AIIMS 2012 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) મુસાફરનું વજન એ તેના પર લાગતું ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે. ધારો કે $M_e$ અને $M_m$ એ પૃથ્વી અને મંગળના દળ છે,અને $R_e$ અને $R_m$ તેમની ત્રિજ્યા છે. પૃથ્વીથી મંગળ તરફના માર્ગ પર $x$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = |F_e - F_m| = |\frac{G M_e m}{x^2} - \frac{G M_m m}{(d-x)^2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ પૃથ્વી અને મંગળ વચ્ચેનું અંતર છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર $(x = R_e)$,વજન $W_e = m g_e = 60 \times 10 = 600 \, N$ છે.
મંગળની સપાટી પર $(x = d - R_m)$,વજન $W_m = m g_m = 60 \times 4 = 240 \, N$ છે.
જેમ જેમ અવકાશયાન પૃથ્વીથી મંગળ તરફ જાય છે,તેમ પૃથ્વીનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઘટે છે અને મંગળનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વધે છે. બંને ગ્રહોની વચ્ચે કોઈ એક બિંદુએ,પૃથ્વી અને મંગળના ગુરુત્વાકર્ષણ બળો મૂલ્યમાં સમાન હશે,જેનાથી ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) શૂન્ય થઈ જશે.
અવકાશયાન અચળ વેગથી ગતિ કરતું હોવાથી,અંતર $x$ એ સમય $t$ ના પ્રમાણમાં છે. તેથી,વજન વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ $600 \, N$ થી ઘટવો જોઈએ,કોઈ મધ્યવર્તી સમયે $0 \, N$ સુધી પહોંચવો જોઈએ,અને પછી આગમન સમય $t_0$ પર $240 \, N$ સુધી વધવો જોઈએ. વક્ર $D$ એકમાત્ર એવો વક્ર છે જે દર્શાવે છે કે વજન શૂન્ય થાય છે અને પછી $240 \, N$ સુધી વધે છે.

(B) જ્યારે કોઈ કણ સમાન ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે તે પરિઘ પર સમાન સમયગાળામાં સમાન અંતર કાપે છે.
તે એક નિશ્ચિત સમયગાળા (આવર્તકાળ) પછી તે જ સ્થાને પાછો ફરે છે,તેથી આ ગતિ આવર્ત ગતિ છે.
જોકે,સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટે મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં પુનઃસ્થાપક બળ $(F = -kx)$ જરૂરી છે,જે સમાન વર્તુળાકાર ગતિ માટે હોતું નથી.
તેથી,આ ગતિ આવર્ત છે પરંતુ સરળ આવર્ત ગતિ નથી.

(D) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લોલકની અસરકારક લંબાઈ છે (આધાર બિંદુથી દોલન કરતા પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અંતર).
જ્યારે ચિમ્પાન્ઝી ઊભો થાય છે,ત્યારે સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉપરની તરફ ખસે છે,જે આધાર બિંદુની નજીક આવે છે.
આના પરિણામે હિંચકાની અસરકારક લંબાઈ $l$ માં ઘટાડો થાય છે.
જેમ કે $T \propto \sqrt{l}$,તેથી $l$ માં ઘટાડો થવાથી આવર્તકાળ $T$ માં પણ ઘટાડો થશે.

(C) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ,$r$ એ ત્રિજ્યા,$d$ એ ઘનતા,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ અને $\theta$ એ સંપર્કકોણ છે.
પૃષ્ઠતાણ માટે સૂત્ર: $T = \frac{hrdg}{2 \cos \theta}$.
પાણી $(1)$ અને પારો $(2)$ માટે: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{h_1}{h_2} \times \frac{d_1}{d_2} \times \frac{\cos \theta_2}{\cos \theta_1}$.
આપેલ છે: $h_1 = 10 \text{ cm}$,$h_2 = 3.112 \text{ cm}$ (અવપાત),$d_1 = 1 \text{ g/cm}^3$,$d_2 = 13.6 \text{ g/cm}^3$,$\theta_1 = 0^o$,$\theta_2 = 135^o$.
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{10}{3.112} \times \frac{1}{13.6} \times \frac{\cos(135^o)}{\cos(0^o)} = \frac{10}{3.112 \times 13.6} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx \frac{1}{6}$.

