IIT JEE 2009 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-6x-4y-11=0$ છે. સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેન્દ્ર $C(3, 2)$ મળે છે.
$PA$ અને $PB$ એ બિંદુ $P(1,8)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો હોવાથી,ત્રિજ્યાઓ $CA$ અને $CB$ અનુક્રમે બિંદુઓ $A$ અને $B$ આગળ સ્પર્શકોને લંબ છે. તેથી,$\angle PAC = 90^\circ$ અને $\angle PBC = 90^\circ$.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ એ $PC$ વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળ પર આવેલા છે. ત્રિકોણ $PAB$ આ વર્તુળમાં અંતર્ગત છે,તેથી $\triangle PAB$ નું પરિવર્તુળ એ $PC$ વ્યાસ ધરાવતું વર્તુળ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
$P(1,8)$ અને $C(3,2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(x-1)(x-3) + (y-8)(y-2) = 0$
$x^2 - 4x + 3 + y^2 - 10y + 16 = 0$
$x^2 + y^2 - 4x - 10y + 19 = 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9}+y^2=1$ છે.
અર્ધ-મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $a=3$ અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $b=1$ છે.
બિંદુ $A$ ના યામ $(3,0)$ અને બિંદુ $B$ ના યામ $(0,1)$ છે.
$A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} = 1$ છે,જે $x+3y=3$ તરીકે સરળ બને છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ના સહાયક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=a^2$ છે,તેથી $x^2+y^2=9$.
રેખા $AB$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=9$ ને બિંદુ $M$ માં છેદે છે. વર્તુળના સમીકરણમાં $x=3-3y$ મૂકતા:
$(3-3y)^2+y^2=9$
$9-18y+9y^2+y^2=9$
$10y^2-18y=0$
$2y(5y-9)=0$.
$y=0$ એ બિંદુ $A(3,0)$ ને અનુરૂપ હોવાથી,બિંદુ $M$ માટે $y=\frac{9}{5}$ મળે.
તેથી $x=3-3(\frac{9}{5}) = 3-\frac{27}{5} = -\frac{12}{5}$.
આમ,$M = \left(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5}\right)$.
$A(3,0)$,$M(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$ અને $O(0,0)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણ $AMO$ નું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_A(y_M-y_O) + x_M(y_O-y_A) + x_O(y_A-y_M)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |3(\frac{9}{5}-0) + (-\frac{12}{5})(0-0) + 0(0-\frac{9}{5})|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\frac{27}{5}| = \frac{27}{10}$.

(C) ધારો કે સાત અંકો $x_1, x_2, \dots, x_7$ છે જ્યાં $x_i \in \{1, 2, 3\}$ છે.
આપણે $x_1 + x_2 + \dots + x_7 = 10$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે.
આ $(x + x^2 + x^3)^7$ માં $x^{10}$ નો સહગુણક શોધવા સમાન છે.
$(x + x^2 + x^3)^7 = x^7(1 + x + x^2)^7 = x^7 \left(\frac{1 - x^3}{1 - x}\right)^7 = x^7(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7}$.
આપણે $x^7(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7}$ માં $x^{10}$ નો સહગુણક શોધવો છે,જે $(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7}$ માં $x^3$ નો સહગુણક છે.
$(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7} = (1 - 7x^3 + \dots)(1 + 7x + \frac{7 \times 8}{2}x^2 + \frac{7 \times 8 \times 9}{6}x^3 + \dots)$.
$x^3$ નો સહગુણક $1 \times \binom{7+3-1}{3} - 7 \times 1 = \binom{9}{3} - 7 = 84 - 7 = 77$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,અંકોના શક્ય સેટ:
$1, 1, 1, 1, 1, 2, 3$ (સરવાળો $= 10$): ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{7!}{5!} = 42$.
$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2$ (સરવાળો $= 10$): ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{7!}{4!3!} = 35$.
કુલ $= 42 + 35 = 77$.

(B) આપણી પાસે $L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{a - a(1 - \frac{x^2}{a^2})^{1/2} - \frac{x^2}{4}}{x^4}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 - u)^{1/2} = 1 - \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 - \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = \frac{x^2}{a^2}$:
$L = \lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{a - a(1 - \frac{1}{2}(\frac{x^2}{a^2}) - \frac{1}{8}(\frac{x^2}{a^2})^2) - \frac{x^2}{4}}{x^4}$
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{a - a + \frac{x^2}{2a} + \frac{x^4}{8a^3} - \frac{x^2}{4}}{x^4}$
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2(\frac{1}{2a} - \frac{1}{4}) + \frac{x^4}{8a^3}}{x^4}$.
સીમા શાંત રહે તે માટે,$x^2$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{1}{2a} - \frac{1}{4} = 0 \implies a = 2$.
$a = 2$ મૂકતા:
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^4}{8(2)^3}}{x^4} = \frac{1}{8 \times 8} = \frac{1}{64}$.
આમ,$a = 2$ અને $L = \frac{1}{64}$.
તેથી,વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(C) $\triangle ABC$ માં,$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$\frac{B+C}{2} = 90^{\circ} - \frac{A}{2}$ થાય.
આપેલ છે કે $\cos B + \cos C = 4 \sin^2 \frac{A}{2}$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $2 \cos \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2} = 4 \sin^2 \frac{A}{2}$.
$\cos \frac{B+C}{2} = \sin \frac{A}{2}$ હોવાથી,$2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2} = 4 \sin^2 \frac{A}{2}$ મળે.
$2 \sin \frac{A}{2}$ વડે ભાગતા,$\cos \frac{B-C}{2} = 2 \sin \frac{A}{2}$ મળે.
બંને બાજુ $2 \cos \frac{A}{2}$ વડે ગુણતા,$2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2} = 4 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ મળે.
$2 \cos \frac{A}{2} = 2 \sin \frac{B+C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2} = 2 \sin A$ મળે.
આથી $\sin B + \sin C = 2 \sin A$ મળે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$b + c = 2a$ થાય.
અહીં $b + c = AB + AC = 2BC$ હોવાથી,બિંદુ $A$ નો બિંદુપથ ઉપવલય છે.

