PhysicsQ1–36 of 36 questions
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1
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
$10 \ cm \times 10 \ cm$ के आधार और $15 \ cm$ ऊंचाई वाला एक ब्लॉक एक नत समतल पर रखा गया है। उनके बीच घर्षण गुणांक $\sqrt{3}$ है। इस नत समतल का क्षैतिज तल से झुकाव $\theta$,$0^{\circ}$ से धीरे-धीरे बढ़ाया जाता है। तब
A
$\theta=30^{\circ}$ पर,ब्लॉक समतल पर नीचे की ओर फिसलना शुरू कर देगा
B
ब्लॉक एक निश्चित $\theta$ तक समतल पर स्थिर रहेगा और फिर वह पलट जाएगा
C
$\theta=60^{\circ}$ पर,ब्लॉक समतल पर नीचे की ओर फिसलना शुरू कर देगा और अधिक कोणों पर ऐसा करना जारी रखेगा
D
$\theta=60^{\circ}$ पर,ब्लॉक समतल पर नीचे की ओर फिसलना शुरू कर देगा और $\theta$ को और बढ़ाने पर,यह एक निश्चित $\theta$ पर पलट जाएगा
Solution
(B) फिसलने की शर्त $\theta > \phi$ है,जहाँ $\phi$ विराम कोण (angle of repose) है। दिया गया है $\mu = \sqrt{3}$,इसलिए विराम कोण $\phi = \tan^{-1}(\mu) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$ है।
पलटने (toppling) की शर्त यह है कि भार की क्रिया रेखा को ब्लॉक के आधार के बाहर से गुजरना चाहिए। यह तब होता है जब $\tan \theta > \frac{b}{h}$,जहाँ $b$ आधार की चौड़ाई है और $h$ ऊंचाई है।
दिए गए ब्लॉक के लिए,$b = 10 \ cm$ और $h = 15 \ cm$ है। जिस कोण पर पलटना शुरू होता है वह $\theta_{topple} = \tan^{-1}(\frac{b}{h}) = \tan^{-1}(\frac{10}{15}) = \tan^{-1}(\frac{2}{3}) \approx 33.7^{\circ}$ है।
चूंकि $\theta_{topple} \approx 33.7^{\circ}$ विराम कोण $\phi = 60^{\circ}$ से कम है,इसलिए ब्लॉक फिसलना शुरू करने से पहले ही पलट जाएगा। अतः,जैसे-जैसे $\theta$ को $0^{\circ}$ से बढ़ाया जाता है,ब्लॉक $\theta \approx 33.7^{\circ}$ तक स्थिर रहेगा,और उस बिंदु पर यह पलट जाएगा।
पलटने (toppling) की शर्त यह है कि भार की क्रिया रेखा को ब्लॉक के आधार के बाहर से गुजरना चाहिए। यह तब होता है जब $\tan \theta > \frac{b}{h}$,जहाँ $b$ आधार की चौड़ाई है और $h$ ऊंचाई है।
दिए गए ब्लॉक के लिए,$b = 10 \ cm$ और $h = 15 \ cm$ है। जिस कोण पर पलटना शुरू होता है वह $\theta_{topple} = \tan^{-1}(\frac{b}{h}) = \tan^{-1}(\frac{10}{15}) = \tan^{-1}(\frac{2}{3}) \approx 33.7^{\circ}$ है।
चूंकि $\theta_{topple} \approx 33.7^{\circ}$ विराम कोण $\phi = 60^{\circ}$ से कम है,इसलिए ब्लॉक फिसलना शुरू करने से पहले ही पलट जाएगा। अतः,जैसे-जैसे $\theta$ को $0^{\circ}$ से बढ़ाया जाता है,ब्लॉक $\theta \approx 33.7^{\circ}$ तक स्थिर रहेगा,और उस बिंदु पर यह पलट जाएगा।
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2
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2009
आकृति में दिए गए चित्र को देखें जिसे समान रेखा-मोटाई वाली स्याही से बनाया गया है। दो आंतरिक वृत्तों में से प्रत्येक को बनाने के लिए उपयोग की गई स्याही का द्रव्यमान और दो रेखाखंडों में से प्रत्येक का द्रव्यमान $m$ है। बाहरी वृत्त को बनाने के लिए उपयोग की गई स्याही का द्रव्यमान $6m$ है। विभिन्न भागों के केंद्रों के निर्देशांक हैं: बाहरी वृत्त $(0,0)$,बायां आंतरिक वृत्त $(-a, a)$,दायां आंतरिक वृत्त $(a, a)$,ऊर्ध्वाधर रेखा $(0,0)$ और क्षैतिज रेखा $(0,-a)$। इस चित्र में स्याही के द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक क्या है?
A
$\frac{a}{10}$
B
$\frac{a}{8}$
C
$\frac{a}{12}$
D
$\frac{a}{3}$
Solution
(A) द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $(Y_{CM})$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $Y_{CM} = \frac{\sum m_i y_i}{\sum m_i}$।
घटक और उनके संबंधित द्रव्यमान $(m_i)$ और $y$-निर्देशांक $(y_i)$ इस प्रकार हैं:
$1$. बाहरी वृत्त: $m_1 = 6m$,$y_1 = 0$
$2$. बायां आंतरिक वृत्त: $m_2 = m$,$y_2 = a$
$3$. दायां आंतरिक वृत्त: $m_3 = m$,$y_3 = a$
$4$. ऊर्ध्वाधर रेखा: $m_4 = m$,$y_4 = 0$
$5$. क्षैतिज रेखा: $m_5 = m$,$y_5 = -a$
कुल द्रव्यमान $M = 6m + m + m + m + m = 10m$ है।
$Y_{CM}$ की गणना:
$Y_{CM} = \frac{(6m \times 0) + (m \times a) + (m \times a) + (m \times 0) + (m \times -a)}{10m}$
$Y_{CM} = \frac{0 + ma + ma + 0 - ma}{10m}$
$Y_{CM} = \frac{ma}{10m} = \frac{a}{10}$।
घटक और उनके संबंधित द्रव्यमान $(m_i)$ और $y$-निर्देशांक $(y_i)$ इस प्रकार हैं:
$1$. बाहरी वृत्त: $m_1 = 6m$,$y_1 = 0$
$2$. बायां आंतरिक वृत्त: $m_2 = m$,$y_2 = a$
$3$. दायां आंतरिक वृत्त: $m_3 = m$,$y_3 = a$
$4$. ऊर्ध्वाधर रेखा: $m_4 = m$,$y_4 = 0$
$5$. क्षैतिज रेखा: $m_5 = m$,$y_5 = -a$
कुल द्रव्यमान $M = 6m + m + m + m + m = 10m$ है।
$Y_{CM}$ की गणना:
$Y_{CM} = \frac{(6m \times 0) + (m \times a) + (m \times a) + (m \times 0) + (m \times -a)}{10m}$
$Y_{CM} = \frac{0 + ma + ma + 0 - ma}{10m}$
$Y_{CM} = \frac{ma}{10m} = \frac{a}{10}$।
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3
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2009
समान द्रव्यमान के दो छोटे कण एक क्षैतिज वृत्ताकार कक्षा में बिंदु $A$ से विपरीत दिशाओं में गति करना शुरू करते हैं। चित्र में दिखाए अनुसार उनके स्पर्शरेखीय वेग क्रमशः $v$ और $2v$ हैं। टक्करों के बीच,कण स्थिर गति से चलते हैं। $A$ के अलावा कितनी प्रत्यास्थ टक्करों के बाद,ये दो कण फिर से बिंदु $A$ पर पहुँचेंगे?
A
$4$
B
$3$
C
$2$
D
$1$
Solution
(C) चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है और द्रव्यमान समान है,इसलिए प्रत्येक टक्कर के बाद कणों के वेग आपस में बदल जाएंगे।
मान लीजिए कि कण समय $t$ पर बिंदु $A$ से $\theta$ कोण पर टकराते हैं।
पहले कण द्वारा तय की गई दूरी $R\theta = vt$ है।
दूसरे कण द्वारा तय की गई दूरी $R(2\pi - \theta) = 2vt$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{\theta}{2\pi - \theta} = \frac{vt}{2vt} = \frac{1}{2}$।
इससे $2\theta = 2\pi - \theta$ प्राप्त होता है,इसलिए $3\theta = 2\pi$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$।
$120^{\circ}$ पर पहली टक्कर के बाद,वेग आपस में बदल जाते हैं। जिस कण की गति $v$ थी,उसकी गति अब $2v$ हो जाती है,और जिसकी गति $2v$ थी,उसकी गति $v$ हो जाती है।
वे एक-दूसरे के सापेक्ष अगले $120^{\circ}$ तय करने के बाद फिर से टकराएंगे,जो बिंदु $A$ से $240^{\circ}$ के कोण पर होता है।
इस दूसरी टक्कर के बाद,वेग फिर से बदल जाते हैं। इसके बाद कण बिंदु $A$ तक पहुँचने के लिए शेष $120^{\circ}$ की दूरी एक साथ तय करेंगे।
इस प्रकार,वे $2$ टक्करों के बाद बिंदु $A$ पर पहुँचेंगे।
मान लीजिए कि कण समय $t$ पर बिंदु $A$ से $\theta$ कोण पर टकराते हैं।
पहले कण द्वारा तय की गई दूरी $R\theta = vt$ है।
दूसरे कण द्वारा तय की गई दूरी $R(2\pi - \theta) = 2vt$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{\theta}{2\pi - \theta} = \frac{vt}{2vt} = \frac{1}{2}$।
इससे $2\theta = 2\pi - \theta$ प्राप्त होता है,इसलिए $3\theta = 2\pi$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$।
$120^{\circ}$ पर पहली टक्कर के बाद,वेग आपस में बदल जाते हैं। जिस कण की गति $v$ थी,उसकी गति अब $2v$ हो जाती है,और जिसकी गति $2v$ थी,उसकी गति $v$ हो जाती है।
वे एक-दूसरे के सापेक्ष अगले $120^{\circ}$ तय करने के बाद फिर से टकराएंगे,जो बिंदु $A$ से $240^{\circ}$ के कोण पर होता है।
इस दूसरी टक्कर के बाद,वेग फिर से बदल जाते हैं। इसके बाद कण बिंदु $A$ तक पहुँचने के लिए शेष $120^{\circ}$ की दूरी एक साथ तय करेंगे।
इस प्रकार,वे $2$ टक्करों के बाद बिंदु $A$ पर पहुँचेंगे।
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4
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2009
सरल आवर्त गति कर रहे एक कण का $x-t$ ग्राफ नीचे दिखाया गया है। $t = 4/3 \,s$ पर कण का त्वरण है
A
$\frac{\sqrt{3}}{32} \pi^2 \,cm/s^2$
B
$-\frac{\pi^2}{32} \,cm/s^2$
C
$\frac{\pi^2}{32} \,cm/s^2$
D
$-\frac{\sqrt{3}}{32} \pi^2 \,cm/s^2$
Solution
(D) सही विकल्प $D$ है।
$x-t$ ग्राफ से, $t = 0$ पर, कण $x = 0$ पर है।
अतः, कण अपनी माध्य स्थिति (mean position) से सरल आवर्त गति $(SHM)$ शुरू कर रहा है।
$SHM$ का सामान्य समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ है।
ग्राफ से, आवर्तकाल $T = 8 \,s$ और आयाम $A = 1 \,cm$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \,rad/s$ है।
इस प्रकार, गति का समीकरण $x = 1 \sin\left(\frac{\pi t}{4}\right)$ है।
$t = 4/3 \,s$ पर, विस्थापन $x = \sin\left(\frac{\pi}{4} \times \frac{4}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \,cm$ है।
त्वरण $a$ का सूत्र $a = -\omega^2 x$ है।
मान रखने पर, $a = -\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi^2}{16} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}\pi^2}{32} \,cm/s^2$ प्राप्त होता है।
$x-t$ ग्राफ से, $t = 0$ पर, कण $x = 0$ पर है।
अतः, कण अपनी माध्य स्थिति (mean position) से सरल आवर्त गति $(SHM)$ शुरू कर रहा है।
$SHM$ का सामान्य समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ है।
ग्राफ से, आवर्तकाल $T = 8 \,s$ और आयाम $A = 1 \,cm$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \,rad/s$ है।
इस प्रकार, गति का समीकरण $x = 1 \sin\left(\frac{\pi t}{4}\right)$ है।
$t = 4/3 \,s$ पर, विस्थापन $x = \sin\left(\frac{\pi}{4} \times \frac{4}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \,cm$ है।
त्वरण $a$ का सूत्र $a = -\omega^2 x$ है।
मान रखने पर, $a = -\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi^2}{16} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}\pi^2}{32} \,cm/s^2$ प्राप्त होता है।
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5
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
यदि कणों के एक निकाय पर कार्य करने वाले सभी बाह्य बलों का परिणामी बल शून्य है,तो एक जड़त्वीय फ्रेम से,कोई निश्चित रूप से कह सकता है कि
A
निकाय का रैखिक संवेग समय के साथ नहीं बदलता है
B
निकाय की गतिज ऊर्जा समय के साथ नहीं बदलती है
C
निकाय का कोणीय संवेग समय के साथ नहीं बदलता है
D
निकाय की स्थितिज ऊर्जा समय के साथ नहीं बदलती है
Solution
(A) हम जानते हैं कि न्यूटन का दूसरा नियम एक जड़त्वीय फ्रेम में मान्य है और यह नियम बताता है कि,
यदि कणों के निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है तो रैखिक संवेग स्थिर रहता है।
$F_{\text{resultant}} = \frac{dP}{dt}$
अतः,चूंकि $F_{\text{resultant}} = 0$,हम कह सकते हैं कि निकाय का रैखिक संवेग समय के साथ नहीं बदलेगा।
यदि कणों के निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है तो रैखिक संवेग स्थिर रहता है।
$F_{\text{resultant}} = \frac{dP}{dt}$
अतः,चूंकि $F_{\text{resultant}} = 0$,हम कह सकते हैं कि निकाय का रैखिक संवेग समय के साथ नहीं बदलेगा।
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6
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
$C_{v}$ और $C_{p}$ क्रमशः स्थिर आयतन और स्थिर दाब पर गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता को दर्शाते हैं। तो
$(A)$ $C_{p}-C_{v}$ एकपरमाणुक आदर्श गैस की तुलना में द्विपरमाणुक आदर्श गैस के लिए बड़ा है
$(B)$ $C_{p}+C_{v}$ एकपरमाणुक आदर्श गैस की तुलना में द्विपरमाणुक आदर्श गैस के लिए बड़ा है
$(C)$ $C_{p} / C_{v}$ एकपरमाणुक आदर्श गैस की तुलना में द्विपरमाणुक आदर्श गैस के लिए बड़ा है
$(D)$ $C_{p} \cdot C_v$ एकपरमाणुक आदर्श गैस की तुलना में द्विपरमाणुक आदर्श गैस के लिए बड़ा है
$(A)$ $C_{p}-C_{v}$ एकपरमाणुक आदर्श गैस की तुलना में द्विपरमाणुक आदर्श गैस के लिए बड़ा है
$(B)$ $C_{p}+C_{v}$ एकपरमाणुक आदर्श गैस की तुलना में द्विपरमाणुक आदर्श गैस के लिए बड़ा है
$(C)$ $C_{p} / C_{v}$ एकपरमाणुक आदर्श गैस की तुलना में द्विपरमाणुक आदर्श गैस के लिए बड़ा है
$(D)$ $C_{p} \cdot C_v$ एकपरमाणुक आदर्श गैस की तुलना में द्विपरमाणुक आदर्श गैस के लिए बड़ा है
A
$(B, D)$
B
$(B, A)$
C
$(C, D)$
D
$(A, C)$
Solution
(A) एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए:
$C_{v} = \frac{3}{2}R$,$C_{p} = \frac{5}{2}R$.
अतः,$C_{p} - C_{v} = R$,$C_{p} + C_{v} = 4R$,$C_{p}/C_{v} = 5/3 \approx 1.67$,और $C_{p} \cdot C_{v} = 3.75 R^2$.
द्विपरमाणुक आदर्श गैस के लिए:
$C_{v} = \frac{5}{2}R$,$C_{p} = \frac{7}{2}R$.
अतः,$C_{p} - C_{v} = R$,$C_{p} + C_{v} = 6R$,$C_{p}/C_{v} = 7/5 = 1.4$,और $C_{p} \cdot C_{v} = 8.75 R^2$.
