PhysicsQ1–36 of 36 questions
Page 1 of 1 · Gujarati
1
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
$10 \ cm \times 10 \ cm$ ના પાયા અને $15 \ cm$ ઊંચાઈ ધરાવતો એક બ્લોક ઢળતી સપાટી પર રાખેલ છે. તેમની વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\sqrt{3}$ છે. આ ઢળતી સપાટીનો સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta$ ને $0^{\circ}$ થી ધીમે ધીમે વધારવામાં આવે છે. તો
A
$\theta=30^{\circ}$ પર,બ્લોક સપાટી પર નીચે સરકવાનું શરૂ કરશે
B
બ્લોક અમુક $\theta$ સુધી સપાટી પર સ્થિર રહેશે અને ત્યારબાદ તે પલટી જશે (topple)
C
$\theta=60^{\circ}$ પર,બ્લોક સપાટી પર નીચે સરકવાનું શરૂ કરશે અને વધુ ખૂણાઓ પર તેમ કરવાનું ચાલુ રાખશે
D
$\theta=60^{\circ}$ પર,બ્લોક સપાટી પર નીચે સરકવાનું શરૂ કરશે અને $\theta$ વધારતા,તે અમુક $\theta$ પર પલટી જશે
Solution
(B) સરકવાની શરત $\theta > \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ વિરામ કોણ (angle of repose) છે. આપેલ છે કે $\mu = \sqrt{3}$,તેથી વિરામ કોણ $\phi = \tan^{-1}(\mu) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$ છે.
પલટી જવાની (toppling) શરત એ છે કે વજનબળની કાર્યરેખા બ્લોકના પાયાની બહારથી પસાર થવી જોઈએ. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\tan \theta > \frac{b}{h}$,જ્યાં $b$ એ પાયાની પહોળાઈ અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ બ્લોક માટે,$b = 10 \ cm$ અને $h = 15 \ cm$ છે. જે ખૂણે પલટી જવાની શરૂઆત થાય છે તે $\theta_{topple} = \tan^{-1}(\frac{b}{h}) = \tan^{-1}(\frac{10}{15}) = \tan^{-1}(\frac{2}{3}) \approx 33.7^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\theta_{topple} \approx 33.7^{\circ}$ એ વિરામ કોણ $\phi = 60^{\circ}$ કરતા ઓછો છે,તેથી બ્લોક સરકવાનું શરૂ કરે તે પહેલાં જ તે પલટી જશે. તેથી,જેમ $\theta$ ને $0^{\circ}$ થી વધારવામાં આવે છે,બ્લોક $\theta \approx 33.7^{\circ}$ સુધી સ્થિર રહેશે,અને તે બિંદુએ તે પલટી જશે.
પલટી જવાની (toppling) શરત એ છે કે વજનબળની કાર્યરેખા બ્લોકના પાયાની બહારથી પસાર થવી જોઈએ. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\tan \theta > \frac{b}{h}$,જ્યાં $b$ એ પાયાની પહોળાઈ અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ બ્લોક માટે,$b = 10 \ cm$ અને $h = 15 \ cm$ છે. જે ખૂણે પલટી જવાની શરૂઆત થાય છે તે $\theta_{topple} = \tan^{-1}(\frac{b}{h}) = \tan^{-1}(\frac{10}{15}) = \tan^{-1}(\frac{2}{3}) \approx 33.7^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\theta_{topple} \approx 33.7^{\circ}$ એ વિરામ કોણ $\phi = 60^{\circ}$ કરતા ઓછો છે,તેથી બ્લોક સરકવાનું શરૂ કરે તે પહેલાં જ તે પલટી જશે. તેથી,જેમ $\theta$ ને $0^{\circ}$ થી વધારવામાં આવે છે,બ્લોક $\theta \approx 33.7^{\circ}$ સુધી સ્થિર રહેશે,અને તે બિંદુએ તે પલટી જશે.
0 likesView Solution
2
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2009
આકૃતિમાં આપેલ ચિત્ર જુઓ જે સમાન રેખા-જાડાઈની શાહીથી દોરવામાં આવ્યું છે. બે આંતરિક વર્તુળોમાંથી દરેકને દોરવા માટે વપરાતી શાહીનું દળ અને બે રેખાખંડોમાંથી દરેકનું દળ $m$ છે. બહારના વર્તુળને દોરવા માટે વપરાતી શાહીનું દળ $6m$ છે. વિવિધ ભાગોના કેન્દ્રોના યામ છે: બહારનું વર્તુળ $(0,0)$,ડાબું આંતરિક વર્તુળ $(-a, a)$,જમણું આંતરિક વર્તુળ $(a, a)$,ઉભી રેખા $(0,0)$ અને આડી રેખા $(0,-a)$. આ ચિત્રમાં શાહીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ કેટલો છે?
A
$\frac{a}{10}$
B
$\frac{a}{8}$
C
$\frac{a}{12}$
D
$\frac{a}{3}$
Solution
(A) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ $(Y_{CM})$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $Y_{CM} = \frac{\sum m_i y_i}{\sum m_i}$.
ઘટકો અને તેમના સંબંધિત દળ $(m_i)$ અને $y$-યામ $(y_i)$ નીચે મુજબ છે:
$1$. બહારનું વર્તુળ: $m_1 = 6m$,$y_1 = 0$
$2$. ડાબું આંતરિક વર્તુળ: $m_2 = m$,$y_2 = a$
$3$. જમણું આંતરિક વર્તુળ: $m_3 = m$,$y_3 = a$
$4$. ઉભી રેખા: $m_4 = m$,$y_4 = 0$
$5$. આડી રેખા: $m_5 = m$,$y_5 = -a$
કુલ દળ $M = 6m + m + m + m + m = 10m$.
$Y_{CM}$ ની ગણતરી:
$Y_{CM} = \frac{(6m \times 0) + (m \times a) + (m \times a) + (m \times 0) + (m \times -a)}{10m}$
$Y_{CM} = \frac{0 + ma + ma + 0 - ma}{10m}$
$Y_{CM} = \frac{ma}{10m} = \frac{a}{10}$.
ઘટકો અને તેમના સંબંધિત દળ $(m_i)$ અને $y$-યામ $(y_i)$ નીચે મુજબ છે:
$1$. બહારનું વર્તુળ: $m_1 = 6m$,$y_1 = 0$
$2$. ડાબું આંતરિક વર્તુળ: $m_2 = m$,$y_2 = a$
$3$. જમણું આંતરિક વર્તુળ: $m_3 = m$,$y_3 = a$
$4$. ઉભી રેખા: $m_4 = m$,$y_4 = 0$
$5$. આડી રેખા: $m_5 = m$,$y_5 = -a$
કુલ દળ $M = 6m + m + m + m + m = 10m$.
$Y_{CM}$ ની ગણતરી:
$Y_{CM} = \frac{(6m \times 0) + (m \times a) + (m \times a) + (m \times 0) + (m \times -a)}{10m}$
$Y_{CM} = \frac{0 + ma + ma + 0 - ma}{10m}$
$Y_{CM} = \frac{ma}{10m} = \frac{a}{10}$.
0 likesView Solution
3
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2009
સમાન દળના બે નાના કણો એક સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર કક્ષામાં બિંદુ $A$ થી વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ તેમના સ્પર્શકીય વેગ અનુક્રમે $v$ અને $2v$ છે. અથડામણો વચ્ચે,કણો અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે. $A$ સિવાયની કેટલી સ્થિતિસ્થાપક અથડામણો કર્યા પછી,આ બે કણો ફરીથી બિંદુ $A$ પર પહોંચશે?
A
$4$
B
$3$
C
$2$
D
$1$
Solution
(C) અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને દળ સમાન હોવાથી,દરેક અથડામણ પછી કણોના વેગની અદલાબદલી થશે.
ધારો કે કણો $t$ સમયે બિંદુ $A$ થી $\theta$ ખૂણે અથડાય છે.
પ્રથમ કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $R\theta = vt$ છે.
બીજા કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $R(2\pi - \theta) = 2vt$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{\theta}{2\pi - \theta} = \frac{vt}{2vt} = \frac{1}{2}$.
આનાથી $2\theta = 2\pi - \theta$ મળે છે,તેથી $3\theta = 2\pi$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$.
$120^{\circ}$ પર પ્રથમ અથડામણ પછી,વેગની અદલાબદલી થાય છે. જે કણનો વેગ $v$ હતો તેનો વેગ હવે $2v$ થાય છે,અને જેનો વેગ $2v$ હતો તેનો વેગ $v$ થાય છે.
તેઓ એકબીજાની સાપેક્ષમાં બીજા $120^{\circ}$ કાપ્યા પછી ફરીથી અથડાશે,જે બિંદુ $A$ થી $240^{\circ}$ ના ખૂણે થાય છે.
આ બીજી અથડામણ પછી,વેગ ફરીથી બદલાય છે. ત્યારબાદ કણો બિંદુ $A$ પર પહોંચવા માટે બાકીના $120^{\circ}$ નું અંતર એકસાથે કાપશે.
આમ,તેઓ $2$ અથડામણો પછી બિંદુ $A$ પર પહોંચશે.
ધારો કે કણો $t$ સમયે બિંદુ $A$ થી $\theta$ ખૂણે અથડાય છે.
પ્રથમ કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $R\theta = vt$ છે.
બીજા કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $R(2\pi - \theta) = 2vt$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{\theta}{2\pi - \theta} = \frac{vt}{2vt} = \frac{1}{2}$.
આનાથી $2\theta = 2\pi - \theta$ મળે છે,તેથી $3\theta = 2\pi$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$.
$120^{\circ}$ પર પ્રથમ અથડામણ પછી,વેગની અદલાબદલી થાય છે. જે કણનો વેગ $v$ હતો તેનો વેગ હવે $2v$ થાય છે,અને જેનો વેગ $2v$ હતો તેનો વેગ $v$ થાય છે.
તેઓ એકબીજાની સાપેક્ષમાં બીજા $120^{\circ}$ કાપ્યા પછી ફરીથી અથડાશે,જે બિંદુ $A$ થી $240^{\circ}$ ના ખૂણે થાય છે.
આ બીજી અથડામણ પછી,વેગ ફરીથી બદલાય છે. ત્યારબાદ કણો બિંદુ $A$ પર પહોંચવા માટે બાકીના $120^{\circ}$ નું અંતર એકસાથે કાપશે.
આમ,તેઓ $2$ અથડામણો પછી બિંદુ $A$ પર પહોંચશે.
0 likesView Solution
4
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2009
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો $x-t$ આલેખ નીચે દર્શાવેલ છે. $t = 4/3 \,s$ સમયે કણનો પ્રવેગ કેટલો હશે?
A
$\frac{\sqrt{3}}{32} \pi^2 \,cm/s^2$
B
$-\frac{\pi^2}{32} \,cm/s^2$
C
$\frac{\pi^2}{32} \,cm/s^2$
D
$-\frac{\sqrt{3}}{32} \pi^2 \,cm/s^2$
Solution
(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે।
$x-t$ આલેખ પરથી, $t = 0$ સમયે, કણ $x = 0$ પર છે।
તેથી, કણ તેની સરેરાશ સ્થિતિ (mean position) થી સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ શરૂ કરે છે।
$SHM$ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ છે।
આલેખ પરથી, આવર્તકાળ $T = 8 \,s$ અને કંપવિસ્તાર $A = 1 \,cm$ છે।
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \,rad/s$ છે।
આમ, ગતિનું સમીકરણ $x = 1 \sin\left(\frac{\pi t}{4}\right)$ થશે।
$t = 4/3 \,s$ સમયે, સ્થાનાંતર $x = \sin\left(\frac{\pi}{4} \times \frac{4}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \,cm$ મળે।
પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર $a = -\omega^2 x$ છે।
કિંમતો મૂકતા, $a = -\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi^2}{16} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}\pi^2}{32} \,cm/s^2$ મળે।
$x-t$ આલેખ પરથી, $t = 0$ સમયે, કણ $x = 0$ પર છે।
તેથી, કણ તેની સરેરાશ સ્થિતિ (mean position) થી સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ શરૂ કરે છે।
$SHM$ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ છે।
આલેખ પરથી, આવર્તકાળ $T = 8 \,s$ અને કંપવિસ્તાર $A = 1 \,cm$ છે।
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \,rad/s$ છે।
આમ, ગતિનું સમીકરણ $x = 1 \sin\left(\frac{\pi t}{4}\right)$ થશે।
$t = 4/3 \,s$ સમયે, સ્થાનાંતર $x = \sin\left(\frac{\pi}{4} \times \frac{4}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \,cm$ મળે।
પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર $a = -\omega^2 x$ છે।
કિંમતો મૂકતા, $a = -\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi^2}{16} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}\pi^2}{32} \,cm/s^2$ મળે।
0 likesView Solution
5
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
જો કણોની સિસ્ટમ પર કાર્ય કરતા તમામ બાહ્ય બળોનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય,તો જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાંથી,કોઈ ચોક્કસપણે કહી શકે કે
A
સિસ્ટમનું રેખીય વેગમાન સમય સાથે બદલાતું નથી
B
સિસ્ટમની ગતિ ઉર્જા સમય સાથે બદલાતી નથી
C
સિસ્ટમનું કોણીય વેગમાન સમય સાથે બદલાતું નથી
D
સિસ્ટમની સ્થિતિ ઉર્જા સમય સાથે બદલાતી નથી
Solution
(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં માન્ય છે અને આ નિયમ જણાવે છે કે,
જો કણોની સિસ્ટમ પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય તો રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.
$F_{\text{resultant}} = \frac{dP}{dt}$
તેથી,કારણ કે $F_{\text{resultant}} = 0$,આપણે કહી શકીએ કે સિસ્ટમનું રેખીય વેગમાન સમય સાથે બદલાશે નહીં.
જો કણોની સિસ્ટમ પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય તો રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.
$F_{\text{resultant}} = \frac{dP}{dt}$
તેથી,કારણ કે $F_{\text{resultant}} = 0$,આપણે કહી શકીએ કે સિસ્ટમનું રેખીય વેગમાન સમય સાથે બદલાશે નહીં.
0 likesView Solution
6
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
$C_{v}$ અને $C_{p}$ અનુક્રમે અચળ કદ અને અચળ દબાણે વાયુની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા દર્શાવે છે. તો
$(A)$ $C_{p}-C_{v}$ એ એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ કરતા દ્વિપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે મોટું છે
$(B)$ $C_{p}+C_{v}$ એ એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ કરતા દ્વિપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે મોટું છે
$(C)$ $C_{p} / C_{v}$ એ એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ કરતા દ્વિપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે મોટું છે
$(D)$ $C_{p} \cdot C_v$ એ એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ કરતા દ્વિપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે મોટું છે
$(A)$ $C_{p}-C_{v}$ એ એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ કરતા દ્વિપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે મોટું છે
$(B)$ $C_{p}+C_{v}$ એ એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ કરતા દ્વિપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે મોટું છે
$(C)$ $C_{p} / C_{v}$ એ એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ કરતા દ્વિપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે મોટું છે
$(D)$ $C_{p} \cdot C_v$ એ એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ કરતા દ્વિપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે મોટું છે
A
$(B, D)$
B
$(B, A)$
C
$(C, D)$
D
$(A, C)$
Solution
(A) એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે:
$C_{v} = \frac{3}{2}R$,$C_{p} = \frac{5}{2}R$.
આથી,$C_{p} - C_{v} = R$,$C_{p} + C_{v} = 4R$,$C_{p}/C_{v} = 5/3 \approx 1.67$,અને $C_{p} \cdot C_{v} = 3.75 R^2$.
દ્વિપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે:
$C_{v} = \frac{5}{2}R$,$C_{p} = \frac{7}{2}R$.
આથી,$C_{p} - C_{v} = R$,$C_{p} + C_{v} = 6R$,$C_{p}/C_{v} = 7/5 = 1.4$,અને $C_{p} \cdot C_{v} = 8.75 R^2$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$1$. $C_{p} - C_{v} = R$ બંને માટે સમાન છે,તેથી $(A)$ ખોટું છે.
$2$. $C_{p} + C_{v}$ એ $6R$ (દ્વિપરમાણ્વીય) > $4R$ (એકપરમાણ્વીય) છે,તેથી $(B)$ સાચું છે.
$3$. $C_{p}/C_{v}$ એ $1.4$ (દ્વિપરમાણ્વીય) < $1.67$ (એકપરમાણ્વીય) છે,તેથી $(C)$ ખોટું છે.
$4$. $C_{p} \cdot C_{v}$ એ $8.75 R^2$ (દ્વિપરમાણ્વીય) > $3.75 R^2$ (એકપરમાણ્વીય) છે,તેથી $(D)$ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(B)$ અને $(D)$ છે.
$C_{v} = \frac{3}{2}R$,$C_{p} = \frac{5}{2}R$.
આથી,$C_{p} - C_{v} = R$,$C_{p} + C_{v} = 4R$,$C_{p}/C_{v} = 5/3 \approx 1.67$,અને $C_{p} \cdot C_{v} = 3.75 R^2$.
દ્વિપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે:
$C_{v} = \frac{5}{2}R$,$C_{p} = \frac{7}{2}R$.
આથી,$C_{p} - C_{v} = R$,$C_{p} + C_{v} = 6R$,$C_{p}/C_{v} = 7/5 = 1.4$,અને $C_{p} \cdot C_{v} = 8.75 R^2$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$1$. $C_{p} - C_{v} = R$ બંને માટે સમાન છે,તેથી $(A)$ ખોટું છે.
