AIPMT 2008 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) ऊर्जा घनत्व का विमीय सूत्र: $\text{ऊर्जा घनत्व} = \frac{\text{ऊर्जा}}{\text{आयतन}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
यंग मापांक $(Y)$ की परिभाषा: $Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} = \frac{\text{बल/क्षेत्रफल}}{\text{लंबाई में परिवर्तन/प्रारंभिक लंबाई}}$.
चूंकि विकृति विमाहीन है,इसलिए यंग मापांक की विमाएं प्रतिबल के समान होती हैं: $[Y] = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
अपवर्तनांक और परावैद्युतांक विमाहीन राशियाँ हैं।
चुंबकीय क्षेत्र की विमाएं $[MT^{-2}A^{-1}]$ होती हैं।
अतः,ऊर्जा घनत्व और यंग मापांक की विमाएं समान हैं।

(C) त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 2\%$ दी गई है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
घातों के लिए त्रुटि के प्रसार के नियम का उपयोग करते हुए,आयतन में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} = 3 \times \frac{\Delta r}{r}$ होती है।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करें:
$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times (\frac{\Delta r}{r} \times 100)$.
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times 2\% = 6\%$.

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 10 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 20 \, m/s$,और दूरी $s = 135 \, m$ है।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर:
$(20)^2 - (10)^2 = 2 \times a \times 135$
$400 - 100 = 270a$
$300 = 270a$
$a = \frac{300}{270} = \frac{10}{9} \, m/s^2$.
अब,$t$ ज्ञात करने के लिए समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$20 = 10 + (\frac{10}{9})t$
$10 = (\frac{10}{9})t$
$t = 9 \, s$.

(A) $n^{th}$ सेकंड में कण द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$।
यहाँ,प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m/s$,त्वरण $a = \frac{4}{3} \ m/s^2$,और समय $n = 3 \ s$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$S_3 = 0 + \frac{4/3}{2}(2(3) - 1)$
$S_3 = \frac{4}{6}(6 - 1)$
$S_3 = \frac{2}{3}(5)$
$S_3 = \frac{10}{3} \ m$।
अतः,तीसरी सेकंड में तय की गई दूरी $\frac{10}{3} \ m$ है।

(A) कण का प्रारंभिक वेग $\vec{u} = v \cos \theta \hat{i} + v \sin \theta \hat{j}$ है।
जब कण जमीन पर वापस आता है,तो उसका अंतिम वेग $\vec{v}_f = v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j}$ होता है।
प्रारंभिक संवेग $\vec{p}_i = m(v \cos \theta \hat{i} + v \sin \theta \hat{j})$ है।
अंतिम संवेग $\vec{p}_f = m(v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j})$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = -2mv \sin \theta \hat{j}$ है।
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{p}| = 2mv \sin \theta$ है।
यहाँ $\theta = 45^\circ$ दिया गया है,इसलिए $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होता है।
अतः,$|\Delta \vec{p}| = 2mv \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}mv$।

(D) कण का तात्क्षणिक वेग दूरी-समय ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है,जो $v = \frac{ds}{dt}$ है।
दूरी-समय ग्राफ में,ढाल को किसी भी बिंदु पर वक्र की तीव्रता (steepness) द्वारा दर्शाया जाता है।
चित्र का अवलोकन करने पर,बिंदु $C$ पर वक्र सबसे अधिक तीव्र है,जिसका अर्थ है कि इस बिंदु पर ढाल अधिकतम है।
इसलिए,बिंदु $C$ के आसपास तात्क्षणिक वेग अधिकतम है।

(C) कन्वेयर बेल्ट की गति को बनाए रखने के लिए आवश्यक बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वेग $v$ स्थिर है,बल $F = \frac{dp}{dt} = \frac{d}{dt}(mv)$ है।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$F = v \frac{dm}{dt} + m \frac{dv}{dt}$।
चूंकि वेग $v$ स्थिर है,इसलिए $\frac{dv}{dt} = 0$ होगा।
यह दिया गया है कि द्रव्यमान जमा होने की दर $\frac{dm}{dt} = M \ kg/s$ है,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$F = v \cdot M + m \cdot 0 = Mv$।
अतः,कन्वेयर बेल्ट को $v \ m/s$ के निरंतर वेग से गतिमान रखने के लिए आवश्यक बल $Mv \ N$ है।

