IIT JEE 1999 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે $\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,જ્યાં $\omega^3 = 1$.
આપેલ પદાવલિ $4 + 5\omega^{334} + 3\omega^{365}$ છે.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\omega^{334} = \omega^{333} \cdot \omega = (\omega^3)^{111} \cdot \omega = 1^{111} \cdot \omega = \omega$.
તે જ રીતે,$\omega^{365} = \omega^{363} \cdot \omega^2 = (\omega^3)^{121} \cdot \omega^2 = 1^{121} \cdot \omega^2 = \omega^2$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$4 + 5\omega + 3\omega^2$.
ગુણધર્મ $1 + \omega + \omega^2 = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$\omega^2 = -1 - \omega$.
આ કિંમત મૂકતા:
$4 + 5\omega + 3(-1 - \omega) = 4 + 5\omega - 3 - 3\omega = 1 + 2\omega$.
$\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા:
$1 + 2\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - 1 + i\sqrt{3} = i\sqrt{3}$.

(D) ધારો કે $x_n$ એ ચોરસ $S_n$ ની બાજુની લંબાઈ છે. આપેલ છે કે $S_n$ ની બાજુ એ $S_{n+1}$ ના વિકર્ણ જેટલી છે,તેથી $x_n = x_{n+1} \sqrt{2}$.
આથી $x_{n+1} = \frac{x_n}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$x_n = x_1 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$.
$S_n$ નું ક્ષેત્રફળ $A_n = x_n^2 = x_1^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{100}{2^{n-1}}$ થાય.
આપણે $A_n < 1$ જોઈએ છે,તેથી $\frac{100}{2^{n-1}} < 1$,જેનો અર્થ છે કે $2^{n-1} > 100$.
$2^6 = 64$ અને $2^7 = 128$ હોવાથી,$n-1 \ge 7$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $n \ge 8$.
તેથી,$n = 8, 9, 10, \dots$ માટે ક્ષેત્રફળ $1 \ cm^2$ કરતા ઓછું થાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(5 + \sqrt{2})x^2 - (4 + \sqrt{5})x + 8 + 2\sqrt{5} = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $x_1$ અને $x_2$ છે.
બીજનો સરવાળો: $x_1 + x_2 = \frac{4 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}$.
બીજનો ગુણાકાર: $x_1x_2 = \frac{8 + 2\sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}} = \frac{2(4 + \sqrt{5})}{5 + \sqrt{2}} = 2(x_1 + x_2)$.
હરાત્મક મધ્યક $H = \frac{2x_1x_2}{x_1 + x_2}$.
સૂત્રમાં $x_1x_2 = 2(x_1 + x_2)$ મૂકતા:
$H = \frac{2 \times 2(x_1 + x_2)}{x_1 + x_2} = 4$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2ax + a^2 + a - 3 = 0$ છે.
વાસ્તવિક બીજ માટે,વિવેચક $D \ge 0$:
$D = (-2a)^2 - 4(1)(a^2 + a - 3) \ge 0$
$4a^2 - 4a^2 - 4a + 12 \ge 0$
$-4a + 12 \ge 0 \Rightarrow a \le 3$.
ધારો કે $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + a - 3$. બીજ $3$ કરતા નાના હોવાથી,પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = -b/(2a) = a$ એ $3$ કરતા નાનું હોવું જોઈએ અને $f(3) > 0$:
$1$) $a < 3$
$2$) $f(3) = 3^2 - 2a(3) + a^2 + a - 3 > 0$
$a^2 - 5a + 6 > 0$
$(a - 2)(a - 3) > 0$
આથી $a < 2$ અથવા $a > 3$.
$a \le 3$,$a < 3$ અને ($a < 2$ અથવા $a > 3$) ને જોડતા,આપણને $a < 2$ મળે છે.

(C) વિસ્તરણ $(1 + x)^m(1 - x)^n = (1 + mx + \frac{m(m - 1)}{2}x^2 + \dots)(1 - nx + \frac{n(n - 1)}{2}x^2 - \dots)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદોનો ગુણાકાર કરતા,આપણને $1 + (m - n)x + [\frac{n(n - 1)}{2} - mn + \frac{m(m - 1)}{2}]x^2 + \dots$ મળે છે.
$x$ નો સહગુણક $3$ આપેલ છે,તેથી $m - n = 3$,એટલે કે $n = m - 3$.
$x^2$ નો સહગુણક $-6$ આપેલ છે,તેથી $\frac{n^2 - n}{2} - mn + \frac{m^2 - m}{2} = -6$.
સમીકરણમાં $n = m - 3$ મૂકતા:
$\frac{(m - 3)(m - 4)}{2} - m(m - 3) + \frac{m^2 - m}{2} = -6$.
$2$ વડે ગુણતા: $(m^2 - 7m + 12) - 2(m^2 - 3m) + (m^2 - m) = -12$.
$m^2 - 7m + 12 - 2m^2 + 6m + m^2 - m = -12$.
$-2m + 12 = -12$.
$-2m = -24$,તેથી $m = 12$.