$2$. $C_{p} + C_{v}$ એ $6R$ (દ્વિપરમાણ્વીય) > $4R$ (એકપરમાણ્વીય) છે,તેથી $(B)$ સાચું છે.
$3$. $C_{p}/C_{v}$ એ $1.4$ (દ્વિપરમાણ્વીય) < $1.67$ (એકપરમાણ્વીય) છે,તેથી $(C)$ ખોટું છે.
$4$. $C_{p} \cdot C_{v}$ એ $8.75 R^2$ (દ્વિપરમાણ્વીય) > $3.75 R^2$ (એકપરમાણ્વીય) છે,તેથી $(D)$ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(B)$ અને $(D)$ છે.
0 likesView Solution
7
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2009
કોલમ $II$ પાંચ સિસ્ટમો દર્શાવે છે જેમાં બે પદાર્થોને $X$ અને $Y$ તરીકે લેબલ કરવામાં આવ્યા છે. દરેક કિસ્સામાં એક બિંદુ $P$ પણ દર્શાવેલ છે. કોલમ $I$ માં $X$ અને/અથવા $Y$ વિશે કેટલાક વિધાનો આપેલા છે. આ વિધાનોને કોલમ $II$ ની યોગ્ય સિસ્ટમ(ઓ) સાથે જોડો.
| કોલમ $I$ | કોલમ $II$ |
|---|---|
| $(A)$ $X$ દ્વારા $Y$ પર લાગતું બળ $Mg$ જેટલું છે. | $(p)$ $M$ દળનો બ્લોક $Y$ સ્થિર ઢળતી સપાટી $X$ પર અચળ વેગથી સરકે છે. |
| $(B)$ $X$ ની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા સતત વધી રહી છે. | $(q)$ બે રીંગ ચુંબક $Y$ અને $Z$,દરેકનું દળ $M$,ઘર્ષણરહિત વર્ટિકલ પ્લાસ્ટિક સ્ટેન્ડમાં છે. $Y$ એ આધાર $X$ પર છે અને $Z$ સંતુલનમાં છે. આખી સિસ્ટમ અચળ વેગથી ઉપર જતી લિફ્ટમાં છે. |
| $(C)$ સિસ્ટમ $X+Y$ ની યાંત્રિક ઊર્જા સતત ઘટી રહી છે. | $(r)$ $m_0$ દળની ગરગડી $Y$ ને ટેબલ $X$ સાથે ક્લેમ્પ કરેલ છે. $M$ દળનો બ્લોક દોરી વડે લટકે છે. આખી સિસ્ટમ અચળ વેગથી નીચે જતી લિફ્ટમાં છે. |
| $(D)$ $P$ બિંદુની સાપેક્ષે $Y$ ના વજનનું ટોર્ક શૂન્ય છે. | $(s)$ $M$ દળનો ગોળો $Y$ બિન-સ્નિગ્ધ પ્રવાહી $X$ માં મુક્ત કરવામાં આવે છે અને નીચે ગતિ કરે છે. |
| $(t)$ $M$ દળનો ગોળો $Y$ સ્નિગ્ધ પ્રવાહી $X$ માં ટર્મિનલ વેગથી નીચે પડે છે. |
A
$(A) \rightarrow p, t; (B) \rightarrow q; (C) \rightarrow s, t; (D) \rightarrow p, r, s, t$
B
$(A) \rightarrow p, t; (B) \rightarrow q; (C) \rightarrow s, t; (D) \rightarrow p, r, s, t$
C
$(A) \rightarrow p, t; (B) \rightarrow q; (C) \rightarrow s, t; (D) \rightarrow p, r, s, t$
D
$(A) \rightarrow p, t; (B) \rightarrow q; (C) \rightarrow s, t; (D) \rightarrow p, r, s, t$
Solution
(A) કોલમ $I$ ના વિધાનોનું વિશ્લેષણ:
$(A)$ $X$ દ્વારા $Y$ પર લાગતું બળ $Mg$ છે: $(p)$ માં,$N = Mg \cos \theta \neq Mg$. $(q)$ માં,$X$ એ $Y$ ને ટેકો આપે છે,તેથી $N=Mg$. $(t)$ માં,$X$ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B < Mg$ લગાડે છે. $(r)$ માં,$X$ એક ક્લેમ્પ છે,બળ જટિલ છે. આમ,માત્ર $(q)$ માં $X$ એ $Y$ ને સ્થિર સ્થિતિમાં ટેકો આપે છે,તેથી $N=Mg$.
$(B)$ $X$ ની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા વધે છે: $X$ એ ફ્રેમ/આધાર છે. $(q)$ માં,લિફ્ટ ઉપર જાય છે,તેથી $X$ ઉપર જાય છે,ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા વધે છે.
$(C)$ યાંત્રિક ઊર્જા ઘટે છે: જ્યારે બિન-સંરક્ષી બળો (ઘર્ષણ/સ્નિગ્ધતા) ઋણ કાર્ય કરે ત્યારે આવું થાય છે. આ $(s)$ (જો ડ્રેગ હોત તો) અથવા $(t)$ (સ્નિગ્ધ ડ્રેગ) અને $(p)$ (ઘર્ષણ) માં થાય છે.
$(D)$ $P$ ની સાપેક્ષે $Y$ ના વજનનું ટોર્ક શૂન્ય છે: જો વજનની કાર્યરેખા $P$ માંથી પસાર થાય. $(p)$,$(r)$,$(s)$,અને $(t)$ માં ભૂમિતિ આને મંજૂરી આપે છે.
$(A)$ $X$ દ્વારા $Y$ પર લાગતું બળ $Mg$ છે: $(p)$ માં,$N = Mg \cos \theta \neq Mg$. $(q)$ માં,$X$ એ $Y$ ને ટેકો આપે છે,તેથી $N=Mg$. $(t)$ માં,$X$ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B < Mg$ લગાડે છે. $(r)$ માં,$X$ એક ક્લેમ્પ છે,બળ જટિલ છે. આમ,માત્ર $(q)$ માં $X$ એ $Y$ ને સ્થિર સ્થિતિમાં ટેકો આપે છે,તેથી $N=Mg$.
$(B)$ $X$ ની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા વધે છે: $X$ એ ફ્રેમ/આધાર છે. $(q)$ માં,લિફ્ટ ઉપર જાય છે,તેથી $X$ ઉપર જાય છે,ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા વધે છે.
$(C)$ યાંત્રિક ઊર્જા ઘટે છે: જ્યારે બિન-સંરક્ષી બળો (ઘર્ષણ/સ્નિગ્ધતા) ઋણ કાર્ય કરે ત્યારે આવું થાય છે. આ $(s)$ (જો ડ્રેગ હોત તો) અથવા $(t)$ (સ્નિગ્ધ ડ્રેગ) અને $(p)$ (ઘર્ષણ) માં થાય છે.
$(D)$ $P$ ની સાપેક્ષે $Y$ ના વજનનું ટોર્ક શૂન્ય છે: જો વજનની કાર્યરેખા $P$ માંથી પસાર થાય. $(p)$,$(r)$,$(s)$,અને $(t)$ માં ભૂમિતિ આને મંજૂરી આપે છે.
0 likesView Solution
8
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
આકૃતિમાં દર્શાવેલ દળ $M$ એ $A$ કંપવિસ્તાર સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. બિંદુ $P$ નો કંપવિસ્તાર કેટલો હશે?
A
$\frac{k_1 A}{k_2}$
B
$\frac{k_2 A}{k_1}$
C
$\frac{k_1 A}{k_1+k_2}$
D
$\frac{k_2 A}{k_1+k_2}$
Solution
(D) ધારો કે સ્પ્રિંગ $k_1$ માં વિસ્તરણ $x_1$ છે અને સ્પ્રિંગ $k_2$ માં વિસ્તરણ $x_2$ છે.
સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં હોવાથી,બંને સ્પ્રિંગમાં લાગતું બળ $F$ સમાન હશે.
$F = k_1 x_1 = k_2 x_2$
કુલ કંપવિસ્તાર $A$ એ બંને સ્પ્રિંગના વિસ્તરણનો સરવાળો છે:
$A = x_1 + x_2$
બળના સમીકરણ પરથી,$x_1 = \frac{F}{k_1}$ અને $x_2 = \frac{F}{k_2}$ મળે છે.
આ કિંમતોને કંપવિસ્તારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$A = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} = F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right) = F \left( \frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2} \right)$
આમ,બળ $F = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} A$ મળે છે.
બિંદુ $P$ નો કંપવિસ્તાર એ પ્રથમ સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ $x_1$ છે:
$x_1 = \frac{F}{k_1} = \frac{1}{k_1} \left( \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} A \right) = \frac{k_2 A}{k_1 + k_2}$.
સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં હોવાથી,બંને સ્પ્રિંગમાં લાગતું બળ $F$ સમાન હશે.
$F = k_1 x_1 = k_2 x_2$
કુલ કંપવિસ્તાર $A$ એ બંને સ્પ્રિંગના વિસ્તરણનો સરવાળો છે:
$A = x_1 + x_2$
બળના સમીકરણ પરથી,$x_1 = \frac{F}{k_1}$ અને $x_2 = \frac{F}{k_2}$ મળે છે.
આ કિંમતોને કંપવિસ્તારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$A = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} = F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right) = F \left( \frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2} \right)$
આમ,બળ $F = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} A$ મળે છે.
બિંદુ $P$ નો કંપવિસ્તાર એ પ્રથમ સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ $x_1$ છે:
$x_1 = \frac{F}{k_1} = \frac{1}{k_1} \left( \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} A \right) = \frac{k_2 A}{k_1 + k_2}$.
0 likesView Solution
9
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
એક તારને $y=kx^2$ ($y$-અક્ષ શિરોલંબ) પરવલયના આકારમાં વાળવામાં આવ્યો છે,જેના પર $m$ દળનો એક મણકો છે. મણકો તાર પર ઘર્ષણ વિના સરકી શકે છે. જ્યારે તાર સ્થિર હોય ત્યારે તે પરવલયના સૌથી નીચલા બિંદુ પર રહે છે. હવે તારને $x$-અક્ષને સમાંતર $a$ જેટલા અચળ પ્રવેગથી પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે. મણકાની નવી સંતુલન સ્થિતિનું $y$-અક્ષથી અંતર,જ્યાં મણકો તારની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહી શકે છે,તે કેટલું હશે?
A
$\frac{a}{gk}$
B
$\frac{a}{2gk}$
C
$\frac{2a}{gk}$
D
$\frac{a}{4gk}$
Solution
(B) પગલું $1$: સંદર્ભ ફ્રેમ પસંદ કરવી અને $FBD$ દોરવી. તારની ફ્રેમમાંથી સમસ્યા ઉકેલવી જે જમણી તરફ પ્રવેગિત થઈ રહી છે.
તેથી,$m$ દળ પર સ્યુડો ફોર્સ ડાબી દિશામાં લાગશે.
સ્યુડો ફોર્સ $= m \times a$.
પગલું $2$: સંતુલન સ્થિતિ.
સંતુલન સ્થિતિમાં,પસંદ કરેલી ફ્રેમમાં મણકાનો પ્રવેગ શૂન્ય હશે.
તેથી,$x$ અને $y$ દિશામાં બળોને સંતુલિત કરતા:
$N \sin \theta = ma \dots (1)$
$N \cos \theta = mg \dots (2)$
આ બે સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\tan \theta = \frac{a}{g} \dots (3)$
પગલું $3$: વક્રનો ઢાળ.
વક્રનું સમીકરણ $y = kx^2$ છે.
સંતુલન બિંદુ પર વક્રનો સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \tan \theta$ થાય.
$\frac{dy}{dx} = 2kx$.
ઢાળને સરખાવતા: $2kx = \frac{a}{g}$.
તેથી,$x = \frac{a}{2gk}$.
તેથી,$m$ દળ પર સ્યુડો ફોર્સ ડાબી દિશામાં લાગશે.
સ્યુડો ફોર્સ $= m \times a$.
પગલું $2$: સંતુલન સ્થિતિ.
સંતુલન સ્થિતિમાં,પસંદ કરેલી ફ્રેમમાં મણકાનો પ્રવેગ શૂન્ય હશે.
તેથી,$x$ અને $y$ દિશામાં બળોને સંતુલિત કરતા:
$N \sin \theta = ma \dots (1)$
$N \cos \theta = mg \dots (2)$
આ બે સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\tan \theta = \frac{a}{g} \dots (3)$
પગલું $3$: વક્રનો ઢાળ.
વક્રનું સમીકરણ $y = kx^2$ છે.
સંતુલન બિંદુ પર વક્રનો સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \tan \theta$ થાય.
$\frac{dy}{dx} = 2kx$.
ઢાળને સરખાવતા: $2kx = \frac{a}{g}$.
તેથી,$x = \frac{a}{2gk}$.
0 likesView Solution
10
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
$L$ લંબાઈ અને $M$ દળ ધરાવતો એક સમાન સળિયો તેના કેન્દ્ર પરથી ધરી પર ફરે છે. તેના બે છેડાઓ સમાન સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ ધરાવતી બે સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સ્પ્રિંગને દ્રઢ આધાર સાથે જોડવામાં આવી છે અને સળિયો સમક્ષિતિજ સમતલમાં દોલન કરવા માટે મુક્ત છે. સળિયાને એક દિશામાં નાના ખૂણે $\theta$ જેટલો ધકેલીને મુક્ત કરવામાં આવે છે. તો દોલનની આવૃત્તિ કેટલી હશે?
A
$\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{2 k}{M}}$
B
$\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{M}}$
C
$\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{6 k}{M}}$
D
$\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{24 k}{M}}$
Solution
(C) જ્યારે સળિયાને નાના ખૂણે $\theta$ જેટલો ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક સ્પ્રિંગના છેડાનું સ્થાનાંતર $x = \frac{L}{2} \sin \theta \approx \frac{L}{2} \theta$ થાય છે (નાના $\theta$ માટે).
દરેક સ્પ્રિંગ પુનઃસ્થાપક બળ $F = kx = k \frac{L}{2} \theta$ લગાડે છે.
કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં દરેક સ્પ્રિંગ દ્વારા મળતું પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = F \cdot \frac{L}{2} = k \left( \frac{L}{2} \theta \right) \frac{L}{2} = \frac{k L^2}{4} \theta$ છે.
બે સ્પ્રિંગ હોવાથી,કુલ પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau_{total} = 2 \times \frac{k L^2}{4} \theta = \frac{k L^2}{2} \theta$ થાય.
ભ્રમણીય દોલન માટે ગતિનું સમીકરણ $\tau = I \alpha$ છે,જ્યાં $I = \frac{M L^2}{12}$ એ સળિયાની તેના કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
તેથી,$\frac{M L^2}{12} \frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \frac{k L^2}{2} \theta$.
$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \left( \frac{6 k}{M} \right) \theta$.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $\frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{6 k}{M}$ મળે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{6 k}{M}}$.
દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{6 k}{M}}$ છે.
દરેક સ્પ્રિંગ પુનઃસ્થાપક બળ $F = kx = k \frac{L}{2} \theta$ લગાડે છે.
કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં દરેક સ્પ્રિંગ દ્વારા મળતું પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = F \cdot \frac{L}{2} = k \left( \frac{L}{2} \theta \right) \frac{L}{2} = \frac{k L^2}{4} \theta$ છે.
બે સ્પ્રિંગ હોવાથી,કુલ પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau_{total} = 2 \times \frac{k L^2}{4} \theta = \frac{k L^2}{2} \theta$ થાય.
ભ્રમણીય દોલન માટે ગતિનું સમીકરણ $\tau = I \alpha$ છે,જ્યાં $I = \frac{M L^2}{12}$ એ સળિયાની તેના કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
તેથી,$\frac{M L^2}{12} \frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \frac{k L^2}{2} \theta$.
$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \left( \frac{6 k}{M} \right) \theta$.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $\frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{6 k}{M}$ મળે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{6 k}{M}}$.
દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{6 k}{M}}$ છે.
0 likesView Solution
11
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
એક વિદ્યાર્થીએ રેઝોનન્સ એર-કોલમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હવામાં અવાજની ઝડપ માપવા માટે પ્રયોગ કર્યો. પાણીનું સ્તર નીચે કરીને એર-કોલમમાં બે અનુનાદ (resonances) મેળવવામાં આવ્યા હતા. ટૂંકી એર-કોલમ સાથેનો અનુનાદ એ પ્રથમ અનુનાદ છે અને લાંબી એર-કોલમ સાથેનો અનુનાદ એ બીજો અનુનાદ છે. તો,
A
$(A, C)$
B
$(C, D)$
C
$(B, D)$
D
$(A, D)$
Solution
(D) રેઝોનન્સ ટ્યુબના પ્રયોગમાં,પ્રથમ અનુનાદ લંબાઈ $l_1 \approx \lambda/4 - e$ પર થાય છે,જ્યાં $e$ એ એન્ડ કરેક્શન છે. $e > 0$ હોવાથી,$l_1$ એ $\lambda/4$ કરતા થોડું ટૂંકું હોય છે. તેથી,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
પ્રથમ અનુનાદ વખતે,એર-કોલમ ટૂંકી હોય છે,જેનો અર્થ છે કે બીજા અનુનાદની તુલનામાં ડેમ્પિંગ અસર ઓછી હોય છે,જેના પરિણામે અવાજની તીવ્રતા વધુ હોય છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
વિધાન $(B)$ ખોટું છે કારણ કે ટ્યુનિંગ ફોર્કના પ્રોંગ્સને સામાન્ય રીતે ઊભી સ્થિતિમાં રાખવામાં આવે છે જેથી અવાજના તરંગો ટ્યુબમાં નીચે તરફ પ્રસરણ પામે.
