IIT JEE 1999 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना $\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है,जहाँ $\omega^3 = 1$ है।
दिया गया व्यंजक $4 + 5\omega^{334} + 3\omega^{365}$ है।
चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{334} = \omega^{333} \cdot \omega = (\omega^3)^{111} \cdot \omega = 1^{111} \cdot \omega = \omega$ है।
इसी प्रकार,$\omega^{365} = \omega^{363} \cdot \omega^2 = (\omega^3)^{121} \cdot \omega^2 = 1^{121} \cdot \omega^2 = \omega^2$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$4 + 5\omega + 3\omega^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर,$\omega^2 = -1 - \omega$ है।
इसे रखने पर:
$4 + 5\omega + 3(-1 - \omega) = 4 + 5\omega - 3 - 3\omega = 1 + 2\omega$ प्राप्त होता है।
$\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर:
$1 + 2\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - 1 + i\sqrt{3} = i\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $x_n$ वर्ग $S_n$ की भुजा की लंबाई है। दिया गया है कि $S_n$ की भुजा $S_{n+1}$ के विकर्ण के बराबर है,इसलिए $x_n = x_{n+1} \sqrt{2}$।
इसका अर्थ है $x_{n+1} = \frac{x_n}{\sqrt{2}}$।
अतः,$x_n = x_1 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$।
$S_n$ का क्षेत्रफल $A_n = x_n^2 = x_1^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{100}{2^{n-1}}$ है।
हमें $A_n < 1$ चाहिए,इसलिए $\frac{100}{2^{n-1}} < 1$,जिसका अर्थ है $2^{n-1} > 100$।
चूंकि $2^6 = 64$ और $2^7 = 128$ है,इसलिए $n-1 \ge 7$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $n \ge 8$।
अतः,$n = 8, 9, 10, \dots$ के लिए क्षेत्रफल $1 \ cm^2$ से कम है।

(B) दिया गया समीकरण $(5 + \sqrt{2})x^2 - (4 + \sqrt{5})x + 8 + 2\sqrt{5} = 0$ है।
माना मूल $x_1$ और $x_2$ हैं।
मूलों का योग: $x_1 + x_2 = \frac{4 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}$.
मूलों का गुणनफल: $x_1x_2 = \frac{8 + 2\sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}} = \frac{2(4 + \sqrt{5})}{5 + \sqrt{2}} = 2(x_1 + x_2)$.
हरात्मक माध्य $H = \frac{2x_1x_2}{x_1 + x_2}$.
सूत्र में $x_1x_2 = 2(x_1 + x_2)$ रखने पर:
$H = \frac{2 \times 2(x_1 + x_2)}{x_1 + x_2} = 4$.

(A) दिया गया समीकरण $x^2 - 2ax + a^2 + a - 3 = 0$ है।
वास्तविक मूलों के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$:
$D = (-2a)^2 - 4(1)(a^2 + a - 3) \ge 0$
$4a^2 - 4a^2 - 4a + 12 \ge 0$
$-4a + 12 \ge 0 \Rightarrow a \le 3$.
माना $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + a - 3$ है। चूंकि मूल $3$ से कम हैं,परवलय का शीर्ष $x = -b/(2a) = a$ का मान $3$ से कम होना चाहिए और $f(3) > 0$:
$1$) $a < 3$
$2$) $f(3) = 3^2 - 2a(3) + a^2 + a - 3 > 0$
$a^2 - 5a + 6 > 0$
$(a - 2)(a - 3) > 0$
इसका अर्थ है $a < 2$ या $a > 3$.
$a \le 3$,$a < 3$ और ($a < 2$ या $a > 3$) को संयोजित करने पर,हमें $a < 2$ प्राप्त होता है।

(C) विस्तार $(1 + x)^m(1 - x)^n = (1 + mx + \frac{m(m - 1)}{2}x^2 + \dots)(1 - nx + \frac{n(n - 1)}{2}x^2 - \dots)$ द्वारा दिया गया है।
पदों का गुणा करने पर,हमें $1 + (m - n)x + [\frac{n(n - 1)}{2} - mn + \frac{m(m - 1)}{2}]x^2 + \dots$ प्राप्त होता है।
$x$ का गुणांक $3$ दिया गया है,इसलिए $m - n = 3$,अर्थात $n = m - 3$ है।
$x^2$ का गुणांक $-6$ दिया गया है,इसलिए $\frac{n^2 - n}{2} - mn + \frac{m^2 - m}{2} = -6$ है।
समीकरण में $n = m - 3$ रखने पर:
$\frac{(m - 3)(m - 4)}{2} - m(m - 3) + \frac{m^2 - m}{2} = -6$।
$2$ से गुणा करने पर: $(m^2 - 7m + 12) - 2(m^2 - 3m) + (m^2 - m) = -12$।
$m^2 - 7m + 12 - 2m^2 + 6m + m^2 - m = -12$।
$-2m + 12 = -12$।
$-2m = -24$,जिससे $m = 12$ प्राप्त होता है।