(D) આપણે સરવાળા $a(n) = \sum_{k=1}^{2^n-1} \frac{1}{k}$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
પદોને જૂથબદ્ધ કરીને,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a(n) = 1 + (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{2^{n-1}} + \dots + \frac{1}{2^n-1})$.
$\frac{1}{2^{m-1}} + \dots + \frac{1}{2^m-1}$ સ્વરૂપનું દરેક જૂથ $\frac{1}{2}$ કરતા મોટું છે.
આવા $n$ જૂથો હોવાથી,$a(n) > \frac{n}{2}$.
$n=200$ માટે,$a(200) > \frac{200}{2} = 100$.
વળી,આ સરવાળા માટે $a(n) \le n$ એ જાણીતો ગુણધર્મ છે.
આમ,$a(100) \le 100$ અને $a(200) > 100$ બંને સાચા છે.

(A) $\triangle PQR$ માં,$\angle R = \frac{\pi}{2}$,તેથી $P + Q = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{P}{2} + \frac{Q}{2} = \frac{\pi}{4}$.
આપેલ છે કે $\tan(\frac{P}{2})$ અને $\tan(\frac{Q}{2})$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે,તેથી:
બીજનો સરવાળો: $\tan(\frac{P}{2}) + \tan(\frac{Q}{2}) = -\frac{b}{a}$
બીજનો ગુણાકાર: $\tan(\frac{P}{2}) \tan(\frac{Q}{2}) = \frac{c}{a}$
નિત્યસમ $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$
$\frac{\tan(\frac{P}{2}) + \tan(\frac{Q}{2})}{1 - \tan(\frac{P}{2}) \tan(\frac{Q}{2})} = 1$
બીજનો સરવાળો અને ગુણાકાર મૂકતા:
$\frac{-b/a}{1 - c/a} = 1$
$\frac{-b/a}{(a-c)/a} = 1$
$-b = a - c$
$c = a + b$.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા $L_1$ નું સમીકરણ $y = mx$ છે.
વર્તુળના સમીકરણ $x^2 + y^2 - x + 3y = 0$ માં $y = mx$ મૂકતા:
$x^2 + m^2x^2 - x + 3mx = 0$
$x[x(1 + m^2) - (1 - 3m)] = 0$
છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(\frac{1 - 3m}{1 + m^2}, \frac{m(1 - 3m)}{1 + m^2})$ મળે છે.
અંતઃખંડની લંબાઈ $I_1 = \frac{|1 - 3m|}{\sqrt{1 + m^2}}$ મળે.
રેખા $L_2: x + y = 1$ માટે,$y = 1 - x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x^2 - 6x + 4 = 0 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$.
ઉકેલ $x = 1, 2$ મળે છે,તેથી $y = 0, -1$ મળે.
અંતઃખંડની લંબાઈ $I_2 = \sqrt{(1 - 2)^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{2}$ મળે.
$I_1^2 = I_2^2$ લેતા: $\frac{(1 - 3m)^2}{1 + m^2} = 2$.
$7m^2 - 6m - 1 = 0 \Rightarrow (7m + 1)(m - 1) = 0$.
તેથી $m = 1$ અથવા $m = -1/7$.
આમ,રેખાઓ $x - y = 0$ અને $x + 7y = 0$ મળે છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} - px - qy = 0$ છે.
ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $x$-અક્ષ પર $(h, 0)$ છે.
મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે,જ્યાં $T = xx_1 + yy_1 - \frac{p}{2}(x + x_1) - \frac{q}{2}(y + y_1)$ અને $S_1 = x_1^2 + y_1^2 - px_1 - qy_1$.
$(x_1, y_1) = (h, 0)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$xh - \frac{p}{2}(x + h) - \frac{q}{2}y = h^2 - ph$.
આ જીવા $(p, q)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = p$ અને $y = q$ મૂકતા:
$ph - \frac{p}{2}(p + h) - \frac{q^2}{2} = h^2 - ph$.
$2$ વડે ગુણતા:
$2ph - p^2 - ph - q^2 = 2h^2 - 2ph$.
પદોને ગોઠવતા:
$2h^2 - 3ph + p^2 + q^2 = 0$.
બે ભિન્ન જીવાઓ માટે,$h$ માં દ્વિઘાત સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો હોવા જોઈએ.
તેથી,વિવેચક $D > 0$:
$D = (-3p)^2 - 4(2)(p^2 + q^2) > 0$.
$9p^2 - 8p^2 - 8q^2 > 0$.
$p^2 - 8q^2 > 0$.
તેથી,$p^2 > 8q^2$.

