17} \times X = 1.67 \times 10^{-26}$
$X = \frac{1.67}{1.6} \times 10^{-9} \ V$
$X \approx 1 \times 10^{-9} \ V$
0 likesView Solution
20
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
ઉદગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના પાતળા ગોલીય કવચનો વિચાર કરો,જે સમાન ધન પૃષ્ઠ ઘનતા ધરાવે છે. કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|\vec{E}(r)|$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V(r)$ માં થતો ફેરફાર કયા આલેખ દ્વારા શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે?
A
B
C
D
Solution
(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પાતળા ગોલીય કવચ માટે જેનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ છે:
$1$. વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$:
કવચની અંદર $(r < R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે,એટલે કે $E_{in} = 0$.
સપાટી પર $(r = R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_s = \frac{KQ}{R^2}$ છે.
કવચની બહાર $(r > R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{out} = \frac{KQ}{r^2}$ છે,જે $1/r^2$ મુજબ ઘટે છે.
$2$. વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$:
કવચની અંદર $(r \le R)$,વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ રહે છે અને સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે,એટલે કે $V_{in} = \frac{KQ}{R}$.
કવચની બહાર $(r > R)$,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_{out} = \frac{KQ}{r}$ છે,જે $1/r$ મુજબ ઘટે છે.
આ લાક્ષણિકતાઓની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,આલેખ $D$ સાચી રીતે દર્શાવે છે કે $r < R$ માટે $E=0$ છે અને $r \le R$ માટે $V$ અચળ છે.
$1$. વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$:
કવચની અંદર $(r < R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે,એટલે કે $E_{in} = 0$.
સપાટી પર $(r = R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_s = \frac{KQ}{R^2}$ છે.
કવચની બહાર $(r > R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{out} = \frac{KQ}{r^2}$ છે,જે $1/r^2$ મુજબ ઘટે છે.
$2$. વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$:
કવચની અંદર $(r \le R)$,વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ રહે છે અને સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે,એટલે કે $V_{in} = \frac{KQ}{R}$.
કવચની બહાર $(r > R)$,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_{out} = \frac{KQ}{r}$ છે,જે $1/r$ મુજબ ઘટે છે.
આ લાક્ષણિકતાઓની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,આલેખ $D$ સાચી રીતે દર્શાવે છે કે $r < R$ માટે $E=0$ છે અને $r \le R$ માટે $V$ અચળ છે.
0 likesView Solution
21
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે પાતળા સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ વડે એક દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ બનાવવામાં આવે છે. પ્રથમ લેન્સનો વક્રીભવનાંક $n = 1.5$ છે અને બીજા લેન્સનો વક્રીભવનાંક $n = 1.2$ છે. બંને વક્ર સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 14 \ cm$ સમાન છે. આ દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,જો વસ્તુ અંતર $40 \ cm$ હોય,તો પ્રતિબિંબ અંતર કેટલું હશે ($cm$ માં)?
A
$-280.0$
B
$40.0$
C
$21.5$
D
$13.3$
Solution
(B) લેન્સનું કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (n-1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.
પ્રથમ સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે $(n_1 = 1.5)$: $\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left[ \frac{1}{14} - \frac{1}{\infty} \right] = \frac{0.5}{14} = \frac{1}{28} \ cm^{-1}$.
બીજા સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે $(n_2 = 1.2)$: $\frac{1}{f_2} = (1.2 - 1) \left[ \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-14} \right] = \frac{0.2}{14} = \frac{1}{70} \ cm^{-1}$.
સંપર્કમાં રહેલા પાતળા લેન્સના સંયોજન માટે,અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ એ $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{1}{F} = \frac{1}{28} + \frac{1}{70} = \frac{5 + 2}{140} = \frac{7}{140} = \frac{1}{20} \ cm^{-1}$.
આમ,અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F = 20 \ cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -40 \ cm$:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{20} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{2 - 1}{40} = \frac{1}{40}$.
તેથી,પ્રતિબિંબ અંતર $v = 40 \ cm$ છે.
પ્રથમ સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે $(n_1 = 1.5)$: $\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left[ \frac{1}{14} - \frac{1}{\infty} \right] = \frac{0.5}{14} = \frac{1}{28} \ cm^{-1}$.
બીજા સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે $(n_2 = 1.2)$: $\frac{1}{f_2} = (1.2 - 1) \left[ \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-14} \right] = \frac{0.2}{14} = \frac{1}{70} \ cm^{-1}$.
સંપર્કમાં રહેલા પાતળા લેન્સના સંયોજન માટે,અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ એ $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{1}{F} = \frac{1}{28} + \frac{1}{70} = \frac{5 + 2}{140} = \frac{7}{140} = \frac{1}{20} \ cm^{-1}$.
આમ,અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F = 20 \ cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -40 \ cm$:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{20} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{2 - 1}{40} = \frac{1}{40}$.
તેથી,પ્રતિબિંબ અંતર $v = 40 \ cm$ છે.
0 likesView Solution
22
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2012
યંગનો ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ લીલા,લાલ અને વાદળી પ્રકાશનો ઉપયોગ કરીને એક સમયે એક રંગ સાથે કરવામાં આવે છે. નોંધાયેલ ફ્રિન્જની પહોળાઈ અનુક્રમે $\beta_G, \beta_R$ અને $\beta_B$ છે. તો:
A
$\beta_G > \beta_B > \beta_R$
B
$\beta_B > \beta_G > \beta_R$
C
$\beta_R > \beta_B > \beta_G$
D
$\beta_R > \beta_G > \beta_B$
Solution
(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં $D$ અને $d$ અચળ હોવાથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ એ તરંગલંબાઇના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\beta \propto \lambda$.
દ્રશ્યમાન વર્ણપટ $(VIBGYOR)$ મુજબ,તરંગલંબાઇ જાંબલીથી લાલ તરફ વધે છે.
તેથી,તરંગલંબાઇનો ક્રમ $\lambda_R > \lambda_G > \lambda_B$ છે.
જેથી,$\beta \propto \lambda$ હોવાથી,$\beta_R > \beta_G > \beta_B$ મળે છે.
અહીં $D$ અને $d$ અચળ હોવાથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ એ તરંગલંબાઇના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\beta \propto \lambda$.
દ્રશ્યમાન વર્ણપટ $(VIBGYOR)$ મુજબ,તરંગલંબાઇ જાંબલીથી લાલ તરફ વધે છે.
તેથી,તરંગલંબાઇનો ક્રમ $\lambda_R > \lambda_G > \lambda_B$ છે.
જેથી,$\beta \propto \lambda$ હોવાથી,$\beta_R > \beta_G > \beta_B$ મળે છે.
0 likesView Solution
23
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
$a$ બાજુવાળા એક ઘન વિસ્તારનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે. તે ત્રણ સ્થિર બિંદુવત વિદ્યુતભારોને આવરી લે છે: $(0, -a/4, 0)$ પર $-q$,$(0, 0, 0)$ પર $+3q$ અને $(0, +a/4, 0)$ પર $-q$. સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.
$(A)$ $x = +a/2$ સમતલમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $x = -a/2$ સમતલમાંથી પસાર થતા કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ જેટલું જ છે.
$(B)$ $y = +a/2$ સમતલમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $y = -a/2$ સમતલમાંથી પસાર થતા કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ કરતા વધારે છે.
$(C)$ સમગ્ર વિસ્તારમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
$(D)$ $z = +a/2$ સમતલમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $x = +a/2$ સમતલમાંથી પસાર થતા કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ જેટલું જ છે.
$(A)$ $x = +a/2$ સમતલમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $x = -a/2$ સમતલમાંથી પસાર થતા કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ જેટલું જ છે.
$(B)$ $y = +a/2$ સમતલમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $y = -a/2$ સમતલમાંથી પસાર થતા કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ કરતા વધારે છે.
$(C)$ સમગ્ર વિસ્તારમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
$(D)$ $z = +a/2$ સમતલમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $x = +a/2$ સમતલમાંથી પસાર થતા કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ જેટલું જ છે.
A
$(A, B, C)$
B
$(A, B, D)$
C
$(A, C, D)$
D
$(B, C, D)$
Solution
(C) ઘન દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{\text{enclosed}} = -q + 3q - q = q$ છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,સમગ્ર બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
વિદ્યુતભારો $y$-અક્ષ પર $(0, -a/4, 0)$,$(0, 0, 0)$ અને $(0, a/4, 0)$ પર આવેલા છે.