(D) हम योग $a(n) = \sum_{k=1}^{2^n-1} \frac{1}{k}$ का विश्लेषण करते हैं।
पदों को समूहित करके,हम देख सकते हैं कि $a(n) = 1 + (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{2^{n-1}} + \dots + \frac{1}{2^n-1})$।
$\frac{1}{2^{m-1}} + \dots + \frac{1}{2^m-1}$ के रूप का प्रत्येक समूह $\frac{1}{2}$ से बड़ा है।
चूंकि ऐसे $n$ समूह हैं,इसलिए $a(n) > \frac{n}{2}$।
$n=200$ के लिए,$a(200) > \frac{200}{2} = 100$।
साथ ही,यह एक ज्ञात गुण है कि इन योगों के लिए $a(n) \le n$ होता है।
अतः,$a(100) \le 100$ और $a(200) > 100$ दोनों सत्य हैं।

(A) $\triangle PQR$ में,$\angle R = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $P + Q = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{P}{2} + \frac{Q}{2} = \frac{\pi}{4}$।
दिया गया है कि $\tan(\frac{P}{2})$ और $\tan(\frac{Q}{2})$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं,इसलिए:
मूलों का योग: $\tan(\frac{P}{2}) + \tan(\frac{Q}{2}) = -\frac{b}{a}$
मूलों का गुणनफल: $\tan(\frac{P}{2}) \tan(\frac{Q}{2}) = \frac{c}{a}$
सर्वसमिका $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$
$\frac{\tan(\frac{P}{2}) + \tan(\frac{Q}{2})}{1 - \tan(\frac{P}{2}) \tan(\frac{Q}{2})} = 1$
मूलों का योग और गुणनफल रखने पर:
$\frac{-b/a}{1 - c/a} = 1$
$\frac{-b/a}{(a-c)/a} = 1$
$-b = a - c$
$c = a + b$.

(D) मान लीजिए मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा $L_1$ का समीकरण $y = mx$ है।
वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 - x + 3y = 0$ में $y = mx$ रखने पर:
$x^2 + m^2x^2 - x + 3mx = 0$
$x[x(1 + m^2) - (1 - 3m)] = 0$
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(\frac{1 - 3m}{1 + m^2}, \frac{m(1 - 3m)}{1 + m^2})$ हैं।
अंतःखंड की लंबाई $I_1 = \frac{|1 - 3m|}{\sqrt{1 + m^2}}$ है।
रेखा $L_2: x + y = 1$ के लिए,$y = 1 - x$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$2x^2 - 6x + 4 = 0 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$.
हल $x = 1, 2$ हैं,जिससे $y = 0, -1$ प्राप्त होता है।
अंतःखंड की लंबाई $I_2 = \sqrt{(1 - 2)^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{2}$ है।
$I_1^2 = I_2^2$ रखने पर: $\frac{(1 - 3m)^2}{1 + m^2} = 2$.
$7m^2 - 6m - 1 = 0 \Rightarrow (7m + 1)(m - 1) = 0$.
अतः $m = 1$ या $m = -1/7$.
इस प्रकार,रेखाएँ $x - y = 0$ और $x + 7y = 0$ हैं।

(D) वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} - px - qy = 0$ है।
माना जीवा का मध्यबिंदु $x$-अक्ष पर $(h, 0)$ है।
मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ है,जहाँ $T = xx_1 + yy_1 - \frac{p}{2}(x + x_1) - \frac{q}{2}(y + y_1)$ और $S_1 = x_1^2 + y_1^2 - px_1 - qy_1$ है।
$(x_1, y_1) = (h, 0)$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$xh - \frac{p}{2}(x + h) - \frac{q}{2}y = h^2 - ph$.
चूँकि जीवा $(p, q)$ से होकर गुजरती है,$x = p$ और $y = q$ रखने पर:
$ph - \frac{p}{2}(p + h) - \frac{q^2}{2} = h^2 - ph$.
$2$ से गुणा करने पर:
$2ph - p^2 - ph - q^2 = 2h^2 - 2ph$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2h^2 - 3ph + p^2 + q^2 = 0$.
दो भिन्न जीवाओं के अस्तित्व के लिए,$h$ में द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होने चाहिए।
अतः,विविक्तकर $D > 0$:
$D = (-3p)^2 - 4(2)(p^2 + q^2) > 0$.
$9p^2 - 8p^2 - 8q^2 > 0$.
$p^2 - 8q^2 > 0$.
अतः,$p^2 > 8q^2$.