(D) આપેલ ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 1$ છે,જેને $\frac{x^2}{1/4} + \frac{y^2}{1/9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $8x = 9y$ નો ઢાળ $m = \frac{8}{9}$ છે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે. $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $4xx_1 + 9yy_1 = 1$ છે.
આ સ્પર્શકનો ઢાળ $-\frac{4x_1}{9y_1}$ છે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,$-\frac{4x_1}{9y_1} = \frac{8}{9}$,જેનું સાદું રૂપ $x_1 = -2y_1$ થાય છે.
$x_1 = -2y_1$ ને ઉપવલયના સમીકરણ $4x_1^2 + 9y_1^2 = 1$ માં મૂકતા:
$4(-2y_1)^2 + 9y_1^2 = 1$
$16y_1^2 + 9y_1^2 = 1$
$25y_1^2 = 1 \implies y_1 = \pm \frac{1}{5}$.
જો $y_1 = \frac{1}{5}$ હોય,તો $x_1 = -2(\frac{1}{5}) = -\frac{2}{5}$.
જો $y_1 = -\frac{1}{5}$ હોય,તો $x_1 = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$.
આમ,બિંદુઓ $\left( -\frac{2}{5}, \frac{1}{5} \right)$ અને $\left( \frac{2}{5}, -\frac{1}{5} \right)$ છે.

(B) બિંદુ $(h, k)$ માટે અતિવલય $S: x^2 - y^2 - 9 = 0$ ની સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ $T = 0$ એટલે કે $xh - yk - 9 = 0$ છે.
આપેલ જીવા $x = 9$ (અથવા $x - 9 = 0$) સાથે સરખાવતા,આપણને $h = 1$ અને $k = 0$ મળે છે.
બિંદુ $(h, k)$ માંથી અતિવલય પરના સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ છે.
અહીં,$S = x^2 - y^2 - 9$,$S_1 = (1)^2 - (0)^2 - 9 = -8$,અને $T = x - 9$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $(x^2 - y^2 - 9)(-8) = (x - 9)^2$.
$-8x^2 + 8y^2 + 72 = x^2 - 18x + 81$.
પદોને ગોઠવતા: $9x^2 - 8y^2 - 18x + 9 = 0$.

(B) ધારો કે $M, P$ અને $C$ એ અનુક્રમે ગણિત,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણશાસ્ત્રમાં પાસ થવાની ઘટનાઓ છે.
આપેલ છે:
$P(M \cup P \cup C) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
$P(\text{ઓછામાં ઓછા બે}) = P(M \cap P) + P(P \cap C) + P(M \cap C) - 2P(M \cap P \cap C) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$
$P(\text{બરાબર બે}) = P(M \cap P) + P(P \cap C) + P(M \cap C) - 3P(M \cap P \cap C) = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$P(M \cap P \cap C) = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{1}{10}$
ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$P(M \cup P \cup C) = (m + p + c) - (mp + pc + mc) + mpc = \frac{3}{4}$
'ઓછામાં ઓછા બે' ની શરત પરથી:
$(mp + pc + mc) - 2mpc = \frac{1}{2} \Rightarrow (mp + pc + mc) = \frac{1}{2} + 2(\frac{1}{10}) = \frac{7}{10}$
આ કિંમતોને ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન સમીકરણમાં મૂકતા:
$(m + p + c) - \frac{7}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{4}$
$m + p + c = \frac{3}{4} + \frac{6}{10} = \frac{15 + 12}{20} = \frac{27}{20}$.

(A) આપેલ છે કે ${x_1}, {x_2}, {x_3}$ અને ${y_1}, {y_2}, {y_3}$ સમાન સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ સાથે $G$.$P$. માં છે,તેથી:
${x_2} = r{x_1}, {x_3} = {r^2}{x_1}$
${y_2} = r{y_1}, {y_3} = {r^2}{y_1}$
બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(ry_1 - r^2y_1) + rx_1(r^2y_1 - y_1) + r^2x_1(y_1 - ry_1)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1y_1(r - r^2) + x_1y_1(r^3 - r) + x_1y_1(r^2 - r^3)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1y_1(r - r^2 + r^3 - r + r^2 - r^3)| = 0$
ક્ષેત્રફળ $0$ હોવાથી,બિંદુઓ એક સીધી રેખા પર આવેલા છે.

