IIT JEE 2009 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x-4y-11=0$ है। सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें केंद्र $C(3, 2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $PA$ और $PB$ बिंदु $P(1,8)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए त्रिज्याएँ $CA$ और $CB$ क्रमशः बिंदुओं $A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाओं के लंबवत हैं। अतः,$\angle PAC = 90^\circ$ और $\angle PBC = 90^\circ$ है।
इसका अर्थ है कि बिंदु $A$ और $B$ उस वृत्त पर स्थित हैं जिसका व्यास $PC$ है। त्रिभुज $PAB$ इस वृत्त के अंतर्गत है,इसलिए $\triangle PAB$ का परिवृत्त वह वृत्त है जिसका व्यास $PC$ है।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
$P(1,8)$ और $C(3,2)$ का उपयोग करने पर:
$(x-1)(x-3) + (y-8)(y-2) = 0$
$x^2 - 4x + 3 + y^2 - 10y + 16 = 0$
$x^2 + y^2 - 4x - 10y + 19 = 0$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9}+y^2=1$ है।
अर्ध-दीर्घ अक्ष की लंबाई $a=3$ और अर्ध-लघु अक्ष की लंबाई $b=1$ है।
बिंदु $A$ के निर्देशांक $(3,0)$ हैं और बिंदु $B$ के निर्देशांक $(0,1)$ हैं।
$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} = 1$ है,जो $x+3y=3$ में सरल हो जाता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के सहायक वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=a^2$ है,अतः $x^2+y^2=9$ है।
रेखा $AB$ वृत्त $x^2+y^2=9$ को बिंदु $M$ पर काटती है। वृत्त के समीकरण में $x=3-3y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(3-3y)^2+y^2=9$
$9-18y+9y^2+y^2=9$
$10y^2-18y=0$
$2y(5y-9)=0$.
चूंकि $y=0$ बिंदु $A(3,0)$ के अनुरूप है,बिंदु $M$ के लिए $y=\frac{9}{5}$ है।
अतः $x=3-3(\frac{9}{5}) = 3-\frac{27}{5} = -\frac{12}{5}$ है।
इस प्रकार,$M = \left(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5}\right)$ है।
$A(3,0)$,$M(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$ और $O(0,0)$ शीर्षों वाले त्रिभुज $AMO$ का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_A(y_M-y_O) + x_M(y_O-y_A) + x_O(y_A-y_M)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3(\frac{9}{5}-0) + (-\frac{12}{5})(0-0) + 0(0-\frac{9}{5})|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\frac{27}{5}| = \frac{27}{10}$.

(C) मान लीजिए सात अंक $x_1, x_2, \dots, x_7$ हैं जहाँ $x_i \in \{1, 2, 3\}$ है।
हमें $x_1 + x_2 + \dots + x_7 = 10$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
यह $(x + x^2 + x^3)^7$ में $x^{10}$ का गुणांक ज्ञात करने के बराबर है।
$(x + x^2 + x^3)^7 = x^7(1 + x + x^2)^7 = x^7 \left(\frac{1 - x^3}{1 - x}\right)^7 = x^7(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7}$.
हमें $x^7(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7}$ में $x^{10}$ का गुणांक ज्ञात करना है,जो $(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7}$ में $x^3$ का गुणांक है।
$(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7} = (1 - 7x^3 + \dots)(1 + 7x + \frac{7 \times 8}{2}x^2 + \frac{7 \times 8 \times 9}{6}x^3 + \dots)$.
$x^3$ का गुणांक $1 \times \binom{7+3-1}{3} - 7 \times 1 = \binom{9}{3} - 7 = 84 - 7 = 77$ है।
वैकल्पिक रूप से,अंकों के संभावित सेट:
$1, 1, 1, 1, 1, 2, 3$ (योग $= 10$): व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{7!}{5!} = 42$.
$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2$ (योग $= 10$): व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{7!}{4!3!} = 35$.
कुल $= 42 + 35 = 77$.

(B) हमारे पास $L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{a - a(1 - \frac{x^2}{a^2})^{1/2} - \frac{x^2}{4}}{x^4}$ है।
द्विपद विस्तार $(1 - u)^{1/2} = 1 - \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 - \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = \frac{x^2}{a^2}$:
$L = \lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{a - a(1 - \frac{1}{2}(\frac{x^2}{a^2}) - \frac{1}{8}(\frac{x^2}{a^2})^2) - \frac{x^2}{4}}{x^4}$
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{a - a + \frac{x^2}{2a} + \frac{x^4}{8a^3} - \frac{x^2}{4}}{x^4}$
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2(\frac{1}{2a} - \frac{1}{4}) + \frac{x^4}{8a^3}}{x^4}$.
सीमा को परिमित होने के लिए,$x^2$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$\frac{1}{2a} - \frac{1}{4} = 0 \implies a = 2$.
$a = 2$ रखने पर:
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^4}{8(2)^3}}{x^4} = \frac{1}{8 \times 8} = \frac{1}{64}$.
अतः,$a = 2$ और $L = \frac{1}{64}$ है।
इसलिए,विकल्प $(A)$ और $(C)$ सही हैं।