(C) ડેસિબલ $(dB)$ માં ધ્વનિ સ્તર $L$ નું સૂત્ર $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ છે,જ્યાં $I$ એ તીવ્રતા છે અને $I_0$ એ સંદર્ભ તીવ્રતા છે.
ધ્વનિ સ્તરમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L_1 - L_2 = 20 \ dB$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta L = 10 \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_0} \right) - 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_0} \right) = 10 \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_2} \right)$.
અહીં $\Delta L = 20$ આપેલ હોવાથી,$20 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_2} \right)$.
$10$ વડે ભાગતા,$2 = \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_2} \right)$.
એન્ટિલોગ લેતા,$\frac{I_1}{I_2} = 10^2 = 100$.
તેથી,તીવ્રતા $100$ ના અવયવ (ગણા) જેટલી ઘટે છે.

(C) સરળ લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$ મળે.
$g$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$g = 4\pi^2 \frac{l}{T^2}$ મળે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,ગુણાકાર અને ભાગાકારના નિયમ મુજબ: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
અહીં $l$ માં આંશિક ત્રુટિ $\frac{\Delta l}{l} = y$ અને $T$ માં આંશિક ત્રુટિ $\frac{\Delta T}{T} = x$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{\Delta g}{g} = y + 2x$ અથવા $2x + y$ મળે.

(A) કેપેસિટન્સ $C$ ને $C = \frac{Q}{V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{W}{Q}$ હોવાથી,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે,આપણે $C = \frac{Q^2}{W}$ લખી શકીએ.
કાર્ય $W$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
પરિમાણો મૂકતા,આપણને $[C] = \frac{[Q^2]}{[ML^2T^{-2}]}$ મળે છે.
તેથી,$[C] = [M^{-1}L^{-2}T^2Q^2]$.

(B) $X$-અક્ષ પર વેગનો ઘટક $v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2) = 2at$ છે.
$Y$-અક્ષ પર વેગનો ઘટક $v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(bt^2) = 2bt$ છે.
કણની ઝડપ $v$ એ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે,જે $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \sqrt{(2at)^2 + (2bt)^2} = \sqrt{4a^2t^2 + 4b^2t^2} = \sqrt{4t^2(a^2 + b^2)}$.
તેથી,$v = 2t\sqrt{a^2 + b^2}$.

(A) ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $h$ એ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટેના ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $h = \frac{1}{2}gT^2$.
$t = T/3$ સમયે,દડા દ્વારા ટોચથી કાપેલું અંતર $h'$ છે: $h' = \frac{1}{2}g(T/3)^2 = \frac{1}{2}g(T^2/9) = \frac{1}{9}(\frac{1}{2}gT^2) = \frac{h}{9}$.
જમીનથી દડાનું સ્થાન એ કુલ ઊંચાઈમાંથી ટોચથી કાપેલું અંતર બાદ કરવાથી મળે છે: $h_{ground} = h - h' = h - \frac{h}{9} = \frac{8h}{9}$ મીટર.

(C) આપેલ ત્રિજ્યા $r = 25\, cm = 0.25\, m$.
આવૃત્તિ $f = 2\, rev/s$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2 = 4\pi\, rad/s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ સૂત્ર $a_c = r\omega^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_c = 0.25 \times (4\pi)^2$.
$a_c = 0.25 \times 16\pi^2$.
$a_c = 4\pi^2\, m/s^2$.

