PhysicsQ1–37 of 37 questions
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
$2$ मोल हीलियम गैस (परमाणु द्रव्यमान $= 4 \ amu$) और $1$ मोल आर्गन गैस (परमाणु द्रव्यमान $= 40 \ amu$) के मिश्रण को एक पात्र में $300 \ K$ पर रखा गया है। उनकी rms चालों का अनुपात $\left(\frac{v_{\text{rms}} \text{ (हीलियम)}}{v_{\text{rms}} \text{ (आर्गन)}}\right)$ क्या होगा?
A
$0.32$
B
$0.45$
C
$2.24$
D
$3.16$
Solution
(D) गैस की rms चाल का सूत्र $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि दोनों गैसें एक ही पात्र में समान तापमान $T = 300 \ K$ पर हैं,इसलिए उनकी rms चालों का अनुपात होगा:
$\frac{v_{\text{rms}} \text{ (हीलियम)}}{v_{\text{rms}} \text{ (आर्गन)}} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M_{\text{He}}}}}{\sqrt{\frac{3RT}{M_{\text{Ar}}}}} = \sqrt{\frac{M_{\text{Ar}}}{M_{\text{He}}}}$
यहाँ $M_{\text{He}} = 4 \ amu$ और $M_{\text{Ar}} = 40 \ amu$ दिया गया है,अतः:
$\frac{v_{\text{rms}} \text{ (हीलियम)}}{v_{\text{rms}} \text{ (आर्गन)}} = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.16$.
चूंकि दोनों गैसें एक ही पात्र में समान तापमान $T = 300 \ K$ पर हैं,इसलिए उनकी rms चालों का अनुपात होगा:
$\frac{v_{\text{rms}} \text{ (हीलियम)}}{v_{\text{rms}} \text{ (आर्गन)}} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M_{\text{He}}}}}{\sqrt{\frac{3RT}{M_{\text{Ar}}}}} = \sqrt{\frac{M_{\text{Ar}}}{M_{\text{He}}}}$
यहाँ $M_{\text{He}} = 4 \ amu$ और $M_{\text{Ar}} = 40 \ amu$ दिया गया है,अतः:
$\frac{v_{\text{rms}} \text{ (हीलियम)}}{v_{\text{rms}} \text{ (आर्गन)}} = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.16$.
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एक छोटा ब्लॉक $4.9 \ m$ की बिना खिंची लंबाई वाली द्रव्यमान रहित स्प्रिंग के एक सिरे से जुड़ा है। स्प्रिंग का दूसरा सिरा $O$ पर स्थिर है। यह निकाय एक क्षैतिज घर्षण रहित सतह पर स्थित है। ब्लॉक को $0.2 \ m$ खींचा जाता है और $t = 0$ पर विरामावस्था से छोड़ा जाता है। यह $\omega = \frac{\pi}{3} \ rad/s$ की कोणीय आवृत्ति के साथ सरल आवर्त गति करता है। उसी समय $t = 0$ पर,एक छोटा पत्थर चित्र में दिखाए अनुसार बिंदु $P$ से $45^{\circ}$ के कोण पर $v$ चाल से प्रक्षेपित किया जाता है। बिंदु $P$,$O$ से $10 \ m$ की क्षैतिज दूरी पर है। यदि पत्थर $t = 1 \ s$ पर ब्लॉक से टकराता है,तो $v$ का मान ज्ञात कीजिए ($g = 10 \ m/s^2$ लें):
A
$\sqrt{50} \ m/s$
B
$\sqrt{51} \ m/s$
C
$\sqrt{52} \ m/s$
D
$\sqrt{53} \ m/s$
Solution
(A) $1$. सबसे पहले,$t = 1 \ s$ पर ब्लॉक की स्थिति निर्धारित करें। ब्लॉक $t = 0$ पर चरम स्थिति $x = A = 0.2 \ m$ से शुरू होता है। गति का समीकरण $x(t) = A \cos(\omega t)$ है।
$2$. $t = 1 \ s$ पर,$x(1) = 0.2 \cos(\frac{\pi}{3} \times 1) = 0.2 \cos(60^{\circ}) = 0.2 \times 0.5 = 0.1 \ m$। अतः,ब्लॉक $O$ से $0.1 \ m$ की दूरी पर है।
$3$. पत्थर को $P$ बिंदु से $x = 10 \ m$ पर प्रक्षेपित किया जाता है। यह $x = 0.1 \ m$ पर ब्लॉक से टकराता है। पत्थर द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $d = 10 - 0.1 = 9.9 \ m$ है।
$4$. वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos(45^{\circ}) = \frac{v}{\sqrt{2}}$ है।
$5$. क्षैतिज दूरी तय करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_x} \implies 1 = \frac{9.9}{v/\sqrt{2}} \implies v = 9.9 \sqrt{2} \approx 14 \ m/s$ है।
$6$. हालाँकि,$t = 1 \ s$ पर पत्थर को जमीन के स्तर पर भी होना चाहिए। ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y(t) = (v \sin 45^{\circ})t - \frac{1}{2}gt^2$ है। $y(1) = 0$ रखने पर,हमें $v \sin 45^{\circ} = \frac{1}{2}g(1) = 5 \implies v = 5\sqrt{2} = \sqrt{50} \ m/s$ प्राप्त होता है।
$2$. $t = 1 \ s$ पर,$x(1) = 0.2 \cos(\frac{\pi}{3} \times 1) = 0.2 \cos(60^{\circ}) = 0.2 \times 0.5 = 0.1 \ m$। अतः,ब्लॉक $O$ से $0.1 \ m$ की दूरी पर है।
$3$. पत्थर को $P$ बिंदु से $x = 10 \ m$ पर प्रक्षेपित किया जाता है। यह $x = 0.1 \ m$ पर ब्लॉक से टकराता है। पत्थर द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $d = 10 - 0.1 = 9.9 \ m$ है।
$4$. वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos(45^{\circ}) = \frac{v}{\sqrt{2}}$ है।
$5$. क्षैतिज दूरी तय करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_x} \implies 1 = \frac{9.9}{v/\sqrt{2}} \implies v = 9.9 \sqrt{2} \approx 14 \ m/s$ है।
$6$. हालाँकि,$t = 1 \ s$ पर पत्थर को जमीन के स्तर पर भी होना चाहिए। ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y(t) = (v \sin 45^{\circ})t - \frac{1}{2}gt^2$ है। $y(1) = 0$ रखने पर,हमें $v \sin 45^{\circ} = \frac{1}{2}g(1) = 5 \implies v = 5\sqrt{2} = \sqrt{50} \ m/s$ प्राप्त होता है।
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समान क्षेत्रफल वाली तीन बहुत बड़ी प्लेटें एक-दूसरे के समानांतर और करीब रखी गई हैं। उन्हें आदर्श कृष्णिका (ideal black surfaces) माना जाता है और उनकी ऊष्मीय चालकता बहुत अधिक है। पहली और तीसरी प्लेट का तापमान क्रमशः $2\ T$ और $3\ T$ बनाए रखा जाता है। स्थिर अवस्था में बीच वाली (अर्थात दूसरी) प्लेट का तापमान क्या होगा?
A
$\left(\frac{65}{2}\right)^{\frac{1}{4}} \ T$
B
$\left(\frac{97}{4}\right)^{\frac{1}{4}} \ T$
C
$\left(\frac{97}{2}\right)^{\frac{1}{4}} \ T$
D
$\left(97\right)^{\frac{1}{4}} \ T$
Solution
(C) स्थिर अवस्था में,बीच वाली प्लेट द्वारा अवशोषित ऊर्जा,बीच वाली प्लेट द्वारा उत्सर्जित ऊर्जा के बराबर होती है।
मान लीजिए कि बीच वाली प्लेट का तापमान $T'$ है।
पहली प्लेट ($3T$ पर) से बीच वाली प्लेट पर आपतित विकिरण ऊर्जा $\sigma A (3T)^4$ है।
बीच वाली प्लेट द्वारा पहली प्लेट की ओर उत्सर्जित विकिरण ऊर्जा $\sigma A (T')^4$ है।
पहली प्लेट से अवशोषित शुद्ध ऊर्जा $\sigma A (3T)^4 - \sigma A (T')^4$ है।
तीसरी प्लेट ($2T$ पर) से बीच वाली प्लेट पर आपतित विकिरण ऊर्जा $\sigma A (2T)^4$ है।
बीच वाली प्लेट द्वारा तीसरी प्लेट की ओर उत्सर्जित विकिरण ऊर्जा $\sigma A (T')^4$ है।
तीसरी प्लेट को मुक्त की गई शुद्ध ऊर्जा $\sigma A (T')^4 - \sigma A (2T)^4$ है।
अवशोषित और मुक्त की गई शुद्ध ऊर्जा को बराबर करने पर:
$\sigma A (3T)^4 - \sigma A (T')^4 = \sigma A (T')^4 - \sigma A (2T)^4$
$(3T)^4 - (T')^4 = (T')^4 - (2T)^4$
$81T^4 + 16T^4 = 2(T')^4$
$97T^4 = 2(T')^4$
$(T')^4 = \frac{97}{2} T^4$
$T' = \left(\frac{97}{2}\right)^{\frac{1}{4}} T$
मान लीजिए कि बीच वाली प्लेट का तापमान $T'$ है।
पहली प्लेट ($3T$ पर) से बीच वाली प्लेट पर आपतित विकिरण ऊर्जा $\sigma A (3T)^4$ है।
बीच वाली प्लेट द्वारा पहली प्लेट की ओर उत्सर्जित विकिरण ऊर्जा $\sigma A (T')^4$ है।
पहली प्लेट से अवशोषित शुद्ध ऊर्जा $\sigma A (3T)^4 - \sigma A (T')^4$ है।
तीसरी प्लेट ($2T$ पर) से बीच वाली प्लेट पर आपतित विकिरण ऊर्जा $\sigma A (2T)^4$ है।
बीच वाली प्लेट द्वारा तीसरी प्लेट की ओर उत्सर्जित विकिरण ऊर्जा $\sigma A (T')^4$ है।
तीसरी प्लेट को मुक्त की गई शुद्ध ऊर्जा $\sigma A (T')^4 - \sigma A (2T)^4$ है।
अवशोषित और मुक्त की गई शुद्ध ऊर्जा को बराबर करने पर:
$\sigma A (3T)^4 - \sigma A (T')^4 = \sigma A (T')^4 - \sigma A (2T)^4$
$(3T)^4 - (T')^4 = (T')^4 - (2T)^4$
$81T^4 + 16T^4 = 2(T')^4$
$97T^4 = 2(T')^4$
$(T')^4 = \frac{97}{2} T^4$
$T' = \left(\frac{97}{2}\right)^{\frac{1}{4}} T$
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$O$ पर धुरी वाला एक पतला समान छड़,क्षैतिज तल में स्थिर कोणीय गति $\omega$ के साथ घूम रहा है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। समय $t = 0$ पर,$m$ द्रव्यमान का एक छोटा कीड़ा $O$ से शुरू होता है और छड़ के सापेक्ष स्थिर गति $v$ के साथ दूसरे छोर की ओर बढ़ता है। यह $t = T$ समय पर छड़ के अंत तक पहुँचता है और रुक जाता है। पूरी प्रक्रिया के दौरान सिस्टम की कोणीय गति $\omega$ बनी रहती है। $O$ के परितः सिस्टम पर लगने वाले टॉर्क $(|\vec{\tau}|)$ के परिमाण को समय के फलन के रूप में कौन सा प्लॉट सबसे अच्छी तरह दर्शाता है?
A
एक प्लॉट जो $t < T$ के लिए समय के साथ टॉर्क में रैखिक वृद्धि और $t > T$ के लिए शून्य दर्शाता है।
B
एक प्लॉट जो $t < T$ के लिए स्थिर टॉर्क और $t > T$ के लिए शून्य दर्शाता है।
C
एक प्लॉट जो $t < T$ के लिए समय के साथ टॉर्क में परवलयिक वृद्धि और $t > T$ के लिए शून्य दर्शाता है।
D
एक प्लॉट जो $t < T$ के लिए समय के साथ टॉर्क में रैखिक कमी और $t > T$ के लिए शून्य दर्शाता है।
Solution
(A) धुरी $O$ के परितः कीड़े का कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ कीड़े का जड़त्व आघूर्ण है। चूंकि कीड़ा $O$ से $r = vt$ दूरी पर है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण $I = m(vt)^2 = mv^2t^2$ है।
अतः,$L = (mv^2t^2)\omega = mv^2\omega t^2$.
स्थिर कोणीय गति बनाए रखने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau$ कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर है:
$\tau = \frac{dL}{dt} = \frac{d}{dt}(mv^2\omega t^2) = 2mv^2\omega t$.
चूंकि $\tau = 2mv^2\omega t$,इसलिए टॉर्क $0 \le t \le T$ के लिए समय $t$ के सीधे आनुपातिक है। यह मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$t > T$ के लिए,कीड़ा चलना बंद कर देता है,इसलिए इसका कोणीय संवेग स्थिर हो जाता है और टॉर्क शून्य हो जाता है।
इसलिए,प्लॉट को $t=0$ से $t=T$ तक रैखिक वृद्धि और उसके बाद शून्य दिखाना चाहिए।
अतः,$L = (mv^2t^2)\omega = mv^2\omega t^2$.
स्थिर कोणीय गति बनाए रखने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau$ कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर है:
$\tau = \frac{dL}{dt} = \frac{d}{dt}(mv^2\omega t^2) = 2mv^2\omega t$.