(D) આપેલ છે કે ${a_1 = h_1 = 2}$ અને ${a_{10} = h_{10} = 3}$.
$A.P.$ માટે,${a_{10} = a_1 + 9d = 3}$,તેથી ${2 + 9d = 3}$,જે ${d = \frac{1}{9}}$ આપે છે.
આમ,${a_4 = a_1 + 3d = 2 + 3(\frac{1}{9}) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}}$.
$H.P.$ માટે,તેના વ્યસ્ત પદો $\frac{1}{h_n}$ એ $A.P.$ માં હોય છે. ધારો કે ${H_n = \frac{1}{h_n}}$.
તેથી ${H_1 = \frac{1}{2}}$ અને ${H_{10} = \frac{1}{3}}$.
${H_{10} = H_1 + 9D = \frac{1}{3}}$,તેથી ${9D = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}}$,જે ${D = -\frac{1}{54}}$ આપે છે.
તેથી ${H_7 = H_1 + 6D = \frac{1}{2} + 6(-\frac{1}{54}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{7}{18}}$.
કારણ કે ${h_7 = \frac{1}{H_7}}$,તેથી ${h_7 = \frac{18}{7}}$.
તેથી,${a_4 h_7 = \frac{7}{3} \times \frac{18}{7} = 6}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \sec \theta = \frac{2\cos^2(\theta/2)}{\cos \theta}$.
આપેલ ${f_n}(\theta ) = \tan(\theta/2) \cdot (1 + \sec \theta) \cdot (1 + \sec 2\theta) \dots (1 + \sec 2^n \theta)$.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: ${f_n}(\theta ) = \tan(2^n \theta)$ મળે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$1$) ${f_2}(\pi/16) = \tan(\pi/4) = 1$.
$2$) ${f_3}(\pi/32) = \tan(\pi/4) = 1$.
$3$) ${f_4}(\pi/64) = \tan(\pi/4) = 1$.
તેથી,ઉપરોક્ત તમામ સાચા છે.

(C) આપેલ છે $x = t^2 + t + 1$ અને $y = t^2 - t + 1$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $x + y = 2t^2 + 2 = 2(t^2 + 1)$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $x - y = 2t$,જેનો અર્થ છે $t = \frac{x - y}{2}$.
$t$ ની કિંમત $x + y$ માં મૂકતા:
$x + y = 2\left(\left(\frac{x - y}{2}\right)^2 + 1\right) = 2\left(\frac{(x - y)^2}{4} + 1\right) = \frac{(x - y)^2}{2} + 2$.
$2$ વડે ગુણતા: $2(x + y) = (x - y)^2 + 4$.
વિસ્તરણ કરતા: $2x + 2y = x^2 - 2xy + y^2 + 4$.
ગોઠવતા: $x^2 - 2xy + y^2 - 2x - 2y + 4 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, h = -1, b = 1$ મળે છે.
અહીં $h^2 - ab = (-1)^2 - (1)(1) = 1 - 1 = 0$ હોવાથી,આ વક્ર પરવલય દર્શાવે છે.