(C) ધારો કે બ્લોક $A$ નું દળ $m$ છે અને બ્લોક $B$ નું દળ $2m$ છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M = m + 2m = 3m$ છે.
લાગતું બળ $F = 15 \, N$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{15}{3m} = \frac{5}{m} \, m/s^2$ છે.
બ્લોક $B$ પર લાગતું બળ એ બ્લોક $A$ દ્વારા બ્લોક $B$ પર લગાડવામાં આવતું બળ છે,જે બ્લોક $B$ ને પ્રવેગિત કરે છે. આ બળ $F_B = m_B \times a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$F_B = (2m) \times \left(\frac{5}{m}\right) = 10 \, N$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
$h$ ઊંચાઈથી $u$ ઝડપ સાથે ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડા $A$ માટે: $\frac{1}{2}mu^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_A^2$.
$h$ ઊંચાઈથી $u$ ઝડપ સાથે નીચેની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડા $B$ માટે: $\frac{1}{2}mu^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_B^2$.
બંને દડા માટે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જા સમાન હોવાથી, જમીન પર પહોંચતી વખતે તેમની અંતિમ ગતિઊર્જા સમાન હોવી જોઈએ.
તેથી, $v_A^2 = v_B^2$, જેનો અર્થ છે કે $v_A = v_B$.

(D) બળ $F$ દ્વારા પદાર્થને $v$ વેગથી ગતિ કરાવવા માટેનો પાવર $P = F \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બળ $F$ અચળ હોવાથી,પ્રવેગ $a = F/m$ પણ અચળ રહેશે.
ધારો કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u = 0)$ ગતિ શરૂ કરે છે,તો $t$ સમયે વેગ $v = a \cdot t = (F/m) \cdot t$ થશે.
આ કિંમતને પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા,$P = F \cdot (F/m) \cdot t = (F^2/m) \cdot t$ મળે છે.
અહીં $F$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$P \propto t$ થાય છે.
આ સંબંધ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $D$ માં આપેલા આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. લંબ અક્ષોના પ્રમેય મુજબ,લેમિનાના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને લેમિનાના સમતલને લંબ અક્ષ વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = I_x + I_y$ છે.
ચોરસ લેમિના માટે,કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લેમિનાના સમતલમાં રહેલી કોઈપણ અક્ષ વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોય છે.
ધારો કે $I_{EF}$ એ $EF$ અક્ષ (બાજુઓ $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થતી) વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા છે. સંમિતિ દ્વારા,$I_{EF} = I_{GH}$ જ્યાં $GH$ એ બાજુઓ $AD$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થતી અક્ષ છે.
આમ,$I_z = I_{EF} + I_{GH} = 2I_{EF}$.
હવે,વિકર્ણ $AC$ ને ધ્યાનમાં લો. વિકર્ણ $AC$ વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{AC}$ છે. સંમિતિ દ્વારા,બીજા વિકર્ણ $BD$ વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{BD} = I_{AC}$ છે.
વિકર્ણો પણ લેમિનાના સમતલમાં લંબ અક્ષો હોવાથી,$I_z = I_{AC} + I_{BD} = 2I_{AC}$.
$I_z$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $2I_{EF} = 2I_{AC}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $I_{AC} = I_{EF}$.

(A) ગબડતી ગતિને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ ના $V_C = R\omega$ વેગ સાથેના શુદ્ધ સ્થાનાંતર અને કેન્દ્ર $C$ ની આસપાસ $\omega$ કોણીય વેગ સાથેના શુદ્ધ પરિભ્રમણના સંયોજન તરીકે ગણી શકાય.
કેન્દ્ર $C$ થી $r$ અંતરે આવેલા કોઈપણ બિંદુ માટે,પરિભ્રમણને કારણે વેગ $v_{rot} = r\omega$ છે.
કોઈપણ બિંદુનો વેગ એ સ્થાનાંતરિત વેગ $\vec{V}_C$ અને પરિભ્રમણીય વેગ $\vec{v}_{rot}$ નો સદિશ સરવાળો છે.
સમક્ષિતિજ વ્યાસ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માટે:
$1$. બિંદુ $Q$ પર,પરિભ્રમણીય વેગ એ સ્થાનાંતરિત વેગની દિશામાં જ છે. તેથી,$V_Q = V_C + r\omega = R\omega + r\omega = (R+r)\omega$.
$2$. બિંદુ $P$ પર,પરિભ્રમણીય વેગ એ સ્થાનાંતરિત વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં છે. તેથી,$V_P = |V_C - r\omega| = |R\omega - r\omega| = (R-r)\omega$.
અહીં $R > r$ હોવાથી,આપણને $V_Q > V_C > V_P$ મળે છે.