(C) $\triangle ABC$ में,$A + B + C = 180^{\circ}$ है,इसलिए $\frac{B+C}{2} = 90^{\circ} - \frac{A}{2}$।
दिया है $\cos B + \cos C = 4 \sin^2 \frac{A}{2}$।
योग-से-गुणन सूत्र का उपयोग करने पर: $2 \cos \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2} = 4 \sin^2 \frac{A}{2}$।
चूंकि $\cos \frac{B+C}{2} = \sin \frac{A}{2}$,इसलिए $2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2} = 4 \sin^2 \frac{A}{2}$।
$2 \sin \frac{A}{2}$ से विभाजित करने पर,$\cos \frac{B-C}{2} = 2 \sin \frac{A}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2 \cos \frac{A}{2}$ से गुणा करने पर,$2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2} = 4 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ प्राप्त होता है।
$2 \cos \frac{A}{2} = 2 \sin \frac{B+C}{2}$ का उपयोग करने पर,$2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2} = 2 \sin A$ प्राप्त होता है।
यह $\sin B + \sin C = 2 \sin A$ में सरल हो जाता है।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$b + c = 2a$ होता है।
चूंकि $b + c = AB + AC = 2BC$,अतः बिंदु $A$ का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है।

(B) दिया गया है $\frac{\sin ^4 x}{2}+\frac{\cos ^4 x}{3}=\frac{1}{5}$।
माना $\sin ^2 x = t$,तो $\cos ^2 x = 1-t$,जहाँ $t \in [0, 1]$।
समीकरण $\frac{t^2}{2} + \frac{(1-t)^2}{3} = \frac{1}{5}$ हो जाता है।
$30$ से गुणा करने पर: $15t^2 + 10(1-2t+t^2) = 6$।
$25t^2 - 20t + 4 = 0$।
$(5t-2)^2 = 0$,जिससे $t = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin ^2 x = \frac{2}{5}$ और $\cos ^2 x = \frac{3}{5}$।
इसलिए,$\tan ^2 x = \frac{2/5}{3/5} = \frac{2}{3}$। अतः $(A)$ सही है।
अब $(B)$ की जाँच करें: $\frac{\sin ^8 x}{8} + \frac{\cos ^8 x}{27} = \frac{(2/5)^4}{8} + \frac{(3/5)^4}{27} = \frac{2}{625} + \frac{3}{625} = \frac{5}{625} = \frac{1}{125}$। अतः $(B)$ सही है।
इसलिए,सही विकल्प $(A)$ और $(B)$ हैं।

(A) $(p)$ रेखा $hx+ky=1$ वृत्त $x^2+y^2=4$ को स्पर्श करती है यदि मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $2$ के बराबर हो।
$\frac{|h(0)+k(0)-1|}{\sqrt{h^2+k^2}}=2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}}=2 \Rightarrow h^2+k^2=\frac{1}{4}$। यह एक वृत्त है।
$(q)$ $|z+2|-|z-2|=\pm 3$। यह दो स्थिर बिंदुओं $(\pm 2, 0)$ से दूरियों का अंतर अचर $3$ दर्शाता है। चूँकि $3 < 4$ है,यह एक अतिपरवलय है।
$(r)$ $x=\sqrt{3}\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right), y=\frac{2 t}{1+t^2}$। माना $t=\tan \theta$। तब $x=\sqrt{3}\cos 2\theta$ और $y=\sin 2\theta$। अतः,$\frac{x^2}{3}+y^2=1$,जो एक दीर्घवृत्त है।
$(s)$ परवलय के लिए उत्केंद्रता $e=1$ और अतिपरवलय के लिए $e>1$ होती है। अतः,$1 \leq e < \infty$ परवलय और अतिपरवलय दोनों को समाहित करता है।
$(t)$ माना $z=x+iy$। $\operatorname{Re}(z+1)^2 = \operatorname{Re}((x+1+iy)^2) = (x+1)^2-y^2$। दिया है कि $(x+1)^2-y^2 = x^2+y^2+1 \Rightarrow x^2+2x+1-y^2 = x^2+y^2+1 \Rightarrow 2x = 2y^2 \Rightarrow x=y^2$। यह एक परवलय है।
सुमेलन: $A-p, B-s, t, C-r, D-q, s$।

(C) दिया गया है कि प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = c n^2$ है।
$n$-वां पद $T_n = S_n - S_{n-1} = c n^2 - c(n-1)^2 = 2cn - c$ है।
हमें इन $n$ पदों के वर्गों का योग $\sum_{k=1}^n T_k^2$ ज्ञात करना है।
$T_k^2 = (2ck - c)^2 = c^2(4k^2 - 4k + 1)$ है।
योग $= \sum_{k=1}^n c^2(4k^2 - 4k + 1) = c^2 [4 \sum k^2 - 4 \sum k + \sum 1]$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$= c^2 [4 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \frac{n(n+1)}{2} + n]$.
$= \frac{n c^2(4n^2 - 1)}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 4$ है।
माना $P = (4 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ दीर्घवृत्त पर एक बिंदु है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\sin \theta} = a^2 - b^2$ है।
$a=4, b=2$ रखने पर: $\frac{4x}{\cos \theta} - \frac{2y}{\sin \theta} = 12$,जो सरल होकर $\frac{x}{\cos \theta} - \frac{y}{2 \sin \theta} = 3$ हो जाता है।
यह अभिलंब $x$-अक्ष $(y=0)$ से $Q(3 \cos \theta, 0)$ पर मिलता है।
माना $M(x, y)$,$PQ$ का मध्य बिंदु है। तब $x = \frac{4 \cos \theta + 3 \cos \theta}{2} = \frac{7}{2} \cos \theta$ और $y = \frac{2 \sin \theta + 0}{2} = \sin \theta$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{2x}{7}$ और $\sin \theta = y$ है। $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$M$ का बिंदुपथ $\frac{4x^2}{49} + y^2 = 1$ प्राप्त होता है।
मूल दीर्घवृत्त का नाभिलंब $x = \pm ae = \pm \sqrt{a^2 - b^2} = \pm \sqrt{16 - 4} = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}$ है।
बिंदुपथ के समीकरण में $x^2 = 12$ रखने पर: $\frac{4(12)}{49} + y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = 1 - \frac{48}{49} = \frac{1}{49}$।
अतः,$y = \pm \frac{1}{7}$ है। बिंदु $\left( \pm 2 \sqrt{3}, \pm \frac{1}{7} \right)$ हैं।