(B) આપેલ છે $\frac{\sin ^4 x}{2}+\frac{\cos ^4 x}{3}=\frac{1}{5}$.
ધારો કે $\sin ^2 x = t$,તો $\cos ^2 x = 1-t$. જ્યાં $t \in [0, 1]$.
સમીકરણ $\frac{t^2}{2} + \frac{(1-t)^2}{3} = \frac{1}{5}$ બને છે.
$30$ વડે ગુણતા: $15t^2 + 10(1-2t+t^2) = 6$.
$25t^2 - 20t + 4 = 0$.
$(5t-2)^2 = 0$,તેથી $t = \frac{2}{5}$.
આમ,$\sin ^2 x = \frac{2}{5}$ અને $\cos ^2 x = \frac{3}{5}$.
તેથી,$\tan ^2 x = \frac{2/5}{3/5} = \frac{2}{3}$. આથી $(A)$ સાચું છે.
હવે $(B)$ ચકાસો: $\frac{\sin ^8 x}{8} + \frac{\cos ^8 x}{27} = \frac{(2/5)^4}{8} + \frac{(3/5)^4}{27} = \frac{2}{625} + \frac{3}{625} = \frac{5}{625} = \frac{1}{125}$. આથી $(B)$ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(A)$ અને $(B)$ છે.

(A) $(p)$ રેખા $hx+ky=1$ એ $x^2+y^2=4$ ને સ્પર્શે છે જો ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $2$ જેટલું હોય.
$\frac{|h(0)+k(0)-1|}{\sqrt{h^2+k^2}}=2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}}=2 \Rightarrow h^2+k^2=\frac{1}{4}$. આ એક વર્તુળ છે.
$(q)$ $|z+2|-|z-2|=\pm 3$. આ બે નિશ્ચિત બિંદુઓ $(\pm 2, 0)$ થી અંતરનો તફાવત અચળ $3$ દર્શાવે છે. $3 < 4$ હોવાથી,આ એક અતિવલય છે.
$(r)$ $x=\sqrt{3}\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right), y=\frac{2 t}{1+t^2}$. ધારો કે $t=\tan \theta$. તો $x=\sqrt{3}\cos 2\theta$ અને $y=\sin 2\theta$. આમ,$\frac{x^2}{3}+y^2=1$,જે એક ઉપવલય છે.
$(s)$ પરવલય માટે ઉત્કેન્દ્રતા $e=1$ અને અતિવલય માટે $e>1$ હોય છે. તેથી,$1 \leq e < \infty$ એ પરવલય અને અતિવલય બંનેને આવરી લે છે.
$(t)$ ધારો કે $z=x+iy$. $\operatorname{Re}(z+1)^2 = \operatorname{Re}((x+1+iy)^2) = (x+1)^2-y^2$. આપેલ છે કે $(x+1)^2-y^2 = x^2+y^2+1 \Rightarrow x^2+2x+1-y^2 = x^2+y^2+1 \Rightarrow 2x = 2y^2 \Rightarrow x=y^2$. આ એક પરવલય છે.
જોડકાં: $A-p, B-s, t, C-r, D-q, s$.

(C) આપેલ છે કે પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = c n^2$ છે.
$n$-મું પદ $T_n = S_n - S_{n-1} = c n^2 - c(n-1)^2 = 2cn - c$ થાય.
આપણે $n$ પદોના વર્ગોનો સરવાળો $\sum_{k=1}^n T_k^2$ શોધવો છે.
$T_k^2 = (2ck - c)^2 = c^2(4k^2 - 4k + 1)$ થાય.
સરવાળો $= \sum_{k=1}^n c^2(4k^2 - 4k + 1) = c^2 [4 \sum k^2 - 4 \sum k + \sum 1]$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$= c^2 [4 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \frac{n(n+1)}{2} + n]$.
$= \frac{n c^2(4n^2 - 1)}{3}$ મળે.

(C) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 4$ છે.
ધારો કે $P = (4 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ એ ઉપવલય પરનું બિંદુ છે.
$P$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\sin \theta} = a^2 - b^2$ છે.
$a=4, b=2$ મૂકતા: $\frac{4x}{\cos \theta} - \frac{2y}{\sin \theta} = 12$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{\cos \theta} - \frac{y}{2 \sin \theta} = 3$ થાય.
આ અભિલંબ $x$-અક્ષ $(y=0)$ ને $Q(3 \cos \theta, 0)$ માં મળે છે.
ધારો કે $M(x, y)$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $x = \frac{4 \cos \theta + 3 \cos \theta}{2} = \frac{7}{2} \cos \theta$ અને $y = \frac{2 \sin \theta + 0}{2} = \sin \theta$ થાય.
આમ,$\cos \theta = \frac{2x}{7}$ અને $\sin \theta = y$. $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$M$ નો બિંદુપથ $\frac{4x^2}{49} + y^2 = 1$ મળે.
મૂળ ઉપવલયનો નાભિલંબ $x = \pm ae = \pm \sqrt{a^2 - b^2} = \pm \sqrt{16 - 4} = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}$ છે.
બિંદુપથના સમીકરણમાં $x^2 = 12$ મૂકતા: $\frac{4(12)}{49} + y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = 1 - \frac{48}{49} = \frac{1}{49}$.
તેથી,$y = \pm \frac{1}{7}$. આમ,બિંદુઓ $\left( \pm 2 \sqrt{3}, \pm \frac{1}{7} \right)$ મળે.