मानों की तुलना करने पर:
$1$. $C_{p} - C_{v} = R$ दोनों के लिए समान है,इसलिए $(A)$ गलत है।
$2$. $C_{p} + C_{v}$ का मान $6R$ (द्विपरमाणुक) > $4R$ (एकपरमाणुक) है,इसलिए $(B)$ सही है।
$3$. $C_{p}/C_{v}$ का मान $1.4$ (द्विपरमाणुक) < $1.67$ (एकपरमाणुक) है,इसलिए $(C)$ गलत है।
$4$. $C_{p} \cdot C_{v}$ का मान $8.75 R^2$ (द्विपरमाणुक) > $3.75 R^2$ (एकपरमाणुक) है,इसलिए $(D)$ सही है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ और $(D)$ हैं।
$C_{v} = \frac{3}{2}R$,$C_{p} = \frac{5}{2}R$.
अतः,$C_{p} - C_{v} = R$,$C_{p} + C_{v} = 4R$,$C_{p}/C_{v} = 5/3 \approx 1.67$,और $C_{p} \cdot C_{v} = 3.75 R^2$.
द्विपरमाणुक आदर्श गैस के लिए:
$C_{v} = \frac{5}{2}R$,$C_{p} = \frac{7}{2}R$.
अतः,$C_{p} - C_{v} = R$,$C_{p} + C_{v} = 6R$,$C_{p}/C_{v} = 7/5 = 1.4$,और $C_{p} \cdot C_{v} = 8.75 R^2$.
मानों की तुलना करने पर:
$1$. $C_{p} - C_{v} = R$ दोनों के लिए समान है,इसलिए $(A)$ गलत है।
$2$. $C_{p} + C_{v}$ का मान $6R$ (द्विपरमाणुक) > $4R$ (एकपरमाणुक) है,इसलिए $(B)$ सही है।
$3$. $C_{p}/C_{v}$ का मान $1.4$ (द्विपरमाणुक) < $1.67$ (एकपरमाणुक) है,इसलिए $(C)$ गलत है।
$4$. $C_{p} \cdot C_{v}$ का मान $8.75 R^2$ (द्विपरमाणुक) > $3.75 R^2$ (एकपरमाणुक) है,इसलिए $(D)$ सही है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ और $(D)$ हैं।
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7
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2009
स्तंभ $II$ पाँच प्रणालियों को दर्शाता है जिनमें दो वस्तुओं को $X$ और $Y$ के रूप में लेबल किया गया है। प्रत्येक मामले में एक बिंदु $P$ भी दिखाया गया है। स्तंभ $I$ में $X$ और/या $Y$ के बारे में कुछ कथन दिए गए हैं। इन कथनों का स्तंभ $II$ की उपयुक्त प्रणाली(यों) से मिलान करें।
| स्तंभ $I$ | स्तंभ $II$ |
|---|---|
| $(A)$ $X$ द्वारा $Y$ पर लगाया गया बल $Mg$ परिमाण का है। | $(p)$ $M$ द्रव्यमान का ब्लॉक $Y$ एक स्थिर नत समतल $X$ पर अचर वेग से फिसल रहा है। |
| $(B)$ $X$ की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा लगातार बढ़ रही है। | $(q)$ दो रिंग चुंबक $Y$ और $Z$,प्रत्येक का द्रव्यमान $M$,घर्षणहीन ऊर्ध्वाधर प्लास्टिक स्टैंड में हैं। $Y$ आधार $X$ पर टिका है और $Z$ संतुलन में है। पूरी प्रणाली अचर वेग से ऊपर जा रही लिफ्ट में है। |
| $(C)$ प्रणाली $X+Y$ की यांत्रिक ऊर्जा लगातार घट रही है। | $(r)$ $m_0$ द्रव्यमान की घिरनी $Y$ को मेज $X$ से जोड़ा गया है। $M$ द्रव्यमान का ब्लॉक घिरनी के ऊपर से गुजरती डोरी से लटका है। पूरी प्रणाली अचर वेग से नीचे जा रही लिफ्ट में है। |
| $(D)$ बिंदु $P$ के परितः $Y$ के भार का बल आघूर्ण शून्य है। | $(s)$ $M$ द्रव्यमान का गोला $Y$ एक अश्यान द्रव $X$ में छोड़ा जाता है और नीचे गति करता है। |
| $(t)$ $M$ द्रव्यमान का गोला $Y$ एक श्यान द्रव $X$ में सीमांत वेग से गिर रहा है। |
A
$(A) \rightarrow p, t; (B) \rightarrow q; (C) \rightarrow s, t; (D) \rightarrow p, r, s, t$
B
$(A) \rightarrow p, t; (B) \rightarrow q; (C) \rightarrow s, t; (D) \rightarrow p, r, s, t$
C
$(A) \rightarrow p, t; (B) \rightarrow q; (C) \rightarrow s, t; (D) \rightarrow p, r, s, t$
D
$(A) \rightarrow p, t; (B) \rightarrow q; (C) \rightarrow s, t; (D) \rightarrow p, r, s, t$
Solution
(A) स्तंभ $I$ के कथनों का विश्लेषण:
$(A)$ $X$ द्वारा $Y$ पर लगाया गया बल $Mg$ है: $(p)$ में,$N = Mg \cos \theta \neq Mg$. $(q)$ में,$X$ आधार है जो $Y$ को स्थिर रखता है,अतः $N=Mg$. $(t)$ में,$X$ उत्प्लावन बल $F_B < Mg$ लगाता है। $(r)$ में,$X$ एक क्लैंप है,बल जटिल है। अतः,केवल $(q)$ में $X$ द्वारा $Y$ पर लगाया गया बल $Mg$ है।
$(B)$ $X$ की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा बढ़ रही है: $X$ फ्रेम/आधार है। $(q)$ में,लिफ्ट ऊपर जा रही है,इसलिए $X$ ऊपर जा रहा है,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है।
$(C)$ यांत्रिक ऊर्जा घट रही है: यह तब होता है जब असंरक्षी बल (घर्षण/श्यानता) ऋणात्मक कार्य करते हैं। यह $(s)$ (यदि ड्रैग होता) या $(t)$ (श्यान ड्रैग) और $(p)$ (घर्षण) में होता है।
$(D)$ $P$ के परितः $Y$ के भार का बल आघूर्ण शून्य है: यदि भार की क्रिया रेखा $P$ से गुजरती है। $(p)$,$(r)$,$(s)$,और $(t)$ में ज्यामिति इसकी अनुमति देती है।
$(A)$ $X$ द्वारा $Y$ पर लगाया गया बल $Mg$ है: $(p)$ में,$N = Mg \cos \theta \neq Mg$. $(q)$ में,$X$ आधार है जो $Y$ को स्थिर रखता है,अतः $N=Mg$. $(t)$ में,$X$ उत्प्लावन बल $F_B < Mg$ लगाता है। $(r)$ में,$X$ एक क्लैंप है,बल जटिल है। अतः,केवल $(q)$ में $X$ द्वारा $Y$ पर लगाया गया बल $Mg$ है।
$(B)$ $X$ की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा बढ़ रही है: $X$ फ्रेम/आधार है। $(q)$ में,लिफ्ट ऊपर जा रही है,इसलिए $X$ ऊपर जा रहा है,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है।
$(C)$ यांत्रिक ऊर्जा घट रही है: यह तब होता है जब असंरक्षी बल (घर्षण/श्यानता) ऋणात्मक कार्य करते हैं। यह $(s)$ (यदि ड्रैग होता) या $(t)$ (श्यान ड्रैग) और $(p)$ (घर्षण) में होता है।
$(D)$ $P$ के परितः $Y$ के भार का बल आघूर्ण शून्य है: यदि भार की क्रिया रेखा $P$ से गुजरती है। $(p)$,$(r)$,$(s)$,और $(t)$ में ज्यामिति इसकी अनुमति देती है।
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8
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
चित्र में दर्शाया गया द्रव्यमान $M$,$A$ आयाम के साथ सरल आवर्त गति करता है। बिंदु $P$ का आयाम क्या है?
A
$\frac{k_1 A}{k_2}$
B
$\frac{k_2 A}{k_1}$
C
$\frac{k_1 A}{k_1+k_2}$
D
$\frac{k_2 A}{k_1+k_2}$
Solution
(D) मान लीजिए स्प्रिंग $k_1$ में विस्तार $x_1$ है और स्प्रिंग $k_2$ में विस्तार $x_2$ है।
चूंकि स्प्रिंग श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए दोनों स्प्रिंग में बल $F$ समान होगा।
$F = k_1 x_1 = k_2 x_2$
कुल आयाम $A$ दोनों स्प्रिंग के विस्तार का योग है:
$A = x_1 + x_2$
बल समीकरण से,$x_1 = \frac{F}{k_1}$ और $x_2 = \frac{F}{k_2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को आयाम समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} = F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right) = F \left( \frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2} \right)$
इस प्रकार,बल $F = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} A$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P$ का आयाम पहली स्प्रिंग का विस्तार $x_1$ है:
$x_1 = \frac{F}{k_1} = \frac{1}{k_1} \left( \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} A \right) = \frac{k_2 A}{k_1 + k_2}$.
चूंकि स्प्रिंग श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए दोनों स्प्रिंग में बल $F$ समान होगा।
$F = k_1 x_1 = k_2 x_2$
कुल आयाम $A$ दोनों स्प्रिंग के विस्तार का योग है:
$A = x_1 + x_2$
बल समीकरण से,$x_1 = \frac{F}{k_1}$ और $x_2 = \frac{F}{k_2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को आयाम समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} = F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right) = F \left( \frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2} \right)$
इस प्रकार,बल $F = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} A$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P$ का आयाम पहली स्प्रिंग का विस्तार $x_1$ है:
$x_1 = \frac{F}{k_1} = \frac{1}{k_1} \left( \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} A \right) = \frac{k_2 A}{k_1 + k_2}$.
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9
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
एक तार को $y=kx^2$ ($y$-अक्ष ऊर्ध्वाधर) परवलय के आकार में मोड़ा गया है,जिस पर $m$ द्रव्यमान का एक मनका है। मनका तार पर बिना घर्षण के फिसल सकता है। जब तार स्थिर होता है,तो यह परवलय के सबसे निचले बिंदु पर रहता है। अब तार को $x$-अक्ष के समानांतर $a$ के निरंतर त्वरण के साथ त्वरित किया जाता है। मनके की नई संतुलन स्थिति की $y$-अक्ष से दूरी,जहाँ मनका तार के सापेक्ष स्थिर रह सकता है,क्या है?
A
$\frac{a}{gk}$
B
$\frac{a}{2gk}$
C
$\frac{2a}{gk}$
D
$\frac{a}{4gk}$
Solution
(B) चरण $1$: संदर्भ फ्रेम चुनना और $FBD$ बनाना। तार की फ्रेम से समस्या को हल करना जो दाईं ओर त्वरित हो रही है।
इसलिए,$m$ द्रव्यमान पर छद्म बल (pseudo force) बाईं दिशा में कार्य करेगा।
छद्म बल $= m \times a$.
चरण $2$: संतुलन की स्थिति।
संतुलन की स्थिति में,चुनी गई फ्रेम में मनके का त्वरण शून्य होगा।
इसलिए,$x$ और $y$ दिशाओं में बलों को संतुलित करने पर:
$N \sin \theta = ma \dots (1)$
$N \cos \theta = mg \dots (2)$
इन दो समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें मिलता है:
$\tan \theta = \frac{a}{g} \dots (3)$
चरण $3$: वक्र का ढाल।
वक्र का समीकरण $y = kx^2$ है।
संतुलन बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
इसलिए,वक्र का ढाल $\frac{dy}{dx} = \tan \theta$ है।
$\frac{dy}{dx} = 2kx$.
ढालों की तुलना करने पर: $2kx = \frac{a}{g}$.
इसलिए,$x = \frac{a}{2gk}$.
इसलिए,$m$ द्रव्यमान पर छद्म बल (pseudo force) बाईं दिशा में कार्य करेगा।
छद्म बल $= m \times a$.
चरण $2$: संतुलन की स्थिति।
संतुलन की स्थिति में,चुनी गई फ्रेम में मनके का त्वरण शून्य होगा।
इसलिए,$x$ और $y$ दिशाओं में बलों को संतुलित करने पर:
$N \sin \theta = ma \dots (1)$
$N \cos \theta = mg \dots (2)$
इन दो समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें मिलता है:
$\tan \theta = \frac{a}{g} \dots (3)$
चरण $3$: वक्र का ढाल।
वक्र का समीकरण $y = kx^2$ है।
संतुलन बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
इसलिए,वक्र का ढाल $\frac{dy}{dx} = \tan \theta$ है।
$\frac{dy}{dx} = 2kx$.
ढालों की तुलना करने पर: $2kx = \frac{a}{g}$.
इसलिए,$x = \frac{a}{2gk}$.
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PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
$L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान की एक समान छड़ को केंद्र पर धुरी पर रखा गया है। इसके दोनों सिरों को समान स्प्रिंग नियतांक $k$ वाली दो स्प्रिंगों से जोड़ा गया है। स्प्रिंगों को चित्र में दिखाए अनुसार कठोर आधारों से जोड़ा गया है,और छड़ क्षैतिज तल में दोलन करने के लिए स्वतंत्र है। छड़ को एक दिशा में छोटे कोण $\theta$ से धीरे से धक्का दिया जाता है और छोड़ दिया जाता है। दोलन की आवृत्ति है
A
$\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{2 k}{M}}$
B
$\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{M}}$
C
$\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{6 k}{M}}$
D
$\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{24 k}{M}}$
Solution
(C) जब छड़ को छोटे कोण $\theta$ से घुमाया जाता है,तो प्रत्येक स्प्रिंग के सिरे का विस्थापन $x = \frac{L}{2} \sin \theta \approx \frac{L}{2} \theta$ होता है (छोटे $\theta$ के लिए)।
प्रत्येक स्प्रिंग एक प्रत्यानयन बल $F = kx = k \frac{L}{2} \theta$ लगाती है।
केंद्र के सापेक्ष प्रत्येक स्प्रिंग द्वारा प्रदान किया गया प्रत्यानयन टॉर्क $\tau = F \cdot \frac{L}{2} = k \left( \frac{L}{2} \theta \right) \frac{L}{2} = \frac{k L^2}{4} \theta$ है।
चूंकि दो स्प्रिंग हैं,कुल प्रत्यानयन टॉर्क $\tau_{total} = 2 \times \frac{k L^2}{4} \theta = \frac{k L^2}{2} \theta$ है।
घूर्णी दोलन के लिए गति का समीकरण $\tau = I \alpha$ है,जहाँ $I = \frac{M L^2}{12}$ छड़ का उसके केंद्र के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण है।
अतः,$\frac{M L^2}{12} \frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \frac{k L^2}{2} \theta$.
$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \left( \frac{6 k}{M} \right) \theta$.
इसे मानक $SHM$ समीकरण $\frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \omega^2 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{6 k}{M}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{6 k}{M}}$.
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{6 k}{M}}$ है।
प्रत्येक स्प्रिंग एक प्रत्यानयन बल $F = kx = k \frac{L}{2} \theta$ लगाती है।
केंद्र के सापेक्ष प्रत्येक स्प्रिंग द्वारा प्रदान किया गया प्रत्यानयन टॉर्क $\tau = F \cdot \frac{L}{2} = k \left( \frac{L}{2} \theta \right) \frac{L}{2} = \frac{k L^2}{4} \theta$ है।
चूंकि दो स्प्रिंग हैं,कुल प्रत्यानयन टॉर्क $\tau_{total} = 2 \times \frac{k L^2}{4} \theta = \frac{k L^2}{2} \theta$ है।
घूर्णी दोलन के लिए गति का समीकरण $\tau = I \alpha$ है,जहाँ $I = \frac{M L^2}{12}$ छड़ का उसके केंद्र के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण है।
अतः,$\frac{M L^2}{12} \frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \frac{k L^2}{2} \theta$.
$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \left( \frac{6 k}{M} \right) \theta$.
इसे मानक $SHM$ समीकरण $\frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \omega^2 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{6 k}{M}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{6 k}{M}}$.
