IIT JEE 1999 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક બિંદુ $A$ અને અંતિમ બિંદુ $B$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે.
કણ $1.0 \, m$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળ પર ગતિ કરતો હોવાથી,સ્થાનાંતર એ અર્ધવર્તુળના વ્યાસ જેટલું થાય છે.
સ્થાનાંતર $= 2 \times r = 2 \times 1.0 \, m = 2.0 \, m$.
લાગતો સમય $1.0 \, s$ છે.
તેથી,સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય $= \frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2.0 \, m}{1.0 \, s} = 2.0 \, m/s$.

(D) $x = a \cos(pt)$ અને $y = b \sin(pt)$ (આપેલ છે).
$\therefore \cos(pt) = x/a$ અને $\sin(pt) = y/b$.
બંને બાજુ વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\cos^2(pt) + \sin^2(pt) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
આથી,કણનો પથ લંબગોળ છે.
હવે,$x$ અને $y$ નું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$v_x = \frac{dx}{dt} = -ap \sin(pt)$ અને $v_y = \frac{dy}{dt} = bp \cos(pt)$.
$\vec{v} = -ap \sin(pt) \hat{i} + bp \cos(pt) \hat{j}$.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -ap^2 \cos(pt) \hat{i} - bp^2 \sin(pt) \hat{j}$.
$t = \frac{\pi}{2p}$ સમયે:
$\vec{v} = -ap \sin(\pi/2) \hat{i} + bp \cos(\pi/2) \hat{j} = -ap \hat{i}$.
$\vec{a} = -ap^2 \cos(\pi/2) \hat{i} - bp^2 \sin(\pi/2) \hat{j} = -bp^2 \hat{j}$.
કારણ કે $\vec{v} \cdot \vec{a} = (-ap \hat{i}) \cdot (-bp^2 \hat{j}) = 0$,તેથી $t = \frac{\pi}{2p}$ સમયે વેગ અને પ્રવેગ એકબીજાને લંબ છે.

(D) કણની સ્થિતિ ઊર્જા $U(x) = k(1 - e^{-x^2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dU}{dx}$ છે.
$F = -\frac{d}{dx} [k(1 - e^{-x^2})] = -k[0 - e^{-x^2} \cdot (-2x)] = -2kxe^{-x^2}$.
ઉગમબિંદુથી નાના સ્થાનાંતર $(x \approx 0)$ માટે,આપણે ટેલર શ્રેણી $e^{-x^2} \approx 1 - x^2 + \dots \approx 1$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આમ,$F \approx -2kx$.
અહીં $F \propto -x$ હોવાથી,પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં છે,જે સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટેની શરત છે.

(D) ધારો કે ગરમ કરતા પહેલા દરેક પટ્ટીની પ્રારંભિક લંબાઈ $L_0$ છે.
ધારો કે બાયમેટાલિક પટ્ટીની કુલ જાડાઈ $d$ છે.
ગરમ કર્યા પછી,પિત્તળ અને તાંબાની પટ્ટીઓની લંબાઈ નીચે મુજબ છે:
$L_B = L_0(1 + \alpha_B \Delta T) = (R + d)\theta$
$L_C = L_0(1 + \alpha_C \Delta T) = R\theta$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{R + d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
$1 + \frac{d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
$\frac{d}{R} = \frac{1 + \alpha_B \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T} - 1 = \frac{1 + \alpha_B \Delta T - 1 - \alpha_C \Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T} = \frac{(\alpha_B - \alpha_C)\Delta T}{1 + \alpha_C \Delta T}$
કારણ કે $\alpha \Delta T \ll 1$,આપણે $1 + \alpha_C \Delta T \approx 1$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
આમ,$R = \frac{d}{(\alpha_B - \alpha_C)\Delta T}$.
તેથી,$R \propto \frac{1}{\Delta T}$ અને $R \propto \frac{1}{|\alpha_B - \alpha_C|}$.
આમ,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(B) પ્રવેગ $a$ સાથે ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરતા પ્રવેગિત સંદર્ભ ફ્રેમમાં ડબ્બાને ધ્યાનમાં લો.
આ બિન-જડત્વીય ફ્રેમમાં,દરેક વાયુના અણુ પર પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં (એટલે કે,ઋણ $x$-દિશામાં) સ્યુડો ફોર્સ લાગે છે.
આ સ્યુડો ફોર્સને કારણે,વાયુના અણુઓ ડબ્બાની પાછળની બાજુએ એકઠા થાય છે.
પરિણામે,પાછળની બાજુએ વાયુની ઘનતા વધે છે અને આગળની બાજુએ ઘટે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $(P = \rho RT/M)$ મુજબ,વાયુનું દબાણ તેની ઘનતાના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,પાછળની બાજુએ દબાણ વધારે હશે અને આગળની બાજુએ ઓછું હશે.
તેથી,આગળની બાજુએ દબાણ ઓછું છે.