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 1$ है,जिसे $\frac{x^2}{1/4} + \frac{y^2}{1/9} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $8x = 9y$ की ढाल $m = \frac{8}{9}$ है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है। $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $4xx_1 + 9yy_1 = 1$ है।
इस स्पर्श रेखा की ढाल $-\frac{4x_1}{9y_1}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के समांतर है,इसलिए $-\frac{4x_1}{9y_1} = \frac{8}{9}$,जो सरल होकर $x_1 = -2y_1$ देता है।
$x_1 = -2y_1$ को दीर्घवृत्त के समीकरण $4x_1^2 + 9y_1^2 = 1$ में रखने पर:
$4(-2y_1)^2 + 9y_1^2 = 1$
$16y_1^2 + 9y_1^2 = 1$
$25y_1^2 = 1 \implies y_1 = \pm \frac{1}{5}$।
यदि $y_1 = \frac{1}{5}$ है,तो $x_1 = -2(\frac{1}{5}) = -\frac{2}{5}$।
यदि $y_1 = -\frac{1}{5}$ है,तो $x_1 = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$।
अतः,बिंदु $\left( -\frac{2}{5}, \frac{1}{5} \right)$ और $\left( \frac{2}{5}, -\frac{1}{5} \right)$ हैं।

(B) बिंदु $(h, k)$ के लिए अतिपरवलय $S: x^2 - y^2 - 9 = 0$ की स्पर्श-जीवा का समीकरण $T = 0$ अर्थात $xh - yk - 9 = 0$ होता है।
इसे दी गई जीवा $x = 9$ (या $x - 9 = 0$) के साथ तुलना करने पर,हमें $h = 1$ और $k = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(h, k)$ से अतिपरवलय पर स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ है।
यहाँ,$S = x^2 - y^2 - 9$,$S_1 = (1)^2 - (0)^2 - 9 = -8$,और $T = x - 9$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $(x^2 - y^2 - 9)(-8) = (x - 9)^2$.
$-8x^2 + 8y^2 + 72 = x^2 - 18x + 81$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $9x^2 - 8y^2 - 18x + 9 = 0$।

(B) माना $M, P$ और $C$ क्रमशः गणित,भौतिकी और रसायन विज्ञान में उत्तीर्ण होने की घटनाएं हैं।
दिया गया है:
$P(M \cup P \cup C) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
$P(\text{कम से कम दो}) = P(M \cap P) + P(P \cap C) + P(M \cap C) - 2P(M \cap P \cap C) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$
$P(\text{ठीक दो}) = P(M \cap P) + P(P \cap C) + P(M \cap C) - 3P(M \cap P \cap C) = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$P(M \cap P \cap C) = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{1}{10}$
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करने पर:
$P(M \cup P \cup C) = (m + p + c) - (mp + pc + mc) + mpc = \frac{3}{4}$
'कम से कम दो' की शर्त से:
$(mp + pc + mc) - 2mpc = \frac{1}{2} \Rightarrow (mp + pc + mc) = \frac{1}{2} + 2(\frac{1}{10}) = \frac{7}{10}$
इन मानों को समावेशन-अपवर्जन समीकरण में रखने पर:
$(m + p + c) - \frac{7}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{4}$
$m + p + c = \frac{3}{4} + \frac{6}{10} = \frac{15 + 12}{20} = \frac{27}{20}$.

(A) दिया गया है कि ${x_1}, {x_2}, {x_3}$ और ${y_1}, {y_2}, {y_3}$ समान सार्व अनुपात $r$ के साथ $G$.$P$. में हैं,इसलिए:
${x_2} = r{x_1}, {x_3} = {r^2}{x_1}$
${y_2} = r{y_1}, {y_3} = {r^2}{y_1}$
यह जांचने के लिए कि क्या बिंदु संरेख हैं,हम इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(ry_1 - r^2y_1) + rx_1(r^2y_1 - y_1) + r^2x_1(y_1 - ry_1)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1y_1(r - r^2) + x_1y_1(r^3 - r) + x_1y_1(r^2 - r^3)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1y_1(r - r^2 + r^3 - r + r^2 - r^3)| = 0$
चूँकि क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित हैं।

