AIIMS 2017 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) શિરોલંબ વર્તુળના સૌથી ઉપરના બિંદુએ ડોલમાંથી પાણી ન ઢોળાય તે માટેની શરત એ છે કે કેન્દ્રગામી બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ લઘુત્તમ વેગ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{gR}$ છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $R = 1.6\, m$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\, m/s^2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{10 \times 1.6} = \sqrt{16} = 4\, m/s$.
તેથી,જરૂરી લઘુત્તમ ઝડપ $4\, m/s$ છે.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે પદાર્થોના સંયુક્ત સ્લેબમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{A(T_2 - T_1)}{R_1 + R_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_1 = \frac{x}{KA}$ અને $R_2 = \frac{4x}{(2K)A} = \frac{2x}{KA}$ છે.
કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{x}{KA} + \frac{2x}{KA} = \frac{3x}{KA}$ છે.
તેથી,ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{A(T_2 - T_1)}{\frac{3x}{KA}} = \frac{1}{3} \frac{AK(T_2 - T_1)}{x}$ થાય છે.
આને આપેલ સમીકરણ $\left( \frac{A(T_2 - T_1)K}{x} \right)f$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(A) એક છેડે ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $n_c = \frac{3v}{4l_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $l_c$ એ બંધ પાઇપની લંબાઈ છે.
બંને છેડે ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,ત્રીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $n_o = \frac{3v}{2l_o}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l_o$ એ ખુલ્લી પાઇપની લંબાઈ છે.
પાઇપ્સ અનુનાદમાં હોવાથી,$n_c = n_o$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{3v}{4l_c} = \frac{3v}{2l_o}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{1}{4l_c} = \frac{1}{2l_o}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{l_c}{l_o} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
આમ,બંધ પાઇપ અને ખુલ્લી પાઇપની લંબાઈનો ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(D) પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ,$\omega_1 = 1200 \ rpm = \frac{1200 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 40\pi \ rad/s$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ,$\omega_2 = 4500 \ rpm = \frac{4500 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 150\pi \ rad/s$.
સમયગાળો,$t = 10 \ s$.
કોણીય પ્રવેગ,$\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t} = \frac{150\pi - 40\pi}{10} = \frac{110\pi}{10} = 11\pi \ rad/s^2$.
$rad/s^2$ ને $deg/s^2$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{180}{\pi}$ વડે ગુણો:
$\alpha = 11\pi \times \frac{180}{\pi} = 11 \times 180 = 1980 \ deg/s^2$.

(A) અવલોકનકાર ઢળતી સપાટી પર છે. કારણ કે બ્લોક ફાચર (wedge) પર સરકતો નથી,તેથી ઢળતી સપાટીની સાપેક્ષમાં તેનું સ્થાનાંતર શૂન્ય છે.
કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$.
ઢળતી સપાટી પરના અવલોકનકારની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતર $\vec{S} = 0$ હોવાથી,આ અવલોકનકાર દ્વારા જોવામાં આવતા બ્લોક પર ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય શૂન્ય છે.

(B) બ્લોક $B$ ને ગતિ કરાવવા માટે,લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $P$ એ તેના પર લાગતા ઘર્ષણ બળોને દૂર કરવું જોઈએ.
$1$. બ્લોક $A$ અને બ્લોક $B$ વચ્ચેનું ઘર્ષણ $(F_{AB})$ એ બ્લોક $B$ ની ઉપરની સપાટી પર ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. બ્લોક $A$ સ્થિર હોવાથી,$F_{AB} = \mu_{AB} \cdot N_A = \mu_{AB} \cdot m_A \cdot g = 0.25 \times 100 \times 10 = 250 \, N$.
$2$. બ્લોક $B$ અને જમીન વચ્ચેનું ઘર્ષણ $(F_{BS})$ એ બ્લોક $B$ ની નીચેની સપાટી પર લાગે છે. જમીન પરનું લંબબળ એ બંને બ્લોકના વજનનો સરવાળો છે: $N_{ground} = (m_A + m_B)g = (100 + 200) \times 10 = 3000 \, N$. તેથી,$F_{BS} = \mu_{BS} \cdot N_{ground} = (1/3) \times 3000 = 1000 \, N$.
$3$. જરૂરી કુલ બળ $P$ એ આ બંને ઘર્ષણ બળોનો સરવાળો છે: $P = F_{AB} + F_{BS} = 250 + 1000 = 1250 \, N$.

(A) ધારો કે અથડામણ પહેલા કરાના પથ્થરનો વેગ $u$ છે અને અથડામણ પછી વેગ $v$ છે.
સપાટી લીસી હોવાથી,સપાટીને સમાંતર કોઈ આઘાતી બળ લાગતું નથી. તેથી,સપાટીને સમાંતર વેગનો ઘટક બદલાતો નથી:
$u \sin 30^{\circ} = v \sin 60^{\circ}$ $(1)$
સપાટીને લંબ ઘટક માટે,પુનઃસ્થાપન ગુણાંક $e$ ને અલગ થવાના વેગ અને નજીક આવવાના વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$v \cos 60^{\circ} = e (u \cos 30^{\circ})$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{v \cos 60^{\circ}}{v \sin 60^{\circ}} = \frac{e u \cos 30^{\circ}}{u \sin 30^{\circ}}$
$\cot 60^{\circ} = e \cot 30^{\circ}$
અહીં $\cot 60^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$ હોવાથી:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = e (\sqrt{3})$
$e = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$

(D) સ્થિતિ ઊર્જા $V$ ના પરિમાણો કાર્ય અથવા ઊર્જા સમાન હોય છે,જે $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
છેદમાં $(x + B)$ હોવાથી,$x$ એ અંતર છે,તેથી $B$ નું પરિમાણ $x$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ. તેથી,$[B] = [L]$.
સમીકરણ $V = \frac{A\sqrt{x}}{x + B}$ છે. $A$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$A = \frac{V(x + B)}{\sqrt{x}}$ મળે.
પરિમાણો મૂકતા: $[A] = \frac{[M L^2 T^{-2}] [L]}{[L^{1/2}]} = [M L^2 T^{-2}] [L^{1/2}] = [M L^{5/2} T^{-2}]$.
હવે,$AB$ નું પરિમાણ $[A][B] = [M L^{5/2} T^{-2}] [L] = [M L^{7/2} T^{-2}]$ થશે.

(B) સ્થાનાંતર $(X)$ વિરુદ્ધ સમય $(t)$ ના આલેખમાં,ઢાળ એ કણનો વેગ દર્શાવે છે. ભૌતિક રીતે શક્ય આલેખ માટે,કોઈપણ આપેલ સમય $(t)$ પર કણનું માત્ર એક જ અનન્ય સ્થાન હોવું જોઈએ.
વિકલ્પ $(A)$ શક્ય છે કારણ કે તે કણ દૂર જઈને પાછો ફરતો દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $(C)$ શક્ય છે કારણ કે તે બંને દિશામાં ગતિ દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $(D)$ શક્ય છે કારણ કે તે અચળ વેગ સાથે ગતિ કરતા,રીસેટ થતા અને પુનરાવર્તન કરતા કણને દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $(B)$ શક્ય નથી કારણ કે સમય $(t)$ ના ચોક્કસ ક્ષણે,આલેખ સ્થાનાંતર $(X)$ ના બે અલગ-અલગ મૂલ્યો દર્શાવે છે. કારણ કે કણ એક જ સમયે બે જગ્યાએ હોઈ શકે નહીં,તેથી આ આલેખ ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.