(C) परिणामी बल केवल $y-$ दिशा में हो,इसके लिए $x-$ दिशा में कुल बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि अतिरिक्त बल $\vec{F}_{add} = F_x \hat{i} + F_y \hat{j}$ है।
दिए गए बलों के $x-$ घटक इस प्रकार हैं:
$F_{1x} = 1 \cos(60^{\circ}) = 1 \times 0.5 = 0.5 \ N$
$F_{2x} = 2 \cos(60^{\circ}) = 2 \times 0.5 = 1.0 \ N$
$F_{4x} = -4 \sin(30^{\circ}) = -4 \times 0.5 = -2.0 \ N$
$x-$ घटकों का योग = $0.5 + 1.0 - 2.0 = -0.5 \ N$.
कुल $x-$ घटक को शून्य करने के लिए,हमें एक अतिरिक्त बल $F_x$ की आवश्यकता है ताकि $-0.5 + F_x = 0$ हो,जिससे $F_x = 0.5 \ N$ प्राप्त होता है।
अतः,आवश्यक न्यूनतम अतिरिक्त बल का परिमाण $0.5 \ N$ है।

(C) पहाड़ी के शीर्ष पर, सवार पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ और ऊपर की ओर लंबवत प्रतिक्रिया बल $(N)$ हैं।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल केंद्र की ओर शुद्ध बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $mg - N = \frac{mv^2}{R}$।
"भारहीनता" की स्थिति के लिए, लंबवत प्रतिक्रिया $N$ शून्य होनी चाहिए।
इसलिए, $mg = \frac{mv^2}{R}$।
वेग $v$ के लिए हल करने पर: $v = \sqrt{Rg}$।
यहाँ $R = 20\, m$ और $g = 10\, m/s^2$ लेने पर, हमें प्राप्त होता है:
$v = \sqrt{20 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14.14\, m/s$।
अतः, गति $14\, m/s$ और $15\, m/s$ के बीच है।

(C) पानी के प्रवाह की दर $\frac{dm}{dt} = 15\, kg/s$ है।
ऊँचाई $h = 60\, m$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m/s^2$ है।
प्रति सेकंड उपलब्ध कुल स्थितिज ऊर्जा (इनपुट शक्ति) $P_{in} = \frac{dm}{dt} \cdot g \cdot h = 15 \times 10 \times 60 = 9000\, W$ है।
घर्षण के कारण नुकसान $10\%$ है,इसलिए टरबाइन की दक्षता $90\%$ है।
टरबाइन द्वारा उत्पन्न शक्ति $P_{out} = P_{in} \times 0.90 = 9000 \times 0.90 = 8100\, W$ है।
किलोवाट में बदलने पर,$P_{out} = 8.1\, kW$ प्राप्त होता है।

(C) माना गोले का द्रव्यमान $m = 0.2\, kg$ है और बंदूक का द्रव्यमान $M = 4\, kg$ है। माना गोले का वेग $v$ है और बंदूक का प्रतिक्षेप वेग $V$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$mv = MV$,इसलिए $V = (m/M)v$.
विस्फोट द्वारा उत्पन्न कुल ऊर्जा गोले और बंदूक की गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है:
$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2$
$V = (m/M)v$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}M(\frac{m}{M}v)^2 = \frac{1}{2}mv^2 (1 + \frac{m}{M})$
यहाँ $E = 1.05\, kJ = 1050\, J$,$m = 0.2\, kg$,और $M = 4\, kg$ दिया गया है:
$1050 = \frac{1}{2} \times 0.2 \times v^2 \times (1 + \frac{0.2}{4})$
$1050 = 0.1 \times v^2 \times (1 + 0.05)$
$1050 = 0.1 \times 1.05 \times v^2$
$1050 = 0.105 \times v^2$
$v^2 = \frac{1050}{0.105} = 10000$
$v = 100\, m/s$.

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ से,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
घनत्व $\rho = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}$ होता है।
घनत्व और दाब का अनुपात $\frac{\rho}{P} = \frac{M}{RT}$ है।
चूंकि $M$ और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\frac{\rho}{P} \propto \frac{1}{T}$ है।
माना $T_1 = 10^{\circ} C = 283 \ K$ पर अनुपात $x_1 = x$ है।
माना $T_2 = 110^{\circ} C = 383 \ K$ पर अनुपात $x_2$ है।
चूंकि $x \cdot T = \text{स्थिरांक}$ है,इसलिए $x_1 T_1 = x_2 T_2$ होगा।
$x \cdot 283 = x_2 \cdot 383$.
अतः,$x_2 = \left( \frac{283}{383} \right)x$।

(D) छड़ को उसके मध्य बिंदु पर दो हिस्सों में मोड़ा जाता है,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $l = L/2$ और द्रव्यमान $m = M/2$ है।
प्रत्येक आधा हिस्सा $L/2$ लंबाई और $M/2$ द्रव्यमान वाली एक पतली छड़ के रूप में कार्य करता है जो उसके एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः घूमती है।
$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई वाली एक पतली छड़ का उसके एक सिरे से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3}ml^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$m = M/2$ और $l = L/2$ है।
अतः,मुड़ने वाले बिंदु $O$ के परितः एक आधे हिस्से का जड़त्व आघूर्ण $I_{half} = \frac{1}{3} \times (M/2) \times (L/2)^2 = \frac{1}{3} \times \frac{M}{2} \times \frac{L^2}{4} = \frac{ML^2}{24}$ है।
चूंकि दोनों आधे हिस्से समान हैं और $O$ से गुजरने वाली समान अक्ष के परितः घूमते हैं,इसलिए कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_{half} + I_{half} = 2 \times \frac{ML^2}{24} = \frac{ML^2}{12}$ होगा।