चूंकि $\tau = 2mv^2\omega t$,इसलिए टॉर्क $0 \le t \le T$ के लिए समय $t$ के सीधे आनुपातिक है। यह मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$t > T$ के लिए,कीड़ा चलना बंद कर देता है,इसलिए इसका कोणीय संवेग स्थिर हो जाता है और टॉर्क शून्य हो जाता है।
इसलिए,प्लॉट को $t=0$ से $t=T$ तक रैखिक वृद्धि और उसके बाद शून्य दिखाना चाहिए।
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सीर्ल की विधि का उपयोग करके यंग मापांक $\left(Y=\frac{4 MLg}{\pi \ell d^2}\right)$ के निर्धारण में,$L=2 \ m$ लंबाई और $d=0.5 \ mm$ व्यास वाले तार का उपयोग किया जाता है। $M=2.5 \ kg$ के भार के लिए,तार की लंबाई में $\ell=0.25 \ mm$ का विस्तार देखा जाता है। राशियाँ $d$ और $\ell$ को क्रमशः स्क्रू गेज और माइक्रोमीटर का उपयोग करके मापा जाता है। उनका पिच $0.5 \ mm$ है। उनके वृत्ताकार पैमाने पर विभाजनों की संख्या $100$ है। $Y$ मापन की अधिकतम संभावित त्रुटि में योगदान:
A
$d$ और $\ell$ के मापन में त्रुटियों के कारण समान है।
B
$d$ के मापन में त्रुटि के कारण $\ell$ के मापन में त्रुटि से दोगुना है।
C
$\ell$ के मापन में त्रुटि के कारण $d$ के मापन में त्रुटि से दोगुना है।
D
$d$ के मापन में त्रुटि के कारण $\ell$ के मापन में त्रुटि से चार गुना है।
Solution
(A) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{4 MLg}{\pi \ell d^2}$ है।
$Y$ में अधिकतम सापेक्ष त्रुटि $\left(\frac{\Delta Y}{Y}\right)_{\max} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta d}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों उपकरणों का अल्पतमांक (Least Count) $\text{LC} = \frac{\text{pitch}}{\text{divisions}} = \frac{0.5 \ mm}{100} = 0.005 \ mm$ है। अतः,$\Delta d = \Delta \ell = 0.005 \ mm$ है।
$\ell$ के कारण सापेक्ष त्रुटि का योगदान $\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{0.005 \ mm}{0.25 \ mm} = 0.02$ है।
$d$ के कारण सापेक्ष त्रुटि का योगदान $2 \frac{\Delta d}{d} = 2 \times \frac{0.005 \ mm}{0.5 \ mm} = 2 \times 0.01 = 0.02$ है।
चूंकि दोनों योगदान $0.02$ के बराबर हैं,इसलिए $d$ और $\ell$ के मापन में त्रुटियाँ $Y$ की अधिकतम संभावित त्रुटि में समान योगदान देती हैं।
$Y$ में अधिकतम सापेक्ष त्रुटि $\left(\frac{\Delta Y}{Y}\right)_{\max} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta d}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों उपकरणों का अल्पतमांक (Least Count) $\text{LC} = \frac{\text{pitch}}{\text{divisions}} = \frac{0.5 \ mm}{100} = 0.005 \ mm$ है। अतः,$\Delta d = \Delta \ell = 0.005 \ mm$ है।
$\ell$ के कारण सापेक्ष त्रुटि का योगदान $\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{0.005 \ mm}{0.25 \ mm} = 0.02$ है।
$d$ के कारण सापेक्ष त्रुटि का योगदान $2 \frac{\Delta d}{d} = 2 \times \frac{0.005 \ mm}{0.5 \ mm} = 2 \times 0.01 = 0.02$ है।
चूंकि दोनों योगदान $0.02$ के बराबर हैं,इसलिए $d$ और $\ell$ के मापन में त्रुटियाँ $Y$ की अधिकतम संभावित त्रुटि में समान योगदान देती हैं।
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एक छोटा द्रव्यमान $m$ एक द्रव्यमानहीन डोरी से जुड़ा है जिसका दूसरा सिरा चित्र में दिखाए अनुसार $P$ पर स्थिर है। द्रव्यमान $O$ केंद्र वाले $x-y$ तल में स्थिर कोणीय गति $\omega$ के साथ वृत्तीय गति कर रहा है। यदि निकाय का कोणीय संवेग,$O$ और $P$ के सापेक्ष क्रमशः $\vec{L}_O$ और $\vec{L}_P$ द्वारा दर्शाया गया है,तो
A
$\vec{L}_O$ और $\vec{L}_P$ समय के साथ नहीं बदलते हैं।
B
$\vec{L}_O$ समय के साथ बदलता है जबकि $\vec{L}_P$ स्थिर रहता है।
C
$\vec{L}_O$ स्थिर रहता है जबकि $\vec{L}_P$ समय के साथ बदलता है।
D
$\vec{L}_O$ और $\vec{L}_P$ दोनों समय के साथ बदलते हैं।
Solution
(C) किसी बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $O$ (वृत्त का केंद्र) के लिए,स्थिति सदिश $\vec{r}$,$x-y$ तल में है और वेग $\vec{v}$,वृत्त के स्पर्शरेखीय है। कोणीय संवेग $\vec{L}_O = \vec{r} \times m\vec{v}$,$z$-अक्ष की दिशा में (गति के तल के लंबवत) होता है। चूंकि गति और त्रिज्या स्थिर हैं,इसलिए $\vec{L}_O$ का परिमाण और दिशा स्थिर रहते हैं।
बिंदु $P$ ($z$-अक्ष पर एक बिंदु) के लिए,$P$ से द्रव्यमान $m$ तक का स्थिति सदिश $\vec{r}'$ अपनी दिशा बदलता है जैसे-जैसे द्रव्यमान एक वृत्त में घूमता है। परिणामस्वरूप,सदिश गुणनफल $\vec{L}_P = \vec{r}' \times m\vec{v}$ की दिशा लगातार बदलती रहती है,भले ही इसका परिमाण स्थिर रहे। इसलिए,$\vec{L}_P$ समय के साथ बदलता है।
अतः,$\vec{L}_O$ स्थिर रहता है जबकि $\vec{L}_P$ समय के साथ बदलता है।
बिंदु $O$ (वृत्त का केंद्र) के लिए,स्थिति सदिश $\vec{r}$,$x-y$ तल में है और वेग $\vec{v}$,वृत्त के स्पर्शरेखीय है। कोणीय संवेग $\vec{L}_O = \vec{r} \times m\vec{v}$,$z$-अक्ष की दिशा में (गति के तल के लंबवत) होता है। चूंकि गति और त्रिज्या स्थिर हैं,इसलिए $\vec{L}_O$ का परिमाण और दिशा स्थिर रहते हैं।
बिंदु $P$ ($z$-अक्ष पर एक बिंदु) के लिए,$P$ से द्रव्यमान $m$ तक का स्थिति सदिश $\vec{r}'$ अपनी दिशा बदलता है जैसे-जैसे द्रव्यमान एक वृत्त में घूमता है। परिणामस्वरूप,सदिश गुणनफल $\vec{L}_P = \vec{r}' \times m\vec{v}$ की दिशा लगातार बदलती रहती है,भले ही इसका परिमाण स्थिर रहे। इसलिए,$\vec{L}_P$ समय के साथ बदलता है।
अतः,$\vec{L}_O$ स्थिर रहता है जबकि $\vec{L}_P$ समय के साथ बदलता है।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
एक व्यक्ति एक लंबी पाइप के खुले सिरे में फूँक मारता है। परिणामस्वरूप,हवा का एक उच्च-दबाव पल्स पाइप में नीचे की ओर यात्रा करता है। जब यह पल्स पाइप के दूसरे सिरे पर पहुँचता है:
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, D)$
D
$(C, D)$
Solution
(A) जब एक उच्च-दबाव पल्स (संपीड़न) एक खुले सिरे पर पहुँचता है,तो यह निम्न-दबाव पल्स (विरलन) के रूप में परावर्तित होता है क्योंकि खुले सिरे पर दबाव स्थिर (वायुमंडलीय दबाव) रहना चाहिए। इस प्रकार,एक निम्न-दबाव पल्स वापस यात्रा करता है।
जब एक उच्च-दबाव पल्स (संपीड़न) एक बंद सिरे पर पहुँचता है,तो यह उच्च-दबाव पल्स (संपीड़न) के रूप में परावर्तित होता है क्योंकि हवा के कण सीमा के पार नहीं जा सकते,जिससे दबाव बढ़ जाता है। इस प्रकार,एक उच्च-दबाव पल्स वापस यात्रा करता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर:
$(B)$ यदि दूसरा सिरा खुला है तो निम्न-दबाव पल्स पाइप में ऊपर की ओर यात्रा करना शुरू करता है (सही)।
$(D)$ यदि दूसरा सिरा बंद है तो उच्च-दबाव पल्स पाइप में ऊपर की ओर यात्रा करना शुरू करता है (सही)।
इसलिए,सही संयोजन $(B, D)$ है।
जब एक उच्च-दबाव पल्स (संपीड़न) एक बंद सिरे पर पहुँचता है,तो यह उच्च-दबाव पल्स (संपीड़न) के रूप में परावर्तित होता है क्योंकि हवा के कण सीमा के पार नहीं जा सकते,जिससे दबाव बढ़ जाता है। इस प्रकार,एक उच्च-दबाव पल्स वापस यात्रा करता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर:
$(B)$ यदि दूसरा सिरा खुला है तो निम्न-दबाव पल्स पाइप में ऊपर की ओर यात्रा करना शुरू करता है (सही)।
$(D)$ यदि दूसरा सिरा बंद है तो उच्च-दबाव पल्स पाइप में ऊपर की ओर यात्रा करना शुरू करता है (सही)।
इसलिए,सही संयोजन $(B, D)$ है।
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PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2012
$0.1 \ kg$ द्रव्यमान का एक छोटा ब्लॉक एक स्थिर नत समतल $PQ$ पर रखा है,जो क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाता है। चित्र में दिखाए अनुसार ब्लॉक के द्रव्यमान केंद्र पर $1 \ N$ का एक क्षैतिज बल कार्य करता है। ब्लॉक स्थिर रहता है यदि ($g = 10 \ m/s^2$ लें):
A
$(B, C)$
B
$(A, C)$
C
$(A, D)$
D
$(C, D)$
Solution
(B) नत समतल के अनुदिश ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ है जो $P$ की ओर नीचे की दिशा में कार्य करता है और क्षैतिज बल का घटक $F \cos \theta$ है जो $Q$ की ओर ऊपर की दिशा में कार्य करता है। यहाँ,$m = 0.1 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,और $F = 1 \ N$ है।
अतः,$mg \sin \theta = 0.1 \times 10 \times \sin \theta = 1 \sin \theta$ और $F \cos \theta = 1 \times \cos \theta = \cos \theta$ है।
ढलान पर कुल बल $F_{net} = mg \sin \theta - F \cos \theta = \sin \theta - \cos \theta$ है।
यदि $\sin \theta = \cos \theta$ है,तो $\theta = 45^{\circ}$ होगा,कुल बल शून्य होगा,और ब्लॉक बिना घर्षण $(f = 0)$ के स्थिर रहेगा।
यदि $\sin \theta > \cos \theta$ (अर्थात $\theta > 45^{\circ}$) है,तो ब्लॉक $P$ की ओर नीचे फिसलने की प्रवृत्ति रखता है,इसलिए इसे स्थिर रखने के लिए घर्षण बल $f$ को $Q$ की ओर कार्य करना चाहिए।
यदि $\sin \theta < \cos \theta$ (अर्थात $\theta < 45^{\circ}$) है,तो ब्लॉक $Q$ की ओर ऊपर फिसलने की प्रवृत्ति रखता है,इसलिए इसे स्थिर रखने के लिए घर्षण बल $f$ को $P$ की ओर कार्य करना चाहिए।
इस प्रकार,ब्लॉक $\theta = 45^{\circ}$ (बिना घर्षण),$\theta > 45^{\circ}$ ($Q$ की ओर घर्षण),या $\theta < 45^{\circ}$ ($P$ की ओर घर्षण) होने पर स्थिर रहता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही संयोजन $(A)$ और $(C)$ हैं।
अतः,$mg \sin \theta = 0.1 \times 10 \times \sin \theta = 1 \sin \theta$ और $F \cos \theta = 1 \times \cos \theta = \cos \theta$ है।
ढलान पर कुल बल $F_{net} = mg \sin \theta - F \cos \theta = \sin \theta - \cos \theta$ है।
यदि $\sin \theta = \cos \theta$ है,तो $\theta = 45^{\circ}$ होगा,कुल बल शून्य होगा,और ब्लॉक बिना घर्षण $(f = 0)$ के स्थिर रहेगा।
यदि $\sin \theta > \cos \theta$ (अर्थात $\theta > 45^{\circ}$) है,तो ब्लॉक $P$ की ओर नीचे फिसलने की प्रवृत्ति रखता है,इसलिए इसे स्थिर रखने के लिए घर्षण बल $f$ को $Q$ की ओर कार्य करना चाहिए।
यदि $\sin \theta < \cos \theta$ (अर्थात $\theta < 45^{\circ}$) है,तो ब्लॉक $Q$ की ओर ऊपर फिसलने की प्रवृत्ति रखता है,इसलिए इसे स्थिर रखने के लिए घर्षण बल $f$ को $P$ की ओर कार्य करना चाहिए।
इस प्रकार,ब्लॉक $\theta = 45^{\circ}$ (बिना घर्षण),$\theta > 45^{\circ}$ ($Q$ की ओर घर्षण),या $\theta < 45^{\circ}$ ($P$ की ओर घर्षण) होने पर स्थिर रहता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही संयोजन $(A)$ और $(C)$ हैं।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
चित्र में दिखाए अनुसार,समान द्रव्यमान घनत्व और $2R$ त्रिज्या वाली एक बड़ी डिस्क से $2R$ व्यास की एक छोटी डिस्क को हटाकर एक लैमिना बनाया गया है। $O$ और $P$ से गुजरने वाली अक्षों के परितः इस लैमिना का जड़त्व आघूर्ण क्रमशः $I_0$ और $I_P$ है। ये दोनों अक्ष लैमिना के तल के लंबवत हैं। $\frac{I_P}{I_0}$ का अनुपात निकटतम पूर्णांक में क्या है?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(C) माना छोटी डिस्क का द्रव्यमान $m$ है। चूंकि क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है,इसलिए बड़ी डिस्क (त्रिज्या $2R$) का द्रव्यमान $4m$ होगा।
$I_0$ के लिए:
$O$ के परितः बड़ी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{large, O} = \frac{(4m)(2R)^2}{2} = 8mR^2$ है।
छोटी डिस्क का उसके अपने केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $\frac{mR^2}{2}$ है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$O$ के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण $I_{small, O} = \frac{mR^2}{2} + mR^2 = \frac{3}{2}mR^2$ है।
अतः,$I_0 = 8mR^2 - \frac{3}{2}mR^2 = \frac{13}{2}mR^2$.
$I_P$ के लिए:
$P$ के परितः बड़ी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण (समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए) $I_{large, P} = \frac{(4m)(2R)^2}{2} + (4m)(2R)^2 = 8mR^2 + 16mR^2 = 24mR^2$ है।
$P$ के परितः छोटी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण (समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए) $I_{small, P} = \frac{mR^2}{2} + m((2R)^2 + R^2) = \frac{mR^2}{2} + 5mR^2 = \frac{11}{2}mR^2$ है।
अतः,$I_P = 24mR^2 - \frac{11}{2}mR^2 = \frac{37}{2}mR^2$.
अनुपात $\frac{I_P}{I_0} = \frac{37/2}{13/2} = \frac{37}{13} \approx 2.846$.
निकटतम पूर्णांक में,हमें $3$ प्राप्त होता है।
$I_0$ के लिए:
$O$ के परितः बड़ी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{large, O} = \frac{(4m)(2R)^2}{2} = 8mR^2$ है।
छोटी डिस्क का उसके अपने केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $\frac{mR^2}{2}$ है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$O$ के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण $I_{small, O} = \frac{mR^2}{2} + mR^2 = \frac{3}{2}mR^2$ है।
अतः,$I_0 = 8mR^2 - \frac{3}{2}mR^2 = \frac{13}{2}mR^2$.
$I_P$ के लिए:
$P$ के परितः बड़ी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण (समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए) $I_{large, P} = \frac{(4m)(2R)^2}{2} + (4m)(2R)^2 = 8mR^2 + 16mR^2 = 24mR^2$ है।
$P$ के परितः छोटी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण (समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए) $I_{small, P} = \frac{mR^2}{2} + m((2R)^2 + R^2) = \frac{mR^2}{2} + 5mR^2 = \frac{11}{2}mR^2$ है।
अतः,$I_P = 24mR^2 - \frac{11}{2}mR^2 = \frac{37}{2}mR^2$.
अनुपात $\frac{I_P}{I_0} = \frac{37/2}{13/2} = \frac{37}{13} \approx 2.846$.
निकटतम पूर्णांक में,हमें $3$ प्राप्त होता है।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
एक पतला समान बेलनाकार खोल,जो दोनों सिरों पर बंद है,आंशिक रूप से पानी से भरा है। यह पानी में आधा डूबी हुई अवस्था में तैर रहा है। यदि $\rho_c$ खोल के पदार्थ का पानी के सापेक्ष घनत्व है,तो सही कथन है कि खोल
A
यदि $\rho_c < 0.5$ है तो आधे से अधिक भरा है
B
यदि $\rho_c < 1.0$ है तो आधे से अधिक भरा है
C
यदि $\rho_c < 0.5$ है तो आधा भरा है
D
यदि $\rho_c < 0.5$ है तो आधे से कम भरा है
Solution
(A) माना खोल का बाहरी आयतन $V_0$ है और खोल का आंतरिक आयतन $V_i$ है।
माना खोल के अंदर पानी का आयतन $V$ है।
माना खोल के पदार्थ का सापेक्ष घनत्व $\rho_c$ है।
खोल के आधा डूबी हुई अवस्था में तैरने के लिए,खोल और अंदर के पानी का कुल भार विस्थापित पानी द्वारा लगाए गए उत्प्लावन बल के बराबर होना चाहिए।
खोल का भार $W_s = \rho_c (V_0 - V_i) g$ है।
अंदर के पानी का भार $W_w = V g$ है।
उत्प्लावन बल $F_B = \frac{V_0}{2} g$ है (क्योंकि यह आधा डूबा हुआ है)।
भार और उत्प्लावन बल को बराबर करने पर: $\rho_c (V_0 - V_i) g + V g = \frac{V_0}{2} g$.
सरल करने पर,हमें मिलता है: $\rho_c (V_0 - V_i) = \frac{V_0}{2} - V$.
अतः,$\rho_c = \frac{V_0/2 - V}{V_0 - V_i}$.
यदि $\rho_c < 0.5$ है,तो $\frac{V_0/2 - V}{V_0 - V_i} < \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों को $2(V_0 - V_i)$ से गुणा करने पर: $V_0 - 2V < V_0 - V_i$.