(B) સ્થિર પ્રવાહીમાં કોઈપણ બિંદુએ દબાણ $P = h'\rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h'$ એ પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીથી નીચે તે બિંદુની ઊંડાઈ છે.
આપેલ આકૃતિમાં,પ્રવાહી સ્તંભની કુલ ઊંચાઈ $H$ છે અને તળિયેથી બિંદુ $P$ ની ઊંચાઈ $h$ છે. તેથી,મુક્ત સપાટીથી નીચે બિંદુ $P$ ની ઊંડાઈ $H - h$ છે.
એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લંબ બળ એ તે બિંદુએ હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ જેટલું હોય છે.
આમ,બિંદુ $P$ પર એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લંબ બળ $(H - h)\rho g$ થશે.

(B) $Assertion$ સાચું છે કારણ કે ભૌતિક રાશિઓને પ્રત્યક્ષ (દા.ત. મીટર સ્કેલનો ઉપયોગ કરીને) અથવા પરોક્ષ (દા.ત. તારાઓના અંતર માટે લંબન પદ્ધતિ) રીતે માપી શકાય છે.
$Reason$ પણ સાચું છે કારણ કે કોઈપણ માપનની વિશ્વસનીયતા વપરાયેલ સાધનની સચોટતા અને ચોકસાઈ પર આધાર રાખે છે,અને અંતિમ પરિણામમાં સંબંધિત અનિશ્ચિતતાઓ અથવા ત્રુટિઓને ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે.
જો કે,$Reason$ એ સમજાવતું નથી કે આપણે પ્રત્યક્ષ કે પરોક્ષ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ શા માટે કરીએ છીએ; તે માપન દર્શાવવા માટેના માપદંડો સમજાવે છે. તેથી,$Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(D) $Assertion$ જણાવે છે કે બ્લોક સાથે જોડાયેલ દોરડું પકડી રાખતી વખતે માણસ આડી સપાટી પર હલનચલન કરી શકતો નથી. આ ખોટું છે કારણ કે માણસ દોરડું ખેંચીને બ્લોક પર બળ લગાવી શકે છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,બ્લોક માણસ પર સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડશે,જેના કારણે તે બ્લોક તરફ ગતિ કરશે.
$Reason$ જણાવે છે કે લીસી આડી સપાટી પર સ્થિર ઉભેલો માણસ ઘર્ષણના અભાવને કારણે ચાલી શકતો નથી. આ વિધાન સાચું છે. ચાલવા માટે જમીનને પાછળની તરફ ધકેલવા માટે ઘર્ષણની જરૂર હોય છે,જે બદલામાં આગળની તરફ પ્રતિક્રિયા બળ પૂરું પાડે છે. ઘર્ષણ વિના,માણસના પગ લપસી જશે.
આમ,$Assertion$ ખોટું છે અને $Reason$ સાચું છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} K x^2$ છે,જ્યાં $K$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ વિસ્તરણ કે સંકોચન છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે $U \propto x^2$.
$U$ અને $x$ વચ્ચેનો આલેખ પરવલય (parabola) દર્શાવે છે,સીધી રેખા નહીં.
તેથી,$Assertion$ ખોટું છે કારણ કે સંબંધ દ્વિઘાત છે,રેખીય નથી.
$Reason$ સાચું છે કારણ કે તે યોગ્ય રીતે જણાવે છે કે સ્થિતિ ઊર્જા વિસ્તરણ કે સંકોચનના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(U \propto x^2)$.

(D) પદાર્થની ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ ને $K = \sqrt{\frac{\sum m_i r_i^2}{M}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ કુલ દળ છે અને $r_i$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી $i$-માં કણનું અંતર છે.
તે અચળ રાશિ નથી કારણ કે તેનું મૂલ્ય પરિભ્રમણની અક્ષના સ્થાન અને દિશા પર આધાર રાખે છે.
તેથી,$Assertion$ ખોટું છે.
$Reason$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યાને પરિભ્રમણની અક્ષથી કણોના અંતરના વર્ગમૂળના સરેરાશ તરીકે યોગ્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે.
આમ,$Assertion$ ખોટું છે,પરંતુ $Reason$ સાચું છે.

(A) $Assertion$ સાચું છે: પૃથ્વીની ભ્રમણ ગતિનો લાભ લેવા માટે રોકેટને પશ્ચિમથી પૂર્વ દિશામાં છોડવામાં આવે છે,જે ઓછા બળતણ સાથે કક્ષીય વેગ પ્રાપ્ત કરવામાં મદદ કરે છે.
$Reason$ પણ સાચું છે: ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g'$ એ $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વિષુવવૃત્ત પર અક્ષાંશ $\lambda = 0$ છે,તેથી $\cos \lambda = 1$,જે $g' = g - \omega^2 R$ બનાવે છે,જે ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
જોકે,$Reason$ એ સમજાવતું નથી કે રોકેટ શા માટે પશ્ચિમથી પૂર્વ દિશામાં છોડવામાં આવે છે. લોન્ચિંગની દિશા પૃથ્વીના પરિભ્રમણ પર આધારિત છે,વિષુવવૃત્ત પર $g$ ના મૂલ્ય પર નહીં. તેથી,બંને સાચા છે,પરંતુ $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) કોઈપણ પદાર્થની સંકોચનીયતા તેના આંતરઆણ્વિય બળો અને તેના અણુઓ વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે.
ઘન પદાર્થોમાં,અણુઓ અથવા પરમાણુઓ મજબૂત આંતરઆણ્વિય બળો દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોય છે અને નજીકથી ગોઠવાયેલા હોય છે,જેના કારણે તેઓ સૌથી ઓછા સંકોચનીય હોય છે.
વાયુઓમાં,આંતરઆણ્વિય બળો નહિવત હોય છે અને અણુઓ એકબીજાથી ઘણા દૂર હોય છે,જેના કારણે તેમને સરળતાથી સંકોચી શકાય છે.
જોકે $Reason$ માં ઘન અને વાયુઓના આકાર અને કદ વિશેની લાક્ષણિકતાઓ સાચી રીતે દર્શાવવામાં આવી છે,પરંતુ તે તેમની સંકોચનીયતા પાછળના ભૌતિક કારણ (આંતરઆણ્વિય બળો) ને સીધી રીતે સમજાવતું નથી. તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે,પરંતુ $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) સાતત્યના સમીકરણ $(A_1v_1 = A_2v_2)$ મુજબ,જ્યારે પાણી સાંકડી પાઇપ (નાનું ક્ષેત્રફળ $A_1$) માંથી પહોળી પાઇપ (મોટું ક્ષેત્રફળ $A_2$) માં વહે છે,ત્યારે વેગ $v$ ઘટે છે કારણ કે $v \propto 1/A$.
બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{અચળ}$.
સમક્ષિતિજ પાઇપ માટે $(h = \text{અચળ})$,જેમ વેગ $v$ ઘટે છે,તેમ સરવાળો અચળ રાખવા માટે દબાણ $P$ વધવું જોઈએ.
તેથી,જ્યારે પાણી સાંકડી પાઇપમાંથી પહોળી પાઇપમાં વહે છે ત્યારે દબાણ વધે છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(D) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W = \Delta U + P\Delta V$.
જો ઉષ્મા એવી રીતે આપવામાં આવે કે કદ બદલાતું નથી $(\Delta V = 0)$,એટલે કે સમકદ પ્રક્રિયા,તો સિસ્ટમને આપવામાં આવતી તમામ ઉષ્મા ઊર્જા ફક્ત આંતરિક ઊર્જામાં જ વધારો કરશે.
જો કે,અન્ય કોઈપણ પ્રક્રિયામાં જ્યાં કાર્ય થાય છે,ત્યાં આપવામાં આવેલી ઉષ્મા આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર અને સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્ય વચ્ચે વહેંચાઈ જાય છે.
તેથી,$Assertion$ ખોટું છે.
$Reason$ પણ ખોટું છે કારણ કે જ્યારે કોઈ સિસ્ટમ એક તાપીય સંતુલનમાંથી બીજામાં બદલાય છે,ત્યારે પ્રક્રિયાના આધારે ઉષ્મા શોષાઈ શકે છે,મુક્ત થઈ શકે છે અથવા શૂન્ય પણ રહી શકે છે.

