यदि S, y=e^{-x^2}, y=0, x=0 और x=1 द्वारा घिर | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) क्षेत्रफल $S$ को समाकलन $S = \int_0^1 e^{-x^2} dx$ द्वारा दिया जाता है।$1$. $x \in [0, 1]$ के लिए,हमारे पास $0 \leq x^2 \leq x \leq 1$ है। अतः,$-x

Vedclass · Accepted Answer

$(A, B, D)$

Vedclass · Answer

(B) क्षेत्रफल $S$ को समाकलन $S = \int_0^1 e^{-x^2} dx$ द्वारा दिया जाता है।$1$. $x \in [0, 1]$ के लिए,हमारे पास $0 \leq x^2 \leq x \leq 1$ है। अतः,$-x^2 \geq -x$,जिसका अर्थ है $e^{-x^2} \geq e^{-x}$।दोनों पक्षों का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर:$S = \int_0^1 e^{-x^2} dx \geq \int_0^1 e^{-x} dx = [-e^{-x}]_0^1 = 1 - \frac{1}{e}$.चूंकि $1 - \frac{1}{e} \approx 0.633$ और $\frac{1}{e} \approx 0.367$,इसलिए $S \geq 1 - \frac{1}{e} > \frac{1}{e}$। अतः,$(A)$ और $(B)$ सही हैं।$2$. $\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $1-\frac{1}{\sqrt{2}}$ चौड़ाई वाले दो आयतों के साथ ऊपरी रीमान योग का उपयोग करने पर:फलन $f(x) = e^{-x^2}$ अंतराल $[0, 1]$ पर ह्रासमान है।$S = \int_0^{1/\sqrt{2}} e^{-x^2} dx + \int_{1/\sqrt{2}}^1 e^{-x^2} dx$.प्रत्येक उप-अंतराल पर $f(x)$ के अधिकतम मान का उपयोग करने पर:$S \leq \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) f(0) + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$S \leq \frac{1}{\sqrt{2}}(1) + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) e^{-(1/\sqrt{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \frac{1}{\sqrt{e}}$.अतः,$(D)$ सही है।

Similar Questions

वृत्त $x^2 + y^2 = 4$,रेखा $x = \sqrt{3}y$ और प्रथम चतुर्थांश में स्थित $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल है:

वक्र $|y| + \frac{1}{2} = e^{-|x|}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल है

अंतराल $[0, 2\pi]$ में वक्र $y = |\sin 2x|$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

वक्रों $y=x|x|$,$x=-1$ और $x=1$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल .......... वर्ग इकाई है।

$x$-अक्ष और वक्र $y = \sin x$ द्वारा $x = 0$ और $x = \pi$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल क्या है?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module