(D) વાયુ મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U$ એ તેના ઘટકોની આંતરિક ઉર્જાનો સરવાળો છે.
$U = U_{O_2} + U_{Ar} = \mu_1 \frac{f_1}{2} RT + \mu_2 \frac{f_2}{2} RT$
$O_2$ (દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 5$ (કંપન મોડ્સને અવગણતા).
$Ar$ (એક-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 3$.
આપેલ છે કે $\mu_1 = 2$ મોલ અને $\mu_2 = 4$ મોલ.
કિંમતો મૂકતા:
$U = 2 \times \frac{5}{2} RT + 4 \times \frac{3}{2} RT$
$U = 5 RT + 6 RT = 11 RT$

(B) સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ તેની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $k \propto 1/l$ અથવા $kl = \text{અચળ}$.
ધારો કે સ્પ્રિંગની કુલ લંબાઈ $l$ છે અને તેનો બળ અચળાંક $k$ છે.
સ્પ્રિંગને બે ટુકડાઓમાં એવી રીતે કાપવામાં આવે છે કે એક ટુકડો બીજા કરતા બમણી લંબાઈનો છે. ધારો કે બે ટુકડાઓની લંબાઈ $l_1$ અને $l_2$ છે.
આપેલ છે કે $l_1 = 2l_2$ અને $l_1 + l_2 = l$.
$l_1$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને મળે છે $2l_2 + l_2 = l \Rightarrow 3l_2 = l \Rightarrow l_2 = l/3$.
તેથી $l_1 = 2l/3$.
$l_1 = 2l/3$ લંબાઈના લાંબા ટુકડા માટે, ધારો કે નવો બળ અચળાંક $k_1$ છે.
$k_1 l_1 = kl$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $k_1 (2l/3) = kl$.
$k_1 = k / (2/3) = (3/2)k$.

(D) ધારો કે ત્રણ સરળ આવર્ત ગતિઓ નીચે મુજબ છે:
$y_1 = a \sin(\omega t - 45^\circ)$
$y_2 = a \sin(\omega t)$
$y_3 = a \sin(\omega t + 45^\circ)$
સંપાતીકરણ કરતા,પરિણામી સરળ આવર્ત ગતિ $y = y_1 + y_2 + y_3$ થશે.
$y = a[\sin(\omega t - 45^\circ) + \sin(\omega t) + \sin(\omega t + 45^\circ)]$
નિત્યસમ $\sin(A-B) + \sin(A+B) = 2\sin A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = a[2\sin(\omega t)\cos(45^\circ) + \sin(\omega t)]$
અહીં $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી:
$y = a[2\sin(\omega t) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \sin(\omega t)]$
$y = a[\sqrt{2}\sin(\omega t) + \sin(\omega t)] = a(1 + \sqrt{2})\sin(\omega t)$
તેથી પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = (1 + \sqrt{2})a$ મળે.
સરળ આવર્ત ગતિમાં ઉર્જા $E$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(E \propto A^2)$:
$\frac{E_{\text{resultant}}}{E_{\text{single}}} = \left(\frac{A}{a}\right)^2 = (1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2 + 2\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})$
આમ,$E_{\text{resultant}} = (3 + 2\sqrt{2})E_{\text{single}}$.