(B) ડ્રાઇવિંગ દરમિયાન,ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના ઘર્ષણને કારણે,તેમજ ટાયરના સતત સંકોચન અને વિસ્તરણને કારણે ગરમી ઉત્પન્ન થાય છે. આનાથી ટાયરની અંદર રહેલી હવાનું તાપમાન વધે છે.
ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ ધરાવતા વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,દબાણ $P$ એ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto T)$. તેથી,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ટાયરની અંદરનું હવાનું દબાણ વધે છે. આ સાબિત કરે છે કે વિધાન સાચું છે.
કારણના સંદર્ભમાં,નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાન $(0 \ K)$ એ એવું તાપમાન છે કે જ્યાં વાયુના અણુઓની શાસ્ત્રીય ગતિ ઉર્જા શૂન્ય થઈ જાય છે. જો કે,ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં,શૂન્ય-બિંદુ ઉર્જા નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાને પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. આમ,'નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાન એ શૂન્ય ઉર્જા તાપમાન નથી' તે વિધાન વૈજ્ઞાનિક રીતે સાચું છે.
જો કે,કારણ એ સમજાવતું નથી કે કારના ટાયરમાં દબાણ શા માટે વધે છે; દબાણમાં વધારો ઘર્ષણને કારણે તાપમાનમાં વધારો થવાને લીધે થાય છે,નિરપેક્ષ શૂન્ય ઉર્જાના સ્વભાવને કારણે નહીં. તેથી,બંને સાચા છે,પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $y = a \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dy}{dt} = a\omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
મધ્યમાન સ્થાને વેગ મહત્તમ હોય છે,જ્યાં $v_{max} = a\omega$.
મધ્યમાન સ્થાને ગતિઊર્જા $K.E._{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} m (a\omega)^2$ છે.
અહીં $m = 0.1 \, kg$,$a = 0.1 \, m$,અને $K.E._{max} = 8 \times 10^{-3} \, J$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} \times 0.1 \times \omega^2 \times (0.1)^2 = 8 \times 10^{-3}$.
$0.05 \times 0.01 \times \omega^2 = 8 \times 10^{-3} \implies 0.0005 \times \omega^2 = 0.008$.
$\omega^2 = \frac{0.008}{0.0005} = 16 \implies \omega = 4 \, rad/s$.
પ્રારંભિક કળા $\phi = 45^o = \pi/4 \, rad$ છે.
તેથી,ગતિનું સમીકરણ $y = 0.1 \sin(\pm 4t + \pi/4)$ થાય.

(A) $l$ લંબાઈ ધરાવતી ઓપન ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ હવાના સ્તંભમાં ધ્વનિનો વેગ છે.
જેમ તાપમાન $T$ વધે છે,તેમ ધ્વનિનો વેગ $v$ એ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ સંબંધ મુજબ વધે છે.
જોકે તાપીય પ્રસરણને કારણે પાઇપની લંબાઈ $l$ માં થોડો વધારો થઈ શકે છે,પરંતુ ધ્વનિના વેગ $v$ માં થતો વધારો ઘણો વધારે નોંધપાત્ર હોય છે.
કારણ કે $f \propto v$ અને $f \propto \frac{1}{l}$,તેથી $v$ માં થતો વધારો $l$ માં થતા નજીવા વધારાની અસર પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે,જેના પરિણામે મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ માં એકંદરે વધારો થાય છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(A) આપેલ સૂત્ર $X = 3 Y Z^{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $MKSQ$ પદ્ધતિમાં કેપેસીટન્સ $C$ ના પરિમાણો $[X] = [C] = [M^{-1} L^{-2} T^{2} Q^{2}]$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $MKSQ$ પદ્ધતિમાં ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ ના પરિમાણો $[Z] = [B] = [M T^{-1} Q^{-1}]$ છે.
$Y$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $Y = \frac{X}{3 Z^{2}}$ મળે છે.
પરિમાણરહિત અચળાંક $3$ ને અવગણતા,પરિમાણીય સૂત્ર $[Y] = \frac{[X]}{[Z^{2}]}$ થશે.
પરિમાણો મૂકતા: $[Y] = \frac{[M^{-1} L^{-2} T^{2} Q^{2}]}{[M T^{-1} Q^{-1}]^{2}}$.
$[Y] = \frac{[M^{-1} L^{-2} T^{2} Q^{2}]}{[M^{2} T^{-2} Q^{-2}]}$.
$[Y] = [M^{-1-2} L^{-2} T^{2-(-2)} Q^{2-(-2)}] = [M^{-3} L^{-2} T^{4} Q^{4}]$.

