बिंदु P,बिंदुओं Q(2, 3, 5) और R(1, -1, 4) को | vedclass

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Question

(A) बिंदुओं $Q(2, 3, 5)$ और $R(1, -1, 4)$ से गुजरने वाली रेखा $QR$ का समीकरण $\frac{x-2}{1-2} = \frac{y-3}{-1-3} = \frac{z-5}{4-5}$ है,जिसे $\frac{x-2

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$\frac{1}{\sqrt{2}}$

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(A) बिंदुओं $Q(2, 3, 5)$ और $R(1, -1, 4)$ से गुजरने वाली रेखा $QR$ का समीकरण $\frac{x-2}{1-2} = \frac{y-3}{-1-3} = \frac{z-5}{4-5}$ है,जिसे $\frac{x-2}{-1} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z-5}{-1} = \lambda$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,रेखा पर कोई भी बिंदु $P(2-\lambda, 3-4\lambda, 5-\lambda)$ है। चूंकि $P$ समतल $5x - 4y - z = 1$ पर स्थित है,इसलिए $5(2-\lambda) - 4(3-4\lambda) - (5-\lambda) = 1$. $10 - 5\lambda - 12 + 16\lambda - 5 + \lambda = 1 \Rightarrow 12\lambda - 7 = 1 \Rightarrow 12\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$. $\lambda = \frac{2}{3}$ रखने पर,$P = (2-\frac{2}{3}, 3-\frac{8}{3}, 5-\frac{2}{3}) = (\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, \frac{13}{3})$ प्राप्त होता है। अब,$T(2, 1, 4)$ से $QR$ पर लंब के पाद $S$ के लिए,मान लीजिए $S = (2-\mu, 3-4\mu, 5-\mu)$. सदिश $\vec{TS} = (2-\mu-2, 3-4\mu-1, 5-\mu-4) = (-\mu, 2-4\mu, 1-\mu)$. चूंकि $\vec{TS}$ रेखा की दिशा के सदिश $\vec{v} = (-1, -4, -1)$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा: $(-\mu)(-1) + (2-4\mu)(-4) + (1-\mu)(-1) = 0$. $\mu - 8 + 16\mu - 1 + \mu = 0 \Rightarrow 18\mu = 9 \Rightarrow \mu = \frac{1}{2}$. अतः,$S = (2-\frac{1}{2}, 3-2, 5-\frac{1}{2}) = (\frac{3}{2}, 1, \frac{9}{2})$. दूरी $PS = \sqrt{(\frac{4}{3}-\frac{3}{2})^2 + (\frac{1}{3}-1)^2 + (\frac{13}{3}-\frac{9}{2})^2} = \sqrt{(-\frac{1}{6})^2 + (-\frac{2}{3})^2 + (-\frac{1}{6})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{4}{9} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{2}{36} + \frac{16}{36}} = \sqrt{\frac{18}{36}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

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