IIT JEE 1999 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) औसत वेग को कुल विस्थापन और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
विस्थापन प्रारंभिक बिंदु $A$ और अंतिम बिंदु $B$ के बीच की न्यूनतम दूरी है।
चूंकि कण $1.0 \, m$ त्रिज्या के अर्धवृत्त पर गति करता है,इसलिए विस्थापन अर्धवृत्त के व्यास के बराबर होता है।
विस्थापन $= 2 \times r = 2 \times 1.0 \, m = 2.0 \, m$.
लिया गया समय $1.0 \, s$ है।
अतः,औसत वेग का परिमाण $= \frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}} = \frac{2.0 \, m}{1.0 \, s} = 2.0 \, m/s$.

(D) $x = a \cos(pt)$ और $y = b \sin(pt)$ (दिया गया है)।
$\therefore \cos(pt) = x/a$ और $\sin(pt) = y/b$.
वर्ग करके जोड़ने पर:
$\cos^2(pt) + \sin^2(pt) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
अतः,कण का पथ एक दीर्घवृत्त है।
अब,समय के सापेक्ष $x$ और $y$ का अवकलन करने पर:
$v_x = \frac{dx}{dt} = -ap \sin(pt)$ और $v_y = \frac{dy}{dt} = bp \cos(pt)$.
$\vec{v} = -ap \sin(pt) \hat{i} + bp \cos(pt) \hat{j}$.
त्वरण $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -ap^2 \cos(pt) \hat{i} - bp^2 \sin(pt) \hat{j}$.
$t = \frac{\pi}{2p}$ पर:
$\vec{v} = -ap \sin(\pi/2) \hat{i} + bp \cos(\pi/2) \hat{j} = -ap \hat{i}$.
$\vec{a} = -ap^2 \cos(\pi/2) \hat{i} - bp^2 \sin(\pi/2) \hat{j} = -bp^2 \hat{j}$.
चूंकि $\vec{v} \cdot \vec{a} = (-ap \hat{i}) \cdot (-bp^2 \hat{j}) = 0$,इसलिए $t = \frac{\pi}{2p}$ पर वेग और त्वरण एक-दूसरे के लंबवत हैं।

(D) कण की स्थितिज ऊर्जा $U(x) = k(1 - e^{-x^2})$ द्वारा दी गई है।
कण पर कार्य करने वाला बल $F = -\frac{dU}{dx}$ है।
$F = -\frac{d}{dx} [k(1 - e^{-x^2})] = -k[0 - e^{-x^2} \cdot (-2x)] = -2kxe^{-x^2}$.
मूल बिंदु से छोटे विस्थापन $(x \approx 0)$ के लिए,हम टेलर विस्तार $e^{-x^2} \approx 1 - x^2 + \dots \approx 1$ का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$F \approx -2kx$.
चूंकि $F \propto -x$,प्रत्यानयन बल विस्थापन के समानुपाती है,जो सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए आवश्यक शर्त है।

