स्तंभ I में दिए गए कथनों/व्यंजकों को स्तंभ II | vedclass

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Question

(A) अवकल समीकरण $(x-3)^2 \frac{dy}{dx} + y = 0$ है। चरों को पृथक करने पर,$\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{dx}{(x-3)^2}$ प्राप्त होता है। समाकलन करने प

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$(A) \rightarrow p, q, s; (B) \rightarrow q, t; (C) \rightarrow p, q, r, t; (D) \rightarrow s$

Vedclass · Answer

(A) अवकल समीकरण $(x-3)^2 \frac{dy}{dx} + y = 0$ है। चरों को पृथक करने पर,$\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{dx}{(x-3)^2}$ प्राप्त होता है। समाकलन करने पर,$\ln|y| = \frac{1}{x-3} + C$। हल $x 
eq 3$ के लिए परिभाषित है। अतः,अंतराल $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,$(0, \frac{\pi}{2})$,और $(0, \frac{\pi}{8})$ प्रांत $R - \{3\}$ में निहित हैं।$(B)$ माना $I = \int_1^5 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$। $x-3 = t$ रखने पर,$dx = dt$। सीमाएँ $x=1, 5$ से बदलकर $t=-2, 2$ हो जाती हैं। $I = \int_{-2}^2 (t+2)(t+1)t(t-1)(t-2) dt = \int_{-2}^2 t(t^2-1)(t^2-4) dt$। चूंकि समाकल्य एक विषम फलन है,अतः $I = 0$। मान $0$,$(0, \frac{\pi}{2})$ और $(-\pi, \pi)$ में निहित है।$(C)$ माना $f(x) = \cos^2 x + \sin x = 1 - \sin^2 x + \sin x = \frac{5}{4} - (\sin x - \frac{1}{2})^2$। उच्चतम मान तब प्राप्त होता है जब $\sin x = \frac{1}{2}$,अर्थात $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$। ये बिंदु $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,$(0, \frac{\pi}{2})$,$(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$,और $(-\pi, \pi)$ में स्थित हैं।$(D)$ माना $g(x) = 	an^{-1}(\sin x + \cos x)$। $g'(x) = \frac{\cos x - \sin x}{1 + (\sin x + \cos x)^2}$। $g(x)$ वर्धमान है जब $\cos x - \sin x > 0$,अर्थात $\cos x > \sin x$,जो $x \in (0, \frac{\pi}{4})$ के लिए सत्य है। यह अंतराल $(0, \frac{\pi}{8})$ में निहित है।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अवकल समीकरण $(x-3)^2 y^{\prime}+y=0$ के शून्येतर हलों के प्रांत में निहित अंतराल	$(p)$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$(B)$ समाकलन $\int_1^5(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$ का मान रखने वाला अंतराल	$(q)$ $(0, \frac{\pi}{2})$
$(C)$ अंतराल जिसमें $\cos^2 x+\sin x$ के स्थानीय उच्चतम बिंदुओं में से कम से कम एक बिंदु स्थित है	$(r)$ $(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$
$(D)$ अंतराल जिसमें $\tan^{-1}(\sin x+\cos x)$ वर्धमान है	$(s)$ $(0, \frac{\pi}{8})$
	$(t)$ $(-\pi, \pi)$

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