(B) ઘનતા $\rho = \frac{M}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $V$ એ કદ છે.
લોગેરિધમિક વિકલન લેતા,આપણને $\frac{d\rho}{\rho} = -\frac{dV}{V}$ મળે છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ $K$ ને $K = -\frac{P}{dV/V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{dV}{V} = \frac{P}{K}$.
આ કિંમતને ઘનતાના સંબંધમાં મૂકતા,આપણને $\frac{d\rho}{\rho} = \frac{P}{K}$ મળે છે.
તેથી,ઘનતામાં થતા વધારાનું મૂલ્ય $d\rho = \frac{\rho P}{K}$ થશે.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,જ્યાં $\Delta Q$ એ આપલે થયેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર છે,અને $\Delta W$ એ સિસ્ટમ દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,આસપાસ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપલે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$.
આ કિંમતને પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = \Delta U + \Delta W$.
આથી $\Delta W = -\Delta U$ અથવા $\Delta U = -\Delta W$ મળે છે.
જો આપણે સિસ્ટમ પર થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય $(W_{on} = -\Delta W)$ ધ્યાનમાં લઈએ,તો $W_{on} = \Delta U$ થાય.
આમ,એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,સિસ્ટમ પર થયેલું કાર્ય સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.

(C) આકૃતિ પરથી,યામ $(x, y)$ અને દળ $m$ નીચે મુજબ છે:
$m_1 = 1 \text{ kg}$ બિંદુ $(0, 0)$ પર
$m_2 = 2 \text{ kg}$ બિંદુ $(2, 0)$ પર
$m_3 = 3 \text{ kg}$ બિંદુ $(0, 2)$ પર
$m_4 = 4 \text{ kg}$ બિંદુ $(2, 2)$ પર
$m_5 = 5 \text{ kg}$ બિંદુ $(1, 1)$ પર
કુલ દળ $M = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \text{ kg}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ:
$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{M} = \frac{(1 \times 0) + (2 \times 2) + (3 \times 0) + (4 \times 2) + (5 \times 1)}{15} = \frac{0 + 4 + 0 + 8 + 5}{15} = \frac{17}{15} \approx 1.13$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ:
$y_{cm} = \frac{\sum m_i y_i}{M} = \frac{(1 \times 0) + (2 \times 0) + (3 \times 2) + (4 \times 2) + (5 \times 1)}{15} = \frac{0 + 0 + 6 + 8 + 5}{15} = \frac{19}{15} \approx 1.27$
આમ,યામ આશરે $(1.1, 1.3)$ છે. સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) મિશ્રણ માટે અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર $C_{V, \text{mix}} = \frac{n_1 C_{V_1} + n_2 C_{V_2}}{n_1 + n_2} = \frac{13R}{6}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $n_1 : n_2 = 1 : 2$ મુજબ,ધારો કે $n_1 = n$ અને $n_2 = 2n$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{n C_{V_1} + 2n C_{V_2}}{n + 2n} = \frac{13R}{6}$.
$\frac{C_{V_1} + 2C_{V_2}}{3} = \frac{13R}{6} \implies C_{V_1} + 2C_{V_2} = \frac{13R}{2}$.
એકપરમાણ્વીય વાયુઓ માટે $C_V = 3R/2$ અને દ્વિપરમાણ્વીય વાયુઓ માટે $C_V = 5R/2$ હોય છે.
જો પ્રથમ વાયુ એકપરમાણ્વીય $(C_{V_1} = 3R/2)$ અને બીજો વાયુ દ્વિપરમાણ્વીય $(C_{V_2} = 5R/2)$ હોય,તો:
$3R/2 + 2(5R/2) = 3R/2 + 5R = 13R/2$.
આ શરતનું પાલન થાય છે. તેથી,પ્રથમ વાયુ એકપરમાણ્વીય $(He)$ અને બીજો વાયુ દ્વિપરમાણ્વીય $(N_2)$ છે.

(B) ત્રણ વિદ્યુતભારોના તંત્રને સંતુલનમાં રાખવા માટે,દરેક વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $Q$ એ $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર $x$ અંતરે મૂકેલા છે. વિદ્યુતભાર $q$ ને મધ્યબિંદુ $C$ પર મૂકવામાં આવે છે (જે $A$ અને $B$ બંનેથી $x/2$ અંતરે છે).
બિંદુ $B$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ ના સંતુલનનો વિચાર કરો. $A$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ અને $C$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ.
$F_{AB} + F_{CB} = 0$
$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q^2}{x^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{qQ}{(x/2)^2} = 0$
$\frac{Q^2}{x^2} + \frac{4qQ}{x^2} = 0$
$Q^2 + 4qQ = 0$
$4qQ = -Q^2$
$q = -\frac{Q}{4}$

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બિંદુ $B$ ની સરખામણીમાં બિંદુ $A$ પાસે વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ એકબીજાની વધુ નજીક (વધુ ગીચ) છે.
જેમ કે $A$ પાસે ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા વધારે છે,તેથી $A$ આગળ વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $(E_A)$ એ $B$ આગળના વિદ્યુત ક્ષેત્રના મૂલ્ય $(E_B)$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
તેથી,$E_A > E_B$.

(C) ધારો કે નોડ્સને નામ આપવામાં આવ્યા છે. આ સર્કિટમાં એક કેન્દ્રિય નોડ છે જે ત્રણ બાહ્ય નોડ્સ સાથે $R$ અવરોધ દ્વારા જોડાયેલ છે. બાહ્ય નોડ્સ એક ત્રિકોણ બનાવે છે જેમાં તેમની વચ્ચે $R$ અવરોધ છે. ટર્મિનલ $A$ અને $B$ આ બાહ્ય નોડ્સમાંથી બે સાથે જોડાયેલા છે.
સર્કિટની સમપ્રમાણતાનું વિશ્લેષણ કરીને અને તેને ફરીથી દોરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $A$ થી $B$ સુધીનો માર્ગ બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે.
એક શાખા $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સીધો અવરોધ $R$ છે.
બીજી શાખા બાકીના અવરોધોના શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોની બનેલી છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,ટર્મિનલ $A$ અને $B$ વચ્ચે આ નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R$ થાય છે.

(B) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સર્કિટમાં,સંતુલન માટેની શરત અવરોધોના ગુણોત્તર $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સંતુલન શરત સેલ અને ગેલ્વેનોમીટરના સ્થાનોથી સ્વતંત્ર છે.
ઇલેક્ટ્રિકલ નેટવર્કમાં પારસ્પરિકતાના સિદ્ધાંત મુજબ,જો સ્ત્રોત (સેલ) અને ડિટેક્ટર (ગેલ્વેનોમીટર) ના સ્થાનો અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો આપેલ પોટેન્શિયલ તફાવત માટે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ સમાન રહે છે.
તેથી,વ્હીટસ્ટોન બ્રિજનું સંતુલન બિંદુ અપરિવર્તિત રહે છે.