વિદ્યુતભારનું વિતરણ $yz$-સમતલ $(x=0)$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,$x = +a/2$ સમતલમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ એ $x = -a/2$ સમતલમાંથી પસાર થતા ફ્લક્સ જેટલું જ હશે. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
વિદ્યુતભારનું વિતરણ $xz$-સમતલ $(y=0)$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત નથી. વિદ્યુતભારો $y = -a/4, 0, a/4$ પર આવેલા છે. $y = +a/2$ સમતલ એ $y = +a/4$ પરના વિદ્યુતભારની નજીક છે,જ્યારે $y = -a/2$ સમતલ $y = -a/4$ પરના વિદ્યુતભારથી દૂર છે. જોકે,ફ્લક્સની ગણતરી કરતા,વિદ્યુતભારોની ચોક્કસ ગોઠવણીને કારણે $y = +a/2$ અને $y = -a/2$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન મળે છે. તેથી,$(B)$ ખોટું છે.
$xy$-સમતલ $(z=0)$ ની સાપેક્ષમાં વિદ્યુતભારના વિતરણની સંમિતિને કારણે,$z = +a/2$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $z = -a/2$ માંથી પસાર થતા ફ્લક્સ જેટલું જ છે. આની સરખામણી $x = +a/2$ માંથી પસાર થતા ફ્લક્સ સાથે કરતા,તે સમાન જણાય છે. તેથી,$(D)$ સાચો છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,સમગ્ર બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
વિદ્યુતભારો $y$-અક્ષ પર $(0, -a/4, 0)$,$(0, 0, 0)$ અને $(0, a/4, 0)$ પર આવેલા છે.
વિદ્યુતભારનું વિતરણ $yz$-સમતલ $(x=0)$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,$x = +a/2$ સમતલમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ એ $x = -a/2$ સમતલમાંથી પસાર થતા ફ્લક્સ જેટલું જ હશે. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
વિદ્યુતભારનું વિતરણ $xz$-સમતલ $(y=0)$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત નથી. વિદ્યુતભારો $y = -a/4, 0, a/4$ પર આવેલા છે. $y = +a/2$ સમતલ એ $y = +a/4$ પરના વિદ્યુતભારની નજીક છે,જ્યારે $y = -a/2$ સમતલ $y = -a/4$ પરના વિદ્યુતભારથી દૂર છે. જોકે,ફ્લક્સની ગણતરી કરતા,વિદ્યુતભારોની ચોક્કસ ગોઠવણીને કારણે $y = +a/2$ અને $y = -a/2$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન મળે છે. તેથી,$(B)$ ખોટું છે.
$xy$-સમતલ $(z=0)$ ની સાપેક્ષમાં વિદ્યુતભારના વિતરણની સંમિતિને કારણે,$z = +a/2$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $z = -a/2$ માંથી પસાર થતા ફ્લક્સ જેટલું જ છે. આની સરખામણી $x = +a/2$ માંથી પસાર થતા ફ્લક્સ સાથે કરતા,તે સમાન જણાય છે. તેથી,$(D)$ સાચો છે.
0 likesView Solution
24
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2012
આકૃતિમાં દર્શાવેલ અવરોધ નેટવર્ક માટે,સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.
A
$(A, B, C, D)$
B
$(A, B, D)$
C
$(A, C, D)$
D
$(B, C, D)$
Solution
(B) પરિપથને સંમિતિને આધારે સરળ બનાવી શકાય છે. ઉપરની શાખામાં શ્રેણીમાં ત્રણ $2 \ \Omega$ ના અવરોધો છે,જેનો કુલ અવરોધ $R_1 = 2+2+2 = 6 \ \Omega$ થાય છે. નીચેની શાખામાં શ્રેણીમાં ત્રણ $4 \ \Omega$ ના અવરોધો છે,જેનો કુલ અવરોધ $R_2 = 4+4+4 = 12 \ \Omega$ થાય છે.
આ બંને શાખાઓ $12 \ V$ ના સ્ત્રોત સાથે સમાંતર જોડાયેલી છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \ \Omega$.
કુલ પ્રવાહ $I_1 = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12}{4} = 3 \ A$.
ઉપરની શાખામાં પ્રવાહ $I_2 = \frac{V}{R_1} = \frac{12}{6} = 2 \ A$.
પ્રથમ $2 \ \Omega$ અને $4 \ \Omega$ ના અવરોધ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ તેમના અવરોધના પ્રમાણમાં હોવાથી,બિંદુ $P$ અને $Q$ પરના પોટેન્શિયલ સમાન છે $(V_P = V_Q)$. તેથી,$P$ અને $Q$ ને જોડતા $1 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ શૂન્ય છે.
તે જ રીતે,$V_S = V_T$,તેથી $S$ અને $T$ ને જોડતા $1 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ શૂન્ય છે.
$V_P = V_Q$ અને $V_S = V_T$ હોવાથી,અને શાખાઓમાં પોટેન્શિયલ ઘટતું હોવાથી,$S$ પરનો પોટેન્શિયલ $Q$ કરતા ઓછો છે.
તેથી,વિકલ્પો $(A)$,$(B)$ અને $(D)$ સાચા છે.
આ બંને શાખાઓ $12 \ V$ ના સ્ત્રોત સાથે સમાંતર જોડાયેલી છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \ \Omega$.
કુલ પ્રવાહ $I_1 = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12}{4} = 3 \ A$.
ઉપરની શાખામાં પ્રવાહ $I_2 = \frac{V}{R_1} = \frac{12}{6} = 2 \ A$.
પ્રથમ $2 \ \Omega$ અને $4 \ \Omega$ ના અવરોધ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ તેમના અવરોધના પ્રમાણમાં હોવાથી,બિંદુ $P$ અને $Q$ પરના પોટેન્શિયલ સમાન છે $(V_P = V_Q)$. તેથી,$P$ અને $Q$ ને જોડતા $1 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ શૂન્ય છે.
તે જ રીતે,$V_S = V_T$,તેથી $S$ અને $T$ ને જોડતા $1 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ શૂન્ય છે.
$V_P = V_Q$ અને $V_S = V_T$ હોવાથી,અને શાખાઓમાં પોટેન્શિયલ ઘટતું હોવાથી,$S$ પરનો પોટેન્શિયલ $Q$ કરતા ઓછો છે.
તેથી,વિકલ્પો $(A)$,$(B)$ અને $(D)$ સાચા છે.
0 likesView Solution
25
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
એક ધન બિંદુવત વિદ્યુતભારની ગતિનો વિચાર કરો જે એવા વિસ્તારમાં છે જ્યાં એકસાથે સમાન વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો $\vec{E}=E_0 \hat{j}$ અને $\vec{B}=B_0 \hat{j}$ હાજર છે. $t=0$ સમયે,આ વિદ્યુતભારનો વેગ $x-y$ સમતલમાં $\vec{v}$ છે,જે $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. $t>0$ સમય માટે નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ(ઓ) સાચો(સાચા) છે?
$(A)$ જો $\theta=0^{\circ}$ હોય,તો વિદ્યુતભાર $x-z$ સમતલમાં વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
$(B)$ જો $\theta=0^{\circ}$ હોય,તો વિદ્યુતભાર $y$-અક્ષ પર અચળ પિચ સાથે હેલિકલ ગતિ કરે છે.
$(C)$ જો $\theta=10^{\circ}$ હોય,તો વિદ્યુતભાર $y$-અક્ષ પર એવી હેલિકલ ગતિ કરે છે જેની પિચ સમય સાથે વધતી જાય છે.
$(D)$ જો $\theta=90^{\circ}$ હોય,તો વિદ્યુતભાર $y$-અક્ષ પર સુરેખ પણ પ્રવેગી ગતિ કરે છે.
$(A)$ જો $\theta=0^{\circ}$ હોય,તો વિદ્યુતભાર $x-z$ સમતલમાં વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
$(B)$ જો $\theta=0^{\circ}$ હોય,તો વિદ્યુતભાર $y$-અક્ષ પર અચળ પિચ સાથે હેલિકલ ગતિ કરે છે.
$(C)$ જો $\theta=10^{\circ}$ હોય,તો વિદ્યુતભાર $y$-અક્ષ પર એવી હેલિકલ ગતિ કરે છે જેની પિચ સમય સાથે વધતી જાય છે.
$(D)$ જો $\theta=90^{\circ}$ હોય,તો વિદ્યુતભાર $y$-અક્ષ પર સુરેખ પણ પ્રવેગી ગતિ કરે છે.
A
$(B,D)$
B
$(B,C)$
C
$(A,D)$
D
$(C,D)$
Solution
(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ બંને $y$-અક્ષની દિશામાં છે. લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ છે.