(D) दिया गया है कि ${a_1 = h_1 = 2}$ और ${a_{10} = h_{10} = 3}$।
$A.P.$ के लिए,${a_{10} = a_1 + 9d = 3}$,इसलिए ${2 + 9d = 3}$,जिससे ${d = \frac{1}{9}}$ प्राप्त होता है।
अतः,${a_4 = a_1 + 3d = 2 + 3(\frac{1}{9}) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}}$।
$H.P.$ के लिए,इसके व्युत्क्रम पद $\frac{1}{h_n}$ एक $A.P.$ में होते हैं। मान लीजिए ${H_n = \frac{1}{h_n}}$।
तब ${H_1 = \frac{1}{2}}$ और ${H_{10} = \frac{1}{3}}$।
${H_{10} = H_1 + 9D = \frac{1}{3}}$,इसलिए ${9D = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}}$,जिससे ${D = -\frac{1}{54}}$ प्राप्त होता है।
तब ${H_7 = H_1 + 6D = \frac{1}{2} + 6(-\frac{1}{54}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{7}{18}}$।
चूंकि ${h_7 = \frac{1}{H_7}}$,इसलिए ${h_7 = \frac{18}{7}}$।
अतः,${a_4 h_7 = \frac{7}{3} \times \frac{18}{7} = 6}$।

(D) हम जानते हैं कि $1 + \sec \theta = \frac{2\cos^2(\theta/2)}{\cos \theta}$.
दिया गया है ${f_n}(\theta ) = \tan(\theta/2) \cdot (1 + \sec \theta) \cdot (1 + \sec 2\theta) \dots (1 + \sec 2^n \theta)$.
इस सर्वसमिका का उपयोग करने पर: ${f_n}(\theta ) = \tan(2^n \theta)$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$1$) ${f_2}(\pi/16) = \tan(\pi/4) = 1$.
$2$) ${f_3}(\pi/32) = \tan(\pi/4) = 1$.
$3$) ${f_4}(\pi/64) = \tan(\pi/4) = 1$.
अतः,उपरोक्त सभी सही हैं।

(C) दिया गया है $x = t^2 + t + 1$ और $y = t^2 - t + 1$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $x + y = 2t^2 + 2 = 2(t^2 + 1)$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $x - y = 2t$,जिसका अर्थ है $t = \frac{x - y}{2}$।
$t$ का मान $x + y$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + y = 2\left(\left(\frac{x - y}{2}\right)^2 + 1\right) = 2\left(\frac{(x - y)^2}{4} + 1\right) = \frac{(x - y)^2}{2} + 2$।
$2$ से गुणा करने पर: $2(x + y) = (x - y)^2 + 4$।
विस्तार करने पर: $2x + 2y = x^2 - 2xy + y^2 + 4$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 2xy + y^2 - 2x - 2y + 4 = 0$।
सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1, h = -1, b = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h^2 - ab = (-1)^2 - (1)(1) = 1 - 1 = 0$,इसलिए यह वक्र एक परवलय को दर्शाता है।

(C) हम सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \tan 2x - 2x \tan x}{(1 - \cos 2x)^2}$ का मूल्यांकन करते हैं।
सर्वसमिका $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,हर $(2 \sin^2 x)^2 = 4 \sin^4 x$ हो जाता है।
अतः,व्यंजक $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(\tan 2x - 2 \tan x)}{4 \sin^4 x}$ है।
टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर: $\tan \theta = \theta + \frac{\theta^3}{3} + \dots$ और $\sin x \approx x$.
$\tan 2x = 2x + \frac{8x^3}{3} + O(x^5)$ और $2 \tan x = 2x + \frac{2x^3}{3} + O(x^5)$.
अंश: $x[(2x + \frac{8x^3}{3}) - (2x + \frac{2x^3}{3})] = 2x^4$.
हर: $4 \sin^4 x \approx 4x^4$.
सीमा: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x^4}{4x^4} = \frac{1}{2}$.