વિધાન $(C)$ ખોટું છે કારણ કે ટ્યુનિંગ ફોર્કના પ્રોંગ્સના કંપનનો કંપવિસ્તાર સામાન્ય રીતે $1 \ mm$ ની આસપાસ હોય છે,$1 \ cm$ નહીં.
પ્રથમ અનુનાદ વખતે,એર-કોલમ ટૂંકી હોય છે,જેનો અર્થ છે કે બીજા અનુનાદની તુલનામાં ડેમ્પિંગ અસર ઓછી હોય છે,જેના પરિણામે અવાજની તીવ્રતા વધુ હોય છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
વિધાન $(B)$ ખોટું છે કારણ કે ટ્યુનિંગ ફોર્કના પ્રોંગ્સને સામાન્ય રીતે ઊભી સ્થિતિમાં રાખવામાં આવે છે જેથી અવાજના તરંગો ટ્યુબમાં નીચે તરફ પ્રસરણ પામે.
વિધાન $(C)$ ખોટું છે કારણ કે ટ્યુનિંગ ફોર્કના પ્રોંગ્સના કંપનનો કંપવિસ્તાર સામાન્ય રીતે $1 \ mm$ ની આસપાસ હોય છે,$1 \ cm$ નહીં.
0 likesView Solution
12
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2009
આકૃતિ એક આદર્શ વાયુ માટે $ABCDA$ ચક્ર દરમિયાન $P-V$ આલેખ દર્શાવે છે. ભાગ $ABC$ એક અર્ધવર્તુળ છે અને $CDA$ એ લંબગોળનો અડધો ભાગ છે. તો,
$(A)$ $A \rightarrow B$ માર્ગ દરમિયાન પ્રક્રિયા સમતાપી છે
$(B)$ $B \rightarrow C \rightarrow D$ માર્ગ દરમિયાન વાયુમાંથી ઉષ્મા બહાર નીકળે છે
$(C)$ $A \rightarrow B \rightarrow C$ માર્ગ દરમિયાન થયેલ કાર્ય શૂન્ય છે
$(D)$ $ABCDA$ ચક્રમાં વાયુ દ્વારા ધન કાર્ય કરવામાં આવે છે
$(A)$ $A \rightarrow B$ માર્ગ દરમિયાન પ્રક્રિયા સમતાપી છે
$(B)$ $B \rightarrow C \rightarrow D$ માર્ગ દરમિયાન વાયુમાંથી ઉષ્મા બહાર નીકળે છે
$(C)$ $A \rightarrow B \rightarrow C$ માર્ગ દરમિયાન થયેલ કાર્ય શૂન્ય છે
$(D)$ $ABCDA$ ચક્રમાં વાયુ દ્વારા ધન કાર્ય કરવામાં આવે છે
A
$(B,D)$
B
$(C,D)$
C
$(A,B)$
D
$(A,C)$
Solution
(A) સાચા વિકલ્પો $(B)$ અને $(D)$ છે.
$1$. $(A)$ નું વિશ્લેષણ: આદર્શ વાયુ માટે સમતાપી પ્રક્રિયા $PV = \text{અચળ}$ ને અનુસરે છે, જે $P-V$ આલેખ પર લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) છે, વર્તુળાકાર કે લંબગોળાકાર ચાપ નથી। તેથી, $(A)$ ખોટું છે.
$2$. $(B)$ નું વિશ્લેષણ: $B \rightarrow C \rightarrow D$ માર્ગ માટે, કદ ઘટે છે ($V$, $3$ થી $1$ થાય છે), તેથી વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \int P \, dV$ ઋણ છે। વળી, તાપમાન $T \propto PV$ એ $B$ થી $C$ અને $C$ થી $D$ સુધી ઘટે છે, તેથી આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ ઋણ છે। ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + W$. $\Delta U < 0$ અને $W < 0$ હોવાથી, ઉષ્મા $\Delta Q$ ઋણ હોવી જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે વાયુમાંથી ઉષ્મા બહાર નીકળે છે। તેથી, $(B)$ સાચું છે.
$3$. $(C)$ નું વિશ્લેષણ: $A \rightarrow B \rightarrow C$ દરમિયાન થયેલ કાર્ય એ $ABC$ વક્રની નીચે $V$-અક્ષ સાથે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે। આ માર્ગમાં વિસ્તરણ અને ત્યારબાદ સંકોચનનો સમાવેશ થાય છે, તેથી કુલ કાર્ય શૂન્ય નથી। તેથી, $(C)$ ખોટું છે.
$4$. $(D)$ નું વિશ્લેષણ: $P-V$ આલેખ પર $ABCDA$ ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં છે। ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ચક્ર માટે, વાયુ દ્વારા થયેલ કુલ કાર્ય ધન હોય છે, જે ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે। તેથી, $(D)$ સાચું છે.
$1$. $(A)$ નું વિશ્લેષણ: આદર્શ વાયુ માટે સમતાપી પ્રક્રિયા $PV = \text{અચળ}$ ને અનુસરે છે, જે $P-V$ આલેખ પર લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) છે, વર્તુળાકાર કે લંબગોળાકાર ચાપ નથી। તેથી, $(A)$ ખોટું છે.
$2$. $(B)$ નું વિશ્લેષણ: $B \rightarrow C \rightarrow D$ માર્ગ માટે, કદ ઘટે છે ($V$, $3$ થી $1$ થાય છે), તેથી વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \int P \, dV$ ઋણ છે। વળી, તાપમાન $T \propto PV$ એ $B$ થી $C$ અને $C$ થી $D$ સુધી ઘટે છે, તેથી આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ ઋણ છે। ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + W$. $\Delta U < 0$ અને $W < 0$ હોવાથી, ઉષ્મા $\Delta Q$ ઋણ હોવી જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે વાયુમાંથી ઉષ્મા બહાર નીકળે છે। તેથી, $(B)$ સાચું છે.
$3$. $(C)$ નું વિશ્લેષણ: $A \rightarrow B \rightarrow C$ દરમિયાન થયેલ કાર્ય એ $ABC$ વક્રની નીચે $V$-અક્ષ સાથે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે। આ માર્ગમાં વિસ્તરણ અને ત્યારબાદ સંકોચનનો સમાવેશ થાય છે, તેથી કુલ કાર્ય શૂન્ય નથી। તેથી, $(C)$ ખોટું છે.
$4$. $(D)$ નું વિશ્લેષણ: $P-V$ આલેખ પર $ABCDA$ ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં છે। ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ચક્ર માટે, વાયુ દ્વારા થયેલ કુલ કાર્ય ધન હોય છે, જે ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે। તેથી, $(D)$ સાચું છે.
0 likesView Solution
13
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
એક ગોળો સ્થિર સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડી રહ્યો છે. આકૃતિમાં,$A$ એ સંપર્ક બિંદુ છે,$B$ એ ગોળાનું કેન્દ્ર છે અને $C$ એ તેનું સૌથી ઉપરનું બિંદુ છે. તો,
$(A)$ $\vec{V}_C-\vec{V}_A=2(\vec{V}_B-\vec{V}_C)$
$(B)$ $\vec{V}_C-\vec{V}_B=\vec{V}_B-\vec{V}_A$
$(C)$ $|\vec{V}_C-\vec{V}_A|=2|\vec{V}_B-\vec{V}_C|$
$(D)$ $|\vec{V}_C-\vec{V}_A|=4|\vec{V}_B|$
$(A)$ $\vec{V}_C-\vec{V}_A=2(\vec{V}_B-\vec{V}_C)$
$(B)$ $\vec{V}_C-\vec{V}_B=\vec{V}_B-\vec{V}_A$
$(C)$ $|\vec{V}_C-\vec{V}_A|=2|\vec{V}_B-\vec{V}_C|$
$(D)$ $|\vec{V}_C-\vec{V}_A|=4|\vec{V}_B|$
A
$(B, C)$
B
$(B, D)$
C
$(A, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(C) ધારો કે $\vec{V}_0$ એ ગોળાના કેન્દ્રનો વેગ છે. સ્થિર સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતા ગોળા માટે:
$\vec{V}_A = 0$ (સંપર્ક બિંદુનો વેગ)
$\vec{V}_B = \vec{V}_0$ (કેન્દ્રનો વેગ)
$\vec{V}_C = 2\vec{V}_0$ (સૌથી ઉપરના બિંદુનો વેગ)
હવે,આપેલા વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $\vec{V}_C - \vec{V}_B = 2\vec{V}_0 - \vec{V}_0 = \vec{V}_0$ અને $\vec{V}_B - \vec{V}_A = \vec{V}_0 - 0 = \vec{V}_0$. તેથી,$\vec{V}_C - \vec{V}_B = \vec{V}_B - \vec{V}_A$ સાચું છે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: $|\vec{V}_C - \vec{V}_A| = |2\vec{V}_0 - 0| = 2|\vec{V}_0|$ અને $2|\vec{V}_B - \vec{V}_C| = 2|\vec{V}_0 - 2\vec{V}_0| = 2|-\vec{V}_0| = 2|\vec{V}_0|$. તેથી,$|\vec{V}_C - \vec{V}_A| = 2|\vec{V}_B - \vec{V}_C|$ સાચું છે.
તેથી,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા વિધાનો છે.
$\vec{V}_A = 0$ (સંપર્ક બિંદુનો વેગ)
$\vec{V}_B = \vec{V}_0$ (કેન્દ્રનો વેગ)
$\vec{V}_C = 2\vec{V}_0$ (સૌથી ઉપરના બિંદુનો વેગ)
હવે,આપેલા વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $\vec{V}_C - \vec{V}_B = 2\vec{V}_0 - \vec{V}_0 = \vec{V}_0$ અને $\vec{V}_B - \vec{V}_A = \vec{V}_0 - 0 = \vec{V}_0$. તેથી,$\vec{V}_C - \vec{V}_B = \vec{V}_B - \vec{V}_A$ સાચું છે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: $|\vec{V}_C - \vec{V}_A| = |2\vec{V}_0 - 0| = 2|\vec{V}_0|$ અને $2|\vec{V}_B - \vec{V}_C| = 2|\vec{V}_0 - 2\vec{V}_0| = 2|-\vec{V}_0| = 2|\vec{V}_0|$. તેથી,$|\vec{V}_C - \vec{V}_A| = 2|\vec{V}_B - \vec{V}_C|$ સાચું છે.
તેથી,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા વિધાનો છે.
0 likesView Solution
14
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
$10x$ લંબાઈના ધાતુના સળિયા $AB$ નો એક છેડો $A$ એ $0^{\circ}C$ તાપમાને બરફમાં અને બીજો છેડો $B$ એ $100^{\circ}C$ તાપમાને પાણીમાં છે. જો સળિયા પરના બિંદુ $P$ ને $400^{\circ}C$ તાપમાને જાળવી રાખવામાં આવે,તો એકમ સમયમાં સમાન જથ્થામાં પાણીનું બાષ્પીભવન થાય છે અને બરફ પીગળે છે. પાણીની બાષ્પીભવનની ગુપ્ત ઉષ્મા $540 \ cal/g$ અને બરફની ગલન ગુપ્ત ઉષ્મા $80 \ cal/g$ છે. જો બિંદુ $P$ એ બરફવાળા છેડા $A$ થી $\lambda x$ અંતરે હોય,તો $\lambda$ નું મૂલ્ય શોધો. (પર્યાવરણમાં થતો ઉષ્માનો વ્યય અવગણો.)
A
$4$
B
$9$
C
$5$
D
$2$
Solution
(B) ધારો કે એકમ સમયમાં પીગળતા બરફનું દળ અને બાષ્પીભવન પામતા પાણીનું દળ $m$ છે.
$A$ પાસે બરફને પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો દર $H_1 = m \times L_f = m \times 80$ છે.
$B$ પાસે પાણીને બાષ્પીભવન કરવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો દર $H_2 = m \times L_v = m \times 540$ છે.
ઉષ્મા વહન માટેના સૂત્ર $H = \frac{KA \Delta T}{L}$ નો ઉપયોગ કરતા:
વિભાગ $AP$ માટે: $H_1 = \frac{KA(400 - 0)}{\lambda x} = 80m \quad \dots(1)$
વિભાગ $PB$ માટે: $H_2 = \frac{KA(400 - 100)}{(10 - \lambda)x} = 540m \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{80m}{540m} = \frac{KA(400) / \lambda x}{KA(300) / (10 - \lambda)x}$
$\frac{8}{54} = \frac{400}{300} \times \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\frac{4}{27} = \frac{4}{3} \times \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\frac{1}{9} = \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\lambda = 90 - 9\lambda$
$10\lambda = 90$
$\lambda = 9$.
$A$ પાસે બરફને પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો દર $H_1 = m \times L_f = m \times 80$ છે.
$B$ પાસે પાણીને બાષ્પીભવન કરવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો દર $H_2 = m \times L_v = m \times 540$ છે.
ઉષ્મા વહન માટેના સૂત્ર $H = \frac{KA \Delta T}{L}$ નો ઉપયોગ કરતા:
વિભાગ $AP$ માટે: $H_1 = \frac{KA(400 - 0)}{\lambda x} = 80m \quad \dots(1)$
વિભાગ $PB$ માટે: $H_2 = \frac{KA(400 - 100)}{(10 - \lambda)x} = 540m \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{80m}{540m} = \frac{KA(400) / \lambda x}{KA(300) / (10 - \lambda)x}$
$\frac{8}{54} = \frac{400}{300} \times \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\frac{4}{27} = \frac{4}{3} \times \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\frac{1}{9} = \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\lambda = 90 - 9\lambda$
$10\lambda = 90$
$\lambda = 9$.
0 likesView Solution
15
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
$500 \ mm$ ની ઊંચાઈ ધરાવતા નળાકાર પાત્રના તળિયે એક છિદ્ર (નાનું કાણું) છે. શરૂઆતમાં છિદ્ર બંધ છે અને તેમાં $H$ ઊંચાઈ સુધી પાણી ભરેલું છે. હવે ઉપરનો ભાગ ઢાંકણ વડે સંપૂર્ણપણે સીલ કરવામાં આવે છે અને તળિયે રહેલું છિદ્ર ખોલવામાં આવે છે. થોડું પાણી છિદ્રમાંથી બહાર નીકળી જાય છે અને પાત્રમાં પાણીનું સ્તર $200 \ mm$ ની ઊંચાઈએ સ્થિર થાય છે. છિદ્ર ખોલવાને કારણે પાણીના સ્તરમાં થયેલો ઘટાડો ($mm$ માં) શોધો.
[વાતાવરણીય દબાણ $= 1.0 \times 10^5 \ N/m^2$,પાણીની ઘનતા $= 1000 \ kg/m^3$ અને $g = 10 \ m/s^2$ લો. પૃષ્ઠતાણની કોઈપણ અસરને અવગણો.]
[વાતાવરણીય દબાણ $= 1.0 \times 10^5 \ N/m^2$,પાણીની ઘનતા $= 1000 \ kg/m^3$ અને $g = 10 \ m/s^2$ લો. પૃષ્ઠતાણની કોઈપણ અસરને અવગણો.]
A
$6$
B
$5$
C
$4$
D
$3$
Solution
(A) ધારો કે $A$ એ પાત્રનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $L = 500 \ mm = 0.5 \ m$ એ પાત્રની કુલ ઊંચાઈ છે.
શરૂઆતમાં,પાણી $H$ ઊંચાઈ સુધી ભરેલું છે. પાણીની ઉપરની હવાનું કદ $V_0 = A(L - H)$ છે,જે વાતાવરણીય દબાણ $P_0 = 10^5 \ N/m^2$ પર છે.
જ્યારે છિદ્ર ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે પાણી ત્યાં સુધી બહાર નીકળે છે જ્યાં સુધી તળિયે રહેલા છિદ્ર પરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ જેટલું ન થાય. ધારો કે પાણીના સ્તંભની અંતિમ ઊંચાઈ $h = 200 \ mm = 0.2 \ m$ છે.
પાણીની ઉપર ફસાયેલી હવાનું દબાણ $P$ એ $P + \rho gh = P_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = 10^5 - (1000)(10)(0.2) = 10^5 - 2000 = 98000 \ N/m^2 = 98 \times 10^3 \ N/m^2$.
પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી,$P_0 V_0 = P V_f$,જ્યાં $V_f = A(L - h)$ એ હવાનું અંતિમ કદ છે.
$10^5 \times A(0.5 - H) = 98 \times 10^3 \times A(0.5 - 0.2)$.
$100(0.5 - H) = 98(0.3)$.
$0.5 - H = 0.294$.
$H = 0.5 - 0.294 = 0.206 \ m = 206 \ mm$.
પાણીના સ્તરમાં થયેલો ઘટાડો $H - h = 206 \ mm - 200 \ mm = 6 \ mm$ છે.
શરૂઆતમાં,પાણી $H$ ઊંચાઈ સુધી ભરેલું છે. પાણીની ઉપરની હવાનું કદ $V_0 = A(L - H)$ છે,જે વાતાવરણીય દબાણ $P_0 = 10^5 \ N/m^2$ પર છે.