(A) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ $I_{disc} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है। घूर्णन त्रिज्या $(k)$ को $I = Mk^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है। अतः,$k_{disc} = \sqrt{\frac{I}{M}} = \sqrt{\frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}$।
एक वृत्ताकार वलय (रिंग) का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ $I_{ring} = MR^2$ होता है। अतः,$k_{ring} = \sqrt{\frac{I}{M}} = \sqrt{R^2} = R$।
डिस्क और वलय की घूर्णन त्रिज्या का अनुपात $\frac{k_{disc}}{k_{ring}} = \frac{R/\sqrt{2}}{R} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(D) दो रैखिक तापमान पैमानों के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{T_W - \text{Freezing point}_W}{\text{Boiling point}_W - \text{Freezing point}_W} = \frac{T_C - \text{Freezing point}_C}{\text{Boiling point}_C - \text{Freezing point}_C}$.
$W$ पैमाने के लिए दिया गया है: हिमांक = $39\,^{\circ}W$,क्वथनांक = $239\,^{\circ}W$.
सेल्सियस पैमाने के लिए दिया गया है: हिमांक = $0\,^{\circ}C$,क्वथनांक = $100\,^{\circ}C$.
मान रखने पर:
$\frac{T_W - 39}{239 - 39} = \frac{39 - 0}{100 - 0}$
$\frac{T_W - 39}{200} = \frac{39}{100}$
$T_W - 39 = \frac{39}{100} \times 200$
$T_W - 39 = 39 \times 2 = 78$
$T_W = 78 + 39 = 117\,^{\circ}W$.

(C) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$,जहाँ $Q$ जोड़ी गई ऊष्मा है,$\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है,और $W$ किया गया कार्य है।
आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है,जिसका अर्थ है कि यह केवल निकाय की प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करती है।
एक बंद चक्रीय प्रक्रिया में,चक्र पूरा करने के बाद निकाय अपनी प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाता है।
चूंकि प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाएं समान हैं,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ (यहाँ $E$ के रूप में दर्शाया गया है) शून्य होना चाहिए।
इसलिए,$E = 0$।

(D) कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_{1} = 100 \, rad \, s^{-1}$ और $\omega_{2} = 1000 \, rad \, s^{-1}$ दी गई हैं।
मान लीजिए कि समान विस्थापन आयाम $A$ है।
सरल आवर्त गति के लिए अधिकतम त्वरण $a_{max}$ का सूत्र $a_{max} = \omega^2 A$ है।
पहली गति के लिए,$a_{max1} = \omega_{1}^2 A = (100)^2 A$.
दूसरी गति के लिए,$a_{max2} = \omega_{2}^2 A = (1000)^2 A$.
उनके अधिकतम त्वरण का अनुपात $\frac{a_{max1}}{a_{max2}} = \frac{\omega_{1}^2 A}{\omega_{2}^2 A} = \frac{\omega_{1}^2}{\omega_{2}^2}$ है।
मान रखने पर,$\frac{a_{max1}}{a_{max2}} = \frac{(100)^2}{(1000)^2} = \frac{10000}{1000000} = \frac{1}{100}$.
अतः,अनुपात $1:10^2$ है।

(A) दिया गया तरंग समीकरण $y = 0.25 \sin(10\pi x - 2\pi t)$ है।
इसकी तुलना मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(kx - \omega t)$ से करने पर:
$1$. आयाम $A = 0.25 \text{ m}$ है।
$2$. तरंग संख्या $k = 10\pi$ है। चूँकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $\frac{2\pi}{\lambda} = 10\pi$,जिससे $\lambda = 0.2 \text{ m}$ प्राप्त होता है।
$3$. कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi$ है। चूँकि $\omega = 2\pi f$,इसलिए $2\pi f = 2\pi$,जिससे $f = 1 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
$4$. $kx$ और $\omega t$ पदों के बीच ऋणात्मक चिह्न होने के कारण,तरंग धनात्मक $x$-दिशा में यात्रा कर रही है।
अतः,तरंग $+ve$ $x$-दिशा में $1 \text{ Hz}$ आवृत्ति और $\lambda = 0.2 \text{ m}$ तरंगदैर्ध्य के साथ यात्रा कर रही है।