(C) दिया गया समीकरण $\tan^{-1}\sqrt{x(x + 1)} + \sin^{-1}\sqrt{x^2 + x + 1} = \frac{\pi}{2}$ है।
$\tan^{-1}\sqrt{x(x + 1)}$ को परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $x(x + 1) \ge 0$ होना चाहिए।
$\sin^{-1}\sqrt{x^2 + x + 1}$ को परिभाषित होने के लिए,तर्क को $0 \le \sqrt{x^2 + x + 1} \le 1$ को संतुष्ट करना चाहिए,जिसका अर्थ है $0 \le x^2 + x + 1 \le 1$।
चूंकि $x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$,$x^2 + x + 1$ का न्यूनतम मान $\frac{3}{4}$ है।
इस प्रकार,शर्त $0 \le x^2 + x + 1 \le 1$ सरल होकर $\frac{3}{4} \le x^2 + x + 1 \le 1$ हो जाती है,जिसका अर्थ है $x^2 + x \le 0$।
$x(x + 1) \ge 0$ और $x(x + 1) \le 0$ को मिलाने पर,हमें $x(x + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ की जाँच करने पर: $\tan^{-1}(0) + \sin^{-1}(1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$। यह एक हल है।
$x = -1$ की जाँच करने पर: $\tan^{-1}(0) + \sin^{-1}(1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$। यह एक हल है।
अतः,कुल $2$ वास्तविक हल हैं।

(D) मान लीजिए कि $a$ और $b$ के बीच का कोण $\theta$ है। चूंकि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,$|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
$v = a \times b$,इसलिए $|v| = |a||b| \sin \theta = \sin \theta$ है।
अब,$u = a - (a \cdot b)b = a - (\cos \theta)b$ है।
$|u|^2 = u \cdot u = (a - \cos \theta \, b) \cdot (a - \cos \theta \, b) = |a|^2 + \cos^2 \theta |b|^2 - 2 \cos \theta (a \cdot b) = 1 + \cos^2 \theta - 2 \cos^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ है।
अतः,$|u| = \sin \theta$ है।
$|v|$ और $|u|$ की तुलना करने पर,हमें $|v| = |u|$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$u \cdot b = (a - \cos \theta \, b) \cdot b = a \cdot b - \cos \theta (b \cdot b) = \cos \theta - \cos \theta = 0$ है।
इसलिए,$|u| + |u \cdot b| = |u| + 0 = |u| = |v|$ है।
अतः,विकल्प $(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(B) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $a \times b$ की गणना करें:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - (-2)) - j(0 - (-2)) + k(2 - 1) = 2i - 2j + k$.
अब,$a \times b$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|a \times b| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
दिया गया है कि $|c - a| = 2\sqrt{2}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|c - a|^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$.
$|c|^2 - 2(a \cdot c) + |a|^2 = 8$.
चूंकि $a \cdot c = |c|$ और $|a|^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 9$:
$|c|^2 - 2|c| + 9 = 8 \Rightarrow |c|^2 - 2|c| + 1 = 0 \Rightarrow (|c| - 1)^2 = 0 \Rightarrow |c| = 1$.
अंत में,$|(a \times b) \times c|$ का परिमाण सूत्र $|u \times v| = |u||v|\sin\theta$ का उपयोग करके ज्ञात करें:
$|(a \times b) \times c| = |a \times b| |c| \sin 30^\circ = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(A) चूंकि $c$,$a$ और $b$ के साथ समतलीय है,हम लिख सकते हैं $c = xa + yb$,जहाँ $x$ और $y$ अदिश हैं।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर:
$c = x(2i + j + k) + y(i + 2j - k) = (2x + y)i + (x + 2y)j + (x - y)k$.
दिया गया है कि $c$,$a$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$a \cdot c = 0 \implies 2(2x + y) + 1(x + 2y) + 1(x - y) = 0$.
$4x + 2y + x + 2y + x - y = 0 \implies 6x + 3y = 0 \implies y = -2x$.
$y = -2x$ को $c$ के समीकरण में रखने पर:
$c = (2x - 2x)i + (x - 4x)j + (x + 2x)k = -3xj + 3xk = 3x(-j + k)$.
चूंकि $c$ एक इकाई सदिश है,$|c| = 1$:
$|3x| \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = 1 \implies |3x| \sqrt{2} = 1 \implies x = \pm \frac{1}{3\sqrt{2}}$.
अतः,$c = 3(\pm \frac{1}{3\sqrt{2}})(-j + k) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(-j + k)$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $\frac{1}{\sqrt{2}}(-j + k)$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = 2^{x(x - 1)}$.
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = f(x) = 2^{x(x - 1)}$.
दोनों पक्षों में $\log_2$ लेने पर,हमें $\log_2 y = x(x - 1)$ प्राप्त होता है।
यह द्विघात समीकरण $x^2 - x - \log_2 y = 0$ में बदल जाता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4\log_2 y}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f$ का प्रांत $[1, \infty)$ है,इसलिए $x \ge 1$ होना चाहिए।
यदि हम ऋण चिह्न चुनते हैं,तो $y \ge 1$ के लिए $x = \frac{1 - \sqrt{1 + 4\log_2 y}}{2} < 1$ होता है।
अतः,हमें धनात्मक चिह्न चुनना होगा: $x = \frac{1 + \sqrt{1 + 4\log_2 y}}{2}$.
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 + 4\log_2 x})$ प्राप्त होता है।