(B) ક્યુરી તાપમાન $(T_C)$ એ ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
$T_C$ થી નીચેના તાપમાને,ચુંબકીય ડોમેન્સના ગોઠવણીને કારણે પદાર્થ ફેરોમેગ્નેટિક ગુણધર્મો દર્શાવે છે.
જેમ જેમ તાપમાન વધે છે અને $T_C$ સુધી પહોંચે છે,તેમ ઉષ્મીય આંદોલન એટલું પ્રબળ બની જાય છે કે તે ડોમેન્સની ગોઠવણી જાળવી રાખતા એક્સચેન્જ કપલિંગને દૂર કરી શકે છે.
પરિણામે,ક્યુરી તાપમાનથી ઉપર,પદાર્થ તેનું સ્વયંભૂ ચુંબકત્વ ગુમાવે છે અને પેરામેગ્નેટિક અવસ્થામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(A) ધારો કે સાચો નમનકોણ (real dip) $\phi$ છે. પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક $B_V$ અને સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ છે. સાચો નમનકોણ $\tan \phi = \frac{B_V}{B_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ચુંબકને ચુંબકીય મેરિડિયન સાથે $\beta = 30^o$ ના ખૂણે લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H' = B_H \cos \beta$ બને છે.
આભાસી નમનકોણ $\phi'$ એ $\tan \phi' = \frac{B_V}{B_H \cos \beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\phi' = 45^o$ અને $\beta = 30^o$,તેથી $\tan 45^o = \frac{B_V}{B_H \cos 30^o}$.
કારણ કે $\tan 45^o = 1$ અને $\cos 30^o = \frac{\sqrt{3}}{2}$,આપણને મળે છે $1 = \frac{B_V}{B_H (\sqrt{3}/2)}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{B_V}{B_H} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\tan \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

(D) આપેલ પ્રવાહ $i = 5 \sin \left( 100 t - \frac{\pi}{2} \right)$ છે અને પોટેન્શિયલ $V = 200 \sin (100 t)$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપો $i = I_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $V = V_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પ્રવાહનો ફેઝ $\phi_1 = -\frac{\pi}{2}$ અને વોલ્ટેજનો ફેઝ $\phi_2 = 0$ મળે છે.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\phi = \phi_2 - \phi_1 = 0 - \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2}$ છે.
$ac$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવર વપરાશ $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\phi = \frac{\pi}{2}$,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ થાય છે.
તેથી,પાવર વપરાશ $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0 \text{ watts}$ છે.

(A) બ્રેકેટ શ્રેણી માટે,તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$,જ્યાં $n_1 = 4$ અને $n_2 = 5, 6, 7, \dots$
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\max})$ એ $n_2 = 5$ થી $n_1 = 4$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} \right] = R \left[ \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right] = R \left[ \frac{25 - 16}{400} \right] = \frac{9R}{400}$
$\lambda_{\max} = \frac{400}{9R}$
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\min})$ એ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 4$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R \left[ \frac{1}{16} - 0 \right] = \frac{R}{16}$
$\lambda_{\min} = \frac{16}{R}$
સૌથી લાંબી અને સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{400/9R}{16/R} = \frac{400}{9 \times 16} = \frac{25}{9}$

(B) ન્યુક્લિયર ફ્યુઝન પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: ${}_1^2H + {}_1^2H \to {}_2^4He + Q$.
પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા: $2 \times (2 \times 1.1 \; MeV) = 4.4 \; MeV$.
નીપજની કુલ બંધન ઉર્જા: $4 \times 7.1 \; MeV = 28.4 \; MeV$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $Q$ એ નીપજ અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$Q = 28.4 \; MeV - 4.4 \; MeV = 24 \; MeV$.

(B) $OR$ ગેટ $(G_1)$ નું આઉટપુટ $(A + B)$ છે.
$NAND$ ગેટ $(G_2)$ નું આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ છે.
આ બંને આઉટપુટ $AND$ ગેટ $(G_3)$ માં દાખલ કરવામાં આવે છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y$ છે:
$Y = (A + B) \cdot (\overline{A \cdot B})$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$Y = (A + B) \cdot (\bar{A} + \bar{B})$
$Y = A \cdot \bar{A} + A \cdot \bar{B} + B \cdot \bar{A} + B \cdot \bar{B}$
કારણ કે $A \cdot \bar{A} = 0$ અને $B \cdot \bar{B} = 0$,તેથી સમીકરણ આ રીતે સરળ બને છે:
$Y = 0 + A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B + 0$
$Y = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B$
આ $XOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(A) શૂન્યાવકાશમાં, તમામ વિદ્યુતચુંબકીય $(EM)$ તરંગો સમાન ઝડપે ગતિ કરે છે, જે પ્રકાશની ઝડપ $c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$ છે.
આવૃત્તિ $(f)$ અને તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ એ સમીકરણ $c = f \lambda$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી, અને વિવિધ પ્રકારના વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની આવૃત્તિઓ અલગ-અલગ હોય છે, તેથી તેમની તરંગલંબાઇ પણ અલગ-અલગ હોય છે.
આથી, રેડિયો તરંગો અને દ્રશ્ય પ્રકાશ સમાન વેગ ધરાવે છે પરંતુ તેમની તરંગલંબાઇ અલગ હોય છે.

(B) ગોસનો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ સપાટી (ગોસિયન સપાટી) માંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{enclosed}$ ના $\frac{1}{\varepsilon_0}$ ગણું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને $\phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચું વિધાન છે.

(C) એમિટરમાં દાખલ થતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n_E = 10^{10}$ છે.
બેઝમાં $4\%$ ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવાતા હોવાથી, કલેક્ટરમાં પહોંચતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n_C = n_E - (0.04 \times n_E) = 0.96 \times n_E$ થશે.
એમિટર કરંટ $I_E = \frac{n_E \times e}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનિક ચાર્જ છે અને $t$ એ સમય છે.
કલેક્ટર કરંટ $I_C = \frac{n_C \times e}{t} = \frac{0.96 \times n_E \times e}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કરંટ ટ્રાન્સફર રેશિયો $\alpha$ એ કલેક્ટર કરંટ અને એમિટર કરંટનો ગુણોત્તર છે:
$\alpha = \frac{I_C}{I_E} = \frac{n_C}{n_E} = \frac{0.96 \times n_E}{n_E} = 0.96$.

(B) આપેલ છે:
આપાત તરંગલંબાઈ,$\lambda = 200 \, nm$
વર્ક ફંક્શન,$\phi_{0} = 5.01 \, eV$
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$K_{max} = E - \phi_{0}$
$e V_{s} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_{0}$
$hc \approx 1240 \, eV \cdot nm$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$e V_{s} = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{200 \, nm} - 5.01 \, eV$
$e V_{s} = 6.2 \, eV - 5.01 \, eV = 1.19 \, eV \approx 1.2 \, eV$
આમ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{s} = 1.2 \, V$ છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રોનને રોકવા માટે લાગુ પાડવો પડતો પોટેન્શિયલ તફાવત એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલનું ઋણ મૂલ્ય છે,જે $-1.2 \, V$ છે.

(D) આપેલ છે: $\lambda = 600 \, nm = 600 \times 10^{-9} \, m$,સ્લિટની પહોળાઈ $a = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,અને અંતર $D = 2 \, m$.
મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાની બંને બાજુએ આવેલી પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર એ મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ જેટલું હોય છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈનું સૂત્ર $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$w = \frac{2 \times (600 \times 10^{-9} \, m) \times 2 \, m}{10^{-3} \, m}$
$w = \frac{2400 \times 10^{-9}}{10^{-3}} \, m$
$w = 2400 \times 10^{-6} \, m = 2.4 \times 10^{-3} \, m = 2.4 \, mm$.

