IIT JEE 2012 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $z^2 + z + 1 - a = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$z = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1-a)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4a - 3}}{2}$.
કારણ કે $z$ નો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય નથી,તેથી વિવેચક (discriminant) ઋણ હોવો જોઈએ.
આમ,$4a - 3 < 0$,જેનો અર્થ છે કે $a < \frac{3}{4}$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$\frac{3}{4}$ એ $\frac{3}{4}$ થી નાની નથી,તેથી $a$ એ $\frac{3}{4}$ કિંમત ધારણ કરી શકે નહીં.

(B) $5$ અલગ-અલગ દડાઓને $3$ વ્યક્તિઓ વચ્ચે વહેંચવા માટે,જ્યાં દરેક વ્યક્તિને ઓછામાં ઓછો એક દડો મળે,આપણે જૂથો $(3, 1, 1)$ અને $(2, 2, 1)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: જૂથનું કદ $(3, 1, 1)$.
$5$ દડાઓને $(3, 1, 1)$ ના જૂથમાં વહેંચવાની રીતો $\frac{5!}{3!1!1! \cdot 2!} = 10$ છે.
વ્યક્તિઓ અલગ હોવાથી,$3!$ વડે ગુણતા: $10 \times 6 = 60$.
કિસ્સો $2$: જૂથનું કદ $(2, 2, 1)$.
$5$ દડાઓને $(2, 2, 1)$ ના જૂથમાં વહેંચવાની રીતો $\frac{5!}{2!2!1! \cdot 2!} = 15$ છે.
વ્યક્તિઓ અલગ હોવાથી,$3!$ વડે ગુણતા: $15 \times 6 = 90$.
કુલ રીતો $= 60 + 90 = 150$.

(A) ધારો કે $P(t, \frac{4t - 20}{5})$ એ રેખા $4x - 5y = 20$ પરનું બિંદુ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9$ માટે $P$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકોની સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $T = 0$ મુજબ:
$tx + (\frac{4t - 20}{5})y = 9$ --- $(1)$
ધારો કે $M(h, k)$ એ આ જીવાનું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ મુજબ:
$hx + ky = h^2 + k^2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા:
$\frac{t}{h} = \frac{4t - 20}{5k} = \frac{9}{h^2 + k^2}$
$\frac{t}{h} = \frac{9}{h^2 + k^2}$ પરથી,$t = \frac{9h}{h^2 + k^2}$ મળે.
$\frac{4t - 20}{5k} = \frac{9}{h^2 + k^2}$ પરથી,$4t - 20 = \frac{45k}{h^2 + k^2}$ મળે.
$t$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$4(\frac{9h}{h^2 + k^2}) - 20 = \frac{45k}{h^2 + k^2}$
$36h - 20(h^2 + k^2) = 45k$
$20(h^2 + k^2) - 36h + 45k = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ:
$20(x^2 + y^2) - 36x + 45y = 0$

(C) ઉપવલય $E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ ના શિરોબિંદુઓ $(\pm 3, 0)$ અને $(0, \pm 2)$ છે.
કારણ કે $E_1$ એ યામ અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતા લંબચોરસ $R$ માં અંતર્ગત છે,તેથી લંબચોરસ $R$ ના શિરોબિંદુઓ $(\pm 3, \pm 2)$ છે.
ધારો કે ઉપવલય $E_2$ નું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
$E_2$ એ $(0, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{0}{a^2}+\frac{16}{b^2}=1$,જે $b^2=16$ આપે છે.
$E_2$ એ લંબચોરસ $R$ ને પરિગત હોવાથી,તે $(3, 2)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$E_2$ ના સમીકરણમાં $(3, 2)$ મૂકતા: $\frac{9}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1$.
$b^2=16$ મૂકતા: $\frac{9}{a^2}+\frac{4}{16}=1$ $\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{1}{4}=1$ $\Rightarrow \frac{9}{a^2}=\frac{3}{4}$ $\Rightarrow a^2=12$.
ઉપવલય $E_2$ માટે,$b^2 > a^2$ (કારણ કે $16 > 12$),તેથી ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $a^2=b^2(1-e^2)$ દ્વારા મળે છે.
$12=16(1-e^2) \Rightarrow 1-e^2=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$.
$e^2=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} \Rightarrow e=\frac{1}{2}$.

(C) આપેલ છે $\tan (2\pi - \theta) > 0 \Rightarrow \tan \theta < 0$.
વળી,$-1 < \sin \theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ સૂચવે છે કે $\theta \in (\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3})$.
નિત્યસમ $\tan \frac{\theta}{2} + \cot \frac{\theta}{2} = \frac{2}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ $2 \cos \theta + 1 = 2 \sin(\theta + \phi)$ બને છે.
$\theta \in (\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3})$ માટે,$2 \cos \theta + 1 \in (1, 2)$,તેથી $\frac{1}{2} < \sin(\theta + \phi) < 1$.
આના પરથી $\phi \in (\frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3})$ મળે છે.
તેથી,$\phi$ વિકલ્પ $(A), (C), (D)$ નું પાલન કરી શકતું નથી.

(D) રેખા $2x - y = 1$ નો ઢાળ $m = 2$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે,તેથી સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = 2x \pm \sqrt{9(2)^2 - 4} = 2x \pm \sqrt{32} = 2x \pm 4\sqrt{2}$ મળે.
સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\left(\frac{a^2m}{c}, \frac{b^2}{c}\right)$ છે.
$c = 4\sqrt{2}$ માટે,બિંદુ $\left(\frac{9(2)}{4\sqrt{2}}, \frac{4}{4\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{9}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ મળે,જે $(A)$ છે.
$c = -4\sqrt{2}$ માટે,બિંદુ $\left(-\frac{9}{2\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ મળે,જે $(B)$ છે.
આમ,સ્પર્શબિંદુઓ $(A)$ અને $(B)$ છે.