(C) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_{N_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_{N_2}}{\gamma_{He}} \times \frac{M_{He}}{M_{N_2}}}$ થશે.
નાઈટ્રોજન $(N_2)$ માટે,જે દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,$\gamma_{N_2} = 1.4 = 7/5$ અને મોલર દળ $M_{N_2} = 28 \ g/mol$ છે.
હિલિયમ $(He)$ માટે,જે એક-પરમાણ્વીય વાયુ છે,$\gamma_{He} = 1.67 = 5/3$ અને મોલર દળ $M_{He} = 4 \ g/mol$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_{N_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{7/5}{5/3} \times \frac{4}{28}} = \sqrt{\frac{7}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{3}{25}} = \frac{\sqrt{3}}{5}$.

(D) સાચો જવાબ $(d)$ છે.
સમતલ તરંગ માટે,તરંગ અગ્ર સમાંતર સમતલો હોય છે અને ઉર્જા સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય છે,તેથી તરંગના પ્રસરણ દરમિયાન તીવ્રતા અચળ રહે છે.
ગોળાકાર તરંગ માટે,સ્ત્રોત દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જા વધતા જતા સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi r^2$ પર ફેલાય છે. આમ,તીવ્રતા $I = P / A = P / (4\pi r^2)$ એ સ્ત્રોતથી અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
સ્ત્રોત પર કેન્દ્રિત કોઈપણ ગોળાકાર સપાટીમાંથી પસાર થતો કુલ પાવર $P$ (જેને આ સંદર્ભમાં ઘણીવાર કુલ તીવ્રતા કહેવામાં આવે છે) અચળ રહે છે,કારણ કે ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.

(D) સ્થિત તરંગો સમાન આવૃત્તિ અને ઝડપ ધરાવતા પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે તરંગોના સંપાતીકરણથી રચાય છે.
$(a)$ બંને છેડે જડેલી દોરી પર તરંગોનું પરાવર્તન થવાથી સ્થિત તરંગો રચાય છે.
$(b)$ એક છેડે જડેલી અને બીજા છેડે મુક્ત દોરી પર પણ પરાવર્તનને કારણે સ્થિત તરંગો ઉત્પન્ન થાય છે.
$(c)$ જ્યારે આપાત તરંગ દીવાલ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે પરાવર્તિત થાય છે અને આપાત તથા પરાવર્તિત તરંગોના સંપાતીકરણથી સ્થિત તરંગો રચાય છે.
આમ,આપેલી તમામ પરિસ્થિતિઓમાં સ્થિત તરંગો ઉત્પન્ન થઈ શકે છે. સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) સમીકરણ $y = a \sin (kx - \omega t)$ એ સામાન્ય પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ દર્શાવે છે.
યાંત્રિક તરંગોના કિસ્સામાં (જેમ કે ધ્વનિ તરંગો),$y$ એ કણોનું સ્થાનાંતર અથવા દબાણમાં થતા ફેરફારો દર્શાવી શકે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના કિસ્સામાં,$y$ એ દોલિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E)$ અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ ના ઘટકો દર્શાવે છે.
આમ,$y$ એ એક સામાન્ય ભૌતિક રાશિ છે જે દોલન કરે છે અને અવકાશમાં પ્રસરણ પામે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ગોળાઓ લીસા હોવાથી,અથડામણ દરમિયાન તેમની વચ્ચે કોઈ ઘર્ષણ હોતું નથી.
ઘર્ષણ એ ટોર્કનો એકમાત્ર સ્ત્રોત છે જે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ગોળાના કોણીય વેગમાનમાં ફેરફાર કરી શકે છે.
કોઈ ઘર્ષણ ન હોવાથી,કોઈપણ ગોળા પર કોઈ ટોર્ક લાગતું નથી.
પરિણામે,દરેક ગોળાનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
ગોળા $A$ માટે,પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_A = I\omega$ છે. તેના પર કોઈ ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,તેનું અંતિમ કોણીય વેગમાન $I\omega_A = I\omega$ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega_A = \omega$.
ગોળા $B$ માટે,જે શરૂઆતમાં સ્થિર હતો,તેનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $0$ છે. તેના પર કોઈ ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,તેનું અંતિમ કોણીય વેગમાન $0$ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega_B = 0$.