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{6 k}{M}}$ है।
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PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
एक छात्र ने अनुनाद वायु-स्तंभ (resonance air-column) विधि का उपयोग करके हवा में ध्वनि की गति को मापने के लिए एक प्रयोग किया। पानी के स्तर को कम करके वायु-स्तंभ में दो अनुनाद प्राप्त किए गए। छोटे वायु-स्तंभ वाला अनुनाद पहला अनुनाद है और लंबे वायु-स्तंभ वाला अनुनाद दूसरा अनुनाद है। तब,
A
$(A, C)$
B
$(C, D)$
C
$(B, D)$
D
$(A, D)$
Solution
(D) अनुनाद नली प्रयोग में,पहला अनुनाद लंबाई $l_1 \approx \lambda/4 - e$ पर होता है,जहाँ $e$ अंत सुधार (end correction) है। चूंकि $e > 0$,इसलिए $l_1$,$\lambda/4$ से थोड़ा छोटा होता है। अतः,कथन $(D)$ सही है।
पहले अनुनाद पर,वायु-स्तंभ छोटा होता है,जिसका अर्थ है कि दूसरे अनुनाद की तुलना में डंपिंग प्रभाव कम होता है,जिसके परिणामस्वरूप ध्वनि की तीव्रता अधिक होती है। अतः,कथन $(A)$ सही है।
कथन $(B)$ गलत है क्योंकि ट्यूनिंग फोर्क के प्रोंग्स को आमतौर पर ऊर्ध्वाधर तल में रखा जाता है ताकि ध्वनि तरंगें नली में नीचे की ओर संचारित हो सकें।
कथन $(C)$ गलत है क्योंकि ट्यूनिंग फोर्क के प्रोंग्स के कंपन का आयाम आमतौर पर $1 \ mm$ के आसपास होता है,न कि $1 \ cm$।
पहले अनुनाद पर,वायु-स्तंभ छोटा होता है,जिसका अर्थ है कि दूसरे अनुनाद की तुलना में डंपिंग प्रभाव कम होता है,जिसके परिणामस्वरूप ध्वनि की तीव्रता अधिक होती है। अतः,कथन $(A)$ सही है।
कथन $(B)$ गलत है क्योंकि ट्यूनिंग फोर्क के प्रोंग्स को आमतौर पर ऊर्ध्वाधर तल में रखा जाता है ताकि ध्वनि तरंगें नली में नीचे की ओर संचारित हो सकें।
कथन $(C)$ गलत है क्योंकि ट्यूनिंग फोर्क के प्रोंग्स के कंपन का आयाम आमतौर पर $1 \ mm$ के आसपास होता है,न कि $1 \ cm$।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2009
आकृति एक आदर्श गैस के लिए $ABCDA$ चक्र के दौरान $P-V$ आलेख को दर्शाती है। भाग $ABC$ एक अर्धवृत्त है और $CDA$ एक दीर्घवृत्त का आधा भाग है। तो,
$(A)$ $A \rightarrow B$ पथ के दौरान प्रक्रिया समतापीय है
$(B)$ $B \rightarrow C \rightarrow D$ पथ के दौरान गैस से ऊष्मा बाहर निकलती है
$(C)$ $A \rightarrow B \rightarrow C$ पथ के दौरान किया गया कार्य शून्य है
$(D)$ $ABCDA$ चक्र में गैस द्वारा धनात्मक कार्य किया जाता है
$(A)$ $A \rightarrow B$ पथ के दौरान प्रक्रिया समतापीय है
$(B)$ $B \rightarrow C \rightarrow D$ पथ के दौरान गैस से ऊष्मा बाहर निकलती है
$(C)$ $A \rightarrow B \rightarrow C$ पथ के दौरान किया गया कार्य शून्य है
$(D)$ $ABCDA$ चक्र में गैस द्वारा धनात्मक कार्य किया जाता है
A
$(B,D)$
B
$(C,D)$
C
$(A,B)$
D
$(A,C)$
Solution
(A) सही विकल्प $(B)$ और $(D)$ हैं।
$1$. $(A)$ का विश्लेषण: आदर्श गैस के लिए समतापीय प्रक्रिया $PV = \text{स्थिरांक}$ का पालन करती है, जो $P-V$ आरेख पर एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है, न कि वृत्ताकार या दीर्घवृत्ताकार चाप। अतः, $(A)$ गलत है।
$2$. $(B)$ का विश्लेषण: $B \rightarrow C \rightarrow D$ पथ के लिए, आयतन घटता है ($V$, $3$ से $1$ तक जाता है), इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \int P \, dV$ ऋणात्मक है। साथ ही, तापमान $T \propto PV$ $B$ से $C$ और $C$ से $D$ तक घटता है, इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ ऋणात्मक है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + W$। चूंकि $\Delta U < 0$ और $W < 0$ दोनों हैं, इसलिए ऊष्मा $\Delta Q$ ऋणात्मक होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि गैस से ऊष्मा बाहर निकलती है। अतः, $(B)$ सही है।
$3$. $(C)$ का विश्लेषण: $A \rightarrow B \rightarrow C$ के दौरान किया गया कार्य $ABC$ वक्र के नीचे $V$-अक्ष के साथ घिरा हुआ क्षेत्रफल है। इस पथ में विस्तार और उसके बाद संपीड़न शामिल है, इसलिए कुल कार्य शून्य नहीं है। अतः, $(C)$ गलत है।
$4$. $(D)$ का विश्लेषण: $P-V$ आरेख पर $ABCDA$ चक्र दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में है। दक्षिणावर्त चक्र के लिए, गैस द्वारा किया गया कुल कार्य धनात्मक होता है, जो चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है। अतः, $(D)$ सही है।
$1$. $(A)$ का विश्लेषण: आदर्श गैस के लिए समतापीय प्रक्रिया $PV = \text{स्थिरांक}$ का पालन करती है, जो $P-V$ आरेख पर एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है, न कि वृत्ताकार या दीर्घवृत्ताकार चाप। अतः, $(A)$ गलत है।
$2$. $(B)$ का विश्लेषण: $B \rightarrow C \rightarrow D$ पथ के लिए, आयतन घटता है ($V$, $3$ से $1$ तक जाता है), इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \int P \, dV$ ऋणात्मक है। साथ ही, तापमान $T \propto PV$ $B$ से $C$ और $C$ से $D$ तक घटता है, इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ ऋणात्मक है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + W$। चूंकि $\Delta U < 0$ और $W < 0$ दोनों हैं, इसलिए ऊष्मा $\Delta Q$ ऋणात्मक होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि गैस से ऊष्मा बाहर निकलती है। अतः, $(B)$ सही है।
$3$. $(C)$ का विश्लेषण: $A \rightarrow B \rightarrow C$ के दौरान किया गया कार्य $ABC$ वक्र के नीचे $V$-अक्ष के साथ घिरा हुआ क्षेत्रफल है। इस पथ में विस्तार और उसके बाद संपीड़न शामिल है, इसलिए कुल कार्य शून्य नहीं है। अतः, $(C)$ गलत है।
$4$. $(D)$ का विश्लेषण: $P-V$ आरेख पर $ABCDA$ चक्र दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में है। दक्षिणावर्त चक्र के लिए, गैस द्वारा किया गया कुल कार्य धनात्मक होता है, जो चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है। अतः, $(D)$ सही है।
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PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
एक गोला एक स्थिर क्षैतिज समतल सतह पर बिना फिसले लुढ़क रहा है। चित्र में,$A$ संपर्क बिंदु है,$B$ गोले का केंद्र है और $C$ इसका सबसे ऊपरी बिंदु है। तो,
$(A)$ $\vec{V}_C-\vec{V}_A=2(\vec{V}_B-\vec{V}_C)$
$(B)$ $\vec{V}_C-\vec{V}_B=\vec{V}_B-\vec{V}_A$
$(C)$ $|\vec{V}_C-\vec{V}_A|=2|\vec{V}_B-\vec{V}_C|$
$(D)$ $|\vec{V}_C-\vec{V}_A|=4|\vec{V}_B|$
$(A)$ $\vec{V}_C-\vec{V}_A=2(\vec{V}_B-\vec{V}_C)$
$(B)$ $\vec{V}_C-\vec{V}_B=\vec{V}_B-\vec{V}_A$
$(C)$ $|\vec{V}_C-\vec{V}_A|=2|\vec{V}_B-\vec{V}_C|$
$(D)$ $|\vec{V}_C-\vec{V}_A|=4|\vec{V}_B|$
A
$(B, C)$
B
$(B, D)$
C
$(A, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(C) मान लीजिए $\vec{V}_0$ गोले के केंद्र का वेग है। एक स्थिर क्षैतिज सतह पर बिना फिसले लुढ़कने वाले गोले के लिए:
$\vec{V}_A = 0$ (संपर्क बिंदु का वेग)
$\vec{V}_B = \vec{V}_0$ (केंद्र का वेग)
$\vec{V}_C = 2\vec{V}_0$ (सबसे ऊपरी बिंदु का वेग)
अब,दिए गए विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं:
विकल्प $(B)$ के लिए: $\vec{V}_C - \vec{V}_B = 2\vec{V}_0 - \vec{V}_0 = \vec{V}_0$ और $\vec{V}_B - \vec{V}_A = \vec{V}_0 - 0 = \vec{V}_0$. अतः,$\vec{V}_C - \vec{V}_B = \vec{V}_B - \vec{V}_A$ सही है।
विकल्प $(C)$ के लिए: $|\vec{V}_C - \vec{V}_A| = |2\vec{V}_0 - 0| = 2|\vec{V}_0|$ और $2|\vec{V}_B - \vec{V}_C| = 2|\vec{V}_0 - 2\vec{V}_0| = 2|-\vec{V}_0| = 2|\vec{V}_0|$. अतः,$|\vec{V}_C - \vec{V}_A| = 2|\vec{V}_B - \vec{V}_C|$ सही है।
इसलिए,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही कथन हैं।
$\vec{V}_A = 0$ (संपर्क बिंदु का वेग)
$\vec{V}_B = \vec{V}_0$ (केंद्र का वेग)
$\vec{V}_C = 2\vec{V}_0$ (सबसे ऊपरी बिंदु का वेग)
अब,दिए गए विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं:
विकल्प $(B)$ के लिए: $\vec{V}_C - \vec{V}_B = 2\vec{V}_0 - \vec{V}_0 = \vec{V}_0$ और $\vec{V}_B - \vec{V}_A = \vec{V}_0 - 0 = \vec{V}_0$. अतः,$\vec{V}_C - \vec{V}_B = \vec{V}_B - \vec{V}_A$ सही है।
विकल्प $(C)$ के लिए: $|\vec{V}_C - \vec{V}_A| = |2\vec{V}_0 - 0| = 2|\vec{V}_0|$ और $2|\vec{V}_B - \vec{V}_C| = 2|\vec{V}_0 - 2\vec{V}_0| = 2|-\vec{V}_0| = 2|\vec{V}_0|$. अतः,$|\vec{V}_C - \vec{V}_A| = 2|\vec{V}_B - \vec{V}_C|$ सही है।
इसलिए,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही कथन हैं।
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PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
$10x$ लंबाई की एक धातु की छड़ $AB$ का एक सिरा $A$,$0^{\circ}C$ पर बर्फ में है और दूसरा सिरा $B$,$100^{\circ}C$ पर पानी में है। यदि छड़ पर एक बिंदु $P$ को $400^{\circ}C$ पर बनाए रखा जाता है,तो यह पाया जाता है कि प्रति इकाई समय में समान मात्रा में पानी का वाष्पीकरण होता है और बर्फ पिघलती है। पानी के वाष्पीकरण की गुप्त ऊष्मा $540 \ cal/g$ है और बर्फ के पिघलने की गुप्त ऊष्मा $80 \ cal/g$ है। यदि बिंदु $P$,बर्फ वाले सिरे $A$ से $\lambda x$ की दूरी पर है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए। (परिवेश में होने वाली ऊष्मा की हानि को नगण्य मानें।)
A
$4$
B
$9$
C
$5$
D
$2$
Solution
(B) माना कि प्रति इकाई समय में पिघलने वाली बर्फ का द्रव्यमान और वाष्पित होने वाले पानी का द्रव्यमान $m$ है।
$A$ पर बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा प्रवाह दर $H_1 = m \times L_f = m \times 80$ है।
$B$ पर पानी को वाष्पित करने के लिए आवश्यक ऊष्मा प्रवाह दर $H_2 = m \times L_v = m \times 540$ है।
ऊष्मा चालन के सूत्र $H = \frac{KA \Delta T}{L}$ का उपयोग करते हुए:
खंड $AP$ के लिए: $H_1 = \frac{KA(400 - 0)}{\lambda x} = 80m \quad \dots(1)$
खंड $PB$ के लिए: $H_2 = \frac{KA(400 - 100)}{(10 - \lambda)x} = 540m \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{80m}{540m} = \frac{KA(400) / \lambda x}{KA(300) / (10 - \lambda)x}$
$\frac{8}{54} = \frac{400}{300} \times \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\frac{4}{27} = \frac{4}{3} \times \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\frac{1}{9} = \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\lambda = 90 - 9\lambda$
$10\lambda = 90$
$\lambda = 9$.
$A$ पर बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा प्रवाह दर $H_1 = m \times L_f = m \times 80$ है।
$B$ पर पानी को वाष्पित करने के लिए आवश्यक ऊष्मा प्रवाह दर $H_2 = m \times L_v = m \times 540$ है।
ऊष्मा चालन के सूत्र $H = \frac{KA \Delta T}{L}$ का उपयोग करते हुए:
खंड $AP$ के लिए: $H_1 = \frac{KA(400 - 0)}{\lambda x} = 80m \quad \dots(1)$
खंड $PB$ के लिए: $H_2 = \frac{KA(400 - 100)}{(10 - \lambda)x} = 540m \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{80m}{540m} = \frac{KA(400) / \lambda x}{KA(300) / (10 - \lambda)x}$
$\frac{8}{54} = \frac{400}{300} \times \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\frac{4}{27} = \frac{4}{3} \times \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\frac{1}{9} = \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\lambda = 90 - 9\lambda$
$10\lambda = 90$
$\lambda = 9$.
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PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
$500 \ mm$ ऊँचाई वाले एक बेलनाकार बर्तन के तल पर एक छिद्र है। छिद्र शुरू में बंद है और इसमें $H$ ऊँचाई तक पानी भरा है। अब शीर्ष को एक ढक्कन से पूरी तरह से सील कर दिया जाता है और नीचे के छिद्र को खोल दिया जाता है। कुछ पानी छिद्र से बाहर निकल जाता है और बर्तन में पानी का स्तर $200 \ mm$ की ऊँचाई पर स्थिर हो जाता है। छिद्र खोलने के कारण पानी के स्तर में हुई गिरावट ($mm$ में) ज्ञात कीजिए।
[वायुमंडलीय दबाव $= 1.0 \times 10^5 \ N/m^2$,पानी का घनत्व $= 1000 \ kg/m^3$ और $g = 10 \ m/s^2$ लें। पृष्ठ तनाव के किसी भी प्रभाव की उपेक्षा करें।]
[वायुमंडलीय दबाव $= 1.0 \times 10^5 \ N/m^2$,पानी का घनत्व $= 1000 \ kg/m^3$ और $g = 10 \ m/s^2$ लें। पृष्ठ तनाव के किसी भी प्रभाव की उपेक्षा करें।]
A
$6$
B
$5$
C
$4$
D
$3$
Solution
(A) माना $A$ बर्तन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है और $L = 500 \ mm = 0.5 \ m$ बर्तन की कुल ऊँचाई है।
शुरू में,पानी $H$ ऊँचाई तक भरा है। पानी के ऊपर हवा का आयतन $V_0 = A(L - H)$ है,जो वायुमंडलीय दबाव $P_0 = 10^5 \ N/m^2$ पर है।
जब छिद्र खोला जाता है,तो पानी तब तक बाहर निकलता है जब तक कि नीचे के छिद्र पर दबाव वायुमंडलीय दबाव $P_0$ के बराबर न हो जाए। माना पानी के स्तंभ की अंतिम ऊँचाई $h = 200 \ mm = 0.2 \ m$ है।
पानी के ऊपर फंसी हवा का दबाव $P$,$P + \rho gh = P_0$ द्वारा दिया जाता है।
$P = 10^5 - (1000)(10)(0.2) = 10^5 - 2000 = 98000 \ N/m^2 = 98 \times 10^3 \ N/m^2$.
चूंकि प्रक्रिया समतापीय है,$P_0 V_0 = P V_f$,जहाँ $V_f = A(L - h)$ हवा का अंतिम आयतन है।
$10^5 \times A(0.5 - H) = 98 \times 10^3 \times A(0.5 - 0.2)$.
$100(0.5 - H) = 98(0.3)$.
$0.5 - H = 0.294$.
$H = 0.5 - 0.294 = 0.206 \ m = 206 \ mm$.
पानी के स्तर में हुई गिरावट $H - h = 206 \ mm - 200 \ mm = 6 \ mm$ है।
शुरू में,पानी $H$ ऊँचाई तक भरा है। पानी के ऊपर हवा का आयतन $V_0 = A(L - H)$ है,जो वायुमंडलीय दबाव $P_0 = 10^5 \ N/m^2$ पर है।
जब छिद्र खोला जाता है,तो पानी तब तक बाहर निकलता है जब तक कि नीचे के छिद्र पर दबाव वायुमंडलीय दबाव $P_0$ के बराबर न हो जाए। माना पानी के स्तंभ की अंतिम ऊँचाई $h = 200 \ mm = 0.2 \ m$ है।
पानी के ऊपर फंसी हवा का दबाव $P$,$P + \rho gh = P_0$ द्वारा दिया जाता है।
$P = 10^5 - (1000)(10)(0.2) = 10^5 - 2000 = 98000 \ N/m^2 = 98 \times 10^3 \ N/m^2$.