यह $-2V < -V_i$ या $V > V_i / 2$ में सरल हो जाता है।
अतः,$V > V_i / 2$ का अर्थ है कि खोल आधे से अधिक भरा हुआ है।
माना खोल के अंदर पानी का आयतन $V$ है।
माना खोल के पदार्थ का सापेक्ष घनत्व $\rho_c$ है।
खोल के आधा डूबी हुई अवस्था में तैरने के लिए,खोल और अंदर के पानी का कुल भार विस्थापित पानी द्वारा लगाए गए उत्प्लावन बल के बराबर होना चाहिए।
खोल का भार $W_s = \rho_c (V_0 - V_i) g$ है।
अंदर के पानी का भार $W_w = V g$ है।
उत्प्लावन बल $F_B = \frac{V_0}{2} g$ है (क्योंकि यह आधा डूबा हुआ है)।
भार और उत्प्लावन बल को बराबर करने पर: $\rho_c (V_0 - V_i) g + V g = \frac{V_0}{2} g$.
सरल करने पर,हमें मिलता है: $\rho_c (V_0 - V_i) = \frac{V_0}{2} - V$.
अतः,$\rho_c = \frac{V_0/2 - V}{V_0 - V_i}$.
यदि $\rho_c < 0.5$ है,तो $\frac{V_0/2 - V}{V_0 - V_i} < \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों को $2(V_0 - V_i)$ से गुणा करने पर: $V_0 - 2V < V_0 - V_i$.
यह $-2V < -V_i$ या $V > V_i / 2$ में सरल हो जाता है।
अतः,$V > V_i / 2$ का अर्थ है कि खोल आधे से अधिक भरा हुआ है।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
एक डिस्क को उसके केंद्र $O$ के परितः एकसमान कोणीय चाल $\omega$ से क्षैतिज तल में घूमते हुए मानिए। डिस्क के व्यास के एक तरफ छायांकित भाग और दूसरी तरफ अछायांकित भाग है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। जब डिस्क दिखाए गए अभिविन्यास में होती है,तो दो कंकड़ $P$ और $Q$ को एक साथ $R$ की ओर एक कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। प्रक्षेपण का वेग $y-z$ तल में है और डिस्क के सापेक्ष दोनों कंकड़ों के लिए समान है। मान लीजिए कि $(i)$ वे डिस्क द्वारा $\frac{1}{8}$ घूर्णन पूरा करने से पहले डिस्क पर वापस गिरते हैं,$(ii)$ उनकी परास डिस्क की आधी त्रिज्या से कम है,और $(iii)$ $\omega$ पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है। तब
A
$P$ छायांकित भाग में और $Q$ अछायांकित भाग में गिरता है
B
$P$ अछायांकित भाग में और $Q$ छायांकित भाग में गिरता है
C
दोनों $P$ और $Q$ अछायांकित भाग में गिरते हैं
D
दोनों $P$ और $Q$ छायांकित भाग में गिरते हैं
Solution
(A) मान लीजिए कि कंकड़ों की स्थिति केंद्र $O$ से उनकी दूरी $r$ द्वारा परिभाषित है। केंद्र के सापेक्ष कण की कोणीय चाल $\omega_{p} = \frac{v_{\theta}}{r}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v_{\theta}$ वेग का स्पर्शरेखीय घटक है।
कंकड़ $P$ के लिए,केंद्र $O$ से दूरी $r$ शुरू में घटती है क्योंकि यह $O$ की ओर बढ़ता है और फिर $O$ को पार करने के बाद बढ़ती है। चूंकि $v_{\theta}$ स्थिर है,कोणीय चाल $\omega_{p} = \frac{v_{\theta}}{r}$ शुरू में बढ़ती है और फिर घटती है। $P$ की औसत कोणीय चाल डिस्क की कोणीय चाल $\omega$ से अधिक है। इस प्रकार,$P$ डिस्क की तुलना में बड़ा कोण तय करता है और छायांकित भाग में गिरता है।
कंकड़ $Q$ के लिए,केंद्र $O$ से दूरी $r$ लगातार बढ़ रही है क्योंकि यह $O$ से दूर जा रहा है। परिणामस्वरूप,कोणीय चाल $\omega_{q} = \frac{v_{\theta}}{r}$ लगातार घट रही है। $Q$ की औसत कोणीय चाल डिस्क की कोणीय चाल $\omega$ से कम है। इस प्रकार,$Q$ डिस्क की तुलना में छोटा कोण तय करता है और अछायांकित भाग में गिरता है।
कंकड़ $P$ के लिए,केंद्र $O$ से दूरी $r$ शुरू में घटती है क्योंकि यह $O$ की ओर बढ़ता है और फिर $O$ को पार करने के बाद बढ़ती है। चूंकि $v_{\theta}$ स्थिर है,कोणीय चाल $\omega_{p} = \frac{v_{\theta}}{r}$ शुरू में बढ़ती है और फिर घटती है। $P$ की औसत कोणीय चाल डिस्क की कोणीय चाल $\omega$ से अधिक है। इस प्रकार,$P$ डिस्क की तुलना में बड़ा कोण तय करता है और छायांकित भाग में गिरता है।
कंकड़ $Q$ के लिए,केंद्र $O$ से दूरी $r$ लगातार बढ़ रही है क्योंकि यह $O$ से दूर जा रहा है। परिणामस्वरूप,कोणीय चाल $\omega_{q} = \frac{v_{\theta}}{r}$ लगातार घट रही है। $Q$ की औसत कोणीय चाल डिस्क की कोणीय चाल $\omega$ से कम है। इस प्रकार,$Q$ डिस्क की तुलना में छोटा कोण तय करता है और अछायांकित भाग में गिरता है।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
एक छात्र रेजोनेंस कॉलम का प्रयोग कर रहा है। कॉलम ट्यूब का व्यास $4 \ cm$ है। ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $512 \ Hz$ है। हवा का तापमान $38^{\circ} C$ है,जिस पर ध्वनि की गति $336 \ m/s$ है। मीटर स्केल का शून्य रेजोनेंस कॉलम के ऊपरी सिरे के साथ संपाती है। जब पहला रेजोनेंस होता है,तो कॉलम में जल स्तर का पाठ्यांक क्या होगा ($cm$ में)?
A
$14.0$
B
$15.2$
C
$16.4$
D
$17.6$
Solution
(B) बंद ऑर्गन पाइप में पहले रेजोनेंस के लिए शर्त है: $\frac{V}{4(\ell + e)} = f$,जहाँ $V$ ध्वनि की गति है,$\ell$ वायु स्तंभ की लंबाई है,$e$ एंड करेक्शन है और $f$ आवृत्ति है।
सबसे पहले,एंड करेक्शन $e$ की गणना करें। त्रिज्या $r$ वाली ट्यूब के लिए,$e = 0.6r$ होता है। दिया गया व्यास $d = 4 \ cm$ है,इसलिए $r = 2 \ cm$। अतः,$e = 0.6 \times 2 = 1.2 \ cm$।
$\ell$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\ell = \frac{V}{4f} - e$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $V = 336 \ m/s = 33600 \ cm/s$,$f = 512 \ Hz$,और $e = 1.2 \ cm$।
$\ell = \frac{33600}{4 \times 512} - 1.2 = \frac{33600}{2048} - 1.2 = 16.406 - 1.2 = 15.206 \ cm$।
निकटतम मान लेने पर,पाठ्यांक $15.2 \ cm$ है।
सबसे पहले,एंड करेक्शन $e$ की गणना करें। त्रिज्या $r$ वाली ट्यूब के लिए,$e = 0.6r$ होता है। दिया गया व्यास $d = 4 \ cm$ है,इसलिए $r = 2 \ cm$। अतः,$e = 0.6 \times 2 = 1.2 \ cm$।
$\ell$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\ell = \frac{V}{4f} - e$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $V = 336 \ m/s = 33600 \ cm/s$,$f = 512 \ Hz$,और $e = 1.2 \ cm$।
$\ell = \frac{33600}{4 \times 512} - 1.2 = \frac{33600}{2048} - 1.2 = 16.406 - 1.2 = 15.206 \ cm$।
निकटतम मान लेने पर,पाठ्यांक $15.2 \ cm$ है।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
समान त्रिज्या $R$ की दो एकसमान डिस्क अपनी धुरी पर विपरीत दिशाओं में समान स्थिर कोणीय गति $\omega$ से घूम रही हैं। डिस्क एक ही क्षैतिज तल में हैं। समय $t=0$ पर,बिंदु $P$ और $Q$ चित्र में दिखाए अनुसार एक-दूसरे के सामने हैं। दो बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच सापेक्ष गति को समय के फलन के रूप में सबसे अच्छी तरह से किसके द्वारा दर्शाया गया है?
A
B
C
D
Solution
(A) मान लीजिए कि दोनों डिस्क का कोणीय वेग $\omega$ है। डिस्क के किनारे पर किसी भी बिंदु का रैखिक वेग $v = R\omega$ है।
समय $t=0$ पर,बिंदु $P$ और $Q$ एक-दूसरे के सामने क्षैतिज स्थिति में हैं।
समय $t$ के बाद,बिंदु $\theta = \omega t$ कोण से घूम जाते हैं।
बिंदु $P$ का वेग सदिश ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाता है,और बिंदु $Q$ का वेग सदिश भी ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
वेग के क्षैतिज घटक $v_x(P) = -v \sin \theta$ और $v_x(Q) = v \sin \theta$ हैं।
क्षैतिज दिशा में सापेक्ष वेग $v_{rx} = v_x(P) - v_x(Q) = -v \sin \theta - v \sin \theta = -2v \sin \theta$ है।
ऊर्ध्वाधर घटक $v_y(P) = -v \cos \theta$ और $v_y(Q) = -v \cos \theta$ हैं।
ऊर्ध्वाधर दिशा में सापेक्ष वेग $v_{ry} = v_y(P) - v_y(Q) = 0$ है।
इस प्रकार,सापेक्ष गति $v_r = |v_{rx}| = |-2v \sin \omega t| = 2v \sin \omega t$ है।
$t=0$ पर,$v_r = 0$ है। जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,$v_r$ बढ़ता है,$\omega t = \pi/2$ पर अधिकतम हो जाता है,और $\omega t = \pi$ पर फिर से $0$ हो जाता है। यह विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।
समय $t=0$ पर,बिंदु $P$ और $Q$ एक-दूसरे के सामने क्षैतिज स्थिति में हैं।
समय $t$ के बाद,बिंदु $\theta = \omega t$ कोण से घूम जाते हैं।
बिंदु $P$ का वेग सदिश ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाता है,और बिंदु $Q$ का वेग सदिश भी ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
वेग के क्षैतिज घटक $v_x(P) = -v \sin \theta$ और $v_x(Q) = v \sin \theta$ हैं।
क्षैतिज दिशा में सापेक्ष वेग $v_{rx} = v_x(P) - v_x(Q) = -v \sin \theta - v \sin \theta = -2v \sin \theta$ है।
ऊर्ध्वाधर घटक $v_y(P) = -v \cos \theta$ और $v_y(Q) = -v \cos \theta$ हैं।
ऊर्ध्वाधर दिशा में सापेक्ष वेग $v_{ry} = v_y(P) - v_y(Q) = 0$ है।
इस प्रकार,सापेक्ष गति $v_r = |v_{rx}| = |-2v \sin \omega t| = 2v \sin \omega t$ है।
$t=0$ पर,$v_r = 0$ है। जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,$v_r$ बढ़ता है,$\omega t = \pi/2$ पर अधिकतम हो जाता है,और $\omega t = \pi$ पर फिर से $0$ हो जाता है। यह विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।
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PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2012
एक रबर के गुब्बारे में $30^{\circ} C$ पर दो मोल आदर्श हीलियम गैस भरी है। गुब्बारा पूरी तरह से फैलने योग्य है और यह माना जा सकता है कि इसके विस्तार में किसी ऊर्जा की आवश्यकता नहीं होती है। गुब्बारे में गैस का तापमान धीरे-धीरे बदलकर $35^{\circ} C$ कर दिया जाता है। तापमान बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा लगभग कितनी होगी ($J$ में)? ($R = 8.31 \ J / mol \cdot K$ लें)
A
$62$
B
$104$
C
$124$
D
$208$
Solution
(D) चूंकि गुब्बारा पूरी तरह से फैलने योग्य है और विस्तार के लिए किसी ऊर्जा की आवश्यकता नहीं है,इसलिए गुब्बारे के अंदर का दबाव स्थिर (वायुमंडलीय दबाव के बराबर) रहता है। अतः,यह प्रक्रिया समदाबी (isobaric) है।
समदाबी प्रक्रिया के लिए,आवश्यक ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
हीलियम जैसी एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है।
स्थिर दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \frac{f}{2} R + R = \frac{3}{2} R + R = \frac{5}{2} R$ होती है।
दिया गया है: $n = 2 \ mol$,$\Delta T = 35^{\circ} C - 30^{\circ} C = 5 \ K$,और $R = 8.31 \ J / mol \cdot K$.
मान रखने पर:
$\Delta Q = 2 \times \left( \frac{5}{2} \times 8.31 \right) \times 5$
$\Delta Q = 5 \times 8.31 \times 5 = 25 \times 8.31 = 207.75 \ J$.
निकटतम पूर्णांक में,$\Delta Q \approx 208 \ J$ प्राप्त होता है।
समदाबी प्रक्रिया के लिए,आवश्यक ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
हीलियम जैसी एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है।
स्थिर दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \frac{f}{2} R + R = \frac{3}{2} R + R = \frac{5}{2} R$ होती है।
दिया गया है: $n = 2 \ mol$,$\Delta T = 35^{\circ} C - 30^{\circ} C = 5 \ K$,और $R = 8.31 \ J / mol \cdot K$.
मान रखने पर:
$\Delta Q = 2 \times \left( \frac{5}{2} \times 8.31 \right) \times 5$
$\Delta Q = 5 \times 8.31 \times 5 = 25 \times 8.31 = 207.75 \ J$.
निकटतम पूर्णांक में,$\Delta Q \approx 208 \ J$ प्राप्त होता है।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
एक दृढ़ पिंड की सामान्य गति को $(i)$ द्रव्यमान केंद्र की एक अक्ष के परितः गति,और $(ii)$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली तात्क्षणिक अक्ष के परितः गति के संयोजन के रूप में माना जा सकता है। ये अक्षें स्थिर होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,एक पतली एकसमान डिस्क पर विचार करें जिसे चित्र में दिखाए अनुसार एक द्रव्यमान रहित छड़ के किनारे पर क्षैतिज रूप से वेल्ड (दृढ़ता से स्थिर) किया गया है। जब डिस्क-छड़ प्रणाली को एक क्षैतिज घर्षण रहित तल पर मूल बिंदु के परितः कोणीय चाल $\omega$ के साथ घुमाया जाता है,तो किसी भी क्षण गति को $(i)$ डिस्क के द्रव्यमान केंद्र की $z$-अक्ष के परितः घूर्णन,और $(ii)$ डिस्क के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली एक तात्क्षणिक ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः घूर्णन (जैसा कि बिंदुओं $P$ और $Q$ के बदले हुए अभिविन्यास से देखा जा सकता है) के संयोजन के रूप में लिया जा सकता है। इस मामले में दोनों गतियों की कोणीय चाल $\omega$ समान है। अब चित्र में दिखाई गई दो समान प्रणालियों पर विचार करें: स्थिति $(a)$ डिस्क का फलक ऊर्ध्वाधर और $x-z$ तल के समानांतर है; स्थिति $(b)$ डिस्क का फलक $x-y$ तल के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसका क्षैतिज व्यास $x$-अक्ष के समानांतर है। दोनों स्थितियों में,डिस्क को बिंदु $P$ पर वेल्ड किया गया है,और प्रणालियों को $z$-अक्ष के परितः स्थिर कोणीय चाल $\omega$ के साथ घुमाया जाता है।
$1.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के परितः कोणीय चाल के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\frac{\omega}{\sqrt{2}}$ है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(D)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\omega$ है।
$2.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों $(a)$ और $(b)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल में स्थित है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए क्षैतिज है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
$(D)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।
$1.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के परितः कोणीय चाल के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\frac{\omega}{\sqrt{2}}$ है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(D)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\omega$ है।
$2.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों $(a)$ और $(b)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल में स्थित है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए क्षैतिज है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
$(D)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।
A
$(D, A)$
B
$(B, D)$
C
$(B, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(D) $1.$ किसी दृढ़ पिंड का किसी भी अक्ष के परितः कोणीय वेग एक सदिश राशि है। जब कोई दृढ़ पिंड एक निश्चित अक्ष ($z$-अक्ष यहाँ) के परितः घूमता है,तो कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ उस अक्ष की दिशा में होता है। पिंड के किसी भी बिंदु या किसी भी आंतरिक अक्ष के लिए,कोणीय वेग का परिमाण $\omega$ ही रहता है। अतः,दोनों स्थितियों के लिए,द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली तात्क्षणिक अक्ष के परितः कोणीय चाल $\omega$ है। सही विकल्प $(D)$ है।
$2.$ स्थिति $(a)$ में,डिस्क ऊर्ध्वाधर है और $x-z$ तल के समानांतर है। घूर्णन $z$-अक्ष के परितः है,इसलिए तात्क्षणिक अक्ष ऊर्ध्वाधर है। स्थिति $(b)$ में,डिस्क $x-y$ तल के साथ $45^{\circ}$ पर झुकी हुई है। घूर्णन अभी भी $z$-अक्ष के परितः है। द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली तात्क्षणिक अक्ष को घूर्णन बनाए रखने के लिए $z$-अक्ष के समानांतर होना चाहिए,लेकिन डिस्क की अपनी ज्यामिति के सापेक्ष,यह $x-z$ तल के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर डिस्क के तल के लंबवत है। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।
$2.$ स्थिति $(a)$ में,डिस्क ऊर्ध्वाधर है और $x-z$ तल के समानांतर है। घूर्णन $z$-अक्ष के परितः है,इसलिए तात्क्षणिक अक्ष ऊर्ध्वाधर है। स्थिति $(b)$ में,डिस्क $x-y$ तल के साथ $45^{\circ}$ पर झुकी हुई है। घूर्णन अभी भी $z$-अक्ष के परितः है। द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली तात्क्षणिक अक्ष को घूर्णन बनाए रखने के लिए $z$-अक्ष के समानांतर होना चाहिए,लेकिन डिस्क की अपनी ज्यामिति के सापेक्ष,यह $x-z$ तल के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर डिस्क के तल के लंबवत है। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
समान द्रव्यमान और समान त्रिज्या के दो ठोस बेलन $P$ और $Q$ एक ही ऊँचाई से एक ही समय पर एक निश्चित नत समतल (inclined plane) पर लुढ़कना शुरू करते हैं। बेलन $P$ का अधिकांश द्रव्यमान उसकी सतह के पास केंद्रित है,जबकि $Q$ का अधिकांश द्रव्यमान उसकी अक्ष के पास केंद्रित है। कौन सा/से कथन सही है/हैं?