જ્યારે છિદ્ર ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે પાણી ત્યાં સુધી બહાર નીકળે છે જ્યાં સુધી તળિયે રહેલા છિદ્ર પરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ જેટલું ન થાય. ધારો કે પાણીના સ્તંભની અંતિમ ઊંચાઈ $h = 200 \ mm = 0.2 \ m$ છે.
પાણીની ઉપર ફસાયેલી હવાનું દબાણ $P$ એ $P + \rho gh = P_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = 10^5 - (1000)(10)(0.2) = 10^5 - 2000 = 98000 \ N/m^2 = 98 \times 10^3 \ N/m^2$.
પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી,$P_0 V_0 = P V_f$,જ્યાં $V_f = A(L - h)$ એ હવાનું અંતિમ કદ છે.
$10^5 \times A(0.5 - H) = 98 \times 10^3 \times A(0.5 - 0.2)$.
$100(0.5 - H) = 98(0.3)$.
$0.5 - H = 0.294$.
$H = 0.5 - 0.294 = 0.206 \ m = 206 \ mm$.
પાણીના સ્તરમાં થયેલો ઘટાડો $H - h = 206 \ mm - 200 \ mm = 6 \ mm$ છે.
0 likesView Solution
16
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
બે સાબુના પરપોટા $A$ અને $B$ ને એક બંધ ચેમ્બરમાં રાખવામાં આવ્યા છે જ્યાં હવાનું દબાણ $8 \ N/m^2$ જાળવવામાં આવે છે. પરપોટા $A$ અને $B$ ની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $2 \ cm$ અને $4 \ cm$ છે. સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ $0.04 \ N/m$ છે. ગુણોત્તર $n_B / n_A$ શોધો,જ્યાં $n_A$ અને $n_B$ એ પરપોટા $A$ અને $B$ માં રહેલી હવાની મોલ સંખ્યા છે. [ગુરુત્વાકર્ષણની અસરને અવગણો.]
A
$4$
B
$6$
C
$7$
D
$8$
Solution
(B) સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P = P_0 + \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_0 = 8 \ N/m^2$ એ બાહ્ય દબાણ છે,$T = 0.04 \ N/m$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
પરપોટા $A$ માટે $(r_A = 0.02 \ m)$: $P_A = 8 + \frac{4 \times 0.04}{0.02} = 8 + 8 = 16 \ N/m^2$.
પરપોટા $B$ માટે $(r_B = 0.04 \ m)$: $P_B = 8 + \frac{4 \times 0.04}{0.04} = 8 + 4 = 12 \ N/m^2$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,અને તાપમાન $T$ અચળ છે તેમ ધારતા,$n = \frac{PV}{RT}$.
પરપોટા $A$ માટે: $n_A = \frac{P_A V_A}{RT} = \frac{16 \times \frac{4}{3} \pi (0.02)^3}{RT}$.
પરપોટા $B$ માટે: $n_B = \frac{P_B V_B}{RT} = \frac{12 \times \frac{4}{3} \pi (0.04)^3}{RT}$.
ગુણોત્તર લેતા $\frac{n_B}{n_A} = \frac{12 \times (0.04)^3}{16 \times (0.02)^3} = \frac{12}{16} \times (2)^3 = \frac{3}{4} \times 8 = 6$.
પરપોટા $A$ માટે $(r_A = 0.02 \ m)$: $P_A = 8 + \frac{4 \times 0.04}{0.02} = 8 + 8 = 16 \ N/m^2$.
પરપોટા $B$ માટે $(r_B = 0.04 \ m)$: $P_B = 8 + \frac{4 \times 0.04}{0.04} = 8 + 4 = 12 \ N/m^2$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,અને તાપમાન $T$ અચળ છે તેમ ધારતા,$n = \frac{PV}{RT}$.
પરપોટા $A$ માટે: $n_A = \frac{P_A V_A}{RT} = \frac{16 \times \frac{4}{3} \pi (0.02)^3}{RT}$.
પરપોટા $B$ માટે: $n_B = \frac{P_B V_B}{RT} = \frac{12 \times \frac{4}{3} \pi (0.04)^3}{RT}$.
ગુણોત્તર લેતા $\frac{n_B}{n_A} = \frac{12 \times (0.04)^3}{16 \times (0.02)^3} = \frac{12}{16} \times (2)^3 = \frac{3}{4} \times 8 = 6$.
0 likesView Solution
17
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
ત્રણ પદાર્થો $A$,$B$ અને $C$ ને ઘર્ષણરહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર એક સીધી રેખામાં રાખવામાં આવ્યા છે. તેમના દળ અનુક્રમે $m$,$2m$ અને $m$ છે. પદાર્થ $A$,$9 \ m/s$ ની ઝડપથી $B$ તરફ ગતિ કરે છે અને તેની સાથે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરે છે. ત્યારબાદ,$B$ એ $C$ સાથે સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરે છે. બધી ગતિ એક જ સીધી રેખામાં થાય છે. પદાર્થ $C$ ની અંતિમ ઝડપ ($m/s$ માં) શોધો.
A
$9$
B
$5$
C
$4$
D
$6$
Solution
(C) પગલું $1$: $A$ અને $B$ વચ્ચે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ.
ધારો કે $v_A = 9 \ m/s$ અને $v_B = 0$. અથડામણ પછી,વેગ $v_A'$ અને $v_B'$ છે.
વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m(9) + 2m(0) = m v_A' + 2m v_B' \Rightarrow 9 = v_A' + 2v_B'$.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંક $(e=1)$ મુજબ: $v_B' - v_A' = e(v_A - v_B) = 1(9 - 0) = 9 \Rightarrow v_B' - v_A' = 9$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(v_A' + 2v_B') + (v_B' - v_A') = 9 + 9 \Rightarrow 3v_B' = 18 \Rightarrow v_B' = 6 \ m/s$.
પગલું $2$: $B$ અને $C$ વચ્ચે સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ.
ધારો કે $v_B' = 6 \ m/s$ અને $v_C = 0$. અથડામણ પછી,$B$ અને $C$ સાથે મળીને $v_f$ વેગથી ગતિ કરે છે.
વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $2m(v_B') + m(0) = (2m + m)v_f \Rightarrow 2m(6) = 3m v_f \Rightarrow 12 = 3v_f \Rightarrow v_f = 4 \ m/s$.
આમ,પદાર્થ $C$ ની અંતિમ ઝડપ $4 \ m/s$ છે.
ધારો કે $v_A = 9 \ m/s$ અને $v_B = 0$. અથડામણ પછી,વેગ $v_A'$ અને $v_B'$ છે.
વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m(9) + 2m(0) = m v_A' + 2m v_B' \Rightarrow 9 = v_A' + 2v_B'$.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંક $(e=1)$ મુજબ: $v_B' - v_A' = e(v_A - v_B) = 1(9 - 0) = 9 \Rightarrow v_B' - v_A' = 9$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(v_A' + 2v_B') + (v_B' - v_A') = 9 + 9 \Rightarrow 3v_B' = 18 \Rightarrow v_B' = 6 \ m/s$.
પગલું $2$: $B$ અને $C$ વચ્ચે સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ.
ધારો કે $v_B' = 6 \ m/s$ અને $v_C = 0$. અથડામણ પછી,$B$ અને $C$ સાથે મળીને $v_f$ વેગથી ગતિ કરે છે.
વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $2m(v_B') + m(0) = (2m + m)v_f \Rightarrow 2m(6) = 3m v_f \Rightarrow 12 = 3v_f \Rightarrow v_f = 4 \ m/s$.
આમ,પદાર્થ $C$ ની અંતિમ ઝડપ $4 \ m/s$ છે.
0 likesView Solution
18
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક હલકી અદબનીય દોરી એક લીસી સ્થિર ગરગડી પરથી પસાર થાય છે અને $m_1 = 0.36 \text{ kg}$ અને $m_2 = 0.72 \text{ kg}$ દળના બે બ્લોકને જોડે છે. $g = 10 \text{ m/s}^2$ લેતા,જ્યારે તંત્રને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે ત્યારે પ્રથમ સેકન્ડ દરમિયાન $0.36 \text{ kg}$ દળના બ્લોક પર દોરી દ્વારા થયેલું કાર્ય (જૂલમાં) શોધો.
A
$5$
B
$6$
C
$8$
D
$9$
Solution
(C) ધારો કે $m_1 = 0.36 \text{ kg}$ અને $m_2 = 0.72 \text{ kg}$ છે.
$m_2$ દળના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ: $m_2 g - T = m_2 a$.
$m_1$ દળના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ: $T - m_1 g = m_1 a$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(m_2 - m_1) g = (m_1 + m_2) a$.
$a = \frac{(m_2 - m_1) g}{m_1 + m_2} = \frac{(0.72 - 0.36) \times 10}{0.72 + 0.36} = \frac{0.36 \times 10}{1.08} = \frac{3.6}{1.08} = \frac{10}{3} \text{ m/s}^2$.
તણાવબળ $T$: $T = m_1(g + a) = 0.36 \times (10 + \frac{10}{3}) = 0.36 \times \frac{40}{3} = 0.12 \times 40 = 4.8 \text{ N}$.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી $t = 1 \text{ s}$ માં સ્થાનાંતર $s$: $s = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times (1)^2 = \frac{5}{3} \text{ m}$.
$m_1$ દળના બ્લોક પર દોરી દ્વારા થયેલું કાર્ય: $W = T \times s = 4.8 \times \frac{5}{3} = 1.6 \times 5 = 8 \text{ J}$.
$m_2$ દળના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ: $m_2 g - T = m_2 a$.
$m_1$ દળના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ: $T - m_1 g = m_1 a$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(m_2 - m_1) g = (m_1 + m_2) a$.
$a = \frac{(m_2 - m_1) g}{m_1 + m_2} = \frac{(0.72 - 0.36) \times 10}{0.72 + 0.36} = \frac{0.36 \times 10}{1.08} = \frac{3.6}{1.08} = \frac{10}{3} \text{ m/s}^2$.
તણાવબળ $T$: $T = m_1(g + a) = 0.36 \times (10 + \frac{10}{3}) = 0.36 \times \frac{40}{3} = 0.12 \times 40 = 4.8 \text{ N}$.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી $t = 1 \text{ s}$ માં સ્થાનાંતર $s$: $s = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times (1)^2 = \frac{5}{3} \text{ m}$.
$m_1$ દળના બ્લોક પર દોરી દ્વારા થયેલું કાર્ય: $W = T \times s = 4.8 \times \frac{5}{3} = 1.6 \times 5 = 8 \text{ J}$.
0 likesView Solution
19
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
$20 \ cm$ લાંબી દોરી,જેનું દળ $1.0 \ g$ છે,તેના બંને છેડા જડિત કરેલા છે. દોરીમાં તણાવ $0.5 \ N$ છે. $100 \ Hz$ આવૃત્તિ ધરાવતા બાહ્ય વાઇબ્રેટરનો ઉપયોગ કરીને દોરીને કંપિત કરવામાં આવે છે. દોરી પરના ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) વચ્ચેનું અંતર ($cm$ માં) શોધો.
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$8$
Solution
(A) દોરીમાં તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ દોરીમાં તણાવ છે અને $\mu$ એ દોરીની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આપેલ છે: $T = 0.5 \ N$,દળ $m = 1.0 \ g = 1.0 \times 10^{-3} \ kg$,અને લંબાઈ $L = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L} = \frac{1.0 \times 10^{-3} \ kg}{0.2 \ m} = 0.5 \times 10^{-2} \ kg/m$.
આ કિંમતોને વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{0.5}{0.5 \times 10^{-2}}} = \sqrt{100} = 10 \ m/s$.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{v}{f}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $f = 100 \ Hz$.
$\lambda = \frac{10 \ m/s}{100 \ Hz} = 0.1 \ m = 10 \ cm$.
સ્થિત તરંગમાં ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
તેથી,અંતર $= \frac{10 \ cm}{2} = 5 \ cm$.
આપેલ છે: $T = 0.5 \ N$,દળ $m = 1.0 \ g = 1.0 \times 10^{-3} \ kg$,અને લંબાઈ $L = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L} = \frac{1.0 \times 10^{-3} \ kg}{0.2 \ m} = 0.5 \times 10^{-2} \ kg/m$.
આ કિંમતોને વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{0.5}{0.5 \times 10^{-2}}} = \sqrt{100} = 10 \ m/s$.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{v}{f}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $f = 100 \ Hz$.
$\lambda = \frac{10 \ m/s}{100 \ Hz} = 0.1 \ m = 10 \ cm$.
સ્થિત તરંગમાં ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
તેથી,અંતર $= \frac{10 \ cm}{2} = 5 \ cm$.
0 likesView Solution
20
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2009
$R, 2R, 3R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ત્રણ સમકેન્દ્રી ધાતુના ગોલીય કવચોને અનુક્રમે $Q_1, Q_2, Q_3$ વિદ્યુતભારો આપવામાં આવે છે. જો કવચોની બહારની સપાટી પરની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા સમાન હોય,તો કવચોને આપેલા વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર $Q_1 : Q_2 : Q_3$ કેટલો થાય?
A
$1 : 2 : 3$
B
$1 : 4 : 9$
C
$1 : 3 : 5$
D
$1 : 8 : 18$
Solution
(B) ધારો કે કવચો પરની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા અનુક્રમે $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ છે.
આપેલ છે કે $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_3 = \sigma$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતાની વ્યાખ્યા $\sigma = \frac{Q}{A}$ છે,જ્યાં $A = 4\pi r^2$ એ ગોળાનું પૃષ્ઠફળ છે.
પ્રથમ કવચ માટે: $Q_1 = \sigma \cdot 4\pi R^2$.
બીજા કવચ માટે: $Q_2 = \sigma \cdot 4\pi (2R)^2 = \sigma \cdot 16\pi R^2$.
ત્રીજા કવચ માટે: $Q_3 = \sigma \cdot 4\pi (3R)^2 = \sigma \cdot 36\pi R^2$.
હવે,$Q_1 : Q_2 : Q_3$ નો ગુણોત્તર:
$Q_1 : Q_2 : Q_3 = (\sigma \cdot 4\pi R^2) : (\sigma \cdot 16\pi R^2) : (\sigma \cdot 36\pi R^2)$.
$4\pi R^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$Q_1 : Q_2 : Q_3 = 1 : 4 : 9$.
આપેલ છે કે $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_3 = \sigma$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતાની વ્યાખ્યા $\sigma = \frac{Q}{A}$ છે,જ્યાં $A = 4\pi r^2$ એ ગોળાનું પૃષ્ઠફળ છે.
પ્રથમ કવચ માટે: $Q_1 = \sigma \cdot 4\pi R^2$.
બીજા કવચ માટે: $Q_2 = \sigma \cdot 4\pi (2R)^2 = \sigma \cdot 16\pi R^2$.
ત્રીજા કવચ માટે: $Q_3 = \sigma \cdot 4\pi (3R)^2 = \sigma \cdot 36\pi R^2$.
હવે,$Q_1 : Q_2 : Q_3$ નો ગુણોત્તર:
$Q_1 : Q_2 : Q_3 = (\sigma \cdot 4\pi R^2) : (\sigma \cdot 16\pi R^2) : (\sigma \cdot 36\pi R^2)$.
$4\pi R^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$Q_1 : Q_2 : Q_3 = 1 : 4 : 9$.
0 likesView Solution
21
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
એક દડાને તળાવની સપાટીથી $20 \,m$ ની ઊંચાઈએથી નીચે પાડવામાં આવે છે. પાણીનો વક્રીભવનાંક $4/3$ છે. તળાવની અંદર રહેલી એક માછલી, જે દડાના પડવાના માર્ગમાં છે, તે દડાને જોઈ રહી છે. જ્યારે દડો પાણીની સપાટીથી $12.8 \,m$ ઊંચાઈ પર હોય, ત્યારે માછલીને દડાની ઝડપ કેટલી જણાશે ($\,m/s$ માં)? ($g = 10 \,m/s^2$ લો):
A
$9$
B
$12$
C
$16$
D
$21.33$
Solution
(C) ધારો કે $h$ એ પાણીની સપાટીથી દડાની ઊંચાઈ છે. $h$ ઊંચાઈએ દડાનો વેગ $v_b = \sqrt{2g(H - h)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $H = 20 \,m$ એ પ્રારંભિક ઊંચાઈ છે અને $h = 12.8 \,m$ છે.
$v_b = \sqrt{2 \times 10 \times (20 - 12.8)} = \sqrt{20 \times 7.2} = \sqrt{144} = 12 \,m/s$.
જ્યારે કોઈ વસ્તુ પાતળા માધ્યમ (હવા) માં હોય અને તેને ઘટ્ટ માધ્યમ (પાણી) માંથી જોવામાં આવે, ત્યારે આભાસી ઊંચાઈ $h'$ એ $h' = \mu h$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $\mu = 4/3$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે.
તેથી, માછલી દ્વારા જોવા મળતો આભાસી વેગ $v_a = \frac{d}{dt}(h') = \mu \frac{dh}{dt} = \mu v_b$ થશે.
$v_a = (4/3) \times 12 \,m/s = 16 \,m/s$.
$v_b = \sqrt{2 \times 10 \times (20 - 12.8)} = \sqrt{20 \times 7.2} = \sqrt{144} = 12 \,m/s$.
જ્યારે કોઈ વસ્તુ પાતળા માધ્યમ (હવા) માં હોય અને તેને ઘટ્ટ માધ્યમ (પાણી) માંથી જોવામાં આવે, ત્યારે આભાસી ઊંચાઈ $h'$ એ $h' = \mu h$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $\mu = 4/3$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે.