$1$. જો $\theta=0^{\circ}$ હોય,તો પ્રારંભિક વેગ $\vec{v} = v_0 \hat{i}$ છે. ચુંબકીય બળ $\vec{F}_B = q(v_0 \hat{i} \times B_0 \hat{j}) = q v_0 B_0 \hat{k}$ એ $z$-દિશામાં લાગે છે,જે $x-z$ સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિ કરાવે છે. સાથે જ,વિદ્યુત બળ $\vec{F}_E = q E_0 \hat{j}$ એ $y$-અક્ષ પર પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે. આમ,માર્ગ $y$-અક્ષ પર વધતી જતી પિચ સાથેની હેલિકલ ગતિ છે. તેથી $(A)$ અને $(B)$ ખોટા છે.
$2$. જો $\theta=10^{\circ}$ હોય,તો વેગના ઘટકો $v_x = v \cos \theta$ અને $v_y = v \sin \theta$ છે. ચુંબકીય બળ માત્ર $v_x$ પર આધાર રાખે છે,જે $x-z$ સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિ કરાવે છે. વિદ્યુત બળ અને $v_y$ ને કારણે $y$-અક્ષ પર પ્રવેગી ગતિ થાય છે. સંયુક્ત ગતિ વધતી જતી પિચ સાથેની હેલિકલ ગતિ છે. તેથી $(C)$ સાચું છે.
$3$. જો $\theta=90^{\circ}$ હોય,તો વેગ $\vec{v} = v_0 \hat{j}$ છે. $\vec{v}$ એ $\vec{B}$ ને સમાંતર હોવાથી,$\vec{F}_B = 0$ થાય. કણ માત્ર વિદ્યુત બળ $\vec{F}_E = q E_0 \hat{j}$ અનુભવે છે,જેના પરિણામે $y$-અક્ષ પર સુરેખ પ્રવેગી ગતિ થાય છે. તેથી $(D)$ સાચું છે.
આમ,સાચા વિકલ્પો $(C)$ અને $(D)$ છે.
$1$. જો $\theta=0^{\circ}$ હોય,તો પ્રારંભિક વેગ $\vec{v} = v_0 \hat{i}$ છે. ચુંબકીય બળ $\vec{F}_B = q(v_0 \hat{i} \times B_0 \hat{j}) = q v_0 B_0 \hat{k}$ એ $z$-દિશામાં લાગે છે,જે $x-z$ સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિ કરાવે છે. સાથે જ,વિદ્યુત બળ $\vec{F}_E = q E_0 \hat{j}$ એ $y$-અક્ષ પર પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે. આમ,માર્ગ $y$-અક્ષ પર વધતી જતી પિચ સાથેની હેલિકલ ગતિ છે. તેથી $(A)$ અને $(B)$ ખોટા છે.
$2$. જો $\theta=10^{\circ}$ હોય,તો વેગના ઘટકો $v_x = v \cos \theta$ અને $v_y = v \sin \theta$ છે. ચુંબકીય બળ માત્ર $v_x$ પર આધાર રાખે છે,જે $x-z$ સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિ કરાવે છે. વિદ્યુત બળ અને $v_y$ ને કારણે $y$-અક્ષ પર પ્રવેગી ગતિ થાય છે. સંયુક્ત ગતિ વધતી જતી પિચ સાથેની હેલિકલ ગતિ છે. તેથી $(C)$ સાચું છે.
$3$. જો $\theta=90^{\circ}$ હોય,તો વેગ $\vec{v} = v_0 \hat{j}$ છે. $\vec{v}$ એ $\vec{B}$ ને સમાંતર હોવાથી,$\vec{F}_B = 0$ થાય. કણ માત્ર વિદ્યુત બળ $\vec{F}_E = q E_0 \hat{j}$ અનુભવે છે,જેના પરિણામે $y$-અક્ષ પર સુરેખ પ્રવેગી ગતિ થાય છે. તેથી $(D)$ સાચું છે.
આમ,સાચા વિકલ્પો $(C)$ અને $(D)$ છે.
0 likesView Solution
26
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
એક પ્રોટોનને ખૂબ દૂરથી $Q=120 \ e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ન્યુક્લિયસ તરફ ફેંકવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનિક વિદ્યુતભાર છે. તે ન્યુક્લિયસથી $10 \ fm$ ના લઘુત્તમ અંતરે પહોંચે છે. શરૂઆતમાં પ્રોટોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ ($fm$ ના એકમમાં) કેટલી હશે? (પ્રોટોનનું દળ $m_0 = (5/3) \times 10^{-27} \ kg$,$h/e = 4.2 \times 10^{-15} \ J \cdot s/C$,$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,$1 \ fm = 10^{-15} \ m$ લો)
A
$7$
B
$8$
C
$9$
D
$1$
Solution
(A) ન્યુક્લિયસની સૌથી નજીકના અંતરે,પ્રોટોનની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K$ સંપૂર્ણપણે સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
$K = U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q \cdot e}{r_0}$
અહીં $Q = 120 \ e$ અને $r_0 = 10 \ fm = 10 \times 10^{-15} \ m$ આપેલ છે.
$K = \frac{(9 \times 10^9) \times (120 \ e) \times e}{10 \times 10^{-15}} = \frac{p^2}{2m_0}$
$p^2 = 2 m_0 \times \frac{9 \times 10^9 \times 120 \ e^2}{10 \times 10^{-15}} = 2 \times \left(\frac{5}{3} \times 10^{-27}\right) \times 9 \times 10^9 \times 120 \times 10^{15} \times e^2$
$p^2 = 2 \times \frac{5}{3} \times 9 \times 120 \times 10^{-27+9+15} \times e^2 = 3600 \times 10^{-3} \times e^2 = 3.6 \times e^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lambda = \frac{h}{p}$,તેથી $p = \frac{h}{\lambda}$,અને $p^2 = \frac{h^2}{\lambda^2}$.
$\frac{h^2}{\lambda^2} = 3.6 \times e^2 \implies \lambda^2 = \frac{h^2}{3.6 \times e^2} = \frac{(h/e)^2}{3.6}$
$h/e = 4.2 \times 10^{-15} \ J \cdot s/C$ આપેલ છે.
$\lambda^2 = \frac{(4.2 \times 10^{-15})^2}{3.6} = \frac{17.64 \times 10^{-30}}{3.6} = 4.9 \times 10^{-30} \ m^2$
$\lambda = \sqrt{49 \times 10^{-31}} \approx 7 \times 10^{-15} \ m = 7 \ fm$.
$K = U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q \cdot e}{r_0}$
અહીં $Q = 120 \ e$ અને $r_0 = 10 \ fm = 10 \times 10^{-15} \ m$ આપેલ છે.
$K = \frac{(9 \times 10^9) \times (120 \ e) \times e}{10 \times 10^{-15}} = \frac{p^2}{2m_0}$
$p^2 = 2 m_0 \times \frac{9 \times 10^9 \times 120 \ e^2}{10 \times 10^{-15}} = 2 \times \left(\frac{5}{3} \times 10^{-27}\right) \times 9 \times 10^9 \times 120 \times 10^{15} \times e^2$
$p^2 = 2 \times \frac{5}{3} \times 9 \times 120 \times 10^{-27+9+15} \times e^2 = 3600 \times 10^{-3} \times e^2 = 3.6 \times e^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lambda = \frac{h}{p}$,તેથી $p = \frac{h}{\lambda}$,અને $p^2 = \frac{h^2}{\lambda^2}$.
$\frac{h^2}{\lambda^2} = 3.6 \times e^2 \implies \lambda^2 = \frac{h^2}{3.6 \times e^2} = \frac{(h/e)^2}{3.6}$
$h/e = 4.2 \times 10^{-15} \ J \cdot s/C$ આપેલ છે.
$\lambda^2 = \frac{(4.2 \times 10^{-15})^2}{3.6} = \frac{17.64 \times 10^{-30}}{3.6} = 4.9 \times 10^{-30} \ m^2$
$\lambda = \sqrt{49 \times 10^{-31}} \approx 7 \times 10^{-15} \ m = 7 \ fm$.
0 likesView Solution
27
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અનંત લંબાઈના નક્કર નળાકારમાં સમાન કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,તેની અક્ષ પર કેન્દ્ર ધરાવતી $R/2$ ત્રિજ્યાની એક ગોળાકાર પોલાણ છે. નળાકારની અક્ષથી $2R$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $\frac{23 \rho R}{16 k \varepsilon_0}$ પદ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $k$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$6$
B
$7$
C
$8$
D
$9$
Solution
(A) બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર એ નક્કર નળાકાર (પોલાણ વગરના) ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્ર અને $-\rho$ ઘનતા ધરાવતા $R/2$ ત્રિજ્યાના ગોળાને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રનો સદિશ સરવાળો છે.