(B) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $A$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I = kA^2$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है। अतः,$A = \sqrt{I/k}$।
जब दो तरंगें अध्यारोपित होती हैं,तो अधिकतम और न्यूनतम आयाम $A_{\max} = A_1 + A_2$ और $A_{\min} = |A_1 - A_2|$ द्वारा दिए जाते हैं।
अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = k(A_1 + A_2)^2 = k(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}$ है।
न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = k(A_1 - A_2)^2 = k(A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2) = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}$ है।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रताओं को जोड़ने पर:
$I_{\max} + I_{\min} = (I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}) + (I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}) = 2(I_1 + I_2)$।

(B) गति का समीकरण $x = A \sin(\omega t + \frac{\pi}{6})$ है।
वेग $v$ विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \frac{\pi}{6})$.
अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega$ है।
हमें दिया गया है कि वेग उसके अधिकतम वेग का आधा है: $v = \frac{v_{max}}{2}$.
मान रखने पर: $A\omega \cos(\omega t + \frac{\pi}{6}) = \frac{A\omega}{2}$.
यह सरल होकर $\cos(\omega t + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ हो जाता है।
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\omega t + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ का उपयोग करने पर,$\frac{2\pi}{T} t + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
$t$ के लिए हल करने पर: $\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$t = \frac{\pi}{6} \times \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$.

(D) दिया गया है:
पहले बिंदु की दूरी,$x_1 = 10\;m$
दूसरे बिंदु की दूरी,$x_2 = 15\;m$
दोलन का आवर्तकाल,$T = 0.05\;s$
तरंग का वेग,$v = 300\;m/s$
दोनों बिंदुओं के बीच पथ अंतर (path difference):
$\Delta x = x_2 - x_1 = 15 - 10 = 5\;m$
सबसे पहले,$v = f \lambda$ सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें,जहाँ $f = \frac{1}{T}$:
$f = \frac{1}{0.05} = 20\;Hz$
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{300}{20} = 15\;m$
कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$
मान रखने पर:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{15} \times 5 = \frac{2\pi}{3}$

(B) क्यूरी तापमान $(T_C)$ लौहचुंबकीय पदार्थों का एक विशिष्ट गुण है।
$T_C$ से कम तापमान पर,चुंबकीय डोमेन के संरेखण के कारण पदार्थ लौहचुंबकीय गुण प्रदर्शित करता है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है और $T_C$ तक पहुँचता है,तापीय हलचल इतनी प्रबल हो जाती है कि वह उस एक्सचेंज कपलिंग को समाप्त कर देती है जो इन डोमेन के संरेखण को बनाए रखती है।
परिणामस्वरूप,क्यूरी तापमान से ऊपर,पदार्थ अपना स्वतःस्फूर्त चुंबकत्व खो देता है और अनुचुंबकीय अवस्था में परिवर्तित हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(C) नाभिक की बंधन ऊर्जा $B$ को द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ के ऊर्जा समतुल्य के रूप में परिभाषित किया गया है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = (Z M_p + N M_n) - M(N, Z)$ द्वारा दी जाती है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध के अनुसार,$B = \Delta m c^2$।
$\Delta m$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B = [Z M_p + N M_n - M(N, Z)] c^2$ प्राप्त होता है।
$M(N, Z)$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$B / c^2 = Z M_p + N M_n - M(N, Z)$
$M(N, Z) = Z M_p + N M_n - B / c^2$।

(D) जब $f_1$ और $f_2$ फोकस दूरी वाले दो पतले लेंस संपर्क में रखे जाते हैं,तो संयोजन की समतुल्य फोकस दूरी $F$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
समान हर (denominator) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{F} = \frac{f_2 + f_1}{f_1 f_2}$
लेंस की शक्ति $P$ को मीटर में उसकी फोकस दूरी के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $P = \frac{1}{F}$।
इसलिए,संयोजन की शक्ति $P = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$ है।

(C) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में स्थित समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच विभवांतर $V = Ed$ द्वारा दिया जाता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
ऊर्जा के सूत्र में $C$ और $V$ के मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) (Ed)^2$
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) E^2 d^2$
$U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 Ad$.

(C) $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $Q$ के कारण विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V = Q \times 10^{11} \, V$,इसलिए $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r} = Q \times 10^{11}$।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{r} = 4 \pi \varepsilon_0 \times 10^{11}$ प्राप्त होता है।
उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2} = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r} \right) \cdot \frac{1}{r}$ होता है।
मान रखने पर,$E = (Q \times 10^{11}) \times (4 \pi \varepsilon_0 \times 10^{11})$।
अतः,$E = 4 \pi \varepsilon_0 Q \times 10^{22} \, V/m$।