(B) બે સમાન ધન વિદ્યુતભારોના તંત્ર માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ દરેક વિદ્યુતભારમાંથી બહાર નીકળે છે અને એકબીજાને અપાકર્ષે છે.
સમસ્થિતિમાન સપાટીઓ એવી સપાટીઓ છે જ્યાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ હોય છે.
દરેક વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારની નજીક,સમસ્થિતિમાન સપાટીઓ આશરે ગોળાકાર હોય છે.
જેમ જેમ આપણે વિદ્યુતભારોથી દૂર જઈએ છીએ,તેમ તેમ સપાટીઓ વિકૃત થાય છે અને અંતે એક મોટી,આશરે લંબગોળ આકારની સપાટી બનાવે છે જે બંને વિદ્યુતભારોને આવરી લે છે.
આકૃતિ $B$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જ્યાં અંદરની સપાટીઓ દરેક વિદ્યુતભારની આસપાસ કેન્દ્રિત છે,અને બહારની સપાટીઓ બંને વિદ્યુતભારોને આવરી લે છે,જે બે ધન વિદ્યુતભારોના અપાકર્ષણના સ્વભાવને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

(D) બિંદુ $A$ પર,સ્નેલના નિયમ મુજબ:
$1 \cdot \sin 45^{\circ} = \mu \cdot \sin r$
$\sin r = \frac{1}{\mu \sqrt{2}}$ ..... $(i)$
બિંદુ $B$ પર,ઉભી સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i_1$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
$\sin i_1 = \frac{1}{\mu}$
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,$i_1 = 90^{\circ} - r$.
તેથી,$\sin(90^{\circ} - r) = \frac{1}{\mu} \Rightarrow \cos r = \frac{1}{\mu}$ ..... $(ii)$
નિત્યસમ $\sin^2 r + \cos^2 r = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{1}{\mu \sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\mu}\right)^2 = 1$
$\frac{1}{2\mu^2} + \frac{1}{\mu^2} = 1$
$\frac{1 + 2}{2\mu^2} = 1$
$\frac{3}{2\mu^2} = 1 \Rightarrow \mu^2 = \frac{3}{2}$
$\mu = \sqrt{\frac{3}{2}}$

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{m}$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $\vec{B}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
જ્યારે ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{m}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર હોય ત્યારે ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક શૂન્ય હોય છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{m}$ હંમેશા ગૂંચળાના સમતલને લંબ હોય છે.
$\vec{m}$ ને $\vec{B}$ ને સમાંતર બનાવવા માટે,ગૂંચળાનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ હોવું જોઈએ.

(D) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $EMF$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\phi = 6t^2 - 5t + 1$,તેથી $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2 - 5t + 1) = 12t - 5$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i$ નું સૂત્ર $i = \frac{|e|}{R} = \frac{1}{R} |\frac{d\phi}{dt}|$ છે.
અવરોધ $R = 10 \, \Omega$ અને $t = 0.25 \, s$ લેતા:
$|\frac{d\phi}{dt}| = |12(0.25) - 5| = |3 - 5| = |-2| = 2 \, Wb/s$.
તેથી,$i = \frac{2}{10} = 0.2 \, A$.

(D) ગાઉસના નિયમ $(\Phi = \oint E \cdot dA = q_{enclosed} / \epsilon_0 = 0)$ મુજબ, કોઈપણ બંધ સપાટી કે જેનો કુલ વીજભાર $0$ હોય, તેમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $0$ હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે સપાટીમાં પ્રવેશતી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા સપાટીમાંથી બહાર નીકળતી રેખાઓની સંખ્યા જેટલી જ હોવી જોઈએ.
તેથી, વિધાન ખોટું છે કારણ કે ગોળા પર સમાપ્ત થતી રેખાઓની સંખ્યા તેમાંથી બહાર આવતી રેખાઓ કરતા વધારે હોઈ શકે નહીં.
કારણ સાચું છે કારણ કે, સ્થિત વિદ્યુત પ્રેરણને લીધે, વાહકની જે બાજુ ધન બિંદુવત વીજભારની નજીક છે ત્યાં ઋણ પ્રેરિત વીજભાર ઉત્પન્ન થાય છે, જેની પૃષ્ઠ વીજભાર ઘનતા મૂલ્યમાં સૌથી વધુ હોય છે.
આમ, વિધાન ખોટું છે અને કારણ સાચું છે, તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) જ્યારે બે વાહકોને વાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ સમાન વિદ્યુત સ્થિતિમાન પ્રાપ્ત કરે છે.
અહીં આંતરિક ગોળો $A$ એ બાહ્ય ગોળા $B$ સાથે તાંબાના તાર દ્વારા જોડાયેલ હોવાથી,તંત્રને આપવામાં આવેલો તમામ વિદ્યુતભાર બાહ્ય ગોળા $B$ ની બહારની સપાટી પર જશે.
પરિણામે,આખું તંત્ર $b$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એકલ ગોલીય વાહક તરીકે વર્તે છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એકલ ગોલીય વાહકનું કેપેસિટન્સ $C = 4\pi \varepsilon_0 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,આ તંત્રનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C = 4\pi \varepsilon_0 b$ થશે.