चूंकि प्रक्रिया समतापीय है,$P_0 V_0 = P V_f$,जहाँ $V_f = A(L - h)$ हवा का अंतिम आयतन है।
$10^5 \times A(0.5 - H) = 98 \times 10^3 \times A(0.5 - 0.2)$.
$100(0.5 - H) = 98(0.3)$.
$0.5 - H = 0.294$.
$H = 0.5 - 0.294 = 0.206 \ m = 206 \ mm$.
पानी के स्तर में हुई गिरावट $H - h = 206 \ mm - 200 \ mm = 6 \ mm$ है।
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PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
दो साबुन के बुलबुले $A$ और $B$ एक बंद कक्ष में रखे गए हैं जहाँ हवा का दबाव $8 \ N/m^2$ बनाए रखा गया है। बुलबुलों $A$ और $B$ की त्रिज्याएँ क्रमशः $2 \ cm$ और $4 \ cm$ हैं। साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव $0.04 \ N/m$ है। अनुपात $n_B / n_A$ ज्ञात कीजिए,जहाँ $n_A$ और $n_B$ क्रमशः बुलबुलों $A$ और $B$ में हवा के मोलों की संख्या है। [गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव को नगण्य मानें।]
A
$4$
B
$6$
C
$7$
D
$8$
Solution
(B) साबुन के बुलबुले के अंदर का दबाव $P = P_0 + \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P_0 = 8 \ N/m^2$ बाहरी दबाव है,$T = 0.04 \ N/m$ पृष्ठ तनाव है,और $r$ त्रिज्या है।
बुलबुले $A$ के लिए $(r_A = 0.02 \ m)$: $P_A = 8 + \frac{4 \times 0.04}{0.02} = 8 + 8 = 16 \ N/m^2$.
बुलबुले $B$ के लिए $(r_B = 0.04 \ m)$: $P_B = 8 + \frac{4 \times 0.04}{0.04} = 8 + 4 = 12 \ N/m^2$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,और यह मानते हुए कि तापमान $T$ स्थिर है,$n = \frac{PV}{RT}$.
बुलबुले $A$ के लिए: $n_A = \frac{P_A V_A}{RT} = \frac{16 \times \frac{4}{3} \pi (0.02)^3}{RT}$.
बुलबुले $B$ के लिए: $n_B = \frac{P_B V_B}{RT} = \frac{12 \times \frac{4}{3} \pi (0.04)^3}{RT}$.
अनुपात लेने पर $\frac{n_B}{n_A} = \frac{12 \times (0.04)^3}{16 \times (0.02)^3} = \frac{12}{16} \times (2)^3 = \frac{3}{4} \times 8 = 6$.
बुलबुले $A$ के लिए $(r_A = 0.02 \ m)$: $P_A = 8 + \frac{4 \times 0.04}{0.02} = 8 + 8 = 16 \ N/m^2$.
बुलबुले $B$ के लिए $(r_B = 0.04 \ m)$: $P_B = 8 + \frac{4 \times 0.04}{0.04} = 8 + 4 = 12 \ N/m^2$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,और यह मानते हुए कि तापमान $T$ स्थिर है,$n = \frac{PV}{RT}$.
बुलबुले $A$ के लिए: $n_A = \frac{P_A V_A}{RT} = \frac{16 \times \frac{4}{3} \pi (0.02)^3}{RT}$.
बुलबुले $B$ के लिए: $n_B = \frac{P_B V_B}{RT} = \frac{12 \times \frac{4}{3} \pi (0.04)^3}{RT}$.
अनुपात लेने पर $\frac{n_B}{n_A} = \frac{12 \times (0.04)^3}{16 \times (0.02)^3} = \frac{12}{16} \times (2)^3 = \frac{3}{4} \times 8 = 6$.
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17
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
तीन वस्तुएं $A$,$B$ और $C$ को एक घर्षण रहित क्षैतिज सतह पर एक सीधी रेखा में रखा गया है। इनके द्रव्यमान क्रमशः $m$,$2m$ और $m$ हैं। वस्तु $A$,$9 \ m/s$ की गति से $B$ की ओर बढ़ती है और इसके साथ एक प्रत्यास्थ टक्कर करती है। इसके बाद,$B$,$C$ के साथ पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर करती है। सभी गतियां एक ही सीधी रेखा में होती हैं। वस्तु $C$ की अंतिम गति ($m/s$ में) ज्ञात कीजिए।
A
$9$
B
$5$
C
$4$
D
$6$
Solution
(C) चरण $1$: $A$ और $B$ के बीच प्रत्यास्थ टक्कर।
मान लीजिए $v_A = 9 \ m/s$ और $v_B = 0$ है। टक्कर के बाद,वेग $v_A'$ और $v_B'$ हैं।
संवेग संरक्षण के नियम से: $m(9) + 2m(0) = m v_A' + 2m v_B' \Rightarrow 9 = v_A' + 2v_B'$.
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $(e=1)$ से: $v_B' - v_A' = e(v_A - v_B) = 1(9 - 0) = 9 \Rightarrow v_B' - v_A' = 9$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(v_A' + 2v_B') + (v_B' - v_A') = 9 + 9 \Rightarrow 3v_B' = 18 \Rightarrow v_B' = 6 \ m/s$.
चरण $2$: $B$ और $C$ के बीच पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर।
मान लीजिए $v_B' = 6 \ m/s$ और $v_C = 0$ है। टक्कर के बाद,$B$ और $C$ एक साथ $v_f$ वेग से चलते हैं।
संवेग संरक्षण के नियम से: $2m(v_B') + m(0) = (2m + m)v_f \Rightarrow 2m(6) = 3m v_f \Rightarrow 12 = 3v_f \Rightarrow v_f = 4 \ m/s$.
अतः,वस्तु $C$ की अंतिम गति $4 \ m/s$ है।
मान लीजिए $v_A = 9 \ m/s$ और $v_B = 0$ है। टक्कर के बाद,वेग $v_A'$ और $v_B'$ हैं।
संवेग संरक्षण के नियम से: $m(9) + 2m(0) = m v_A' + 2m v_B' \Rightarrow 9 = v_A' + 2v_B'$.
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $(e=1)$ से: $v_B' - v_A' = e(v_A - v_B) = 1(9 - 0) = 9 \Rightarrow v_B' - v_A' = 9$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(v_A' + 2v_B') + (v_B' - v_A') = 9 + 9 \Rightarrow 3v_B' = 18 \Rightarrow v_B' = 6 \ m/s$.
चरण $2$: $B$ और $C$ के बीच पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर।
मान लीजिए $v_B' = 6 \ m/s$ और $v_C = 0$ है। टक्कर के बाद,$B$ और $C$ एक साथ $v_f$ वेग से चलते हैं।
संवेग संरक्षण के नियम से: $2m(v_B') + m(0) = (2m + m)v_f \Rightarrow 2m(6) = 3m v_f \Rightarrow 12 = 3v_f \Rightarrow v_f = 4 \ m/s$.
अतः,वस्तु $C$ की अंतिम गति $4 \ m/s$ है।
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PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
एक हल्की अवितान्य डोरी जो चित्र में दिखाए अनुसार एक चिकनी स्थिर घिरनी के ऊपर से गुजरती है,$m_1 = 0.36 \text{ kg}$ और $m_2 = 0.72 \text{ kg}$ द्रव्यमान के दो ब्लॉकों को जोड़ती है। $g = 10 \text{ m/s}^2$ लेते हुए,निकाय को विरामावस्था से मुक्त करने के बाद पहली सेकंड के दौरान $0.36 \text{ kg}$ द्रव्यमान के ब्लॉक पर डोरी द्वारा किया गया कार्य (जूल में) ज्ञात कीजिए।
A
$5$
B
$6$
C
$8$
D
$9$
Solution
(C) माना $m_1 = 0.36 \text{ kg}$ और $m_2 = 0.72 \text{ kg}$ है।
$m_2$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए गति का समीकरण: $m_2 g - T = m_2 a$.
$m_1$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए गति का समीकरण: $T - m_1 g = m_1 a$.
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(m_2 - m_1) g = (m_1 + m_2) a$.
$a = \frac{(m_2 - m_1) g}{m_1 + m_2} = \frac{(0.72 - 0.36) \times 10}{0.72 + 0.36} = \frac{0.36 \times 10}{1.08} = \frac{3.6}{1.08} = \frac{10}{3} \text{ m/s}^2$.
तनाव बल $T$: $T = m_1(g + a) = 0.36 \times (10 + \frac{10}{3}) = 0.36 \times \frac{40}{3} = 0.12 \times 40 = 4.8 \text{ N}$.
विरामावस्था से $t = 1 \text{ s}$ में विस्थापन $s$: $s = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times (1)^2 = \frac{5}{3} \text{ m}$.
$m_1$ द्रव्यमान के ब्लॉक पर डोरी द्वारा किया गया कार्य: $W = T \times s = 4.8 \times \frac{5}{3} = 1.6 \times 5 = 8 \text{ J}$.
$m_2$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए गति का समीकरण: $m_2 g - T = m_2 a$.
$m_1$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए गति का समीकरण: $T - m_1 g = m_1 a$.
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(m_2 - m_1) g = (m_1 + m_2) a$.
$a = \frac{(m_2 - m_1) g}{m_1 + m_2} = \frac{(0.72 - 0.36) \times 10}{0.72 + 0.36} = \frac{0.36 \times 10}{1.08} = \frac{3.6}{1.08} = \frac{10}{3} \text{ m/s}^2$.
तनाव बल $T$: $T = m_1(g + a) = 0.36 \times (10 + \frac{10}{3}) = 0.36 \times \frac{40}{3} = 0.12 \times 40 = 4.8 \text{ N}$.
विरामावस्था से $t = 1 \text{ s}$ में विस्थापन $s$: $s = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times (1)^2 = \frac{5}{3} \text{ m}$.
$m_1$ द्रव्यमान के ब्लॉक पर डोरी द्वारा किया गया कार्य: $W = T \times s = 4.8 \times \frac{5}{3} = 1.6 \times 5 = 8 \text{ J}$.
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19
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
$20 \ cm$ लंबी डोरी,जिसका द्रव्यमान $1.0 \ g$ है,दोनों सिरों पर बंधी हुई है। डोरी में तनाव $0.5 \ N$ है। $100 \ Hz$ आवृत्ति वाले बाहरी वाइब्रेटर का उपयोग करके डोरी को कंपित किया जाता है। डोरी पर क्रमिक निस्पंद बिंदुओं (nodes) के बीच की दूरी ($cm$ में) ज्ञात कीजिए।
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$8$
Solution
(A) डोरी में तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ डोरी में तनाव है और $\mu$ डोरी की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
दिया गया है: $T = 0.5 \ N$,द्रव्यमान $m = 1.0 \ g = 1.0 \times 10^{-3} \ kg$,और लंबाई $L = 20 \ cm = 0.2 \ m$।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L} = \frac{1.0 \times 10^{-3} \ kg}{0.2 \ m} = 0.5 \times 10^{-2} \ kg/m$।
इन मानों को वेग के सूत्र में रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{0.5}{0.5 \times 10^{-2}}} = \sqrt{100} = 10 \ m/s$।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $\lambda = \frac{v}{f}$ द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $f = 100 \ Hz$।
$\lambda = \frac{10 \ m/s}{100 \ Hz} = 0.1 \ m = 10 \ cm$।
अप्रगामी तरंग में क्रमिक निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
अतः,दूरी $= \frac{10 \ cm}{2} = 5 \ cm$।
दिया गया है: $T = 0.5 \ N$,द्रव्यमान $m = 1.0 \ g = 1.0 \times 10^{-3} \ kg$,और लंबाई $L = 20 \ cm = 0.2 \ m$।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L} = \frac{1.0 \times 10^{-3} \ kg}{0.2 \ m} = 0.5 \times 10^{-2} \ kg/m$।
इन मानों को वेग के सूत्र में रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{0.5}{0.5 \times 10^{-2}}} = \sqrt{100} = 10 \ m/s$।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $\lambda = \frac{v}{f}$ द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $f = 100 \ Hz$।
$\lambda = \frac{10 \ m/s}{100 \ Hz} = 0.1 \ m = 10 \ cm$।
अप्रगामी तरंग में क्रमिक निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
अतः,दूरी $= \frac{10 \ cm}{2} = 5 \ cm$।
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20
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2009
$R, 2R, 3R$ त्रिज्या वाले तीन संकेंद्रीय धात्विक गोलीय कोशों को क्रमशः $Q_1, Q_2, Q_3$ आवेश दिए गए हैं। यदि कोशों की बाहरी सतहों पर पृष्ठीय आवेश घनत्व समान पाया जाता है,तो कोशों को दिए गए आवेशों का अनुपात $Q_1 : Q_2 : Q_3$ क्या होगा?
A
$1 : 2 : 3$
B
$1 : 4 : 9$
C
$1 : 3 : 5$
D
$1 : 8 : 18$
Solution
(B) माना कि कोशों पर पृष्ठीय आवेश घनत्व क्रमशः $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ है।
दिया गया है कि $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_3 = \sigma$ है।
पृष्ठीय आवेश घनत्व को $\sigma = \frac{Q}{A}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $A = 4\pi r^2$ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
प्रथम कोश के लिए: $Q_1 = \sigma \cdot 4\pi R^2$ है।
द्वितीय कोश के लिए: $Q_2 = \sigma \cdot 4\pi (2R)^2 = \sigma \cdot 16\pi R^2$ है।
तृतीय कोश के लिए: $Q_3 = \sigma \cdot 4\pi (3R)^2 = \sigma \cdot 36\pi R^2$ है।
अब,अनुपात $Q_1 : Q_2 : Q_3$ है:
$Q_1 : Q_2 : Q_3 = (\sigma \cdot 4\pi R^2) : (\sigma \cdot 16\pi R^2) : (\sigma \cdot 36\pi R^2)$।
$4\pi R^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$Q_1 : Q_2 : Q_3 = 1 : 4 : 9$।
दिया गया है कि $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_3 = \sigma$ है।
पृष्ठीय आवेश घनत्व को $\sigma = \frac{Q}{A}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $A = 4\pi r^2$ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
प्रथम कोश के लिए: $Q_1 = \sigma \cdot 4\pi R^2$ है।
द्वितीय कोश के लिए: $Q_2 = \sigma \cdot 4\pi (2R)^2 = \sigma \cdot 16\pi R^2$ है।
तृतीय कोश के लिए: $Q_3 = \sigma \cdot 4\pi (3R)^2 = \sigma \cdot 36\pi R^2$ है।
अब,अनुपात $Q_1 : Q_2 : Q_3$ है:
$Q_1 : Q_2 : Q_3 = (\sigma \cdot 4\pi R^2) : (\sigma \cdot 16\pi R^2) : (\sigma \cdot 36\pi R^2)$।
$4\pi R^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$Q_1 : Q_2 : Q_3 = 1 : 4 : 9$।
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PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
एक गेंद को झील में पानी की सतह से $20 \,m$ की ऊँचाई से गिराया जाता है। पानी का अपवर्तनांक $4/3$ है। झील के अंदर एक मछली, जो गेंद के गिरने की सीध में है, गेंद को देख रही है। एक क्षण पर, जब गेंद पानी की सतह से $12.8 \,m$ ऊपर है, तो मछली को गेंद की गति कितनी दिखाई देगी ($\,m/s$ में)? ($g = 10 \,m/s^2$ लें):
A
$9$
B
$12$
C
$16$
D
$21.33$
Solution
(C) माना $h$ पानी की सतह से गेंद की ऊँचाई है। ऊँचाई $h$ पर गेंद का वेग $v_b = \sqrt{2g(H - h)}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $H = 20 \,m$ प्रारंभिक ऊँचाई है और $h = 12.8 \,m$ है।
$v_b = \sqrt{2 \times 10 \times (20 - 12.8)} = \sqrt{20 \times 7.2} = \sqrt{144} = 12 \,m/s$.
जब कोई वस्तु विरल माध्यम (हवा) में होती है और उसे सघन माध्यम (पानी) से देखा जाता है, तो आभासी ऊँचाई $h'$ का मान $h' = \mu h$ होता है, जहाँ $\mu = 4/3$ पानी का अपवर्तनांक है।
इसलिए, मछली द्वारा देखा गया आभासी वेग $v_a = \frac{d}{dt}(h') = \mu \frac{dh}{dt} = \mu v_b$ होगा।
$v_a = (4/3) \times 12 \,m/s = 16 \,m/s$.