(C) આપણે લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \tan 2x - 2x \tan x}{(1 - \cos 2x)^2}$ ની ગણતરી કરીએ.
નિત્યસમ $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $(2 \sin^2 x)^2 = 4 \sin^4 x$ થશે.
તેથી,પદ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(\tan 2x - 2 \tan x)}{4 \sin^4 x}$ બને છે.
ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા: $\tan \theta = \theta + \frac{\theta^3}{3} + \dots$ અને $\sin x \approx x$.
$\tan 2x = 2x + \frac{8x^3}{3} + O(x^5)$ અને $2 \tan x = 2x + \frac{2x^3}{3} + O(x^5)$.
અંશ: $x[(2x + \frac{8x^3}{3}) - (2x + \frac{2x^3}{3})] = 2x^4$.
છેદ: $4 \sin^4 x \approx 4x^4$.
લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x^4}{4x^4} = \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\tan^{-1}\sqrt{x(x + 1)} + \sin^{-1}\sqrt{x^2 + x + 1} = \frac{\pi}{2}$ છે.
$\tan^{-1}\sqrt{x(x + 1)}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$x(x + 1) \ge 0$ હોવું જોઈએ.
$\sin^{-1}\sqrt{x^2 + x + 1}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,દલીલ $0 \le \sqrt{x^2 + x + 1} \le 1$ નું પાલન કરવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $0 \le x^2 + x + 1 \le 1$.
કારણ કે $x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$,$x^2 + x + 1$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{3}{4}$ છે.
આમ,શરત $0 \le x^2 + x + 1 \le 1$ એ $\frac{3}{4} \le x^2 + x + 1 \le 1$ માં સરળ બને છે,જેનો અર્થ છે $x^2 + x \le 0$.
$x(x + 1) \ge 0$ અને $x(x + 1) \le 0$ ને જોડતા,આપણને $x(x + 1) = 0$ મળે છે.
આનાથી $x = 0$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
$x = 0$ તપાસતા: $\tan^{-1}(0) + \sin^{-1}(1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. આ એક ઉકેલ છે.
$x = -1$ તપાસતા: $\tan^{-1}(0) + \sin^{-1}(1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. આ એક ઉકેલ છે.
તેથી,કુલ $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(D) ધારો કે $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. કારણ કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,$|a| = 1$ અને $|b| = 1$.
$v = a \times b$,તેથી $|v| = |a||b| \sin \theta = \sin \theta$.
હવે,$u = a - (a \cdot b)b = a - (\cos \theta)b$.
$|u|^2 = u \cdot u = (a - \cos \theta \, b) \cdot (a - \cos \theta \, b) = |a|^2 + \cos^2 \theta |b|^2 - 2 \cos \theta (a \cdot b) = 1 + \cos^2 \theta - 2 \cos^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$.
આમ,$|u| = \sin \theta$.
$|v|$ અને $|u|$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $|v| = |u|$ મળે છે.
વળી,$u \cdot b = (a - \cos \theta \, b) \cdot b = a \cdot b - \cos \theta (b \cdot b) = \cos \theta - \cos \theta = 0$.
તેથી,$|u| + |u \cdot b| = |u| + 0 = |u| = |v|$.
આમ,વિકલ્પ $(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(B) પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ શોધો:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - (-2)) - j(0 - (-2)) + k(2 - 1) = 2i - 2j + k$.
હવે,$a \times b$ નું માન શોધો:
$|a \times b| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
આપેલ છે કે $|c - a| = 2\sqrt{2}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|c - a|^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$.
$|c|^2 - 2(a \cdot c) + |a|^2 = 8$.
કારણ કે $a \cdot c = |c|$ અને $|a|^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 9$:
$|c|^2 - 2|c| + 9 = 8 \Rightarrow |c|^2 - 2|c| + 1 = 0 \Rightarrow (|c| - 1)^2 = 0 \Rightarrow |c| = 1$.
અંતે,$|(a \times b) \times c|$ નું માન સૂત્ર $|u \times v| = |u||v|\sin\theta$ નો ઉપયોગ કરીને શોધો:
$|(a \times b) \times c| = |a \times b| |c| \sin 30^\circ = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(A) સદિશ $c$ એ $a$ અને $b$ સાથે સમતલીય હોવાથી,આપણે $c = xa + yb$ લખી શકીએ,જ્યાં $x$ અને $y$ અદિશ છે.
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$c = x(2i + j + k) + y(i + 2j - k) = (2x + y)i + (x + 2y)j + (x - y)k$.
આપેલ છે કે $c$ એ $a$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$a \cdot c = 0 \implies 2(2x + y) + 1(x + 2y) + 1(x - y) = 0$.
$4x + 2y + x + 2y + x - y = 0 \implies 6x + 3y = 0 \implies y = -2x$.
$y = -2x$ ની કિંમત $c$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$c = (2x - 2x)i + (x - 4x)j + (x + 2x)k = -3xj + 3xk = 3x(-j + k)$.
$c$ એકમ સદિશ હોવાથી,$|c| = 1$:
$|3x| \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = 1 \implies |3x| \sqrt{2} = 1 \implies x = \pm \frac{1}{3\sqrt{2}}$.
તેથી,$c = 3(\pm \frac{1}{3\sqrt{2}})(-j + k) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(-j + k)$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $\frac{1}{\sqrt{2}}(-j + k)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 2^{x(x - 1)}$.
પ્રતિવિધેય શોધવા માટે,ધારો કે $y = f(x) = 2^{x(x - 1)}$.
બંને બાજુ $\log_2$ લેતા,આપણને $\log_2 y = x(x - 1)$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - x - \log_2 y = 0$ માં ફેરવાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4\log_2 y}}{2}$ મળે છે.
વિધેય $f$ નો પ્રદેશ $[1, \infty)$ હોવાથી,$x \ge 1$ હોવું જોઈએ.
જો આપણે ઋણ ચિહ્ન લઈએ,તો $y \ge 1$ માટે $x = \frac{1 - \sqrt{1 + 4\log_2 y}}{2} < 1$ થાય.
તેથી,આપણે ધન ચિહ્ન પસંદ કરવું પડશે: $x = \frac{1 + \sqrt{1 + 4\log_2 y}}{2}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 + 4\log_2 x})$ મળે છે.