(D) પરવલય $y^2=8x$ નું નાભિ $S \equiv (2, 0)$ છે.
સામાન્ય જીવા શોધવા માટે,વર્તુળના સમીકરણમાંથી પરવલયનું સમીકરણ બાદ કરો:
$(x^2+y^2-2x-4y) - (y^2-8x) = 0$
$x^2+6x-4y = 0$
$y^2=8x$ હોવાથી,જીવાના સમીકરણમાં $x = \frac{y^2}{8}$ મૂકતા:
$(\frac{y^2}{8})^2 + 6(\frac{y^2}{8}) - 4y = 0$
$\frac{y^4}{64} + \frac{3y^2}{4} - 4y = 0$
$y^4 + 48y^2 - 256y = 0$
$y(y^3 + 48y - 256) = 0$
એક ઉકેલ $y=0$ છે,જે $x=0$ આપે છે. તેથી,$P \equiv (0, 0)$.
$y^3 + 48y - 256 = 0$ માટે,નિરીક્ષણ દ્વારા,$y=4$ એ બીજ છે $(64 + 192 - 256 = 0)$.
જો $y=4$ હોય,તો $x = \frac{16}{8} = 2$. તેથી,$Q \equiv (2, 4)$.
$\triangle PQS$ ના શિરોબિંદુઓ $P(0, 0)$,$Q(2, 4)$,અને $S(2, 0)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(4-0) + 2(0-0) + 2(0-4)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 + 0 - 8| = \frac{1}{2} |-8| = 4$.

(A) ધારો કે $t = \sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}\sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}\sqrt{4-\dots}}}$.
તેથી $t = \sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}t}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4-\frac{1}{3\sqrt{2}}t = t^2$,જેનો અર્થ છે $t^2 + \frac{1}{3\sqrt{2}}t - 4 = 0$.
$3\sqrt{2}$ વડે ગુણતા,$3\sqrt{2}t^2 + t - 12\sqrt{2} = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(3\sqrt{2})(-12\sqrt{2})}}{2(3\sqrt{2})} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 288}}{6\sqrt{2}} = \frac{-1 \pm 17}{6\sqrt{2}}$.
$t > 0$ હોવાથી,$t = \frac{16}{6\sqrt{2}} = \frac{8}{3\sqrt{2}}$.
પદાવલિ $6 + \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{8}{3\sqrt{2}}\right) = 6 + \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{8}{18}\right) = 6 + \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{4}{9}\right)$.
$\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2 = (\frac{3}{2})^{-2}$ હોવાથી,પદાવલિ $6 + \log_{\frac{3}{2}}\left((\frac{3}{2})^{-2}\right) = 6 - 2 = 4$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $a=2, b=\frac{7}{2}, c=\frac{5}{2}$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{2 + 3.5 + 2.5}{2} = 4$.
પદાવલિ $\frac{2 \sin P - \sin 2P}{2 \sin P + \sin 2P} = \frac{2 \sin P(1 - \cos P)}{2 \sin P(1 + \cos P)} = \tan^2(P/2)$.
સૂત્ર મુજબ $\tan^2(P/2) = \frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}$.
કિંમતો મૂકતા: $s-a = 2, s-b = 0.5, s-c = 1.5$.
$\tan^2(P/2) = \frac{0.5 \times 1.5}{4 \times 2} = \frac{0.75}{8} = \frac{3}{32}$.
અહીં $\Delta = \sqrt{4 \times 2 \times 0.5 \times 1.5} = \sqrt{6}$.
તેથી,$\left(\frac{3}{4 \Delta}\right)^2 = \frac{9}{16 \times 6} = \frac{3}{32}$.
આમ,જવાબ $\left(\frac{3}{4 \Delta}\right)^2$ છે.

(D) જો $a_1, a_2, \ldots$ હાર્મોનિક શ્રેણીમાં હોય,તો તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \ldots$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય.
ધારો કે સમાંતર શ્રેણી $b_n = \frac{1}{a_n} = A + (n-1)D$ છે.
આપેલ છે કે $a_1 = 5 \Rightarrow b_1 = \frac{1}{5}$ અને $a_{20} = 25 \Rightarrow b_{20} = \frac{1}{25}$.
$b_{20} = b_1 + 19D \Rightarrow \frac{1}{25} = \frac{1}{5} + 19D$.
$19D = \frac{1}{25} - \frac{1}{5} = -\frac{4}{25}$.
$D = -\frac{4}{475}$.
$a_n < 0$ માટે,$b_n = \frac{1}{5} - (n-1)\frac{4}{475} < 0$.
$\frac{1}{5} < (n-1)\frac{4}{475}$.
$\frac{475}{20} < n-1$.
$23.75 < n-1$.
$n > 24.75$.
તેથી,$n$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત $25$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $((1+a)^{1/3}-1)x^2 + ((1+a)^{1/2}-1)x + ((1+a)^{1/6}-1) = 0$ છે.
ધારો કે $1+a = t^6$. જેમ $a \rightarrow 0^{+}$,તેમ $t \rightarrow 1^{+}$.
સમીકરણ $(t^2-1)x^2 + (t^3-1)x + (t-1) = 0$ બને છે.
$(t-1)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $a > 0$ હોવાથી $t \neq 1$):
$(t+1)x^2 + (t^2+t+1)x + 1 = 0$.
$t \rightarrow 1$ લેતા:
$(1+1)x^2 + (1^2+1+1)x + 1 = 0$.
$2x^2 + 3x + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(2x+1)(x+1) = 0$.
આમ,બીજ $x = -\frac{1}{2}$ અને $x = -1$ છે.