(C) કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$ એટલે એકમ ધન વિદ્યુતભારને અનંત અંતરેથી તે બિંદુ સુધી લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય,જે $V = W/q$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $(U)$ એ વિદ્યુતભારોના તંત્રને રચવા માટે કરવું પડતું કુલ કાર્ય છે,જે $U = qV$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$U$ અને $V$ ના પારિમાણિક સૂત્રો અલગ હોવાથી ($V$ માટે $[ML^2T^{-3}A^{-1}]$ અને $U$ માટે $[ML^2T^{-2}A^{-1}]$),તે અલગ ભૌતિક રાશિઓ છે.
આમ,વિધાન સાચું છે.
કારણ જણાવે છે કે $U = V$,જે પારિમાણિક રીતે અસંગત અને ભૌતિક રીતે ખોટું છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(C) કિર્ચોફનો જંકશનનો નિયમ વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે,જે જણાવે છે કે જંકશનમાં પ્રવેશતો કુલ વિદ્યુતભાર તેમાંથી બહાર નીકળતા કુલ વિદ્યુતભાર જેટલો જ હોવો જોઈએ.
કિર્ચોફનો લૂપનો નિયમ ઉર્જાના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે,જે જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ લૂપમાં સ્થિતિમાનના ફેરફારોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે.
આમ,વિધાન સાચું છે અને કારણ ખોટું છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) સોલેનોઇડ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ની દિશા ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ની દિશા ઉલટાય છે,પરંતુ તેનું મૂલ્ય સમાન રહે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉર્જા ઘનતા $u$ એ $u = \frac{B^2}{2\mu_0}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા ઘનતા એ ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્યના વર્ગ $(B^2)$ પર આધારિત હોવાથી,$B$ ની દિશા ઉર્જા ઘનતાને અસર કરતી નથી.
તેથી,સોલેનોઇડમાં સંગ્રહિત કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉર્જા,$U = u \times V$ (જ્યાં $V$ એ કદ છે),બદલાતી નથી.
જોકે,કારણમાં જણાવેલ છે કે ઉર્જા ઘનતા એ ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમપ્રમાણમાં છે,જે ખોટું છે કારણ કે તે ચુંબકીય ક્ષેત્રના વર્ગ $(B^2)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(B) વિધાન સાચું છે કારણ કે ચુંબકીય મોનોપોલ અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી; ચુંબકને તોડવાથી ફક્ત બે નાના ચુંબક બને છે,જેમાં દરેકનો પોતાનો ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવ હોય છે.
કારણ પણ સાચું છે. ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ $M = m \times 2l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે અને $2l$ એ લંબાઈ છે. જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈને લંબ બે સમાન ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ સમાન રહે છે,પરંતુ દરેક ટુકડાની લંબાઈ $l$ થઈ જાય છે. તેથી,નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m \times l = M/2$ થાય છે.
કારણ એ સમજાવે છે કે ચુંબકીય ગુણધર્મો શા માટે બદલાય છે પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે ધ્રુવોને શા માટે અલગ કરી શકાતા નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ફેરાડેનો નિયમ,ખાસ કરીને લેન્ઝનો નિયમ,ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે. જો આ સાચું ન હોત,તો આપણે શૂન્યમાંથી ઉર્જા ઉત્પન્ન કરી શકત,જે ભૌતિક નિયમોનું ઉલ્લંઘન છે.
શુદ્ધ અવરોધક $AC$ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ $(emf)$ અને પ્રવાહ સમાન કળામાં હોય છે. તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત $0$ છે. તેથી,કારણમાં આપેલું વિધાન ખોટું છે.
આમ,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(D) ટ્રાન્સફોર્મરના નોન-લેમિનેટેડ આયર્ન કોરમાં ઇન્ડ્યુસ્ડ $emf$ દ્વારા મોટા એડી કરંટ ઉત્પન્ન થાય છે,કારણ કે મોટા આયર્ન કોરનો અવરોધ ખૂબ જ ઓછો હોય છે.
કોર તરીકે પાતળી આયર્ન શીટ્સનો ઉપયોગ કરવાથી વિદ્યુત અવરોધ વધે છે.
કોરને લેમિનેટ કરવાથી એડી કરંટમાં નોંધપાત્ર ઘટાડો થાય છે.
એડી કરંટ ટ્રાન્સફોર્મરના કોરને ગરમ કરે છે,જેનાથી ઉર્જાનો ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થાય છે.
તેથી,એડી કરંટ જેટલા વધારે,તેટલો ઉર્જાનો વ્યય વધારે થાય છે,જે ટ્રાન્સફોર્મરની કાર્યક્ષમતા ઘટાડે છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) વિધાન ખોટું છે કારણ કે ઓપ્ટિકલ તરંગો (જેમ કે ઓપ્ટિકલ ફાઇબરમાં વપરાતા તરંગો) માઇક્રોવેવ્સની તુલનામાં ઘણી વધારે આવૃત્તિ અને બેન્ડવિડ્થ ધરાવે છે,જે તેમને સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશન માટે શ્રેષ્ઠ બનાવે છે.
કારણ પણ ખોટું છે કારણ કે તમામ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો,જેમાં માઇક્રોવેવ્સ અને ઓપ્ટિકલ તરંગોનો સમાવેશ થાય છે,તે શૂન્યાવકાશમાં સમાન ઝડપે $(c = 3 \times 10^8 \ m/s)$ ગતિ કરે છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા છે.

(B) જ્યારે વસ્તુ આભાસી હોય ત્યારે સમતલ અરીસો વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચે છે. જ્યારે કેન્દ્રિત થતા પ્રકાશના કિરણો અરીસા પર આપાત થાય ત્યારે આભાસી વસ્તુ બને છે. પરાવર્તિત કિરણો પછી અરીસાની સામે એક બિંદુ પર કેન્દ્રિત થાય છે,જે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
તેનાથી વિપરીત,જો વસ્તુ વાસ્તવિક હોય (બિંદુ સ્ત્રોતમાંથી આવતા અપસારી કિરણો),તો સમતલ અરીસો અરીસાની પાછળ આભાસી પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે કારણ કે જો આપાત કિરણો કેન્દ્રિત થતા હોય (આભાસી વસ્તુ),તો સમતલ અરીસો વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ બનાવી શકે છે.
કારણ પણ સાચું છે કારણ કે સમતલ અરીસો વાસ્તવિક વસ્તુ માટે આભાસી પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
જો કે,કારણ એ સમજાવતું નથી કે વિધાન શા માટે સાચું છે; તે એક અલગ કિસ્સો (વાસ્તવિક વસ્તુ વિરુદ્ધ આભાસી વસ્તુ) વર્ણવે છે. આમ,બંને સાચા છે,પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) વિવર્તન એ તમામ પ્રકારના તરંગોની સામાન્ય લાક્ષણિકતા છે,જેમાં યાંત્રિક (જેમ કે ધ્વનિ) અને બિન-યાંત્રિક (જેમ કે પ્રકાશ),તેમજ લંબગત અને સંગત તરંગોનો સમાવેશ થાય છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
વિવર્તન નોંધપાત્ર અથવા દ્રશ્યમાન બને તે માટે,અવરોધ અથવા છિદ્રનું કદ તરંગની તરંગલંબાઇના ક્રમનું હોવું જોઈએ. જો તરંગલંબાઇ અવરોધ કરતા ઘણી નાની હોય,તો તરંગ કિરણ જેવું વર્તે છે અને વિવર્તન નહિવત હોય છે. તેથી,કારણ પણ સાચું છે અને તે સમજાવે છે કે વિવર્તન ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં શા માટે જોવા મળે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $K_{max} = h\nu - \Phi$, જ્યાં $h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું કાર્યવિધેય છે.
આપેલ આવૃત્તિ માટે મહત્તમ ગતિઊર્જા નિશ્ચિત હોવા છતાં, ફોટોઈલેક્ટ્રોન ધાતુની સપાટીની અંદરના વિવિધ ઊંડાણમાંથી ઉત્સર્જિત થાય છે.
ઊંડા સ્તરોમાંથી ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોન સપાટીની બહાર નીકળતા પહેલા અથડામણને કારણે કેટલીક ઊર્જા ગુમાવે છે, જેના પરિણામે $0$ થી $K_{max}$ સુધીની ગતિઊર્જાનો વિસ્તાર મળે છે.
આમ, વિધાન સાચું છે.
કાર્યવિધેય $\Phi$ એ ખરેખર ધાતુનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે, તેથી કારણ પણ સાચું છે.
જોકે, કારણ એ સમજાવતું નથી કે ગતિઊર્જામાં ફેલાવો શા માટે છે; આ ફેલાવો ઉત્સર્જનની વિવિધ ઊંડાઈ અને ત્યારબાદ થતા ઊર્જાના વ્યયને કારણે છે.
તેથી, બંને સાચા છે, પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) ક્લાસિકલ ફિઝિક્સ મુજબ,પ્રવેગિત ગતિ કરતા કોઈપણ વિદ્યુતભારિત કણમાંથી વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું ઉત્સર્જન થવું જોઈએ. ન્યુક્લિયસની આસપાસ ભ્રમણ કરતો ઇલેક્ટ્રોન કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અનુભવે છે,તેથી ક્લાસિકલ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સ મુજબ તેણે સતત ઉર્જા ગુમાવવી જોઈએ અને ન્યુક્લિયસમાં પડી જવું જોઈએ.
આ અસ્થિરતાને ઉકેલવા માટે,બોહરે એવી ધારણા કરી કે ચોક્કસ 'સ્થિર' કક્ષાઓમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરતા નથી.
વિધાન અને કારણ બંને વૈજ્ઞાનિક રીતે સાચા છે. જો કે,કારણ એ ક્લાસિકલ વિરોધાભાસનું વર્ણન કરે છે,જ્યારે વિધાન એ આ વિરોધાભાસને દૂર કરવા માટે બોહરની ક્વોન્ટમ ધારણાનું વર્ણન કરે છે. કારણ એ સમજાવતું નથી કે બોહરની ધારણા શા માટે સાચી છે; તે ફક્ત એ સમજાવે છે કે આ ધારણા શા માટે જરૂરી હતી. તેથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) શોષણ સંક્રમણમાં,નીચા ઉર્જા સ્તરમાં રહેલો ઇલેક્ટ્રોન ફોટોનનું શોષણ કરે છે અને ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરમાં કૂદકો મારે છે. $A, B, C$ ઉર્જા સ્તરો ધરાવતી સિસ્ટમ માટે (જ્યાં $A < B < C$),શોષણ ફક્ત ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $A$ થી $B$ અથવા $A$ થી $C$ સુધી જ થઈ શકે છે. આમ,$2$ શક્ય શોષણ સંક્રમણો છે.
ઉત્સર્જન સંક્રમણમાં,ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરમાં રહેલો ઇલેક્ટ્રોન ફોટોન ઉત્સર્જિત કરીને નીચા ઉર્જા સ્તરમાં આવે છે. સમાન સ્તરો માટે,ઉત્સર્જન $C \rightarrow B$,$C \rightarrow A$,અને $B \rightarrow A$ થી થઈ શકે છે. આમ,$3$ શક્ય ઉત્સર્જન સંક્રમણો છે.
$2 < 3$ હોવાથી,શોષણ સંક્રમણોની સંખ્યા ઉત્સર્જન સંક્રમણોની સંખ્યા કરતા ઓછી છે. કારણ યોગ્ય રીતે સમજાવે છે કે શોષણ નીચા સ્તરથી શરૂ થવા માટે પ્રતિબંધિત છે,જ્યારે ઉત્સર્જન કોઈપણ બે સ્તરો વચ્ચે થઈ શકે છે જ્યાં પ્રારંભિક સ્થિતિ અંતિમ સ્થિતિ કરતા ઉચ્ચ હોય છે.