(A) બંને દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,જેનો અર્થ છે કે $a = F/m$.
બંને માટે બળ $F$ સમાન હોવાથી,પ્રવેગ $a$ એ દળ $m$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(a \propto 1/m)$.
આપેલ છે કે $m_1 < m_2$,તેથી $a_1 > a_2$ થાય. આમ,$m_1$ નો પ્રવેગ $m_2$ કરતા વધારે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ તંત્ર માટે આંતરિક બળ હોવાથી,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી.
તેથી,તંત્રની કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે.

(B) વિમાનની પાંખની લિફ્ટ બર્નુલીના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.
વિમાનની પાંખને એરફોઇલ નામના ખાસ આકાર સાથે ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે.
આ આકારને કારણે,પાંખની ઉપરની હવાના વેગ પાંખની નીચેની હવાના વેગ કરતા વધારે હોય છે.
બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,જ્યાં પ્રવાહીનો વેગ વધારે હોય ત્યાં દબાણ ઓછું હોય છે.
તેથી,પાંખની નીચેનું દબાણ પાંખની ઉપરના દબાણ કરતા વધારે હોય છે,જે લિફ્ટ તરીકે ઓળખાતું ઉપર તરફનું બળ ઉત્પન્ન કરે છે.

(C) અચળ દરે આપવામાં આવતી ઉષ્મા $Q = K t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ગરમ કરવાનો દર છે.
કોઈ પદાર્થ જ્યારે એક જ અવસ્થામાં હોય,ત્યારે તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $Q = m c \Delta T$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $K t = m c (T - T_0)$. આમ,$T = T_0 + (K / mc) t$. આ દર્શાવે છે કે એક જ અવસ્થામાં ગરમ કરતી વખતે તાપમાન સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
જ્યારે પદાર્થ અવસ્થા બદલે છે (દા.ત. બાષ્પીભવન),ત્યારે આપવામાં આવતી ઉષ્માનો ઉપયોગ અચળ તાપમાને અવસ્થા બદલવા માટે થાય છે,જે $Q = m L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયા દરમિયાન,તાપમાન અચળ રહે છે,જેના પરિણામે $T-t$ આલેખ પર એક આડી રેખા મળે છે.
કારણ કે $1$ વાતાવરણીય દબાણે ઓક્સિજન $50\, K$ અને $300\, K$ ની વચ્ચે અવસ્થા બદલે છે (ઉકળે છે),તેથી આલેખમાં પહેલા રેખીય વધારો,ત્યારબાદ અવસ્થા બદલાતી વખતે આડી રેખા અને પછી ફરીથી રેખીય વધારો જોવા મળશે.
તેથી,સાચો આલેખ $C$ છે.

(D) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,જેની લંબાઈ $\ell$ છે,$p^{th}$ મોડની આવૃત્તિ $f_{open} = p \frac{v}{2\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,જેની લંબાઈ $\ell$ છે,$p^{th}$ મોડની આવૃત્તિ $f_{closed} = (2p - 1) \frac{v}{4\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખુલ્લી પાઇપ અને બંધ પાઇપની $p^{th}$ મોડની આવૃત્તિનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરીએ:
$\frac{f_{open}}{f_{closed}} = \frac{p \frac{v}{2\ell}}{(2p - 1) \frac{v}{4\ell}}$
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{f_{open}}{f_{closed}} = \frac{p}{2\ell} \times \frac{4\ell}{2p - 1} = \frac{2p}{2p - 1}$
આમ,ગુણોત્તર $\frac{2p}{2p - 1}$ મળે છે.