(D) ધારો કે રેખાઓ $L_1: (1+p)x - py + p(1+p) = 0$,$L_2: (1+q)x - qy + q(1+q) = 0$,અને $L_3: y = 0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ છે:
$A = (-p, 0)$,$B = (-q, 0)$,અને $C = (pq, (1+p)(1+q))$.
$C$ માંથી પસાર થતા વેધનું સમીકરણ $x = pq$ છે.
$B(-q, 0)$ માંથી પસાર થતા વેધનું સમીકરણ $px + (1+p)y + pq = 0$ મળે છે.
આ બંને સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $y = -pq$ મળે છે.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(h, k) = (pq, -pq)$ છે.
તેથી,$k = -h$,જે રેખા $y = -x$ દર્શાવે છે.

(D) આપેલ અતિવલય: $2x^2 - 2y^2 = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{1/2} - \frac{y^2}{1/2} = 1$.
અહીં,$a^2 = 1/2, b^2 = 1/2$. ઉત્કેન્દ્રતા $e_h = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{e_h} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow a^2 = 2b^2$.
ઉપવલયનું સમીકરણ: $x^2 + 2y^2 = 2b^2$.
લંબરૂપે છેદવા માટે,છેદબિંદુ $(x_0, y_0)$ પર સ્પર્શકોના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
અતિવલય માટે: $4x - 4y y' = 0 \Rightarrow y' = \frac{x}{y}$.
ઉપવલય માટે: $2x + 4y y' = 0 \Rightarrow y' = -\frac{x}{2y}$.
ગુણાકાર: $(\frac{x_0}{y_0})(-\frac{x_0}{2y_0}) = -1 \Rightarrow x_0^2 = 2y_0^2$.
$x_0^2 = 2y_0^2$ ને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $2(2y_0^2) - 2y_0^2 = 1$ $\Rightarrow 2y_0^2 = 1$ $\Rightarrow y_0^2 = 1/2$ અને $x_0^2 = 1$.
$(x_0^2, y_0^2) = (1, 1/2)$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $1 + 2(1/2) = 2b^2$ $\Rightarrow 2b^2 = 2$ $\Rightarrow b^2 = 1$.
આમ,$a^2 = 2(1) = 2$. સમીકરણ $x^2 + 2y^2 = 2$ છે.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}, 0) = (\pm 1, 0)$ છે.
તેથી,વિકલ્પો $(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(at^2, 2at)$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + at^2$ છે. તે અક્ષ $(y=0)$ ને $T(-at^2, 0)$ માં મળે છે.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે. તે અક્ષ $(y=0)$ ને $N(2a + at^2, 0)$ માં મળે છે.
ધારો કે $\triangle PTN$ નું મધ્યકેન્દ્ર $R(h, k)$ છે.
$h = \frac{at^2 - at^2 + 2a + at^2}{3} = \frac{2a + at^2}{3}$
$k = \frac{2at + 0 + 0}{3} = \frac{2at}{3} \Rightarrow t = \frac{3k}{2a}$.
$h$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$3h = 2a + a\left(\frac{3k}{2a}\right)^2 = 2a + \frac{9k^2}{4a}$.
$9k^2 = 4a(3h - 2a) \Rightarrow k^2 = \frac{4a}{3}\left(h - \frac{2a}{3}\right)$.
બિંદુપથ $y^2 = \frac{4a}{3}\left(x - \frac{2a}{3}\right)$ છે.
$Y^2 = 4AX$ સાથે સરખાવતા,$4A = \frac{4a}{3} \Rightarrow A = \frac{a}{3}$.
શિરોબિંદુ $\left(\frac{2a}{3}, 0\right)$ છે.
નાભિ $\left(\frac{2a}{3} + A, 0\right) = \left(\frac{2a}{3} + \frac{a}{3}, 0\right) = (a, 0)$ છે.
આમ,$(A)$ અને $(D)$ સાચા છે.

(B) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે આપેલ સમીકરણ:
$\sum_{m=1}^6 \operatorname{cosec}\left(\theta+\frac{(m-1) \pi}{4}\right) \operatorname{cosec}\left(\theta+\frac{m \pi}{4}\right) = 4 \sqrt{2}$
નિત્યસમ $\operatorname{cosec} A \operatorname{cosec} B = \frac{\cot A - \cot B}{\sin(B-A)}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $B-A = \frac{\pi}{4}$:
$\sum_{m=1}^6 \frac{\cot \left(\theta+\frac{(m-1) \pi}{4}\right) - \cot \left(\theta+\frac{m \pi}{4}\right)}{\sin(\pi/4)} = 4 \sqrt{2}$
$\sin(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી:
$\sqrt{2} \sum_{m=1}^6 \left[ \cot \left(\theta+\frac{(m-1) \pi}{4}\right) - \cot \left(\theta+\frac{m \pi}{4}\right) \right] = 4 \sqrt{2}$
$\sum_{m=1}^6 \left[ \cot \left(\theta+\frac{(m-1) \pi}{4}\right) - \cot \left(\theta+\frac{m \pi}{4}\right) \right] = 4$
આ ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$\cot \theta - \cot \left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) = 4$
$\cot \theta + \tan \theta = 4$
$\tan^2 \theta - 4 \tan \theta + 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $\tan \theta = 2 \pm \sqrt{3}$ મળે.
$\tan \theta = 2 - \sqrt{3} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{12}$
$\tan \theta = 2 + \sqrt{3} \Rightarrow \theta = \frac{5\pi}{12}$
બંને કિંમતો $(0, \frac{\pi}{2})$ અંતરાલમાં છે.