(A) જ્યારે બ્લોક $O$ બિંદુએ ધાર સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે $O$ માંથી પસાર થતી અને ગતિના સમતલને લંબ અક્ષની આસપાસ ફરવાનું શરૂ કરે છે. અથડામણ દરમિયાન $O$ બિંદુની સાપેક્ષ બ્લોક પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી,તેથી કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
$O$ બિંદુની સાપેક્ષ પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i$ એ રેખીય વેગમાન અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિની રેખાથી $O$ સુધીના લંબ અંતરના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L_i = Mv \times (a/2) = \frac{Mva}{2}$
ધાર સાથે અથડાયા પછી,બ્લોક $O$ બિંદુની આસપાસ ફરે છે. અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = I_O \omega$ છે,જ્યાં $I_O$ એ $O$ માંથી પસાર થતી અક્ષની આસપાસ ઘનનું જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ માંથી પસાર થતી અક્ષની આસપાસ ઘનની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_C = \frac{Ma^2}{6}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_O = I_C + Mr^2$,જ્યાં $r$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી $O$ બિંદુ સુધીનું અંતર છે. અહીં,$r^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/2$.
આમ,$I_O = \frac{Ma^2}{6} + M(a^2/2) = \frac{Ma^2 + 3Ma^2}{6} = \frac{4Ma^2}{6} = \frac{2}{3}Ma^2$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ કોણીય વેગમાનને સરખાવતા: $L_i = L_f$
$\frac{Mva}{2} = \frac{2}{3}Ma^2 \omega$
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega = \frac{Mva}{2} \times \frac{3}{2Ma^2} = \frac{3v}{4a}$.

(C) સંપર્ક બિંદુ (ઉગમબિંદુ $O$) ની સાપેક્ષમાં ગબડતી વસ્તુનું કોણીય વેગમાન એ રેખીય ગતિને કારણે કોણીય વેગમાન અને તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણને કારણે કોણીય વેગમાનનો સરવાળો છે.
$L = L_{\text{linear}} + L_{\text{rotational}}$
$L = MvR + I_c\omega$
તકતી સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય વેગ $v = R\omega$ છે.
તકતીની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_c = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$L = M(R\omega)R + (\frac{1}{2}MR^2)\omega$
$L = MR^2\omega + \frac{1}{2}MR^2\omega$
$L = \frac{3}{2}MR^2\omega$

(D) સ્થિતવિદ્યુત પરિસ્થિતિમાં,વાહકનો સમગ્ર ભાગ સમાન સ્થિતિમાન ધરાવે છે. તેથી,$A$ અને $B$ બિંદુઓ વાહકની સપાટી પર હોવાથી,તેમનું સ્થિતિમાન સમાન હશે. આમ,$A$ પાસેનું સ્થિતિમાન = $B$ પાસેનું સ્થિતિમાન.
ગૌસના નિયમ મુજબ,$q$ વિદ્યુતભારને ઘેરતી કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = q/\varepsilon_0$ થાય છે. અહીં પોલાણની સપાટી $q$ વિદ્યુતભારને ઘેરે છે,તેથી તેમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $q/\varepsilon_0$ છે.
લંબગોળ પોલાણ માટે,સપાટીની નજીકનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સ્થાનિક વક્રતા પર આધાર રાખે છે,તેથી $A$ પાસેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $B$ પાસેના વિદ્યુતક્ષેત્ર જેટલું હોવું જરૂરી નથી. તેથી,વિકલ્પો $(b)$ અને $(c)$ સાચા છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,એકબીજાની સામે રહેલી આંતરિક સપાટીઓ પરના વિદ્યુતભારો મૂલ્યમાં સમાન અને ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ. તેથી,$Q_2 = -Q_3$.
કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ ધન પ્લેટની આંતરિક સપાટી પરના વિદ્યુતભાર અને કેપેસિટન્સ $C$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = \frac{Q_2}{C}$
કારણ કે $Q_3 = -Q_2$,આપણે $Q_2 = \frac{Q_2 - Q_3}{2}$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતના સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{Q_2 - Q_3}{2C}$