(D) ધારો કે ફોર્ક $1$ ની આવૃત્તિ $n_1 = 200 \, Hz$ છે અને ફોર્ક $2$ ની આવૃત્તિ $n_2$ છે.
શરૂઆતમાં,બીટ આવૃત્તિ $|n_1 - n_2| = 4 \, Hz$ છે. આનો અર્થ એ થાય કે $n_2 = 200 \pm 4$,તેથી $n_2 = 204 \, Hz$ અથવા $n_2 = 196 \, Hz$ હોઈ શકે.
જ્યારે ફોર્ક $2$ ના પ્રોંગ પર ટેપ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $n_2$ ઘટે છે.
જો $n_2 = 204 \, Hz$ હોત,તો તેને ઘટાડવાથી બીટ આવૃત્તિ $|200 - n_2'|$ એ $4 \, Hz$ કરતા ઓછી થઈ જાત.
જો $n_2 = 196 \, Hz$ હોત,તો તેને વધુ ઘટાડવાથી (દા.ત. $194 \, Hz$ સુધી) બીટ આવૃત્તિ $|200 - 194| = 6 \, Hz$ થઈ જાય.
તેથી,બીટ આવૃત્તિ વધીને $6 \, Hz$ થતી હોવાથી,ફોર્ક $2$ ની મૂળ આવૃત્તિ $196 \, Hz$ હોવી જોઈએ.

(B) આ પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે જે $V$ પોટેન્શિયલ ધરાવતી બેટરી સાથે જોડાયેલ છે.
શાખા $1$ માં $C_1, C_2$ અને $C_3$ કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે. આ શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq1}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_{eq1}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{3C} = \frac{6+3+2}{6C} = \frac{11}{6C}$
તેથી,$C_{eq1} = \frac{6C}{11}$.
આ શ્રેણી શાખામાં દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_{eq1} V = \frac{6CV}{11}$ છે.
$C_1, C_2$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં હોવાથી,$C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{C2} = Q_1 = \frac{6CV}{11}$ થશે.
શાખા $2$ માં માત્ર $C_4$ કેપેસિટર છે જે સીધું બેટરી સાથે જોડાયેલ છે. $C_4$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{C4} = C_4 V = 4CV$ છે.
$C_2$ અને $C_4$ પરના વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર:
$\frac{Q_{C2}}{Q_{C4}} = \frac{\frac{6CV}{11}}{4CV} = \frac{6}{11 \times 4} = \frac{6}{44} = \frac{3}{22}$.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર સમાન દ્રવ્ય અને સમાન લંબાઈના હોવાથી,$R \propto \frac{1}{A}$ થાય.
આડછેદના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $A_1 : A_2 = 3 : 1$ આપેલ છે,જ્યાં $A_1$ જાડો તાર અને $A_2$ પાતળો તાર છે.
તેથી,અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{1}{3}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $R_2 = 3R_1$.
જાડા તારનો અવરોધ $R_1 = 10\,\Omega$ આપેલ છે.
તેથી,પાતળા તારનો અવરોધ $R_2 = 3 \times 10 = 30\,\Omega$ થાય.
જ્યારે તેમને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = 10 + 30 = 40\,\Omega$ થાય.

(B) ક્યુરી તાપમાન $(T_C)$ એ ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
$T_C$ થી નીચેના તાપમાને,ચુંબકીય ડોમેન્સના ગોઠવણીને કારણે પદાર્થ ફેરોમેગ્નેટિક ગુણધર્મો દર્શાવે છે.
જેમ જેમ તાપમાન વધે છે અને $T_C$ સુધી પહોંચે છે,તેમ ઉષ્મીય આંદોલન એટલું પ્રબળ બની જાય છે કે તે ડોમેન્સની ગોઠવણી જાળવી રાખતા એક્સચેન્જ કપલિંગને દૂર કરી શકે છે.
પરિણામે,ક્યુરી તાપમાનથી ઉપર,પદાર્થ તેનું સ્વયંભૂ ચુંબકત્વ ગુમાવે છે અને પેરામેગ્નેટિક અવસ્થામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(A) $LCR$ સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ એ રેઝોનન્સ સમયે ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ અથવા કેપેસિટર $(V_C)$ પરના વોલ્ટેજ અને અવરોધક $(V_R)$ પરના વોલ્ટેજના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$Q = \frac{V_L}{V_R} = \frac{I \cdot X_L}{I \cdot R} = \frac{X_L}{R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,
આમ,ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q = \frac{\omega L}{R}$ થાય છે.