(C) કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos 30^{\circ} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2+16-8}{2 \cdot a \cdot 4}$
$\Rightarrow a^2 - 4\sqrt{3}a + 8 = 0$
અહીં $a_1$ અને $a_2$ એ બાજુ $BC$ ની બે શક્ય લંબાઈઓ છે. તેથી $a_1+a_2 = 4\sqrt{3}$ અને $a_1a_2 = 8$.
તફાવત $|a_1-a_2| = \sqrt{(a_1+a_2)^2 - 4a_1a_2} = \sqrt{48-32} = 4$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}ac \sin B$ છે.
ક્ષેત્રફળોનો તફાવત $|\Delta_1 - \Delta_2| = \frac{1}{2}c \sin B |a_1-a_2| = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 = 4$.

(D) ધારો કે $A_1$ અને $A_2$ એ વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રો છે અને $M$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર છે. $A_1A_2 = 6$ હોવાથી,$A_1P = PA_2 = 3$. $P$ માંથી પસાર થતો સામાન્ય સ્પર્શક $C_1$ ને $B_1$ માં અને $C$ ને $B_2$ માં સ્પર્શે છે. સમપ્રમાણતા મુજબ,તે $C_2$ ને પણ $B_1$ માં સ્પર્શે છે.
$\triangle A_1B_1P$ માં,$\angle A_1B_1P = 90^\circ$. $A_1B_1 = 1$ અને $A_1P = 3$. તેથી,$\sin \alpha = \frac{A_1B_1}{A_1P} = \frac{1}{3}$,જ્યાં $\alpha = \angle A_1PB_1$.
તેથી $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
$\triangle MPB_2$ માં,$\angle MB_2P = 90^\circ$. $MP = r + 1$. $\angle MPB_2 = 90^\circ - \alpha$. તેથી,$\cos \alpha = \frac{r}{r+1} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $r = 8$ મળે છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-8kx+16(k^2-k+1)=0$ છે.
બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે,વિવેચક $D > 0$:
$D = (-8k)^2 - 4(1)(16(k^2-k+1)) > 0$
$64k - 64 > 0 \Rightarrow k > 1 \cdots (1)$
બંને બીજ ઓછામાં ઓછા $4$ હોવા માટે,શિરોબિંદુ $-\frac{b}{2a} \geq 4$:
$4k \geq 4 \Rightarrow k \geq 1 \cdots (2)$
વધુમાં,$f(4) \geq 0$:
$16k^2 - 48k + 32 \geq 0$
$k^2 - 3k + 2 \geq 0 \Rightarrow k \leq 1 \text{ અથવા } k \geq 2 \cdots (3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ ને જોડતા:
$k \geq 2$ મળે છે.
તેથી,$k$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.

(A) આપેલ છે,$z\bar{z}^3+\bar{z}z^3=350$
$\Rightarrow z\bar{z}(\bar{z}^2+z^2)=350$
$\Rightarrow |z|^2(x-iy)^2+(x+iy)^2=350$
$\Rightarrow (x^2+y^2)(x^2-y^2-2ixy+x^2-y^2+2ixy)=350$
$\Rightarrow (x^2+y^2)(2x^2-2y^2)=350$
$\Rightarrow 2(x^2+y^2)(x^2-y^2)=350$
$\Rightarrow x^4-y^4=175$
$x$ અને $y$ પૂર્ણાંક હોવાથી,આપણે કિંમતો ચકાસીએ: $x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=175$.
$x=4, y=3$ માટે: $4^4-3^4=256-81=175$.
આમ,શિરોબિંદુઓ $(4,3), (-4,3), (-4,-3), (4,-3)$ છે.
લંબચોરસની લંબાઈ $|4-(-4)|=8$ અને પહોળાઈ $|3-(-3)|=6$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= 8 \times 6 = 48 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) આપેલ છે $z = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z^{2m-1} = \cos((2m-1)\theta) + i \sin((2m-1)\theta)$.
તેથી,$\text{Im}(z^{2m-1}) = \sin((2m-1)\theta)$.
આપણે $S = \sum_{m=1}^{15} \sin((2m-1)\theta) = \sin \theta + \sin 3\theta + \sin 5\theta + \dots + \sin 29\theta$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આ સમાંતર શ્રેણીમાં સાઈનનો સરવાળો છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = \theta$,સામાન્ય તફાવત $d = 2\theta$,અને પદોની સંખ્યા $n = 15$ છે.
સરવાળા માટેનું સૂત્ર $S = \frac{\sin(n d / 2)}{\sin(d / 2)} \sin(a + (n-1)d / 2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{\sin(15 \cdot 2\theta / 2)}{\sin(2\theta / 2)} \sin(\theta + (15-1)2\theta / 2) = \frac{\sin(15\theta)}{\sin \theta} \sin(\theta + 14\theta) = \frac{\sin^2(15\theta)}{\sin \theta}$.
$\theta = 2^{\circ}$ માટે,$15\theta = 30^{\circ}$.
$S = \frac{\sin^2(30^{\circ})}{\sin 2^{\circ}} = \frac{(1/2)^2}{\sin 2^{\circ}} = \frac{1/4}{\sin 2^{\circ}} = \frac{1}{4 \sin 2^{\circ}}$.