(D) माना रेखाएँ $L_1: (1+p)x - py + p(1+p) = 0$,$L_2: (1+q)x - qy + q(1+q) = 0$,और $L_3: y = 0$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष इस प्रकार हैं:
$A = (-p, 0)$,$B = (-q, 0)$,और $C = (pq, (1+p)(1+q))$।
$C$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण $x = pq$ है।
$B(-q, 0)$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण $px + (1+p)y + pq = 0$ प्राप्त होता है।
इन दोनों समीकरणों को हल करने पर,हमें $y = -pq$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबकेंद्र $(h, k) = (pq, -pq)$ है।
इसलिए,$k = -h$,जो रेखा $y = -x$ को दर्शाता है।

(D) दिया गया अतिपरवलय: $2x^2 - 2y^2 = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{1/2} - \frac{y^2}{1/2} = 1$.
यहाँ,$a^2 = 1/2, b^2 = 1/2$. उत्केंद्रता $e_h = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \frac{1}{e_h} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। चूँकि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow a^2 = 2b^2$.
दीर्घवृत्त का समीकरण: $x^2 + 2y^2 = 2b^2$.
लंबकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ पर स्पर्श रेखाओं के ढाल का गुणनफल $-1$ होता है।
अतिपरवलय के लिए: $4x - 4y y' = 0 \Rightarrow y' = \frac{x}{y}$.
दीर्घवृत्त के लिए: $2x + 4y y' = 0 \Rightarrow y' = -\frac{x}{2y}$.
गुणनफल: $(\frac{x_0}{y_0})(-\frac{x_0}{2y_0}) = -1 \Rightarrow x_0^2 = 2y_0^2$.
$x_0^2 = 2y_0^2$ को अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर: $2(2y_0^2) - 2y_0^2 = 1$ $\Rightarrow 2y_0^2 = 1$ $\Rightarrow y_0^2 = 1/2$ और $x_0^2 = 1$.
$(x_0^2, y_0^2) = (1, 1/2)$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर: $1 + 2(1/2) = 2b^2$ $\Rightarrow 2b^2 = 2$ $\Rightarrow b^2 = 1$.
अतः,$a^2 = 2(1) = 2$. समीकरण $x^2 + 2y^2 = 2$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}, 0) = (\pm 1, 0)$ हैं।
इसलिए,विकल्प $(A)$ और $(B)$ सही हैं।

(C) माना बिंदु $P$ $(at^2, 2at)$ है।
$P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $ty = x + at^2$ है। यह अक्ष $(y=0)$ को $T(-at^2, 0)$ पर मिलती है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है। यह अक्ष $(y=0)$ को $N(2a + at^2, 0)$ पर मिलता है।
माना $\triangle PTN$ का केंद्रक $R(h, k)$ है।
$h = \frac{at^2 - at^2 + 2a + at^2}{3} = \frac{2a + at^2}{3}$
$k = \frac{2at + 0 + 0}{3} = \frac{2at}{3} \Rightarrow t = \frac{3k}{2a}$.
$h$ के समीकरण में $t$ का मान रखने पर:
$3h = 2a + a\left(\frac{3k}{2a}\right)^2 = 2a + \frac{9k^2}{4a}$.
$9k^2 = 4a(3h - 2a) \Rightarrow k^2 = \frac{4a}{3}\left(h - \frac{2a}{3}\right)$.
बिंदुपथ $y^2 = \frac{4a}{3}\left(x - \frac{2a}{3}\right)$ है।
$Y^2 = 4AX$ से तुलना करने पर,$4A = \frac{4a}{3} \Rightarrow A = \frac{a}{3}$.
शीर्ष $\left(\frac{2a}{3}, 0\right)$ है।
नाभि $\left(\frac{2a}{3} + A, 0\right) = \left(\frac{2a}{3} + \frac{a}{3}, 0\right) = (a, 0)$ है।
अतः,$(A)$ और $(D)$ सही हैं।

(B) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए दिया गया समीकरण:
$\sum_{m=1}^6 \operatorname{cosec}\left(\theta+\frac{(m-1) \pi}{4}\right) \operatorname{cosec}\left(\theta+\frac{m \pi}{4}\right) = 4 \sqrt{2}$
सर्वसमिका $\operatorname{cosec} A \operatorname{cosec} B = \frac{\cot A - \cot B}{\sin(B-A)}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $B-A = \frac{\pi}{4}$:
$\sum_{m=1}^6 \frac{\cot \left(\theta+\frac{(m-1) \pi}{4}\right) - \cot \left(\theta+\frac{m \pi}{4}\right)}{\sin(\pi/4)} = 4 \sqrt{2}$
चूँकि $\sin(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$\sqrt{2} \sum_{m=1}^6 \left[ \cot \left(\theta+\frac{(m-1) \pi}{4}\right) - \cot \left(\theta+\frac{m \pi}{4}\right) \right] = 4 \sqrt{2}$
$\sum_{m=1}^6 \left[ \cot \left(\theta+\frac{(m-1) \pi}{4}\right) - \cot \left(\theta+\frac{m \pi}{4}\right) \right] = 4$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है:
$\cot \theta - \cot \left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) = 4$
$\cot \theta + \tan \theta = 4$
$\tan^2 \theta - 4 \tan \theta + 1 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $\tan \theta = 2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta = 2 - \sqrt{3} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{12}$
$\tan \theta = 2 + \sqrt{3} \Rightarrow \theta = \frac{5\pi}{12}$
दोनों मान $(0, \frac{\pi}{2})$ अंतराल में स्थित हैं।