(D) ઓપ્ટિકલ સાધનની રિઝોલ્વિંગ પાવર $(R.P.)$ એ વપરાતી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $R.P. \propto \frac{1}{\lambda}$.
તેથી,$\lambda_1$ અને $\lambda_2$ માટે રિઝોલ્વિંગ પાવરનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{(R.P.)_1}{(R.P.)_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(R.P.)_1}{(R.P.)_2} = \frac{5000 \; \mathring{A}}{4000 \; \mathring{A}} = \frac{5}{4}$
આમ,ગુણોત્તર $5:4$ છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ ધન $x-$ અક્ષની દિશામાં વધે છે.
ધારો કે ઋણ વીજભાર $(-q)$ ના સ્થાન પરનું ક્ષેત્ર $E_1$ છે અને ધન વીજભાર $(+q)$ ના સ્થાન પરનું ક્ષેત્ર $E_2$ છે.
આકૃતિ મુજબ,ઋણ વીજભાર ધન $x$ દિશામાં છે,તેથી $E_1 > E_2$.
ઋણ વીજભાર પર લાગતું બળ $F_1 = qE_1$ (ઋણ $x-$ અક્ષની દિશામાં) છે.
ધન વીજભાર પર લાગતું બળ $F_2 = qE_2$ (ધન $x-$ અક્ષની દિશામાં) છે.
$E_1 > E_2$ હોવાથી,ચોખ્ખું બળ ઋણ $x-$ અક્ષની દિશામાં લાગશે.
ટોર્ક $\tau = p \times E$ ડાયપોલને ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત કરવા માટે ફેરવે છે,જે આ કિસ્સામાં ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં પરિભ્રમણ કરાવે છે.

(C) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ગૌસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ છે. તેથી,ફ્લક્સ માત્ર $q_1$ અને $q_2$ પર આધાર રાખે છે. આમ,વિધાન સાચું છે.
જો કે,ગૌસિયન સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ અવકાશમાં હાજર તમામ વિદ્યુતભારો ($q_1, q_2, q_3$ અને $q_4$) દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે. તેથી,સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર અંદરના વિદ્યુતભારો પર જ નહીં,પરંતુ તમામ વિદ્યુતભારો પર આધાર રાખે છે. આમ,કારણ ખોટું છે.

(B) ડાયપોલની ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ છે અને સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુત ડાયપોલને સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક વિદ્યુતભાર $q$ પર બળ $\vec{F} = q\vec{E}$ અને $\vec{F} = -q\vec{E}$ લાગે છે.
આ બે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાના બળો એક કપલ (બળયુગ્મ) બનાવે છે,જે ડાયપોલ પર ટોર્ક લગાડે છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય એ એક બળના મૂલ્ય અને તેમની વચ્ચેના લંબ અંતરના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$\tau = F \times (d \sin \theta) = (qE) \times (a \sin \theta) = (qa) E \sin \theta$.
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = qa$ હોવાથી,આપણને $\tau = pE \sin \theta$ મળે છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આને $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) પરિપથ આકૃતિ પરથી,વોલ્ટમીટર ડાબી બાજુના બે કેપેસિટરના સમાંતર જોડાણ સાથે જોડાયેલું છે.
કેપેસિટરો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત વોલ્ટમીટરના રીડિંગ જેટલો એટલે કે $V = 200\,V$ થાય.
દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 25\,\mu F = 25 \times 10^{-6}\,F$ છે.
કેપેસિટરની દરેક પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ એ સૂત્ર $Q = CV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$Q = (25 \times 10^{-6}\,F) \times (200\,V)$
$Q = 5000 \times 10^{-6}\,C$
$Q = 5 \times 10^{-3}\,C$.
આમ,દરેક પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $\pm 5 \times 10^{-3}\,C$ છે.