(D) શરૂઆતમાં,કેપેસિટર્સ $Q_1 = C_1 V_1 = (2\,pF)(30\,V) = 60\,pC$ અને $Q_2 = C_2 V_2 = (3\,pF)(20\,V) = 60\,pC$ તરીકે ચાર્જ થયેલા છે.
જ્યારે સ્વીચો $S_1$ અને $S_3$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો ગ્રાઉન્ડ સાથે જોડાય છે. $C_1$ ની આજુબાજુનો પોટેન્શિયલ તફાવત $30\,V$ રહે છે (કારણ કે ડાબી પ્લેટ ગ્રાઉન્ડ થયેલ છે અને જમણી પ્લેટ જંકશનના પોટેન્શિયલ સાથે જોડાયેલ છે) અને $C_2$ ની આજુબાજુ $20\,V$ રહે છે કારણ કે કેપેસિટર્સ પરનો ચાર્જ ફસાયેલો રહે છે અને બદલાતો નથી,કારણ કે પરિપથ બાહ્ય સ્ત્રોત સાથે બંધ લૂપ બનાવતો નથી જેથી ચાર્જનું પુનઃવિતરણ થાય.
આમ,પોટેન્શિયલ તફાવત $V_1 = 30\,V$ અને $V_2 = 20\,V$ બદલાયા વગરના રહે છે.

(A) સ્વિચ $S$ ખુલ્લી હોય કે બંધ હોય,ગેલ્વેનોમીટરનું અવલોકન સમાન રહે છે.
આનો અર્થ એ છે કે સ્વિચ $S$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે,અથવા જ્યારે સ્વિચ બંધ હોય ત્યારે તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
જો સ્વિચમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોય,તો $R$ ધરાવતી શાખા અને ગેલ્વેનોમીટર $G$ ધરાવતી શાખા અસરકારક રીતે શ્રેણીમાં જોડાયેલ એક જ પરિપથ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,$R$ અને $G$ બંનેમાંથી સમાન પ્રવાહ વહેવો જોઈએ.
આમ,$I_R = I_G$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ લોરેન્ઝ બળના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થતો હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{v} = 0$ છે.
શરૂઆતમાં,ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ થાય છે.
વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ કણ પર લાગે છે,જેના કારણે તે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં પ્રવેગિત થાય છે.
જેમ જેમ કણ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની દિશામાં વેગ $\vec{v}$ પ્રાપ્ત કરે છે,અને $\vec{E}$ તથા $\vec{B}$ સમાંતર હોવાથી,વેગ $\vec{v}$ હંમેશા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર રહે છે.
તેથી,સમગ્ર ગતિ દરમિયાન ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ રહે છે કારણ કે $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે કણ સીધી રેખામાં પ્રવેગિત ગતિ ચાલુ રાખશે.