(C) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos 30^{\circ} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2+16-8}{2 \cdot a \cdot 4}$
$\Rightarrow a^2 - 4\sqrt{3}a + 8 = 0$
यहाँ $a_1$ और $a_2$ भुजा $BC$ की दो संभावित लंबाईयाँ हैं। अतः $a_1+a_2 = 4\sqrt{3}$ और $a_1a_2 = 8$ है।
अंतर $|a_1-a_2| = \sqrt{(a_1+a_2)^2 - 4a_1a_2} = \sqrt{48-32} = 4$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}ac \sin B$ होता है।
क्षेत्रफलों का अंतर $|\Delta_1 - \Delta_2| = \frac{1}{2}c \sin B |a_1-a_2| = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 = 4$ है।

(D) मान लीजिए $A_1$ और $A_2$ वृत्तों $C_1$ और $C_2$ के केंद्र हैं और $M$,$r$ त्रिज्या वाले वृत्त $C$ का केंद्र है। $A_1A_2 = 6$ है,इसलिए $A_1P = PA_2 = 3$ है। $P$ से गुजरने वाली उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $C_1$ को $B_1$ पर और $C$ को $B_2$ पर स्पर्श करती है। समरूपता से,यह $C_2$ को भी $B_1$ पर स्पर्श करती है।
$\triangle A_1B_1P$ में,$\angle A_1B_1P = 90^\circ$ है। $A_1B_1 = 1$ और $A_1P = 3$ है। अतः,$\sin \alpha = \frac{A_1B_1}{A_1P} = \frac{1}{3}$,जहाँ $\alpha = \angle A_1PB_1$ है।
इसलिए $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।
$\triangle MPB_2$ में,$\angle MB_2P = 90^\circ$ है। $MP = r + 1$ है। $\angle MPB_2 = 90^\circ - \alpha$ है। इसलिए,$\cos \alpha = \frac{r}{r+1} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।
इस समीकरण को हल करने पर $r = 8$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-8kx+16(k^2-k+1)=0$ है।
मूलों के वास्तविक और भिन्न होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$:
$D = (-8k)^2 - 4(1)(16(k^2-k+1)) > 0$
$64k - 64 > 0 \Rightarrow k > 1 \cdots (1)$
दोनों मूलों के कम से कम $4$ होने के लिए,शीर्ष $-\frac{b}{2a} \geq 4$:
$4k \geq 4 \Rightarrow k \geq 1 \cdots (2)$
इसके अतिरिक्त,$f(4) \geq 0$:
$16k^2 - 48k + 32 \geq 0$
$k^2 - 3k + 2 \geq 0 \Rightarrow k \leq 1 \text{ या } k \geq 2 \cdots (3)$
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ को संयोजित करने पर:
$k \geq 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$k$ का न्यूनतम मान $2$ है।

(A) दिया गया है,$z\bar{z}^3+\bar{z}z^3=350$
$\Rightarrow z\bar{z}(\bar{z}^2+z^2)=350$
$\Rightarrow |z|^2(x-iy)^2+(x+iy)^2=350$
$\Rightarrow (x^2+y^2)(x^2-y^2-2ixy+x^2-y^2+2ixy)=350$
$\Rightarrow (x^2+y^2)(2x^2-2y^2)=350$
$\Rightarrow 2(x^2+y^2)(x^2-y^2)=350$
$\Rightarrow x^4-y^4=175$
चूंकि $x$ और $y$ पूर्णांक हैं,हम मानों की जाँच करते हैं: $x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=175$।
$x=4, y=3$ के लिए: $4^4-3^4=256-81=175$।
अतः,शीर्ष $(4,3), (-4,3), (-4,-3), (4,-3)$ हैं।
आयत की लंबाई $|4-(-4)|=8$ और चौड़ाई $|3-(-3)|=6$ है।
क्षेत्रफल $= 8 \times 6 = 48 \text{ वर्ग इकाई}$।

(D) दिया गया है $z = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{2m-1} = \cos((2m-1)\theta) + i \sin((2m-1)\theta)$।
अतः,$\text{Im}(z^{2m-1}) = \sin((2m-1)\theta)$।
हमें $S = \sum_{m=1}^{15} \sin((2m-1)\theta) = \sin \theta + \sin 3\theta + \sin 5\theta + \dots + \sin 29\theta$ की गणना करनी है।
यह समांतर श्रेणी में साइन का योग है जहाँ प्रथम पद $a = \theta$,सार्व अंतर $d = 2\theta$,और पदों की संख्या $n = 15$ है।
योग के लिए सूत्र $S = \frac{\sin(n d / 2)}{\sin(d / 2)} \sin(a + (n-1)d / 2)$ है।
मान रखने पर: $S = \frac{\sin(15 \cdot 2\theta / 2)}{\sin(2\theta / 2)} \sin(\theta + (15-1)2\theta / 2) = \frac{\sin(15\theta)}{\sin \theta} \sin(\theta + 14\theta) = \frac{\sin^2(15\theta)}{\sin \theta}$।
$\theta = 2^{\circ}$ पर,$15\theta = 30^{\circ}$।
$S = \frac{\sin^2(30^{\circ})}{\sin 2^{\circ}} = \frac{(1/2)^2}{\sin 2^{\circ}} = \frac{1/4}{\sin 2^{\circ}} = \frac{1}{4 \sin 2^{\circ}}$।