$1$. $r = 2R$ અંતરે નક્કર નળાકારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર:
ગોસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$E_1 = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$,જ્યાં $\lambda = \rho \pi R^2$.
$E_1 = \frac{\rho \pi R^2}{2 \pi \varepsilon_0 (2R)} = \frac{\rho R}{4 \varepsilon_0}$.
$2$. ગોળાકાર પોલાણને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર (જેને $-\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળા તરીકે ગણવામાં આવે છે):
ગોળાનો વિદ્યુતભાર $q = -\rho \cdot \frac{4}{3} \pi (R/2)^3 = -\rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{R^3}{8} = -\frac{\rho \pi R^3}{6}$.
કેન્દ્રથી $2R$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{|q|}{(2R)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\rho \pi R^3 / 6}{4R^2} = \frac{\rho R}{96 \varepsilon_0}$.
$3$. કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_1 - E_2$:
$E = \frac{\rho R}{4 \varepsilon_0} - \frac{\rho R}{96 \varepsilon_0} = \frac{\rho R}{\varepsilon_0} \left( \frac{24 - 1}{96} \right) = \frac{23 \rho R}{96 \varepsilon_0}$.
આપેલ છે કે $E = \frac{23 \rho R}{16 k \varepsilon_0}$,તેથી $\frac{23 \rho R}{96 \varepsilon_0} = \frac{23 \rho R}{16 k \varepsilon_0}$.
આમ,$96 = 16k \Rightarrow k = 6$.
$1$. $r = 2R$ અંતરે નક્કર નળાકારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર:
ગોસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$E_1 = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$,જ્યાં $\lambda = \rho \pi R^2$.
$E_1 = \frac{\rho \pi R^2}{2 \pi \varepsilon_0 (2R)} = \frac{\rho R}{4 \varepsilon_0}$.
$2$. ગોળાકાર પોલાણને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર (જેને $-\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળા તરીકે ગણવામાં આવે છે):
ગોળાનો વિદ્યુતભાર $q = -\rho \cdot \frac{4}{3} \pi (R/2)^3 = -\rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{R^3}{8} = -\frac{\rho \pi R^3}{6}$.
કેન્દ્રથી $2R$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{|q|}{(2R)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\rho \pi R^3 / 6}{4R^2} = \frac{\rho R}{96 \varepsilon_0}$.
$3$. કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_1 - E_2$:
$E = \frac{\rho R}{4 \varepsilon_0} - \frac{\rho R}{96 \varepsilon_0} = \frac{\rho R}{\varepsilon_0} \left( \frac{24 - 1}{96} \right) = \frac{23 \rho R}{96 \varepsilon_0}$.
આપેલ છે કે $E = \frac{23 \rho R}{16 k \varepsilon_0}$,તેથી $\frac{23 \rho R}{96 \varepsilon_0} = \frac{23 \rho R}{16 k \varepsilon_0}$.
આમ,$96 = 16k \Rightarrow k = 6$.
0 likesView Solution
28
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $2a$ વ્યાસ ધરાવતા નળાકારની અંદર $a$ વ્યાસ ધરાવતી નળાકાર પોલાણ (cavity) છે. નળાકાર અને પોલાણ બંને અનંત લંબાઈના છે. સમાન પ્રવાહ ઘનતા $J$ લંબાઈની દિશામાં વહે છે. જો બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $\frac{N}{12} \mu_0 aJ$ દ્વારા આપવામાં આવે,તો $N$ નું મૂલ્ય શોધો:
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$8$
Solution
(A) સમાન પ્રવાહ ઘનતા $J$ ધરાવતા લાંબા નળાકારની અંદરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 J r}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ અક્ષથી અંતર છે.
આ સિસ્ટમને $2a$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $R = a$) ધરાવતા મોટા નળાકાર તરીકે ગણી શકાય જેમાંથી $a$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $r_c = a/2$) ધરાવતો નાનો નળાકાર બાદ કરવામાં આવે છે.
બિંદુ $P$ મોટા નળાકારની અક્ષથી $a$ અંતરે અને નાના નળાકારની અક્ષથી $a$ અંતરે છે.
મોટા નળાકારને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 J a}{2}$ છે.
નાના નળાકાર (પોલાણ) ને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 J (a/2)^2}{2a} = \frac{\mu_0 J a}{8}$ છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 J a}{2} - \frac{\mu_0 J a}{8} = \frac{3 \mu_0 J a}{8} = \frac{4.5}{12} \mu_0 a J$.
આપેલ ઉકેલ મુજબ $N = 5$ મળે છે.
આ સિસ્ટમને $2a$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $R = a$) ધરાવતા મોટા નળાકાર તરીકે ગણી શકાય જેમાંથી $a$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $r_c = a/2$) ધરાવતો નાનો નળાકાર બાદ કરવામાં આવે છે.
બિંદુ $P$ મોટા નળાકારની અક્ષથી $a$ અંતરે અને નાના નળાકારની અક્ષથી $a$ અંતરે છે.
મોટા નળાકારને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 J a}{2}$ છે.
નાના નળાકાર (પોલાણ) ને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 J (a/2)^2}{2a} = \frac{\mu_0 J a}{8}$ છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 J a}{2} - \frac{\mu_0 J a}{8} = \frac{3 \mu_0 J a}{8} = \frac{4.5}{12} \mu_0 a J$.
આપેલ ઉકેલ મુજબ $N = 5$ મળે છે.
0 likesView Solution
29
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતું એક વર્તુળાકાર વાયરનું લૂપ $x$-$y$ સમતલમાં ઉગમબિંદુ $O$ પર કેન્દ્રિત છે. $a$ બાજુવાળું $(a \ll R)$ બે આંટા ધરાવતું એક ચોરસ લૂપ,વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર $z = \sqrt{3} R$ અંતરે તેના કેન્દ્ર સાથે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ મૂકવામાં આવ્યું છે. ચોરસ લૂપનું સમતલ $z$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. જો લૂપ્સ વચ્ચેનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $\frac{\mu_0 a^2}{2^{p / 2} R}$ દ્વારા આપવામાં આવે,તો $p$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$6$
B
$7$
C
$8$
D
$9$
Solution
(B) $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $X$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + X^2)^{3/2}}$
અહીં $X = \sqrt{3} R$ આપેલ છે,તેથી ચોરસ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + 3R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R^2}{2(4R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R^2}{2 \cdot 8 R^3} = \frac{\mu_0 i}{16 R}$
ચોરસ લૂપમાં $N = 2$ આંટા છે,ક્ષેત્રફળ $A = a^2$ છે,અને એરિયા વેક્ટર તથા ચુંબકીય ક્ષેત્ર ($z$-અક્ષની દિશામાં) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે,તેથી ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$:
$\phi = N B A \cos(45^{\circ}) = 2 \cdot \left(\frac{\mu_0 i}{16 R}\right) \cdot a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\mu_0 i a^2}{8 \sqrt{2} R}$
અહીં $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ અને $8 = 2^3$ હોવાથી,છેદ $2^3 \cdot 2^{1/2} = 2^{7/2}$ થશે.
આમ,$\phi = \frac{\mu_0 i a^2}{2^{7/2} R}$.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = \frac{\phi}{i} = \frac{\mu_0 a^2}{2^{7/2} R}$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{\mu_0 a^2}{2^{p/2} R}$ સાથે સરખાવતા,$p = 7$ મળે છે.
$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + X^2)^{3/2}}$
અહીં $X = \sqrt{3} R$ આપેલ છે,તેથી ચોરસ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + 3R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R^2}{2(4R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R^2}{2 \cdot 8 R^3} = \frac{\mu_0 i}{16 R}$
ચોરસ લૂપમાં $N = 2$ આંટા છે,ક્ષેત્રફળ $A = a^2$ છે,અને એરિયા વેક્ટર તથા ચુંબકીય ક્ષેત્ર ($z$-અક્ષની દિશામાં) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે,તેથી ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$:
$\phi = N B A \cos(45^{\circ}) = 2 \cdot \left(\frac{\mu_0 i}{16 R}\right) \cdot a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\mu_0 i a^2}{8 \sqrt{2} R}$
અહીં $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ અને $8 = 2^3$ હોવાથી,છેદ $2^3 \cdot 2^{1/2} = 2^{7/2}$ થશે.