(D) फलन $f(x) = (x^2 - 1)|(x - 1)(x - 2)| + \cos(|x|)$ है।
सबसे पहले,पद $\cos(|x|)$ पर विचार करें। फलन $|x|$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,इसलिए $\cos(|x|)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
इसके बाद,पद $(x^2 - 1)|(x - 1)(x - 2)|$ पर विचार करें। व्यंजक $|(x - 1)(x - 2)|$,$(x - 1)(x - 2) = 0$ के मूलों यानी $x = 1$ और $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर,$f(x) = (x^2 - 1)|(x - 1)(x - 2)| + \cos(|x|)$ है। चूंकि $(x^2 - 1)$ में $(x - 1)$ गुणनखंड है,इसलिए गुणनफल $(x^2 - 1)|(x - 1)(x - 2)|$,$x = 1$ पर अवकलनीय हो जाता है क्योंकि बहुपद का शून्य मापांक की अ-अवकलनीयता को समाप्त कर देता है।
$x = 2$ पर,पद $(x^2 - 1)$ का मान $3 \neq 0$ है। अतः,$|(x - 1)(x - 2)|$ की $x = 2$ पर अ-अवकलनीयता बनी रहती है।
$x = 2$ के लिए जाँच करने पर:
$Lf'(2) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = -3 - \sin(2)$
$Rf'(2) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = 3 - \sin(2)$
चूंकि $Lf'(2) \neq Rf'(2)$,इसलिए फलन $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है।

(D) दिया गया है $f(x) = [x]^2 - [x^2]$.
$-1 < x < 0$ के लिए,$[x] = -1$ और $[x^2] = 0$,इसलिए $f(x) = (-1)^2 - 0 = 1$.
$x = 0$ के लिए,$f(0) = 0^2 - 0 = 0$.
$0 < x < 1$ के लिए,$[x] = 0$ और $[x^2] = 0$,इसलिए $f(x) = 0^2 - 0 = 0$.
$x = 1$ के लिए,$f(1) = 1^2 - 1 = 0$.
$1 < x < \sqrt{2}$ के लिए,$[x] = 1$ और $[x^2] = 1$,इसलिए $f(x) = 1^2 - 1 = 0$.
$x = \sqrt{2}$ के लिए,$f(\sqrt{2}) = 1^2 - 2 = -1$.
$\sqrt{2} < x < \sqrt{3}$ के लिए,$[x] = 1$ और $[x^2] = 2$,इसलिए $f(x) = 1^2 - 2 = -1$.
$x = \sqrt{3}$ के लिए,$f(\sqrt{3}) = 1^2 - 3 = -2$.
$\sqrt{3} < x < 2$ के लिए,$[x] = 1$ और $[x^2] = 3$,इसलिए $f(x) = 1^2 - 3 = -2$.
$x = 2$ के लिए,$f(2) = 2^2 - 4 = 0$.
$2 < x < \sqrt{5}$ के लिए,$[x] = 2$ और $[x^2] = 4$,इसलिए $f(x) = 2^2 - 4 = 0$.
$x = \sqrt{5}$ के लिए,$f(\sqrt{5}) = 2^2 - 5 = -1$.
पूर्णांकों $n$ पर फलन के व्यवहार का विश्लेषण करने पर,हम पाते हैं कि फलन $x = 1$ को छोड़कर सभी पूर्णांकों पर असंतत है।

(B) दिया गया है $f(x) = \int_{-1}^x {t({e^t} - 1)(t - 1){(t - 2)}^3{(t - 3)}^5} dt$.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = x({e^x} - 1)(x - 1){(x - 2)}^3{(x - 3)}^5$.
स्थानीय चरम मानों के लिए,हम $f'(x) = 0$ रखते हैं,जिससे क्रांतिक बिंदु $x = 0, 1, 2, 3$ प्राप्त होते हैं।
इन बिंदुओं के आसपास $f'(x)$ के चिह्न में परिवर्तन की जाँच करते हैं:
$1$. $x = 0$ पर: $f'(x)$ ऋणात्मक से ऋणात्मक में बदलता है (कोई चरम मान नहीं)।
$2$. $x = 1$ पर: $f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है (स्थानीय न्यूनतम)।
$3$. $x = 2$ पर: $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है (स्थानीय अधिकतम)।
$4$. $x = 3$ पर: $f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है (स्थानीय न्यूनतम)।
अतः,फलन का स्थानीय न्यूनतम मान $x = 1$ और $x = 3$ पर है। विकल्पों में $1$ उपलब्ध है,इसलिए सही उत्तर $1$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.
हम इसे $f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए $f(x) = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$f(x) = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$.
$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \right) = -\sin 4x$.
$f'(x) > 0$ रखने पर,$-\sin 4x > 0$,जिसका अर्थ है $\sin 4x < 0$.
ज्या (sine) फलन अंतराल $(\pi, 2\pi)$ में ऋणात्मक होता है।
अतः,$\pi < 4x < 2\pi$.
$4$ से भाग देने पर,$\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,अंतराल $\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{8}$ इस सीमा का एक उपसमुच्चय है,इसलिए फलन इस अंतराल में वर्धमान है।