(D) मान लीजिए कि गर्म करने से पहले प्रत्येक पट्टी की प्रारंभिक लंबाई $L_0$ है।
मान लीजिए कि द्विधात्विक पट्टी की कुल मोटाई $d$ है।
गर्म करने के बाद,पीतल और तांबे की पट्टियों की लंबाई इस प्रकार है:
$L_B = L_0(1 + \alpha_B \Delta T) = (R + d)\theta$
$L_C = L_0(1 + \alpha_C \Delta T) = R\theta$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{R + d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
$1 + \frac{d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
$\frac{d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T} - 1 = \frac{1 + \alpha_B \Delta T - 1 - \alpha_C \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T} = \frac{(\alpha_B - \alpha_C)\Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
चूंकि $\alpha \Delta T \ll 1$,हम $1 + \alpha_C \Delta T \approx 1$ मान सकते हैं।
अतः,$R = \frac{d}{(\alpha_B - \alpha_C)\Delta T}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$R \propto \frac{1}{\Delta T}$ और $R \propto \frac{1}{|\alpha_B - \alpha_C|}$ है।
अतः,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(B) त्वरण $a$ के साथ धनात्मक $x$-दिशा में गति कर रहे एक त्वरित संदर्भ फ्रेम में डिब्बे पर विचार करें।
इस गैर-जड़त्वीय फ्रेम में,प्रत्येक गैस अणु पर त्वरण की विपरीत दिशा में (अर्थात,ऋणात्मक $x$-दिशा में) एक छद्म बल (pseudo force) कार्य करता है।
इस छद्म बल के कारण,गैस के अणु डिब्बे के पिछले हिस्से की ओर जमा होने लगते हैं।
परिणामस्वरूप,पिछले हिस्से में गैस का घनत्व बढ़ जाता है और सामने के हिस्से में कम हो जाता है।
चूंकि गैस का दबाव उसके घनत्व के सीधे आनुपातिक होता है (आदर्श गैस नियम $P = \rho RT/M$ से),इसलिए पिछले हिस्से में दबाव अधिक होगा और सामने के हिस्से में कम होगा।
अतः,सामने की तरफ दबाव कम है।

(D) गैस मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा $U$ उसके घटकों की आंतरिक ऊर्जा का योग होती है।
$U = U_{O_2} + U_{Ar} = \mu_1 \frac{f_1}{2} RT + \mu_2 \frac{f_2}{2} RT$
$O_2$ (द्वि-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ (कंपन मोड को नजरअंदाज करते हुए)।
$Ar$ (एक-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ है।
दिया गया है $\mu_1 = 2$ मोल और $\mu_2 = 4$ मोल।
मान रखने पर:
$U = 2 \times \frac{5}{2} RT + 4 \times \frac{3}{2} RT$
$U = 5 RT + 6 RT = 11 RT$

(B) स्प्रिंग का बल नियतांक $k$ उसकी लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है, अर्थात $k \propto 1/l$ या $kl = \text{स्थिरांक}$.
मान लीजिए कि स्प्रिंग की कुल लंबाई $l$ है और इसका बल नियतांक $k$ है।
स्प्रिंग को दो टुकड़ों में इस प्रकार काटा जाता है कि एक टुकड़ा दूसरे की तुलना में दोगुनी लंबाई का है। मान लीजिए कि दो टुकड़ों की लंबाई $l_1$ और $l_2$ है।
दिया गया है कि $l_1 = 2l_2$ और $l_1 + l_2 = l$.
$l_1$ का मान रखने पर, हमें मिलता है $2l_2 + l_2 = l \Rightarrow 3l_2 = l \Rightarrow l_2 = l/3$.
अतः $l_1 = 2l/3$.
$l_1 = 2l/3$ लंबाई वाले लंबे टुकड़े के लिए, मान लीजिए कि नया बल नियतांक $k_1$ है।
$k_1 l_1 = kl$ का उपयोग करते हुए, हमें मिलता है $k_1 (2l/3) = kl$.
$k_1 = k / (2/3) = (3/2)k$.

(D) माना कि तीन सरल आवर्त गतियाँ इस प्रकार हैं:
$y_1 = a \sin(\omega t - 45^\circ)$
$y_2 = a \sin(\omega t)$
$y_3 = a \sin(\omega t + 45^\circ)$
अध्यारोपण करने पर,परिणामी $SHM$ $y = y_1 + y_2 + y_3$ होगा।
$y = a[\sin(\omega t - 45^\circ) + \sin(\omega t) + \sin(\omega t + 45^\circ)]$
सर्वसमिका $\sin(A-B) + \sin(A+B) = 2\sin A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$y = a[2\sin(\omega t)\cos(45^\circ) + \sin(\omega t)]$
चूंकि $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$y = a[2\sin(\omega t) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \sin(\omega t)]$
$y = a[\sqrt{2}\sin(\omega t) + \sin(\omega t)] = a(1 + \sqrt{2})\sin(\omega t)$
अतः परिणामी आयाम $A = (1 + \sqrt{2})a$ है।
सरल आवर्त गति में ऊर्जा $E$,आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(E \propto A^2)$:
$\frac{E_{\text{resultant}}}{E_{\text{single}}} = \left(\frac{A}{a}\right)^2 = (1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2 + 2\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})$
इस प्रकार,$E_{\text{resultant}} = (3 + 2\sqrt{2})E_{\text{single}}$।