(D) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતો વર્તુળાકાર લૂપ ચુંબકીય ડાયપોલ તરીકે વર્તે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ઉત્તર ધ્રુવમાંથી બહાર નીકળે છે અને દક્ષિણ ધ્રુવમાં પ્રવેશે છે.
લૂપ $x-y$ સમતલમાં હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ લૂપમાંથી પસાર થાય છે અને બંધ ગાળાઓ બનાવવા માટે પાછી ફરે છે.
દરેક ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખા જે $x-y$ સમતલમાંથી એક દિશામાં (દા.ત. ઉપરની તરફ) પસાર થાય છે,તેટલી જ સંખ્યામાં ક્ષેત્ર રેખાઓ બંધ ગાળો પૂર્ણ કરવા માટે $x-y$ સમતલમાંથી વિરુદ્ધ દિશામાં (દા.ત. નીચેની તરફ) પસાર થવી જ જોઈએ.
તેથી,સમગ્ર $x-y$ સમતલમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય છે.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,$Loop-A$ માં બદલાતો પ્રવાહ $Loop-B$ માંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર કરે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,$Loop-B$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે જે તેને ઉત્પન્ન કરનાર કારણનો વિરોધ કરે.
જેમ કે $Loop-A$ માં પ્રવાહ વધી રહ્યો છે,તેથી $Loop-B$ માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધી રહ્યું છે.
આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,$Loop-B$ માં એક પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન થશે જે $Loop-A$ ના ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવશે.
વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ વહેતા બે સમાંતર લૂપ એકબીજાને અપાકર્ષે છે.
તેથી,$Loop-B$ એ $Loop-A$ દ્વારા અપાકર્ષાય છે.

(D) પરિપથમાં મહત્તમ પ્રવાહ $i_0 = \frac{V}{R} = \frac{12 \, V}{6 \, \Omega} = 2 \, A$ છે.
$LR$ પરિપથમાં $t$ સમયે પ્રવાહનું સૂત્ર $i(t) = i_0(1 - e^{-Rt/L})$ છે.
આપણે $t$ સમય શોધવો છે જ્યારે $i(t) = 1.0 \, A$ હોય. કિંમતો મૂકતા:
$1.0 = 2(1 - e^{-6t / (8.4 \times 10^{-3})})$
$0.5 = 1 - e^{-6t / (8.4 \times 10^{-3})}$
$e^{-6t / (8.4 \times 10^{-3})} = 0.5$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$-\frac{6t}{8.4 \times 10^{-3}} = \ln(0.5) \approx -0.693$
$t = 0.693 \times \frac{8.4 \times 10^{-3}}{6} = 0.693 \times 1.4 \times 10^{-3} \approx 0.97 \times 10^{-3} \, s \approx 1 \, ms$.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
$0 = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2$
$\Rightarrow m_1 \vec{v}_1 = -m_2 \vec{v}_2$
મૂલ્ય લેતા,આપણને $m_1 v_1 = m_2 v_2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે બંને કણોના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન છે $(p_1 = p_2 = p)$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = h / p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને કણો સમાન મૂલ્યનું વેગમાન $p$ ધરાવતા હોવાથી,તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = h / p$ અને $\lambda_2 = h / p$ થશે.
તેથી,ગુણોત્તર $\lambda_1 / \lambda_2 = (h / p) / (h / p) = 1$ થાય.

(B) દળ ક્રમાંક $A$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસનું દળ આશરે $m = A \times m_p$ છે,જ્યાં $m_p$ એ પ્રોટોનનું દળ છે.
ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0 \approx 1.2 \times 10^{-15} \ m$ છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V} = \frac{A \times m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{1.67 \times 10^{-27}}{\frac{4}{3} \times 3.14 \times (1.2 \times 10^{-15})^3} \approx \frac{1.67 \times 10^{-27}}{7.24 \times 10^{-45}} \approx 2.3 \times 10^{17} \ kg/m^3$.
આમ,ઘનતાનો ક્રમ $10^{17} \ kg/m^3$ છે.

(A) સાચું વિધાન એ છે કે $\beta$-કિરણો એ કેથોડ કિરણો સમાન છે કારણ કે બંને ઉચ્ચ ગતિ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનથી બનેલા છે.
$\gamma$-કિરણો એ ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે,ન્યુટ્રોન નથી.
$\alpha$-કણો એ ડબલી આયોનાઇઝ્ડ હિલિયમ પરમાણુઓ $(He^{2+})$ છે,સિંગલી આયોનાઇઝ્ડ નથી.
પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનનું દળ આશરે સમાન હોય છે,પરંતુ બરાબર સમાન હોતું નથી.

