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Question

(B) $0 < 	heta < \frac{\pi}{2}$ के लिए दिया गया समीकरण:$\sum_{m=1}^6 \operatorname{cosec}\left(	heta+\frac{(m-1) \pi}{4}ight) \operatorname{cosec}

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$(C, D)$

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(B) $0 $\sum_{m=1}^6 \operatorname{cosec}\left(	heta+\frac{(m-1) \pi}{4}ight) \operatorname{cosec}\left(	heta+\frac{m \pi}{4}ight) = 4 \sqrt{2}$सर्वसमिका $\operatorname{cosec} A \operatorname{cosec} B = \frac{\cot A - \cot B}{\sin(B-A)}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $B-A = \frac{\pi}{4}$:$\sum_{m=1}^6 \frac{\cot \left(	heta+\frac{(m-1) \pi}{4}ight) - \cot \left(	heta+\frac{m \pi}{4}ight)}{\sin(\pi/4)} = 4 \sqrt{2}$चूँकि $\sin(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:$\sqrt{2} \sum_{m=1}^6 \left[ \cot \left(	heta+\frac{(m-1) \pi}{4}ight) - \cot \left(	heta+\frac{m \pi}{4}ight) ight] = 4 \sqrt{2}$$\sum_{m=1}^6 \left[ \cot \left(	heta+\frac{(m-1) \pi}{4}ight) - \cot \left(	heta+\frac{m \pi}{4}ight) ight] = 4$यह एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है:$\cot 	heta - \cot \left(	heta + \frac{3\pi}{2}ight) = 4$$\cot 	heta + 	an 	heta = 4$$	an^2 	heta - 4 	an 	heta + 1 = 0$द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $	an 	heta = 2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।$	an 	heta = 2 - \sqrt{3} \Rightarrow 	heta = \frac{\pi}{12}$$	an 	heta = 2 + \sqrt{3} \Rightarrow 	heta = \frac{5\pi}{12}$दोनों मान $(0, \frac{\pi}{2})$ अंतराल में स्थित हैं।

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\sum_{m=1}^6 \operatorname{cosec}\left(\theta+\frac{(m-1) \pi}{4}\right) \operatorname{cosec}\left(\theta+\frac{m \pi}{4}\right) = 4 \sqrt{2}$ के हल हैं:

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