(C) કેપેસિટર $C_1$ માટે,પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારો $q_1 = 2 \mu C$ અને $q_2 = 4 \mu C$ છે. $C_1$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = (q_2 - q_1) / (2C_1) = (4 - 2) / (2C_1) = 1 / C_1$ છે.
કેપેસિટર $C_2$ માટે,પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારો $q_3 = 4 \mu C$ અને $q_4 = 8 \mu C$ છે. $C_2$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = (q_4 - q_3) / (2C_2) = (8 - 4) / (2 \times 2C_1) = 4 / (4C_1) = 1 / C_1$ છે.
$V_1 = V_2$ હોવાથી,જ્યારે કી $K$ બંધ કરવામાં આવે ત્યારે પ્લેટો વચ્ચે કોઈ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત હોતો નથી,તેથી કોઈ વિદ્યુતભાર વહેતો નથી.
$C_1$ ની ઉપરની પ્લેટ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $2 \mu C$ (ધન) છે અને નીચેની પ્લેટ પર $4 \mu C$ (ધન) છે. આમ,વિધાન સાચું છે.
કારણ ખોટું છે કારણ કે,અલગ કરેલા કેપેસિટરમાં,પ્લેટો સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભાર ધરાવે છે,પરંતુ જ્યારે બાહ્ય પરિપથ સાથે જોડવામાં આવે અથવા મનસ્વી વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે,ત્યારે પ્લેટો પર હંમેશા સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભાર હોવો જરૂરી નથી.

(B) અચળ વોલ્ટેજ $V$ ધરાવતા તારમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \frac{V^2}{R} t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઉષ્મા બમણી કરવા માટે,અવરોધ $R$ અડધો $(R' = R/2)$ થવો જોઈએ.
અવરોધનું સૂત્ર $R = \frac{\rho \ell}{A} = \frac{\rho \ell}{\pi r^2}$ છે.
જો લંબાઈ $\ell$ અને ત્રિજ્યા $r$ બંને બમણી કરવામાં આવે,તો $\ell' = 2\ell$ અને $r' = 2r$ થાય.
તેથી $R' = \frac{\rho (2\ell)}{\pi (2r)^2} = \frac{2\rho \ell}{4\pi r^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\rho \ell}{\pi r^2} \right) = \frac{R}{2}$.
અહીં $R' = R/2$ હોવાથી,નવી ઉષ્મા $H' = \frac{V^2}{R'} t = \frac{V^2}{R/2} t = 2 \left( \frac{V^2}{R} t \right) = 2H$ થાય. આમ,ઉષ્મા બમણી થાય છે.

(B) ધારો કે $I_1$ એ $5\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે અને $I_2$ એ $(6+9)\,\Omega$ ની શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
આપેલ છે કે $5\,\Omega$ ના અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $20.00\,cal/s$ છે,તેથી:
$P_1 = I_1^2 R_1 = 20.00\,cal/s$
$I_1^2 \times 5 = 20 \implies I_1^2 = 4 \implies I_1 = 2\,A$.
બિંદુ $C$ અને $D$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{CD} = I_1 \times 5 = 2 \times 5 = 10\,V$ છે.
ઉપરની શાખા $(6\,\Omega + 9\,\Omega)$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2 = \frac{V_{CD}}{6+9} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\,A$ છે.
$2\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = I_1 + I_2 = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\,A$ છે.
$2\,\Omega$ ના અવરોધમાં પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $P = I^2 R = \left(\frac{8}{3}\right)^2 \times 2 = \frac{64}{9} \times 2 = \frac{128}{9} \approx 14.22\,cal/s$ થાય.