તેથી, માછલી દ્વારા જોવા મળતો આભાસી વેગ $v_a = \frac{d}{dt}(h') = \mu \frac{dh}{dt} = \mu v_b$ થશે.
$v_a = (4/3) \times 12 \,m/s = 16 \,m/s$.
0 likesView Solution
22
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
આકૃતિમાં કેટલાક વાયરના ટુકડાઓ દર્શાવ્યા છે જે એક સમતલીય લૂપ બનાવવા માટે જોડાયેલા છે. આ લૂપને આકૃતિના સમતલની અંદર જતી દિશામાં લંબચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમય સાથે વધે છે. $I_1$ અને $I_2$ એ $ab$ અને $cd$ વિભાગોમાં વહેતા પ્રવાહો છે. તો,
A
$I_1 > I_2$
B
$I_1 < I_2$
C
$I_1$ એ $ba$ દિશામાં છે અને $I_2$ એ $ed$ દિશામાં છે
D
$I_1$ એ $ab$ દિશામાં છે અને $I_2$ એ $de$ દિશામાં છે
Solution
(C) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરશે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની અંદરની તરફ છે અને તેનું મૂલ્ય સમય સાથે વધે છે,તેથી લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ સમતલની અંદરની તરફ વધી રહ્યું છે.
આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની બહારની તરફ હોવું જોઈએ.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સમતલની બહારની તરફનું પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપમાં વિષમઘડી (anticlockwise) પ્રેરિત પ્રવાહ સૂચવે છે.
લૂપમાં વિષમઘડી માર્ગને અનુસરતા,પ્રવાહ $ab$ વિભાગમાં $b$ થી $a$ તરફ અને $cd$ વિભાગમાં $c$ થી $d$ તરફ વહે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની અંદરની તરફ છે અને તેનું મૂલ્ય સમય સાથે વધે છે,તેથી લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ સમતલની અંદરની તરફ વધી રહ્યું છે.
આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની બહારની તરફ હોવું જોઈએ.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સમતલની બહારની તરફનું પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપમાં વિષમઘડી (anticlockwise) પ્રેરિત પ્રવાહ સૂચવે છે.
લૂપમાં વિષમઘડી માર્ગને અનુસરતા,પ્રવાહ $ab$ વિભાગમાં $b$ થી $a$ તરફ અને $cd$ વિભાગમાં $c$ થી $d$ તરફ વહે છે.
0 likesView Solution
23
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2009
$a/4$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ડિસ્ક,જેના પર $6 \text{ C}$ વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વિતરિત થયેલ છે,તેને $x-y$ સમતલમાં $(-a/2, 0, 0)$ કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવી છે. $a$ લંબાઈનો સળિયો,જેના પર $8 \text{ C}$ વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વિતરિત થયેલ છે,તેને $x$-અક્ષ પર $x = a/4$ થી $x = 5a/4$ સુધી મૂકવામાં આવ્યો છે. બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $-7 \text{ C}$ અને $3 \text{ C}$ ને અનુક્રમે $(a/4, -a/4, 0)$ અને $(-3a/4, 3a/4, 0)$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. છ સપાટીઓ $x = \pm a/2, y = \pm a/2, z = \pm a/2$ દ્વારા બનતી ઘન સપાટીને ધ્યાનમાં લો. આ ઘન સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ કેટલું હશે?
A
$\frac{-2 \text{ C}}{\varepsilon_0}$
B
$\frac{2 \text{ C}}{\varepsilon_0}$
C
$\frac{10 \text{ C}}{\varepsilon_0}$
D
$\frac{12 \text{ C}}{\varepsilon_0}$
Solution
(A) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. ડિસ્ક: ડિસ્કની ત્રિજ્યા $a/4$ છે અને કેન્દ્ર $(-a/2, 0, 0)$ પર છે. ઘન $x = -a/2$ થી $x = a/2$ સુધી વિસ્તરેલો છે. ડિસ્ક $x-y$ સમતલમાં હોવાથી,માત્ર $x > -a/2$ વાળો ભાગ જ ઘનની અંદર છે. ડિસ્ક $x = -3a/4$ થી $x = -a/4$ સુધી વિસ્તરેલી છે. ઘનની અંદરનો ભાગ $x = -a/2$ થી $x = -a/4$ છે. સંમિતિ મુજબ,ડિસ્કનો બરાબર અડધો ભાગ ઘનની અંદર છે. તેથી,$Q_{\text{disk, enclosed}} = 6 \text{ C} / 2 = 3 \text{ C}$.
$2$. સળિયો: સળિયો $x = a/4$ થી $x = 5a/4$ સુધી છે. ઘનની સીમા $x = a/2$ છે. ઘનની અંદર સળિયાનો ભાગ $x = a/4$ થી $x = a/2$ છે. ઘનની અંદર સળિયાની લંબાઈ $a/4$ છે. કુલ લંબાઈ $a$ હોવાથી,અંદર રહેલા વિદ્યુતભારનો અંશ $(a/4) / a = 1/4$ છે. તેથી,$Q_{\text{rod, enclosed}} = 8 \text{ C} \times (1/4) = 2 \text{ C}$.
$3$. બિંદુવત વિદ્યુતભારો: $-7 \text{ C}$ વિદ્યુતભાર $(a/4, -a/4, 0)$ પર છે,જે ઘનની અંદર છે. $3 \text{ C}$ વિદ્યુતભાર $(-3a/4, 3a/4, 0)$ પર છે,જે ઘનની બહાર છે.
$4$. કુલ બંધ વિદ્યુતભાર: $Q_{\text{enclosed}} = 3 \text{ C} + 2 \text{ C} - 7 \text{ C} = -2 \text{ C}$.
તેથી,વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{-2 \text{ C}}{\varepsilon_0}$ છે.
$1$. ડિસ્ક: ડિસ્કની ત્રિજ્યા $a/4$ છે અને કેન્દ્ર $(-a/2, 0, 0)$ પર છે. ઘન $x = -a/2$ થી $x = a/2$ સુધી વિસ્તરેલો છે. ડિસ્ક $x-y$ સમતલમાં હોવાથી,માત્ર $x > -a/2$ વાળો ભાગ જ ઘનની અંદર છે. ડિસ્ક $x = -3a/4$ થી $x = -a/4$ સુધી વિસ્તરેલી છે. ઘનની અંદરનો ભાગ $x = -a/2$ થી $x = -a/4$ છે. સંમિતિ મુજબ,ડિસ્કનો બરાબર અડધો ભાગ ઘનની અંદર છે. તેથી,$Q_{\text{disk, enclosed}} = 6 \text{ C} / 2 = 3 \text{ C}$.
$2$. સળિયો: સળિયો $x = a/4$ થી $x = 5a/4$ સુધી છે. ઘનની સીમા $x = a/2$ છે. ઘનની અંદર સળિયાનો ભાગ $x = a/4$ થી $x = a/2$ છે. ઘનની અંદર સળિયાની લંબાઈ $a/4$ છે. કુલ લંબાઈ $a$ હોવાથી,અંદર રહેલા વિદ્યુતભારનો અંશ $(a/4) / a = 1/4$ છે. તેથી,$Q_{\text{rod, enclosed}} = 8 \text{ C} \times (1/4) = 2 \text{ C}$.
$3$. બિંદુવત વિદ્યુતભારો: $-7 \text{ C}$ વિદ્યુતભાર $(a/4, -a/4, 0)$ પર છે,જે ઘનની અંદર છે. $3 \text{ C}$ વિદ્યુતભાર $(-3a/4, 3a/4, 0)$ પર છે,જે ઘનની બહાર છે.
$4$. કુલ બંધ વિદ્યુતભાર: $Q_{\text{enclosed}} = 3 \text{ C} + 2 \text{ C} - 7 \text{ C} = -2 \text{ C}$.
તેથી,વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{-2 \text{ C}}{\varepsilon_0}$ છે.
0 likesView Solution
24
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
એક વિદ્યાર્થીએ $1.5 \ m$ લંબાઈની ઓપ્ટિકલ બેન્ચનો ઉપયોગ કરીને $u-v$ પદ્ધતિ દ્વારા અંતર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ નક્કી કરવાનો પ્રયોગ કર્યો. વપરાયેલ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $24 \ cm$ છે. પ્રતિબિંબના સ્થાનમાં મહત્તમ ત્રુટિ $0.2 \ cm$ હોઈ શકે છે. વિદ્યાર્થી દ્વારા નોંધાયેલ $(u, v)$ મૂલ્યોના $5$ સેટ ($cm$ માં) છે: $(42, 56), (48, 48), (60, 40), (66, 33), (78, 39)$. કયા ડેટા સેટ પ્રયોગમાંથી ન આવી શકે અને ખોટી રીતે નોંધાયેલ છે:
$(A) (42, 56)$
$(B) (48, 48)$
$(C) (66, 33)$
$(D) (78, 39)$
$(A) (42, 56)$
$(B) (48, 48)$
$(C) (66, 33)$
$(D) (78, 39)$
A
$(B, D)$
B
$(C, A)$
C
$(C, D)$
D
$(A, B)$
Solution
(C) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -24 \ cm$. અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે,જે $v = \frac{uf}{u-f}$ આપે છે.
અમે અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યો સાથે નોંધાયેલ મૂલ્યો તપાસીએ છીએ:
$1$. $u = -42 \ cm$ માટે: $v = \frac{(-42)(-24)}{-42+24} = \frac{1008}{-18} = -56 \ cm$. (મેળ ખાય છે)
$2$. $u = -48 \ cm$ માટે: $v = \frac{(-48)(-24)}{-48+24} = \frac{1152}{-24} = -48 \ cm$. (મેળ ખાય છે)
$3$. $u = -60 \ cm$ માટે: $v = \frac{(-60)(-24)}{-60+24} = \frac{1440}{-36} = -40 \ cm$. (મેળ ખાય છે)
$4$. $u = -66 \ cm$ માટે: $v = \frac{(-66)(-24)}{-66+24} = \frac{1584}{-42} \approx -37.71 \ cm$. નોંધાયેલ મૂલ્ય $33 \ cm$ છે. તફાવત $|37.71 - 33| = 4.71 \ cm$ છે,જે $0.2 \ cm$ ની ત્રુટિ મર્યાદા કરતા ઘણો વધારે છે.
$5$. $u = -78 \ cm$ માટે: $v = \frac{(-78)(-24)}{-78+24} = \frac{1872}{-54} \approx -34.66 \ cm$. નોંધાયેલ મૂલ્ય $39 \ cm$ છે. તફાવત $|34.66 - 39| = 4.34 \ cm$ છે,જે $0.2 \ cm$ ની ત્રુટિ મર્યાદા કરતા ઘણો વધારે છે.
આમ,ડેટા સેટ $(66, 33)$ અને $(78, 39)$ ખોટી રીતે નોંધાયેલ છે.
અમે અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યો સાથે નોંધાયેલ મૂલ્યો તપાસીએ છીએ:
$1$. $u = -42 \ cm$ માટે: $v = \frac{(-42)(-24)}{-42+24} = \frac{1008}{-18} = -56 \ cm$. (મેળ ખાય છે)
$2$. $u = -48 \ cm$ માટે: $v = \frac{(-48)(-24)}{-48+24} = \frac{1152}{-24} = -48 \ cm$. (મેળ ખાય છે)
$3$. $u = -60 \ cm$ માટે: $v = \frac{(-60)(-24)}{-60+24} = \frac{1440}{-36} = -40 \ cm$. (મેળ ખાય છે)
$4$. $u = -66 \ cm$ માટે: $v = \frac{(-66)(-24)}{-66+24} = \frac{1584}{-42} \approx -37.71 \ cm$. નોંધાયેલ મૂલ્ય $33 \ cm$ છે. તફાવત $|37.71 - 33| = 4.71 \ cm$ છે,જે $0.2 \ cm$ ની ત્રુટિ મર્યાદા કરતા ઘણો વધારે છે.
$5$. $u = -78 \ cm$ માટે: $v = \frac{(-78)(-24)}{-78+24} = \frac{1872}{-54} \approx -34.66 \ cm$. નોંધાયેલ મૂલ્ય $39 \ cm$ છે. તફાવત $|34.66 - 39| = 4.34 \ cm$ છે,જે $0.2 \ cm$ ની ત્રુટિ મર્યાદા કરતા ઘણો વધારે છે.
આમ,ડેટા સેટ $(66, 33)$ અને $(78, 39)$ ખોટી રીતે નોંધાયેલ છે.
0 likesView Solution
25
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
આકૃતિમાં દર્શાવેલ સર્કિટ માટે:
$(A)$ બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = 7.5 \text{ mA}$ છે.
$(B)$ $R_L$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $18 \text{ V}$ છે.
$(C)$ $R_1$ અને $R_2$ માં વ્યય થતા પાવરનો ગુણોત્તર $3$ છે.
$(D)$ જો $R_1$ અને $R_2$ ને અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો $R_L$ માં વ્યય થતા પાવરનું મૂલ્ય $9$ ના અવયવથી ઘટશે.
$(A)$ બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = 7.5 \text{ mA}$ છે.
$(B)$ $R_L$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $18 \text{ V}$ છે.
$(C)$ $R_1$ અને $R_2$ માં વ્યય થતા પાવરનો ગુણોત્તર $3$ છે.
$(D)$ જો $R_1$ અને $R_2$ ને અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો $R_L$ માં વ્યય થતા પાવરનું મૂલ્ય $9$ ના અવયવથી ઘટશે.
A
$(B, D)$
B
$(A, D)$
C
$(B, C)$
D
$(A, C)$
Solution
(B) આપેલ છે: $V = 24 \text{ V}$,$R_1 = 2 \text{ k}\Omega$,$R_2 = 6 \text{ k}\Omega$,$R_L = 1.5 \text{ k}\Omega$.
$1$. કુલ અવરોધ: $R_{\text{total}} = R_1 + \frac{R_2 \times R_L}{R_2 + R_L} = 2 + \frac{6 \times 1.5}{6 + 1.5} = 3.2 \text{ k}\Omega$.
$2$. બેટરીમાંથી પ્રવાહ: $I = \frac{24}{3.2} = 7.5 \text{ mA}$. (વિધાન $A$ સાચું છે).
$3$. $R_L$ પર વોલ્ટેજ: $V_{R_L} = I \times R_{\text{parallel}} = 7.5 \times 1.2 = 9 \text{ V}$. (વિધાન $B$ ખોટું છે).
$4$. પાવરનો ગુણોત્તર: $P_{R_1} = I^2 R_1 = 112.5 \text{ mW}$,$P_{R_2} = I_{R_2}^2 R_2 = 13.5 \text{ mW}$. ગુણોત્તર $8.33$ છે,$3$ નથી. (વિધાન $C$ ખોટું છે).
$5$. $R_1$ અને $R_2$ ની અદલાબદલી કરતા: નવો વોલ્ટેજ $V_{R_L} = 3 \text{ V}$ મળે છે. વોલ્ટેજ $3$ ગણો ઘટતા પાવર $3^2 = 9$ ગણો ઘટશે. (વિધાન $D$ સાચું છે).
આમ,$(A)$ અને $(D)$ સાચા છે.
$1$. કુલ અવરોધ: $R_{\text{total}} = R_1 + \frac{R_2 \times R_L}{R_2 + R_L} = 2 + \frac{6 \times 1.5}{6 + 1.5} = 3.2 \text{ k}\Omega$.
$2$. બેટરીમાંથી પ્રવાહ: $I = \frac{24}{3.2} = 7.5 \text{ mA}$. (વિધાન $A$ સાચું છે).
$3$. $R_L$ પર વોલ્ટેજ: $V_{R_L} = I \times R_{\text{parallel}} = 7.5 \times 1.2 = 9 \text{ V}$. (વિધાન $B$ ખોટું છે).
$4$. પાવરનો ગુણોત્તર: $P_{R_1} = I^2 R_1 = 112.5 \text{ mW}$,$P_{R_2} = I_{R_2}^2 R_2 = 13.5 \text{ mW}$. ગુણોત્તર $8.33$ છે,$3$ નથી. (વિધાન $C$ ખોટું છે).
$5$. $R_1$ અને $R_2$ ની અદલાબદલી કરતા: નવો વોલ્ટેજ $V_{R_L} = 3 \text{ V}$ મળે છે. વોલ્ટેજ $3$ ગણો ઘટતા પાવર $3^2 = 9$ ગણો ઘટશે. (વિધાન $D$ સાચું છે).
આમ,$(A)$ અને $(D)$ સાચા છે.