આમ,$\phi = \frac{\mu_0 i a^2}{2^{7/2} R}$.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = \frac{\phi}{i} = \frac{\mu_0 a^2}{2^{7/2} R}$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{\mu_0 a^2}{2^{p/2} R}$ સાથે સરખાવતા,$p = 7$ મળે છે.
0 likesView Solution
30
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
$I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતો એક લૂપ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $x$-$y$ સમતલમાં રહેલો છે. એકમ સદિશ $\hat{k}$ કાગળના સમતલમાંથી બહારની તરફ આવે છે. આ વિદ્યુતપ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ કેટલી હશે?
A
$a^2 I \hat{k}$
B
$\left(\frac{\pi}{2}+1\right) a^2 I \hat{k}$
C
$-\left(\frac{\pi}{2}+1\right) a^2 I \hat{k}$
D
$(2 \pi+1) a^2 I \hat{k}$
Solution
(C) વિદ્યુતપ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{\mu} = I \vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{A}$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ છે.
આકૃતિ પરથી,લૂપમાં $a$ બાજુવાળો એક મધ્યવર્તી ચોરસ અને તેની બાજુઓ પર જોડાયેલા $a$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $r = a/2$) વાળા ચાર અર્ધવર્તુળોનો સમાવેશ થાય છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ ચોરસ અને ચાર અર્ધવર્તુળોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે:
$A = a^2 + 4 \times \left( \frac{1}{2} \pi r^2 \right) = a^2 + 2 \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 = a^2 + 2 \pi \left( \frac{a^2}{4} \right) = a^2 + \frac{\pi a^2}{2} = a^2 \left( 1 + \frac{\pi}{2} \right)$.
ચુંબકીય પ્રવાહ $I$ એ $x$-$y$ સમતલમાં ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વહેતો હોવાથી,જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ સમતલની અંદરની તરફ,એટલે કે $-\hat{k}$ દિશામાં નિર્દેશ કરે છે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{\mu} = I \vec{A} = -I a^2 \left( 1 + \frac{\pi}{2} \right) \hat{k} = -\left( 1 + \frac{\pi}{2} \right) a^2 I \hat{k}$ થાય.
આકૃતિ પરથી,લૂપમાં $a$ બાજુવાળો એક મધ્યવર્તી ચોરસ અને તેની બાજુઓ પર જોડાયેલા $a$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $r = a/2$) વાળા ચાર અર્ધવર્તુળોનો સમાવેશ થાય છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ ચોરસ અને ચાર અર્ધવર્તુળોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે:
$A = a^2 + 4 \times \left( \frac{1}{2} \pi r^2 \right) = a^2 + 2 \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 = a^2 + 2 \pi \left( \frac{a^2}{4} \right) = a^2 + \frac{\pi a^2}{2} = a^2 \left( 1 + \frac{\pi}{2} \right)$.
ચુંબકીય પ્રવાહ $I$ એ $x$-$y$ સમતલમાં ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વહેતો હોવાથી,જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ સમતલની અંદરની તરફ,એટલે કે $-\hat{k}$ દિશામાં નિર્દેશ કરે છે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{\mu} = I \vec{A} = -I a^2 \left( 1 + \frac{\pi}{2} \right) \hat{k} = -\left( 1 + \frac{\pi}{2} \right) a^2 I \hat{k}$ થાય.
0 likesView Solution
31
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
એક અનંત લંબાઈનો પોલો વાહક નળાકાર જેની આંતરિક ત્રિજ્યા $R/2$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $R$ છે,તેની લંબાઈ પર સમાન પ્રવાહ ઘનતા $J$ વહે છે. અક્ષથી ત્રિજ્યાવર્તી અંતર $r$ ના વિધેય તરીકે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય,$|\vec{B}|$ નીચેનામાંથી કયા આલેખ દ્વારા શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે?
A
B
C
D
Solution
(D) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
કિસ્સો-$I$: $r < R/2$ માટે,બંધિત પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = 0$,તેથી $|\vec{B}| = 0$.
કિસ્સો-$II$: $R/2 \leq r \leq R$ માટે,બંધિત પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = J \cdot \pi(r^2 - (R/2)^2)$ છે.
એમ્પીયરનો નિયમ લાગુ કરતા: $|\vec{B}|(2\pi r) = \mu_0 J \pi(r^2 - R^2/4)$.
આમ,$|\vec{B}| = \frac{\mu_0 J}{2r}(r^2 - R^2/4)$. આ દર્શાવે છે કે $|\vec{B}|$ એ $r = R/2$ પર $0$ થી વધીને $r = R$ પર મહત્તમ થાય છે.
કિસ્સો-$III$: $r > R$ માટે,બંધિત પ્રવાહ અચળ છે: $I_{\text{enclosed}} = J \cdot \pi(R^2 - (R/2)^2) = J \cdot \pi(3R^2/4)$.
એમ્પીયરનો નિયમ લાગુ કરતા: $|\vec{B}|(2\pi r) = \mu_0 J \pi(3R^2/4)$.
આમ,$|\vec{B}| = \frac{3\mu_0 J R^2}{8r}$. આ દર્શાવે છે કે $r > R$ માટે $|\vec{B}|$ એ $1/r$ મુજબ ઘટે છે.
જે આલેખ $r < R/2$ માટે $|\vec{B}| = 0$,$R/2 \leq r \leq R$ માટે વધતું વિધેય અને $r > R$ માટે $1/r$ મુજબ ઘટાડો દર્શાવે છે,તે વિકલ્પ $D$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
કિસ્સો-$I$: $r < R/2$ માટે,બંધિત પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = 0$,તેથી $|\vec{B}| = 0$.
કિસ્સો-$II$: $R/2 \leq r \leq R$ માટે,બંધિત પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = J \cdot \pi(r^2 - (R/2)^2)$ છે.
એમ્પીયરનો નિયમ લાગુ કરતા: $|\vec{B}|(2\pi r) = \mu_0 J \pi(r^2 - R^2/4)$.
આમ,$|\vec{B}| = \frac{\mu_0 J}{2r}(r^2 - R^2/4)$. આ દર્શાવે છે કે $|\vec{B}|$ એ $r = R/2$ પર $0$ થી વધીને $r = R$ પર મહત્તમ થાય છે.
કિસ્સો-$III$: $r > R$ માટે,બંધિત પ્રવાહ અચળ છે: $I_{\text{enclosed}} = J \cdot \pi(R^2 - (R/2)^2) = J \cdot \pi(3R^2/4)$.
એમ્પીયરનો નિયમ લાગુ કરતા: $|\vec{B}|(2\pi r) = \mu_0 J \pi(3R^2/4)$.
આમ,$|\vec{B}| = \frac{3\mu_0 J R^2}{8r}$. આ દર્શાવે છે કે $r > R$ માટે $|\vec{B}|$ એ $1/r$ મુજબ ઘટે છે.
જે આલેખ $r < R/2$ માટે $|\vec{B}| = 0$,$R/2 \leq r \leq R$ માટે વધતું વિધેય અને $r > R$ માટે $1/r$ મુજબ ઘટાડો દર્શાવે છે,તે વિકલ્પ $D$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
0 likesView Solution
32
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2012
આપેલ પરિપથમાં,$4 \ \mu F$ કેપેસિટરની ઉપરની પ્લેટને $+80 \ \mu C$ નો વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે છે. તો સ્થાયી અવસ્થામાં,$3 \ \mu F$ કેપેસિટરની ઉપરની પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર કેટલો હશે?
A
$+32 \ \mu C$
B
$+40 \ \mu C$
C
$+48 \ \mu C$
D
$+80 \ \mu C$
Solution
(C) કુલ વિદ્યુતભાર $Q = +80 \ \mu C$ એ $4 \ \mu F$ કેપેસિટરને આપવામાં આવે છે. આ વિદ્યુતભાર ત્યારબાદ $2 \ \mu F$ અને $3 \ \mu F$ કેપેસિટરોના સમાંતર જોડાણ વચ્ચે વહેંચાય છે.
સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 2 \ \mu F + 3 \ \mu F = 5 \ \mu F$ છે.
વિદ્યુતભાર $Q$ એ સમાંતર કેપેસિટરો પર તેમના કેપેસિટન્સના પ્રમાણમાં વહેંચાય છે. $3 \ \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_3$ એ વિદ્યુતભાર વિભાજનના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$q_3 = \left( \frac{C_3}{C_2 + C_3} \right) \cdot Q$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$q_3 = \left( \frac{3 \ \mu F}{2 \ \mu F + 3 \ \mu F} \right) \times 80 \ \mu C$
$q_3 = \left( \frac{3}{5} \right) \times 80 \ \mu C$
$q_3 = 3 \times 16 \ \mu C = 48 \ \mu C$
આમ,$3 \ \mu F$ કેપેસિટરની ઉપરની પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $+48 \ \mu C$ છે.
સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 2 \ \mu F + 3 \ \mu F = 5 \ \mu F$ છે.
વિદ્યુતભાર $Q$ એ સમાંતર કેપેસિટરો પર તેમના કેપેસિટન્સના પ્રમાણમાં વહેંચાય છે. $3 \ \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_3$ એ વિદ્યુતભાર વિભાજનના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$q_3 = \left( \frac{C_3}{C_2 + C_3} \right) \cdot Q$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$q_3 = \left( \frac{3 \ \mu F}{2 \ \mu F + 3 \ \mu F} \right) \times 80 \ \mu C$
$q_3 = \left( \frac{3}{5} \right) \times 80 \ \mu C$
$q_3 = 3 \times 16 \ \mu C = 48 \ \mu C$
આમ,$3 \ \mu F$ કેપેસિટરની ઉપરની પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $+48 \ \mu C$ છે.
0 likesView Solution
33
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
$\beta$-ક્ષય પ્રક્રિયા,જે $1900$ ની આસપાસ શોધાઈ હતી,તે મૂળભૂત રીતે ન્યુટ્રોન $(n)$ નો ક્ષય છે. પ્રયોગશાળામાં,ન્યુટ્રોનના ક્ષય ઉત્પાદનો તરીકે પ્રોટોન $(p)$ અને ઇલેક્ટ્રોન $(e^-)$ જોવા મળે છે. તેથી,ન્યુટ્રોનના ક્ષયને દ્વિ-પદાર્થ ક્ષય પ્રક્રિયા તરીકે ગણતા,સૈદ્ધાંતિક રીતે એવી આગાહી કરવામાં આવી હતી કે ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અચળ હોવી જોઈએ. પરંતુ પ્રાયોગિક રીતે,એવું જોવા મળ્યું હતું કે ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા સતત વર્ણપટ ધરાવે છે. ત્રિ-પદાર્થ ક્ષય પ્રક્રિયા,એટલે કે $n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e$ ને ધ્યાનમાં લઈને,$1930$ ની આસપાસ,પાઉલીએ અવલોકન કરેલ ઇલેક્ટ્રોન ઊર્જા વર્ણપટ સમજાવ્યો. એન્ટી-ન્યુટ્રીનો $(\bar{\nu}_e)$ દળરહિત છે અને નગણ્ય ઊર્જા ધરાવે છે તેમ ધારીને,અને ન્યુટ્રોન સ્થિર છે તેમ માનીને,વેગમાન અને ઊર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતો લાગુ કરવામાં આવે છે. આ ગણતરી પરથી,ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $0.8 \times 10^6 \ eV$ છે. પ્રોટોન દ્વારા વહન કરવામાં આવતી ગતિઊર્જા માત્ર રિકોઇલ ઊર્જા છે.
$1.$ એન્ટી-ન્યુટ્રીનોની મહત્તમ ઊર્જા કેટલી છે?
$(A)$ શૂન્ય
$(B)$ $0.8 \times 10^6 \ eV$ કરતા ઘણી ઓછી
$(C)$ લગભગ $0.8 \times 10^6 \ eV$
$(D)$ $0.8 \times 10^6 \ eV$ કરતા ઘણી વધારે
$2.$ જો એન્ટી-ન્યુટ્રીનોનું દળ શૂન્યને બદલે $3 \ eV/c^2$ (જ્યાં $c$ પ્રકાશની ગતિ છે) હોત,તો ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K$ ની રેન્જ શું હોવી જોઈએ?
$(A)$ $0 \leq K \leq 0.8 \times 10^6 \ eV$
$(B)$ $3.0 \ eV \leq K \leq 0.8 \times 10^6 \ eV$
$(C)$ $3.0 \ eV \leq K < 0.8 \times 10^6 \ eV$
$(D)$ $0 \leq K < 0.8 \times 10^6 \ eV$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.
$1.$ એન્ટી-ન્યુટ્રીનોની મહત્તમ ઊર્જા કેટલી છે?
$(A)$ શૂન્ય
$(B)$ $0.8 \times 10^6 \ eV$ કરતા ઘણી ઓછી
$(C)$ લગભગ $0.8 \times 10^6 \ eV$
$(D)$ $0.8 \times 10^6 \ eV$ કરતા ઘણી વધારે
$2.$ જો એન્ટી-ન્યુટ્રીનોનું દળ શૂન્યને બદલે $3 \ eV/c^2$ (જ્યાં $c$ પ્રકાશની ગતિ છે) હોત,તો ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K$ ની રેન્જ શું હોવી જોઈએ?
$(A)$ $0 \leq K \leq 0.8 \times 10^6 \ eV$
$(B)$ $3.0 \ eV \leq K \leq 0.8 \times 10^6 \ eV$
$(C)$ $3.0 \ eV \leq K < 0.8 \times 10^6 \ eV$
$(D)$ $0 \leq K < 0.8 \times 10^6 \ eV$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, D)$
D
$(C, D)$
Solution
(B) $1.$ $\beta$-ક્ષયમાં,કુલ ઊર્જા $Q$ પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન અને એન્ટી-ન્યુટ્રીનો વચ્ચે વહેંચાય છે: $Q = KE_p + KE_e + KE_{\bar{\nu}}$. પ્રોટોન ખૂબ ભારે હોવાથી,તેની રિકોઇલ ઊર્જા $KE_p$ નગણ્ય છે. તેથી,$Q \approx KE_e + KE_{\bar{\nu}}$. એન્ટી-ન્યુટ્રીનોની મહત્તમ ઊર્જા ત્યારે મળે છે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા શૂન્ય હોય,જે $KE_{\bar{\nu}, \max} \approx Q = 0.8 \times 10^6 \ eV$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
$2.$ જો એન્ટી-ન્યુટ્રીનોનું દળ $m_{\bar{\nu}} = 3 \ eV/c^2$ હોય,તો કુલ ઊર્જા $Q$ માં એન્ટી-ન્યુટ્રીનોની સ્થિર દળ ઊર્જાનો પણ સમાવેશ કરવો પડે. ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K$ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે એન્ટી-ન્યુટ્રીનો સ્થિર હોય (તેની ગતિઊર્જા શૂન્ય હોય). તેથી,$K_{\max} = Q - m_{\bar{\nu}}c^2$. કારણ કે $m_{\bar{\nu}}c^2 = 3 \ eV$,તેથી $K_{\max} = 0.8 \times 10^6 \ eV - 3 \ eV$. ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K$ ની રેન્જ $0$ (જ્યારે એન્ટી-ન્યુટ્રીનો મહત્તમ શક્ય ઊર્જા લઈ જાય છે) થી $K_{\max}$ (જ્યારે એન્ટી-ન્યુટ્રીનો સ્થિર હોય છે) સુધીની હોઈ શકે છે. તેથી,$0 \leq K < 0.8 \times 10^6 \ eV$. તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.
$2.$ જો એન્ટી-ન્યુટ્રીનોનું દળ $m_{\bar{\nu}} = 3 \ eV/c^2$ હોય,તો કુલ ઊર્જા $Q$ માં એન્ટી-ન્યુટ્રીનોની સ્થિર દળ ઊર્જાનો પણ સમાવેશ કરવો પડે. ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K$ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે એન્ટી-ન્યુટ્રીનો સ્થિર હોય (તેની ગતિઊર્જા શૂન્ય હોય). તેથી,$K_{\max} = Q - m_{\bar{\nu}}c^2$. કારણ કે $m_{\bar{\nu}}c^2 = 3 \ eV$,તેથી $K_{\max} = 0.8 \times 10^6 \ eV - 3 \ eV$. ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K$ ની રેન્જ $0$ (જ્યારે એન્ટી-ન્યુટ્રીનો મહત્તમ શક્ય ઊર્જા લઈ જાય છે) થી $K_{\max}$ (જ્યારે એન્ટી-ન્યુટ્રીનો સ્થિર હોય છે) સુધીની હોઈ શકે છે. તેથી,$0 \leq K < 0.8 \times 10^6 \ eV$. તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.