(D) વિધેય $f(x) = (x^2 - 1)|(x - 1)(x - 2)| + \cos(|x|)$ છે.
પ્રથમ,પદ $\cos(|x|)$ ને ધ્યાનમાં લો. વિધેય $|x|$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી,તેથી $\cos(|x|)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.
ત્યારબાદ,પદ $(x^2 - 1)|(x - 1)(x - 2)|$ ને ધ્યાનમાં લો. પદ $|(x - 1)(x - 2)|$ એ $(x - 1)(x - 2) = 0$ ના બીજ એટલે કે $x = 1$ અને $x = 2$ આગળ વિકલનીય નથી.
$x = 1$ આગળ,$f(x) = (x^2 - 1)|(x - 1)(x - 2)| + \cos(|x|)$ છે. કારણ કે $(x^2 - 1)$ માં $(x - 1)$ અવયવ છે,તેથી ગુણાકાર $(x^2 - 1)|(x - 1)(x - 2)|$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય બને છે કારણ કે બહુપદીનું શૂન્ય એ માનાંકની અ-વિકલનીયતાને દૂર કરે છે.
$x = 2$ આગળ,પદ $(x^2 - 1)$ ની કિંમત $3 \neq 0$ છે. આમ,$|(x - 1)(x - 2)|$ ની $x = 2$ આગળની અ-વિકલનીયતા જળવાઈ રહે છે.
$x = 2$ માટે તપાસતા:
$Lf'(2) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = -3 - \sin(2)$
$Rf'(2) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = 3 - \sin(2)$
$Lf'(2) \neq Rf'(2)$ હોવાથી,વિધેય $x = 2$ આગળ વિકલનીય નથી.

(D) આપેલ છે $f(x) = [x]^2 - [x^2]$.
$-1 < x < 0$ માટે,$[x] = -1$ અને $[x^2] = 0$,તેથી $f(x) = (-1)^2 - 0 = 1$.
$x = 0$ માટે,$f(0) = 0^2 - 0 = 0$.
$0 < x < 1$ માટે,$[x] = 0$ અને $[x^2] = 0$,તેથી $f(x) = 0^2 - 0 = 0$.
$x = 1$ માટે,$f(1) = 1^2 - 1 = 0$.
$1 < x < \sqrt{2}$ માટે,$[x] = 1$ અને $[x^2] = 1$,તેથી $f(x) = 1^2 - 1 = 0$.
$x = \sqrt{2}$ માટે,$f(\sqrt{2}) = 1^2 - 2 = -1$.
$\sqrt{2} < x < \sqrt{3}$ માટે,$[x] = 1$ અને $[x^2] = 2$,તેથી $f(x) = 1^2 - 2 = -1$.
$x = \sqrt{3}$ માટે,$f(\sqrt{3}) = 1^2 - 3 = -2$.
$\sqrt{3} < x < 2$ માટે,$[x] = 1$ અને $[x^2] = 3$,તેથી $f(x) = 1^2 - 3 = -2$.
$x = 2$ માટે,$f(2) = 2^2 - 4 = 0$.
$2 < x < \sqrt{5}$ માટે,$[x] = 2$ અને $[x^2] = 4$,તેથી $f(x) = 2^2 - 4 = 0$.
$x = \sqrt{5}$ માટે,$f(\sqrt{5}) = 2^2 - 5 = -1$.
પૂર્ણાંકો $n$ પર વિધેયના વર્તનની તપાસ કરતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે વિધેય $x = 1$ સિવાયના તમામ પૂર્ણાંકો પર અસતત છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{-1}^x {t({e^t} - 1)(t - 1){(t - 2)}^3{(t - 3)}^5} dt$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$f'(x) = x({e^x} - 1)(x - 1){(x - 2)}^3{(x - 3)}^5$.
સ્થાનિક અંતિમ મૂલ્યો માટે,આપણે $f'(x) = 0$ લઈએ છીએ,જે ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 0, 1, 2, 3$ આપે છે.
આ બિંદુઓની આસપાસ $f'(x)$ ના ચિહ્નમાં થતા ફેરફારને તપાસીએ:
$1$. $x = 0$ આગળ: $f'(x)$ ઋણથી ઋણમાં બદલાય છે (કોઈ અંતિમ મૂલ્ય નથી).
$2$. $x = 1$ આગળ: $f'(x)$ ઋણથી ધનમાં બદલાય છે (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
$3$. $x = 2$ આગળ: $f'(x)$ ધનથી ઋણમાં બદલાય છે (સ્થાનિક મહત્તમ).
$4$. $x = 3$ આગળ: $f'(x)$ ઋણથી ધનમાં બદલાય છે (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
આમ,વિધેયને $x = 1$ અને $x = 3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્યો છે. વિકલ્પોમાં $1$ આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.
આપણે તેને $f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$ તરીકે લખી શકીએ.
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી $f(x) = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.
નિત્યસમ $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$.
$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x$.
વિધેય વધતું હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \right) = -\sin 4x$.
$f'(x) > 0$ લેતા,$-\sin 4x > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\sin 4x < 0$.
સાઇન વિધેય અંતરાલ $(\pi, 2\pi)$ માં ઋણ હોય છે.
તેથી,$\pi < 4x < 2\pi$.
$4$ વડે ભાગતા,$\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ મળે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,અંતરાલ $\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{8}$ આ વિસ્તારનો એક ભાગ છે,તેથી વિધેય આ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે.