(D) समान रूप से आवेशित रिंग के केंद्र $O$ पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
मान लीजिए कि रिंग को चार समान भागों में विभाजित किया गया है: $AK$,$KB$,$BD$,और $DC$। प्रत्येक भाग पर $+Q/4$ आवेश है।
$AKB$ भाग के कारण केंद्र $O$ पर विद्युत क्षेत्र $AK$ और $KB$ के कारण क्षेत्रों का सदिश योग है। मान लीजिए कि यह परिणामी क्षेत्र $E$ है जो $KO$ की दिशा में है।
$ACDB$ भाग में $AC$,$CD$,और $DB$ खंड शामिल हैं।
समरूपता के कारण,$AC$ भाग पर आवेश के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र $BD$ भाग पर आवेश के कारण क्षेत्र के बराबर और विपरीत होता है। इस प्रकार,वे एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
इसलिए,$ACDB$ भाग के कारण $O$ पर शुद्ध विद्युत क्षेत्र केवल $CD$ भाग के कारण विद्युत क्षेत्र के बराबर होता है।
चूंकि पूरी रिंग का कुल क्षेत्र शून्य है,इसलिए $AKB$ के कारण क्षेत्र $ACDB$ के कारण क्षेत्र के बराबर और विपरीत होना चाहिए।
यदि $AKB$ के कारण क्षेत्र $KO$ की दिशा में $E$ है,तो $ACDB$ के कारण क्षेत्र $OK$ की दिशा में $E$ होना चाहिए ताकि सदिश योग शून्य हो सके।

(C) माना प्रारंभिक लंबाई $l$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है। प्रारंभिक प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ है।
जब तार को $10\%$ खींचा जाता है,तो नई लंबाई $l' = l + 0.1l = 1.1l$ हो जाती है।
चूंकि आयतन $V = Al$ स्थिर रहता है,इसलिए $A'l' = Al \Rightarrow A' = \frac{Al}{1.1l} = \frac{A}{1.1}$ होगा।
नया प्रतिरोध $R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{1.1l}{A/1.1} = (1.1)^2 \rho \frac{l}{A} = 1.21 R$ होगा।
विशिष्ट प्रतिरोध (प्रतिरोधकता) $\rho$ पदार्थ का एक गुण है और यह केवल तापमान पर निर्भर करता है,तार के आयामों पर नहीं।
अतः,नया प्रतिरोध मूल प्रतिरोध का $1.21$ गुना हो जाता है और विशिष्ट प्रतिरोध समान रहता है।

(C) शक्ति $P = V \times I = 220\, V \times 4\, A = 880\, W = 880\, J/s$.
$1\, kg$ $(1000\, g)$ पानी का तापमान $20\, ^oC$ से $100\, ^oC$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा:
$Q = mc\Delta T$
$Q = 1000\, g \times 4.2\, J/g\, ^oC \times (100\, ^oC - 20\, ^oC)$
$Q = 1000 \times 4.2 \times 80 = 336,000\, J$.
लिया गया समय $t = \frac{Q}{P} = \frac{336,000\, J}{880\, J/s} \approx 381.8\, s$.
मिनट में रूपांतरण: $t = \frac{381.8}{60} \approx 6.36\, min \approx 6.3\, min$.

(C) मान लीजिए $\varepsilon$ सेल का $EMF$ है और $r$ इसका आंतरिक प्रतिरोध है। मान लीजिए $V/L$ पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेल शॉर्ट-सर्किट नहीं होता है,तो संतुलन लंबाई $l_1 = 110 \, cm$ होती है। $EMF$ इस प्रकार संतुलित होता है:
$\varepsilon = (V/L) \times 110$ ....$(i)$
जब सेल को $R = 10 \, \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध के माध्यम से शॉर्ट-सर्किट किया जाता है,तो टर्मिनल वोल्टेज $V_t$ को $l_2 = 100 \, cm$ पर संतुलित किया जाता है। टर्मिनल वोल्टेज $V_t = \frac{\varepsilon R}{R + r}$ द्वारा दिया जाता है।
$V_t = (V/L) \times 100$ ....$(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\varepsilon}{V_t} = \frac{110}{100}$
$\frac{\varepsilon}{\varepsilon R / (R + r)} = \frac{11}{10}$
$\frac{R + r}{R} = 1.1$
$1 + \frac{r}{R} = 1.1$
$\frac{r}{R} = 0.1$
$r = 0.1 \times R = 0.1 \times 10 \, \Omega = 1 \, \Omega$.

(B) प्रारंभिक कुल प्रतिरोध $R_{total,1} = R_G + R_1 = 50\, \Omega + 2950\, \Omega = 3000\, \Omega$ है।
पूर्ण-स्केल विक्षेप ($30$ डिवीजन) के लिए धारा $I_1 = \frac{V}{R_{total,1}} = \frac{3\, V}{3000\, \Omega} = 1 \times 10^{-3}\, A = 1\, mA$ है।
विक्षेप को $20$ डिवीजनों तक कम करने के लिए,नई धारा $I_2$ डिवीजनों के अनुपात में होनी चाहिए: $I_2 = I_1 \times \frac{20}{30} = 1\, mA \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\, mA$।
नए परिपथ के लिए ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$V = I_2 \times R_{total,2}$,जहाँ $R_{total,2} = R_G + R_2$ है।
$3\, V = (\frac{2}{3} \times 10^{-3}\, A) \times R_{total,2}$।
$R_{total,2} = \frac{3 \times 3}{2} \times 10^3\, \Omega = 4500\, \Omega$।
चूँकि $R_{total,2} = R_G + R_2$,आवश्यक श्रेणी प्रतिरोध $R_2 = 4500\, \Omega - 50\, \Omega = 4450\, \Omega$ है।