A
दोनों बेलन $P$ और $Q$ एक ही समय पर जमीन पर पहुँचते हैं।
B
बेलन $P$ का रैखिक त्वरण बेलन $Q$ से अधिक है।
C
बेलन $Q$ समान स्थानांतरण गतिज ऊर्जा के साथ जमीन पर पहुँचता है।
D
बेलन $Q$ अधिक कोणीय गति के साथ जमीन पर पहुँचता है।
Solution
(D) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$ द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है। चूँकि बेलन $P$ का द्रव्यमान उसकी सतह के पास केंद्रित है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण अधिक है $(I_P > I_Q)$।
नत समतल पर लुढ़कते हुए पिंड का रैखिक त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $I_P > I_Q$ है,इसलिए $a_P < a_Q$ होगा। इसका अर्थ है कि बेलन $Q$ तेजी से त्वरित होता है।
गति के समीकरण $s = \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,नीचे पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$ है। चूँकि $a_P < a_Q$ है,इसलिए $t_P > t_Q$ होगा,जिसका अर्थ है कि $Q$ पहले जमीन पर पहुँचता है।
अंतिम वेग $v$,$v^2 = 2as$ द्वारा प्राप्त होता है। चूँकि $a_Q > a_P$ है,इसलिए $v_Q > v_P$ होगा। स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $Q$ की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा अधिक होती है।
अंत में,चूँकि $v = \omega R$ है,इसलिए कोणीय गति $\omega = \frac{v}{R}$ होगी। चूँकि $v_Q > v_P$ है,इसलिए $\omega_Q > \omega_P$ होगा। अतः,बेलन $Q$ अधिक कोणीय गति के साथ जमीन पर पहुँचता है।
नत समतल पर लुढ़कते हुए पिंड का रैखिक त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $I_P > I_Q$ है,इसलिए $a_P < a_Q$ होगा। इसका अर्थ है कि बेलन $Q$ तेजी से त्वरित होता है।
गति के समीकरण $s = \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,नीचे पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$ है। चूँकि $a_P < a_Q$ है,इसलिए $t_P > t_Q$ होगा,जिसका अर्थ है कि $Q$ पहले जमीन पर पहुँचता है।
अंतिम वेग $v$,$v^2 = 2as$ द्वारा प्राप्त होता है। चूँकि $a_Q > a_P$ है,इसलिए $v_Q > v_P$ होगा। स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $Q$ की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा अधिक होती है।
अंत में,चूँकि $v = \omega R$ है,इसलिए कोणीय गति $\omega = \frac{v}{R}$ होगी। चूँकि $v_Q > v_P$ है,इसलिए $\omega_Q > \omega_P$ होगा। अतः,बेलन $Q$ अधिक कोणीय गति के साथ जमीन पर पहुँचता है।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
दो गोलाकार ग्रह $P$ और $Q$ का घनत्व समान $\rho$,द्रव्यमान $M_P$ और $M_Q$,और सतह का क्षेत्रफल क्रमशः $A$ और $4A$ है। एक गोलाकार ग्रह $R$ का घनत्व भी $\rho$ है और इसका द्रव्यमान $(M_P + M_Q)$ है। ग्रहों $P, Q$ और $R$ से पलायन वेग क्रमशः $V_P, V_Q$ और $V_R$ हैं। तो:
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, D)$
D
$(C, D)$
Solution
(A) पलायन वेग $V_e$ का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है। चूंकि $M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$,इसलिए $V_e = \sqrt{\frac{8\pi G \rho}{3}} R$ प्राप्त होता है। अतः,$V_e \propto R$.
सतह का क्षेत्रफल $A_P = A = 4\pi R_P^2$ और $A_Q = 4A = 4\pi R_Q^2$ दिया गया है। इसका अर्थ है $R_Q^2 = 4R_P^2$,यानी $R_Q = 2R_P$.
ग्रह $R$ के लिए,$M_R = M_P + M_Q$ है। घनत्व $\rho$ समान होने के कारण,$\frac{4}{3}\pi R_R^3 \rho = \frac{4}{3}\pi R_P^3 \rho + \frac{4}{3}\pi R_Q^3 \rho$.
अतः,$R_R^3 = R_P^3 + R_Q^3 = R_P^3 + (2R_P)^3 = 9R_P^3$।
इसलिए,$R_R = 9^{1/3} R_P$।
त्रिज्याओं की तुलना करने पर: $R_R > R_Q > R_P$,जिसका अर्थ है कि $V_R > V_Q > V_P$। अतः कथन $(B)$ सही है।
कथन $(D)$ के लिए,$\frac{V_P}{V_Q} = \frac{R_P}{R_Q} = \frac{R_P}{2R_P} = \frac{1}{2}$। अतः कथन $(D)$ भी सही है।
सतह का क्षेत्रफल $A_P = A = 4\pi R_P^2$ और $A_Q = 4A = 4\pi R_Q^2$ दिया गया है। इसका अर्थ है $R_Q^2 = 4R_P^2$,यानी $R_Q = 2R_P$.
ग्रह $R$ के लिए,$M_R = M_P + M_Q$ है। घनत्व $\rho$ समान होने के कारण,$\frac{4}{3}\pi R_R^3 \rho = \frac{4}{3}\pi R_P^3 \rho + \frac{4}{3}\pi R_Q^3 \rho$.
अतः,$R_R^3 = R_P^3 + R_Q^3 = R_P^3 + (2R_P)^3 = 9R_P^3$।
इसलिए,$R_R = 9^{1/3} R_P$।
त्रिज्याओं की तुलना करने पर: $R_R > R_Q > R_P$,जिसका अर्थ है कि $V_R > V_Q > V_P$। अतः कथन $(B)$ सही है।
कथन $(D)$ के लिए,$\frac{V_P}{V_Q} = \frac{R_P}{R_Q} = \frac{R_P}{2R_P} = \frac{1}{2}$। अतः कथन $(D)$ भी सही है।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
आकृति एक ऐसी प्रणाली को दर्शाती है जिसमें $(i)$ $3R$ त्रिज्या वाली एक रिंग क्षैतिज सतह पर $\omega$ कोणीय गति के साथ बिना फिसले क्लॉकवाइज लुढ़क रही है और $(ii)$ $2R$ त्रिज्या वाली एक आंतरिक डिस्क $\omega/2$ कोणीय गति के साथ एंटी-क्लॉकवाइज घूम रही है। रिंग और डिस्क घर्षण रहित बॉल बेयरिंग द्वारा अलग किए गए हैं। प्रणाली $x-z$ तल में है। आंतरिक डिस्क पर बिंदु $P$ मूल बिंदु से $R$ दूरी पर है,जहाँ $OP$ क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है। तो क्षैतिज सतह के सापेक्ष,
$(A)$ बिंदु $O$ का रेखीय वेग $3R\omega\hat{i}$ है।
$(B)$ बिंदु $P$ का रेखीय वेग $\frac{11}{4}R\omega\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ है।
$(C)$ बिंदु $P$ का रेखीय वेग $\frac{13}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ है।
$(D)$ बिंदु $P$ का रेखीय वेग $(3 - \frac{\sqrt{3}}{4})R\omega\hat{i} + \frac{1}{4}R\omega\hat{k}$ है।
$(A)$ बिंदु $O$ का रेखीय वेग $3R\omega\hat{i}$ है।
$(B)$ बिंदु $P$ का रेखीय वेग $\frac{11}{4}R\omega\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ है।
$(C)$ बिंदु $P$ का रेखीय वेग $\frac{13}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ है।
$(D)$ बिंदु $P$ का रेखीय वेग $(3 - \frac{\sqrt{3}}{4})R\omega\hat{i} + \frac{1}{4}R\omega\hat{k}$ है।
A
$(B,D)$
B
$(A,B)$
C
$(B,C)$
D
$(A,D)$
Solution
(C) $3R$ त्रिज्या वाली रिंग की शुद्ध लोटनिक गति के लिए,केंद्र $O$ का वेग $V_O = (3R)\omega\hat{i} = 3R\omega\hat{i}$ है। अतः,कथन $(A)$ सही है।
आंतरिक डिस्क $\omega' = \omega/2$ कोणीय गति के साथ एंटी-क्लॉकवाइज घूमती है। केंद्र $O$ के सापेक्ष बिंदु $P$ का वेग $\vec{v}_{P/O} = \vec{\omega}' \times \vec{r}_{P/O}$ है।
यहाँ $\vec{\omega}' = (\omega/2)\hat{j}$ और $\vec{r}_{P/O} = R\cos 30^{\circ}\hat{i} + R\sin 30^{\circ}\hat{k} = R\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + R\frac{1}{2}\hat{k}$ है।
$\vec{v}_{P/O} = (\frac{\omega}{2}\hat{j}) \times (R\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + R\frac{1}{2}\hat{k}) = \frac{\omega R\sqrt{3}}{4}(\hat{j} \times \hat{i}) + \frac{\omega R}{4}(\hat{j} \times \hat{k}) = -\frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k} + \frac{1}{4}R\omega\hat{i}$ है।
सतह के सापेक्ष $P$ का वेग $\vec{v}_P = \vec{v}_O + \vec{v}_{P/O} = 3R\omega\hat{i} + \frac{1}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k} = \frac{13}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ है।
अतः,कथन $(C)$ सही है। सही विकल्प $(A)$ और $(C)$ हैं।
आंतरिक डिस्क $\omega' = \omega/2$ कोणीय गति के साथ एंटी-क्लॉकवाइज घूमती है। केंद्र $O$ के सापेक्ष बिंदु $P$ का वेग $\vec{v}_{P/O} = \vec{\omega}' \times \vec{r}_{P/O}$ है।
यहाँ $\vec{\omega}' = (\omega/2)\hat{j}$ और $\vec{r}_{P/O} = R\cos 30^{\circ}\hat{i} + R\sin 30^{\circ}\hat{k} = R\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + R\frac{1}{2}\hat{k}$ है।
$\vec{v}_{P/O} = (\frac{\omega}{2}\hat{j}) \times (R\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + R\frac{1}{2}\hat{k}) = \frac{\omega R\sqrt{3}}{4}(\hat{j} \times \hat{i}) + \frac{\omega R}{4}(\hat{j} \times \hat{k}) = -\frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k} + \frac{1}{4}R\omega\hat{i}$ है।
सतह के सापेक्ष $P$ का वेग $\vec{v}_P = \vec{v}_O + \vec{v}_{P/O} = 3R\omega\hat{i} + \frac{1}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k} = \frac{13}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ है।
अतः,कथन $(C)$ सही है। सही विकल्प $(A)$ और $(C)$ हैं।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
$1 \ cm$ के पृथक्करण वाली दो बड़ी ऊर्ध्वाधर और समानांतर धातु की प्लेटों को $X$ विभवांतर के $DC$ वोल्टेज स्रोत से जोड़ा गया है। एक प्रोटॉन को दोनों प्लेटों के बीच मध्य में विरामावस्था से छोड़ा जाता है। यह छोड़ने के ठीक बाद ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ पर गति करता हुआ पाया जाता है। तब $X$ लगभग है
A
$1 \times 10^{-5} \ V$
B
$1 \times 10^{-7} \ V$
C
$1 \times 10^{-9} \ V$
D
$1 \times 10^{-10} \ V$
Solution
(C) प्रोटॉन पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य कर रहा है) और विद्युत बल $qE$ (क्षैतिज रूप से कार्य कर रहा है) हैं।
यह दिया गया है कि प्रोटॉन ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ पर गति करता है,इसलिए क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर बलों के परिमाण समान होने चाहिए:
$qE = mg$
यहाँ,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,और विद्युत क्षेत्र $E = \frac{X}{d}$,जहाँ $d = 1 \ cm = 0.01 \ m$ है।
मान रखने पर:
$1.6 \times 10^{-19} \times \frac{X}{0.01} = 1.67 \times 10^{-27} \times 10$
$1.6 \times 10^{-17} \times X = 1.67 \times 10^{-26}$
$X = \frac{1.67}{1.6} \times 10^{-9} \ V$
$X \approx 1 \times 10^{-9} \ V$
यह दिया गया है कि प्रोटॉन ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ पर गति करता है,इसलिए क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर बलों के परिमाण समान होने चाहिए:
$qE = mg$
यहाँ,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,और विद्युत क्षेत्र $E = \frac{X}{d}$,जहाँ $d = 1 \ cm = 0.01 \ m$ है।
मान रखने पर:
$1.6 \times 10^{-19} \times \frac{X}{0.01} = 1.67 \times 10^{-27} \times 10$
$1.6 \times 10^{-17} \times X = 1.67 \times 10^{-26}$
$X = \frac{1.67}{1.6} \times 10^{-9} \ V$
$X \approx 1 \times 10^{-9} \ V$
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20
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
मूल बिंदु पर केंद्र वाले $R$ त्रिज्या के एक पतले गोलीय कोश पर विचार करें,जिस पर एकसमान धनात्मक पृष्ठीय आवेश घनत्व है। केंद्र से $r$ दूरी के साथ विद्युत क्षेत्र के परिमाण $|\vec{E}(r)|$ और विद्युत विभव $V(r)$ में परिवर्तन को किस ग्राफ द्वारा सबसे अच्छी तरह दर्शाया गया है?
A
B
C
D
Solution
(D) $R$ त्रिज्या वाले एक पतले गोलीय कोश के लिए जिस पर कुल आवेश $Q$ है:
$1$. विद्युत क्षेत्र $(E)$:
कोश के अंदर $(r < R)$,विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,अर्थात $E_{in} = 0$.
सतह पर $(r = R)$,विद्युत क्षेत्र $E_s = \frac{KQ}{R^2}$ होता है।
कोश के बाहर $(r > R)$,विद्युत क्षेत्र $E_{out} = \frac{KQ}{r^2}$ होता है,जो $1/r^2$ के अनुसार घटता है।
$2$. विद्युत विभव $(V)$:
कोश के अंदर $(r \le R)$,विद्युत विभव स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है,अर्थात $V_{in} = \frac{KQ}{R}$.