(C) आदर्श गैस में ध्वनि की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए चालों का अनुपात $\frac{v_{N_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_{N_2}}{\gamma_{He}} \times \frac{M_{He}}{M_{N_2}}}$ होगा।
नाइट्रोजन $(N_2)$ के लिए,जो एक द्वि-परमाणुक गैस है,$\gamma_{N_2} = 1.4 = 7/5$ और मोलर द्रव्यमान $M_{N_2} = 28 \ g/mol$ है।
हीलियम $(He)$ के लिए,जो एक एक-परमाणुक गैस है,$\gamma_{He} = 1.67 = 5/3$ और मोलर द्रव्यमान $M_{He} = 4 \ g/mol$ है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{v_{N_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{7/5}{5/3} \times \frac{4}{28}} = \sqrt{\frac{7}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{3}{25}} = \frac{\sqrt{3}}{5}$.

(D) सही उत्तर $(d)$ है।
समतल तरंग के लिए,तरंगाग्र समानांतर समतल होते हैं और ऊर्जा समान रूप से वितरित होती है,इसलिए तरंग के संचरण के साथ तीव्रता स्थिर रहती है।
गोलाकार तरंग के लिए,स्रोत द्वारा उत्सर्जित ऊर्जा बढ़ते हुए पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2$ पर फैलती है। इस प्रकार,तीव्रता $I = P / A = P / (4\pi r^2)$ स्रोत से दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
स्रोत पर केंद्रित किसी भी गोलाकार सतह से गुजरने वाली कुल शक्ति $P$ (जिसे इस संदर्भ में अक्सर कुल तीव्रता कहा जाता है) स्थिर रहती है,क्योंकि ऊर्जा संरक्षित रहती है।

(D) स्थिर तरंगें समान आवृत्ति और गति वाली,लेकिन विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो तरंगों के अध्यारोपण से बनती हैं।
$(a)$ दोनों सिरों पर बंधी हुई डोरी पर तरंगों का परावर्तन होता है,जिससे स्थिर तरंगें बनती हैं।
$(b)$ एक सिरे पर बंधी और दूसरे सिरे पर मुक्त डोरी पर भी परावर्तन के कारण स्थिर तरंगें उत्पन्न होती हैं।
$(c)$ जब एक आपतित तरंग दीवार से टकराती है,तो वह परावर्तित हो जाती है,और आपतित तथा परावर्तित तरंगों के अध्यारोपण से स्थिर तरंगें बनती हैं।
अतः,दी गई सभी स्थितियों में स्थिर तरंगें उत्पन्न की जा सकती हैं। सही विकल्प $D$ है।

(D) समीकरण $y = a \sin (kx - \omega t)$ एक सामान्य प्रगामी तरंग समीकरण को दर्शाता है।
यांत्रिक तरंगों (जैसे ध्वनि तरंगें) के मामले में,$y$ कणों के विस्थापन या दबाव में परिवर्तन को दर्शा सकता है।
विद्युतचुंबकीय तरंगों के मामले में,$y$ दोलनशील विद्युत क्षेत्र $(E)$ या चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ के घटकों को दर्शाता है।
अतः,$y$ एक सामान्य भौतिक राशि है जो दोलन करती है और अंतरिक्ष में प्रसारित होती है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) चूंकि गोले चिकने हैं,इसलिए टक्कर के दौरान उनके बीच कोई घर्षण नहीं होता है।
घर्षण टॉर्क का एकमात्र स्रोत है जो द्रव्यमान केंद्र के परितः गोले के कोणीय संवेग को बदल सकता है।
चूंकि कोई घर्षण नहीं है,इसलिए किसी भी गोले पर कोई टॉर्क कार्य नहीं करता है।
परिणामस्वरूप,प्रत्येक गोले का कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
गोले $A$ के लिए,प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_A = I\omega$ है। चूंकि इस पर कोई टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए इसका अंतिम कोणीय संवेग $I\omega_A = I\omega$ रहता है,जिसका अर्थ है कि $\omega_A = \omega$.
गोले $B$ के लिए,जो शुरू में विराम अवस्था में था,इसका प्रारंभिक कोणीय संवेग $0$ है। चूंकि इस पर कोई टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए इसका अंतिम कोणीय संवेग $0$ रहता है,जिसका अर्थ है कि $\omega_B = 0$.