(A) जब कोई आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो वह चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = Q(\vec{v} \times \vec{B})$ का अनुभव करता है।
चूंकि बल हमेशा कण के वेग के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र द्वारा कण पर किया गया कार्य शून्य होता है $(W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0)$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन शुद्ध बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है।
चूंकि किया गया कार्य शून्य है,इसलिए गति के दौरान कण की गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
अतः,$3$ $seconds$ के बाद भी गतिज ऊर्जा $K$ ही रहेगी।

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही बंद लूप पर कुल चुंबकीय बल शून्य होता है।
मान लीजिए खंड $QP$ पर बल $F_4$ है।
चूंकि लूप इन बलों के प्रभाव में संतुलन में है,इसलिए सभी बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए:
$\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4} = 0$
$\vec{F_4} = -(\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3})$
बलों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित करने पर:
मान लीजिए क्षैतिज दिशा $x$-अक्ष (दाहिनी ओर धनात्मक) के अनुदिश है और ऊर्ध्वाधर दिशा $y$-अक्ष (ऊपर की ओर धनात्मक) के अनुदिश है।
$F_{4x} = -(F_{3x} + F_{2x} + F_{1x}) = -(F_3 + 0 - F_1) = F_1 - F_3$
$F_{4y} = -(F_{3y} + F_{2y} + F_{1y}) = -(0 - F_2 + 0) = F_2$
बल $F_4$ का परिमाण इस प्रकार है:
$F_4 = \sqrt{F_{4x}^2 + F_{4y}^2} = \sqrt{(F_1 - F_3)^2 + F_2^2} = \sqrt{(F_3 - F_1)^2 + F_2^2}$

(C) पृथ्वी से देखे जाने पर सूर्य का कोणीय व्यास $\alpha = \frac{\text{सूर्य का व्यास}}{\text{सूर्य की दूरी}} = \frac{1.39 \times 10^9}{1.5 \times 10^{11}} \approx 9.26 \times 10^{-3}\, \text{रेडियन}$ है।
जब सूर्य के प्रकाश को $f = 10\, cm = 0.1\, m$ फोकस दूरी वाले लेंस द्वारा केंद्रित किया जाता है,तो सूर्य का प्रतिबिंब फोकस पर बनता है।
प्रतिबिंब का व्यास $d$,$d = f \times \alpha$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $d = 0.1\, m \times (\frac{1.39 \times 10^9}{1.5 \times 10^{11}})$.
$d = 0.1 \times 0.926 \times 10^{-2} = 0.0926 \times 10^{-2} = 9.26 \times 10^{-4}\, m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $9.2 \times 10^{-4}\, m$ है।

(C) कार्य फलन $\Phi = 6.2\, eV$ दिया गया है।
निरोधी विभव $V_s = 5\, V$ है,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = e V_s = 5\, eV$ होगी।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \Phi + K_{\max} = 6.2\, eV + 5\, eV = 11.2\, eV$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{hc}{E}$ द्वारा प्राप्त होती है। $hc \approx 12400\, eV\cdot\mathring{A}$ का उपयोग करने पर,$\lambda = \frac{12400}{11.2} \approx 1107\, \mathring{A}$ प्राप्त होता है।
चूंकि तरंगदैर्ध्य $1107\, \mathring{A}$,$100\, \mathring{A}$ से $4000\, \mathring{A}$ की सीमा में है,इसलिए यह पराबैंगनी (ultraviolet) क्षेत्र में स्थित है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
चूंकि तरंगदैर्ध्य समान हैं,इसलिए $\frac{h}{m_p v_p} = \frac{h}{m_e v_e}$ होगा।
यह $m_p v_p = m_e v_e$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है: कण का द्रव्यमान $m_p = 1 \, mg = 10^{-6} \, kg$,इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$,और इलेक्ट्रॉन का वेग $v_e = 3 \times 10^6 \, m/s$ है।
मान रखने पर: $10^{-6} \, kg \times v_p = 9.1 \times 10^{-31} \, kg \times 3 \times 10^6 \, m/s$।
$v_p = \frac{27.3 \times 10^{-25}}{10^{-6}} \, m/s = 27.3 \times 10^{-19} \, m/s = 2.73 \times 10^{-18} \, m/s$।
अतः,कण का वेग $2.7 \times 10^{-18} \, m/s$ है।

