स्तंभ I में दिए गए कथनों/व्यंजकों को स्तंभ II | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $f(x) = x e^{\sin x} - \cos x$ है। तब $f'(x) = e^{\sin x} + x e^{\sin x} \cos x + \sin x > 0$ सभी $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए।चूंक

Vedclass · Accepted Answer

$A-p, B-q, s, C-q, r, s, t, D-r$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $f(x) = x e^{\sin x} - \cos x$ है। तब $f'(x) = e^{\sin x} + x e^{\sin x} \cos x + \sin x > 0$ सभी $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए।चूंकि $f(0) = -1  0$ है,इसलिए ठीक $1$ हल है।$(B)$ समतल एक रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं यदि गुणांकों का सारणिक $0$ हो और वे समांतर न हों। सारणिक $k(k-4) - 4(4-4) + 1(8-2k) = k^2 - 6k + 8 = 0$ है,जिससे $k=2, 4$ प्राप्त होता है। $k=2$ के लिए,समतल $2x+4y+z=0, 4x+2y+2z=0, 2x+2y+z=0$ हैं। पहला और तीसरा समतल समांतर नहीं हैं,इसलिए वे एक रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं।$(C)$ मान लीजिए $f(x) = |x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|$ है। $f(x)$ का न्यूनतम मान $6$ है (जब $x \in [-1, 1]$)। $f(x) = 4k$ के पूर्णांक हलों के लिए,$4k \ge 6$,इसलिए $k \ge 1.5$। $k=2, 3, 4, 5$ के लिए,$4k$ का मान $8, 12, 16, 20$ है,जो सभी पूर्णांक हलों की अनुमति देते हैं।$(D)$ $\frac{dy}{y+1} = dx \implies \ln|y+1| = x + C$। चूंकि $y(0)=1$ है,इसलिए $\ln 2 = C$। अतः $y+1 = 2e^x$,जिससे $y = 2e^x - 1$ प्राप्त होता है। अतः $y(\ln 2) = 2(2) - 1 = 3$।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में समीकरण $x e^{\sin x}-\cos x=0$ के हलों की संख्या	$(p)$ $1$
$(B)$ $k$ के मान जिनके लिए समतल $k x+4 y+z=0, 4 x+k y+2 z=0$ और $2 x+2 y+z=0$ एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं	$(q)$ $2$
$(C)$ $k$ के मान जिनके लिए $\|x-1\|+\|x-2\|+\|x+1\|+\|x+2\|=4 k$ के पूर्णांक हल हैं	$(r)$ $3$
$(D)$ यदि $y^{\prime}=y+1$ और $y(0)=1$ है,तो $y(\ln 2)$ का मान	$(s)$ $4$
	$(t)$ $5$

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अवकल समीकरण $(x-3)^2 y^{\prime}+y=0$ के शून्येतर हलों के प्रांत में निहित अंतराल	$(p)$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$(B)$ समाकलन $\int_1^5(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$ का मान रखने वाला अंतराल	$(q)$ $(0, \frac{\pi}{2})$
$(C)$ अंतराल जिसमें $\cos^2 x+\sin x$ के स्थानीय उच्चतम बिंदुओं में से कम से कम एक बिंदु स्थित है	$(r)$ $(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$
$(D)$ अंतराल जिसमें $\tan^{-1}(\sin x+\cos x)$ वर्धमान है	$(s)$ $(0, \frac{\pi}{8})$
	$(t)$ $(-\pi, \pi)$

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