(A) जब ब्लॉक $O$ पर उभार से टकराता है,तो यह $O$ से गुजरने वाली और गति के तल के लंबवत अक्ष के चारों ओर घूमना शुरू कर देता है। चूंकि प्रभाव के दौरान बिंदु $O$ के सापेक्ष ब्लॉक पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
बिंदु $O$ के सापेक्ष प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i$,रैखिक संवेग और द्रव्यमान केंद्र की गति की रेखा से $O$ तक की लंबवत दूरी के गुणनफल द्वारा दिया जाता है:
$L_i = Mv \times (a/2) = \frac{Mva}{2}$
उभार से टकराने के बाद,ब्लॉक बिंदु $O$ के चारों ओर घूमता है। अंतिम कोणीय संवेग $L_f = I_O \omega$ है,जहाँ $I_O$ बिंदु $O$ से गुजरने वाली अक्ष के चारों ओर घन का जड़त्व आघूर्ण है।
द्रव्यमान केंद्र $C$ से गुजरने वाली अक्ष के चारों ओर घन का जड़त्व आघूर्ण $I_C = \frac{Ma^2}{6}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_O = I_C + Mr^2$,जहाँ $r$ द्रव्यमान केंद्र से बिंदु $O$ तक की दूरी है। यहाँ,$r^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/2$ है।
अतः,$I_O = \frac{Ma^2}{6} + M(a^2/2) = \frac{Ma^2 + 3Ma^2}{6} = \frac{4Ma^2}{6} = \frac{2}{3}Ma^2$ है।
प्रारंभिक और अंतिम कोणीय संवेग की तुलना करने पर: $L_i = L_f$
$\frac{Mva}{2} = \frac{2}{3}Ma^2 \omega$
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega = \frac{Mva}{2} \times \frac{3}{2Ma^2} = \frac{3v}{4a}$।

(C) संपर्क बिंदु (मूल बिंदु $O$) के परितः लुढ़कती हुई वस्तु का कोणीय संवेग,रैखिक गति के कारण कोणीय संवेग और उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन के कारण कोणीय संवेग का योग होता है।
$L = L_{\text{linear}} + L_{\text{rotational}}$
$L = MvR + I_c\omega$
चूंकि चकती बिना फिसले लुढ़क रही है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का रैखिक वेग $v = R\omega$ है।
चकती का उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_c = \frac{1}{2}MR^2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$L = M(R\omega)R + (\frac{1}{2}MR^2)\omega$
$L = MR^2\omega + \frac{1}{2}MR^2\omega$
$L = \frac{3}{2}MR^2\omega$

(D) स्थिरवैद्युत स्थितियों के तहत,एक चालक का संपूर्ण आयतन एक समविभव क्षेत्र होता है। चूंकि बिंदु $A$ और $B$ चालक की सतह पर स्थित हैं,इसलिए वे समान विभव पर होने चाहिए। अतः,$A$ पर विभव = $B$ पर विभव।
गॉस के नियम के अनुसार,आवेश $q$ को घेरने वाली किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = q/\varepsilon_0$ होता है। चूंकि गुहा की सतह आवेश $q$ को घेरती है,इसलिए इससे गुजरने वाला कुल फ्लक्स $q/\varepsilon_0$ है।
दीर्घवृत्ताकार गुहा के लिए,सतह के निकट विद्युत क्षेत्र स्थानीय वक्रता पर निर्भर करता है,इसलिए $A$ पर विद्युत क्षेत्र का $B$ पर विद्युत क्षेत्र के बराबर होना आवश्यक नहीं है। इसलिए,विकल्प $(b)$ और $(c)$ सही हैं।

