જો $a = i + j + k$,$b = 4i + 3j + 4k$ અને $c = i + \alpha j + \beta k$ એ સુરેખ રીતે આધારિત સદિશો હોય અને $|c| = \sqrt{3}$ હોય,તો

જો બિંદુઓ $2a+3b-c, a-2b+3c, 3a+\lambda b-2c$ અને $a-6b+6c$ સમતલીય હોય,તો સદિશ $\lambda \hat{i}-2\lambda \hat{j}+\hat{k}$ ની દિક્કોસાઇન શોધો.

સમાંતરબાજુ ફલક (parallelepiped) કે જેની ધાર $\hat{i}+x \hat{j}+\hat{k}$,$\hat{j}+x \hat{k}$,અને $x \hat{i}+\hat{k}$ હોય,તેના ઘનફળની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમત અનુક્રમે કેટલી થાય?

ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{c}$ એવો સદિશ છે કે જેથી $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$ થાય. જો $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} + z(\vec{a} \times \vec{b})$ હોય,તો $x + y + z$ ની કિંમત શોધો:

જો સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j} + a\hat{k}$,અને $\vec{c} = a\hat{i} + \hat{k}$ આપેલા હોય,તો $a$ ની એવી કિંમત શોધો જેના માટે આ ત્રણ સદિશો દ્વારા બનતા સમાંતર ષટફલકનું ઘનફળ ન્યૂનતમ થાય.

$[(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c})] \cdot \vec{d} = \dots$