0 likesView Solution
34
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
મોટાભાગના પદાર્થોનો વક્રીભવનાંક $n > 1$ હોય છે. તેથી,જ્યારે હવામાંથી પ્રકાશનું કિરણ કુદરતી રીતે મળતા પદાર્થમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{n_2}{n_1}$,તે સમજી શકાય છે કે વક્રીભૂત કિરણ લંબ તરફ વળે છે. પરંતુ તે ક્યારેય આપાત કિરણની જેમ લંબની એક જ બાજુએ બહાર આવતું નથી. વિદ્યુતચુંબકત્વ મુજબ,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n = \left(\frac{c}{v}\right) = \pm \sqrt{\varepsilon_r \mu_r}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યાં $\varepsilon_r$ અને $\mu_r$ ઋણ હોય,ત્યારે $n$ નું ઋણ મૂળ પસંદ કરવું આવશ્યક છે. આવા ઋણ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પદાર્થો હવે કૃત્રિમ રીતે તૈયાર કરી શકાય છે અને તેને મેટા-મટીરીયલ્સ કહેવામાં આવે છે. તેઓ કોઈપણ ભૌતિક નિયમોનું ઉલ્લંઘન કર્યા વિના નોંધપાત્ર રીતે અલગ ઓપ્ટિકલ વર્તન દર્શાવે છે. $n$ ઋણ હોવાથી,તે વક્રીભૂત પ્રકાશના પ્રસરણની દિશામાં ફેરફાર લાવે છે. જો કે,સામાન્ય પદાર્થોની જેમ,મેટા-મટીરીયલ્સમાં પણ વક્રીભવન દરમિયાન પ્રકાશની આવૃત્તિ બદલાતી નથી.
$1.$ સાચું વિધાન પસંદ કરો.
$(A)$ મેટા-મટીરીયલમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c|n|$ છે.
$(B)$ મેટા-મટીરીયલમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{|n|}$ છે.
$(C)$ મેટા-મટીરીયલમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c$ છે.
$(D)$ મેટા-મટીરીયલમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ એ $\lambda_m = \frac{\lambda_{\text{air}}}{|n|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_{\text{air}}$ એ હવામાં પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
$2.$ હવામાંથી મેટા-મટીરીયલ પર આપાત થતા પ્રકાશ માટે,યોગ્ય કિરણ આકૃતિ કઈ છે?
$1.$ સાચું વિધાન પસંદ કરો.
$(A)$ મેટા-મટીરીયલમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c|n|$ છે.
$(B)$ મેટા-મટીરીયલમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{|n|}$ છે.
$(C)$ મેટા-મટીરીયલમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c$ છે.
$(D)$ મેટા-મટીરીયલમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ એ $\lambda_m = \frac{\lambda_{\text{air}}}{|n|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_{\text{air}}$ એ હવામાં પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
$2.$ હવામાંથી મેટા-મટીરીયલ પર આપાત થતા પ્રકાશ માટે,યોગ્ય કિરણ આકૃતિ કઈ છે?
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, D)$
D
$(C, D)$
Solution
(A) $1.$ વક્રીભવનાંક $n = \frac{c}{v}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. મેટા-મટીરીયલ્સ માટે,વક્રીભવનાંકનું મૂલ્ય $|n| = \frac{c}{v}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \frac{c}{|n|}$. તેથી,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
વળી,માધ્યમમાં તરંગલંબાઇ $\lambda_m = \frac{v}{f} = \frac{c}{|n|f} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{|n|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
$2.$ સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{n_2}{n_1}$. $n_2$ ઋણ હોવાથી,$\sin \theta_2$ ઋણ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે વક્રીભૂત કિરણ આપાત કિરણની જેમ લંબની એક જ બાજુએ બહાર આવે છે. આપેલી આકૃતિ જોતા,આકૃતિ $(D)$ આ વર્તનને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.
વળી,માધ્યમમાં તરંગલંબાઇ $\lambda_m = \frac{v}{f} = \frac{c}{|n|f} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{|n|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
$2.$ સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{n_2}{n_1}$. $n_2$ ઋણ હોવાથી,$\sin \theta_2$ ઋણ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે વક્રીભૂત કિરણ આપાત કિરણની જેમ લંબની એક જ બાજુએ બહાર આવે છે. આપેલી આકૃતિ જોતા,આકૃતિ $(D)$ આ વર્તનને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.
0 likesView Solution
35
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2012
એક અનંત લંબાઈનો વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર એક વર્તુળાકાર લૂપના વ્યાસ પર,તેને સ્પર્શ્યા વગર રાખવામાં આવ્યો છે. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે:
$(A)$ જો વિદ્યુતપ્રવાહ અચળ હોય,તો લૂપમાં પ્રેરિત emf શૂન્ય હોય છે.
$(B)$ જો વિદ્યુતપ્રવાહ અચળ હોય,તો લૂપમાં પ્રેરિત emf શાંત (finite) હોય છે.
$(C)$ જો વિદ્યુતપ્રવાહ સતત દરે ઘટતો હોય,તો લૂપમાં પ્રેરિત emf શૂન્ય હોય છે.
$(D)$ જો વિદ્યુતપ્રવાહ સતત દરે ઘટતો હોય,તો લૂપમાં પ્રેરિત emf શાંત (finite) હોય છે.
$(A)$ જો વિદ્યુતપ્રવાહ અચળ હોય,તો લૂપમાં પ્રેરિત emf શૂન્ય હોય છે.
$(B)$ જો વિદ્યુતપ્રવાહ અચળ હોય,તો લૂપમાં પ્રેરિત emf શાંત (finite) હોય છે.
$(C)$ જો વિદ્યુતપ્રવાહ સતત દરે ઘટતો હોય,તો લૂપમાં પ્રેરિત emf શૂન્ય હોય છે.
$(D)$ જો વિદ્યુતપ્રવાહ સતત દરે ઘટતો હોય,તો લૂપમાં પ્રેરિત emf શાંત (finite) હોય છે.
A
$(A, C)$
B
$(B, D)$
C
$(B, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(A) અનંત લંબાઈના સીધા તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વર્તુળાકાર હોય છે અને તેનું કેન્દ્ર તાર પર હોય છે.
તારની ઉપરના કોઈપણ બિંદુ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપના સમતલની બહારની તરફ હોય છે,અને તારની નીચેના કોઈપણ બિંદુ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપના સમતલની અંદરની તરફ હોય છે.
વ્યાસ (તાર) ની સાપેક્ષે વર્તુળાકાર લૂપની સમપ્રમાણતાને કારણે,લૂપના ઉપરના અડધા ભાગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ,લૂપના નીચેના અડધા ભાગમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સ જેટલું જ મૂલ્ય ધરાવે છે પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
તેથી,તારમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ ના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લીધા વગર,સમગ્ર લૂપમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$ હંમેશા શૂન્ય રહે છે.
આમ,પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ હોવાથી,અને $\phi = 0$ હોવાથી,વિદ્યુતપ્રવાહ અચળ હોય કે બદલાતો હોય,પ્રેરિત emf હંમેશા શૂન્ય જ રહેશે.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.
તારની ઉપરના કોઈપણ બિંદુ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપના સમતલની બહારની તરફ હોય છે,અને તારની નીચેના કોઈપણ બિંદુ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપના સમતલની અંદરની તરફ હોય છે.
વ્યાસ (તાર) ની સાપેક્ષે વર્તુળાકાર લૂપની સમપ્રમાણતાને કારણે,લૂપના ઉપરના અડધા ભાગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ,લૂપના નીચેના અડધા ભાગમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સ જેટલું જ મૂલ્ય ધરાવે છે પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
તેથી,તારમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ ના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લીધા વગર,સમગ્ર લૂપમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$ હંમેશા શૂન્ય રહે છે.
આમ,પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ હોવાથી,અને $\phi = 0$ હોવાથી,વિદ્યુતપ્રવાહ અચળ હોય કે બદલાતો હોય,પ્રેરિત emf હંમેશા શૂન્ય જ રહેશે.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.
0 likesView Solution
36
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
આપેલ સર્કિટમાં,$AC$ સ્ત્રોત પાસે $\omega = 100 \ rad/s$ છે. ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરને આદર્શ ગણીને,સાચો વિકલ્પ(ઓ) પસંદ કરો:
$(A)$ સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ,$I = 0.3 \ A$ છે.
$(B)$ સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ,$I = 0.3 \sqrt{2} \ A$ છે.
$(C)$ $100 \ \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $= 10 \sqrt{2} \ V$ છે.
$(D)$ $50 \ \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $= 10 \sqrt{2} \ V$ છે.
$(A)$ સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ,$I = 0.3 \ A$ છે.
$(B)$ સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ,$I = 0.3 \sqrt{2} \ A$ છે.
$(C)$ $100 \ \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $= 10 \sqrt{2} \ V$ છે.
$(D)$ $50 \ \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $= 10 \sqrt{2} \ V$ છે.
A
$(A, C)$
B
$(A, B)$
C
$(A, D)$
D
$(B, D)$
Solution
(A, C, D) આપેલ છે: $V_{rms} = 20 \ V$,$\omega = 100 \ rad/s$,$C = 100 \ \mu F$,$L = 0.5 \ H$.