(C) एक समानांतर प्लेट संधारित्र के लिए,एक-दूसरे के सामने वाली आंतरिक सतहों पर आवेश परिमाण में समान और चिह्न में विपरीत होने चाहिए। इसलिए,$Q_2 = -Q_3$ है।
संधारित्र की प्लेटों के बीच विभवांतर $V$,धनात्मक प्लेट की आंतरिक सतह पर आवेश और धारिता $C$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{Q_2}{C}$
चूंकि $Q_3 = -Q_2$,हम $Q_2 = \frac{Q_2 - Q_3}{2}$ लिख सकते हैं।
इस मान को विभवांतर के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{Q_2 - Q_3}{2C}$

(D) प्रारंभ में,संधारित्र इस प्रकार आवेशित हैं: $Q_1 = C_1 V_1 = (2\,pF)(30\,V) = 60\,pC$ और $Q_2 = C_2 V_2 = (3\,pF)(20\,V) = 60\,pC$।
जब स्विच $S_1$ और $S_3$ बंद किए जाते हैं,तो प्लेटें ग्राउंड से जुड़ जाती हैं। $C_1$ के सिरों पर विभवांतर $30\,V$ बना रहता है (क्योंकि बाईं प्लेट ग्राउंडेड है और दाईं प्लेट जंक्शन के विभव से जुड़ी है) और $C_2$ के सिरों पर $20\,V$ बना रहता है क्योंकि संधारित्रों पर आवेश फंसा रहता है और बदलता नहीं है,क्योंकि परिपथ किसी बाहरी स्रोत के साथ बंद लूप नहीं बनाता है जिससे आवेश का पुनर्वितरण हो सके।
अतः,विभवांतर $V_1 = 30\,V$ और $V_2 = 20\,V$ अपरिवर्तित रहते हैं।

(A) स्विच $S$ के खुले या बंद होने पर गैल्वेनोमीटर का पाठ्यांक समान रहता है।
इसका तात्पर्य यह है कि स्विच $S$ के सिरों के बीच विभवांतर शून्य है,या स्विच बंद होने पर इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
यदि स्विच से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,तो $R$ वाली शाखा और गैल्वेनोमीटर $G$ वाली शाखा प्रभावी रूप से एक श्रेणी परिपथ की तरह कार्य करती हैं।
इसलिए,$R$ और $G$ दोनों से समान धारा प्रवाहित होनी चाहिए।
अतः,$I_R = I_G$.

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में $v$ वेग से गतिमान $q$ आवेश पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$।
चूंकि कण को स्थिर अवस्था से छोड़ा गया है,इसका प्रारंभिक वेग $\vec{v} = 0$ है।
प्रारंभ में,चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ होता है।
विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E}$ कण पर कार्य करता है,जिससे यह विद्युत क्षेत्र की दिशा में त्वरित होता है।
जैसे-जैसे कण विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ की दिशा में वेग $\vec{v}$ प्राप्त करता है,और चूंकि $\vec{E}$ और $\vec{B}$ समानांतर हैं,इसलिए वेग $\vec{v}$ हमेशा चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर रहता है।
अतः,पूरी गति के दौरान चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ रहता है क्योंकि $\vec{v}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $0^\circ$ है।
इस प्रकार,विद्युत क्षेत्र के कारण कण एक सीधी रेखा में त्वरित गति करता रहेगा।