$v_b = \sqrt{2 \times 10 \times (20 - 12.8)} = \sqrt{20 \times 7.2} = \sqrt{144} = 12 \,m/s$.
जब कोई वस्तु विरल माध्यम (हवा) में होती है और उसे सघन माध्यम (पानी) से देखा जाता है, तो आभासी ऊँचाई $h'$ का मान $h' = \mu h$ होता है, जहाँ $\mu = 4/3$ पानी का अपवर्तनांक है।
इसलिए, मछली द्वारा देखा गया आभासी वेग $v_a = \frac{d}{dt}(h') = \mu \frac{dh}{dt} = \mu v_b$ होगा।
$v_a = (4/3) \times 12 \,m/s = 16 \,m/s$.
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22
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
चित्र में कुछ तार के खंड दिखाए गए हैं जो एक समतलीय लूप बनाने के लिए जुड़े हुए हैं। लूप को एक लंबवत चुंबकीय क्षेत्र में रखा गया है जो चित्र के तल के अंदर की दिशा में है। क्षेत्र का परिमाण समय के साथ बढ़ता है। $I_1$ और $I_2$ खंड $ab$ और $cd$ में धाराएं हैं। तब,
A
$I_1 > I_2$
B
$I_1 < I_2$
C
$I_1$,$ba$ दिशा में है और $I_2$,$ed$ दिशा में है
D
$I_1$,$ab$ दिशा में है और $I_2$,$de$ दिशा में है
Solution
(C) लेंज़ के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करेगी।
चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित है और इसका परिमाण समय के साथ बढ़ रहा है,इसलिए लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स तल के अंदर की ओर बढ़ रहा है।
इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र को कागज के तल से बाहर की ओर निर्देशित होना चाहिए।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,तल से बाहर की ओर निर्देशित प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र लूप में वामावर्त (anticlockwise) प्रेरित धारा के अनुरूप है।
लूप में वामावर्त पथ का पालन करते हुए,धारा खंड $ab$ में $b$ से $a$ की ओर और खंड $cd$ में $c$ से $d$ की ओर बहती है।
चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित है और इसका परिमाण समय के साथ बढ़ रहा है,इसलिए लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स तल के अंदर की ओर बढ़ रहा है।
इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र को कागज के तल से बाहर की ओर निर्देशित होना चाहिए।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,तल से बाहर की ओर निर्देशित प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र लूप में वामावर्त (anticlockwise) प्रेरित धारा के अनुरूप है।
लूप में वामावर्त पथ का पालन करते हुए,धारा खंड $ab$ में $b$ से $a$ की ओर और खंड $cd$ में $c$ से $d$ की ओर बहती है।
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23
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2009
$a/4$ त्रिज्या वाली एक डिस्क,जिस पर $6 \text{ C}$ आवेश समान रूप से वितरित है,को $x-y$ तल में $(-a/2, 0, 0)$ केंद्र पर रखा गया है। $a$ लंबाई की एक छड़,जिस पर $8 \text{ C}$ आवेश समान रूप से वितरित है,को $x$-अक्ष पर $x = a/4$ से $x = 5a/4$ तक रखा गया है। दो बिंदु आवेश $-7 \text{ C}$ और $3 \text{ C}$ को क्रमशः $(a/4, -a/4, 0)$ और $(-3a/4, 3a/4, 0)$ पर रखा गया है। छह सतहों $x = \pm a/2, y = \pm a/2, z = \pm a/2$ द्वारा निर्मित एक घनाकार सतह पर विचार करें। इस घनाकार सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स है
A
$\frac{-2 \text{ C}}{\varepsilon_0}$
B
$\frac{2 \text{ C}}{\varepsilon_0}$
C
$\frac{10 \text{ C}}{\varepsilon_0}$
D
$\frac{12 \text{ C}}{\varepsilon_0}$
Solution
(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. डिस्क: डिस्क की त्रिज्या $a/4$ है और केंद्र $(-a/2, 0, 0)$ पर है। घन $x = -a/2$ से $x = a/2$ तक फैला है। चूंकि डिस्क $x-y$ तल में है,इसलिए डिस्क का केवल वह भाग जिसके लिए $x > -a/2$ है,घन के अंदर है। डिस्क $x = -3a/4$ से $x = -a/4$ तक फैली है। घन के अंदर का भाग $x = -a/2$ से $x = -a/4$ है। समरूपता के अनुसार,डिस्क का ठीक आधा भाग घन के अंदर है। अतः,$Q_{\text{disk, enclosed}} = 6 \text{ C} / 2 = 3 \text{ C}$.
$2$. छड़: छड़ $x = a/4$ से $x = 5a/4$ तक है। घन की सीमा $x = a/2$ है। घन के अंदर छड़ का भाग $x = a/4$ से $x = a/2$ है। घन के अंदर छड़ की लंबाई $a/4$ है। कुल लंबाई $a$ होने के कारण,अंदर मौजूद आवेश का अंश $(a/4) / a = 1/4$ है। अतः,$Q_{\text{rod, enclosed}} = 8 \text{ C} \times (1/4) = 2 \text{ C}$.
$3$. बिंदु आवेश: $-7 \text{ C}$ आवेश $(a/4, -a/4, 0)$ पर है,जो घन के अंदर है। $3 \text{ C}$ आवेश $(-3a/4, 3a/4, 0)$ पर है,जो घन के बाहर है।
$4$. कुल परिबद्ध आवेश: $Q_{\text{enclosed}} = 3 \text{ C} + 2 \text{ C} - 7 \text{ C} = -2 \text{ C}$.
अतः,विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{-2 \text{ C}}{\varepsilon_0}$ है।
$1$. डिस्क: डिस्क की त्रिज्या $a/4$ है और केंद्र $(-a/2, 0, 0)$ पर है। घन $x = -a/2$ से $x = a/2$ तक फैला है। चूंकि डिस्क $x-y$ तल में है,इसलिए डिस्क का केवल वह भाग जिसके लिए $x > -a/2$ है,घन के अंदर है। डिस्क $x = -3a/4$ से $x = -a/4$ तक फैली है। घन के अंदर का भाग $x = -a/2$ से $x = -a/4$ है। समरूपता के अनुसार,डिस्क का ठीक आधा भाग घन के अंदर है। अतः,$Q_{\text{disk, enclosed}} = 6 \text{ C} / 2 = 3 \text{ C}$.
$2$. छड़: छड़ $x = a/4$ से $x = 5a/4$ तक है। घन की सीमा $x = a/2$ है। घन के अंदर छड़ का भाग $x = a/4$ से $x = a/2$ है। घन के अंदर छड़ की लंबाई $a/4$ है। कुल लंबाई $a$ होने के कारण,अंदर मौजूद आवेश का अंश $(a/4) / a = 1/4$ है। अतः,$Q_{\text{rod, enclosed}} = 8 \text{ C} \times (1/4) = 2 \text{ C}$.
$3$. बिंदु आवेश: $-7 \text{ C}$ आवेश $(a/4, -a/4, 0)$ पर है,जो घन के अंदर है। $3 \text{ C}$ आवेश $(-3a/4, 3a/4, 0)$ पर है,जो घन के बाहर है।
$4$. कुल परिबद्ध आवेश: $Q_{\text{enclosed}} = 3 \text{ C} + 2 \text{ C} - 7 \text{ C} = -2 \text{ C}$.
अतः,विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{-2 \text{ C}}{\varepsilon_0}$ है।
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24
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
एक छात्र ने $1.5 \ m$ लंबी ऑप्टिकल बेंच का उपयोग करके $u-v$ विधि द्वारा अवतल दर्पण की फोकस दूरी निर्धारित करने का प्रयोग किया। उपयोग किए गए दर्पण की फोकस दूरी $24 \ cm$ है। प्रतिबिंब की स्थिति में अधिकतम त्रुटि $0.2 \ cm$ हो सकती है। छात्र द्वारा दर्ज किए गए $(u, v)$ मानों के $5$ सेट ($cm$ में) हैं: $(42, 56), (48, 48), (60, 40), (66, 33), (78, 39)$। डेटा सेट जो प्रयोग से नहीं आ सकते हैं और गलत तरीके से दर्ज किए गए हैं,वे हैं:
$(A) (42, 56)$
$(B) (48, 48)$
$(C) (66, 33)$
$(D) (78, 39)$
$(A) (42, 56)$
$(B) (48, 48)$
$(C) (66, 33)$
$(D) (78, 39)$
A
$(B, D)$
B
$(C, A)$
C
$(C, D)$
D
$(A, B)$
Solution
(C) अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = -24 \ cm$ है। दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है,जिससे $v = \frac{uf}{u-f}$ प्राप्त होता है।
हम दर्पण सूत्र का उपयोग करके गणना किए गए सैद्धांतिक मानों के साथ दर्ज किए गए मानों की जांच करते हैं:
$1$. $u = -42 \ cm$ के लिए: $v = \frac{(-42)(-24)}{-42+24} = \frac{1008}{-18} = -56 \ cm$। (मेल खाता है)
$2$. $u = -48 \ cm$ के लिए: $v = \frac{(-48)(-24)}{-48+24} = \frac{1152}{-24} = -48 \ cm$। (मेल खाता है)
$3$. $u = -60 \ cm$ के लिए: $v = \frac{(-60)(-24)}{-60+24} = \frac{1440}{-36} = -40 \ cm$। (मेल खाता है)
$4$. $u = -66 \ cm$ के लिए: $v = \frac{(-66)(-24)}{-66+24} = \frac{1584}{-42} \approx -37.71 \ cm$। दर्ज किया गया मान $33 \ cm$ है। अंतर $|37.71 - 33| = 4.71 \ cm$ है,जो $0.2 \ cm$ की त्रुटि सीमा से काफी अधिक है।
$5$. $u = -78 \ cm$ के लिए: $v = \frac{(-78)(-24)}{-78+24} = \frac{1872}{-54} \approx -34.66 \ cm$। दर्ज किया गया मान $39 \ cm$ है। अंतर $|34.66 - 39| = 4.34 \ cm$ है,जो $0.2 \ cm$ की त्रुटि सीमा से काफी अधिक है।
अतः,डेटा सेट $(66, 33)$ और $(78, 39)$ गलत तरीके से दर्ज किए गए हैं।
हम दर्पण सूत्र का उपयोग करके गणना किए गए सैद्धांतिक मानों के साथ दर्ज किए गए मानों की जांच करते हैं:
$1$. $u = -42 \ cm$ के लिए: $v = \frac{(-42)(-24)}{-42+24} = \frac{1008}{-18} = -56 \ cm$। (मेल खाता है)
$2$. $u = -48 \ cm$ के लिए: $v = \frac{(-48)(-24)}{-48+24} = \frac{1152}{-24} = -48 \ cm$। (मेल खाता है)
$3$. $u = -60 \ cm$ के लिए: $v = \frac{(-60)(-24)}{-60+24} = \frac{1440}{-36} = -40 \ cm$। (मेल खाता है)
$4$. $u = -66 \ cm$ के लिए: $v = \frac{(-66)(-24)}{-66+24} = \frac{1584}{-42} \approx -37.71 \ cm$। दर्ज किया गया मान $33 \ cm$ है। अंतर $|37.71 - 33| = 4.71 \ cm$ है,जो $0.2 \ cm$ की त्रुटि सीमा से काफी अधिक है।
$5$. $u = -78 \ cm$ के लिए: $v = \frac{(-78)(-24)}{-78+24} = \frac{1872}{-54} \approx -34.66 \ cm$। दर्ज किया गया मान $39 \ cm$ है। अंतर $|34.66 - 39| = 4.34 \ cm$ है,जो $0.2 \ cm$ की त्रुटि सीमा से काफी अधिक है।
अतः,डेटा सेट $(66, 33)$ और $(78, 39)$ गलत तरीके से दर्ज किए गए हैं।
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25
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
चित्र में दिखाए गए परिपथ के लिए:
$(A)$ बैटरी से प्रवाहित धारा $I = 7.5 \text{ mA}$ है।
$(B)$ $R_L$ के सिरों पर विभवांतर $18 \text{ V}$ है।
$(C)$ $R_1$ और $R_2$ में क्षयित शक्ति का अनुपात $3$ है।
$(D)$ यदि $R_1$ और $R_2$ को आपस में बदल दिया जाए,तो $R_L$ में क्षयित शक्ति का परिमाण $9$ के गुणक से कम हो जाएगा।
$(A)$ बैटरी से प्रवाहित धारा $I = 7.5 \text{ mA}$ है।
$(B)$ $R_L$ के सिरों पर विभवांतर $18 \text{ V}$ है।
$(C)$ $R_1$ और $R_2$ में क्षयित शक्ति का अनुपात $3$ है।
$(D)$ यदि $R_1$ और $R_2$ को आपस में बदल दिया जाए,तो $R_L$ में क्षयित शक्ति का परिमाण $9$ के गुणक से कम हो जाएगा।
A
$(B, D)$
B
$(A, D)$
C
$(B, C)$
D
$(A, C)$
Solution
(B) दिया गया है: $V = 24 \text{ V}$,$R_1 = 2 \text{ k}\Omega$,$R_2 = 6 \text{ k}\Omega$,$R_L = 1.5 \text{ k}\Omega$.
$1$. कुल प्रतिरोध: $R_{\text{total}} = R_1 + \frac{R_2 \times R_L}{R_2 + R_L} = 2 + \frac{6 \times 1.5}{6 + 1.5} = 3.2 \text{ k}\Omega$.
$2$. बैटरी से धारा: $I = \frac{24}{3.2} = 7.5 \text{ mA}$. (कथन $A$ सही है)।
$3$. $R_L$ पर विभवांतर: $V_{R_L} = I \times R_{\text{parallel}} = 7.5 \times 1.2 = 9 \text{ V}$. (कथन $B$ गलत है)।
$4$. शक्ति का अनुपात: $P_{R_1} = I^2 R_1 = 112.5 \text{ mW}$,$P_{R_2} = I_{R_2}^2 R_2 = 13.5 \text{ mW}$. अनुपात $8.33$ है,$3$ नहीं। (कथन $C$ गलत है)।
$5$. $R_1$ और $R_2$ को बदलने पर: नया विभवांतर $V_{R_L} = 3 \text{ V}$ प्राप्त होता है। विभवांतर $3$ गुना कम होने पर शक्ति $3^2 = 9$ के गुणक से कम हो जाएगी। (कथन $D$ सही है)।
अतः,$(A)$ और $(D)$ सही हैं।
$1$. कुल प्रतिरोध: $R_{\text{total}} = R_1 + \frac{R_2 \times R_L}{R_2 + R_L} = 2 + \frac{6 \times 1.5}{6 + 1.5} = 3.2 \text{ k}\Omega$.
$2$. बैटरी से धारा: $I = \frac{24}{3.2} = 7.5 \text{ mA}$. (कथन $A$ सही है)।
$3$. $R_L$ पर विभवांतर: $V_{R_L} = I \times R_{\text{parallel}} = 7.5 \times 1.2 = 9 \text{ V}$. (कथन $B$ गलत है)।
$4$. शक्ति का अनुपात: $P_{R_1} = I^2 R_1 = 112.5 \text{ mW}$,$P_{R_2} = I_{R_2}^2 R_2 = 13.5 \text{ mW}$. अनुपात $8.33$ है,$3$ नहीं। (कथन $C$ गलत है)।
$5$. $R_1$ और $R_2$ को बदलने पर: नया विभवांतर $V_{R_L} = 3 \text{ V}$ प्राप्त होता है। विभवांतर $3$ गुना कम होने पर शक्ति $3^2 = 9$ के गुणक से कम हो जाएगी। (कथन $D$ सही है)।
अतः,$(A)$ और $(D)$ सही हैं।
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26
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2009
वैज्ञानिक परमाणु संलयन रिएक्टर विकसित करने के लिए कड़ी मेहनत कर रहे हैं। भारी हाइड्रोजन के नाभिक,${ }_1^2 H$,जिसे ड्यूटेरॉन के रूप में जाना जाता है और $D$ द्वारा दर्शाया जाता है,को संलयन रिएक्टर के लिए एक उम्मीदवार के रूप में माना जा सकता है। $D-D$ प्रतिक्रिया ${ }_1^2 H+{ }_1^2 H \rightarrow{ }_2^3 He+n+$ ऊर्जा है। एक संलयन रिएक्टर के कोर में,भारी हाइड्रोजन की गैस पूरी तरह से ड्यूटेरॉन नाभिक और इलेक्ट्रॉनों में आयनित हो जाती है। ${ }_1^2 H$ नाभिक और इलेक्ट्रॉनों के इस संग्रह को प्लाज्मा के रूप में जाना जाता है। नाभिक रिएक्टर कोर में बेतरतीब ढंग से चलते हैं और कभी-कभी परमाणु संलयन होने के लिए पर्याप्त करीब आ जाते हैं। आमतौर पर,रिएक्टर कोर में तापमान बहुत अधिक होता है और प्लाज्मा को सीमित करने के लिए किसी भौतिक दीवार का उपयोग नहीं किया जा सकता है। विशेष तकनीकों का उपयोग किया जाता है जो कणों के कोर से दूर उड़ने से पहले प्लाज्मा को $t_0$ समय के लिए सीमित रखती हैं। यदि $n$ ड्यूटेरॉन का घनत्व (संख्या/आयतन) है,तो उत्पाद $n t_0$ को लॉसन संख्या कहा जाता है। एक मानदंड में,एक रिएक्टर को सफल माना जाता है यदि लॉसन संख्या $5 \times 10^{14} \, s/cm^3$ से अधिक हो।
निम्नलिखित का उपयोग करना सहायक हो सकता है: बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक $k=8.6 \times 10^{-5} \, eV/K$; $\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0}=1.44 \times 10^9 \, eV \cdot m$.