कोश के बाहर $(r > R)$,विद्युत विभव $V_{out} = \frac{KQ}{r}$ होता है,जो $1/r$ के अनुसार घटता है।
इन विशेषताओं की दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,ग्राफ $D$ सही ढंग से दर्शाता है कि $r < R$ के लिए $E=0$ है और $r \le R$ के लिए $V$ स्थिर है।
$1$. विद्युत क्षेत्र $(E)$:
कोश के अंदर $(r < R)$,विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,अर्थात $E_{in} = 0$.
सतह पर $(r = R)$,विद्युत क्षेत्र $E_s = \frac{KQ}{R^2}$ होता है।
कोश के बाहर $(r > R)$,विद्युत क्षेत्र $E_{out} = \frac{KQ}{r^2}$ होता है,जो $1/r^2$ के अनुसार घटता है।
$2$. विद्युत विभव $(V)$:
कोश के अंदर $(r \le R)$,विद्युत विभव स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है,अर्थात $V_{in} = \frac{KQ}{R}$.
कोश के बाहर $(r > R)$,विद्युत विभव $V_{out} = \frac{KQ}{r}$ होता है,जो $1/r$ के अनुसार घटता है।
इन विशेषताओं की दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,ग्राफ $D$ सही ढंग से दर्शाता है कि $r < R$ के लिए $E=0$ है और $r \le R$ के लिए $V$ स्थिर है।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
चित्र में दिखाए अनुसार दो पतले समतल-उत्तल लेंसों से एक द्वि-उत्तल लेंस बनाया गया है। पहले लेंस का अपवर्तनांक $n = 1.5$ है और दूसरे लेंस का अपवर्तनांक $n = 1.2$ है। दोनों वक्र सतहों की वक्रता त्रिज्या $R = 14 \ cm$ समान है। इस द्वि-उत्तल लेंस के लिए,यदि वस्तु की दूरी $40 \ cm$ है,तो प्रतिबिंब की दूरी क्या होगी ($cm$ में)?
A
$-280.0$
B
$40.0$
C
$21.5$
D
$13.3$
Solution
(B) लेंस की फोकस दूरी $f$,लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (n-1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.
पहले समतल-उत्तल लेंस के लिए $(n_1 = 1.5)$: $\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left[ \frac{1}{14} - \frac{1}{\infty} \right] = \frac{0.5}{14} = \frac{1}{28} \ cm^{-1}$.
दूसरे समतल-उत्तल लेंस के लिए $(n_2 = 1.2)$: $\frac{1}{f_2} = (1.2 - 1) \left[ \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-14} \right] = \frac{0.2}{14} = \frac{1}{70} \ cm^{-1}$.
संपर्क में रखे पतले लेंसों के संयोजन के लिए,प्रभावी फोकस दूरी $F$ को $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{F} = \frac{1}{28} + \frac{1}{70} = \frac{5 + 2}{140} = \frac{7}{140} = \frac{1}{20} \ cm^{-1}$.
अतः,प्रभावी फोकस दूरी $F = 20 \ cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = -40 \ cm$:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{20} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{2 - 1}{40} = \frac{1}{40}$.
इसलिए,प्रतिबिंब की दूरी $v = 40 \ cm$ है।
पहले समतल-उत्तल लेंस के लिए $(n_1 = 1.5)$: $\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left[ \frac{1}{14} - \frac{1}{\infty} \right] = \frac{0.5}{14} = \frac{1}{28} \ cm^{-1}$.
दूसरे समतल-उत्तल लेंस के लिए $(n_2 = 1.2)$: $\frac{1}{f_2} = (1.2 - 1) \left[ \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-14} \right] = \frac{0.2}{14} = \frac{1}{70} \ cm^{-1}$.
संपर्क में रखे पतले लेंसों के संयोजन के लिए,प्रभावी फोकस दूरी $F$ को $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{F} = \frac{1}{28} + \frac{1}{70} = \frac{5 + 2}{140} = \frac{7}{140} = \frac{1}{20} \ cm^{-1}$.
अतः,प्रभावी फोकस दूरी $F = 20 \ cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = -40 \ cm$:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{20} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{2 - 1}{40} = \frac{1}{40}$.
इसलिए,प्रतिबिंब की दूरी $v = 40 \ cm$ है।
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22
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2012
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग को हरे,लाल और नीले प्रकाश का उपयोग करके,एक बार में एक रंग के साथ किया जाता है। रिकॉर्ड की गई फ्रिंज चौड़ाई क्रमशः $\beta_G, \beta_R$ और $\beta_B$ है। तब:
A
$\beta_G > \beta_B > \beta_R$
B
$\beta_B > \beta_G > \beta_R$
C
$\beta_R > \beta_B > \beta_G$
D
$\beta_R > \beta_G > \beta_B$
Solution
(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्क्रीन और स्लिट्स के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिट्स के बीच की दूरी है।
चूंकि $D$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए फ्रिंज चौड़ाई तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $\beta \propto \lambda$।
दृश्य स्पेक्ट्रम $(VIBGYOR)$ के अनुसार,तरंगदैर्ध्य बैंगनी से लाल रंग की ओर बढ़ती है।
इसलिए,तरंगदैर्ध्य का क्रम $\lambda_R > \lambda_G > \lambda_B$ है।
चूंकि $\beta \propto \lambda$,इसलिए $\beta_R > \beta_G > \beta_B$ प्राप्त होता है।
चूंकि $D$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए फ्रिंज चौड़ाई तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $\beta \propto \lambda$।
दृश्य स्पेक्ट्रम $(VIBGYOR)$ के अनुसार,तरंगदैर्ध्य बैंगनी से लाल रंग की ओर बढ़ती है।
इसलिए,तरंगदैर्ध्य का क्रम $\lambda_R > \lambda_G > \lambda_B$ है।
चूंकि $\beta \propto \lambda$,इसलिए $\beta_R > \beta_G > \beta_B$ प्राप्त होता है।
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23
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
$a$ भुजा वाले एक घनीय क्षेत्र का केंद्र मूल बिंदु पर है। यह तीन स्थिर बिंदु आवेशों को घेरता है: $(0, -a/4, 0)$ पर $-q$,$(0, 0, 0)$ पर $+3q$ और $(0, +a/4, 0)$ पर $-q$। सही विकल्प चुनिए।
$(A)$ $x = +a/2$ तल से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $x = -a/2$ तल से गुजरने वाले कुल विद्युत फ्लक्स के बराबर है।
$(B)$ $y = +a/2$ तल से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $y = -a/2$ तल से गुजरने वाले कुल विद्युत फ्लक्स से अधिक है।
$(C)$ पूरे क्षेत्र से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
$(D)$ $z = +a/2$ तल से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $x = +a/2$ तल से गुजरने वाले कुल विद्युत फ्लक्स के बराबर है।
$(A)$ $x = +a/2$ तल से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $x = -a/2$ तल से गुजरने वाले कुल विद्युत फ्लक्स के बराबर है।
$(B)$ $y = +a/2$ तल से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $y = -a/2$ तल से गुजरने वाले कुल विद्युत फ्लक्स से अधिक है।
$(C)$ पूरे क्षेत्र से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
$(D)$ $z = +a/2$ तल से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $x = +a/2$ तल से गुजरने वाले कुल विद्युत फ्लक्स के बराबर है।
A
$(A, B, C)$
B
$(A, B, D)$
C
$(A, C, D)$
D
$(B, C, D)$
Solution
(C) घन द्वारा घिरा कुल आवेश $Q_{\text{enclosed}} = -q + 3q - q = q$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,पूरे बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ है। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
आवेश $y$-अक्ष पर $(0, -a/4, 0)$,$(0, 0, 0)$ और $(0, a/4, 0)$ पर स्थित हैं।
चूंकि आवेश वितरण $yz$-तल $(x=0)$ के सापेक्ष सममित है,इसलिए $x = +a/2$ तल से गुजरने वाला फ्लक्स $x = -a/2$ तल से गुजरने वाले फ्लक्स के बराबर होगा। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
आवेश वितरण $xz$-तल $(y=0)$ के सापेक्ष सममित नहीं है। आवेश $y = -a/4, 0, a/4$ पर स्थित हैं। $y = +a/2$ तल $y = +a/4$ पर स्थित आवेश के करीब है,जबकि $y = -a/2$ तल $y = -a/4$ पर स्थित आवेश से दूर है। हालाँकि,फ्लक्स की गणना करने पर,आवेशों की विशिष्ट व्यवस्था के कारण $y = +a/2$ और $y = -a/2$ से गुजरने वाला फ्लक्स समान पाया जाता है। अतः,$(B)$ गलत है।
$xy$-तल $(z=0)$ के सापेक्ष आवेश वितरण की सममिति के कारण,$z = +a/2$ से गुजरने वाला फ्लक्स $z = -a/2$ से गुजरने वाले फ्लक्स के बराबर है। इसकी तुलना $x = +a/2$ से गुजरने वाले फ्लक्स से करने पर,वे समान पाए जाते हैं। अतः,$(D)$ सही है।
गॉस के नियम के अनुसार,पूरे बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ है। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
आवेश $y$-अक्ष पर $(0, -a/4, 0)$,$(0, 0, 0)$ और $(0, a/4, 0)$ पर स्थित हैं।
चूंकि आवेश वितरण $yz$-तल $(x=0)$ के सापेक्ष सममित है,इसलिए $x = +a/2$ तल से गुजरने वाला फ्लक्स $x = -a/2$ तल से गुजरने वाले फ्लक्स के बराबर होगा। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
आवेश वितरण $xz$-तल $(y=0)$ के सापेक्ष सममित नहीं है। आवेश $y = -a/4, 0, a/4$ पर स्थित हैं। $y = +a/2$ तल $y = +a/4$ पर स्थित आवेश के करीब है,जबकि $y = -a/2$ तल $y = -a/4$ पर स्थित आवेश से दूर है। हालाँकि,फ्लक्स की गणना करने पर,आवेशों की विशिष्ट व्यवस्था के कारण $y = +a/2$ और $y = -a/2$ से गुजरने वाला फ्लक्स समान पाया जाता है। अतः,$(B)$ गलत है।
$xy$-तल $(z=0)$ के सापेक्ष आवेश वितरण की सममिति के कारण,$z = +a/2$ से गुजरने वाला फ्लक्स $z = -a/2$ से गुजरने वाले फ्लक्स के बराबर है। इसकी तुलना $x = +a/2$ से गुजरने वाले फ्लक्स से करने पर,वे समान पाए जाते हैं। अतः,$(D)$ सही है।
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24
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2012
चित्र में दिखाए गए प्रतिरोध नेटवर्क के लिए,सही विकल्प चुनें।
A
$(A, B, C, D)$
B
$(A, B, D)$
C
$(A, C, D)$
D
$(B, C, D)$
Solution
(B) परिपथ को समरूपता के आधार पर सरल बनाया जा सकता है। ऊपरी शाखा में श्रेणीक्रम में तीन $2 \ \Omega$ के प्रतिरोध हैं,जिसका कुल प्रतिरोध $R_1 = 2+2+2 = 6 \ \Omega$ है। निचली शाखा में श्रेणीक्रम में तीन $4 \ \Omega$ के प्रतिरोध हैं,जिसका कुल प्रतिरोध $R_2 = 4+4+4 = 12 \ \Omega$ है।
ये दोनों शाखाएं $12 \ V$ स्रोत के समानांतर जुड़ी हुई हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \ \Omega$.
कुल धारा $I_1 = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12}{4} = 3 \ A$.
ऊपरी शाखा में धारा $I_2 = \frac{V}{R_1} = \frac{12}{6} = 2 \ A$.
चूंकि पहले $2 \ \Omega$ और $4 \ \Omega$ प्रतिरोधों पर विभव पतन उनके प्रतिरोधों के अनुपात में है,इसलिए बिंदु $P$ और $Q$ पर विभव समान हैं $(V_P = V_Q)$। अतः,$P$ और $Q$ को जोड़ने वाले $1 \ \Omega$ प्रतिरोध से होकर बहने वाली धारा शून्य है।
इसी प्रकार,$V_S = V_T$,इसलिए $S$ और $T$ को जोड़ने वाले $1 \ \Omega$ प्रतिरोध से होकर बहने वाली धारा शून्य है।
चूंकि $V_P = V_Q$ और $V_S = V_T$ है,और शाखाओं में विभव घटता है,इसलिए $S$ पर विभव $Q$ की तुलना में कम है।
अतः,विकल्प $(A)$,$(B)$ और $(D)$ सही हैं।
ये दोनों शाखाएं $12 \ V$ स्रोत के समानांतर जुड़ी हुई हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \ \Omega$.
कुल धारा $I_1 = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12}{4} = 3 \ A$.
ऊपरी शाखा में धारा $I_2 = \frac{V}{R_1} = \frac{12}{6} = 2 \ A$.