(A) ધારો કે $I = \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{dx}{1 + \cos x}$.
નિત્યસમ $1 + \cos x = 2\cos^2(x/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{dx}{2\cos^2(x/2)} = \frac{1}{2} \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \sec^2(x/2) dx$.
$\sec^2(x/2)$ નું સંકલન કરતા:
$I = \frac{1}{2} [2 \tan(x/2)]_{\pi /4}^{3\pi /4} = [\tan(x/2)]_{\pi /4}^{3\pi /4}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = \tan(3\pi /8) - \tan(\pi /8)$.
$\tan(3\pi /8) = \cot(\pi /8)$ હોવાથી:
$I = \cot(\pi /8) - \tan(\pi /8) = \frac{\cos(\pi /8)}{\sin(\pi /8)} - \frac{\sin(\pi /8)}{\cos(\pi /8)} = \frac{\cos^2(\pi /8) - \sin^2(\pi /8)}{\sin(\pi /8)\cos(\pi /8)}$.
$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ અને $2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{\cos(\pi /4)}{\frac{1}{2}\sin(\pi /4)} = 2 \cot(\pi /4) = 2(1) = 2$.

(B) વક્રનું સમીકરણ $y = x - x^2$ છે.
વક્ર $y = x - x^2$ અને રેખા $y = mx$ ના છેદબિંદુઓ $x - x^2 = mx$ લેવાથી મળે છે,જે $x(1 - x - m) = 0$ આપે છે. તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 1 - m$.
વક્ર અને રેખા દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{1-m} (x - x^2 - mx) dx = \int_{0}^{1-m} ((1 - m)x - x^2) dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ (1 - m)\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1-m}$
$A = (1 - m)\frac{(1 - m)^2}{2} - \frac{(1 - m)^3}{3} = \frac{(1 - m)^3}{2} - \frac{(1 - m)^3}{3} = \frac{(1 - m)^3}{6}$
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $\frac{9}{2}$ છે,તેથી:
$\frac{(1 - m)^3}{6} = \frac{9}{2}$
$(1 - m)^3 = 27$
$1 - m = 3$
$m = -2$
આમ,$m$ ની સાચી કિંમત $-2$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [\pi/2, 3\pi/2]$ માટે,$\sin x$ ની કિંમત $-1$ થી $1$ ની વચ્ચે હોય છે,તેથી $2\sin x$ ની કિંમત $-2$ થી $2$ ની વચ્ચે હોય છે.
આપણે સંકલનને તે બિંદુઓ પર વિભાજિત કરીએ છીએ જ્યાં $[2\sin x]$ તેની કિંમત બદલે છે:
$I = \int_{\pi/2}^{3\pi/2} [2\sin x] \, dx$
$= \int_{\pi/2}^{5\pi/6} [2\sin x] \, dx + \int_{5\pi/6}^{\pi} [2\sin x] \, dx + \int_{\pi}^{7\pi/6} [2\sin x] \, dx + \int_{7\pi/6}^{3\pi/2} [2\sin x] \, dx$
અંતરાલ $[\pi/2, 5\pi/6]$ માં,$1 \le 2\sin x < 2$,તેથી $[2\sin x] = 1$.
અંતરાલ $[5\pi/6, \pi]$ માં,$0 \le 2\sin x < 1$,તેથી $[2\sin x] = 0$.
અંતરાલ $[\pi, 7\pi/6]$ માં,$-1 \le 2\sin x < 0$,તેથી $[2\sin x] = -1$.
અંતરાલ $[7\pi/6, 3\pi/2]$ માં,$-2 \le 2\sin x < -1$,તેથી $[2\sin x] = -2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$I = \int_{\pi/2}^{5\pi/6} (1) \, dx + \int_{5\pi/6}^{\pi} (0) \, dx + \int_{\pi}^{7\pi/6} (-1) \, dx + \int_{7\pi/6}^{3\pi/2} (-2) \, dx$
$I = (5\pi/6 - \pi/2) + 0 - (7\pi/6 - \pi) - 2(3\pi/2 - 7\pi/6)$
$I = (2\pi/6) - (\pi/6) - 2(2\pi/6) = \pi/6 - 4\pi/6 = -3\pi/6 = -\pi/2$.