(A) કોઈ પણ ક્રમિક $0$ ન હોય તેવી $n$-અંકી સંખ્યા માટે:
જો તે $1$ થી અંત પામે,તો અગાઉનો અંક $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે. તેથી,$b_n = b_{n-1} + c_{n-1} = a_{n-1}$.
જો તે $0$ થી અંત પામે,તો અગાઉનો અંક $1$ હોવો જોઈએ. તેથી,$c_n = b_{n-1}$.
$a_n = b_n + c_n$ હોવાથી,આપણને $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ મળે છે.
$1.$ $(A)$ માટે,પુનરાવર્તિત સંબંધ મુજબ $a_{17} = a_{16} + a_{15}$ સાચું છે.
$(B)$ માટે,$c_{17} = c_{16} + c_{15}$ સાચું છે,તેથી $c_{17} \neq c_{16} + c_{15}$ ખોટું છે.
$(C)$ માટે,$b_{17} = b_{16} + c_{16}$ સાચું છે,તેથી $b_{17} \neq b_{16} + c_{16}$ ખોટું છે.
$(D)$ માટે,$a_{17} = b_{17} + c_{17} = (b_{16} + c_{16}) + c_{17} = a_{16} + c_{17}$. $a_{16} = b_{16} + c_{16}$ હોવાથી,આ $a_{17} = c_{17} + b_{16}$ માં સરળ બનતું નથી.
આમ,માત્ર $(A)$ સાચું છે.
$2.$ આપણી પાસે $b_n = a_{n-1}$ છે.
$a_1 = 1$ $(1)$
$a_2 = 2$ $(10, 11)$
$a_3 = 3$ $(101, 110, 111)$
$a_4 = 5$ $(1010, 1011, 1101, 1110, 1111)$
$a_5 = 8$
તેથી,$b_6 = a_5 = 8$.
સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(A) $1.$ વર્તુળ $x^2+y^2=4$ માટે બિંદુ $P(\sqrt{3}, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\sqrt{3}x + y = 4$ છે.
વર્તુળોના કેન્દ્રો $C_1(0,0)$ (ત્રિજ્યા $r_1=2$) અને $C_2(3,0)$ (ત્રિજ્યા $r_2=1$) છે.
બાહ્ય સમાનતાનું કેન્દ્ર $B$ એ $C_1C_2$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે,તેથી $B(6,0)$.
સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-0 = m(x-6)$ લેતા,$mx - y - 6m = 0$.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી લંબ અંતર ત્રિજ્યા $2$ જેટલું છે,તેથી $\left|\frac{-6m}{\sqrt{m^2+1}}\right| = 2$,જે ઉકેલતા $m = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$ મળે.
આમ,સમીકરણ $x \pm 2\sqrt{2}y = 6$ મળે છે. તેથી $(D)$ સાચો વિકલ્પ છે.
$2.$ $PT$ નો ઢાળ $-\sqrt{3}$ છે,તેથી $L$ નો ઢાળ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.
$L$ નું સમીકરણ $x - \sqrt{3}y + k = 0$ લેતા,વર્તુળ $(x-3)^2+y^2=1$ ના કેન્દ્ર $(3,0)$ થી લંબ અંતર $1$ છે.
$\left|\frac{3+k}{2}\right| = 1$ પરથી $k = -1$ અથવા $k = -5$ મળે.
આમ,$x - \sqrt{3}y = 1$ અથવા $x - \sqrt{3}y = 5$ શક્ય છે. વિકલ્પ $(C)$ માં $x - \sqrt{3}y = -1$ આપેલ છે.

(B) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+x+1}{x+1}-a x-b\right)=4$.
લક્ષની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+x+1-ax(x+1)-b(x+1)}{x+1}\right)=4$
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{(1-a)x^2+(1-a-b)x+(1-b)}{x+1}\right)=4$
લક્ષનું મૂલ્ય નિશ્ચિત હોવા માટે,$x^2$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$1-a=0 \Rightarrow a=1$.
હવે,$a=1$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{-bx+(1-b)}{x+1}\right)=4$
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{-b+\frac{1-b}{x}}{1+\frac{1}{x}}\right)=4$
$-b=4 \Rightarrow b=-4$.
આમ,$a=1$ અને $b=-4$.

(A) બિંદુઓ $Q(2, 3, 5)$ અને $R(1, -1, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખા $QR$ નું સમીકરણ $\frac{x-2}{1-2} = \frac{y-3}{-1-3} = \frac{z-5}{4-5}$ છે,જે $\frac{x-2}{-1} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z-5}{-1} = \lambda$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2-\lambda, 3-4\lambda, 5-\lambda)$ છે.
$P$ એ સમતલ $5x - 4y - z = 1$ પર હોવાથી,$5(2-\lambda) - 4(3-4\lambda) - (5-\lambda) = 1$.
$10 - 5\lambda - 12 + 16\lambda - 5 + \lambda = 1 \Rightarrow 12\lambda - 7 = 1 \Rightarrow 12\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ મૂકતા,$P = (2-\frac{2}{3}, 3-\frac{8}{3}, 5-\frac{2}{3}) = (\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, \frac{13}{3})$ મળે.
હવે,$T(2, 1, 4)$ માંથી $QR$ પરના લંબપાદ $S$ માટે,ધારો કે $S = (2-\mu, 3-4\mu, 5-\mu)$.
સદિશ $\vec{TS} = (2-\mu-2, 3-4\mu-1, 5-\mu-4) = (-\mu, 2-4\mu, 1-\mu)$.
$\vec{TS}$ એ રેખાની દિશાના સદિશ $\vec{v} = (-1, -4, -1)$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(-\mu)(-1) + (2-4\mu)(-4) + (1-\mu)(-1) = 0$.
$\mu - 8 + 16\mu - 1 + \mu = 0 \Rightarrow 18\mu = 9 \Rightarrow \mu = \frac{1}{2}$.
આમ,$S = (2-\frac{1}{2}, 3-2, 5-\frac{1}{2}) = (\frac{3}{2}, 1, \frac{9}{2})$.
અંતર $PS = \sqrt{(\frac{4}{3}-\frac{3}{2})^2 + (\frac{1}{3}-1)^2 + (\frac{13}{3}-\frac{9}{2})^2} = \sqrt{(-\frac{1}{6})^2 + (-\frac{2}{3})^2 + (-\frac{1}{6})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{4}{9} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{2}{36} + \frac{16}{36}} = \sqrt{\frac{18}{36}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) ધારો કે $t = \sec x + \tan x$. તેથી $dt = (\sec x \tan x + \sec^2 x) dx = \sec x(\tan x + \sec x) dx = \sec x \cdot t \cdot dx$.
આથી,$\sec x dx = \frac{dt}{t}$.
વળી,$\sec x - \tan x = \frac{1}{t}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2 \sec x = t + \frac{1}{t} \implies \sec x = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right)$.
સંકલનમાં કિંમત મૂકતા:
$I = \int \frac{\sec x \cdot (\sec x dx)}{t^{9/2}} = \int \frac{\frac{1}{2}(t + \frac{1}{t}) \cdot \frac{dt}{t}}{t^{9/2}} = \frac{1}{2} \int \frac{t + t^{-1}}{t^{11/2}} dt = \frac{1}{2} \int (t^{-9/2} + t^{-13/2}) dt$.
સંકલન કરતા:
$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^{-7/2}}{-7/2} + \frac{t^{-11/2}}{-11/2} \right] + K = -\left[ \frac{1}{7 t^{7/2}} + \frac{1}{11 t^{11/2}} \right] + K$.
$-\frac{1}{t^{11/2}}$ સામાન્ય લેતા:
$I = -\frac{1}{t^{11/2}} \left[ \frac{t^2}{7} + \frac{1}{11} \right] + K$.
$t = \sec x + \tan x$ પાછું મૂકતા,આપણને વિકલ્પ $A$ મળે છે.