(C) રેખા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી તેના દિશા કોસાઇન સમાન છે. ધારો કે દિશા કોસાઇન $(l, l, l)$ છે. $l^2 + l^2 + l^2 = 1$ હોવાથી,$3l^2 = 1,$ એટલે કે $l = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (કારણ કે દિશા કોસાઇન ધન છે).
રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ ના પ્રમાણમાં છે.
બિંદુ $P(2, -1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $(1, 1, 1)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ એ $(r+2, r-1, r+2)$ સ્વરૂપમાં છે.
$Q$ એ સમતલ $2x + y + z = 9$ પર હોવાથી,$Q$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(r+2) + (r-1) + (r+2) = 9$
$2r + 4 + r - 1 + r + 2 = 9$
$4r + 5 = 9$
$4r = 4 \Rightarrow r = 1.$
આમ,બિંદુ $Q$ એ $(1+2, 1-1, 1+2) = (3, 0, 3)$ છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.$

(C) આપેલ સમીકરણ $\int_0^x \sqrt{1-(f'(t))^2} dt = \int_0^x f(t) dt$ છે,જ્યાં $0 \leq x \leq 1$.
લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\sqrt{1-(f'(x))^2} = f(x)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1-(f'(x))^2 = f^2(x)$
$(f'(x))^2 = 1 - f^2(x)$
$f'(x) = \pm \sqrt{1 - f^2(x)}$
ધારો કે $y = f(x)$,તો $\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{1 - y^2}$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = \pm dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\sin^{-1}(y) = \pm x + C$
$f(0) = 0$ હોવાથી,$\sin^{-1}(0) = 0 + C$,તેથી $C = 0$.
આમ,$y = \pm \sin(x)$. $f$ એ અ-ઋણ વિધેય હોવાથી,$f(x) = \sin(x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે,$\sin(x) < x$.
તેથી,$\sin\left(\frac{1}{2}\right) < \frac{1}{2}$ અને $\sin\left(\frac{1}{3}\right) < \frac{1}{3}$.
આમ,$f\left(\frac{1}{2}\right) < \frac{1}{2}$ અને $f\left(\frac{1}{3}\right) < \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = 1$.
આપેલ શરત $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = 1$ છે.
ડોટ ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|(\vec{a} \times \vec{b})| |(\vec{c} \times \vec{d})| \cos \phi = 1$,જ્યાં $\phi$ એ સદિશો $(\vec{a} \times \vec{b})$ અને $(\vec{c} \times \vec{d})$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કારણ કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sin \theta_1 \le 1$ અને $|\vec{c} \times \vec{d}| = \sin \theta_2 \le 1$,તેથી ગુણાકાર $\sin \theta_1 \sin \theta_2 \cos \phi = 1$ ત્યારે જ શક્ય છે જો $\sin \theta_1 = 1$,$\sin \theta_2 = 1$ અને $\cos \phi = 1$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$,$\theta_2 = \frac{\pi}{2}$ અને $\phi = 0$.
$\phi = 0$ હોવાથી,સદિશો $(\vec{a} \times \vec{b})$ અને $(\vec{c} \times \vec{d})$ સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ સમતલીય છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$,તેથી $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.
બધા સદિશો સમતલીય અને એકમ સદિશો હોવાથી,ભૌમિતિક ગોઠવણી મુજબ $\vec{b}$ અને $\vec{d}$ સમાંતર નથી.

(D) વક્ર $y=e^x$ છે,જેનો અર્થ છે $x=\ln y$.
પ્રદેશ $x=0$ ($y$-અક્ષ),$y=e^x$ અને $y=e$ દ્વારા સીમિત છે.
$y=e^x$ અને $y=e$ નું છેદબિંદુ $x=1$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ બે રીતે ગણી શકાય:
$1$. $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરતા: ક્ષેત્રફળ $\int_0^1 (e - e^x) dx = e - \int_0^1 e^x dx$ થાય. આ વિકલ્પ $(C)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$2$. $y$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરતા: પ્રદેશ $y=1$ થી $y=e$ સુધી વિસ્તરેલો છે. ક્ષેત્રફળ $= \int_1^e \ln y dy$. આ વિકલ્પ $(D)$ સાથે મેળ ખાય છે.
વિકલ્પ $(B)$ માં $\int_1^e \ln(e+1-y) dy$ છે,જેનું મૂલ્ય પણ $1$ થાય છે.
આમ,$(B), (C), (D)$ સાચા છે.