0 likesView Solution
26
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2009
વૈજ્ઞાનિકો ન્યુક્લિયર ફ્યુઝન રિએક્ટર વિકસાવવા માટે સખત મહેનત કરી રહ્યા છે. ભારે હાઇડ્રોજનના ન્યુક્લિયસ,${ }_1^2 H$,જેને ડ્યુટેરોન કહેવાય છે અને $D$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તેને ફ્યુઝન રિએક્ટર માટેના ઉમેદવાર તરીકે ગણી શકાય. $D-D$ પ્રક્રિયા ${ }_1^2 H+{ }_1^2 H \rightarrow{ }_2^3 He+n+$ ઉર્જા છે. ફ્યુઝન રિએક્ટરના ગર્ભમાં,ભારે હાઇડ્રોજનનો વાયુ સંપૂર્ણપણે ડ્યુટેરોન ન્યુક્લિયસ અને ઇલેક્ટ્રોનમાં આયનીકૃત થાય છે. ${ }_1^2 H$ ન્યુક્લિયસ અને ઇલેક્ટ્રોનના આ સમૂહને પ્લાઝ્મા કહેવામાં આવે છે. ન્યુક્લિયસ રિએક્ટરના ગર્ભમાં યાદચ્છિક રીતે ફરે છે અને ક્યારેક ન્યુક્લિયર ફ્યુઝન થવા માટે પૂરતા નજીક આવે છે. સામાન્ય રીતે,રિએક્ટરના ગર્ભમાં તાપમાન ખૂબ વધારે હોય છે અને પ્લાઝ્માને રોકવા માટે કોઈ ભૌતિક દીવાલનો ઉપયોગ કરી શકાતો નથી. ખાસ તકનીકોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જે પ્લાઝ્માને $t_0$ સમય માટે રોકી રાખે છે તે પહેલાં કણો ગર્ભમાંથી દૂર ઉડી જાય. જો $n$ એ ડ્યુટેરોનની ઘનતા (સંખ્યા/કદ) હોય,તો ગુણાકાર $n t_0$ ને લોસન નંબર કહેવામાં આવે છે. એક માપદંડમાં,જો લોસન નંબર $5 \times 10^{14} \, s/cm^3$ કરતા વધારે હોય તો રિએક્ટરને સફળ ગણવામાં આવે છે.
નીચેનાનો ઉપયોગ મદદરૂપ થઈ શકે છે: બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k=8.6 \times 10^{-5} \, eV/K$; $\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0}=1.44 \times 10^9 \, eV \cdot m$.
$1.$ ન્યુક્લિયર ફ્યુઝન રિએક્ટરના ગર્ભમાં,વાયુ પ્લાઝ્મા બની જાય છે કારણ કે
$(A)$ ડ્યુટેરોન વચ્ચે લાગતું પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ
$(B)$ ડ્યુટેરોન વચ્ચે લાગતું કુલંબ બળ
$(C)$ ડ્યુટેરોન-ઇલેક્ટ્રોન જોડી વચ્ચે લાગતું કુલંબ બળ
$(D)$ રિએક્ટરના ગર્ભની અંદર જાળવવામાં આવતું ઊંચું તાપમાન
$2.$ ધારો કે ફ્યુઝન રિએક્ટરના ગર્ભમાં તાપમાન $T$ પર બે ડ્યુટેરોન ન્યુક્લિયસ એકબીજા તરફ ગતિ કરી રહ્યા છે,દરેકની ગતિ ઊર્જા $1.5 kT$ છે,જ્યારે તેમની વચ્ચેનું અંતર કુલંબ સ્થિતિ ઊર્જાને અવગણવા માટે પૂરતું મોટું છે. ગર્ભમાં અન્ય કણોથી થતી કોઈપણ આંતરક્રિયાને પણ અવગણો. $4 \times 10^{-15} \, m$ ના અંતર સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ તાપમાન $T$ આ શ્રેણીમાં છે
$(A)$ $1.0 \times 10^9 \, K$ $(B)$ $2.0 \times 10^9 \, K$ $(C)$ $3.0 \times 10^9 \, K$ $(D)$ $4.0 \times 10^9 \, K$
$3.$ $D-D$ પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને ફ્યુઝન રિએક્ટરની ચાર અલગ-અલગ ડિઝાઇનની ગણતરીઓના પરિણામો નીચે આપેલ છે. લોસન માપદંડના આધારે આમાંથી કયું સૌથી આશાસ્પદ છે?
$(A)$ ડ્યુટેરોન ઘનતા $=2.0 \times 10^{12} \, cm^{-3}$,સમયગાળો $=5.0 \times 10^{-3} \, s$
$(B)$ ડ્યુટેરોન ઘનતા $=8.0 \times 10^{14} \, cm^{-3}$,સમયગાળો $=9.0 \times 10^{-1} \, s$
$(C)$ ડ્યુટેરોન ઘનતા $=4.0 \times 10^{23} \, cm^{-3}$,સમયગાળો $=1.0 \times 10^{-11} \, s$
$(D)$ ડ્યુટેરોન ઘનતા $=1.0 \times 10^{24} \, cm^{-3}$,સમયગાળો $=4.0 \times 10^{-12} \, s$
પ્રશ્ન $1, 2,$ અને $3$ ના જવાબ આપો.
નીચેનાનો ઉપયોગ મદદરૂપ થઈ શકે છે: બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k=8.6 \times 10^{-5} \, eV/K$; $\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0}=1.44 \times 10^9 \, eV \cdot m$.
$1.$ ન્યુક્લિયર ફ્યુઝન રિએક્ટરના ગર્ભમાં,વાયુ પ્લાઝ્મા બની જાય છે કારણ કે
$(A)$ ડ્યુટેરોન વચ્ચે લાગતું પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ
$(B)$ ડ્યુટેરોન વચ્ચે લાગતું કુલંબ બળ
$(C)$ ડ્યુટેરોન-ઇલેક્ટ્રોન જોડી વચ્ચે લાગતું કુલંબ બળ
$(D)$ રિએક્ટરના ગર્ભની અંદર જાળવવામાં આવતું ઊંચું તાપમાન
$2.$ ધારો કે ફ્યુઝન રિએક્ટરના ગર્ભમાં તાપમાન $T$ પર બે ડ્યુટેરોન ન્યુક્લિયસ એકબીજા તરફ ગતિ કરી રહ્યા છે,દરેકની ગતિ ઊર્જા $1.5 kT$ છે,જ્યારે તેમની વચ્ચેનું અંતર કુલંબ સ્થિતિ ઊર્જાને અવગણવા માટે પૂરતું મોટું છે. ગર્ભમાં અન્ય કણોથી થતી કોઈપણ આંતરક્રિયાને પણ અવગણો. $4 \times 10^{-15} \, m$ ના અંતર સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ તાપમાન $T$ આ શ્રેણીમાં છે
$(A)$ $1.0 \times 10^9 \, K$ $(B)$ $2.0 \times 10^9 \, K$ $(C)$ $3.0 \times 10^9 \, K$ $(D)$ $4.0 \times 10^9 \, K$
$3.$ $D-D$ પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને ફ્યુઝન રિએક્ટરની ચાર અલગ-અલગ ડિઝાઇનની ગણતરીઓના પરિણામો નીચે આપેલ છે. લોસન માપદંડના આધારે આમાંથી કયું સૌથી આશાસ્પદ છે?
$(A)$ ડ્યુટેરોન ઘનતા $=2.0 \times 10^{12} \, cm^{-3}$,સમયગાળો $=5.0 \times 10^{-3} \, s$
$(B)$ ડ્યુટેરોન ઘનતા $=8.0 \times 10^{14} \, cm^{-3}$,સમયગાળો $=9.0 \times 10^{-1} \, s$
$(C)$ ડ્યુટેરોન ઘનતા $=4.0 \times 10^{23} \, cm^{-3}$,સમયગાળો $=1.0 \times 10^{-11} \, s$
$(D)$ ડ્યુટેરોન ઘનતા $=1.0 \times 10^{24} \, cm^{-3}$,સમયગાળો $=4.0 \times 10^{-12} \, s$
પ્રશ્ન $1, 2,$ અને $3$ ના જવાબ આપો.
A
$(A, A, B)$
B
$(D, C, B)$
C
$(D, A, B)$
D
$(C, A, C)$
Solution
(C) ઉકેલ:
$1.$ ખૂબ ઊંચા તાપમાને,પરમાણુઓમાંથી તેમના ઇલેક્ટ્રોન દૂર થાય છે,જે પ્લાઝ્મા નામની દ્રવ્યની સ્થિતિ બનાવે છે. આમ,સાચો જવાબ $(D)$ છે.
$2.$ બે ડ્યુટેરોનની કુલ પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $= 1.5 kT + 1.5 kT = 3 kT$. સૌથી નજીકના અભિગમના બિંદુએ $(r = 4 \times 10^{-15} \, m)$,ગતિ ઊર્જા સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r}$.
ઊર્જાને સરખાવતા: $3 kT = \frac{1.44 \times 10^9 \, eV \cdot m}{4 \times 10^{-15} \, m} = 0.36 \times 10^{24} \, eV = 3.6 \times 10^{23} \, eV$.
$T = \frac{3.6 \times 10^{23}}{3 \times 8.6 \times 10^{-5}} \approx 1.4 \times 10^9 \, K$. આ $1.0 \times 10^9 \, K$ ની સૌથી નજીક છે. આમ,$(A)$ સાચું છે.
$3.$ લોસન માપદંડ: $n t_0 > 5 \times 10^{14} \, s/cm^3$.
$(A) n t_0 = 2 \times 10^{12} \times 5 \times 10^{-3} = 10^{10} < 5 \times 10^{14}$.
$(B) n t_0 = 8 \times 10^{14} \times 0.9 = 7.2 \times 10^{14} > 5 \times 10^{14}$.
$(C) n t_0 = 4 \times 10^{23} \times 10^{-11} = 4 \times 10^{12} < 5 \times 10^{14}$.
$(D) n t_0 = 10^{24} \times 4 \times 10^{-12} = 4 \times 10^{12} < 5 \times 10^{14}$.
માત્ર $(B)$ માપદંડને સંતોષે છે. આમ,$(B)$ સાચું છે.
$1.$ ખૂબ ઊંચા તાપમાને,પરમાણુઓમાંથી તેમના ઇલેક્ટ્રોન દૂર થાય છે,જે પ્લાઝ્મા નામની દ્રવ્યની સ્થિતિ બનાવે છે. આમ,સાચો જવાબ $(D)$ છે.
$2.$ બે ડ્યુટેરોનની કુલ પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $= 1.5 kT + 1.5 kT = 3 kT$. સૌથી નજીકના અભિગમના બિંદુએ $(r = 4 \times 10^{-15} \, m)$,ગતિ ઊર્જા સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r}$.
ઊર્જાને સરખાવતા: $3 kT = \frac{1.44 \times 10^9 \, eV \cdot m}{4 \times 10^{-15} \, m} = 0.36 \times 10^{24} \, eV = 3.6 \times 10^{23} \, eV$.
$T = \frac{3.6 \times 10^{23}}{3 \times 8.6 \times 10^{-5}} \approx 1.4 \times 10^9 \, K$. આ $1.0 \times 10^9 \, K$ ની સૌથી નજીક છે. આમ,$(A)$ સાચું છે.
$3.$ લોસન માપદંડ: $n t_0 > 5 \times 10^{14} \, s/cm^3$.
$(A) n t_0 = 2 \times 10^{12} \times 5 \times 10^{-3} = 10^{10} < 5 \times 10^{14}$.
$(B) n t_0 = 8 \times 10^{14} \times 0.9 = 7.2 \times 10^{14} > 5 \times 10^{14}$.
$(C) n t_0 = 4 \times 10^{23} \times 10^{-11} = 4 \times 10^{12} < 5 \times 10^{14}$.
$(D) n t_0 = 10^{24} \times 4 \times 10^{-12} = 4 \times 10^{12} < 5 \times 10^{14}$.
માત્ર $(B)$ માપદંડને સંતોષે છે. આમ,$(B)$ સાચું છે.
0 likesView Solution
27
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
જ્યારે કોઈ કણ $x$-અક્ષ પર $x=0$ અને $x=a$ ની વચ્ચે ગતિ કરવા માટે મર્યાદિત હોય,જ્યાં $a$ નેનોમીટર પરિમાણ ધરાવે છે,ત્યારે તેની ઉર્જા માત્ર અમુક ચોક્કસ મૂલ્યો જ ધારણ કરી શકે છે. આવા મર્યાદિત વિસ્તારમાં ગતિ કરતા કણની અનુમતિપાત્ર ઉર્જાઓ તેના છેડાઓ $x=0$ અને $x=a$ પર નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) ધરાવતા સ્થિત તરંગોના નિર્માણ સાથે સંબંધિત છે. આ સ્થિત તરંગની તરંગલંબાઈ ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ કણના રેખીય વેગમાન $p$ સાથે સંબંધિત છે. $m$ દળ ધરાવતા કણની ઉર્જા તેના રેખીય વેગમાન સાથે $E = \frac{p^2}{2m}$ તરીકે સંબંધિત છે. આમ,કણની ઉર્જાને ક્વોન્ટમ નંબર $n$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે જે $1, 2, 3, \ldots$ મૂલ્યો લે છે ($n=1$,જેને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ કહેવાય છે) જે સ્થિત તરંગમાં લૂપ્સની સંખ્યાને અનુરૂપ છે.
ઉપર વર્ણવેલ મોડેલનો ઉપયોગ કરીને $x=0$ થી $x=a$ રેખામાં ગતિ કરતા કણ માટે નીચેના ત્રણ પ્રશ્નોના જવાબ આપો. $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ લો.
$1.$ $n$ ના ચોક્કસ મૂલ્ય માટે કણની અનુમતિપાત્ર ઉર્જા કોના પ્રમાણમાં છે?
$(A) \ a^{-2} \ (B) \ a^{-3/2} \ (C) \ a^{-1} \ (D) \ a^2$
$2.$ જો કણનું દળ $m = 1.0 \times 10^{-30} \ kg$ અને $a = 6.6 \ \text{nm}$ હોય,તો ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં કણની ઉર્જા કોની નજીક હશે?
$(A) \ 0.8 \ \text{meV} \ (B) \ 8 \ \text{meV} \ (C) \ 80 \ \text{meV} \ (D) \ 800 \ \text{meV}$
$3.$ કણની ઝડપ,જે અલગ-અલગ મૂલ્યો લઈ શકે છે,તે કોના પ્રમાણમાં છે?
$(A) \ n^{-3/2} \ (B) \ n^{-1} \ (C) \ n^{1/2} \ (D) \ n$
ઉપર વર્ણવેલ મોડેલનો ઉપયોગ કરીને $x=0$ થી $x=a$ રેખામાં ગતિ કરતા કણ માટે નીચેના ત્રણ પ્રશ્નોના જવાબ આપો. $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ લો.
$1.$ $n$ ના ચોક્કસ મૂલ્ય માટે કણની અનુમતિપાત્ર ઉર્જા કોના પ્રમાણમાં છે?
$(A) \ a^{-2} \ (B) \ a^{-3/2} \ (C) \ a^{-1} \ (D) \ a^2$
$2.$ જો કણનું દળ $m = 1.0 \times 10^{-30} \ kg$ અને $a = 6.6 \ \text{nm}$ હોય,તો ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં કણની ઉર્જા કોની નજીક હશે?
$(A) \ 0.8 \ \text{meV} \ (B) \ 8 \ \text{meV} \ (C) \ 80 \ \text{meV} \ (D) \ 800 \ \text{meV}$
$3.$ કણની ઝડપ,જે અલગ-અલગ મૂલ્યો લઈ શકે છે,તે કોના પ્રમાણમાં છે?
$(A) \ n^{-3/2} \ (B) \ n^{-1} \ (C) \ n^{1/2} \ (D) \ n$
A
$(D, B, C)$
B
$(A, B, D)$
C
$(B, B, D)$
D
$(A, D, C)$
Solution
(B) $1.$ $x=0$ અને $x=a$ પર નિસ્પંદ બિંદુઓ ધરાવતા સ્થિત તરંગ માટે,લંબાઈ $a$ એ અડધી તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ: $a = \frac{n\lambda}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{2a}{n}$.
ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{2a}{n} = \frac{h}{p} \Rightarrow p = \frac{nh}{2a}$.
ઉર્જા $E = \frac{p^2}{2m} = \frac{n^2h^2}{8ma^2}$ છે. આમ,$E \propto a^{-2}$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
$2.$ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ માટે,$n=1$. $E_1 = \frac{h^2}{8ma^2}$.
આપેલ છે $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m = 1.0 \times 10^{-30} \ kg$,અને $a = 6.6 \times 10^{-9} \ m$.
$E_1 = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{8 \times (1.0 \times 10^{-30}) \times (6.6 \times 10^{-9})^2} = \frac{6.6^2 \times 10^{-68}}{8 \times 10^{-30} \times 6.6^2 \times 10^{-18}} = \frac{10^{-68}}{8 \times 10^{-48}} = 0.125 \times 10^{-20} \ J$.
$\text{eV}$ માં રૂપાંતર કરતા: $E_1 = \frac{0.125 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 0.0078 \ \text{eV} = 7.8 \ \text{meV} \approx 8 \ \text{meV}$. સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
$3.$ કારણ કે $p = mv = \frac{nh}{2a}$,તેથી $v = \frac{nh}{2ma}$. કારણ કે $h, m, a$ અચળાંકો છે,તેથી $v \propto n$. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{2a}{n} = \frac{h}{p} \Rightarrow p = \frac{nh}{2a}$.
ઉર્જા $E = \frac{p^2}{2m} = \frac{n^2h^2}{8ma^2}$ છે. આમ,$E \propto a^{-2}$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
$2.$ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ માટે,$n=1$. $E_1 = \frac{h^2}{8ma^2}$.
આપેલ છે $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m = 1.0 \times 10^{-30} \ kg$,અને $a = 6.6 \times 10^{-9} \ m$.
$E_1 = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{8 \times (1.0 \times 10^{-30}) \times (6.6 \times 10^{-9})^2} = \frac{6.6^2 \times 10^{-68}}{8 \times 10^{-30} \times 6.6^2 \times 10^{-18}} = \frac{10^{-68}}{8 \times 10^{-48}} = 0.125 \times 10^{-20} \ J$.