(B) $(i)$ $x=0$ પર વિકલનીયતા માટે:
$LHD = f'(0^-) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(-h)^2 |\cos(-\pi/h)| - 0}{-h} = \lim_{h \to 0^+} -h |\cos(\pi/h)| = 0$.
$RHD = f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2 |\cos(\pi/h)| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} h |\cos(\pi/h)| = 0$.
$LHD = RHD = 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=0$ પર વિકલનીય છે.
$(ii)$ $x=2$ પર વિકલનીયતા માટે:
$f(2) = 2^2 |\cos(\pi/2)| = 0$.
$RHD = f'(2^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2+h)^2 |\cos(\pi/(2+h))|}{h}$.
નાના $h > 0$ માટે $\cos(\pi/(2+h)) > 0$ હોવાથી,$|\cos(\pi/(2+h))| = \cos(\pi/(2+h)) = \sin(\pi/2 - \pi/(2+h)) = \sin(\pi h / (2(2+h)))$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2+h)^2 \sin(\pi h / (2(2+h)))}{h} = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi$.
$LHD = f'(2^-) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2-h) - f(2)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2-h)^2 |\cos(\pi/(2-h))|}{-h}$.
નાના $h > 0$ માટે $\cos(\pi/(2-h)) < 0$ હોવાથી,$|\cos(\pi/(2-h))| = -\cos(\pi/(2-h)) = -\sin(\pi/2 - \pi/(2-h)) = -\sin(-\pi h / (2(2-h))) = \sin(\pi h / (2(2-h)))$.
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2-h)^2 \sin(\pi h / (2(2-h)))}{-h} = 4 \cdot (-\pi/4) = -\pi$.
$LHD \neq RHD$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=2$ પર વિકલનીય નથી.

(B) આપેલ વિધેય: $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 1$,જ્યાં $x \in [0, 3]$.
પગલું $1$: એક-એક વિધેય માટે તપાસો.
વિકલન મેળવો: $f'(x) = 6x^2 - 30x + 36 = 6(x^2 - 5x + 6) = 6(x-2)(x-3)$.
અંતરાલ $[0, 3]$ માં $x=2$ આગળ $f'(x)$ ની નિશાની બદલાય છે,તેથી વિધેય એકવિધ નથી. એટલે કે,$f(x)$ એ $[0, 2]$ પર વધે છે,$[2, 3]$ પર ઘટે છે. તેથી,તે એક-એક નથી (અનેક-એક છે).
પગલું $2$: વ્યાપ્ત વિધેય માટે તપાસો.
$[0, 3]$ પર $f(x)$ નો વિસ્તાર મેળવો.
$f(0) = 2(0)^3 - 15(0)^2 + 36(0) + 1 = 1$.
$f(2) = 2(8) - 15(4) + 36(2) + 1 = 16 - 60 + 72 + 1 = 29$.
$f(3) = 2(27) - 15(9) + 36(3) + 1 = 54 - 135 + 108 + 1 = 28$.
વિધેય $[0, 3]$ પર સતત હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $[min(f(0), f(2), f(3)), max(f(0), f(2), f(3))] = [1, 29]$ છે.
અહીં વિસ્તાર $[1, 29]$ એ સહપ્રદેશ $[1, 29]$ જેટલો હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
નિષ્કર્ષ: વિધેય વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

(D) આપેલ છે કે $P = [a_{ij}]_{3 \times 3}$ અને $b_{ij} = 2^{i+j} a_{ij}$.
$Q = [b_{ij}]_{3 \times 3} = \begin{bmatrix} 2^{1+1}a_{11} & 2^{1+2}a_{12} & 2^{1+3}a_{13} \\ 2^{2+1}a_{21} & 2^{2+2}a_{22} & 2^{2+3}a_{23} \\ 2^{3+1}a_{31} & 2^{3+2}a_{32} & 2^{3+3}a_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4a_{11} & 8a_{12} & 16a_{13} \\ 8a_{21} & 16a_{22} & 32a_{23} \\ 16a_{31} & 32a_{32} & 64a_{33} \end{bmatrix}$.
દરેક હારમાંથી સામાન્ય અવયવ લેતા:
હાર $1$ માંથી $4 = 2^2$ સામાન્ય નીકળે છે.
હાર $2$ માંથી $8 = 2^3$ સામાન્ય નીકળે છે.
હાર $3$ માંથી $16 = 2^4$ સામાન્ય નીકળે છે.
$|Q| = (2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^4) \begin{vmatrix} a_{11} & 2a_{12} & 4a_{13} \\ a_{21} & 2a_{22} & 4a_{23} \\ a_{31} & 2a_{32} & 4a_{33} \end{vmatrix}$.
દરેક સ્તંભમાંથી સામાન્ય અવયવ લેતા:
સ્તંભ $2$ માંથી $2 = 2^1$ સામાન્ય નીકળે છે.
સ્તંભ $3$ માંથી $4 = 2^2$ સામાન્ય નીકળે છે.
$|Q| = (2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^4) \cdot (2^1 \cdot 2^2) \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$.
$|Q| = 2^{2+3+4+1+2} |P| = 2^{12} \cdot 2 = 2^{13}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - y \tan x = 2x \sec x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\tan x$ અને $Q = 2x \sec x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{-\int \tan x dx} = e^{-\ln(\sec x)} = \cos x$ છે.
બંને બાજુ $I$.$F$. વડે ગુણતા,આપણને $\frac{d}{dx}(y \cos x) = 2x \sec x \cdot \cos x = 2x$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$y \cos x = x^2 + C$ મળે છે.
આપેલ છે કે $y(0) = 0$,તેથી $0 = 0^2 + C$,એટલે કે $C = 0$.
આમ,$y = x^2 \sec x$ મળે છે.
વિકલ્પ $(A)$ માટે: $y(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4})^2 \sec(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{16} \cdot \sqrt{2} = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}}$. જે સાચું છે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: $y'(x) = 2x \sec x + x^2 \sec x \tan x$.
$y'(\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{\pi}{3}) \sec(\frac{\pi}{3}) + (\frac{\pi}{3})^2 \sec(\frac{\pi}{3}) \tan(\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{\pi}{3})(2) + \frac{\pi^2}{9}(2)(\sqrt{3}) = \frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi^2\sqrt{3}}{9}$. જે સાચું છે.
તેથી,વિકલ્પો $(A)$ અને $(D)$ સાચા છે.