(C) रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक्-कोसाइन समान हैं। मान लीजिए दिक्-कोसाइन $(l, l, l)$ हैं। चूंकि $l^2 + l^2 + l^2 = 1,$ इसलिए $3l^2 = 1,$ अर्थात $l = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (क्योंकि दिक्-कोसाइन धनात्मक हैं)।
रेखा के दिक्-अनुपात $(1, 1, 1)$ के समानुपाती हैं।
बिंदु $P(2, -1, 2)$ से गुजरने वाली और $(1, 1, 1)$ दिक्-अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $Q$ का रूप $(r+2, r-1, r+2)$ है।
चूंकि $Q$ समतल $2x + y + z = 9$ पर स्थित है,इसलिए $Q$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$2(r+2) + (r-1) + (r+2) = 9$
$2r + 4 + r - 1 + r + 2 = 9$
$4r + 5 = 9$
$4r = 4 \Rightarrow r = 1.$
अतः,बिंदु $Q$ का मान $(1+2, 1-1, 1+2) = (3, 0, 3)$ है।
दूरी $PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.$

(C) दिया गया समीकरण $\int_0^x \sqrt{1-(f'(t))^2} dt = \int_0^x f(t) dt$ है,जहाँ $0 \leq x \leq 1$ है।
लेबनिज के नियम का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\sqrt{1-(f'(x))^2} = f(x)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1-(f'(x))^2 = f^2(x)$
$(f'(x))^2 = 1 - f^2(x)$
$f'(x) = \pm \sqrt{1 - f^2(x)}$
माना $y = f(x)$,तब $\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{1 - y^2}$।
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = \pm dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\sin^{-1}(y) = \pm x + C$
चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए $\sin^{-1}(0) = 0 + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \pm \sin(x)$। चूंकि $f$ एक गैर-ऋणात्मक फलन है,इसलिए $f(x) = \sin(x)$।
हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए,$\sin(x) < x$ होता है।
इसलिए,$\sin\left(\frac{1}{2}\right) < \frac{1}{2}$ और $\sin\left(\frac{1}{3}\right) < \frac{1}{3}$।
अतः,$f\left(\frac{1}{2}\right) < \frac{1}{2}$ और $f\left(\frac{1}{3}\right) < \frac{1}{3}$।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = 1$.
दी गई शर्त $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = 1$ है।
अदिश गुणन के गुण का उपयोग करते हुए,$|(\vec{a} \times \vec{b})| |(\vec{c} \times \vec{d})| \cos \phi = 1$,जहाँ $\phi$ सदिशों $(\vec{a} \times \vec{b})$ और $(\vec{c} \times \vec{d})$ के बीच का कोण है।
चूंकि $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sin \theta_1 \le 1$ और $|\vec{c} \times \vec{d}| = \sin \theta_2 \le 1$,इसलिए गुणनफल $\sin \theta_1 \sin \theta_2 \cos \phi = 1$ केवल तभी संभव है जब $\sin \theta_1 = 1$,$\sin \theta_2 = 1$ और $\cos \phi = 1$ हो।
इसका अर्थ है $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$,$\theta_2 = \frac{\pi}{2}$ और $\phi = 0$ है।
चूंकि $\phi = 0$ है,सदिश $(\vec{a} \times \vec{b})$ और $(\vec{c} \times \vec{d})$ समांतर हैं,जिसका अर्थ है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ समतलीय हैं।
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\vec{a}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
चूंकि सभी सदिश समतलीय और इकाई सदिश हैं,ज्यामितीय विन्यास के कारण $\vec{b}$ और $\vec{d}$ समांतर नहीं हैं।

(D) वक्र $y=e^x$ है,जिसका अर्थ है $x=\ln y$।
क्षेत्र $x=0$ ($y$-अक्ष),$y=e^x$ और $y=e$ द्वारा परिबद्ध है।
$y=e^x$ और $y=e$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $x=1$ है।
क्षेत्रफल $A$ को दो तरीकों से निकाला जा सकता है:
$1$. $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: क्षेत्रफल $\int_0^1 (e - e^x) dx = e - \int_0^1 e^x dx$ होता है। यह विकल्प $(C)$ से मेल खाता है।
$2$. $y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: क्षेत्र $y=1$ से $y=e$ तक फैला है। क्षेत्रफल $= \int_1^e \ln y dy$। यह विकल्प $(D)$ से मेल खाता है।
विकल्प $(B)$ में $\int_1^e \ln(e+1-y) dy$ है,जिसका मान भी $1$ होता है।
अतः,$(B), (C), (D)$ सही हैं।