(A, D, C) $3 \times 3$ સંમિત શ્રેણિક $A$ તેના $6$ ઘટકો દ્વારા નક્કી થાય છે: $a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$.
$1.$ કુલ $9$ ઘટકો છે. $5$ એકડા અને $4$ શૂન્ય આપેલા છે. શ્રેણિક સંમિત હોવાથી,$a_{12}=a_{21}, a_{13}=a_{31}, a_{23}=a_{32}$.
ધારો કે વિકર્ણ પર $1$ ની સંખ્યા $k$ છે. વિકર્ણની બહાર $1$ ની સંખ્યા $(5-k)$ હોવી જોઈએ. વિકર્ણની બહારના ઘટકો જોડીમાં હોવાથી,$(5-k)$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. તેથી $k$ એકી સંખ્યા ($1$ અથવા $3$) હોવી જોઈએ.
જો $k=3$ હોય,તો બધા વિકર્ણ ઘટકો $1$ છે. આપણે વિકર્ણની બહાર $5-3=2$ એકડા જોઈએ. આપણે $3$ જોડીમાંથી $1$ જોડી પસંદ કરીએ છીએ (એટલે કે $3$ શ્રેણિકો).
જો $k=1$ હોય,તો એક વિકર્ણ ઘટક $1$ છે. આપણે વિકર્ણની બહાર $5-1=4$ એકડા જોઈએ. આપણે $3$ જોડીમાંથી $2$ જોડી પસંદ કરીએ છીએ (એટલે કે $3 \times 3 = 9$ શ્રેણિકો).
કુલ શ્રેણિકો $= 3 + 9 = 12$.
$2.$ જો $|A| \neq 0$ હોય તો અનન્ય ઉકેલ મળે છે. $12$ શ્રેણિકો તપાસતા,આપણને મળે છે કે $6$ શ્રેણિકો માટે $|A| \neq 0$ છે.
$3.$ બાકીના $6$ શ્રેણિકો માટે જ્યાં $|A| = 0$ છે,આપણે અસંગતતા તપાસીએ છીએ. ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|B]$ તપાસતા,આપણને મળે છે કે $2$ શ્રેણિકો અસંગત છે.

(A) વિકલ સમીકરણ $(x-3)^2 \frac{dy}{dx} + y = 0$ છે. ચલ અલગ કરતા,$\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{dx}{(x-3)^2}$ મળે. સંકલન કરતા,$\ln|y| = \frac{1}{x-3} + C$. ઉકેલ $x \neq 3$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે. તેથી,અંતરાલો $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,$(0, \frac{\pi}{2})$,અને $(0, \frac{\pi}{8})$ એ પ્રદેશ $R - \{3\}$ માં સમાવિષ્ટ છે.
$(B)$ ધારો કે $I = \int_1^5 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$. $x-3 = t$ લેતા,$dx = dt$. સીમાઓ $x=1, 5$ થી બદલાઈને $t=-2, 2$ થાય છે. $I = \int_{-2}^2 (t+2)(t+1)t(t-1)(t-2) dt = \int_{-2}^2 t(t^2-1)(t^2-4) dt$. સંકલ્ય અયુગ્મ વિધેય હોવાથી,$I = 0$. કિંમત $0$ એ $(0, \frac{\pi}{2})$ અને $(-\pi, \pi)$ માં સમાવિષ્ટ છે.
$(C)$ ધારો કે $f(x) = \cos^2 x + \sin x = 1 - \sin^2 x + \sin x = \frac{5}{4} - (\sin x - \frac{1}{2})^2$. મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $\sin x = \frac{1}{2}$,એટલે કે $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$. આ બિંદુઓ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,$(0, \frac{\pi}{2})$,$(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$,અને $(-\pi, \pi)$ માં આવેલા છે.
$(D)$ ધારો કે $g(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$. $g'(x) = \frac{\cos x - \sin x}{1 + (\sin x + \cos x)^2}$. $g(x)$ વધતું વિધેય છે જ્યારે $\cos x - \sin x > 0$,એટલે કે $\cos x > \sin x$,જે $x \in (0, \frac{\pi}{4})$ માટે સાચું છે. આ અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{8})$ માં સમાવિષ્ટ છે.

(A) આપેલ છે $I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{(1+\pi^x) \sin x} dx \quad \ldots (i)$
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,
$I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\pi^x \sin(nx)}{(1+\pi^x) \sin x} dx \quad \ldots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx = 2 \int_0^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$ (કારણ કે વિધેય યુગ્મ છે).
આમ,$I_n = \int_0^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$.
હવે,$I_{n+2} - I_n = \int_0^{\pi} \frac{\sin((n+2)x) - \sin(nx)}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} \frac{2 \cos((n+1)x) \sin x}{\sin x} dx = 2 \int_0^{\pi} \cos((n+1)x) dx = 0$.
તેથી,$I_{n+2} = I_n$.
$n=1$ માટે,$I_1 = \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{\sin x} dx = \pi$.
$n=2$ માટે,$I_2 = \int_0^{\pi} \frac{\sin(2x)}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} 2 \cos x dx = 0$.
$I_{n+2} = I_n$ હોવાથી,બધા એકી પદો $I_{2m+1} = \pi$ અને બધા બેકી પદો $I_{2m} = 0$ થાય.
તેથી,$\sum_{m=1}^{10} I_{2m+1} = 10\pi$ અને $\sum_{m=1}^{10} I_{2m} = 0$.
આમ,વિકલ્પો $(A)$,$(B)$,અને $(C)$ સાચા છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = x \cos \frac{1}{x}, x \geq 1$.
પ્રથમ,વિકલિત $f^{\prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime}(x) = \cos \frac{1}{x} + x \left( -\sin \frac{1}{x} \right) \left( -\frac{1}{x^2} \right) = \cos \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$.
હવે,$\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)$ ની કિંમત શોધો:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \left( \cos \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x} \right) = \cos(0) + 0 \cdot \sin(0) = 1 + 0 = 1$. આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત $f^{\prime \prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime \prime}(x) = -\sin \frac{1}{x} \left( -\frac{1}{x^2} \right) + \left( -\frac{1}{x^2} \right) \sin \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x} \left( -\frac{1}{x^2} \right) = -\frac{1}{x^3} \cos \frac{1}{x}$.
$x \in [1, \infty)$ માટે,$\frac{1}{x} \in (0, 1]$. કારણ કે $\cos \theta > 0$ જ્યારે $\theta \in (0, 1]$,તેથી $f^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^3} \cos \frac{1}{x} < 0$. આમ,$f^{\prime}(x)$ ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે,તેથી વિધાન $(D)$ સાચું છે.
અંતરાલ $[x, x+2]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ મુજબ,એવો $c \in (x, x+2)$ મળે કે જેથી $\frac{f(x+2)-f(x)}{2} = f^{\prime}(c)$.
કારણ કે $f^{\prime}(x)$ ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે અને $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x) = 1$,તેથી બધા $x \in [1, \infty)$ માટે $f^{\prime}(x) > 1$ થાય.
તેથી,$f^{\prime}(c) > 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{f(x+2)-f(x)}{2} > 1$,અથવા $f(x+2)-f(x) > 2$. આમ,વિધાન $(C)$ સાચું છે અને $(A)$ ખોટું છે.
સાચું સંયોજન $(B, C, D)$ છે.