(A) આપેલ સંભાવનાઓ: $P(X_1) = \frac{1}{2}, P(X_2) = \frac{1}{4}, P(X_3) = \frac{1}{4}$.
ધારો કે $X_1^c, X_2^c, X_3^c$ એ ઘટનાઓ છે કે એન્જિન કાર્યરત નથી,તેથી $P(X_1^c) = \frac{1}{2}, P(X_2^c) = \frac{3}{4}, P(X_3^c) = \frac{3}{4}$.
જહાજ કાર્યરત $(X)$ છે જો ઓછામાં ઓછા બે એન્જિન કાર્યરત હોય:
$P(X) = P(X_1 X_2 X_3^c) + P(X_1 X_2^c X_3) + P(X_1^c X_2 X_3) + P(X_1 X_2 X_3)$
$P(X) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) = \frac{3}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.
$(A) P(X_1^c \mid X) = \frac{P(X_1^c \cap X)}{P(X)} = \frac{P(X_1^c X_2 X_3)}{P(X)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{8} \neq \frac{3}{16}$. (ખોટું)
$(B) P(\text{બરાબર બે} \mid X) = \frac{P(X_1 X_2 X_3^c) + P(X_1 X_2^c X_3) + P(X_1^c X_2 X_3)}{P(X)} = \frac{\frac{3}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32}}{\frac{1}{4}} = \frac{7/32}{1/4} = \frac{7}{8}$. (સાચું)
$(C) P(X \mid X_2) = \frac{P(X \cap X_2)}{P(X_2)} = \frac{P(X_1 X_2 X_3^c) + P(X_1^c X_2 X_3) + P(X_1 X_2 X_3)}{P(X_2)} = \frac{\frac{3}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32}}{\frac{1}{4}} = \frac{5/32}{1/4} = \frac{5}{8} \neq \frac{5}{16}$. (ખોટું)
$(D) P(X \mid X_1) = \frac{P(X \cap X_1)}{P(X_1)} = \frac{P(X_1 X_2 X_3^c) + P(X_1 X_2^c X_3) + P(X_1 X_2 X_3)}{P(X_1)} = \frac{\frac{3}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} = \frac{7/32}{1/2} = \frac{7}{16}$. (સાચું)

(B) ક્ષેત્રફળ $S$ એ સંકલન $S = \int_0^1 e^{-x^2} dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. $x \in [0, 1]$ માટે,આપણી પાસે $0 \leq x^2 \leq x \leq 1$ છે. તેથી,$-x^2 \geq -x$,જે સૂચવે છે કે $e^{-x^2} \geq e^{-x}$.
બંને બાજુ $0$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા:
$S = \int_0^1 e^{-x^2} dx \geq \int_0^1 e^{-x} dx = [-e^{-x}]_0^1 = 1 - \frac{1}{e}$.
કારણ કે $1 - \frac{1}{e} \approx 0.633$ અને $\frac{1}{e} \approx 0.367$,તેથી $S \geq 1 - \frac{1}{e} > \frac{1}{e}$. આમ,$(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.
$2$. $\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $1-\frac{1}{\sqrt{2}}$ પહોળાઈના બે લંબચોરસ સાથે અપર રીમાન સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા:
વિધેય $f(x) = e^{-x^2}$ એ $[0, 1]$ પર ઘટતું વિધેય છે.
$S = \int_0^{1/\sqrt{2}} e^{-x^2} dx + \int_{1/\sqrt{2}}^1 e^{-x^2} dx$.
દરેક પેટા-અંતરાલ પર $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમતનો ઉપયોગ કરતા:
$S \leq \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) f(0) + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$S \leq \frac{1}{\sqrt{2}}(1) + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) e^{-(1/\sqrt{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \frac{1}{\sqrt{e}}$.
આમ,$(D)$ સાચું છે.

(D) કારણ કે $p(x)$ ને $x=1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ અને $x=3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે,તેથી $p^{\prime}(x)$ ના શૂન્યો $x=1$ અને $x=3$ હશે.
આમ,$p^{\prime}(x) = \lambda(x-1)(x-3) = \lambda(x^2-4x+3)$.
$p^{\prime}(x)$ નું સંકલન કરતા,$p(x) = \lambda(\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x) + \mu$ મળે.
આપેલ છે કે $p(1) = 6$,તેથી $6 = \lambda(\frac{1}{3} - 2 + 3) + \mu = \frac{4}{3}\lambda + \mu$,જેનો અર્થ છે કે $18 = 4\lambda + 3\mu \quad \dots (i)$.
આપેલ છે કે $p(3) = 2$,તેથી $2 = \lambda(\frac{27}{3} - 2(9) + 3(3)) + \mu = \lambda(9 - 18 + 9) + \mu = \mu$.
તેથી,$\mu = 2$.
સમીકરણ $(i)$ માં $\mu = 2$ મૂકતા,$18 = 4\lambda + 3(2) \implies 18 = 4\lambda + 6 \implies 4\lambda = 12 \implies \lambda = 3$.
આમ,$p^{\prime}(x) = 3(x-1)(x-3)$.
$x=0$ આગળ કિંમત શોધતા,$p^{\prime}(0) = 3(0-1)(0-3) = 3(-1)(-3) = 9$.