$1.$ परमाणु संलयन रिएक्टर के कोर में,गैस प्लाज्मा बन जाती है क्योंकि
$(A)$ ड्यूटेरॉन के बीच कार्य करने वाला मजबूत परमाणु बल
$(B)$ ड्यूटेरॉन के बीच कार्य करने वाला कूलम्ब बल
$(C)$ ड्यूटेरॉन-इलेक्ट्रॉन जोड़े के बीच कार्य करने वाला कूलम्ब बल
$(D)$ रिएक्टर कोर के अंदर बनाए रखा गया उच्च तापमान
$2.$ मान लें कि तापमान $T$ पर एक संलयन रिएक्टर के कोर में दो ड्यूटेरॉन नाभिक एक-दूसरे की ओर बढ़ रहे हैं,प्रत्येक की गतिज ऊर्जा $1.5 kT$ है,जब उनके बीच की दूरी कूलम्ब स्थितिज ऊर्जा की उपेक्षा करने के लिए पर्याप्त बड़ी है। कोर में अन्य कणों से किसी भी परस्पर क्रिया की उपेक्षा करें। $4 \times 10^{-15} \, m$ की दूरी तक पहुँचने के लिए आवश्यक न्यूनतम तापमान $T$ इस सीमा में है
$(A)$ $1.0 \times 10^9 \, K$ $(B)$ $2.0 \times 10^9 \, K$ $(C)$ $3.0 \times 10^9 \, K$ $(D)$ $4.0 \times 10^9 \, K$
$3.$ $D-D$ प्रतिक्रिया का उपयोग करके संलयन रिएक्टर के चार अलग-अलग डिजाइनों के लिए गणना के परिणाम नीचे दिए गए हैं। लॉसन मानदंड के आधार पर इनमें से कौन सा सबसे आशाजनक है?
$(A)$ ड्यूटेरॉन घनत्व $=2.0 \times 10^{12} \, cm^{-3}$,कारावास समय $=5.0 \times 10^{-3} \, s$
$(B)$ ड्यूटेरॉन घनत्व $=8.0 \times 10^{14} \, cm^{-3}$,कारावास समय $=9.0 \times 10^{-1} \, s$
$(C)$ ड्यूटेरॉन घनत्व $=4.0 \times 10^{23} \, cm^{-3}$,कारावास समय $=1.0 \times 10^{-11} \, s$
$(D)$ ड्यूटेरॉन घनत्व $=1.0 \times 10^{24} \, cm^{-3}$,कारावास समय $=4.0 \times 10^{-12} \, s$
प्रश्न $1, 2,$ और $3$ का उत्तर दें।
निम्नलिखित का उपयोग करना सहायक हो सकता है: बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक $k=8.6 \times 10^{-5} \, eV/K$; $\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0}=1.44 \times 10^9 \, eV \cdot m$.
$1.$ परमाणु संलयन रिएक्टर के कोर में,गैस प्लाज्मा बन जाती है क्योंकि
$(A)$ ड्यूटेरॉन के बीच कार्य करने वाला मजबूत परमाणु बल
$(B)$ ड्यूटेरॉन के बीच कार्य करने वाला कूलम्ब बल
$(C)$ ड्यूटेरॉन-इलेक्ट्रॉन जोड़े के बीच कार्य करने वाला कूलम्ब बल
$(D)$ रिएक्टर कोर के अंदर बनाए रखा गया उच्च तापमान
$2.$ मान लें कि तापमान $T$ पर एक संलयन रिएक्टर के कोर में दो ड्यूटेरॉन नाभिक एक-दूसरे की ओर बढ़ रहे हैं,प्रत्येक की गतिज ऊर्जा $1.5 kT$ है,जब उनके बीच की दूरी कूलम्ब स्थितिज ऊर्जा की उपेक्षा करने के लिए पर्याप्त बड़ी है। कोर में अन्य कणों से किसी भी परस्पर क्रिया की उपेक्षा करें। $4 \times 10^{-15} \, m$ की दूरी तक पहुँचने के लिए आवश्यक न्यूनतम तापमान $T$ इस सीमा में है
$(A)$ $1.0 \times 10^9 \, K$ $(B)$ $2.0 \times 10^9 \, K$ $(C)$ $3.0 \times 10^9 \, K$ $(D)$ $4.0 \times 10^9 \, K$
$3.$ $D-D$ प्रतिक्रिया का उपयोग करके संलयन रिएक्टर के चार अलग-अलग डिजाइनों के लिए गणना के परिणाम नीचे दिए गए हैं। लॉसन मानदंड के आधार पर इनमें से कौन सा सबसे आशाजनक है?
$(A)$ ड्यूटेरॉन घनत्व $=2.0 \times 10^{12} \, cm^{-3}$,कारावास समय $=5.0 \times 10^{-3} \, s$
$(B)$ ड्यूटेरॉन घनत्व $=8.0 \times 10^{14} \, cm^{-3}$,कारावास समय $=9.0 \times 10^{-1} \, s$
$(C)$ ड्यूटेरॉन घनत्व $=4.0 \times 10^{23} \, cm^{-3}$,कारावास समय $=1.0 \times 10^{-11} \, s$
$(D)$ ड्यूटेरॉन घनत्व $=1.0 \times 10^{24} \, cm^{-3}$,कारावास समय $=4.0 \times 10^{-12} \, s$
प्रश्न $1, 2,$ और $3$ का उत्तर दें।
A
$(A, A, B)$
B
$(D, C, B)$
C
$(D, A, B)$
D
$(C, A, C)$
Solution
(C) हल:
$1.$ बहुत उच्च तापमान पर,परमाणुओं से उनके इलेक्ट्रॉन अलग हो जाते हैं,जिससे पदार्थ की एक अवस्था बनती है जिसे प्लाज्मा कहते हैं। अतः,सही उत्तर $(D)$ है।
$2.$ दो ड्यूटेरॉन की कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $= 1.5 kT + 1.5 kT = 3 kT$। निकटतम दृष्टिकोण के बिंदु पर $(r = 4 \times 10^{-15} \, m)$,गतिज ऊर्जा इलेक्ट्रोस्टैटिक स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r}$।
ऊर्जा की तुलना करने पर: $3 kT = \frac{1.44 \times 10^9 \, eV \cdot m}{4 \times 10^{-15} \, m} = 0.36 \times 10^{24} \, eV = 3.6 \times 10^{23} \, eV$।
$T = \frac{3.6 \times 10^{23}}{3 \times 8.6 \times 10^{-5}} \approx 1.4 \times 10^9 \, K$। यह $1.0 \times 10^9 \, K$ के सबसे करीब है। अतः,$(A)$ सही है।
$3.$ लॉसन मानदंड: $n t_0 > 5 \times 10^{14} \, s/cm^3$।
$(A) n t_0 = 2 \times 10^{12} \times 5 \times 10^{-3} = 10^{10} < 5 \times 10^{14}$।
$(B) n t_0 = 8 \times 10^{14} \times 0.9 = 7.2 \times 10^{14} > 5 \times 10^{14}$।
$(C) n t_0 = 4 \times 10^{23} \times 10^{-11} = 4 \times 10^{12} < 5 \times 10^{14}$।
$(D) n t_0 = 10^{24} \times 4 \times 10^{-12} = 4 \times 10^{12} < 5 \times 10^{14}$।
केवल $(B)$ मानदंड को पूरा करता है। अतः,$(B)$ सही है।
$1.$ बहुत उच्च तापमान पर,परमाणुओं से उनके इलेक्ट्रॉन अलग हो जाते हैं,जिससे पदार्थ की एक अवस्था बनती है जिसे प्लाज्मा कहते हैं। अतः,सही उत्तर $(D)$ है।
$2.$ दो ड्यूटेरॉन की कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $= 1.5 kT + 1.5 kT = 3 kT$। निकटतम दृष्टिकोण के बिंदु पर $(r = 4 \times 10^{-15} \, m)$,गतिज ऊर्जा इलेक्ट्रोस्टैटिक स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r}$।
ऊर्जा की तुलना करने पर: $3 kT = \frac{1.44 \times 10^9 \, eV \cdot m}{4 \times 10^{-15} \, m} = 0.36 \times 10^{24} \, eV = 3.6 \times 10^{23} \, eV$।
$T = \frac{3.6 \times 10^{23}}{3 \times 8.6 \times 10^{-5}} \approx 1.4 \times 10^9 \, K$। यह $1.0 \times 10^9 \, K$ के सबसे करीब है। अतः,$(A)$ सही है।
$3.$ लॉसन मानदंड: $n t_0 > 5 \times 10^{14} \, s/cm^3$।
$(A) n t_0 = 2 \times 10^{12} \times 5 \times 10^{-3} = 10^{10} < 5 \times 10^{14}$।
$(B) n t_0 = 8 \times 10^{14} \times 0.9 = 7.2 \times 10^{14} > 5 \times 10^{14}$।
$(C) n t_0 = 4 \times 10^{23} \times 10^{-11} = 4 \times 10^{12} < 5 \times 10^{14}$।
$(D) n t_0 = 10^{24} \times 4 \times 10^{-12} = 4 \times 10^{12} < 5 \times 10^{14}$।
केवल $(B)$ मानदंड को पूरा करता है। अतः,$(B)$ सही है।
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27
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
जब कोई कण $x$-अक्ष पर $x=0$ और $x=a$ के बीच गति करने के लिए प्रतिबंधित होता है,जहाँ $a$ नैनोमीटर आयाम का है,तो उसकी ऊर्जा केवल कुछ विशिष्ट मान ही ले सकती है। ऐसे प्रतिबंधित क्षेत्र में गति करने वाले कण की अनुमत ऊर्जाएँ इसके सिरों $x=0$ और $x=a$ पर नोड्स (nodes) वाले स्थिर तरंगों के निर्माण के अनुरूप होती हैं। इस स्थिर तरंग की तरंगदैर्ध्य डी-ब्रोग्ली संबंध के अनुसार कण के रैखिक संवेग $p$ से संबंधित है। $m$ द्रव्यमान वाले कण की ऊर्जा उसके रैखिक संवेग से $E = \frac{p^2}{2m}$ के रूप में संबंधित है। इस प्रकार,कण की ऊर्जा को एक क्वांटम संख्या $n$ द्वारा दर्शाया जा सकता है जो $1, 2, 3, \ldots$ मान लेती है ($n=1$,जिसे ग्राउंड स्टेट कहा जाता है) जो स्थिर तरंग में लूप्स की संख्या के अनुरूप है।
ऊपर वर्णित मॉडल का उपयोग करके $x=0$ से $x=a$ रेखा में गति करने वाले कण के लिए निम्नलिखित तीन प्रश्नों के उत्तर दें। $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ लें।
$1.$ $n$ के किसी विशेष मान के लिए कण की अनुमत ऊर्जा किसके समानुपाती है?
$(A) \ a^{-2} \ (B) \ a^{-3/2} \ (C) \ a^{-1} \ (D) \ a^2$
$2.$ यदि कण का द्रव्यमान $m = 1.0 \times 10^{-30} \ kg$ और $a = 6.6 \ \text{nm}$ है,तो ग्राउंड स्टेट में कण की ऊर्जा किसके सबसे करीब है?
$(A) \ 0.8 \ \text{meV} \ (B) \ 8 \ \text{meV} \ (C) \ 80 \ \text{meV} \ (D) \ 800 \ \text{meV}$
$3.$ कण की गति,जो अलग-अलग मान ले सकती है,किसके समानुपाती है?
$(A) \ n^{-3/2} \ (B) \ n^{-1} \ (C) \ n^{1/2} \ (D) \ n$
ऊपर वर्णित मॉडल का उपयोग करके $x=0$ से $x=a$ रेखा में गति करने वाले कण के लिए निम्नलिखित तीन प्रश्नों के उत्तर दें। $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ लें।
$1.$ $n$ के किसी विशेष मान के लिए कण की अनुमत ऊर्जा किसके समानुपाती है?
$(A) \ a^{-2} \ (B) \ a^{-3/2} \ (C) \ a^{-1} \ (D) \ a^2$
$2.$ यदि कण का द्रव्यमान $m = 1.0 \times 10^{-30} \ kg$ और $a = 6.6 \ \text{nm}$ है,तो ग्राउंड स्टेट में कण की ऊर्जा किसके सबसे करीब है?
$(A) \ 0.8 \ \text{meV} \ (B) \ 8 \ \text{meV} \ (C) \ 80 \ \text{meV} \ (D) \ 800 \ \text{meV}$
$3.$ कण की गति,जो अलग-अलग मान ले सकती है,किसके समानुपाती है?
$(A) \ n^{-3/2} \ (B) \ n^{-1} \ (C) \ n^{1/2} \ (D) \ n$
A
$(D, B, C)$
B
$(A, B, D)$
C
$(B, B, D)$
D
$(A, D, C)$
Solution
(B) $1.$ $x=0$ और $x=a$ पर नोड्स वाली स्थिर तरंग के लिए,लंबाई $a$ आधी तरंगदैर्ध्य का पूर्णांक गुणज होनी चाहिए: $a = \frac{n\lambda}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{2a}{n}$.
डी-ब्रोग्ली संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\frac{2a}{n} = \frac{h}{p} \Rightarrow p = \frac{nh}{2a}$.
ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m} = \frac{n^2h^2}{8ma^2}$ है। इस प्रकार,$E \propto a^{-2}$। सही विकल्प $(A)$ है।
$2.$ ग्राउंड स्टेट के लिए,$n=1$। $E_1 = \frac{h^2}{8ma^2}$।
दिया गया है $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m = 1.0 \times 10^{-30} \ kg$,और $a = 6.6 \times 10^{-9} \ m$।
$E_1 = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{8 \times (1.0 \times 10^{-30}) \times (6.6 \times 10^{-9})^2} = \frac{6.6^2 \times 10^{-68}}{8 \times 10^{-30} \times 6.6^2 \times 10^{-18}} = \frac{10^{-68}}{8 \times 10^{-48}} = 0.125 \times 10^{-20} \ J$.
$\text{eV}$ में परिवर्तित करने पर: $E_1 = \frac{0.125 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 0.0078 \ \text{eV} = 7.8 \ \text{meV} \approx 8 \ \text{meV}$। सही विकल्प $(B)$ है।
$3.$ चूंकि $p = mv = \frac{nh}{2a}$,इसलिए $v = \frac{nh}{2ma}$। चूंकि $h, m, a$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v \propto n$। सही विकल्प $(D)$ है।
डी-ब्रोग्ली संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\frac{2a}{n} = \frac{h}{p} \Rightarrow p = \frac{nh}{2a}$.
ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m} = \frac{n^2h^2}{8ma^2}$ है। इस प्रकार,$E \propto a^{-2}$। सही विकल्प $(A)$ है।
$2.$ ग्राउंड स्टेट के लिए,$n=1$। $E_1 = \frac{h^2}{8ma^2}$।
दिया गया है $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m = 1.0 \times 10^{-30} \ kg$,और $a = 6.6 \times 10^{-9} \ m$।
$E_1 = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{8 \times (1.0 \times 10^{-30}) \times (6.6 \times 10^{-9})^2} = \frac{6.6^2 \times 10^{-68}}{8 \times 10^{-30} \times 6.6^2 \times 10^{-18}} = \frac{10^{-68}}{8 \times 10^{-48}} = 0.125 \times 10^{-20} \ J$.