(A) परिनालिका का स्व-प्रेरकत्व $L$ संबंध $\Phi_{total} = L \cdot I$ द्वारा परिभाषित होता है,जहाँ $\Phi_{total}$ परिनालिका से संबद्ध कुल चुंबकीय फ्लक्स है।
परिनालिका से संबद्ध कुल चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_{total} = N \cdot \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है और $\phi$ प्रत्येक फेरे से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स है।
दिया गया है:
फेरों की संख्या $N = 500$
धारा $I = 2 \, A$
प्रति फेरा फ्लक्स $\phi = 4 \times 10^{-3} \, Wb$
कुल फ्लक्स $\Phi_{total} = 500 \times 4 \times 10^{-3} \, Wb = 2 \, Wb$.
सूत्र $L = \frac{\Phi_{total}}{I}$ का उपयोग करने पर:
$L = \frac{2 \, Wb}{2 \, A} = 1 \, H$.
अतः,परिनालिका का स्व-प्रेरकत्व $1 \, H$ है।

(C) चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ (जो सतह के लंबवत होता है) के बीच का कोण है।
दिया गया है,त्रिज्या $R = 0.2 \; m$,इसलिए क्षेत्रफल $A = \pi R^2 = \pi (0.2)^2 = 0.04\pi \; m^2$.
चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{1}{\pi} \; Wb/m^2$.
डिस्क की अक्ष $\vec{B}$ के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है। चूंकि क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ डिस्क की अक्ष के अनुदिश होता है,इसलिए $\vec{B}$ और $\vec{A}$ के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
अतः,$\phi = B A \cos 60^{\circ} = \left(\frac{1}{\pi}\right) \times (0.04\pi) \times \cos 60^{\circ}$.
$\phi = 0.04 \times \frac{1}{2} = 0.02 \; Wb$.

(B) $A.C.$ परिपथ में तात्कालिक शक्ति $p$,तात्कालिक $e.m.f.$ और तात्कालिक धारा का गुणनफल है:
$p = E \cdot i = (E_o \sin \omega t) \cdot (I_o \sin(\omega t - \phi))$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ का उपयोग करने पर:
$p = \frac{E_o I_o}{2} [\cos \phi - \cos(2\omega t - \phi)]$
एक पूर्ण चक्र $T$ पर औसत शक्ति $P_{av}$ तात्कालिक शक्ति का औसत है:
$P_{av} = \frac{1}{T} \int_0^T p \, dt = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{E_o I_o}{2} [\cos \phi - \cos(2\omega t - \phi)] \, dt$
चूंकि एक पूर्ण चक्र पर $\cos(2\omega t - \phi)$ का औसत $0$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$P_{av} = \frac{E_o I_o}{2} \cos \phi$
अतः,औसत शक्ति $\frac{E_o I_o}{2} \cos \phi$ है।

(A) किसी माध्यम में विद्युत चुंबकीय विकिरण का वेग $v$,संबंध $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ माध्यम की पारगम्यता है और $\varepsilon$ माध्यम की परमिटिविटी है।
निर्वात (या मुक्त स्थान) के लिए,पारगम्यता $\mu_0$ है और परमिटिविटी $\varepsilon_0$ है।
इसलिए,निर्वात में विद्युत चुंबकीय विकिरण का वेग $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ होता है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,$E_1 = -13.6 \, eV$ है।
पहली उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ के लिए,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \, eV$ है।
इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था से पहली उत्तेजित अवस्था में ले जाने के लिए आवश्यक उत्तेजन ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1$ है।
$\Delta E = -3.4 \, eV - (-13.6 \, eV) = 10.2 \, eV$।

(A) मान लीजिए कि दोनों पदार्थों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ $X_1$ के लिए: $N_1(t) = N_0 e^{-(5\lambda)t}$।
पदार्थ $X_2$ के लिए: $N_2(t) = N_0 e^{-\lambda t}$।
अनुपात $\frac{N_1(t)}{N_2(t)} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ दिया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{N_0 e^{-5\lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-1}$।
$e^{-5\lambda t + \lambda t} = e^{-1}$।
$e^{-4\lambda t} = e^{-1}$।
घातांकों की तुलना करने पर: $-4\lambda t = -1$।
अतः,$t = \frac{1}{4\lambda}$।

(A) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$1$. पहला गेट $NOR$ गेट है,इसलिए इसका आउटपुट $X = \overline{A+B}$ है।
$2$. दूसरा गेट $NAND$ गेट है जिसके दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं। जब $NAND$ गेट के इनपुट आपस में जुड़े होते हैं,तो यह $NOT$ गेट की तरह कार्य करता है। अतः,$NAND$ गेट का आउटपुट $Z = \overline{X \cdot X} = \overline{X}$ है।
$3$. $Z$ में $X = \overline{A+B}$ रखने पर,हमें $Z = \overline{\overline{A+B}} = A+B$ प्राप्त होता है।
$4$. तीसरा गेट $NOT$ गेट है,इसलिए इसका अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Z} = \overline{A+B}$ है।
$5$. व्यंजक $\overline{A+B}$ एक $NOR$ गेट को दर्शाता है।
अतः,यह सर्किट $NOR$ गेट के समतुल्य है।