(C) વિધેય $f(x) = |x| + |x^2 - 1|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અમે વિવિધ અંતરાલોમાં વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $x < -1$ માટે: $f(x) = -x + x^2 - 1 = x^2 - x - 1$. શિરોબિંદુ $x = 1/2$ પર છે,જે આ અંતરાલમાં નથી. જેમ $x \to -1^-$,$f(x) \to 1$. અહીં કોઈ સ્થાનિક અંતિમબિંદુ નથી.
$2$. $-1 \leq x < 0$ માટે: $f(x) = -x - (x^2 - 1) = -x^2 - x + 1$. વિકલન $f'(x) = -2x - 1$ છે. $f'(x) = 0$ લેતા $x = -1/2$ મળે છે. $f''(-1/2) = -2 < 0$ હોવાથી,$x = -1/2$ પર સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય $f(-1/2) = 5/4$ મળે છે.
$3$. $x = -1$ પર: $f(-1) = 1$. ડાબી બાજુથી $f(x)$ ઘટીને $1$ થાય છે અને જમણી બાજુથી વધીને $5/4$ થાય છે,તેથી $x = -1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
$4$. $x = 0$ પર: $f(0) = 1$. ડાબી બાજુથી $f(x)$ ઘટીને $1$ થાય છે અને જમણી બાજુથી વધીને $1$ થાય છે,તેથી $x = 0$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
$5$. $0 < x < 1$ માટે: $f(x) = x - (x^2 - 1) = -x^2 + x + 1$. વિકલન $f'(x) = -2x + 1$ છે. $f'(x) = 0$ લેતા $x = 1/2$ મળે છે. $f''(1/2) = -2 < 0$ હોવાથી,$x = 1/2$ પર સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય $f(1/2) = 5/4$ મળે છે.
$6$. $x = 1$ પર: $f(1) = 1$. ડાબી બાજુથી $f(x)$ ઘટીને $1$ થાય છે અને જમણી બાજુથી વધીને $1$ થાય છે,તેથી $x = 1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
બિંદુઓનો સારાંશ:
- સ્થાનિક ન્યૂનતમ $x = -1, 0, 1$ પર ($3$ બિંદુઓ).
- સ્થાનિક મહત્તમ $x = -1/2, 1/2$ પર ($2$ બિંદુઓ).
કુલ બિંદુઓની સંખ્યા = $3 + 2 = 5$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
આપેલ સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2=9$.
આ $(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2\vec{b} \cdot \vec{c}) + (|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2-2\vec{c} \cdot \vec{a}) = 9$ બને છે.
કારણ કે $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = 1$,તેથી $6 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 9$.
આમ,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}$.
હવે,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 3 + 2(-\frac{3}{2}) = 0$ ધ્યાનમાં લો.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}$,તેથી $\vec{b}+\vec{c} = -\vec{a}$.
આપણે $|2 \vec{a}+5 \vec{b}+5 \vec{c}| = |2 \vec{a}+5(\vec{b}+\vec{c})| = |2 \vec{a}+5(-\vec{a})| = |-3 \vec{a}| = 3|\vec{a}| = 3(1) = 3$ શોધવાનું છે.

(A) સમતલો $x+2y+3z-2=0$ અને $x-y+z-3=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $(x+2y+3z-2) + \lambda(x-y+z-3) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $(1+\lambda)x + (2-\lambda)y + (3+\lambda)z - (2+3\lambda) = 0$ મળે છે.
આ સમતલનું બિંદુ $(3,1,-1)$ થી અંતર $\frac{|(1+\lambda)(3) + (2-\lambda)(1) + (3+\lambda)(-1) - (2+3\lambda)|}{\sqrt{(1+\lambda)^2 + (2-\lambda)^2 + (3+\lambda)^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
અંશનું સાદું રૂપ: $|3+3\lambda + 2-\lambda - 3-\lambda - 2-3\lambda| = |-2\lambda|$.
છેદનું સાદું રૂપ: $\sqrt{(1+2\lambda+\lambda^2) + (4-4\lambda+\lambda^2) + (9+6\lambda+\lambda^2)} = \sqrt{3\lambda^2+4\lambda+14}$.
તેથી,$\frac{|-2\lambda|}{\sqrt{3\lambda^2+4\lambda+14}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4\lambda^2}{3\lambda^2+4\lambda+14} = \frac{4}{3}$.
$3\lambda^2 = 3\lambda^2+4\lambda+14$,જેમાંથી $4\lambda = -14$,તેથી $\lambda = -\frac{7}{2}$.
$\lambda = -\frac{7}{2}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $(1-\frac{7}{2})x + (2+\frac{7}{2})y + (3-\frac{7}{2})z - (2-\frac{21}{2}) = 0$.
$-\frac{5}{2}x + \frac{11}{2}y - \frac{1}{2}z + \frac{17}{2} = 0$.
$-2$ વડે ગુણતા,$5x-11y+z-17=0$,અથવા $5x-11y+z=17$ મળે છે.

(A) ધારો કે $X$ એ $D_4$ દ્વારા દર્શાવેલ અંક છે. ચાર પાસાઓ માટે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^4 = 1296$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$D_4$ ના નિશ્ચિત મૂલ્ય માટે સંભાવના ધ્યાનમાં લો. $D_4$ દ્વારા દર્શાવેલ કોઈપણ ચોક્કસ અંક $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માટે,$k$ એ $D_1, D_2, D_3$ માંથી કોઈપણ પર ન દેખાય તેની સંભાવના $(\frac{5}{6})^3 = \frac{125}{216}$ છે.
તેથી,$k$ એ $D_1, D_2, D_3$ માંથી ઓછામાં ઓછા એક પર દેખાય તેની સંભાવના $1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216}$ છે.
આ સંભાવના $D_4$ દ્વારા દર્શાવેલ મૂલ્યથી સ્વતંત્ર હોવાથી,કુલ સંભાવના $\frac{91}{216}$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(x^2 + \ln \frac{\pi+x}{\pi-x}\right) \cos x \, dx$.
આપણે તેને બે સંકલનમાં વિભાજિત કરી શકીએ: $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} x^2 \cos x \, dx + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \ln \left(\frac{\pi+x}{\pi-x}\right) \cos x \, dx$.
ધારો કે $f(x) = \ln \left(\frac{\pi+x}{\pi-x}\right) \cos x$. અહીં $\ln \left(\frac{\pi+x}{\pi-x}\right)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે અને $\cos x$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર અયુગ્મ વિધેય થાય. આમ,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} f(x) \, dx = 0$.
હવે,$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} x^2 \cos x \, dx$. $x^2 \cos x$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$I = 2 \int_0^{\pi / 2} x^2 \cos x \, dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - \int 2x \sin x \, dx = x^2 \sin x - 2 \left( -x \cos x + \int \cos x \, dx \right) = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x$.
$0$ થી $\pi / 2$ સુધીની સીમાઓ મૂકતા: $2 \left[ (x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x) \right]_0^{\pi / 2} = 2 \left[ ((\pi/2)^2 \cdot 1 + 0 - 2(1)) - (0 + 0 - 0) \right] = 2 \left( \frac{\pi^2}{4} - 2 \right) = \frac{\pi^2}{2} - 4$.