$1$. ઉપરની શાખાનો ઈમ્પિડન્સ ($RC$ શ્રેણી):
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 100 \times 10^{-6}} = 100 \ \Omega$.
$Z_1 = \sqrt{R_1^2 + X_C^2} = \sqrt{100^2 + 100^2} = 100\sqrt{2} \ \Omega$.
$I_{1,rms} = \frac{V_{rms}}{Z_1} = \frac{20}{100\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} \ A$.
$100 \ \Omega$ અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ: $V_{R1} = I_{1,rms} \times R_1 = \frac{1}{5\sqrt{2}} \times 100 = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \ V$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
$2$. નીચેની શાખાનો ઈમ્પિડન્સ ($RL$ શ્રેણી):
$X_L = \omega L = 100 \times 0.5 = 50 \ \Omega$.
$Z_2 = \sqrt{R_2^2 + X_L^2} = \sqrt{50^2 + 50^2} = 50\sqrt{2} \ \Omega$.
$I_{2,rms} = \frac{V_{rms}}{Z_2} = \frac{20}{50\sqrt{2}} = \frac{2}{5\sqrt{2}} \ A$.
$50 \ \Omega$ અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ: $V_{R2} = I_{2,rms} \times R_2 = \frac{2}{5\sqrt{2}} \times 50 = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \ V$. (વિકલ્પ $D$ સાચો છે).
$3$. કુલ પ્રવાહ $I_{rms}$:
ફેઝ એંગલ $\phi_1 = \tan^{-1}(\frac{-X_C}{R_1}) = -45^\circ$ અને $\phi_2 = \tan^{-1}(\frac{X_L}{R_2}) = 45^\circ$.
$I_1$ અને $I_2$ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $90^\circ$ છે.
$I_{rms} = \sqrt{I_{1,rms}^2 + I_{2,rms}^2} = \sqrt{(\frac{1}{5\sqrt{2}})^2 + (\frac{2}{5\sqrt{2}})^2} = \sqrt{\frac{1}{50} + \frac{4}{50}} = \sqrt{\frac{5}{50}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0.316 \ A \approx 0.3 \ A$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
$1$. ઉપરની શાખાનો ઈમ્પિડન્સ ($RC$ શ્રેણી):
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 100 \times 10^{-6}} = 100 \ \Omega$.
$Z_1 = \sqrt{R_1^2 + X_C^2} = \sqrt{100^2 + 100^2} = 100\sqrt{2} \ \Omega$.
$I_{1,rms} = \frac{V_{rms}}{Z_1} = \frac{20}{100\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} \ A$.
$100 \ \Omega$ અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ: $V_{R1} = I_{1,rms} \times R_1 = \frac{1}{5\sqrt{2}} \times 100 = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \ V$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
$2$. નીચેની શાખાનો ઈમ્પિડન્સ ($RL$ શ્રેણી):
$X_L = \omega L = 100 \times 0.5 = 50 \ \Omega$.
$Z_2 = \sqrt{R_2^2 + X_L^2} = \sqrt{50^2 + 50^2} = 50\sqrt{2} \ \Omega$.
$I_{2,rms} = \frac{V_{rms}}{Z_2} = \frac{20}{50\sqrt{2}} = \frac{2}{5\sqrt{2}} \ A$.
$50 \ \Omega$ અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ: $V_{R2} = I_{2,rms} \times R_2 = \frac{2}{5\sqrt{2}} \times 50 = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \ V$. (વિકલ્પ $D$ સાચો છે).
$3$. કુલ પ્રવાહ $I_{rms}$:
ફેઝ એંગલ $\phi_1 = \tan^{-1}(\frac{-X_C}{R_1}) = -45^\circ$ અને $\phi_2 = \tan^{-1}(\frac{X_L}{R_2}) = 45^\circ$.
$I_1$ અને $I_2$ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $90^\circ$ છે.
$I_{rms} = \sqrt{I_{1,rms}^2 + I_{2,rms}^2} = \sqrt{(\frac{1}{5\sqrt{2}})^2 + (\frac{2}{5\sqrt{2}})^2} = \sqrt{\frac{1}{50} + \frac{4}{50}} = \sqrt{\frac{5}{50}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0.316 \ A \approx 0.3 \ A$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
0 likesView Solution
37
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2012
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $L$ બાજુવાળા અને $O$ કેન્દ્રવાળા નિયમિત ષટ્કોણના શિરોબિંદુઓ પર છ બિંદુવત વિદ્યુતભારો રાખવામાં આવ્યા છે. જો $K = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{L^2}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન(નો) સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $OD$ ની દિશામાં $6K$ છે
$(B)$ $O$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન શૂન્ય છે
$(C)$ $PR$ રેખા પરના તમામ બિંદુઓ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન છે
$(D)$ $ST$ રેખા પરના તમામ બિંદુઓ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન છે.
$(A)$ $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $OD$ ની દિશામાં $6K$ છે
$(B)$ $O$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન શૂન્ય છે
$(C)$ $PR$ રેખા પરના તમામ બિંદુઓ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન છે
$(D)$ $ST$ રેખા પરના તમામ બિંદુઓ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન છે.
A
$(A, B, C)$
B
$(A, B, D)$
C
$(A, C, D)$
D
$(B, C, D)$
Solution
(A) $1$. $O$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર: $O$ પર વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારોની જોડીને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
- $A(+2q)$ અને $D(-2q)$ ને કારણે: $E_{AD} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2q}{L^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2q}{L^2} = 4K$ ($OD$ ની દિશામાં)
- $F(+q)$ અને $C(-q)$ ને કારણે: $E_{FC} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} = 2K$ ($OD$ ની દિશામાં)
- $B(+q)$ અને $E(-q)$ ને કારણે: $E_{BE} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} = 2K$ ($OD$ ની દિશામાં)
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_O = 4K + 2K = 6K$ જે $OD$ ની દિશામાં છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$2$. $O$ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન: $V_O = \sum \frac{kq_i}{r_i} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 L} (2q - 2q + q - q + q - q) = 0$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$3$. $PR$ રેખા પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન: $PR$ રેખા એ વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાનો લંબદ્વિભાજક છે. $PR$ પરના કોઈપણ બિંદુ માટે,$+q$ અને $-q$ વિદ્યુતભારોથી અંતર સમાન હોય છે,જેનાથી ચોખ્ખું વિદ્યુતસ્થિતિમાન શૂન્ય થાય છે. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
$4$. $ST$ રેખા પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન: $ST$ રેખા પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન બદલાય છે કારણ કે તે સમસ્થિતિમાન રેખા નથી. તેથી,$(D)$ ખોટું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A, B, C)$ છે.
- $A(+2q)$ અને $D(-2q)$ ને કારણે: $E_{AD} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2q}{L^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2q}{L^2} = 4K$ ($OD$ ની દિશામાં)
- $F(+q)$ અને $C(-q)$ ને કારણે: $E_{FC} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} = 2K$ ($OD$ ની દિશામાં)
- $B(+q)$ અને $E(-q)$ ને કારણે: $E_{BE} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} = 2K$ ($OD$ ની દિશામાં)
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_O = 4K + 2K = 6K$ જે $OD$ ની દિશામાં છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$2$. $O$ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન: $V_O = \sum \frac{kq_i}{r_i} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 L} (2q - 2q + q - q + q - q) = 0$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$3$. $PR$ રેખા પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન: $PR$ રેખા એ વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાનો લંબદ્વિભાજક છે. $PR$ પરના કોઈપણ બિંદુ માટે,$+q$ અને $-q$ વિદ્યુતભારોથી અંતર સમાન હોય છે,જેનાથી ચોખ્ખું વિદ્યુતસ્થિતિમાન શૂન્ય થાય છે. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
$4$. $ST$ રેખા પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન: $ST$ રેખા પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન બદલાય છે કારણ કે તે સમસ્થિતિમાન રેખા નથી. તેથી,$(D)$ ખોટું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A, B, C)$ છે.
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real IIT JEE style covering Physics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Physics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live IIT JEE mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Physics questions are in IIT JEE 2012?
There are 37 Physics questions from the IIT JEE 2012 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Gujarati.
Are IIT JEE 2012 Physics solutions available in Gujarati?
Yes. All solutions on this page are in Gujarati. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice IIT JEE 2012 Physics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full IIT JEE mock test covering Physics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Physics papers from IIT JEE previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix IIT JEE Physics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Physics Paper
Pick IIT JEE 2012 Physics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.