(B) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: $_{10}^{22}Ne \to 2(_2^4He) + _Z^A X$
દળ સંખ્યાના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $22 = 2(4) + A \implies 22 = 8 + A \implies A = 14$
પરમાણુ ક્રમાંકના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $10 = 2(2) + Z \implies 10 = 4 + Z \implies Z = 6$
પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 6$ ધરાવતું ન્યુક્લિયસ કાર્બન $(C)$ છે.
તેથી,અજ્ઞાત ન્યુક્લિયસ કાર્બન છે.

(C) આપેલ છે કે $X$ નું અર્ધ-આયુષ્ય $Y$ ના સરેરાશ આયુષ્ય જેટલું છે:
$({T_{1/2}})_X = ({\tau})_Y$
આપણે જાણીએ છીએ કે ${T_{1/2}} = \frac{0.693}{\lambda}$ અને ${\tau} = \frac{1}{\lambda}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{0.693}{\lambda_X} = \frac{1}{\lambda_Y}$
$\Rightarrow \lambda_X = 0.693 \lambda_Y$
અહીં $0.693 < 1$ હોવાથી,$\lambda_X < \lambda_Y$ મળે છે.
ક્ષયનો દર $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ બંને માટે સમાન છે.
તેથી,$\lambda_Y > \lambda_X$ હોવાથી,$Y$ નો ક્ષય દર $R_Y = \lambda_Y N$ એ $R_X = \lambda_X N$ કરતા વધારે હશે.
આમ,$Y$ એ $X$ કરતા ઝડપી દરે ક્ષય પામશે.

(C) જ્યારે ન્યુક્લીય પ્રક્રિયામાં નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા $(B.E.)$ પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા કરતા વધારે હોય, ત્યારે ઉર્જા મુક્ત થાય છે।
આલેખ પરથી, આપણે દરેક ન્યુક્લીયસ માટે દળ ક્રમાંક $(A)$ અને ન્યુક્લીયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(B.E./A)$ જાણી શકીએ છીએ:
$W$ માટે: $A = 120, B.E./A = 7.5 \, MeV \implies \text{કુલ } B.E. = 120 \times 7.5 = 900 \, MeV$
$X$ માટે: $A = 90, B.E./A = 8.0 \, MeV \implies \text{કુલ } B.E. = 90 \times 8.0 = 720 \, MeV$
$Y$ માટે: $A = 60, B.E./A = 8.5 \, MeV \implies \text{કુલ } B.E. = 60 \times 8.5 = 510 \, MeV$
$Z$ માટે: $A = 30, B.E./A = 5.0 \, MeV \implies \text{કુલ } B.E. = 30 \times 5.0 = 150 \, MeV$
હવે, વિકલ્પ $(c)$ ચકાસીએ: $W \to 2Y$
પ્રક્રિયકોની કુલ $B.E. = 900 \, MeV$
નીપજોની કુલ $B.E. = 2 \times (510) = 1020 \, MeV$
અહીં નીપજોની કુલ $B.E.$ $(1020 \, MeV)$ એ પ્રક્રિયકોની કુલ $B.E.$ $(900 \, MeV)$ કરતા વધારે હોવાથી, આ પ્રક્રિયામાં ઉર્જા મુક્ત થાય છે।

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
$1$. $0 \ K$ તાપમાને,અવાહકમાં કોઈ મુક્ત વિદ્યુતભાર વાહકો હોતા નથી,તેથી પ્રવાહ શૂન્ય હોય છે.
$2$. $0 \ K$ તાપમાને,અર્ધવાહક એક સંપૂર્ણ અવાહક તરીકે વર્તે છે કારણ કે તમામ વેલેન્સ ઇલેક્ટ્રોન બંધાયેલા હોય છે,તેથી પ્રવાહ શૂન્ય હોય છે.
$3$. $300 \ K$ તાપમાને $P-N$ જંકશન ડાયોડમાં,જ્યારે રિવર્સ બાયસ આપવામાં આવે છે,ત્યારે માઇનોરિટી વિદ્યુતભાર વાહકોની હાજરીને કારણે નાનો મર્યાદિત પ્રવાહ (રિવર્સ સેચ્યુરેશન કરંટ) વહે છે.
આ તમામ વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $D$ છે.