चूंकि पहले $2 \ \Omega$ और $4 \ \Omega$ प्रतिरोधों पर विभव पतन उनके प्रतिरोधों के अनुपात में है,इसलिए बिंदु $P$ और $Q$ पर विभव समान हैं $(V_P = V_Q)$। अतः,$P$ और $Q$ को जोड़ने वाले $1 \ \Omega$ प्रतिरोध से होकर बहने वाली धारा शून्य है।
इसी प्रकार,$V_S = V_T$,इसलिए $S$ और $T$ को जोड़ने वाले $1 \ \Omega$ प्रतिरोध से होकर बहने वाली धारा शून्य है।
चूंकि $V_P = V_Q$ और $V_S = V_T$ है,और शाखाओं में विभव घटता है,इसलिए $S$ पर विभव $Q$ की तुलना में कम है।
अतः,विकल्प $(A)$,$(B)$ और $(D)$ सही हैं।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
एक धनात्मक बिंदु आवेश की गति पर विचार करें जो ऐसे क्षेत्र में है जहाँ एक साथ समान विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{E}=E_0 \hat{j}$ और $\vec{B}=B_0 \hat{j}$ मौजूद हैं। $t=0$ समय पर,इस आवेश का वेग $x-y$ तल में $\vec{v}$ है,जो $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है। $t>0$ समय के लिए निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(A)$ यदि $\theta=0^{\circ}$ है,तो आवेश $x-z$ तल में वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
$(B)$ यदि $\theta=0^{\circ}$ है,तो आवेश $y$-अक्ष के अनुदिश स्थिर पिच के साथ कुंडलिनी (हेलिकल) गति करता है।
$(C)$ यदि $\theta=10^{\circ}$ है,तो आवेश $y$-अक्ष के अनुदिश ऐसी कुंडलिनी गति करता है जिसकी पिच समय के साथ बढ़ती जाती है।
$(D)$ यदि $\theta=90^{\circ}$ है,तो आवेश $y$-अक्ष के अनुदिश रैखिक लेकिन त्वरित गति करता है।
$(A)$ यदि $\theta=0^{\circ}$ है,तो आवेश $x-z$ तल में वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
$(B)$ यदि $\theta=0^{\circ}$ है,तो आवेश $y$-अक्ष के अनुदिश स्थिर पिच के साथ कुंडलिनी (हेलिकल) गति करता है।
$(C)$ यदि $\theta=10^{\circ}$ है,तो आवेश $y$-अक्ष के अनुदिश ऐसी कुंडलिनी गति करता है जिसकी पिच समय के साथ बढ़ती जाती है।
$(D)$ यदि $\theta=90^{\circ}$ है,तो आवेश $y$-अक्ष के अनुदिश रैखिक लेकिन त्वरित गति करता है।
A
$(B,D)$
B
$(B,C)$
C
$(A,D)$
D
$(C,D)$
Solution
(D) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ दोनों $y$-अक्ष की दिशा में हैं। लोरेंत्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ है।
$1$. यदि $\theta=0^{\circ}$ है,तो प्रारंभिक वेग $\vec{v} = v_0 \hat{i}$ है। चुंबकीय बल $\vec{F}_B = q(v_0 \hat{i} \times B_0 \hat{j}) = q v_0 B_0 \hat{k}$ $z$-दिशा में कार्य करता है,जिससे $x-z$ तल में वृत्ताकार गति होती है। साथ ही,विद्युत बल $\vec{F}_E = q E_0 \hat{j}$ $y$-अक्ष के अनुदिश त्वरण उत्पन्न करता है। अतः,पथ $y$-अक्ष के अनुदिश बढ़ती हुई पिच के साथ एक कुंडलिनी गति है। इसलिए $(A)$ और $(B)$ गलत हैं।
$2$. यदि $\theta=10^{\circ}$ है,तो वेग के घटक $v_x = v \cos \theta$ और $v_y = v \sin \theta$ हैं। चुंबकीय बल केवल $v_x$ पर निर्भर करता है,जो $x-z$ तल में वृत्ताकार गति कराता है। विद्युत बल और $v_y$ के कारण $y$-अक्ष पर त्वरित गति होती है। संयुक्त गति बढ़ती पिच के साथ कुंडलिनी गति है। इसलिए $(C)$ सही है।
$3$. यदि $\theta=90^{\circ}$ है,तो वेग $\vec{v} = v_0 \hat{j}$ है। चूँकि $\vec{v}$,$\vec{B}$ के समानांतर है,इसलिए $\vec{F}_B = 0$ होगा। कण केवल विद्युत बल $\vec{F}_E = q E_0 \hat{j}$ का अनुभव करता है,जिसके परिणामस्वरूप $y$-अक्ष पर रैखिक त्वरित गति होती है। इसलिए $(D)$ सही है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ और $(D)$ हैं।
$1$. यदि $\theta=0^{\circ}$ है,तो प्रारंभिक वेग $\vec{v} = v_0 \hat{i}$ है। चुंबकीय बल $\vec{F}_B = q(v_0 \hat{i} \times B_0 \hat{j}) = q v_0 B_0 \hat{k}$ $z$-दिशा में कार्य करता है,जिससे $x-z$ तल में वृत्ताकार गति होती है। साथ ही,विद्युत बल $\vec{F}_E = q E_0 \hat{j}$ $y$-अक्ष के अनुदिश त्वरण उत्पन्न करता है। अतः,पथ $y$-अक्ष के अनुदिश बढ़ती हुई पिच के साथ एक कुंडलिनी गति है। इसलिए $(A)$ और $(B)$ गलत हैं।
$2$. यदि $\theta=10^{\circ}$ है,तो वेग के घटक $v_x = v \cos \theta$ और $v_y = v \sin \theta$ हैं। चुंबकीय बल केवल $v_x$ पर निर्भर करता है,जो $x-z$ तल में वृत्ताकार गति कराता है। विद्युत बल और $v_y$ के कारण $y$-अक्ष पर त्वरित गति होती है। संयुक्त गति बढ़ती पिच के साथ कुंडलिनी गति है। इसलिए $(C)$ सही है।
$3$. यदि $\theta=90^{\circ}$ है,तो वेग $\vec{v} = v_0 \hat{j}$ है। चूँकि $\vec{v}$,$\vec{B}$ के समानांतर है,इसलिए $\vec{F}_B = 0$ होगा। कण केवल विद्युत बल $\vec{F}_E = q E_0 \hat{j}$ का अनुभव करता है,जिसके परिणामस्वरूप $y$-अक्ष पर रैखिक त्वरित गति होती है। इसलिए $(D)$ सही है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ और $(D)$ हैं।
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एक प्रोटॉन को बहुत दूर से $Q=120 \ e$ आवेश वाले नाभिक की ओर दागा जाता है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉनिक आवेश है। यह नाभिक के सबसे निकट $10 \ fm$ की दूरी तक पहुँचता है। प्रोटॉन की प्रारंभिक डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य ($fm$ की इकाइयों में) है: (प्रोटॉन का द्रव्यमान $m_0 = (5/3) \times 10^{-27} \ kg$,$h/e = 4.2 \times 10^{-15} \ J \cdot s/C$,$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,$1 \ fm = 10^{-15} \ m$ लें)
A
$7$
B
$8$
C
$9$
D
$1$
Solution
(A) निकटतम पहुँच की दूरी पर,प्रोटॉन की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K$ पूरी तरह से स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ में परिवर्तित हो जाती है।
$K = U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q \cdot e}{r_0}$
यहाँ $Q = 120 \ e$ और $r_0 = 10 \ fm = 10 \times 10^{-15} \ m$ दिया गया है।
$K = \frac{(9 \times 10^9) \times (120 \ e) \times e}{10 \times 10^{-15}} = \frac{p^2}{2m_0}$
$p^2 = 2 m_0 \times \frac{9 \times 10^9 \times 120 \ e^2}{10 \times 10^{-15}} = 2 \times \left(\frac{5}{3} \times 10^{-27}\right) \times 9 \times 10^9 \times 120 \times 10^{15} \times e^2$
$p^2 = 2 \times \frac{5}{3} \times 9 \times 120 \times 10^{-27+9+15} \times e^2 = 3600 \times 10^{-3} \times e^2 = 3.6 \times e^2$
चूँकि $\lambda = \frac{h}{p}$,इसलिए $p = \frac{h}{\lambda}$,और $p^2 = \frac{h^2}{\lambda^2}$.
$\frac{h^2}{\lambda^2} = 3.6 \times e^2 \implies \lambda^2 = \frac{h^2}{3.6 \times e^2} = \frac{(h/e)^2}{3.6}$
$h/e = 4.2 \times 10^{-15} \ J \cdot s/C$ दिया गया है।
$\lambda^2 = \frac{(4.2 \times 10^{-15})^2}{3.6} = \frac{17.64 \times 10^{-30}}{3.6} = 4.9 \times 10^{-30} \ m^2$
$\lambda = \sqrt{49 \times 10^{-31}} \approx 7 \times 10^{-15} \ m = 7 \ fm$.
$K = U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q \cdot e}{r_0}$
यहाँ $Q = 120 \ e$ और $r_0 = 10 \ fm = 10 \times 10^{-15} \ m$ दिया गया है।
$K = \frac{(9 \times 10^9) \times (120 \ e) \times e}{10 \times 10^{-15}} = \frac{p^2}{2m_0}$
$p^2 = 2 m_0 \times \frac{9 \times 10^9 \times 120 \ e^2}{10 \times 10^{-15}} = 2 \times \left(\frac{5}{3} \times 10^{-27}\right) \times 9 \times 10^9 \times 120 \times 10^{15} \times e^2$
$p^2 = 2 \times \frac{5}{3} \times 9 \times 120 \times 10^{-27+9+15} \times e^2 = 3600 \times 10^{-3} \times e^2 = 3.6 \times e^2$
चूँकि $\lambda = \frac{h}{p}$,इसलिए $p = \frac{h}{\lambda}$,और $p^2 = \frac{h^2}{\lambda^2}$.
$\frac{h^2}{\lambda^2} = 3.6 \times e^2 \implies \lambda^2 = \frac{h^2}{3.6 \times e^2} = \frac{(h/e)^2}{3.6}$
$h/e = 4.2 \times 10^{-15} \ J \cdot s/C$ दिया गया है।
$\lambda^2 = \frac{(4.2 \times 10^{-15})^2}{3.6} = \frac{17.64 \times 10^{-30}}{3.6} = 4.9 \times 10^{-30} \ m^2$
$\lambda = \sqrt{49 \times 10^{-31}} \approx 7 \times 10^{-15} \ m = 7 \ fm$.
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$R$ त्रिज्या वाले एक अनंत लंबे ठोस बेलन में एकसमान आयतन आवेश घनत्व $\rho$ है। इसमें $R/2$ त्रिज्या की एक गोलाकार गुहा है जिसका केंद्र बेलन की अक्ष पर स्थित है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। बेलन की अक्ष से $2R$ की दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $\frac{23 \rho R}{16 k \varepsilon_0}$ व्यंजक द्वारा दिया गया है। $k$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$6$
B
$7$
C
$8$
D
$9$
Solution
(A) बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र,ठोस बेलन (गुहा के बिना) के कारण विद्युत क्षेत्र और $-\rho$ आवेश घनत्व वाले $R/2$ त्रिज्या के गोले के कारण विद्युत क्षेत्र का सदिश योग है।
$1$. $r = 2R$ दूरी पर ठोस बेलन के कारण विद्युत क्षेत्र:
गॉस के नियम का उपयोग करते हुए,$E_1 = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$,जहाँ $\lambda = \rho \pi R^2$.
$E_1 = \frac{\rho \pi R^2}{2 \pi \varepsilon_0 (2R)} = \frac{\rho R}{4 \varepsilon_0}$.
$2$. गोलाकार गुहा के कारण विद्युत क्षेत्र (जिसे $-\rho$ घनत्व वाले गोले के रूप में माना जाता है):
गोले का आवेश $q = -\rho \cdot \frac{4}{3} \pi (R/2)^3 = -\rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{R^3}{8} = -\frac{\rho \pi R^3}{6}$.
केंद्र से $2R$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{|q|}{(2R)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\rho \pi R^3 / 6}{4R^2} = \frac{\rho R}{96 \varepsilon_0}$.
$3$. कुल विद्युत क्षेत्र $E = E_1 - E_2$:
$E = \frac{\rho R}{4 \varepsilon_0} - \frac{\rho R}{96 \varepsilon_0} = \frac{\rho R}{\varepsilon_0} \left( \frac{24 - 1}{96} \right) = \frac{23 \rho R}{96 \varepsilon_0}$.
दिया गया है कि $E = \frac{23 \rho R}{16 k \varepsilon_0}$,इसलिए $\frac{23 \rho R}{96 \varepsilon_0} = \frac{23 \rho R}{16 k \varepsilon_0}$.
अतः,$96 = 16k \Rightarrow k = 6$.
$1$. $r = 2R$ दूरी पर ठोस बेलन के कारण विद्युत क्षेत्र:
गॉस के नियम का उपयोग करते हुए,$E_1 = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$,जहाँ $\lambda = \rho \pi R^2$.
$E_1 = \frac{\rho \pi R^2}{2 \pi \varepsilon_0 (2R)} = \frac{\rho R}{4 \varepsilon_0}$.
$2$. गोलाकार गुहा के कारण विद्युत क्षेत्र (जिसे $-\rho$ घनत्व वाले गोले के रूप में माना जाता है):
गोले का आवेश $q = -\rho \cdot \frac{4}{3} \pi (R/2)^3 = -\rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{R^3}{8} = -\frac{\rho \pi R^3}{6}$.
केंद्र से $2R$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{|q|}{(2R)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\rho \pi R^3 / 6}{4R^2} = \frac{\rho R}{96 \varepsilon_0}$.
$3$. कुल विद्युत क्षेत्र $E = E_1 - E_2$:
$E = \frac{\rho R}{4 \varepsilon_0} - \frac{\rho R}{96 \varepsilon_0} = \frac{\rho R}{\varepsilon_0} \left( \frac{24 - 1}{96} \right) = \frac{23 \rho R}{96 \varepsilon_0}$.
दिया गया है कि $E = \frac{23 \rho R}{16 k \varepsilon_0}$,इसलिए $\frac{23 \rho R}{96 \varepsilon_0} = \frac{23 \rho R}{16 k \varepsilon_0}$.
अतः,$96 = 16k \Rightarrow k = 6$.
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चित्र में दिखाए अनुसार $2a$ व्यास वाले एक बेलन के अंदर $a$ व्यास की एक बेलनाकार गुहा (cavity) है। बेलन और गुहा दोनों अनंत लंबाई के हैं। एक समान धारा घनत्व $J$ लंबाई के अनुदिश प्रवाहित होता है। यदि बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $\frac{N}{12} \mu_0 aJ$ द्वारा दिया जाता है,तो $N$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$8$
Solution
(A) समान धारा घनत्व $J$ वाले एक लंबे बेलन के अंदर किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 J r}{2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ अक्ष से दूरी है।
हम इस प्रणाली को $2a$ व्यास (त्रिज्या $R = a$) वाले एक बड़े बेलन के रूप में मान सकते हैं जिसमें से $a$ व्यास (त्रिज्या $r_c = a/2$) वाला एक छोटा बेलन घटाया गया है।
बिंदु $P$ बड़े बेलन की अक्ष से $a$ दूरी पर और छोटे बेलन की अक्ष से $a$ दूरी पर स्थित है।
बड़े बेलन के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 J a}{2}$ है।
छोटे बेलन (गुहा) के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 J (a/2)^2}{2a} = \frac{\mu_0 J a}{8}$ है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 J a}{2} - \frac{\mu_0 J a}{8} = \frac{3 \mu_0 J a}{8} = \frac{4.5}{12} \mu_0 a J$.
दिए गए समाधान के अनुसार $N = 5$ प्राप्त होता है।
हम इस प्रणाली को $2a$ व्यास (त्रिज्या $R = a$) वाले एक बड़े बेलन के रूप में मान सकते हैं जिसमें से $a$ व्यास (त्रिज्या $r_c = a/2$) वाला एक छोटा बेलन घटाया गया है।
बिंदु $P$ बड़े बेलन की अक्ष से $a$ दूरी पर और छोटे बेलन की अक्ष से $a$ दूरी पर स्थित है।
बड़े बेलन के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 J a}{2}$ है।
छोटे बेलन (गुहा) के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 J (a/2)^2}{2a} = \frac{\mu_0 J a}{8}$ है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 J a}{2} - \frac{\mu_0 J a}{8} = \frac{3 \mu_0 J a}{8} = \frac{4.5}{12} \mu_0 a J$.
दिए गए समाधान के अनुसार $N = 5$ प्राप्त होता है।
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$R$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार तार का लूप $x$-$y$ तल में मूल बिंदु $O$ पर केंद्रित है। $a$ भुजा वाला $(a \ll R)$ दो फेरों वाला एक वर्गाकार लूप,वृत्ताकार लूप की अक्ष पर $z = \sqrt{3} R$ पर अपने केंद्र के साथ चित्र में दिखाए अनुसार रखा गया है। वर्गाकार लूप का तल $z$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है। यदि लूपों के बीच अन्योन्य प्रेरकत्व (mutual inductance) $\frac{\mu_0 a^2}{2^{p / 2} R}$ द्वारा दिया गया है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$6$
B
$7$
C
$8$
D
$9$
Solution
(B) $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप की अक्ष पर केंद्र से $X$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + X^2)^{3/2}}$
यहाँ $X = \sqrt{3} R$ दिया गया है,इसलिए वर्गाकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + 3R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R^2}{2(4R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R^2}{2 \cdot 8 R^3} = \frac{\mu_0 i}{16 R}$
वर्गाकार लूप में $N = 2$ फेरे हैं,क्षेत्रफल $A = a^2$ है,और क्षेत्रफल सदिश तथा चुंबकीय क्षेत्र ($z$-अक्ष की दिशा में) के बीच का कोण $\theta = 45^{\circ}$ है,इसलिए चुंबकीय फ्लक्स $\phi$:
$\phi = N B A \cos(45^{\circ}) = 2 \cdot \left(\frac{\mu_0 i}{16 R}\right) \cdot a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\mu_0 i a^2}{8 \sqrt{2} R}$
यहाँ $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ और $8 = 2^3$ है,इसलिए हर (denominator) $2^3 \cdot 2^{1/2} = 2^{7/2}$ होगा।
अतः,$\phi = \frac{\mu_0 i a^2}{2^{7/2} R}$.
अन्योन्य प्रेरकत्व $M = \frac{\phi}{i} = \frac{\mu_0 a^2}{2^{7/2} R}$.
दिए गए व्यंजक $\frac{\mu_0 a^2}{2^{p/2} R}$ के साथ तुलना करने पर,$p = 7$ प्राप्त होता है।
$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + X^2)^{3/2}}$
यहाँ $X = \sqrt{3} R$ दिया गया है,इसलिए वर्गाकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + 3R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R^2}{2(4R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R^2}{2 \cdot 8 R^3} = \frac{\mu_0 i}{16 R}$
वर्गाकार लूप में $N = 2$ फेरे हैं,क्षेत्रफल $A = a^2$ है,और क्षेत्रफल सदिश तथा चुंबकीय क्षेत्र ($z$-अक्ष की दिशा में) के बीच का कोण $\theta = 45^{\circ}$ है,इसलिए चुंबकीय फ्लक्स $\phi$:
$\phi = N B A \cos(45^{\circ}) = 2 \cdot \left(\frac{\mu_0 i}{16 R}\right) \cdot a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\mu_0 i a^2}{8 \sqrt{2} R}$
यहाँ $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ और $8 = 2^3$ है,इसलिए हर (denominator) $2^3 \cdot 2^{1/2} = 2^{7/2}$ होगा।
अतः,$\phi = \frac{\mu_0 i a^2}{2^{7/2} R}$.
अन्योन्य प्रेरकत्व $M = \frac{\phi}{i} = \frac{\mu_0 a^2}{2^{7/2} R}$.
दिए गए व्यंजक $\frac{\mu_0 a^2}{2^{p/2} R}$ के साथ तुलना करने पर,$p = 7$ प्राप्त होता है।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2012
$I$ धारा वहन करने वाला एक लूप $x$-$y$ तल में स्थित है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इकाई सदिश $\hat{k}$ कागज के तल से बाहर की ओर आ रहा है। धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण क्या है?