(A) माना $I = \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{dx}{1 + \cos x}$.
सर्वसमिका $1 + \cos x = 2\cos^2(x/2)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{dx}{2\cos^2(x/2)} = \frac{1}{2} \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \sec^2(x/2) dx$.
$\sec^2(x/2)$ का समाकलन करने पर:
$I = \frac{1}{2} [2 \tan(x/2)]_{\pi /4}^{3\pi /4} = [\tan(x/2)]_{\pi /4}^{3\pi /4}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = \tan(3\pi /8) - \tan(\pi /8)$.
चूंकि $\tan(3\pi /8) = \cot(\pi /8)$:
$I = \cot(\pi /8) - \tan(\pi /8) = \frac{\cos(\pi /8)}{\sin(\pi /8)} - \frac{\sin(\pi /8)}{\cos(\pi /8)} = \frac{\cos^2(\pi /8) - \sin^2(\pi /8)}{\sin(\pi /8)\cos(\pi /8)}$.
$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ और $2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{\cos(\pi /4)}{\frac{1}{2}\sin(\pi /4)} = 2 \cot(\pi /4) = 2(1) = 2$.

(B) वक्र का समीकरण $y = x - x^2$ है।
वक्र $y = x - x^2$ और रेखा $y = mx$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $x - x^2 = mx$ को हल करने पर प्राप्त होते हैं,जो $x(1 - x - m) = 0$ देता है। अतः,$x = 0$ या $x = 1 - m$ है।
वक्र और रेखा द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_{0}^{1-m} (x - x^2 - mx) dx = \int_{0}^{1-m} ((1 - m)x - x^2) dx$
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$A = \left[ (1 - m)\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1-m}$
$A = (1 - m)\frac{(1 - m)^2}{2} - \frac{(1 - m)^3}{3} = \frac{(1 - m)^3}{2} - \frac{(1 - m)^3}{3} = \frac{(1 - m)^3}{6}$
यह दिया गया है कि क्षेत्रफल $\frac{9}{2}$ है,इसलिए:
$\frac{(1 - m)^3}{6} = \frac{9}{2}$
$(1 - m)^3 = 27$
$1 - m = 3$
$m = -2$
अतः,$m$ का सही मान $-2$ है।

(C) हम जानते हैं कि $x \in [\pi/2, 3\pi/2]$ के लिए,$\sin x$ का मान $-1$ से $1$ के बीच होता है,इसलिए $2\sin x$ का मान $-2$ से $2$ के बीच होता है।
हम समाकलन को उन बिंदुओं पर विभाजित करते हैं जहाँ $[2\sin x]$ अपना मान बदलता है:
$I = \int_{\pi/2}^{3\pi/2} [2\sin x] \, dx$
$= \int_{\pi/2}^{5\pi/6} [2\sin x] \, dx + \int_{5\pi/6}^{\pi} [2\sin x] \, dx + \int_{\pi}^{7\pi/6} [2\sin x] \, dx + \int_{7\pi/6}^{3\pi/2} [2\sin x] \, dx$
अंतराल $[\pi/2, 5\pi/6]$ में,$1 \le 2\sin x < 2$,इसलिए $[2\sin x] = 1$ है।
अंतराल $[5\pi/6, \pi]$ में,$0 \le 2\sin x < 1$,इसलिए $[2\sin x] = 0$ है।
अंतराल $[\pi, 7\pi/6]$ में,$-1 \le 2\sin x < 0$,इसलिए $[2\sin x] = -1$ है।
अंतराल $[7\pi/6, 3\pi/2]$ में,$-2 \le 2\sin x < -1$,इसलिए $[2\sin x] = -2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{\pi/2}^{5\pi/6} (1) \, dx + \int_{5\pi/6}^{\pi} (0) \, dx + \int_{\pi}^{7\pi/6} (-1) \, dx + \int_{7\pi/6}^{3\pi/2} (-2) \, dx$
$I = (5\pi/6 - \pi/2) + 0 - (7\pi/6 - \pi) - 2(3\pi/2 - 7\pi/6)$
$I = (2\pi/6) - (\pi/6) - 2(2\pi/6) = \pi/6 - 4\pi/6 = -3\pi/6 = -\pi/2$.