(C) વિધાન સાચું છે કારણ કે ભારે ન્યુક્લિયસના ન્યુક્લિયર વિખંડન અને હલકા ન્યુક્લિયસના ન્યુક્લિયર સંલયનમાં ઉર્જા મુક્ત થાય છે,કારણ કે પ્રક્રિયકોની તુલનામાં નીપજ ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જામાં વધારો થાય છે.
કારણ ખોટું છે કારણ કે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાનો આલેખ દર્શાવે છે કે ભારે ન્યુક્લિયસ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ વધવાની સાથે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ઘટે છે (જે તેમને અસ્થિર બનાવે છે અને વિખંડન માટે પ્રેરે છે),જ્યારે હલકા ન્યુક્લિયસ માટે,ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $Z$ વધવાની સાથે વધે છે (જે તેમને વધુ સ્થિર અવસ્થા પ્રાપ્ત કરવા માટે સંલયન માટે પ્રેરે છે).

(A) ડાયોડ લેસરનો ઉપયોગ ઓપ્ટિકલ કોમ્યુનિકેશનમાં વ્યાપકપણે થાય છે કારણ કે તે કદમાં નાના,ઉચ્ચ કાર્યક્ષમતા ધરાવતા અને ઉચ્ચ આવૃત્તિ પર સરળતાથી મોડ્યુલેટ કરી શકાય તેવા હોય છે.
તેઓ ગેસ લેસર અથવા ઇન્કેન્ડેસન્ટ બલ્બ જેવા અન્ય પ્રકાશ સ્ત્રોતોની તુલનામાં ઘણી ઓછી ઉર્જા વાપરે છે.
ઉચ્ચ કાર્યક્ષમતા અને ઓછી ઉર્જાનો વપરાશ એ ઓપ્ટિકલ કોમ્યુનિકેશનમાં તેમની પસંદગીના મુખ્ય કારણો હોવાથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(B) જ્યારે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ બે અલગ-અલગ પ્રક્રિયાઓ દ્વારા એકસાથે ક્ષય પામે છે,ત્યારે અસરકારક ક્ષય અચળાંક $\lambda_{eff}$ એ વ્યક્તિગત ક્ષય અચળાંકોનો સરવાળો છે: $\lambda_{eff} = \lambda_{\alpha} + \lambda_{\beta}$.
આપેલ છે કે $T_{\alpha} = 16$ વર્ષ અને $T_{\beta} = 48$ વર્ષ.
ક્ષય અચળાંકો $\lambda_{\alpha} = \frac{\ln 2}{16}$ અને $\lambda_{\beta} = \frac{\ln 2}{48}$ છે.
તેથી,$\lambda_{eff} = \frac{\ln 2}{16} + \frac{\ln 2}{48} = \ln 2 \left( \frac{3+1}{48} \right) = \frac{\ln 2}{12}$.
અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય $T_{eff} = \frac{\ln 2}{\lambda_{eff}} = 12$ વર્ષ.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે પદાર્થનો $3/4$ ભાગ ક્ષય પામે,જેનો અર્થ છે કે $1/4$ ભાગ બાકી રહે છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{eff}}$.
$\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/12} \implies \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/12}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $2 = \frac{t}{12} \implies t = 24$ વર્ષ.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
ગતિ ઊર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mE}$ મળે.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
અહીં તમામ કણો માટે ઊર્જા $E$ સમાન છે,તેથી $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
દળની સરખામણી કરતા: $m_e < m_p \approx m_n < m_\alpha$.
તરંગલંબાઈ એ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,તરંગલંબાઈનો ક્રમ $\lambda_\alpha < \lambda_n \approx \lambda_p < \lambda_e$ થશે.
આમ,ચડતો ક્રમ $\lambda_\alpha, \lambda_n, \lambda_p, \lambda_e$ છે.