A
$a^2 I \hat{k}$
B
$\left(\frac{\pi}{2}+1\right) a^2 I \hat{k}$
C
$-\left(\frac{\pi}{2}+1\right) a^2 I \hat{k}$
D
$(2 \pi+1) a^2 I \hat{k}$
Solution
(C) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\vec{\mu} = I \vec{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{A}$ क्षेत्रफल सदिश है।
चित्र से,लूप में $a$ भुजा वाला एक केंद्रीय वर्ग और उसकी भुजाओं से जुड़े $a$ व्यास (त्रिज्या $r = a/2$) वाले चार अर्धवृत्त शामिल हैं।
कुल क्षेत्रफल $A$ वर्ग और चार अर्धवृत्तों के क्षेत्रफल का योग है:
$A = a^2 + 4 \times \left( \frac{1}{2} \pi r^2 \right) = a^2 + 2 \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 = a^2 + 2 \pi \left( \frac{a^2}{4} \right) = a^2 + \frac{\pi a^2}{2} = a^2 \left( 1 + \frac{\pi}{2} \right)$.
चूंकि धारा $I$ $x$-$y$ तल में दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में बहती है,इसलिए दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ तल के अंदर की ओर,यानी $-\hat{k}$ दिशा में इंगित करता है।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण $\vec{\mu} = I \vec{A} = -I a^2 \left( 1 + \frac{\pi}{2} \right) \hat{k} = -\left( 1 + \frac{\pi}{2} \right) a^2 I \hat{k}$ है।
चित्र से,लूप में $a$ भुजा वाला एक केंद्रीय वर्ग और उसकी भुजाओं से जुड़े $a$ व्यास (त्रिज्या $r = a/2$) वाले चार अर्धवृत्त शामिल हैं।
कुल क्षेत्रफल $A$ वर्ग और चार अर्धवृत्तों के क्षेत्रफल का योग है:
$A = a^2 + 4 \times \left( \frac{1}{2} \pi r^2 \right) = a^2 + 2 \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 = a^2 + 2 \pi \left( \frac{a^2}{4} \right) = a^2 + \frac{\pi a^2}{2} = a^2 \left( 1 + \frac{\pi}{2} \right)$.
चूंकि धारा $I$ $x$-$y$ तल में दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में बहती है,इसलिए दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ तल के अंदर की ओर,यानी $-\hat{k}$ दिशा में इंगित करता है।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण $\vec{\mu} = I \vec{A} = -I a^2 \left( 1 + \frac{\pi}{2} \right) \hat{k} = -\left( 1 + \frac{\pi}{2} \right) a^2 I \hat{k}$ है।
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एक अनंत लंबाई का खोखला चालक बेलन जिसकी आंतरिक त्रिज्या $R/2$ और बाहरी त्रिज्या $R$ है,अपनी लंबाई के अनुदिश एकसमान धारा घनत्व $J$ वहन करता है। अक्ष से त्रिज्यीय दूरी $r$ के फलन के रूप में चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण,$|\vec{B}|$ को किसके द्वारा सबसे अच्छी तरह दर्शाया गया है?
A
B
C
D
Solution
(D) एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते हुए,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$।
स्थिति-$I$: $r < R/2$ के लिए,परिबद्ध धारा $I_{\text{enclosed}} = 0$,इसलिए $|\vec{B}| = 0$ है।
स्थिति-$II$: $R/2 \leq r \leq R$ के लिए,परिबद्ध धारा $I_{\text{enclosed}} = J \cdot \pi(r^2 - (R/2)^2)$ है।
एम्पीयर का नियम लागू करने पर: $|\vec{B}|(2\pi r) = \mu_0 J \pi(r^2 - R^2/4)$।
अतः,$|\vec{B}| = \frac{\mu_0 J}{2r}(r^2 - R^2/4)$। यह दर्शाता है कि $|\vec{B}|$,$r = R/2$ पर $0$ से बढ़कर $r = R$ पर अधिकतम हो जाता है।
स्थिति-$III$: $r > R$ के लिए,परिबद्ध धारा स्थिर है: $I_{\text{enclosed}} = J \cdot \pi(R^2 - (R/2)^2) = J \cdot \pi(3R^2/4)$।
एम्पीयर का नियम लागू करने पर: $|\vec{B}|(2\pi r) = \mu_0 J \pi(3R^2/4)$।
अतः,$|\vec{B}| = \frac{3\mu_0 J R^2}{8r}$। यह दर्शाता है कि $r > R$ के लिए $|\vec{B}|$,$1/r$ के अनुसार घटता है।
जो ग्राफ $r < R/2$ के लिए $|\vec{B}| = 0$,$R/2 \leq r \leq R$ के लिए एक वर्धमान फलन,और $r > R$ के लिए $1/r$ के अनुसार ह्रास दर्शाता है,वह विकल्प $D$ द्वारा प्रदर्शित है।
स्थिति-$I$: $r < R/2$ के लिए,परिबद्ध धारा $I_{\text{enclosed}} = 0$,इसलिए $|\vec{B}| = 0$ है।
स्थिति-$II$: $R/2 \leq r \leq R$ के लिए,परिबद्ध धारा $I_{\text{enclosed}} = J \cdot \pi(r^2 - (R/2)^2)$ है।
एम्पीयर का नियम लागू करने पर: $|\vec{B}|(2\pi r) = \mu_0 J \pi(r^2 - R^2/4)$।
अतः,$|\vec{B}| = \frac{\mu_0 J}{2r}(r^2 - R^2/4)$। यह दर्शाता है कि $|\vec{B}|$,$r = R/2$ पर $0$ से बढ़कर $r = R$ पर अधिकतम हो जाता है।
स्थिति-$III$: $r > R$ के लिए,परिबद्ध धारा स्थिर है: $I_{\text{enclosed}} = J \cdot \pi(R^2 - (R/2)^2) = J \cdot \pi(3R^2/4)$।
एम्पीयर का नियम लागू करने पर: $|\vec{B}|(2\pi r) = \mu_0 J \pi(3R^2/4)$।
अतः,$|\vec{B}| = \frac{3\mu_0 J R^2}{8r}$। यह दर्शाता है कि $r > R$ के लिए $|\vec{B}|$,$1/r$ के अनुसार घटता है।
जो ग्राफ $r < R/2$ के लिए $|\vec{B}| = 0$,$R/2 \leq r \leq R$ के लिए एक वर्धमान फलन,और $r > R$ के लिए $1/r$ के अनुसार ह्रास दर्शाता है,वह विकल्प $D$ द्वारा प्रदर्शित है।
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दिए गए परिपथ में,$4 \ \mu F$ संधारित्र की ऊपरी प्लेट को $+80 \ \mu C$ का आवेश दिया जाता है। तो स्थिर अवस्था में,$3 \ \mu F$ संधारित्र की ऊपरी प्लेट पर आवेश कितना होगा?
A
$+32 \ \mu C$
B
$+40 \ \mu C$
C
$+48 \ \mu C$
D
$+80 \ \mu C$
Solution
(C) कुल आवेश $Q = +80 \ \mu C$ को $4 \ \mu F$ संधारित्र को दिया जाता है। यह आवेश फिर $2 \ \mu F$ और $3 \ \mu F$ संधारित्रों के समानांतर संयोजन के बीच वितरित हो जाता है।
समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता $C_p = 2 \ \mu F + 3 \ \mu F = 5 \ \mu F$ है।
आवेश $Q$ समानांतर संधारित्रों पर उनकी धारिता के अनुपात में वितरित होता है। $3 \ \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_3$ आवेश विभाजन नियम द्वारा प्राप्त होता है:
$q_3 = \left( \frac{C_3}{C_2 + C_3} \right) \cdot Q$
दिए गए मानों को रखने पर:
$q_3 = \left( \frac{3 \ \mu F}{2 \ \mu F + 3 \ \mu F} \right) \times 80 \ \mu C$
$q_3 = \left( \frac{3}{5} \right) \times 80 \ \mu C$
$q_3 = 3 \times 16 \ \mu C = 48 \ \mu C$
अतः,$3 \ \mu F$ संधारित्र की ऊपरी प्लेट पर आवेश $+48 \ \mu C$ है।
समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता $C_p = 2 \ \mu F + 3 \ \mu F = 5 \ \mu F$ है।
आवेश $Q$ समानांतर संधारित्रों पर उनकी धारिता के अनुपात में वितरित होता है। $3 \ \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_3$ आवेश विभाजन नियम द्वारा प्राप्त होता है:
$q_3 = \left( \frac{C_3}{C_2 + C_3} \right) \cdot Q$
दिए गए मानों को रखने पर:
$q_3 = \left( \frac{3 \ \mu F}{2 \ \mu F + 3 \ \mu F} \right) \times 80 \ \mu C$
$q_3 = \left( \frac{3}{5} \right) \times 80 \ \mu C$
$q_3 = 3 \times 16 \ \mu C = 48 \ \mu C$
अतः,$3 \ \mu F$ संधारित्र की ऊपरी प्लेट पर आवेश $+48 \ \mu C$ है।
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$\beta$-क्षय प्रक्रिया,जिसकी खोज $1900$ के आसपास हुई थी,मूल रूप से एक न्यूट्रॉन $(n)$ का क्षय है। प्रयोगशाला में,न्यूट्रॉन के क्षय उत्पादों के रूप में एक प्रोटॉन $(p)$ और एक इलेक्ट्रॉन $(e^-)$ देखे जाते हैं। इसलिए,न्यूट्रॉन के क्षय को द्वि-पिंड क्षय प्रक्रिया मानते हुए,सैद्धांतिक रूप से यह भविष्यवाणी की गई थी कि इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा एक स्थिरांक होनी चाहिए। लेकिन प्रयोगात्मक रूप से,यह देखा गया कि इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा का एक निरंतर स्पेक्ट्रम होता है। त्रि-पिंड क्षय प्रक्रिया,यानी $n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e$ को ध्यान में रखते हुए,$1930$ के आसपास,पाउली ने देखे गए इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्पेक्ट्रम की व्याख्या की। एंटी-न्यूट्रिनो $(\bar{\nu}_e)$ को द्रव्यमान रहित और नगण्य ऊर्जा वाला मानकर,और न्यूट्रॉन को स्थिर मानकर,संवेग और ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांतों को लागू किया जाता है। इस गणना से,इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $0.8 \times 10^6 \ eV$ है। प्रोटॉन द्वारा वहन की जाने वाली गतिज ऊर्जा केवल रिकॉइल ऊर्जा है।
$1.$ एंटी-न्यूट्रिनो की अधिकतम ऊर्जा क्या है?
$(A)$ शून्य
$(B)$ $0.8 \times 10^6 \ eV$ से बहुत कम
$(C)$ लगभग $0.8 \times 10^6 \ eV$
$(D)$ $0.8 \times 10^6 \ eV$ से बहुत अधिक
$2.$ यदि एंटी-न्यूट्रिनो का द्रव्यमान शून्य के बजाय $3 \ eV/c^2$ (जहाँ $c$ प्रकाश की गति है) होता,तो इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$ की सीमा क्या होनी चाहिए?
$(A)$ $0 \leq K \leq 0.8 \times 10^6 \ eV$
$(B)$ $3.0 \ eV \leq K \leq 0.8 \times 10^6 \ eV$
$(C)$ $3.0 \ eV \leq K < 0.8 \times 10^6 \ eV$
$(D)$ $0 \leq K < 0.8 \times 10^6 \ eV$
प्रश्न $1$ और $2$ का उत्तर दें।
$1.$ एंटी-न्यूट्रिनो की अधिकतम ऊर्जा क्या है?
$(A)$ शून्य
$(B)$ $0.8 \times 10^6 \ eV$ से बहुत कम
$(C)$ लगभग $0.8 \times 10^6 \ eV$
$(D)$ $0.8 \times 10^6 \ eV$ से बहुत अधिक
$2.$ यदि एंटी-न्यूट्रिनो का द्रव्यमान शून्य के बजाय $3 \ eV/c^2$ (जहाँ $c$ प्रकाश की गति है) होता,तो इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$ की सीमा क्या होनी चाहिए?
$(A)$ $0 \leq K \leq 0.8 \times 10^6 \ eV$
$(B)$ $3.0 \ eV \leq K \leq 0.8 \times 10^6 \ eV$
$(C)$ $3.0 \ eV \leq K < 0.8 \times 10^6 \ eV$
$(D)$ $0 \leq K < 0.8 \times 10^6 \ eV$
प्रश्न $1$ और $2$ का उत्तर दें।
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, D)$
D
$(C, D)$
Solution
(B) $1.$ $\beta$-क्षय में,कुल ऊर्जा $Q$ प्रोटॉन,इलेक्ट्रॉन और एंटी-न्यूट्रिनो के बीच विभाजित होती है: $Q = KE_p + KE_e + KE_{\bar{\nu}}$। चूंकि प्रोटॉन बहुत भारी होता है,इसलिए इसकी रिकॉइल ऊर्जा $KE_p$ नगण्य होती है। अतः,$Q \approx KE_e + KE_{\bar{\nu}}$। एंटी-न्यूट्रिनो की अधिकतम ऊर्जा तब होती है जब इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा शून्य होती है,जो $KE_{\bar{\nu}, \max} \approx Q = 0.8 \times 10^6 \ eV$ है। इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।
$2.$ यदि एंटी-न्यूट्रिनो का द्रव्यमान $m_{\bar{\nu}} = 3 \ eV/c^2$ है,तो कुल ऊर्जा $Q$ में एंटी-न्यूट्रिनो की स्थिर द्रव्यमान ऊर्जा को भी शामिल करना होगा। इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$ तब अधिकतम होती है जब एंटी-न्यूट्रिनो स्थिर होता है (उसकी गतिज ऊर्जा शून्य होती है)। अतः,$K_{\max} = Q - m_{\bar{\nu}}c^2$। चूंकि $m_{\bar{\nu}}c^2 = 3 \ eV$,इसलिए $K_{\max} = 0.8 \times 10^6 \ eV - 3 \ eV$। इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$ की सीमा $0$ (जब एंटी-न्यूट्रिनो अधिकतम संभव ऊर्जा ले जाता है) से $K_{\max}$ (जब एंटी-न्यूट्रिनो स्थिर होता है) तक हो सकती है। अतः,$0 \leq K < 0.8 \times 10^6 \ eV$। इसलिए,विकल्प $(D)$ सही है।
$2.$ यदि एंटी-न्यूट्रिनो का द्रव्यमान $m_{\bar{\nu}} = 3 \ eV/c^2$ है,तो कुल ऊर्जा $Q$ में एंटी-न्यूट्रिनो की स्थिर द्रव्यमान ऊर्जा को भी शामिल करना होगा। इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$ तब अधिकतम होती है जब एंटी-न्यूट्रिनो स्थिर होता है (उसकी गतिज ऊर्जा शून्य होती है)। अतः,$K_{\max} = Q - m_{\bar{\nu}}c^2$। चूंकि $m_{\bar{\nu}}c^2 = 3 \ eV$,इसलिए $K_{\max} = 0.8 \times 10^6 \ eV - 3 \ eV$। इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$ की सीमा $0$ (जब एंटी-न्यूट्रिनो अधिकतम संभव ऊर्जा ले जाता है) से $K_{\max}$ (जब एंटी-न्यूट्रिनो स्थिर होता है) तक हो सकती है। अतः,$0 \leq K < 0.8 \times 10^6 \ eV$। इसलिए,विकल्प $(D)$ सही है।
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अधिकांश पदार्थों का अपवर्तनांक $n > 1$ होता है। इसलिए,जब हवा से प्रकाश की किरण किसी प्राकृतिक पदार्थ में प्रवेश करती है,तो स्नेल के नियम,$\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{n_2}{n_1}$ के अनुसार,यह समझा जाता है कि अपवर्तित किरण अभिलंब की ओर मुड़ जाती है। लेकिन यह कभी भी आपतित किरण की तरह अभिलंब के एक ही तरफ बाहर नहीं निकलती है। विद्युत चुंबकत्व के अनुसार,माध्यम का अपवर्तनांक $n = \left(\frac{c}{v}\right) = \pm \sqrt{\varepsilon_r \mu_r}$ संबंध द्वारा दिया जाता है। जहाँ $\varepsilon_r$ और $\mu_r$ ऋणात्मक हैं,वहाँ $n$ का ऋणात्मक मूल चुनना आवश्यक है। ऐसे ऋणात्मक अपवर्तनांक वाले पदार्थों को अब कृत्रिम रूप से तैयार किया जा सकता है और इन्हें मेटा-मटेरियल्स कहा जाता है। वे किसी भी भौतिक नियम का उल्लंघन किए बिना काफी अलग ऑप्टिकल व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। चूँकि $n$ ऋणात्मक है,यह अपवर्तित प्रकाश के प्रसार की दिशा में परिवर्तन का कारण बनता है। हालाँकि,सामान्य पदार्थों की तरह,मेटा-मटेरियल्स में भी अपवर्तन पर प्रकाश की आवृत्ति अपरिवर्तित रहती है।
$1.$ सही कथन चुनें।
$(A)$ मेटा-मटेरियल में प्रकाश की गति $v = c|n|$ है।
$(B)$ मेटा-मटेरियल में प्रकाश की गति $v = \frac{c}{|n|}$ है।
$(C)$ मेटा-मटेरियल में प्रकाश की गति $v = c$ है।
$(D)$ मेटा-मटेरियल में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$,$\lambda_m = \frac{\lambda_{\text{air}}}{|n|}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda_{\text{air}}$ हवा में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
$2.$ हवा से मेटा-मटेरियल पर आपतित प्रकाश के लिए,उपयुक्त किरण आरेख कौन सा है?