(D) $I$ धारा ले जाने वाला एक वृत्ताकार लूप एक चुंबकीय द्विध्रुव के रूप में कार्य करता है।
चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं उत्तरी ध्रुव से निकलती हैं और दक्षिणी ध्रुव में प्रवेश करती हैं।
चूंकि लूप $x-y$ तल में स्थित है,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं लूप से गुजरती हैं और बंद लूप बनाने के लिए वापस मुड़ती हैं।
प्रत्येक चुंबकीय क्षेत्र रेखा जो $x-y$ तल से एक दिशा में (जैसे ऊपर की ओर) गुजरती है,उतनी ही संख्या में क्षेत्र रेखाओं को बंद लूप को पूरा करने के लिए $x-y$ तल से विपरीत दिशा में (जैसे नीचे की ओर) गुजरना होगा।
इसलिए,पूरे $x-y$ तल से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य है।

(C) फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,$Loop-A$ में बदलती धारा $Loop-B$ से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन करती है।
लेंज के नियम के अनुसार,$Loop-B$ में प्रेरित धारा ऐसी दिशा में बहेगी जो इसे उत्पन्न करने वाले कारण का विरोध करे।
चूंकि $Loop-A$ में धारा बढ़ रही है,इसलिए $Loop-B$ से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ रहा है।
इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,$Loop-B$ में एक प्रेरित धारा उत्पन्न होगी जो $Loop-A$ के चुंबकीय क्षेत्र के विपरीत चुंबकीय क्षेत्र बनाएगी।
विपरीत दिशाओं में धारा ले जाने वाले दो समानांतर लूप एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं।
इसलिए,$Loop-B$ को $Loop-A$ द्वारा प्रतिकर्षित किया जाता है।

(D) परिपथ में अधिकतम धारा $i_0 = \frac{V}{R} = \frac{12 \, V}{6 \, \Omega} = 2 \, A$ है।
$LR$ परिपथ में $t$ समय पर धारा का सूत्र $i(t) = i_0(1 - e^{-Rt/L})$ होता है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $i(t) = 1.0 \, A$ हो। मान रखने पर:
$1.0 = 2(1 - e^{-6t / (8.4 \times 10^{-3})})$
$0.5 = 1 - e^{-6t / (8.4 \times 10^{-3})}$
$e^{-6t / (8.4 \times 10^{-3})} = 0.5$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$-\frac{6t}{8.4 \times 10^{-3}} = \ln(0.5) \approx -0.693$
$t = 0.693 \times \frac{8.4 \times 10^{-3}}{6} = 0.693 \times 1.4 \times 10^{-3} \approx 0.97 \times 10^{-3} \, s \approx 1 \, ms$.

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का प्रारंभिक संवेग शून्य है।
$0 = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2$
$\Rightarrow m_1 \vec{v}_1 = -m_2 \vec{v}_2$
परिमाण लेने पर,हमें $m_1 v_1 = m_2 v_2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि दोनों कणों के संवेग के परिमाण समान हैं $(p_1 = p_2 = p)$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = h / p$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों कणों के संवेग का परिमाण $p$ समान है,इसलिए उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = h / p$ और $\lambda_2 = h / p$ होगी।
अतः,अनुपात $\lambda_1 / \lambda_2 = (h / p) / (h / p) = 1$ है।

(B) द्रव्यमान संख्या $A$ वाले नाभिक का द्रव्यमान लगभग $m = A \times m_p$ होता है,जहाँ $m_p$ प्रोटॉन का द्रव्यमान है।
नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_0 \approx 1.2 \times 10^{-15} \ m$ है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ है।
घनत्व $\rho = \frac{m}{V} = \frac{A \times m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$ होता है।
मान रखने पर: $\rho = \frac{1.67 \times 10^{-27}}{\frac{4}{3} \times 3.14 \times (1.2 \times 10^{-15})^3} \approx \frac{1.67 \times 10^{-27}}{7.24 \times 10^{-45}} \approx 2.3 \times 10^{17} \ kg/m^3$.
अतः,घनत्व की कोटि $10^{17} \ kg/m^3$ है।