(A) આપેલ છે $2 \sin ^2 \theta + \sin ^2 2 \theta = 2$. $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $2 \sin ^2 \theta + 4 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta = 2$.
$2$ વડે ભાગતા,$\sin ^2 \theta + 2 \sin ^2 \theta (1 - \sin ^2 \theta) = 1$.
$3 \sin ^2 \theta - 2 \sin ^4 \theta - 1 = 0 \Rightarrow 2 \sin ^4 \theta - 3 \sin ^2 \theta + 1 = 0$.
$(2 \sin ^2 \theta - 1)(\sin ^2 \theta - 1) = 0$.
તેથી $\sin ^2 \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin ^2 \theta = 1$.
આમ $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}$.
$(B)$ ધારો કે $y = \frac{3x}{\pi}$. તો $f(x) = [2y] \cos [y]$. વિધેય $[2y]$ એ $2y = k \in \mathbb{Z}$ પર અસાતત્ય ધરાવે છે,એટલે કે $y = \frac{k}{2}$. વિધેય $\cos [y]$ એ $y = k \in \mathbb{Z}$ પર અસાતત્ય ધરાવે છે.
$x \in [0, \pi]$ માટે,$y \in [0, 3]$.
અસાતત્ય બિંદુઓ $y \in \{0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3\}$ પર મળે છે.
$x = \frac{y\pi}{3}$ માં રૂપાંતર કરતા,આપણને $x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \pi\}$ મળે છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,બિંદુઓનો ગણ $\{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \pi\}$ છે.
$(C)$ ઘનફળ = $|(\hat{i}+\hat{j}) \cdot ((\hat{i}+2\hat{j}) \times (\hat{i}+\hat{j}+\pi\hat{k}))| = |\det \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & \pi \end{bmatrix}| = |\pi(2-1)| = \pi$.
$(D)$ $\vec{a} + \vec{b} = -\sqrt{3}\vec{c}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 3|\vec{c}|^2$.
$1 + 1 + 2 \cos \alpha = 3(1) \Rightarrow 2 \cos \alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{3}$.

(A) ધારો કે $f(x) = x e^{\sin x} - \cos x$. તો $f'(x) = e^{\sin x} + x e^{\sin x} \cos x + \sin x > 0$ તમામ $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે.
કારણ કે $f(0) = -1 < 0$ અને $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} e^1 - 0 > 0$,તેથી બરાબર $1$ ઉકેલ મળે છે.
$(B)$ સમતલો એક રેખામાં છેદે છે જો સહગુણકોનો નિશ્ચાયક $0$ હોય અને તેઓ સમાંતર ન હોય. નિશ્ચાયક $k(k-4) - 4(4-4) + 1(8-2k) = k^2 - 6k + 8 = 0$ છે,જે $k=2, 4$ આપે છે. $k=2$ માટે,સમતલો $2x+4y+z=0, 4x+2y+2z=0, 2x+2y+z=0$ છે. પ્રથમ અને ત્રીજું સમતલ સમાંતર નથી,તેથી તેઓ એક રેખામાં છેદે છે.
$(C)$ ધારો કે $f(x) = |x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|$. $f(x)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $6$ છે (જ્યારે $x \in [-1, 1]$). $f(x) = 4k$ ના પૂર્ણાંક ઉકેલો માટે,$4k \ge 6$,તેથી $k \ge 1.5$. $k=2, 3, 4, 5$ માટે,$4k$ એ $8, 12, 16, 20$ છે,જે તમામ પૂર્ણાંક ઉકેલોની મંજૂરી આપે છે.
$(D)$ $\frac{dy}{y+1} = dx \implies \ln|y+1| = x + C$. $y(0)=1$ હોવાથી,$\ln 2 = C$. આમ $y+1 = 2e^x$,તેથી $y = 2e^x - 1$. તેથી $y(\ln 2) = 2(2) - 1 = 3$.