(D) આપેલ સમીકરણ $P^{\top} = 2P + I$ છે.
બંને બાજુ પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,$(P^{\top})^{\top} = (2P + I)^{\top}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(P^{\top})^{\top} = P$,તેથી $P = 2P^{\top} + I$ થાય.
આ સમીકરણમાં $P^{\top} = 2P + I$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = 2(2P + I) + I$.
$P = 4P + 2I + I$.
$P = 4P + 3I$.
પદોને ગોઠવતા,$3P = -3I$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $P = -I$.
તેથી,કોઈપણ સ્તંભ શ્રેણિક $X \neq 0$ માટે,$PX = (-I)X = -X$ થાય.

(B) $1.$ આપેલ છે $f(x)=(1-x)^2 \sin^2 x+x^2$ અને $g(x)=\int_1^x \left(\frac{2(t-1)}{t+1}-\ln t\right) f(t) dt$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$g'(x) = \left(\frac{2(x-1)}{x+1}-\ln x\right) f(x)$.
ધારો કે $\phi(x) = \frac{2(x-1)}{x+1}-\ln x$. તો $\phi'(x) = \frac{2(x+1)-2(x-1)}{(x+1)^2} - \frac{1}{x} = \frac{4}{(x+1)^2} - \frac{1}{x} = \frac{-(x-1)^2}{x(x+1)^2}$.
કારણ કે $x > 1$ માટે $\phi'(x) \leq 0$,$\phi(x)$ ઘટતું વિધેય છે. $\phi(1) = 0$ હોવાથી,$x > 1$ માટે $\phi(x) < 0$. વળી $f(x) > 0$ હોવાથી $g'(x) < 0$,તેથી $g$ એ $(1, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે.
$2.$ $P$ માટે: $f(x)+2x = (1-x)^2 \sin^2 x + x^2 + 2x = 2(1+x^2) = 2+2x^2$.
$(1-x)^2 \sin^2 x = (x-1)^2 + 1$. $\sin^2 x \leq 1$ હોવાથી આ શક્ય નથી. તેથી $P$ ખોટું છે.
$Q$ માટે: $H(x) = 2f(x) + 1 - 2x(1+x)$ લો. $H(0) = 1$ અને $H(1) = -1$. વિધેય સતત હોવાથી,$H(x)=0$ થાય તેવો $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી $Q$ સાચું છે.

(B) આપેલ છે કે $P(X \mid Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)} = \frac{1}{2}$.
$P(X \cap Y) = \frac{1}{6}$ હોવાથી,$\frac{1/6}{P(Y)} = \frac{1}{2} \Rightarrow P(Y) = \frac{1}{3}$.
આપેલ છે કે $P(Y \mid X) = \frac{P(X \cap Y)}{P(X)} = \frac{1}{3}$.
$P(X \cap Y) = \frac{1}{6}$ હોવાથી,$\frac{1/6}{P(X)} = \frac{1}{3} \Rightarrow P(X) = \frac{1}{2}$.
હવે,$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3+2-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. આમ,$(A)$ સાચું છે.
સ્વતંત્રતા માટે ચકાસો: $P(X) \cdot P(Y) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
$P(X \cap Y) = \frac{1}{6} = P(X) \cdot P(Y)$ હોવાથી,$X$ અને $Y$ સ્વતંત્ર છે. આમ,$(B)$ સાચું છે.
$P(X^C \cap Y) = P(Y) - P(X \cap Y) = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$. આમ,$(D)$ ખોટું છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=\int_0^x e^{t^2}(t-2)(t-3) dt$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$f^{\prime}(x)=e^{x^2}(x-2)(x-3)$.
સ્થાનિક બિંદુઓ શોધવા માટે,$f^{\prime}(x)=0$ લેતા,આપણને $x=2$ અને $x=3$ મળે છે.
$f^{\prime}(x)$ ની નિશાની તપાસતા:
$x < 2$ માટે,$f^{\prime}(x) > 0$ (વધતું વિધેય).
$2 < x < 3$ માટે,$f^{\prime}(x) < 0$ (ઘટતું વિધેય).
$x > 3$ માટે,$f^{\prime}(x) > 0$ (વધતું વિધેય).
આમ,$f$ ને $x=2$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ અને $x=3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે. આ સાબિત કરે છે કે $(A), (B)$ અને $(D)$ સાચા છે.
હવે,$f^{\prime \prime}(x)$ શોધીએ:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx} [e^{x^2}(x^2-5x+6)] = e^{x^2}(2x)(x^2-5x+6) + e^{x^2}(2x-5) = e^{x^2}(2x^3-10x^2+14x-5)$.
ધારો કે $g(x) = 2x^3-10x^2+14x-5$. કારણ કે $g(0) = -5$ અને $g(1) = 1$,મધ્યવર્તી મૂલ્ય પ્રમેય મુજબ,એવું $c \in (0, 1)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $g(c) = 0$,એટલે કે $f^{\prime \prime}(c) = 0$. તેથી,$(C)$ પણ સાચું છે.
આમ,તમામ વિકલ્પો $(A), (B), (C), (D)$ સાચા છે.

