यदि पूर्णांकों $m$ और $n$ को $1$ और $100$ के बीच यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,तो $7^m + 7^n$ के रूप की संख्या के $5$ से विभाज्य होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए कि एक कंप्यूटर प्रोग्राम बाइनरी संख्याओं की एक स्ट्रिंग बनाने के लिए केवल $0$ और $1$ अंक उत्पन्न करता है। सम स्थानों पर $0$ के आने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है और विषम स्थानों पर $0$ के आने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है। तो इस बात की प्रायिकता कि $'10'$ के बाद $'01'$ आए,क्या होगी?

मान लीजिए $A$ उन सभी $4$-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है जिनमें कोई भी अंक $0$ नहीं है। मान लीजिए $B \subset A$ उन सभी संख्याओं $x$ से बना है जिनके अंकों का कोई भी क्रमपरिवर्तन $4$ से विभाज्य नहीं है। तो $B$ से सभी सम अंकों वाली संख्या निकालने की प्रायिकता क्या है?

$A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं जहाँ $P(A)=\frac{3}{10}$ और $P(B)=\frac{2}{5}$ है। तो $P(A^{\prime} \cup B)$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक पात्र $A$ में $4$ सफेद और $1$ काली गेंद है; पात्र $B$ में $3$ सफेद और $2$ काली गेंदें हैं और पात्र $C$ में $2$ सफेद और $3$ काली गेंदें हैं। एक गेंद को $A$ से $B$ में यादृच्छिक रूप से स्थानांतरित किया जाता है; बाद में एक गेंद को $B$ से $C$ में यादृच्छिक रूप से स्थानांतरित किया जाता है। अंत में,यदि $C$ से एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है,तो इसके काली गेंद होने की प्रायिकता क्या है?

यदि $A$ और $B$ एक यादृच्छिक प्रयोग की स्वतंत्र घटनाएँ हैं,जैसे कि $P(A \cap B)=\frac{1}{6}$ और $P(\bar{A} \cap \bar{B})=\frac{1}{3}$,तो $P(A)$ का मान ज्ञात कीजिए। (यहाँ,$\bar{E}$ घटना $E$ की पूरक घटना है)