(A) सही कथन यह है कि $\beta$-किरणें कैथोड किरणों के समान होती हैं क्योंकि दोनों उच्च गति वाले इलेक्ट्रॉनों से बनी होती हैं।
$\gamma$-किरणें उच्च ऊर्जा वाली विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं,न कि न्यूट्रॉन।
$\alpha$-कण द्वि-आयनित हीलियम परमाणु $(He^{2+})$ होते हैं,न कि एकल आयनित।
प्रोटॉन और न्यूट्रॉन का द्रव्यमान लगभग समान होता है,लेकिन बिल्कुल समान नहीं होता है।

(B) नाभिकीय अभिक्रिया इस प्रकार है: $_{10}^{22}Ne \to 2(_2^4He) + _Z^A X$
द्रव्यमान संख्या के संरक्षण के नियम को लागू करने पर: $22 = 2(4) + A \implies 22 = 8 + A \implies A = 14$
परमाणु क्रमांक के संरक्षण के नियम को लागू करने पर: $10 = 2(2) + Z \implies 10 = 4 + Z \implies Z = 6$
परमाणु क्रमांक $Z = 6$ वाला नाभिक कार्बन $(C)$ है।
अतः,अज्ञात नाभिक कार्बन है।

(C) दिया गया है कि $X$ की अर्ध-आयु $Y$ की औसत आयु के बराबर है:
$({T_{1/2}})_X = ({\tau})_Y$
हम जानते हैं कि ${T_{1/2}} = \frac{0.693}{\lambda}$ और ${\tau} = \frac{1}{\lambda}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{0.693}{\lambda_X} = \frac{1}{\lambda_Y}$
$\Rightarrow \lambda_X = 0.693 \lambda_Y$
चूंकि $0.693 < 1$ है,इसलिए $\lambda_X < \lambda_Y$ प्राप्त होता है।
क्षय की दर $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में परमाणुओं की संख्या $N$ दोनों के लिए समान है।
अतः,$\lambda_Y > \lambda_X$ होने के कारण,$Y$ की क्षय दर $R_Y = \lambda_Y N$,$R_X = \lambda_X N$ से अधिक होगी।
इसलिए,$Y$,$X$ की तुलना में तेज दर से क्षय होगा।

(C) किसी नाभिकीय प्रक्रिया में ऊर्जा तब मुक्त होती है जब उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा $(B.E.)$ अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा से अधिक होती है।
ग्राफ से, हम प्रत्येक नाभिक के लिए द्रव्यमान संख्या $(A)$ और प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(B.E./A)$ की पहचान कर सकते हैं:
$W$ के लिए: $A = 120, B.E./A = 7.5 \, MeV \implies \text{कुल } B.E. = 120 \times 7.5 = 900 \, MeV$
$X$ के लिए: $A = 90, B.E./A = 8.0 \, MeV \implies \text{कुल } B.E. = 90 \times 8.0 = 720 \, MeV$
$Y$ के लिए: $A = 60, B.E./A = 8.5 \, MeV \implies \text{कुल } B.E. = 60 \times 8.5 = 510 \, MeV$
$Z$ के लिए: $A = 30, B.E./A = 5.0 \, MeV \implies \text{कुल } B.E. = 30 \times 5.0 = 150 \, MeV$
अब, विकल्प $(c)$ की जाँच करते हैं: $W \to 2Y$
अभिकारकों की कुल $B.E. = 900 \, MeV$
उत्पादों की कुल $B.E. = 2 \times (510) = 1020 \, MeV$
चूंकि उत्पादों की कुल $B.E.$ $(1020 \, MeV)$, अभिकारकों की कुल $B.E.$ $(900 \, MeV)$ से अधिक है, इसलिए इस प्रक्रिया में ऊर्जा मुक्त होती है।

