मान लीजिए कि f अंतराल [0,1] पर परिभाषित एक गै | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $\int_0^x \sqrt{1-(f'(t))^2} dt = \int_0^x f(t) dt$ है,जहाँ $0 \leq x \leq 1$ है।लेबनिज के नियम का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का

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$f\left(\frac{1}{2}\right) < \frac{1}{2}$ और $f\left(\frac{1}{3}\right) < \frac{1}{3}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समीकरण $\int_0^x \sqrt{1-(f'(t))^2} dt = \int_0^x f(t) dt$ है,जहाँ $0 \leq x \leq 1$ है।लेबनिज के नियम का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\sqrt{1-(f'(x))^2} = f(x)$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$1-(f'(x))^2 = f^2(x)$$(f'(x))^2 = 1 - f^2(x)$$f'(x) = \pm \sqrt{1 - f^2(x)}$माना $y = f(x)$,तब $\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{1 - y^2}$।चरों को अलग करने पर:$\frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = \pm dx$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\sin^{-1}(y) = \pm x + C$चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए $\sin^{-1}(0) = 0 + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।अतः,$y = \pm \sin(x)$। चूंकि $f$ एक गैर-ऋणात्मक फलन है,इसलिए $f(x) = \sin(x)$।हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए,$\sin(x) इसलिए,$\sin\left(\frac{1}{2}\right) अतः,$f\left(\frac{1}{2}\right) < \frac{1}{2}$ और $f\left(\frac{1}{3}\right) < \frac{1}{3}$।

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