$\text{eV}$ में परिवर्तित करने पर: $E_1 = \frac{0.125 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 0.0078 \ \text{eV} = 7.8 \ \text{meV} \approx 8 \ \text{meV}$। सही विकल्प $(B)$ है।
$3.$ चूंकि $p = mv = \frac{nh}{2a}$,इसलिए $v = \frac{nh}{2ma}$। चूंकि $h, m, a$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v \propto n$। सही विकल्प $(D)$ है।
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28
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
छह बिंदु आवेश,प्रत्येक का परिमाण $q$ है,चित्र में दिखाए अनुसार अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित हैं। प्रत्येक मामले में,एक बिंदु $M$ और $M$ से गुजरने वाली एक रेखा $PQ$ दिखाई गई है। मान लीजिए $E$ विद्युत क्षेत्र है और $V$ बिंदु $M$ पर विद्युत विभव है (अनंत पर विभव शून्य है) जब आवेश वितरण स्थिर है। अब,पूरी प्रणाली को रेखा $PQ$ के परितः एक स्थिर कोणीय वेग से घुमाया जाता है। मान लीजिए $B$ बिंदु $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र है और $\mu$ इस स्थिति में प्रणाली का चुंबकीय आघूर्ण है। प्रत्येक घूमते हुए आवेश को एक स्थिर धारा के समतुल्य मानें। कॉलम $I$ की शर्तों का कॉलम $II$ के विन्यासों के साथ मिलान करें।
| कॉलम $I$ | कॉलम $II$ |
| $(A)$ $E=0$ | $(p)$ नियमित षट्भुज के कोनों पर आवेश। $M$ केंद्र है। $PQ$ तल के लंबवत है। |
| $(B)$ $V \neq 0$ | $(q)$ $PQ$ के लंबवत रेखा पर समान अंतराल पर आवेश। $M$ मध्य-बिंदु है। |
| $(C)$ $B=0$ | $(r)$ दो समतलीय संकेंद्रित वलयों पर आवेश। $M$ सामान्य केंद्र है। $PQ$ तल के लंबवत है। |
| $(D)$ $\mu \neq 0$ | $(s)$ आयत के कोनों और मध्य-बिंदुओं पर आवेश। $M$ केंद्र है। $PQ$ लंबी भुजाओं के समानांतर है। |
| $(t)$ दो समतलीय,समान वलयों पर आवेश। $M$ केंद्रों के बीच का मध्य-बिंदु है। $PQ$ केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है। |
A
$(A) \rightarrow p, r, s; (B) \rightarrow r, s; (C) \rightarrow p, q, t; (D) \rightarrow r, s$
B
$(A) \rightarrow p, t, s; (B) \rightarrow r, p; (C) \rightarrow r, q, t; (D) \rightarrow r, q$
C
$(A) \rightarrow q, r, s; (B) \rightarrow r, p; (C) \rightarrow t, q, t; (D) \rightarrow r, t$
D
$(A) \rightarrow t, q, p; (B) \rightarrow p, q; (C) \rightarrow r, q, s; (D) \rightarrow r, s$
Solution
(A) $M$ पर $E=0$ के लिए,आवेश वितरण ऐसा होना चाहिए कि सभी आवेशों से विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग शून्य हो। यह $(p)$,$(r)$,और $(s)$ में होता है।
$M$ पर $V \neq 0$ के लिए,धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों के कारण विभव एक-दूसरे को निरस्त नहीं करना चाहिए। $(r)$ और $(s)$ में,$M$ से समान दूरी पर धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों की समरूपता के कारण विभव शून्य है। अतः,$(p)$,$(q)$,और $(t)$ के लिए $V \neq 0$ है।
$M$ पर $B=0$ के लिए,घूमते हुए आवेशों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों को एक-दूसरे को निरस्त करना चाहिए। यह सममित धारा लूप के कारण $(p)$,$(q)$,और $(t)$ में होता है।
$\mu \neq 0$ के लिए,प्रणाली का एक शुद्ध चुंबकीय आघूर्ण होना चाहिए। यह $(r)$ और $(s)$ में होता है जहाँ धारा लूप एक-दूसरे को निरस्त नहीं करते हैं।
$M$ पर $V \neq 0$ के लिए,धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों के कारण विभव एक-दूसरे को निरस्त नहीं करना चाहिए। $(r)$ और $(s)$ में,$M$ से समान दूरी पर धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों की समरूपता के कारण विभव शून्य है। अतः,$(p)$,$(q)$,और $(t)$ के लिए $V \neq 0$ है।
$M$ पर $B=0$ के लिए,घूमते हुए आवेशों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों को एक-दूसरे को निरस्त करना चाहिए। यह सममित धारा लूप के कारण $(p)$,$(q)$,और $(t)$ में होता है।
$\mu \neq 0$ के लिए,प्रणाली का एक शुद्ध चुंबकीय आघूर्ण होना चाहिए। यह $(r)$ और $(s)$ में होता है जहाँ धारा लूप एक-दूसरे को निरस्त नहीं करते हैं।
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29
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
नाभिकीय अभिक्रिया ${ }_{92}^{238} U \rightarrow{ }_{82}^{214} Pb$ में उत्सर्जित $\alpha$ और $\beta$ कणों की कुल संख्या क्या है?
A
$6$
B
$8$
C
$10$
D
$12$
Solution
(B) माना उत्सर्जित $\alpha$ कणों की संख्या $x$ है और $\beta$ कणों की संख्या $y$ है।
नाभिकीय अभिक्रिया इस प्रकार है: ${ }_{92}^{238} U \rightarrow{ }_{82}^{214} Pb + x { }_{2}^{4} He + y { }_{-1}^{0} e$.
दोनों पक्षों में द्रव्यमान संख्या को बराबर करने पर:
$238 = 214 + 4x$
$4x = 238 - 214 = 24$
$x = 6$.
दोनों पक्षों में परमाणु क्रमांक को बराबर करने पर:
$92 = 82 + 2x - y$
$92 = 82 + 2(6) - y$
$92 = 82 + 12 - y$
$92 = 94 - y$
$y = 94 - 92 = 2$.
उत्सर्जित कणों की कुल संख्या $x + y = 6 + 2 = 8$ है।
नाभिकीय अभिक्रिया इस प्रकार है: ${ }_{92}^{238} U \rightarrow{ }_{82}^{214} Pb + x { }_{2}^{4} He + y { }_{-1}^{0} e$.
दोनों पक्षों में द्रव्यमान संख्या को बराबर करने पर:
$238 = 214 + 4x$
$4x = 238 - 214 = 24$
$x = 6$.
दोनों पक्षों में परमाणु क्रमांक को बराबर करने पर:
$92 = 82 + 2x - y$
$92 = 82 + 2(6) - y$
$92 = 82 + 12 - y$
$92 = 94 - y$
$y = 94 - 92 = 2$.
उत्सर्जित कणों की कुल संख्या $x + y = 6 + 2 = 8$ है।
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30
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
प्रकाशवैद्युत प्रभाव के प्रयोग तीन अलग-अलग धातु प्लेटों $p, q$ और $r$ का उपयोग करके किए जाते हैं,जिनके कार्य फलन (work functions) क्रमशः $\phi_p=2.0 \ eV, \phi_q=2.5 \ eV$ और $\phi_r=3.0 \ eV$ हैं। समान तीव्रता वाली $550 \ nm, 450 \ nm$ और $350 \ nm$ तरंग दैर्ध्य वाले प्रकाश पुंज से प्रत्येक प्लेट को प्रकाशित किया जाता है। इस प्रयोग के लिए सही $I-V$ ग्राफ कौन सा है?
A
B
C
D
Solution
(A) दिए गए कार्य फलन $\phi_p=2.0 \ eV, \phi_q=2.5 \ eV$ और $\phi_r=3.0 \ eV$ हैं।
$\lambda_0 = \frac{hc}{\phi}$ संबंध का उपयोग करके,जहाँ $hc = 1240 \ eV \ nm$ है,हम देहली तरंग दैर्ध्य (threshold wavelength) की गणना करते हैं:
$\lambda_p = \frac{1240}{2.0} = 620 \ nm$
$\lambda_q = \frac{1240}{2.5} = 496 \ nm$
$\lambda_r = \frac{1240}{3.0} \approx 413.3 \ nm$
आपतित प्रकाश में समान तीव्रता वाली $\lambda_1 = 550 \ nm, \lambda_2 = 450 \ nm, \lambda_3 = 350 \ nm$ तरंग दैर्ध्य हैं।
प्रकाशवैद्युत उत्सर्जन के लिए,हमारे पास $\lambda \le \lambda_0$ होना चाहिए:
- प्लेट $p$ $(\lambda_p = 620 \ nm)$ के लिए: तीनों तरंग दैर्ध्य $(550, 450, 350 \ nm)$ उत्सर्जन का कारण बनती हैं। अतः,संतृप्ति धारा (saturation current) $I_p$ तीनों तरंग दैर्ध्यों की तीव्रताओं के योग के समानुपाती है।
- प्लेट $q$ $(\lambda_q = 496 \ nm)$ के लिए: केवल $\lambda_2 = 450 \ nm$ और $\lambda_3 = 350 \ nm$ उत्सर्जन का कारण बनती हैं। अतः,$I_q$ दो तरंग दैर्ध्यों की तीव्रताओं के योग के समानुपाती है।
- प्लेट $r$ $(\lambda_r = 413.3 \ nm)$ के लिए: केवल $\lambda_3 = 350 \ nm$ उत्सर्जन का कारण बनती है। अतः,$I_r$ एक तरंग दैर्ध्य की तीव्रता के समानुपाती है।
चूँकि तीव्रताएँ समान हैं,$I_p > I_q > I_r$। संतृप्ति धारा $p$ के लिए सबसे अधिक और $r$ के लिए सबसे कम है। सही ग्राफ $A$ है।
$\lambda_0 = \frac{hc}{\phi}$ संबंध का उपयोग करके,जहाँ $hc = 1240 \ eV \ nm$ है,हम देहली तरंग दैर्ध्य (threshold wavelength) की गणना करते हैं:
$\lambda_p = \frac{1240}{2.0} = 620 \ nm$
$\lambda_q = \frac{1240}{2.5} = 496 \ nm$
$\lambda_r = \frac{1240}{3.0} \approx 413.3 \ nm$
आपतित प्रकाश में समान तीव्रता वाली $\lambda_1 = 550 \ nm, \lambda_2 = 450 \ nm, \lambda_3 = 350 \ nm$ तरंग दैर्ध्य हैं।
प्रकाशवैद्युत उत्सर्जन के लिए,हमारे पास $\lambda \le \lambda_0$ होना चाहिए:
- प्लेट $p$ $(\lambda_p = 620 \ nm)$ के लिए: तीनों तरंग दैर्ध्य $(550, 450, 350 \ nm)$ उत्सर्जन का कारण बनती हैं। अतः,संतृप्ति धारा (saturation current) $I_p$ तीनों तरंग दैर्ध्यों की तीव्रताओं के योग के समानुपाती है।
- प्लेट $q$ $(\lambda_q = 496 \ nm)$ के लिए: केवल $\lambda_2 = 450 \ nm$ और $\lambda_3 = 350 \ nm$ उत्सर्जन का कारण बनती हैं। अतः,$I_q$ दो तरंग दैर्ध्यों की तीव्रताओं के योग के समानुपाती है।
- प्लेट $r$ $(\lambda_r = 413.3 \ nm)$ के लिए: केवल $\lambda_3 = 350 \ nm$ उत्सर्जन का कारण बनती है। अतः,$I_r$ एक तरंग दैर्ध्य की तीव्रता के समानुपाती है।
चूँकि तीव्रताएँ समान हैं,$I_p > I_q > I_r$। संतृप्ति धारा $p$ के लिए सबसे अधिक और $r$ के लिए सबसे कम है। सही ग्राफ $A$ है।
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31
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
दो धात्विक वलय $A$ और $B$,जो आकार और माप में समान हैं लेकिन जिनकी प्रतिरोधकता $\rho_A$ और $\rho_B$ अलग-अलग हैं,को चित्र में दिखाए अनुसार दो समान परिनालिकाओं (solenoids) के ऊपर रखा गया है। जब दोनों परिनालिकाओं में समान रूप से विद्युत धारा $I$ प्रवाहित की जाती है,तो वलय $A$ और $B$ क्रमशः $h_A$ और $h_B$ ऊंचाइयों तक उछलते हैं,जहाँ $h_A > h_B$ है। उनकी प्रतिरोधकता और उनके द्रव्यमान $m_A$ और $m_B$ के बीच संभावित संबंध है:
$(A)$ $\rho_A > \rho_B$ और $m_A = m_B$
$(B)$ $\rho_A < \rho_B$ और $m_A = m_B$
$(C)$ $\rho_A > \rho_B$ और $m_A > m_B$
$(D)$ $\rho_A < \rho_B$ और $m_A < m_B$
$(A)$ $\rho_A > \rho_B$ और $m_A = m_B$
$(B)$ $\rho_A < \rho_B$ और $m_A = m_B$
$(C)$ $\rho_A > \rho_B$ और $m_A > m_B$
$(D)$ $\rho_A < \rho_B$ और $m_A < m_B$
A
$(B, C)$
B
$(B, D)$
C
$(A, D)$
D
$(C, D)$
Solution
(B) जब परिनालिका में विद्युत धारा $I$ प्रवाहित की जाती है,तो वलय से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बदल जाता है,जिससे प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ उत्पन्न होता है।
वलय में प्रेरित धारा $i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ है,जहाँ $R = \rho \frac{L}{A_{cs}}$ वलय का प्रतिरोध है ($L$ परिधि है,$A_{cs}$ तार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है)।
वलय पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = i L B_r$ है,जहाँ $B_r$ चुंबकीय क्षेत्र का त्रिज्यीय घटक है। चूंकि $i \propto \frac{1}{\rho}$,इसलिए आवेग $J = \int F dt = \int i L B_r dt \propto \frac{1}{\rho} \int \frac{d\phi}{dt} dt = \frac{\Delta \phi}{\rho}$ है।
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,$J = m v$,इसलिए $v = \frac{J}{m} \propto \frac{1}{\rho m}$ है।
प्राप्त ऊँचाई $h = \frac{v^2}{2g} \propto \frac{1}{\rho^2 m^2}$ है।
दिया गया है कि $h_A > h_B$,इसलिए $\frac{1}{\rho_A^2 m_A^2} > \frac{1}{\rho_B^2 m_B^2}$,जिसका अर्थ है कि $\rho_A m_A < \rho_B m_B$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ यदि $\rho_A > \rho_B$ और $m_A = m_B$,तो $\rho_A m_A > \rho_B m_B$ (गलत)।
$(B)$ यदि $\rho_A < \rho_B$ और $m_A = m_B$,तो $\rho_A m_A < \rho_B m_B$ (सही)।
$(C)$ यदि $\rho_A > \rho_B$ और $m_A > m_B$,तो $\rho_A m_A > \rho_B m_B$ (गलत)।
$(D)$ यदि $\rho_A < \rho_B$ और $m_A < m_B$,तो $\rho_A m_A < \rho_B m_B$ (सही)।
अतः,संभावित संबंध $(B)$ और $(D)$ हैं।
वलय में प्रेरित धारा $i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ है,जहाँ $R = \rho \frac{L}{A_{cs}}$ वलय का प्रतिरोध है ($L$ परिधि है,$A_{cs}$ तार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है)।
वलय पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = i L B_r$ है,जहाँ $B_r$ चुंबकीय क्षेत्र का त्रिज्यीय घटक है। चूंकि $i \propto \frac{1}{\rho}$,इसलिए आवेग $J = \int F dt = \int i L B_r dt \propto \frac{1}{\rho} \int \frac{d\phi}{dt} dt = \frac{\Delta \phi}{\rho}$ है।
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,$J = m v$,इसलिए $v = \frac{J}{m} \propto \frac{1}{\rho m}$ है।
प्राप्त ऊँचाई $h = \frac{v^2}{2g} \propto \frac{1}{\rho^2 m^2}$ है।
दिया गया है कि $h_A > h_B$,इसलिए $\frac{1}{\rho_A^2 m_A^2} > \frac{1}{\rho_B^2 m_B^2}$,जिसका अर्थ है कि $\rho_A m_A < \rho_B m_B$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ यदि $\rho_A > \rho_B$ और $m_A = m_B$,तो $\rho_A m_A > \rho_B m_B$ (गलत)।
$(B)$ यदि $\rho_A < \rho_B$ और $m_A = m_B$,तो $\rho_A m_A < \rho_B m_B$ (सही)।
$(C)$ यदि $\rho_A > \rho_B$ और $m_A > m_B$,तो $\rho_A m_A > \rho_B m_B$ (गलत)।
$(D)$ यदि $\rho_A < \rho_B$ और $m_A < m_B$,तो $\rho_A m_A < \rho_B m_B$ (सही)।
अतः,संभावित संबंध $(B)$ और $(D)$ हैं।
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32
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
$+Q$ आवेश के कूलम्ब क्षेत्र के प्रभाव में,एक $-q$ आवेश इसके चारों ओर एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा में गति कर रहा है। सही कथन ज्ञात कीजिए।
A
$-q$ आवेश का कोणीय संवेग नियत है।
B