(A, D, C) एक $3 \times 3$ सममित आव्यूह $A$ अपनी $6$ प्रविष्टियों द्वारा निर्धारित होता है: $a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$.
$1.$ कुल $9$ प्रविष्टियाँ हैं। $5$ एक और $4$ शून्य दिए गए हैं। चूंकि $A$ सममित है,$a_{12}=a_{21}, a_{13}=a_{31}, a_{23}=a_{32}$।
मान लीजिए विकर्ण पर $1$ की संख्या $k$ है। विकर्ण के बाहर $1$ की संख्या $(5-k)$ होनी चाहिए। चूंकि विकर्ण के बाहर की प्रविष्टियाँ जोड़ों में होती हैं,$(5-k)$ सम होनी चाहिए। अतः $k$ विषम ($1$ या $3$) होना चाहिए।
यदि $k=3$ है,तो सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ $1$ हैं। हमें विकर्ण के बाहर $5-3=2$ एक चाहिए। हम $3$ जोड़ों में से $1$ जोड़ा चुनते हैं (अर्थात $3$ आव्यूह)।
यदि $k=1$ है,तो एक विकर्ण प्रविष्टि $1$ है। हमें विकर्ण के बाहर $5-1=4$ एक चाहिए। हम $3$ जोड़ों में से $2$ जोड़े चुनते हैं (अर्थात $3 \times 3 = 9$ आव्यूह)।
कुल आव्यूह $= 3 + 9 = 12$।
$2.$ अद्वितीय हल तब होता है जब $|A| \neq 0$ हो। $12$ आव्यूहों का मूल्यांकन करने पर,हम पाते हैं कि $6$ आव्यूहों के लिए $|A| \neq 0$ है।
$3.$ शेष $6$ आव्यूहों के लिए जहाँ $|A| = 0$ है,हम असंगति की जाँच करते हैं। संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि $2$ आव्यूह असंगत हैं।

(A) अवकल समीकरण $(x-3)^2 \frac{dy}{dx} + y = 0$ है। चरों को पृथक करने पर,$\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{dx}{(x-3)^2}$ प्राप्त होता है। समाकलन करने पर,$\ln|y| = \frac{1}{x-3} + C$। हल $x \neq 3$ के लिए परिभाषित है। अतः,अंतराल $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,$(0, \frac{\pi}{2})$,और $(0, \frac{\pi}{8})$ प्रांत $R - \{3\}$ में निहित हैं।
$(B)$ माना $I = \int_1^5 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$। $x-3 = t$ रखने पर,$dx = dt$। सीमाएँ $x=1, 5$ से बदलकर $t=-2, 2$ हो जाती हैं। $I = \int_{-2}^2 (t+2)(t+1)t(t-1)(t-2) dt = \int_{-2}^2 t(t^2-1)(t^2-4) dt$। चूंकि समाकल्य एक विषम फलन है,अतः $I = 0$। मान $0$,$(0, \frac{\pi}{2})$ और $(-\pi, \pi)$ में निहित है।
$(C)$ माना $f(x) = \cos^2 x + \sin x = 1 - \sin^2 x + \sin x = \frac{5}{4} - (\sin x - \frac{1}{2})^2$। उच्चतम मान तब प्राप्त होता है जब $\sin x = \frac{1}{2}$,अर्थात $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$। ये बिंदु $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,$(0, \frac{\pi}{2})$,$(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$,और $(-\pi, \pi)$ में स्थित हैं।
$(D)$ माना $g(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$। $g'(x) = \frac{\cos x - \sin x}{1 + (\sin x + \cos x)^2}$। $g(x)$ वर्धमान है जब $\cos x - \sin x > 0$,अर्थात $\cos x > \sin x$,जो $x \in (0, \frac{\pi}{4})$ के लिए सत्य है। यह अंतराल $(0, \frac{\pi}{8})$ में निहित है।

(A) दिया गया है $I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{(1+\pi^x) \sin x} dx \quad \ldots (i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,
$I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\pi^x \sin(nx)}{(1+\pi^x) \sin x} dx \quad \ldots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx = 2 \int_0^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$ (चूंकि फलन सम है)।
अतः,$I_n = \int_0^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$.
अब,$I_{n+2} - I_n = \int_0^{\pi} \frac{\sin((n+2)x) - \sin(nx)}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} \frac{2 \cos((n+1)x) \sin x}{\sin x} dx = 2 \int_0^{\pi} \cos((n+1)x) dx = 0$.
इसलिए,$I_{n+2} = I_n$.
$n=1$ के लिए,$I_1 = \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{\sin x} dx = \pi$.
$n=2$ के लिए,$I_2 = \int_0^{\pi} \frac{\sin(2x)}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} 2 \cos x dx = 0$.
चूंकि $I_{n+2} = I_n$,सभी विषम पद $I_{2m+1} = \pi$ और सभी सम पद $I_{2m} = 0$ हैं।
अतः,$\sum_{m=1}^{10} I_{2m+1} = 10\pi$ और $\sum_{m=1}^{10} I_{2m} = 0$.
इस प्रकार,विकल्प $(A)$,$(B)$,और $(C)$ सही हैं।