(D) सही उत्तर $D$ है।
$1$. $0 \ K$ पर,एक कुचालक में कोई मुक्त आवेश वाहक नहीं होते हैं,इसलिए धारा शून्य होती है।
$2$. $0 \ K$ पर,एक अर्धचालक एक आदर्श कुचालक की तरह व्यवहार करता है क्योंकि सभी संयोजी इलेक्ट्रॉन बंधे होते हैं,इसलिए धारा शून्य होती है।
$3$. $300 \ K$ पर एक $P-N$ जंक्शन डायोड में,जब इसे रिवर्स बायस में रखा जाता है,तो अल्पसंख्यक आवेश वाहकों की उपस्थिति के कारण एक छोटी परिमित धारा (रिवर्स सैचुरेशन करंट) प्रवाहित होती है।
चूंकि ये सभी कथन सही हैं,इसलिए उत्तर $D$ है।

(A) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
हवा में अवतल लेंस के लिए,$R_1 = -R$ और $R_2 = +R$ लेने पर,$\frac{1}{f_a} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{R} \right) = 0.5 \left( -\frac{2}{R} \right) = -\frac{1}{R}$,जिसका अर्थ है $f_a = -R$।
जब इसे $1.75$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो सापेक्ष अपवर्तनांक $\mu_{rel} = \frac{\mu_g}{\mu_m} = \frac{1.5}{1.75} = \frac{6}{7}$ होता है।
नई फोकस दूरी $f_l$ के लिए,$\frac{1}{f_l} = \left( \frac{6}{7} - 1 \right) \left( -\frac{2}{R} \right) = \left( -\frac{1}{7} \right) \left( -\frac{2}{R} \right) = \frac{2}{7R}$।
अतः,$f_l = +3.5 R$।
चूंकि फोकस दूरी धनात्मक है,इसलिए लेंस एक अभिसारी (उत्तल) लेंस के रूप में व्यवहार करेगा।

(B) विवर्तन तब प्राप्त होता है जब स्लिट की चौड़ाई आपतित विद्युत चुम्बकीय तरंगों की तरंगदैर्ध्य के क्रम की होती है।
पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य लगभग $589 \, nm$ $(5.89 \times 10^{-7} \, m)$ है,जो स्लिट की चौड़ाई $(0.6 \, mm = 6 \times 10^{-4} \, m)$ के क्रम की है।
$X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य आमतौर पर $0.01 \, nm$ से $10 \, nm$ ($10^{-11} \, m$ से $10^{-8} \, m$) की सीमा में होती है।
चूंकि $X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य स्लिट की चौड़ाई $(0.6 \, mm)$ की तुलना में बहुत कम है,इसलिए विवर्तन की शर्त पूरी नहीं होती है।
अतः,कोई विवर्तन पैटर्न दिखाई नहीं देगा।

(A) बेलनाकार सतह कांच की प्लेट को बेलन की अक्ष के समानांतर एक रेखा पर स्पर्श करती है।
बेलनाकार सतह और समतल कांच की प्लेट के बीच बनी वायु की वेज (wedge) की मोटाई इस संपर्क रेखा के दोनों ओर समान रूप से बढ़ती है।
समान पथ अंतर वाले बिंदुओं का बिंदुपथ बेलन की अक्ष के समानांतर चलने वाली रेखाएं हैं।
चूंकि इन रेखाओं के अनुदिश पथ अंतर स्थिर रहता है,इसलिए देखी जाने वाली व्यतिकरण फ्रिंजें सीधी और बेलन की अक्ष के समानांतर होंगी।

(B) प्रकाश के लिए डॉप्लर विस्थापन का सूत्र $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ है,जहाँ $v$ स्रोत की सापेक्ष गति है और $c$ प्रकाश की गति है।
दिया गया है: $\lambda = 656 \ nm$,$\Delta \lambda = 706 \ nm - 656 \ nm = 50 \ nm$,और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
सूत्र $v = \frac{c \Delta \lambda}{\lambda}$ में मान रखने पर:
$v = \frac{3 \times 10^8 \times 50}{656}$
$v = \frac{1500}{656} \times 10^7 \ m/s$
$v \approx 2.28 \times 10^7 \ m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $v = 2 \times 10^7 \ m/s$ है।