$-q$ आवेश का रेखीय संवेग नियत है।
C
$-q$ आवेश का कोणीय वेग नियत है।
D
$-q$ आवेश की रेखीय चाल नियत है।
Solution
(A) सही विकल्प $A$ है।
एक केंद्रीय बल क्षेत्र में,जैसे कि स्थिर आवेश $+Q$ द्वारा उत्पन्न कूलम्ब क्षेत्र,परिक्रमा करने वाले $-q$ आवेश पर लगने वाला बल हमेशा केंद्र (जहाँ $+Q$ स्थित है) की ओर निर्देशित होता है।
चूंकि बल एक केंद्रीय बल है,इसलिए $+Q$ के सापेक्ष $-q$ पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ शून्य होता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कुल बाहरी टॉर्क शून्य है,तो कोणीय संवेग $\vec{L}$ नियत रहता है।
इसलिए,$-q$ आवेश का कोणीय संवेग उसकी दीर्घवृत्ताकार कक्षा के दौरान नियत रहता है।
दीर्घवृत्ताकार कक्षा में रेखीय संवेग,कोणीय वेग और रेखीय चाल नियत नहीं होते हैं क्योंकि आवेशों के बीच की दूरी बदलती रहती है,जिससे चाल और दिशा में परिवर्तन होता है।
एक केंद्रीय बल क्षेत्र में,जैसे कि स्थिर आवेश $+Q$ द्वारा उत्पन्न कूलम्ब क्षेत्र,परिक्रमा करने वाले $-q$ आवेश पर लगने वाला बल हमेशा केंद्र (जहाँ $+Q$ स्थित है) की ओर निर्देशित होता है।
चूंकि बल एक केंद्रीय बल है,इसलिए $+Q$ के सापेक्ष $-q$ पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ शून्य होता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कुल बाहरी टॉर्क शून्य है,तो कोणीय संवेग $\vec{L}$ नियत रहता है।
इसलिए,$-q$ आवेश का कोणीय संवेग उसकी दीर्घवृत्ताकार कक्षा के दौरान नियत रहता है।
दीर्घवृत्ताकार कक्षा में रेखीय संवेग,कोणीय वेग और रेखीय चाल नियत नहीं होते हैं क्योंकि आवेशों के बीच की दूरी बदलती रहती है,जिससे चाल और दिशा में परिवर्तन होता है।
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33
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2009
स्तंभ $II$ में कुछ प्रणालियाँ दी गई हैं जो एक प्रक्रिया से गुजर रही हैं। स्तंभ $I$ प्रणाली से संबंधित कुछ मापदंडों में परिवर्तन का सुझाव देता है। स्तंभ $I$ के कथनों को स्तंभ $II$ की उपयुक्त प्रक्रिया(ओं) से सुमेलित करें।
| स्तंभ $I$ | स्तंभ $II$ |
| $(A)$ प्रणाली की ऊर्जा बढ़ जाती है | $(p)$ $System:$ एक संधारित्र, प्रारंभ में अनावेशित। $Process:$ इसे बैटरी से जोड़ा जाता है। |
| $(B)$ प्रणाली को यांत्रिक ऊर्जा प्रदान की जाती है, जो इसके भागों की यादृच्छिक गति की ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है | $(q)$ $System:$ एक रुद्धोष्म पिस्टन से युक्त रुद्धोष्म कंटेनर में गैस। $Process:$ पिस्टन को धक्का देकर गैस को संकुचित किया जाता है। |
| $(C)$ प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा उसकी यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है | $(r)$ $System:$ एक कठोर कंटेनर में गैस। $Process:$ आसपास के ठंडे वातावरण के कारण गैस ठंडी हो जाती है। |
| $(D)$ प्रणाली का द्रव्यमान कम हो जाता है | $(s)$ $System:$ एक भारी नाभिक, प्रारंभ में स्थिर। $Process:$ नाभिक लगभग समान द्रव्यमान के दो टुकड़ों में विखंडित हो जाता है और कुछ न्यूट्रॉन उत्सर्जित होते हैं। |
| $(t)$ $System:$ एक प्रतिरोधक तार लूप। $Process:$ लूप को उसके तल के लंबवत समय के साथ बदलते चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है। |
A
$A-p, q, t; B-q; C-s; D-s$
B
$A-p, q, t; B-q; C-s; D-s$
C
$A-p, s, t; B-r; C-s; D-t$
D
$A-p, r, s; B-q; C-q; D-p$
Solution
$(A)$ प्रणाली की ऊर्जा $(p)$ (संधारित्र को चार्ज करना), $(q)$ (रुद्धोष्म संपीड़न आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाता है), और $(t)$ (प्रेरित धारा गर्मी पैदा करती है) में बढ़ती है。
$(B)$ $(q)$ में, पिस्टन पर किया गया यांत्रिक कार्य गैस के अणुओं की यादृच्छिक गतिज ऊर्जा को बढ़ाता है。
$(C)$ $(s)$ में, द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता $E = mc^2$ का अर्थ है कि द्रव्यमान में कमी टुकड़ों की गतिज ऊर्जा (यांत्रिक ऊर्जा) में परिवर्तित हो जाती है。
$(D)$ $(s)$ में, परमाणु विखंडन के परिणामस्वरूप द्रव्यमान दोष होता है, जिसका अर्थ है कि प्रणाली का द्रव्यमान कम हो जाता है。
अतः, सही मिलान है: $A-(p, q, t), B-q, C-s, D-s$.
$(B)$ $(q)$ में, पिस्टन पर किया गया यांत्रिक कार्य गैस के अणुओं की यादृच्छिक गतिज ऊर्जा को बढ़ाता है。
$(C)$ $(s)$ में, द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता $E = mc^2$ का अर्थ है कि द्रव्यमान में कमी टुकड़ों की गतिज ऊर्जा (यांत्रिक ऊर्जा) में परिवर्तित हो जाती है。
$(D)$ $(s)$ में, परमाणु विखंडन के परिणामस्वरूप द्रव्यमान दोष होता है, जिसका अर्थ है कि प्रणाली का द्रव्यमान कम हो जाता है。
अतः, सही मिलान है: $A-(p, q, t), B-q, C-s, D-s$.
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34
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2009
स्तंभ $I$ में यंग के डबल स्लिट प्रयोग की चार स्थितियाँ दिखाई गई हैं,जिसमें पर्दा स्लिट $S_1$ और $S_2$ से दूर रखा गया है। प्रत्येक स्थिति में $S_1 P_0 = S_2 P_0$,$S_1 P_1 - S_2 P_1 = \lambda / 4$ और $S_1 P_2 - S_2 P_2 = \lambda / 3$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है। स्थितियों $B, C$ और $D$ में,स्लिट $S_2$ पर $\mu$ अपवर्तनांक और $t$ मोटाई की एक पारदर्शी शीट चिपकाई गई है। अलग-अलग स्थितियों में शीट की मोटाई अलग-अलग है। पर्दे पर बिंदु $P$ पर पहुँचने वाली प्रकाश तरंगों के बीच कलांतर $\delta(P)$ है और तीव्रता $I(P)$ है। स्तंभ $I$ में दी गई प्रत्येक स्थिति का स्तंभ $II$ में दिए गए कथन(नों) से मिलान करें।
| स्तंभ $I$ | स्तंभ $II$ |
| $(A)$ कोई शीट नहीं | $(p)$ $\delta(P_0) = 0$ |
| $(B)$ $(\mu-1)t = \lambda / 4$ | $(q)$ $\delta(P_1) = 0$ |
| $(C)$ $(\mu-1)t = \lambda / 2$ | $(r)$ $I(P_1) = 0$ |
| $(D)$ $(\mu-1)t = 3\lambda / 4$ | $(s)$ $I(P_0) > I(P_1)$ |
| $(t)$ $I(P_2) > I(P_1)$ |
A
$A-p, q; B-q; C-r; D-r, q, t$
B
$A-p, s; B-q; C-t; D-r, s, t$
C
$A-p, t; B-s; C-p; D-r, s, q$
D
$A-q, s; B-p; C-s; D-r, q, s$
Solution
(A) किसी भी बिंदु $P$ पर पथ अंतर $\Delta x = (S_1 P - S_2 P) - (\mu-1)t$ द्वारा दिया जाता है। कलांतर $\delta = (2\pi / \lambda) \Delta x$ है।
स्थिति $(A)$ के लिए: $(\mu-1)t = 0$. $\delta(P_0) = (2\pi / \lambda)(0 - 0) = 0$ $(p)$. $\delta(P_1) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 4) = \pi / 2$ (q गलत है)।
स्थिति $(B)$ के लिए: $(\mu-1)t = \lambda / 4$. $\delta(P_1) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 4 - \lambda / 4) = 0$ $(q)$. $I(P_1) = I_{max} \cos^2(0) = I_{max}$.
स्थिति $(C)$ के लिए: $(\mu-1)t = \lambda / 2$. $\delta(P_1) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 4 - \lambda / 2) = -\pi / 2$. $I(P_1) = I_{max} \cos^2(-\pi / 4) = I_{max} / 2$. $\delta(P_2) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 3 - \lambda / 2) = -\pi / 3$. $I(P_2) = I_{max} \cos^2(-\pi / 6) = 3I_{max} / 4$. अतः $I(P_2) > I(P_1)$ $(t)$।
स्थिति $(D)$ के लिए: $(\mu-1)t = 3\lambda / 4$. $\delta(P_1) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 4 - 3\lambda / 4) = -\pi$. $I(P_1) = I_{max} \cos^2(-\pi / 2) = 0$ $(r)$।
स्थिति $(A)$ के लिए: $(\mu-1)t = 0$. $\delta(P_0) = (2\pi / \lambda)(0 - 0) = 0$ $(p)$. $\delta(P_1) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 4) = \pi / 2$ (q गलत है)।
स्थिति $(B)$ के लिए: $(\mu-1)t = \lambda / 4$. $\delta(P_1) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 4 - \lambda / 4) = 0$ $(q)$. $I(P_1) = I_{max} \cos^2(0) = I_{max}$.
स्थिति $(C)$ के लिए: $(\mu-1)t = \lambda / 2$. $\delta(P_1) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 4 - \lambda / 2) = -\pi / 2$. $I(P_1) = I_{max} \cos^2(-\pi / 4) = I_{max} / 2$. $\delta(P_2) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 3 - \lambda / 2) = -\pi / 3$. $I(P_2) = I_{max} \cos^2(-\pi / 6) = 3I_{max} / 4$. अतः $I(P_2) > I(P_1)$ $(t)$।
स्थिति $(D)$ के लिए: $(\mu-1)t = 3\lambda / 4$. $\delta(P_1) = (2\pi / \lambda)(\lambda / 4 - 3\lambda / 4) = -\pi$. $I(P_1) = I_{max} \cos^2(-\pi / 2) = 0$ $(r)$।
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35
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
एक स्थिर धारा $I$ एक तार लूप $PQR$ से होकर बहती है जो एक समकोण त्रिभुज के आकार का है, जिसमें $PQ = 3x$, $PR = 4x$ और $QR = 5x$ है। यदि इस लूप के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $k \left( \frac{\mu_0 I}{48 \pi x} \right)$ है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$7$
Solution
(D) खंड $PQ$ और $PR$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है क्योंकि बिंदु $P$ इन चालकों की रेखा पर स्थित है।
$P$ पर चुंबकीय क्षेत्र केवल खंड $QR$ के कारण है।
मान लीजिए $PD$, $P$ से $QR$ भुजा पर लंबवत दूरी है। त्रिभुज के क्षेत्रफल का उपयोग करते हुए:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times PQ \times PR = \frac{1}{2} \times QR \times PD$
$\frac{1}{2} \times 3x \times 4x = \frac{1}{2} \times 5x \times PD$
$12x^2 = 5x \times PD \implies PD = \frac{12x}{5}$.
$d$ लंबवत दूरी पर एक सीमित तार खंड के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$\triangle PQR$ में, $\sin \phi_1 = \frac{PQ}{QR} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$ और $\sin \phi_2 = \frac{PR}{QR} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (12x/5)} \left( \frac{3}{5} + \frac{4}{5} \right)$
$B = \frac{5 \mu_0 I}{48 \pi x} \left( \frac{7}{5} \right)$
$B = \frac{7 \mu_0 I}{48 \pi x}$.
इसे $k \left( \frac{\mu_0 I}{48 \pi x} \right)$ के साथ तुलना करने पर, हमें $k = 7$ प्राप्त होता है।
$P$ पर चुंबकीय क्षेत्र केवल खंड $QR$ के कारण है।
मान लीजिए $PD$, $P$ से $QR$ भुजा पर लंबवत दूरी है। त्रिभुज के क्षेत्रफल का उपयोग करते हुए:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times PQ \times PR = \frac{1}{2} \times QR \times PD$
$\frac{1}{2} \times 3x \times 4x = \frac{1}{2} \times 5x \times PD$
$12x^2 = 5x \times PD \implies PD = \frac{12x}{5}$.
$d$ लंबवत दूरी पर एक सीमित तार खंड के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$\triangle PQR$ में, $\sin \phi_1 = \frac{PQ}{QR} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$ और $\sin \phi_2 = \frac{PR}{QR} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (12x/5)} \left( \frac{3}{5} + \frac{4}{5} \right)$
$B = \frac{5 \mu_0 I}{48 \pi x} \left( \frac{7}{5} \right)$
$B = \frac{7 \mu_0 I}{48 \pi x}$.
इसे $k \left( \frac{\mu_0 I}{48 \pi x} \right)$ के साथ तुलना करने पर, हमें $k = 7$ प्राप्त होता है।
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PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2009
$R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले में आवेश $Q$ इसके आयतन में आवेश घनत्व $\rho = \kappa r^a$ के साथ वितरित है,जहाँ $\kappa$ और $a$ स्थिरांक हैं और $r$ इसके केंद्र से दूरी है। यदि $r = \frac{R}{2}$ पर विद्युत क्षेत्र,$r = R$ पर विद्युत क्षेत्र का $\frac{1}{8}$ गुना है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) गॉस के नियम के अनुसार,गोलीय सममित आवेश वितरण के केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का मान $E(4\pi r^2) = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ होता है।
$r$ त्रिज्या के गोले के भीतर परिबद्ध आवेश $q(r) = \int_0^r \rho(r') 4\pi r'^2 dr' = \int_0^r \kappa r'^a 4\pi r'^2 dr' = \frac{4\pi \kappa r^{a+3}}{a+3}$ है।
अतः,विद्युत क्षेत्र $E(r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 r^2} \cdot \frac{4\pi \kappa r^{a+3}}{a+3} = \frac{\kappa r^{a+1}}{\epsilon_0(a+3)}$ होगा।
दिया गया है कि $E(r = R/2) = \frac{1}{8} E(r = R)$,इसलिए:
$\frac{\kappa (R/2)^{a+1}}{\epsilon_0(a+3)} = \frac{1}{8} \cdot \frac{\kappa R^{a+1}}{\epsilon_0(a+3)}$.
इसे सरल करने पर,$(1/2)^{a+1} = 1/8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1/8 = (1/2)^3$,इसलिए $a+1 = 3$,जिसका अर्थ है $a = 2$।
$r$ त्रिज्या के गोले के भीतर परिबद्ध आवेश $q(r) = \int_0^r \rho(r') 4\pi r'^2 dr' = \int_0^r \kappa r'^a 4\pi r'^2 dr' = \frac{4\pi \kappa r^{a+3}}{a+3}$ है।
अतः,विद्युत क्षेत्र $E(r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 r^2} \cdot \frac{4\pi \kappa r^{a+3}}{a+3} = \frac{\kappa r^{a+1}}{\epsilon_0(a+3)}$ होगा।
दिया गया है कि $E(r = R/2) = \frac{1}{8} E(r = R)$,इसलिए:
$\frac{\kappa (R/2)^{a+1}}{\epsilon_0(a+3)} = \frac{1}{8} \cdot \frac{\kappa R^{a+1}}{\epsilon_0(a+3)}$.
इसे सरल करने पर,$(1/2)^{a+1} = 1/8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1/8 = (1/2)^3$,इसलिए $a+1 = 3$,जिसका अर्थ है $a = 2$।
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