(D) આપેલ વક્ર ${y^2} = 2c(x + \sqrt{c})$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 2c$,જેનો અર્થ છે કે $c = y \frac{dy}{dx}.$
$c$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
${y^2} = 2 \left( y \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}} \right).$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{y}{2(dy/dx)} - x = \sqrt{y \frac{dy}{dx}}.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\left( \frac{y}{2(dy/dx)} - x \right)^2 = y \frac{dy}{dx}.$
$4(dy/dx)^2$ વડે ગુણતા:
$(y - 2x(dy/dx))^2 = 4y(dy/dx)^3.$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
${y^2} - 4xy \frac{dy}{dx} + 4{x^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 4y \left( \frac{dy}{dx} \right)^3.$
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$4y \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - 4{x^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 4xy \frac{dy}{dx} - {y^2} = 0.$
અહીં મહત્તમ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી કક્ષા $1$ છે. મહત્તમ વિકલિતની ઘાત $3$ છે,તેથી પરિમાણ $3$ છે.
આમ,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $1$ અને પરિમાણ $3$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ ${\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} - x\frac{{dy}}{{dx}} + y = 0$ છે.
આને $y = x\frac{{dy}}{{dx}} - {\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2}$ તરીકે લખી શકાય છે.
ધારો કે $\frac{{dy}}{{dx}} = p$. તો સમીકરણ $y = px - {p^2}$ બને છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{{dy}}{{dx}} = p + x\frac{{dp}}{{dx}} - 2p\frac{{dp}}{{dx}}$.
કારણ કે $\frac{{dy}}{{dx}} = p$,તેથી $p = p + (x - 2p)\frac{{dp}}{{dx}}$.
આનું સાદું રૂપ $(x - 2p)\frac{{dp}}{{dx}} = 0$ થાય છે.
કિસ્સો $1$: $\frac{{dp}}{{dx}} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $p = c$ (અચળાંક).
$p = c$ ને $y = px - {p^2}$ માં મૂકતા,આપણને વ્યાપક ઉકેલ $y = cx - {c^2}$ મળે છે.
જો $c = 2$ લઈએ,તો $y = 2x - {2^2}$,એટલે કે $y = 2x - 4$ મળે છે.
આમ,$y = 2x - 4$ એ એક ઉકેલ છે.

(A) $7^k$ નો છેલ્લો અંક $4$ ની લંબાઈના ચક્રને અનુસરે છે: $7^1=7, 7^2=9, 7^3=3, 7^4=1, 7^5=7, \dots$
$7^m + 7^n$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે,સરવાળાનો છેલ્લો અંક $0$ અથવા $5$ હોવો જોઈએ.
$7$ ની ઘાતના છેલ્લા અંકો ${1, 3, 7, 9}$ હોવાથી,છેલ્લા અંકોના શક્ય સરવાળા નીચે મુજબ છે:
$1+1=2, 1+3=4, 1+7=8, 1+9=10$ ($5$ વડે વિભાજ્ય)
$3+1=4, 3+3=6, 3+7=10$ ($5$ વડે વિભાજ્ય),$3+9=12$
$7+1=8, 7+3=10$ ($5$ વડે વિભાજ્ય),$7+7=14, 7+9=16$
$9+1=10$ ($5$ વડે વિભાજ્ય),$9+3=12, 9+7=16, 9+9=18$
$m$ અને $n$ માટેના $4$ ના દરેક ચક્રમાં,$16$ જોડીઓ છે. $5$ વડે વિભાજ્ય સરવાળો આપતી જોડીઓ $(m, n) \pmod 4$ એ $(1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2)$ છે.
દરેક $4 \times 4$ બ્લોકમાં કુલ $16$ શક્યતાઓમાંથી આવી $4$ જોડીઓ છે.
$100$ એ $4$ નો ગુણક હોવાથી,સંભાવના $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ થાય.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & x + 1 \\ 2x & x(x - 1) & (x + 1)x \\ 3x(x - 1) & x(x - 1)(x - 2) & (x + 1)x(x - 1) \end{array} \right|$ છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ નિશ્ચાયકની હાર (rows) વચ્ચે સુરેખ સંબંધ છે.
નિશ્ચાયકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે કે $f(x) = 0$ દરેક $x$ માટે.
તેથી,$f(100) = 0$ થાય.