(A) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
હવામાં અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = -R$ અને $R_2 = +R$ લેતા,$\frac{1}{f_a} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{R} \right) = 0.5 \left( -\frac{2}{R} \right) = -\frac{1}{R}$,એટલે કે $f_a = -R$.
જ્યારે તેને $1.75$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડુબાડવામાં આવે,ત્યારે સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu_{rel} = \frac{\mu_g}{\mu_m} = \frac{1.5}{1.75} = \frac{6}{7}$ થાય.
નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ માટે,$\frac{1}{f_l} = \left( \frac{6}{7} - 1 \right) \left( -\frac{2}{R} \right) = \left( -\frac{1}{7} \right) \left( -\frac{2}{R} \right) = \frac{2}{7R}$.
આમ,$f_l = +3.5 R$.
કેન્દ્રલંબાઈ ધન હોવાથી,લેન્સ અભિસારી (બહિર્ગોળ) લેન્સ તરીકે વર્તશે.

(B) વિવર્તન ત્યારે જ જોવા મળે છે જ્યારે સ્લિટની પહોળાઈ આપાત વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની તરંગલંબાઈના ક્રમની હોય.
પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ આશરે $589 \, nm$ $(5.89 \times 10^{-7} \, m)$ છે,જે સ્લિટની પહોળાઈ $(0.6 \, mm = 6 \times 10^{-4} \, m)$ ના ક્રમની છે.
$X$-કિરણોની તરંગલંબાઈ સામાન્ય રીતે $0.01 \, nm$ થી $10 \, nm$ ($10^{-11} \, m$ થી $10^{-8} \, m$) ની વચ્ચે હોય છે.
$X$-કિરણોની તરંગલંબાઈ સ્લિટની પહોળાઈ $(0.6 \, mm)$ ની સરખામણીમાં ખૂબ જ નાની હોવાથી,વિવર્તનની શરત સંતોષાતી નથી.
તેથી,કોઈ વિવર્તન ભાત જોવા મળશે નહીં.

(A) નળાકાર સપાટી કાચની પ્લેટને નળાકારની અક્ષને સમાંતર એક રેખા પર સ્પર્શે છે.
નળાકાર સપાટી અને સપાટ કાચની પ્લેટ વચ્ચે બનતી હવાના ફાચર (wedge) ની જાડાઈ આ સંપર્ક રેખાની બંને બાજુએ સમાન રીતે વધે છે.
સમાન પથ તફાવત ધરાવતા બિંદુઓનો બિંદુપથ એ નળાકારની અક્ષને સમાંતર રેખાઓ છે.
આ રેખાઓ પર પથ તફાવત અચળ હોવાથી,અવલોકિત વ્યતિકરણ શલાકાઓ સીધી અને નળાકારની અક્ષને સમાંતર હશે.

(B) પ્રકાશ માટે ડોપ્લર શિફ્ટનું સૂત્ર $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ છે,જ્યાં $v$ એ સ્ત્રોતની સાપેક્ષ ઝડપ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 656 \ nm$,$\Delta \lambda = 706 \ nm - 656 \ nm = 50 \ nm$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
સૂત્ર $v = \frac{c \Delta \lambda}{\lambda}$ માં કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{3 \times 10^8 \times 50}{656}$
$v = \frac{1500}{656} \times 10^7 \ m/s$
$v \approx 2.28 \times 10^7 \ m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $v = 2 \times 10^7 \ m/s$ છે.