(D) बैंड गैप के पार एक इलेक्ट्रॉन को उत्तेजित करने के लिए आवश्यक फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है।
न्यूनतम आवृत्ति $\nu$ के लिए,फोटॉन की ऊर्जा बैंड गैप ऊर्जा $E_g$ के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है $E_g = 2.0\, eV$।
हम जानते हैं कि $1\, eV = 1.6 \times 10^{-19}\, J$,इसलिए $E_g = 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19} = 3.2 \times 10^{-19}\, J$।
$E = h\nu$ संबंध का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\nu = \frac{E_g}{h}$ है।
$h = 6.63 \times 10^{-34}\, J\cdot s$ का मान रखने पर:
$\nu = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}} \approx 0.482 \times 10^{15}\, Hz$।
$\nu \approx 4.82 \times 10^{14}\, Hz$।
इस मान को पूर्णांकित करने पर,हमें $\nu \approx 5 \times 10^{14}\, Hz$ प्राप्त होता है।

(B) $2 \, \Omega$,$4 \, \Omega$ और $(1 \, \Omega + 5 \, \Omega)$ का श्रेणी संयोजन समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए उनके सिरों पर विभवांतर समान है।
$2 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V = I \times R = 3 \, A \times 2 \, \Omega = 6 \, V$ है।
चूंकि शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए $1 \, \Omega$ और $5 \, \Omega$ के श्रेणी संयोजन वाली शाखा पर भी $V = 6 \, V$ का विभवांतर लागू होता है।
इस शाखा का कुल प्रतिरोध $R_{branch} = 1 \, \Omega + 5 \, \Omega = 6 \, \Omega$ है।
इस शाखा से प्रवाहित होने वाली धारा $i_3 = \frac{V}{R_{branch}} = \frac{6 \, V}{6 \, \Omega} = 1 \, A$ है।
$5 \, \Omega$ के प्रतिरोधक में व्यय होने वाली शक्ति $P = i_3^2 \times R = (1 \, A)^2 \times 5 \, \Omega = 5 \, W$ है।

(B) $4\,\Omega$ और $3\,\Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। चूंकि समानांतर शाखाओं में विभवांतर समान होता है,इसलिए $3\,\Omega$ प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $i_1$ का मान $4\,\Omega \times 1\,A = 3\,\Omega \times i_1$ द्वारा प्राप्त होता है,जिससे $i_1 = \frac{4}{3}\,A$ मिलता है।
ऊपरी शाखा से प्रवाहित कुल धारा $I_{upper} = 1\,A + \frac{4}{3}\,A = \frac{7}{3}\,A$ है।
$4\,\Omega$ और $3\,\Omega$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{4 \times 3}{4 + 3} = \frac{12}{7}\,\Omega$ है।
बिंदुओं $P$ और $M$ के बीच विभवांतर $V_{PM} = I_{upper} \times R_{eq} = \frac{7}{3}\,A \times \frac{12}{7}\,\Omega = 4\,V$ है।
निचली शाखा में दो $0.5\,\Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर में हैं,जो $R_{lower1} = \frac{0.5 \times 0.5}{0.5 + 0.5} = 0.25\,\Omega$ के बराबर है। यह $1\,\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है। निचली शाखा का कुल प्रतिरोध $R_{lower} = 0.25\,\Omega + 1\,\Omega = 1.25\,\Omega$ है।
निचली शाखा में धारा $I_{lower} = \frac{V_{PM}}{R_{lower}} = \frac{4\,V}{1.25\,\Omega} = 3.2\,A$ है।
बिंदुओं $M$ और $N$ के बीच विभवांतर $1\,\Omega$ प्रतिरोधक पर वोल्टेज ड्रॉप है: $V_{MN} = I_{lower} \times 1\,\Omega = 3.2\,A \times 1\,\Omega = 3.2\,V$.

(D) नाभिकीय घनत्व $\rho$ को नाभिक के द्रव्यमान और उसके आयतन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि नाभिक का द्रव्यमान लगभग $M = A \cdot m_p$ (जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $m_p$ एक न्यूक्लियॉन का द्रव्यमान है) होता है और आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है,जहाँ $R = R_0 A^{1/3}$ है।
$R$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ प्राप्त होता है।
अतः,$\rho = \frac{A \cdot m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$।
यह व्यंजक दर्शाता है कि नाभिकीय घनत्व द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है।
इसलिए,किन्हीं भी दो नाभिकों के नाभिकीय घनत्व का अनुपात हमेशा $1: 1$ होता है।