(B) આપેલ ગણ $A = \{x \mid x^2+20 \leq 9x\}$ છે.
અસમતા $x^2-9x+20 \leq 0$ ઉકેલતા:
$(x-4)(x-5) \leq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \in [4, 5]$.
હવે,વિધેય $f(x) = 2x^3-15x^2+36x-48$ ધ્યાનમાં લો.
વિકલન કરતા $f'(x) = 6x^2-30x+36 = 6(x^2-5x+6) = 6(x-2)(x-3)$.
અંતરાલ $x \in [4, 5]$ માટે,$f'(x) > 0$ છે કારણ કે $(x-2)$ અને $(x-3)$ બંને આ અંતરાલમાં ધન છે.
તેથી,$f(x)$ એ અંતરાલ $[4, 5]$ પર સતત વધતું વિધેય છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત અંતિમ બિંદુ $x = 5$ પર મળે છે.
$f(5) = 2(5)^3 - 15(5)^2 + 36(5) - 48$
$f(5) = 250 - 375 + 180 - 48 = 7$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$1) 3x - y - z = 0$
$2) -3x + z = 0$
$3) -3x + 2y + z = 0$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણને $z = 3x$ મળે છે.
$z = 3x$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3x - y - 3x = 0 \Rightarrow y = 0$.
સમીકરણ $(3)$ સાથે ચકાસતા:
$-3x + 2(0) + 3x = 0$,જે $0 = 0$ છે. આ સુસંગત છે.
આમ,સિસ્ટમનું પાલન કરતું કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z)$ એ $(a, 0, 3a)$ સ્વરૂપનું છે જ્યાં $a$ એક પૂર્ણાંક છે.
આપણને શરત $x^2 + y^2 + z^2 \leq 100$ આપેલ છે.
બિંદુ $(a, 0, 3a)$ મૂકતા:
$a^2 + 0^2 + (3a)^2 \leq 100$
$a^2 + 9a^2 \leq 100$
$10a^2 \leq 100$
$a^2 \leq 10$
કારણ કે $a$ પૂર્ણાંક છે,તેથી $a$ ની શક્ય કિંમતો $a \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ છે.
આ કિંમતો ગણતા,આપણને $7$ શક્ય બિંદુઓ મળે છે.

(B) ધારો કે $p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.
$\lim_{x \rightarrow 0} (1 + \frac{p(x)}{x^2}) = 2$ હોવાથી,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{p(x)}{x^2} = 1$ મળે. આનો અર્થ એ છે કે $e = 0$ અને $d = 0$,અને $c = 1$.
તેથી,$p(x) = ax^4 + bx^3 + x^2$.
વિકલન કરતા,$p'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2x$.
$x=1$ અને $x=2$ આગળ અંતિમ મૂલ્યો હોવાથી,$p'(1) = 0$ અને $p'(2) = 0$.
$p'(1) = 4a + 3b + 2 = 0 \implies 4a + 3b = -2$ (સમીકરણ $1$).
$p'(2) = 4a(8) + 3b(4) + 2(2) = 32a + 12b + 4 = 0 \implies 8a + 3b = -1$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(8a - 4a) = -1 - (-2) \implies 4a = 1 \implies a = \frac{1}{4}$.
$a = \frac{1}{4}$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $4(\frac{1}{4}) + 3b = -2 \implies 1 + 3b = -2 \implies 3b = -3 \implies b = -1$.
તેથી,$p(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2$.
$p(2)$ ની ગણતરી કરતા: $p(2) = \frac{1}{4}(16) - (8) + (4) = 4 - 8 + 4 = 0$.

(A) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $f(x) = \int_0^x f(t) \, dt$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $f'(x) = f(x)$.
આ એક પ્રથમ ક્રમનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dy}{dx} = y$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln |y| = x + C$,જેનો અર્થ થાય છે $y = Ae^x$.
આપેલ સમીકરણ પરથી,$f(0) = \int_0^0 f(t) \, dt = 0$.
$y = Ae^x$ માં $x = 0$ અને $y = 0$ મુકતા,આપણને $0 = Ae^0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $A = 0$.
તેથી,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f(x) = 0$ થાય છે.
આમ,$f(\ln 5) = 0$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + e^{x/2}$.
આપણે $g^{\prime}(1)$ શોધવાનું છે જ્યાં $g = f^{-1}$ છે.
પ્રથમ,$x$ શોધો જેથી $f(x) = 1$ થાય.
$x^3 + e^{x/2} = 1$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,જો $x = 0$ લઈએ,તો $f(0) = 0^3 + e^0 = 0 + 1 = 1$ મળે છે.
આમ,$f(0) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $g(1) = 0$.
વ્યસ્ત વિધેયના વિકલન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $g^{\prime}(y) = \frac{1}{f^{\prime}(x)}$ જ્યાં $y = f(x)$ છે.
અહીં $y = 1$ છે,તેથી $x = 0$ મળે.
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + e^{x/2}) = 3x^2 + \frac{1}{2}e^{x/2}$.
$x = 0$ આગળ,$f^{\prime}(0) = 3(0)^2 + \frac{1}{2}e^0 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$g^{\prime}(1) = \frac{1}{f^{\prime}(0)} = \frac{1}{1/2} = 2$.

(A) રેખા પરના બિંદુ $Q$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{q} = (1 - 3\mu)\hat{i} + (-1 + \mu)\hat{j} + (2 + 5\mu)\hat{k}$ છે.
આપેલ બિંદુ $P$ એ $(3, 2, 6)$ છે,તેથી તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (-3\mu - 2)\hat{i} + (\mu - 3)\hat{j} + (5\mu - 4)\hat{k}$ થાય.
સમતલ $x - 4y + 3z = 1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
જેহেতু $\vec{PQ}$ સમતલને સમાંતર છે,તે અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ને લંબ હોવો જોઈએ,તેથી $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$.
$(-3\mu - 2)(1) + (\mu - 3)(-4) + (5\mu - 4)(3) = 0$.
$-3\mu - 2 - 4\mu + 12 + 15\mu - 12 = 0$.
$8\mu - 2 = 0$.
$8\mu = 2 \Rightarrow \mu = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.