$\text{eV}$ માં રૂપાંતર કરતા: $E_1 = \frac{0.125 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 0.0078 \ \text{eV} = 7.8 \ \text{meV} \approx 8 \ \text{meV}$. સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
$3.$ કારણ કે $p = mv = \frac{nh}{2a}$,તેથી $v = \frac{nh}{2ma}$. કારણ કે $h, m, a$ અચળાંકો છે,તેથી $v \propto n$. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
0 likesView Solution
28
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
છ બિંદુવત વિદ્યુતભારો,દરેકનું મૂલ્ય $q$ છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ અલગ-અલગ રીતે ગોઠવેલા છે. દરેક કિસ્સામાં,એક બિંદુ $M$ અને $M$ માંથી પસાર થતી રેખા $PQ$ દર્શાવેલ છે. ધારો કે $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે અને $V$ એ $M$ પાસેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન છે (અનંત અંતરે સ્થિતિમાન શૂન્ય છે). હવે,આખી સિસ્ટમને રેખા $PQ$ ની આસપાસ અચળ કોણીય વેગથી પરિભ્રમણ કરાવવામાં આવે છે. ધારો કે $B$ એ $M$ પાસેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\mu$ એ આ સ્થિતિમાં સિસ્ટમની ચુંબકીય મોમેન્ટ છે. દરેક પરિભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભારને સ્થાયી પ્રવાહ સમાન ગણો. સ્તંભ $I$ ની શરતોને સ્તંભ $II$ ના ગોઠવણો સાથે જોડો.
| સ્તંભ $I$ | સ્તંભ $II$ |
| $(A)$ $E=0$ | $(p)$ નિયમિત ષટ્કોણના ખૂણાઓ પર વિદ્યુતભારો. $M$ કેન્દ્ર છે. $PQ$ સમતલને લંબ છે. |
| $(B)$ $V \neq 0$ | $(q)$ $PQ$ ને લંબ રેખા પર સમાન અંતરે વિદ્યુતભારો. $M$ મધ્યબિંદુ છે. |
| $(C)$ $B=0$ | $(r)$ બે સમતલીય કેન્દ્રીય રીંગ પર વિદ્યુતભારો. $M$ સામાન્ય કેન્દ્ર છે. $PQ$ સમતલને લંબ છે. |
| $(D)$ $\mu \neq 0$ | $(s)$ લંબચોરસના ખૂણાઓ અને મધ્યબિંદુઓ પર વિદ્યુતભારો. $M$ કેન્દ્ર છે. $PQ$ લાંબી બાજુઓને સમાંતર છે. |
| $(t)$ બે સમતલીય,સમાન રીંગ પર વિદ્યુતભારો. $M$ કેન્દ્રો વચ્ચેનું મધ્યબિંદુ છે. $PQ$ કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને લંબ છે. |
A
$(A) \rightarrow p, r, s; (B) \rightarrow r, s; (C) \rightarrow p, q, t; (D) \rightarrow r, s$
B
$(A) \rightarrow p, t, s; (B) \rightarrow r, p; (C) \rightarrow r, q, t; (D) \rightarrow r, q$
C
$(A) \rightarrow q, r, s; (B) \rightarrow r, p; (C) \rightarrow t, q, t; (D) \rightarrow r, t$
D
$(A) \rightarrow t, q, p; (B) \rightarrow p, q; (C) \rightarrow r, q, s; (D) \rightarrow r, s$
Solution
(A) $M$ પાસે $E=0$ માટે,વિદ્યુતભારનું વિતરણ એવું હોવું જોઈએ કે જેથી તમામ વિદ્યુતભારોના વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય. આ $(p)$,$(r)$,અને $(s)$ માં થાય છે.
$M$ પાસે $V \neq 0$ માટે,ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન એકબીજાને નાબૂદ ન થવું જોઈએ. $(r)$ અને $(s)$ માં,$M$ થી સમાન અંતરે ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારોની સમપ્રમાણતાને કારણે સ્થિતિમાન શૂન્ય છે. તેથી,$(p)$,$(q)$,અને $(t)$ માટે $V \neq 0$ છે.
$M$ પાસે $B=0$ માટે,પરિભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાને નાબૂદ કરવા જોઈએ. આ $(p)$,$(q)$,અને $(t)$ માં સમપ્રમાણ પ્રવાહ લૂપ્સને કારણે થાય છે.
$\mu \neq 0$ માટે,સિસ્ટમ પાસે ચોખ્ખી ચુંબકીય મોમેન્ટ હોવી જોઈએ. આ $(r)$ અને $(s)$ માં થાય છે જ્યાં પ્રવાહ લૂપ્સ એકબીજાને નાબૂદ કરતા નથી.
$M$ પાસે $V \neq 0$ માટે,ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન એકબીજાને નાબૂદ ન થવું જોઈએ. $(r)$ અને $(s)$ માં,$M$ થી સમાન અંતરે ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારોની સમપ્રમાણતાને કારણે સ્થિતિમાન શૂન્ય છે. તેથી,$(p)$,$(q)$,અને $(t)$ માટે $V \neq 0$ છે.
$M$ પાસે $B=0$ માટે,પરિભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાને નાબૂદ કરવા જોઈએ. આ $(p)$,$(q)$,અને $(t)$ માં સમપ્રમાણ પ્રવાહ લૂપ્સને કારણે થાય છે.
$\mu \neq 0$ માટે,સિસ્ટમ પાસે ચોખ્ખી ચુંબકીય મોમેન્ટ હોવી જોઈએ. આ $(r)$ અને $(s)$ માં થાય છે જ્યાં પ્રવાહ લૂપ્સ એકબીજાને નાબૂદ કરતા નથી.
0 likesView Solution
29
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા ${ }_{92}^{238} U \rightarrow{ }_{82}^{214} Pb$ માં ઉત્સર્જિત થતા $\alpha$ અને $\beta$ કણોની કુલ સંખ્યા કેટલી છે?
A
$6$
B
$8$
C
$10$
D
$12$
Solution
(B) ધારો કે ઉત્સર્જિત થતા $\alpha$ કણોની સંખ્યા $x$ અને $\beta$ કણોની સંખ્યા $y$ છે.
ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: ${ }_{92}^{238} U \rightarrow{ }_{82}^{214} Pb + x { }_{2}^{4} He + y { }_{-1}^{0} e$.
બંને બાજુ દળ ક્રમાંકને સરખાવતા:
$238 = 214 + 4x$
$4x = 238 - 214 = 24$
$x = 6$.
બંને બાજુ પરમાણુ ક્રમાંકને સરખાવતા:
$92 = 82 + 2x - y$
$92 = 82 + 2(6) - y$
$92 = 82 + 12 - y$
$92 = 94 - y$
$y = 94 - 92 = 2$.
ઉત્સર્જિત થતા કણોની કુલ સંખ્યા $x + y = 6 + 2 = 8$ છે.
ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: ${ }_{92}^{238} U \rightarrow{ }_{82}^{214} Pb + x { }_{2}^{4} He + y { }_{-1}^{0} e$.
બંને બાજુ દળ ક્રમાંકને સરખાવતા:
$238 = 214 + 4x$
$4x = 238 - 214 = 24$
$x = 6$.
બંને બાજુ પરમાણુ ક્રમાંકને સરખાવતા:
$92 = 82 + 2x - y$
$92 = 82 + 2(6) - y$
$92 = 82 + 12 - y$
$92 = 94 - y$
$y = 94 - 92 = 2$.
ઉત્સર્જિત થતા કણોની કુલ સંખ્યા $x + y = 6 + 2 = 8$ છે.
0 likesView Solution
30
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરના પ્રયોગો ત્રણ અલગ-અલગ ધાતુની પ્લેટો $p, q$ અને $r$ નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે,જેમના વર્ક ફંક્શન અનુક્રમે $\phi_p=2.0 \ eV, \phi_q=2.5 \ eV$ અને $\phi_r=3.0 \ eV$ છે. સમાન તીવ્રતા ધરાવતા $550 \ nm, 450 \ nm$ અને $350 \ nm$ તરંગલંબાઇ ધરાવતા પ્રકાશના કિરણપુંજ વડે દરેક પ્લેટને પ્રકાશિત કરવામાં આવે છે. આ પ્રયોગ માટે સાચો $I-V$ આલેખ કયો છે?
A
B
C
D
Solution
(A) આપેલ વર્ક ફંક્શન $\phi_p=2.0 \ eV, \phi_q=2.5 \ eV$ અને $\phi_r=3.0 \ eV$ છે.
$\lambda_0 = \frac{hc}{\phi}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $hc = 1240 \ eV \ nm$,આપણે થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇની ગણતરી કરીએ છીએ:
$\lambda_p = \frac{1240}{2.0} = 620 \ nm$
$\lambda_q = \frac{1240}{2.5} = 496 \ nm$
$\lambda_r = \frac{1240}{3.0} \approx 413.3 \ nm$
આપાત પ્રકાશમાં સમાન તીવ્રતા ધરાવતી $\lambda_1 = 550 \ nm, \lambda_2 = 450 \ nm, \lambda_3 = 350 \ nm$ તરંગલંબાઇઓ છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટે,આપણી પાસે $\lambda \le \lambda_0$ હોવું જોઈએ:
- પ્લેટ $p$ $(\lambda_p = 620 \ nm)$ માટે: ત્રણેય તરંગલંબાઇઓ $(550, 450, 350 \ nm)$ ઉત્સર્જનનું કારણ બને છે. આમ,સેચ્યુરેશન કરંટ $I_p$ એ ત્રણેય તરંગલંબાઇઓની તીવ્રતાના સરવાળાના પ્રમાણમાં છે.
- પ્લેટ $q$ $(\lambda_q = 496 \ nm)$ માટે: માત્ર $\lambda_2 = 450 \ nm$ અને $\lambda_3 = 350 \ nm$ ઉત્સર્જનનું કારણ બને છે. આમ,$I_q$ એ બે તરંગલંબાઇઓની તીવ્રતાના સરવાળાના પ્રમાણમાં છે.
- પ્લેટ $r$ $(\lambda_r = 413.3 \ nm)$ માટે: માત્ર $\lambda_3 = 350 \ nm$ ઉત્સર્જનનું કારણ બને છે. આમ,$I_r$ એ એક તરંગલંબાઇની તીવ્રતાના પ્રમાણમાં છે.
તીવ્રતા સમાન હોવાથી,$I_p > I_q > I_r$. સેચ્યુરેશન કરંટ $p$ માટે સૌથી વધુ અને $r$ માટે સૌથી ઓછો છે. સાચો આલેખ $A$ છે.
$\lambda_0 = \frac{hc}{\phi}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $hc = 1240 \ eV \ nm$,આપણે થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇની ગણતરી કરીએ છીએ:
$\lambda_p = \frac{1240}{2.0} = 620 \ nm$
$\lambda_q = \frac{1240}{2.5} = 496 \ nm$
$\lambda_r = \frac{1240}{3.0} \approx 413.3 \ nm$
આપાત પ્રકાશમાં સમાન તીવ્રતા ધરાવતી $\lambda_1 = 550 \ nm, \lambda_2 = 450 \ nm, \lambda_3 = 350 \ nm$ તરંગલંબાઇઓ છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટે,આપણી પાસે $\lambda \le \lambda_0$ હોવું જોઈએ:
- પ્લેટ $p$ $(\lambda_p = 620 \ nm)$ માટે: ત્રણેય તરંગલંબાઇઓ $(550, 450, 350 \ nm)$ ઉત્સર્જનનું કારણ બને છે. આમ,સેચ્યુરેશન કરંટ $I_p$ એ ત્રણેય તરંગલંબાઇઓની તીવ્રતાના સરવાળાના પ્રમાણમાં છે.
- પ્લેટ $q$ $(\lambda_q = 496 \ nm)$ માટે: માત્ર $\lambda_2 = 450 \ nm$ અને $\lambda_3 = 350 \ nm$ ઉત્સર્જનનું કારણ બને છે. આમ,$I_q$ એ બે તરંગલંબાઇઓની તીવ્રતાના સરવાળાના પ્રમાણમાં છે.
- પ્લેટ $r$ $(\lambda_r = 413.3 \ nm)$ માટે: માત્ર $\lambda_3 = 350 \ nm$ ઉત્સર્જનનું કારણ બને છે. આમ,$I_r$ એ એક તરંગલંબાઇની તીવ્રતાના પ્રમાણમાં છે.
તીવ્રતા સમાન હોવાથી,$I_p > I_q > I_r$. સેચ્યુરેશન કરંટ $p$ માટે સૌથી વધુ અને $r$ માટે સૌથી ઓછો છે. સાચો આલેખ $A$ છે.
0 likesView Solution
31
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
બે ધાતુની રીંગ $A$ અને $B$,જે આકાર અને કદમાં સમાન છે પરંતુ તેમની અવરોધકતા $\rho_A$ અને $\rho_B$ અલગ-અલગ છે,તેમને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે સમાન સોલેનોઇડની ઉપર રાખવામાં આવી છે. જ્યારે બંને સોલેનોઇડમાં સમાન રીતે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ચાલુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગ $A$ અને $B$ અનુક્રમે $h_A$ અને $h_B$ ઊંચાઈ સુધી કૂદકો મારે છે,જ્યાં $h_A > h_B$ છે. તેમની અવરોધકતા અને તેમના દળ $m_A$ અને $m_B$ વચ્ચેનો શક્ય સંબંધ(ઓ) છે:
$(A)$ $\rho_A > \rho_B$ અને $m_A = m_B$
$(B)$ $\rho_A < \rho_B$ અને $m_A = m_B$
$(C)$ $\rho_A > \rho_B$ અને $m_A > m_B$
$(D)$ $\rho_A < \rho_B$ અને $m_A < m_B$
$(A)$ $\rho_A > \rho_B$ અને $m_A = m_B$
$(B)$ $\rho_A < \rho_B$ અને $m_A = m_B$
$(C)$ $\rho_A > \rho_B$ અને $m_A > m_B$
$(D)$ $\rho_A < \rho_B$ અને $m_A < m_B$
A
$(B, C)$
B
$(B, D)$
C
$(A, D)$
D
$(C, D)$
Solution
(B) જ્યારે સોલેનોઇડમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ચાલુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે,જેનાથી પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ ઉત્પન્ન થાય છે.
રીંગમાં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ છે,જ્યાં $R = \rho \frac{L}{A_{cs}}$ એ રીંગનો અવરોધ છે ($L$ એ પરિઘ છે,$A_{cs}$ એ વાયરનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે).
રીંગ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = i L B_r$ છે,જ્યાં $B_r$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક છે. કારણ કે $i \propto \frac{1}{\rho}$,તેથી ઈમ્પલ્સ $J = \int F dt = \int i L B_r dt \propto \frac{1}{\rho} \int \frac{d\phi}{dt} dt = \frac{\Delta \phi}{\rho}$.
ઈમ્પલ્સ-મોમેન્ટમ પ્રમેય મુજબ,$J = m v$,તેથી $v = \frac{J}{m} \propto \frac{1}{\rho m}$.
પ્રાપ્ત ઊંચાઈ $h = \frac{v^2}{2g} \propto \frac{1}{\rho^2 m^2}$ છે.
આપેલ છે કે $h_A > h_B$,તેથી $\frac{1}{\rho_A^2 m_A^2} > \frac{1}{\rho_B^2 m_B^2}$,જેનો અર્થ છે કે $\rho_A m_A < \rho_B m_B$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ જો $\rho_A > \rho_B$ અને $m_A = m_B$,તો $\rho_A m_A > \rho_B m_B$ (ખોટું).
$(B)$ જો $\rho_A < \rho_B$ અને $m_A = m_B$,તો $\rho_A m_A < \rho_B m_B$ (સાચું).
$(C)$ જો $\rho_A > \rho_B$ અને $m_A > m_B$,તો $\rho_A m_A > \rho_B m_B$ (ખોટું).
$(D)$ જો $\rho_A < \rho_B$ અને $m_A < m_B$,તો $\rho_A m_A < \rho_B m_B$ (સાચું).
આમ,શક્ય સંબંધો $(B)$ અને $(D)$ છે.
રીંગમાં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ છે,જ્યાં $R = \rho \frac{L}{A_{cs}}$ એ રીંગનો અવરોધ છે ($L$ એ પરિઘ છે,$A_{cs}$ એ વાયરનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે).
રીંગ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = i L B_r$ છે,જ્યાં $B_r$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક છે. કારણ કે $i \propto \frac{1}{\rho}$,તેથી ઈમ્પલ્સ $J = \int F dt = \int i L B_r dt \propto \frac{1}{\rho} \int \frac{d\phi}{dt} dt = \frac{\Delta \phi}{\rho}$.
ઈમ્પલ્સ-મોમેન્ટમ પ્રમેય મુજબ,$J = m v$,તેથી $v = \frac{J}{m} \propto \frac{1}{\rho m}$.
પ્રાપ્ત ઊંચાઈ $h = \frac{v^2}{2g} \propto \frac{1}{\rho^2 m^2}$ છે.
આપેલ છે કે $h_A > h_B$,તેથી $\frac{1}{\rho_A^2 m_A^2} > \frac{1}{\rho_B^2 m_B^2}$,જેનો અર્થ છે કે $\rho_A m_A < \rho_B m_B$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ જો $\rho_A > \rho_B$ અને $m_A = m_B$,તો $\rho_A m_A > \rho_B m_B$ (ખોટું).
$(B)$ જો $\rho_A < \rho_B$ અને $m_A = m_B$,તો $\rho_A m_A < \rho_B m_B$ (સાચું).
$(C)$ જો $\rho_A > \rho_B$ અને $m_A > m_B$,તો $\rho_A m_A > \rho_B m_B$ (ખોટું).