(A) दिया गया है $f(x) = x \cos \frac{1}{x}, x \geq 1$.
सबसे पहले,अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x) = \cos \frac{1}{x} + x \left( -\sin \frac{1}{x} \right) \left( -\frac{1}{x^2} \right) = \cos \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$.
अब,$\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)$ का मान ज्ञात करें:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \left( \cos \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x} \right) = \cos(0) + 0 \cdot \sin(0) = 1 + 0 = 1$. अतः,कथन $(B)$ सही है।
अब,द्वितीय अवकलज $f^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime \prime}(x) = -\sin \frac{1}{x} \left( -\frac{1}{x^2} \right) + \left( -\frac{1}{x^2} \right) \sin \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x} \left( -\frac{1}{x^2} \right) = -\frac{1}{x^3} \cos \frac{1}{x}$.
$x \in [1, \infty)$ के लिए,$\frac{1}{x} \in (0, 1]$। चूंकि $\cos \theta > 0$ जब $\theta \in (0, 1]$,इसलिए $f^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^3} \cos \frac{1}{x} < 0$। अतः,$f^{\prime}(x)$ निरंतर ह्रासमान है,इसलिए कथन $(D)$ सही है।
अंतराल $[x, x+2]$ पर माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,एक ऐसा $c \in (x, x+2)$ मौजूद है कि $\frac{f(x+2)-f(x)}{2} = f^{\prime}(c)$।
चूंकि $f^{\prime}(x)$ निरंतर ह्रासमान है और $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x) = 1$,इसलिए सभी $x \in [1, \infty)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 1$ है।
अतः,$f^{\prime}(c) > 1$,जिसका अर्थ है कि $\frac{f(x+2)-f(x)}{2} > 1$,या $f(x+2)-f(x) > 2$। अतः,कथन $(C)$ सही है और $(A)$ गलत है।
सही संयोजन $(B, C, D)$ है।

(A) दिया गया है $2 \sin ^2 \theta + \sin ^2 2 \theta = 2$। $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 \sin ^2 \theta + 4 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta = 2$।
$2$ से विभाजित करने पर,$\sin ^2 \theta + 2 \sin ^2 \theta (1 - \sin ^2 \theta) = 1$।
$3 \sin ^2 \theta - 2 \sin ^4 \theta - 1 = 0 \Rightarrow 2 \sin ^4 \theta - 3 \sin ^2 \theta + 1 = 0$।
$(2 \sin ^2 \theta - 1)(\sin ^2 \theta - 1) = 0$।
अतः $\sin ^2 \theta = \frac{1}{2}$ या $\sin ^2 \theta = 1$।
इस प्रकार $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}$।
$(B)$ मान लीजिए $y = \frac{3x}{\pi}$। तो $f(x) = [2y] \cos [y]$। फलन $[2y]$ बिंदु $2y = k \in \mathbb{Z}$ पर असातत्य है,अर्थात $y = \frac{k}{2}$। फलन $\cos [y]$ बिंदु $y = k \in \mathbb{Z}$ पर असातत्य है।
$x \in [0, \pi]$ के लिए,$y \in [0, 3]$।
असातत्य बिंदु $y \in \{0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3\}$ पर प्राप्त होते हैं।
$x = \frac{y\pi}{3}$ में बदलने पर,हमें $x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \pi\}$ प्राप्त होता है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,बिंदुओं का समुच्चय $\{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \pi\}$ है।
$(C)$ आयतन = $|(\hat{i}+\hat{j}) \cdot ((\hat{i}+2\hat{j}) \times (\hat{i}+\hat{j}+\pi\hat{k}))| = |\det \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & \pi \end{bmatrix}| = |\pi(2-1)| = \pi$।
$(D)$ $\vec{a} + \vec{b} = -\sqrt{3}\vec{c}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 3|\vec{c}|^2$।
$1 + 1 + 2 \cos \alpha = 3(1) \Rightarrow 2 \cos \alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{3}$।

(A) मान लीजिए $f(x) = x e^{\sin x} - \cos x$ है। तब $f'(x) = e^{\sin x} + x e^{\sin x} \cos x + \sin x > 0$ सभी $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए।
चूंकि $f(0) = -1 < 0$ और $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} e^1 - 0 > 0$ है,इसलिए ठीक $1$ हल है।
$(B)$ समतल एक रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं यदि गुणांकों का सारणिक $0$ हो और वे समांतर न हों। सारणिक $k(k-4) - 4(4-4) + 1(8-2k) = k^2 - 6k + 8 = 0$ है,जिससे $k=2, 4$ प्राप्त होता है। $k=2$ के लिए,समतल $2x+4y+z=0, 4x+2y+2z=0, 2x+2y+z=0$ हैं। पहला और तीसरा समतल समांतर नहीं हैं,इसलिए वे एक रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं।
$(C)$ मान लीजिए $f(x) = |x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|$ है। $f(x)$ का न्यूनतम मान $6$ है (जब $x \in [-1, 1]$)। $f(x) = 4k$ के पूर्णांक हलों के लिए,$4k \ge 6$,इसलिए $k \ge 1.5$। $k=2, 3, 4, 5$ के लिए,$4k$ का मान $8, 12, 16, 20$ है,जो सभी पूर्णांक हलों की अनुमति देते हैं।
$(D)$ $\frac{dy}{y+1} = dx \implies \ln|y+1| = x + C$। चूंकि $y(0)=1$ है,इसलिए $\ln 2 = C$। अतः $y+1 = 2e^x$,जिससे $y = 2e^x - 1$ प्राप्त होता है। अतः $y(\ln 2) = 2(2) - 1 = 3$।

(B) दिया गया समुच्चय $A = \{x \mid x^2+20 \leq 9x\}$ है।
असमिका $x^2-9x+20 \leq 0$ को हल करने पर:
$(x-4)(x-5) \leq 0$,जिसका अर्थ है $x \in [4, 5]$।
अब,फलन $f(x) = 2x^3-15x^2+36x-48$ पर विचार करें।
अवकलन करने पर $f'(x) = 6x^2-30x+36 = 6(x^2-5x+6) = 6(x-2)(x-3)$।
अंतराल $x \in [4, 5]$ के लिए,$f'(x) > 0$ है क्योंकि $(x-2)$ और $(x-3)$ दोनों इस अंतराल में धनात्मक हैं।
चूंकि $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $[4, 5]$ पर निरंतर वर्धमान है।
अतः,अधिकतम मान अंतिम बिंदु $x = 5$ पर प्राप्त होता है।
$f(5) = 2(5)^3 - 15(5)^2 + 36(5) - 48$
$f(5) = 250 - 375 + 180 - 48 = 7$.