(A) $f$ એ $x = 2n$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુની લક્ષ અને જમણી બાજુની લક્ષ $f(2n)$ ની બરાબર હોવી જોઈએ.
$f(2n) = a_n + \sin(2n\pi) = a_n$.
$f(2n^+) = a_n + \sin(2n\pi) = a_n$.
$f(2n^-) = b_n + \cos(2n\pi) = b_n + 1$.
$f(2n^+) = f(2n^-)$ ને સરખાવતા,આપણને $a_n = b_n + 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $a_n - b_n = 1$. આમ,$(B)$ સાચું છે.
$f$ એ $x = 2n+1$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુની લક્ષ અને જમણી બાજુની લક્ષ $f(2n+1)$ ની બરાબર હોવી જોઈએ.
$f(2n+1) = a_n + \sin((2n+1)\pi) = a_n$.
$f((2n+1)^-) = a_n + \sin((2n+1)\pi) = a_n$.
$f((2n+1)^+) = b_{n+1} + \cos((2n+1)\pi) = b_{n+1} - 1$.
$f((2n+1)^-) = f((2n+1)^+)$ ને સરખાવતા,આપણને $a_n = b_{n+1} - 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $a_n - b_{n+1} = -1$. $n$ ને $n-1$ સાથે બદલતા,આપણને $a_{n-1} - b_n = -1$ મળે છે. આમ,$(D)$ સાચું છે.

(B) બે રેખાઓ સમતલીય હોવા માટે,દરેક રેખા પરના બિંદુને જોડતા સદિશ અને રેખાઓના દિશા સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $[\vec{a}-\vec{c}, \vec{b}, \vec{d}] = 0$.
આપેલ બિંદુઓ $\vec{a} = (1, -1, 0)$ અને $\vec{c} = (-1, -1, 0)$ છે,તેથી સદિશ $\vec{a}-\vec{c} = (2, 0, 0)$.
દિશા સદિશો $\vec{b} = 2\hat{i} + k\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{d} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + k\hat{k}$ છે.
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$\left|\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 2 & k & 2 \\ 5 & 2 & k \end{array}\right| = 0 \Rightarrow 2(k^2 - 4) = 0 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k = \pm 2$.
કિસ્સો $1$: જો $k = 2$ હોય,તો દિશા સદિશો $\vec{b} = (2, 2, 2)$ અને $\vec{d} = (5, 2, 2)$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1 = \vec{b} \times \vec{d} = \left|\begin{array}{lll} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 2 \end{array}\right| = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n}_1 = 0 \Rightarrow 0(x-1) + 6(y+1) - 6(z-0) = 0 \Rightarrow y - z = -1$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $k = -2$ હોય,તો દિશા સદિશો $\vec{b} = (2, -2, 2)$ અને $\vec{d} = (5, 2, -2)$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2 = \vec{b} \times \vec{d} = \left|\begin{array}{lll} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 2 \\ 5 & 2 & -2 \end{array}\right| = 0\hat{i} + 14\hat{j} + 14\hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n}_2 = 0 \Rightarrow 0(x-1) + 14(y+1) + 14(z-0) = 0 \Rightarrow y + z = -1$ મળે છે.
આમ,સમતલો $y-z=-1$ અને $y+z=-1$ છે,જે વિકલ્પો $(C)$ અને $(B)$ ને અનુરૂપ છે.

(A, D) ધારો કે $P$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે. આપણને આપેલ છે કે $\operatorname{adj}(P) = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 2 & 1 & 7 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj}(P)| = |P|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|\operatorname{adj}(P)| = |P|^{3-1} = |P|^2$.
પ્રથમ,$\operatorname{adj}(P)$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|\operatorname{adj}(P)| = 1(1 \times 3 - 7 \times 1) - 4(2 \times 3 - 7 \times 1) + 4(2 \times 1 - 1 \times 1)$
$|\operatorname{adj}(P)| = 1(3 - 7) - 4(6 - 7) + 4(2 - 1)$
$|\operatorname{adj}(P)| = 1(-4) - 4(-1) + 4(1)$
$|\operatorname{adj}(P)| = -4 + 4 + 4 = 4$.
હવે,આને $|P|^2$ સાથે સરખાવો:
$|P|^2 = 4$
$|P| = \pm 2$.
આમ,$P$ ના નિશ્ચાયકના શક્ય મૂલ્યો $2$ અને $-2$ છે,જે વિકલ્પ $(A)$ અને $(D)$ ને અનુરૂપ છે.

(AB) આપેલ છે કે $f(\cos 4 \theta) = \frac{2}{2-\sec^2 \theta}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} = \frac{2}{1+\cos 2 \theta}$.
આ કિંમતને $f(\cos 4 \theta)$ ના પદમાં મૂકતા:
$f(\cos 4 \theta) = \frac{2}{2 - \frac{2}{1+\cos 2 \theta}} = \frac{2(1+\cos 2 \theta)}{2(1+\cos 2 \theta) - 2} = \frac{1+\cos 2 \theta}{\cos 2 \theta} = 1 + \frac{1}{\cos 2 \theta}$.
હવે,ધારો કે $\cos 4 \theta = \frac{1}{3}$.
નિત્યસમ $\cos 4 \theta = 2 \cos^2 2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $2 \cos^2 2 \theta - 1 = \frac{1}{3} \Rightarrow 2 \cos^2 2 \theta = \frac{4}{3} \Rightarrow \cos^2 2 \theta = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\cos 2 \theta = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$.
આ કિંમતને $f(\cos 4 \theta)$ ના પદમાં મૂકતા:
$f\left(\frac{1}{3}\right) = 1 + \frac{1}{\pm \sqrt{2/3}} = 1 \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$.
તેથી,શક્ય કિંમતો $1+\sqrt{\frac{3}{2}}$ અને $1-\sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})=(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \times \vec{b}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$,તેથી $(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \times \vec{b} = -\vec{b} \times (2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે $\vec{a} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) + \vec{b} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\vec{a}+\vec{b}) \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $(\vec{a}+\vec{b})$ એ $(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $\vec{a}+\vec{b} = \lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
બંને બાજુ માન લેતા,$|\vec{a}+\vec{b}| = |\lambda| \sqrt{2^2+3^2+4^2} = |\lambda| \sqrt{4+9+16} = |\lambda| \sqrt{29}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{29}$,તેથી $|\lambda| \sqrt{29} = \sqrt{29}$,જે આપે છે $\lambda = \pm 1$.
આમ,$\vec{a}+\vec{b} = \pm(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$.
હવે,અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(-7 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) = \pm(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \cdot(-7 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$.
$= \pm((2)(-7) + (3)(2) + (4)(3)) = \pm(-14 + 6 + 12) = \pm 4$.
તેથી,એક શક્ય કિંમત $4$ છે.