$(D)$ જો $\rho_A < \rho_B$ અને $m_A < m_B$,તો $\rho_A m_A < \rho_B m_B$ (સાચું).
આમ,શક્ય સંબંધો $(B)$ અને $(D)$ છે.
0 likesView Solution
32
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
$+Q$ વિદ્યુતભારના કુલંબ ક્ષેત્રની અસર હેઠળ,એક $-q$ વિદ્યુતભાર તેની આસપાસ લંબગોળ કક્ષામાં ગતિ કરી રહ્યો છે. સાચું વિધાન શોધો.
A
$-q$ વિદ્યુતભારનું કોણીય વેગમાન અચળ છે.
B
$-q$ વિદ્યુતભારનું રેખીય વેગમાન અચળ છે.
C
$-q$ વિદ્યુતભારનો કોણીય વેગ અચળ છે.
D
$-q$ વિદ્યુતભારની રેખીય ઝડપ અચળ છે.
Solution
(A) સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
કેન્દ્રીય બળ ક્ષેત્રમાં,જેમ કે સ્થિર વિદ્યુતભાર $+Q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ કુલંબ ક્ષેત્ર,ભ્રમણ કરતા $-q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ હંમેશા કેન્દ્ર (જ્યાં $+Q$ સ્થિત છે) તરફ હોય છે.
બળ કેન્દ્રીય હોવાથી,$+Q$ ની સાપેક્ષમાં $-q$ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ શૂન્ય થાય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ અચળ રહે છે.
તેથી,$-q$ વિદ્યુતભારનું કોણીય વેગમાન તેની લંબગોળ કક્ષા દરમિયાન અચળ રહે છે.
લંબગોળ કક્ષામાં રેખીય વેગમાન,કોણીય વેગ અને રેખીય ઝડપ અચળ હોતા નથી કારણ કે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર બદલાતું રહે છે,જેના કારણે ઝડપ અને દિશામાં ફેરફાર થાય છે.
કેન્દ્રીય બળ ક્ષેત્રમાં,જેમ કે સ્થિર વિદ્યુતભાર $+Q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ કુલંબ ક્ષેત્ર,ભ્રમણ કરતા $-q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ હંમેશા કેન્દ્ર (જ્યાં $+Q$ સ્થિત છે) તરફ હોય છે.
બળ કેન્દ્રીય હોવાથી,$+Q$ ની સાપેક્ષમાં $-q$ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ શૂન્ય થાય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ અચળ રહે છે.
તેથી,$-q$ વિદ્યુતભારનું કોણીય વેગમાન તેની લંબગોળ કક્ષા દરમિયાન અચળ રહે છે.
લંબગોળ કક્ષામાં રેખીય વેગમાન,કોણીય વેગ અને રેખીય ઝડપ અચળ હોતા નથી કારણ કે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર બદલાતું રહે છે,જેના કારણે ઝડપ અને દિશામાં ફેરફાર થાય છે.
0 likesView Solution
33
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2009
કોલમ $II$ માં અમુક પ્રક્રિયાઓમાંથી પસાર થતી સિસ્ટમો આપેલી છે. કોલમ $I$ સિસ્ટમ સાથે સંબંધિત કેટલાક પરિમાણોમાં ફેરફારો સૂચવે છે. કોલમ $I$ ના વિધાનોને કોલમ $II$ ની યોગ્ય પ્રક્રિયા(ઓ) સાથે જોડો.
| કોલમ $I$ | કોલમ $II$ |
| $(A)$ સિસ્ટમની ઉર્જામાં વધારો થાય છે | $(p)$ $System:$ કેપેસિટર, શરૂઆતમાં અનચાર્જ્ડ. $Process:$ તેને બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે. |
| $(B)$ સિસ્ટમને યાંત્રિક ઉર્જા આપવામાં આવે છે, જે તેના ભાગોની અસ્તવ્યસ્ત ગતિની ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે | $(q)$ $System:$ એડિબેટિક પિસ્ટન સાથે ફીટ કરેલ એડિબેટિક કન્ટેનરમાં વાયુ। $Process:$ પિસ્ટનને દબાવીને વાયુને સંકુચિત કરવામાં આવે છે. |
| $(C)$ સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જા તેના યાંત્રિક ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે | $(r)$ $System:$ સખત કન્ટેનરમાં વાયુ। $Process:$ તેની આસપાસના ઠંડા વાતાવરણને કારણે વાયુ ઠંડો થાય છે. |
| $(D)$ સિસ્ટમનું દળ ઘટે છે | $(s)$ $System:$ ભારે ન્યુક્લિયસ, શરૂઆતમાં સ્થિર। $Process:$ ન્યુક્લિયસ લગભગ સમાન દળના બે ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે અને કેટલાક ન્યુટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય છે. |
| $(t)$ $System:$ અવરોધક વાયર લૂપ। $Process:$ લૂપને તેના સમતલને લંબ સમય સાથે બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે. |
A
$A-p, q, t; B-q; C-s; D-s$
B
$A-p, q, t; B-q; C-s; D-s$
C
$A-p, s, t; B-r; C-s; D-t$
D
$A-p, r, s; B-q; C-q; D-p$
Solution
$(A)$ સિસ્ટમની ઉર્જા $(p)$ (કેપેસિટર ચાર્જ કરવું), $(q)$ (એડિબેટિક સંકોચન આંતરિક ઉર્જા વધારે છે), અને $(t)$ (પ્રેરિત પ્રવાહ ગરમી ઉત્પન્ન કરે છે) માં વધે છે。
$(B)$ $(q)$ માં, પિસ્ટન પર કરવામાં આવેલ યાંત્રિક કાર્ય વાયુના અણુઓની અસ્તવ્યસ્ત ગતિજ ઉર્જામાં વધારો કરે છે。
$(C)$ $(s)$ માં, દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતા $E = mc^2$ સૂચવે છે કે દળમાં ઘટાડો એ ટુકડાઓની ગતિજ ઉર્જા (યાંત્રિક ઉર્જા) માં રૂપાંતરિત થાય છે。
$(D)$ $(s)$ માં, ન્યુક્લિયર વિખંડનને કારણે દળમાં ક્ષતિ થાય છે, એટલે કે સિસ્ટમનું દળ ઘટે છે。
તેથી, સાચી જોડી છે: $A-(p, q, t), B-q, C-s, D-s$.
$(B)$ $(q)$ માં, પિસ્ટન પર કરવામાં આવેલ યાંત્રિક કાર્ય વાયુના અણુઓની અસ્તવ્યસ્ત ગતિજ ઉર્જામાં વધારો કરે છે。
$(C)$ $(s)$ માં, દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતા $E = mc^2$ સૂચવે છે કે દળમાં ઘટાડો એ ટુકડાઓની ગતિજ ઉર્જા (યાંત્રિક ઉર્જા) માં રૂપાંતરિત થાય છે。
$(D)$ $(s)$ માં, ન્યુક્લિયર વિખંડનને કારણે દળમાં ક્ષતિ થાય છે, એટલે કે સિસ્ટમનું દળ ઘટે છે。
તેથી, સાચી જોડી છે: $A-(p, q, t), B-q, C-s, D-s$.
0 likesView Solution
34
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2009
કૉલમ $I$ માં યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગની ચાર પરિસ્થિતિઓ દર્શાવેલ છે,જેમાં પડદો સ્લિટ $S_1$ અને $S_2$ થી દૂર રાખેલ છે. દરેક કિસ્સામાં $S_1 P_0 = S_2 P_0$,$S_1 P_1 - S_2 P_1 = \lambda / 4$ અને $S_1 P_2 - S_2 P_2 = \lambda / 3$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે. કિસ્સા $B, C$ અને $D$ માં,સ્લિટ $S_2$ પર $\mu$ વક્રીભવનાંક અને $t$ જાડાઈની પારદર્શક શીટ મૂકેલી છે. દરેક કિસ્સામાં શીટની જાડાઈ અલગ છે. પડદા પરના બિંદુ $P$ પર પહોંચતા પ્રકાશના તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\delta(P)$ અને તીવ્રતા $I(P)$ છે. કૉલમ $I$ માં આપેલી દરેક પરિસ્થિતિને કૉલમ $II$ માં આપેલા વિધાન(નો) સાથે જોડો.
| કૉલમ $I$ | કૉલમ $II$ |
| $(A)$ શીટ નથી | $(p)$ $\delta(P_0) = 0$ |
| $(B)$ $(\mu-1)t = \lambda / 4$ | $(q)$ $\delta(P_1) = 0$ |
| $(C)$ $(\mu-1)t = \lambda / 2$ | $(r)$ $I(P_1) = 0$ |
| $(D)$ $(\mu-1)t = 3\lambda / 4$ | $(s)$ $I(P_0) > I(P_1)$ |
| $(t)$ $I(P_2) > I(P_1)$ |
A
$A-p, q; B-q; C-r; D-r, q, t$
B
$A-p, s; B-q; C-t; D-r, s, t$
C
$A-p, t; B-s; C-p; D-r, s, q$
D
$A-q, s; B-p; C-s; D-r, q, s$
Solution
(A) કોઈપણ બિંદુ $P$ પર પથ તફાવત $\Delta x = (S_1 P - S_2 P) - (\mu-1)t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કળા તફાવત $\delta = (2\pi / \lambda) \Delta x$ છે.
કિસ્સા $(A)$ માટે: $(\mu-1)t = 0$. $\delta(P_0) = (2\pi / \lambda)(0 - 0) = 0$ $(p)$. $\delta(P_1) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 4) = \pi / 2$ (q ખોટું છે).
કિસ્સા $(B)$ માટે: $(\mu-1)t = \lambda / 4$. $\delta(P_1) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 4 - \lambda / 4) = 0$ $(q)$. $I(P_1) = I_{max} \cos^2(0) = I_{max}$.
કિસ્સા $(C)$ માટે: $(\mu-1)t = \lambda / 2$. $\delta(P_1) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 4 - \lambda / 2) = -\pi / 2$. $I(P_1) = I_{max} \cos^2(-\pi / 4) = I_{max} / 2$. $\delta(P_2) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 3 - \lambda / 2) = -\pi / 3$. $I(P_2) = I_{max} \cos^2(-\pi / 6) = 3I_{max} / 4$. આમ $I(P_2) > I(P_1)$ $(t)$.
કિસ્સા $(D)$ માટે: $(\mu-1)t = 3\lambda / 4$. $\delta(P_1) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 4 - 3\lambda / 4) = -\pi$. $I(P_1) = I_{max} \cos^2(-\pi / 2) = 0$ $(r)$.
કિસ્સા $(A)$ માટે: $(\mu-1)t = 0$. $\delta(P_0) = (2\pi / \lambda)(0 - 0) = 0$ $(p)$. $\delta(P_1) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 4) = \pi / 2$ (q ખોટું છે).
કિસ્સા $(B)$ માટે: $(\mu-1)t = \lambda / 4$. $\delta(P_1) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 4 - \lambda / 4) = 0$ $(q)$. $I(P_1) = I_{max} \cos^2(0) = I_{max}$.
કિસ્સા $(C)$ માટે: $(\mu-1)t = \lambda / 2$. $\delta(P_1) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 4 - \lambda / 2) = -\pi / 2$. $I(P_1) = I_{max} \cos^2(-\pi / 4) = I_{max} / 2$. $\delta(P_2) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 3 - \lambda / 2) = -\pi / 3$. $I(P_2) = I_{max} \cos^2(-\pi / 6) = 3I_{max} / 4$. આમ $I(P_2) > I(P_1)$ $(t)$.
કિસ્સા $(D)$ માટે: $(\mu-1)t = 3\lambda / 4$. $\delta(P_1) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 4 - 3\lambda / 4) = -\pi$. $I(P_1) = I_{max} \cos^2(-\pi / 2) = 0$ $(r)$.
0 likesView Solution
35
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
એક સ્થિર પ્રવાહ $I$ એ $PQR$ આકારના વાયર લૂપમાંથી વહે છે, જે કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $PQ = 3x$, $PR = 4x$ અને $QR = 5x$ છે। જો આ લૂપને કારણે $P$ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $k \left( \frac{\mu_0 I}{48 \pi x} \right)$ હોય, તો $k$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$7$
Solution
(D) સેગમેન્ટ $PQ$ અને $PR$ ને કારણે $P$ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે કારણ કે $P$ બિંદુ આ વાહકોની રેખા પર આવેલું છે.
$P$ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર માત્ર સેગમેન્ટ $QR$ ને કારણે છે.
ધારો કે $PD$ એ $P$ થી $QR$ બાજુ પરનું લંબ અંતર છે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times PQ \times PR = \frac{1}{2} \times QR \times PD$
$\frac{1}{2} \times 3x \times 4x = \frac{1}{2} \times 5x \times PD$
$12x^2 = 5x \times PD \implies PD = \frac{12x}{5}$.
લંબ અંતર $d$ પર રહેલા મર્યાદિત વાયર સેગમેન્ટને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\triangle PQR$ માં, $\sin \phi_1 = \frac{PQ}{QR} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$ અને $\sin \phi_2 = \frac{PR}{QR} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (12x/5)} \left( \frac{3}{5} + \frac{4}{5} \right)$
$B = \frac{5 \mu_0 I}{48 \pi x} \left( \frac{7}{5} \right)$
$B = \frac{7 \mu_0 I}{48 \pi x}$.
આને $k \left( \frac{\mu_0 I}{48 \pi x} \right)$ સાથે સરખાવતા, આપણને $k = 7$ મળે છે.
$P$ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર માત્ર સેગમેન્ટ $QR$ ને કારણે છે.
ધારો કે $PD$ એ $P$ થી $QR$ બાજુ પરનું લંબ અંતર છે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times PQ \times PR = \frac{1}{2} \times QR \times PD$
$\frac{1}{2} \times 3x \times 4x = \frac{1}{2} \times 5x \times PD$
$12x^2 = 5x \times PD \implies PD = \frac{12x}{5}$.
લંબ અંતર $d$ પર રહેલા મર્યાદિત વાયર સેગમેન્ટને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\triangle PQR$ માં, $\sin \phi_1 = \frac{PQ}{QR} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$ અને $\sin \phi_2 = \frac{PR}{QR} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (12x/5)} \left( \frac{3}{5} + \frac{4}{5} \right)$
$B = \frac{5 \mu_0 I}{48 \pi x} \left( \frac{7}{5} \right)$
$B = \frac{7 \mu_0 I}{48 \pi x}$.
આને $k \left( \frac{\mu_0 I}{48 \pi x} \right)$ સાથે સરખાવતા, આપણને $k = 7$ મળે છે.
0 likesView Solution
36
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક નક્કર ગોળામાં તેના કદમાં વિદ્યુતભાર $Q$ એવી રીતે વહેંચાયેલો છે કે તેની વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho = \kappa r^a$ છે,જ્યાં $\kappa$ અને $a$ અચળાંકો છે અને $r$ એ તેના કેન્દ્રથી અંતર છે. જો $r = \frac{R}{2}$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $r = R$ પરના વિદ્યુતક્ષેત્ર કરતા $\frac{1}{8}$ ગણું હોય,તો $a$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) ગોસના નિયમ મુજબ,ગોલીય સંમિત વિદ્યુતભાર વિતરણના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે: $E(4\pi r^2) = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$.
$r$ ત્રિજ્યાના ગોળાની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q(r) = \int_0^r \rho(r') 4\pi r'^2 dr' = \int_0^r \kappa r'^a 4\pi r'^2 dr' = \frac{4\pi \kappa r^{a+3}}{a+3}$ થાય.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E(r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 r^2} \cdot \frac{4\pi \kappa r^{a+3}}{a+3} = \frac{\kappa r^{a+1}}{\epsilon_0(a+3)}$ મળે.
આપેલ છે કે $E(r = R/2) = \frac{1}{8} E(r = R)$,તેથી:
$\frac{\kappa (R/2)^{a+1}}{\epsilon_0(a+3)} = \frac{1}{8} \cdot \frac{\kappa R^{a+1}}{\epsilon_0(a+3)}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$(1/2)^{a+1} = 1/8$ મળે.
કારણ કે $1/8 = (1/2)^3$,તેથી $a+1 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
$r$ ત્રિજ્યાના ગોળાની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q(r) = \int_0^r \rho(r') 4\pi r'^2 dr' = \int_0^r \kappa r'^a 4\pi r'^2 dr' = \frac{4\pi \kappa r^{a+3}}{a+3}$ થાય.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E(r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 r^2} \cdot \frac{4\pi \kappa r^{a+3}}{a+3} = \frac{\kappa r^{a+1}}{\epsilon_0(a+3)}$ મળે.
આપેલ છે કે $E(r = R/2) = \frac{1}{8} E(r = R)$,તેથી:
$\frac{\kappa (R/2)^{a+1}}{\epsilon_0(a+3)} = \frac{1}{8} \cdot \frac{\kappa R^{a+1}}{\epsilon_0(a+3)}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$(1/2)^{a+1} = 1/8$ મળે.
કારણ કે $1/8 = (1/2)^3$,તેથી $a+1 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real IIT JEE style covering Physics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Physics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live IIT JEE mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Physics questions are in IIT JEE 2009?
There are 36 Physics questions from the IIT JEE 2009 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Gujarati.
Are IIT JEE 2009 Physics solutions available in Gujarati?
Yes. All solutions on this page are in Gujarati. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice IIT JEE 2009 Physics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full IIT JEE mock test covering Physics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Physics papers from IIT JEE previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix IIT JEE Physics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Physics Paper
Pick IIT JEE 2009 Physics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.