(D) दिए गए समीकरणों की प्रणाली:
$1) 3x - y - z = 0$
$2) -3x + z = 0$
$3) -3x + 2y + z = 0$
समीकरण $(2)$ से,हमें $z = 3x$ प्राप्त होता है।
$z = 3x$ को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x - y - 3x = 0 \Rightarrow y = 0$.
समीकरण $(3)$ के साथ जाँच करने पर:
$-3x + 2(0) + 3x = 0$,जो $0 = 0$ है। यह सुसंगत है।
अतः,प्रणाली को संतुष्ट करने वाला कोई भी बिंदु $(x, y, z)$,$(a, 0, 3a)$ के रूप का है जहाँ $a$ एक पूर्णांक है।
हमें शर्त $x^2 + y^2 + z^2 \leq 100$ दी गई है।
बिंदु $(a, 0, 3a)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$a^2 + 0^2 + (3a)^2 \leq 100$
$a^2 + 9a^2 \leq 100$
$10a^2 \leq 100$
$a^2 \leq 10$
चूँकि $a$ एक पूर्णांक है,इसलिए $a$ के संभावित मान $a \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ हैं।
इन मानों की गणना करने पर,हमें $7$ संभावित बिंदु प्राप्त होते हैं।

(B) मान लीजिए $p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} (1 + \frac{p(x)}{x^2}) = 2$,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{p(x)}{x^2} = 1$ है। इसका अर्थ है कि $e = 0$ और $d = 0$,और $c = 1$ है।
अतः,$p(x) = ax^4 + bx^3 + x^2$.
अवकलन करने पर,$p'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2x$.
$x=1$ और $x=2$ पर चरम मान होने के कारण,$p'(1) = 0$ और $p'(2) = 0$ है।
$p'(1) = 4a + 3b + 2 = 0 \implies 4a + 3b = -2$ (समीकरण $1$).
$p'(2) = 4a(8) + 3b(4) + 2(2) = 32a + 12b + 4 = 0 \implies 8a + 3b = -1$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(8a - 4a) = -1 - (-2) \implies 4a = 1 \implies a = \frac{1}{4}$.
$a = \frac{1}{4}$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $4(\frac{1}{4}) + 3b = -2 \implies 1 + 3b = -2 \implies 3b = -3 \implies b = -1$.
अतः,$p(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2$.
$p(2)$ की गणना करने पर: $p(2) = \frac{1}{4}(16) - (8) + (4) = 4 - 8 + 4 = 0$.

(A) दिया गया समाकल समीकरण: $f(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) = f(x)$ प्राप्त होता है।
यह एक प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} = y$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln |y| = x + C$,जिसका अर्थ है $y = Ae^x$।
दिए गए समीकरण से,$f(0) = \int_0^0 f(t) \, dt = 0$ है।
$y = Ae^x$ में $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर,हमें $0 = Ae^0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $A = 0$।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x) = 0$ है।
इस प्रकार,$f(\ln 5) = 0$।

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 + e^{x/2}$.
हमें $g^{\prime}(1)$ ज्ञात करना है जहाँ $g = f^{-1}$ है।
सबसे पहले,$x$ ज्ञात करें ताकि $f(x) = 1$ हो।
$x^3 + e^{x/2} = 1$.
निरीक्षण द्वारा,यदि $x = 0$ है,तो $f(0) = 0^3 + e^0 = 0 + 1 = 1$ होता है।
अतः,$f(0) = 1$,जिसका अर्थ है कि $g(1) = 0$ है।
प्रतिलोम फलन के अवकलज के सूत्र का उपयोग करते हुए: $g^{\prime}(y) = \frac{1}{f^{\prime}(x)}$ जहाँ $y = f(x)$ है।
यहाँ $y = 1$ है,इसलिए $x = 0$ है।
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + e^{x/2}) = 3x^2 + \frac{1}{2}e^{x/2}$.
$x = 0$ पर,$f^{\prime}(0) = 3(0)^2 + \frac{1}{2}e^0 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
इसलिए,$g^{\prime}(1) = \frac{1}{f^{\prime}(0)} = \frac{1}{1/2} = 2$।

(A) रेखा पर बिंदु $Q$ का स्थिति सदिश $\vec{q} = (1 - 3\mu)\hat{i} + (-1 + \mu)\hat{j} + (2 + 5\mu)\hat{k}$ है।
दिया गया बिंदु $P(3, 2, 6)$ है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\vec{p} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (-3\mu - 2)\hat{i} + (\mu - 3)\hat{j} + (5\mu - 4)\hat{k}$ है।
समतल $x - 4y + 3z = 1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{PQ}$ समतल के समानांतर है,इसलिए यह अभिलंब सदिश $\vec{n}$ के लंबवत होना चाहिए,अतः $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$.
$(-3\mu - 2)(1) + (\mu - 3)(-4) + (5\mu - 4)(3) = 0$.
$-3\mu - 2 - 4\mu + 12 + 15\mu - 12 = 0$.
$8\mu - 2 = 0$.
$8\mu = 2 \Rightarrow \mu = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.