(D) दिया गया वक्र ${y^2} = 2c(x + \sqrt{c})$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 2c$,जिसका अर्थ है $c = y \frac{dy}{dx}.$
$c$ का मान मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
${y^2} = 2 \left( y \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}} \right).$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{y}{2(dy/dx)} - x = \sqrt{y \frac{dy}{dx}}.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left( \frac{y}{2(dy/dx)} - x \right)^2 = y \frac{dy}{dx}.$
$4(dy/dx)^2$ से गुणा करने पर:
$(y - 2x(dy/dx))^2 = 4y(dy/dx)^3.$
वर्ग का विस्तार करने पर:
${y^2} - 4xy \frac{dy}{dx} + 4{x^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 4y \left( \frac{dy}{dx} \right)^3.$
मानक रूप में व्यवस्थित करने पर:
$4y \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - 4{x^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 4xy \frac{dy}{dx} - {y^2} = 0.$
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है। उच्चतम अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $1$ और घात $3$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण ${\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} - x\frac{{dy}}{{dx}} + y = 0$ है।
इसे $y = x\frac{{dy}}{{dx}} - {\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $\frac{{dy}}{{dx}} = p$ है। तब समीकरण $y = px - {p^2}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{{dy}}{{dx}} = p + x\frac{{dp}}{{dx}} - 2p\frac{{dp}}{{dx}}$.
चूंकि $\frac{{dy}}{{dx}} = p$,इसलिए $p = p + (x - 2p)\frac{{dp}}{{dx}}$.
यह सरल होकर $(x - 2p)\frac{{dp}}{{dx}} = 0$ हो जाता है।
स्थिति $1$: $\frac{{dp}}{{dx}} = 0$,जिसका अर्थ है $p = c$ (एक स्थिरांक)।
$p = c$ को $y = px - {p^2}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें व्यापक हल $y = cx - {c^2}$ प्राप्त होता है।
यदि $c = 2$ है,तो $y = 2x - {2^2}$,अर्थात $y = 2x - 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = 2x - 4$ एक हल है।

(A) $7^k$ का अंतिम अंक $4$ की लंबाई के चक्र का पालन करता है: $7^1=7, 7^2=9, 7^3=3, 7^4=1, 7^5=7, \dots$
$7^m + 7^n$ के $5$ से विभाज्य होने के लिए,योग का अंतिम अंक $0$ या $5$ होना चाहिए।
चूंकि $7$ की घातों के अंतिम अंक ${1, 3, 7, 9}$ हैं,इसलिए अंतिम अंकों के संभावित योग हैं:
$1+1=2, 1+3=4, 1+7=8, 1+9=10$ ($5$ से विभाज्य)
$3+1=4, 3+3=6, 3+7=10$ ($5$ से विभाज्य),$3+9=12$
$7+1=8, 7+3=10$ ($5$ से विभाज्य),$7+7=14, 7+9=16$
$9+1=10$ ($5$ से विभाज्य),$9+3=12, 9+7=16, 9+9=18$
$m$ और $n$ के लिए $4$ के प्रत्येक चक्र में,$16$ जोड़े हैं। $(m, n) \pmod 4$ के वे जोड़े जिनका योग $5$ से विभाज्य है,$(1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2)$ हैं।
प्रत्येक $4 \times 4$ ब्लॉक में कुल $16$ संभावनाओं में से ऐसे $4$ जोड़े हैं।
चूंकि $100$,$4$ का गुणज है,इसलिए प्रायिकता $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ है।

(A) दिया गया सारणिक $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & x + 1 \\ 2x & x(x - 1) & (x + 1)x \\ 3x(x - 1) & x(x - 1)(x - 2) & (x + 1)x(x - 1) \end{array} \right|$ है।
सारणिक के गुणों का उपयोग करने पर,हम पाते हैं कि इसकी पंक्तियाँ रैखिक रूप से आश्रित हैं।
सारणिक का विस्तार या सरलीकरण करने पर,यह सिद्ध होता है कि $f(x) = 0$ सभी $x$ के लिए सत्य है।
अतः,$f(100) = 0$ होगा।