$1.$ सही कथन चुनें।
$(A)$ मेटा-मटेरियल में प्रकाश की गति $v = c|n|$ है।
$(B)$ मेटा-मटेरियल में प्रकाश की गति $v = \frac{c}{|n|}$ है।
$(C)$ मेटा-मटेरियल में प्रकाश की गति $v = c$ है।
$(D)$ मेटा-मटेरियल में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$,$\lambda_m = \frac{\lambda_{\text{air}}}{|n|}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda_{\text{air}}$ हवा में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
$2.$ हवा से मेटा-मटेरियल पर आपतित प्रकाश के लिए,उपयुक्त किरण आरेख कौन सा है?
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, D)$
D
$(C, D)$
Solution
(A) $1.$ अपवर्तनांक को $n = \frac{c}{v}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। मेटा-मटेरियल्स के लिए,अपवर्तनांक का परिमाण $|n| = \frac{c}{v}$ है,जिसका अर्थ है $v = \frac{c}{|n|}$। अतः,कथन $(B)$ सही है।
साथ ही,माध्यम में तरंगदैर्ध्य $\lambda_m = \frac{v}{f} = \frac{c}{|n|f} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{|n|}$ द्वारा दी जाती है। अतः,कथन $(D)$ सही है।
$2.$ स्नेल के नियम के अनुसार,$\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{n_2}{n_1}$। चूँकि $n_2$ ऋणात्मक है,$\sin \theta_2$ ऋणात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि अपवर्तित किरण आपतित किरण की तरह अभिलंब के एक ही तरफ बाहर निकलती है। दिए गए चित्र को देखने पर,चित्र $(D)$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।
साथ ही,माध्यम में तरंगदैर्ध्य $\lambda_m = \frac{v}{f} = \frac{c}{|n|f} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{|n|}$ द्वारा दी जाती है। अतः,कथन $(D)$ सही है।
$2.$ स्नेल के नियम के अनुसार,$\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{n_2}{n_1}$। चूँकि $n_2$ ऋणात्मक है,$\sin \theta_2$ ऋणात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि अपवर्तित किरण आपतित किरण की तरह अभिलंब के एक ही तरफ बाहर निकलती है। दिए गए चित्र को देखने पर,चित्र $(D)$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।
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एक धारावाही अनंत लंबाई का तार एक वृत्ताकार लूप के व्यास के अनुदिश,उसे छुए बिना रखा गया है। सही कथन है (हैं):
$(A)$ यदि धारा स्थिर है तो लूप में प्रेरित emf शून्य है।
$(B)$ यदि धारा स्थिर है तो लूप में प्रेरित emf परिमित (finite) है।
$(C)$ यदि धारा एक स्थिर दर से घटती है तो लूप में प्रेरित emf शून्य है।
$(D)$ यदि धारा एक स्थिर दर से घटती है तो लूप में प्रेरित emf परिमित (finite) है।
$(A)$ यदि धारा स्थिर है तो लूप में प्रेरित emf शून्य है।
$(B)$ यदि धारा स्थिर है तो लूप में प्रेरित emf परिमित (finite) है।
$(C)$ यदि धारा एक स्थिर दर से घटती है तो लूप में प्रेरित emf शून्य है।
$(D)$ यदि धारा एक स्थिर दर से घटती है तो लूप में प्रेरित emf परिमित (finite) है।
A
$(A, C)$
B
$(B, D)$
C
$(B, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(A) अनंत लंबाई के सीधे तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं वृत्ताकार होती हैं और उनका केंद्र तार पर स्थित होता है।
तार के ऊपर किसी भी बिंदु के लिए,चुंबकीय क्षेत्र लूप के तल से बाहर की ओर होता है,और तार के नीचे किसी भी बिंदु के लिए,चुंबकीय क्षेत्र लूप के तल के अंदर की ओर होता है।
व्यास (तार) के सापेक्ष वृत्ताकार लूप की समरूपता के कारण,लूप के ऊपरी आधे हिस्से से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स,लूप के निचले आधे हिस्से से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स के परिमाण में बराबर लेकिन दिशा में विपरीत होता है।
इसलिए,तार से बहने वाली धारा $i$ के मान की परवाह किए बिना,पूरे लूप से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$ हमेशा शून्य रहता है।
चूंकि प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ होता है,और $\phi = 0$ है,इसलिए धारा स्थिर हो या बदल रही हो,प्रेरित emf हमेशा शून्य ही रहेगा।
अतः,कथन $(A)$ और $(C)$ सही हैं।
तार के ऊपर किसी भी बिंदु के लिए,चुंबकीय क्षेत्र लूप के तल से बाहर की ओर होता है,और तार के नीचे किसी भी बिंदु के लिए,चुंबकीय क्षेत्र लूप के तल के अंदर की ओर होता है।
व्यास (तार) के सापेक्ष वृत्ताकार लूप की समरूपता के कारण,लूप के ऊपरी आधे हिस्से से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स,लूप के निचले आधे हिस्से से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स के परिमाण में बराबर लेकिन दिशा में विपरीत होता है।
इसलिए,तार से बहने वाली धारा $i$ के मान की परवाह किए बिना,पूरे लूप से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$ हमेशा शून्य रहता है।
चूंकि प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ होता है,और $\phi = 0$ है,इसलिए धारा स्थिर हो या बदल रही हो,प्रेरित emf हमेशा शून्य ही रहेगा।
अतः,कथन $(A)$ और $(C)$ सही हैं।
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दी गई परिपथ में,$AC$ स्रोत की $\omega = 100 \ rad/s$ है। प्रेरक (inductor) और संधारित्र (capacitor) को आदर्श मानते हुए,सही विकल्प(विकल्पों) का चयन करें:
$(A)$ परिपथ से प्रवाहित धारा,$I = 0.3 \ A$ है।
$(B)$ परिपथ से प्रवाहित धारा,$I = 0.3 \sqrt{2} \ A$ है।
$(C)$ $100 \ \Omega$ प्रतिरोधक पर वोल्टेज $= 10 \sqrt{2} \ V$ है।
$(D)$ $50 \ \Omega$ प्रतिरोधक पर वोल्टेज $= 10 \sqrt{2} \ V$ है।
$(A)$ परिपथ से प्रवाहित धारा,$I = 0.3 \ A$ है।
$(B)$ परिपथ से प्रवाहित धारा,$I = 0.3 \sqrt{2} \ A$ है।
$(C)$ $100 \ \Omega$ प्रतिरोधक पर वोल्टेज $= 10 \sqrt{2} \ V$ है।
$(D)$ $50 \ \Omega$ प्रतिरोधक पर वोल्टेज $= 10 \sqrt{2} \ V$ है।
A
$(A, C)$
B
$(A, B)$
C
$(A, D)$
D
$(B, D)$
Solution
(A, C, D) दिया गया है: $V_{rms} = 20 \ V$,$\omega = 100 \ rad/s$,$C = 100 \ \mu F$,$L = 0.5 \ H$.
$1$. ऊपरी शाखा का प्रतिबाधा (impedance) ($RC$ श्रेणी):
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 100 \times 10^{-6}} = 100 \ \Omega$.
$Z_1 = \sqrt{R_1^2 + X_C^2} = \sqrt{100^2 + 100^2} = 100\sqrt{2} \ \Omega$.
$I_{1,rms} = \frac{V_{rms}}{Z_1} = \frac{20}{100\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} \ A$.
$100 \ \Omega$ प्रतिरोधक पर वोल्टेज: $V_{R1} = I_{1,rms} \times R_1 = \frac{1}{5\sqrt{2}} \times 100 = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \ V$. (विकल्प $C$ सही है)।
$2$. निचली शाखा का प्रतिबाधा ($RL$ श्रेणी):
$X_L = \omega L = 100 \times 0.5 = 50 \ \Omega$.
$Z_2 = \sqrt{R_2^2 + X_L^2} = \sqrt{50^2 + 50^2} = 50\sqrt{2} \ \Omega$.
$I_{2,rms} = \frac{V_{rms}}{Z_2} = \frac{20}{50\sqrt{2}} = \frac{2}{5\sqrt{2}} \ A$.
$50 \ \Omega$ प्रतिरोधक पर वोल्टेज: $V_{R2} = I_{2,rms} \times R_2 = \frac{2}{5\sqrt{2}} \times 50 = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \ V$. (विकल्प $D$ सही है)।
$3$. कुल धारा $I_{rms}$:
फेज कोण $\phi_1 = \tan^{-1}(\frac{-X_C}{R_1}) = -45^\circ$ और $\phi_2 = \tan^{-1}(\frac{X_L}{R_2}) = 45^\circ$.
$I_1$ और $I_2$ के बीच फेज अंतर $90^\circ$ है।
$I_{rms} = \sqrt{I_{1,rms}^2 + I_{2,rms}^2} = \sqrt{(\frac{1}{5\sqrt{2}})^2 + (\frac{2}{5\sqrt{2}})^2} = \sqrt{\frac{1}{50} + \frac{4}{50}} = \sqrt{\frac{5}{50}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0.316 \ A \approx 0.3 \ A$. (विकल्प $A$ सही है)।
$1$. ऊपरी शाखा का प्रतिबाधा (impedance) ($RC$ श्रेणी):
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 100 \times 10^{-6}} = 100 \ \Omega$.
$Z_1 = \sqrt{R_1^2 + X_C^2} = \sqrt{100^2 + 100^2} = 100\sqrt{2} \ \Omega$.
$I_{1,rms} = \frac{V_{rms}}{Z_1} = \frac{20}{100\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} \ A$.
$100 \ \Omega$ प्रतिरोधक पर वोल्टेज: $V_{R1} = I_{1,rms} \times R_1 = \frac{1}{5\sqrt{2}} \times 100 = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \ V$. (विकल्प $C$ सही है)।
$2$. निचली शाखा का प्रतिबाधा ($RL$ श्रेणी):
$X_L = \omega L = 100 \times 0.5 = 50 \ \Omega$.
$Z_2 = \sqrt{R_2^2 + X_L^2} = \sqrt{50^2 + 50^2} = 50\sqrt{2} \ \Omega$.
$I_{2,rms} = \frac{V_{rms}}{Z_2} = \frac{20}{50\sqrt{2}} = \frac{2}{5\sqrt{2}} \ A$.
$50 \ \Omega$ प्रतिरोधक पर वोल्टेज: $V_{R2} = I_{2,rms} \times R_2 = \frac{2}{5\sqrt{2}} \times 50 = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \ V$. (विकल्प $D$ सही है)।
$3$. कुल धारा $I_{rms}$:
फेज कोण $\phi_1 = \tan^{-1}(\frac{-X_C}{R_1}) = -45^\circ$ और $\phi_2 = \tan^{-1}(\frac{X_L}{R_2}) = 45^\circ$.
$I_1$ और $I_2$ के बीच फेज अंतर $90^\circ$ है।
$I_{rms} = \sqrt{I_{1,rms}^2 + I_{2,rms}^2} = \sqrt{(\frac{1}{5\sqrt{2}})^2 + (\frac{2}{5\sqrt{2}})^2} = \sqrt{\frac{1}{50} + \frac{4}{50}} = \sqrt{\frac{5}{50}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0.316 \ A \approx 0.3 \ A$. (विकल्प $A$ सही है)।
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PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2012
चित्र में दिखाए अनुसार $L$ भुजा वाले और $O$ केंद्र वाले एक नियमित षट्कोण के शीर्षों पर छह बिंदु आवेश रखे गए हैं। यदि $K = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{L^2}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ $O$ पर विद्युत क्षेत्र $OD$ की दिशा में $6K$ है
$(B)$ $O$ पर विभव शून्य है
$(C)$ $PR$ रेखा पर सभी बिंदुओं पर विभव समान है
$(D)$ $ST$ रेखा पर सभी बिंदुओं पर विभव समान है।
$(A)$ $O$ पर विद्युत क्षेत्र $OD$ की दिशा में $6K$ है
$(B)$ $O$ पर विभव शून्य है
$(C)$ $PR$ रेखा पर सभी बिंदुओं पर विभव समान है
$(D)$ $ST$ रेखा पर सभी बिंदुओं पर विभव समान है।
A
$(A, B, C)$
B
$(A, B, D)$
C
$(A, C, D)$
D
$(B, C, D)$
Solution
(A) $1$. $O$ पर विद्युत क्षेत्र: $O$ पर विपरीत आवेशों के जोड़ों के कारण विद्युत क्षेत्र इस प्रकार हैं:
- $A(+2q)$ और $D(-2q)$ के कारण: $E_{AD} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2q}{L^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2q}{L^2} = 4K$ ($OD$ की दिशा में)
- $F(+q)$ और $C(-q)$ के कारण: $E_{FC} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} = 2K$ ($OD$ की दिशा में)
- $B(+q)$ और $E(-q)$ के कारण: $E_{BE} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} = 2K$ ($OD$ की दिशा में)
कुल विद्युत क्षेत्र $E_O = 4K + 2K = 6K$ जो $OD$ की दिशा में है। अतः,$(A)$ सही है।
$2$. $O$ पर विभव: $V_O = \sum \frac{kq_i}{r_i} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 L} (2q - 2q + q - q + q - q) = 0$. अतः,$(B)$ सही है।
$3$. $PR$ रेखा पर विभव: $PR$ रेखा आवेशों को जोड़ने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक है। $PR$ पर किसी भी बिंदु के लिए,$+q$ और $-q$ आवेशों से दूरी समान होती है,जिससे कुल विभव शून्य हो जाता है। अतः,$(C)$ सही है।
$4$. $ST$ रेखा पर विभव: $ST$ रेखा पर विभव बदलता है क्योंकि यह एक समविभव रेखा नहीं है। अतः,$(D)$ गलत है।
इसलिए,सही कथन $(A, B, C)$ हैं।
- $A(+2q)$ और $D(-2q)$ के कारण: $E_{AD} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2q}{L^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2q}{L^2} = 4K$ ($OD$ की दिशा में)
- $F(+q)$ और $C(-q)$ के कारण: $E_{FC} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} = 2K$ ($OD$ की दिशा में)
- $B(+q)$ और $E(-q)$ के कारण: $E_{BE} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} = 2K$ ($OD$ की दिशा में)
कुल विद्युत क्षेत्र $E_O = 4K + 2K = 6K$ जो $OD$ की दिशा में है। अतः,$(A)$ सही है।
$2$. $O$ पर विभव: $V_O = \sum \frac{kq_i}{r_i} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 L} (2q - 2q + q - q + q - q) = 0$. अतः,$(B)$ सही है।
$3$. $PR$ रेखा पर विभव: $PR$ रेखा आवेशों को जोड़ने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक है। $PR$ पर किसी भी बिंदु के लिए,$+q$ और $-q$ आवेशों से दूरी समान होती है,जिससे कुल विभव शून्य हो जाता है। अतः,$(C)$ सही है।
$4$. $ST$ रेखा पर विभव: $ST$ रेखा पर विभव बदलता है क्योंकि यह एक समविभव रेखा नहीं है। अतः,$(D)$ गलत है।
इसलिए,सही कथन $(A, B, C)$ हैं।
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