(D) પરિપથ $I$ માં,કળ (સ્વિચ) ખુલ્લી છે,જેનો અર્થ છે કે પરિપથ પૂર્ણ નથી. તેથી,અવરોધમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી $(I = 0 \ A)$. ઓહ્મના નિયમ મુજબ,અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V = I \times R = 0 \times 2 = 0 \ V$ થાય છે. આમ,વોલ્ટમીટર $0 \ V$ દર્શાવે છે.
પરિપથ $II$ માં,કળ બંધ છે,જેથી પરિપથ પૂર્ણ થાય છે. વિદ્યુતપ્રવાહ અવરોધમાંથી વહે છે. બેટરીનો આંતરિક અવરોધ આપેલ ન હોવાથી,આપણે તેને આદર્શ માનીએ છીએ. બેટરીનું સંપૂર્ણ ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(2 \ V)$ $2 \ \Omega$ ના અવરોધ પર જોવા મળે છે. તેથી,વોલ્ટમીટર $2 \ V$ દર્શાવે છે.

(D) આપેલ પરિપથમાં, બેટરી $E$, એમીટર $A$, અવરોધ $R$, અને વોલ્ટમીટર $V$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
આદર્શ વોલ્ટમીટરનો અવરોધ અનંત હોય છે, જે પરિપથમાં કોઈ પણ પ્રવાહને વહેતા અટકાવે છે.
આદર્શ વોલ્ટમીટરના અનંત અવરોધને કારણે પરિપથ ખુલ્લો હોવાથી, એમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + R_V} = \frac{E}{R + \infty} = 0$ થાય છે.
તેથી, એમીટરનું અવલોકન $0$ છે.
વોલ્ટમીટર બાકીના પરિપથ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલું છે. આદર્શ વોલ્ટમીટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરીના કુલ $EMF$ જેટલો એટલે કે $V = E$ થશે. આમ, વોલ્ટમીટરનું અવલોકન શૂન્ય નથી.
તેથી, વિધાન ખોટું છે, અને કારણ પણ ખોટું છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = NIAB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\theta$ એ લૂપના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ પરિમિતિ (તારની લંબાઈ $L = 2.0\,m$) માટે,વર્તુળ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ મહત્તમ હોય છે.
ટોર્ક $\tau$ એ ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(\tau \propto A)$,સૌથી વધુ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી લૂપ માટે ટોર્ક મહત્તમ હશે.
આપેલ આકારોમાં,વર્તુળાકાર લૂપ $S$ નિશ્ચિત પરિમિતિ માટે મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવે છે.
તેથી,લૂપ $S$ પર ટોર્ક મહત્તમ હશે.

(D) $L$ લંબાઈના સીધા તારને કારણે $d$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a$ બાજુવાળી ચોરસ કોઈલ માટે,કેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર $d = a/2$ છે.
કેન્દ્ર પર ખૂણાઓ $\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$ (અથવા $\pi/4$ રેડિયન) છે.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{side}} = \frac{\mu_0 I}{4\pi (a/2)}(\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}(\frac{2}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2}\mu_0 I}{2\pi a} = \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2}\pi a}$ છે.
કુલ $4$ સમાન બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{total}} = 4 \times B_{\text{side}} = 4 \times \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2}\pi a} = \frac{4}{\sqrt{2}} \frac{\mu_0 I}{\pi a} = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi a}$ થાય.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સતત બંધ લૂપ બનાવે છે. ચુંબકની બહાર,તે ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ માંથી બહાર નીકળે છે અને દક્ષિણ ધ્રુવ $(S)$ માં પ્રવેશ કરે છે. ચુંબકની અંદર,તે દક્ષિણ ધ્રુવ $(S)$ થી ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ તરફ જાય છે. આ સુનિશ્ચિત કરે છે કે ચુંબકીય પ્રેરણની રેખાઓ સતત માર્ગ બનાવે છે. આપેલી આકૃતિઓને જોતા,આકૃતિ $(1)$ યોગ્ય રીતે આ રેખાઓને ઉત્તર ધ્રુવમાંથી બહાર નીકળતી,દક્ષિણ ધ્રુવમાં પ્રવેશતી અને ચુંબકની અંદર $S$ થી $N$ તરફ જતી દર્શાવે છે.

(C) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નું સૂત્ર $\phi = B A \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળના સદિશ $\vec{n}$ (સપાટીને લંબ) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં ક્ષેત્રફળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $60^o$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી ક્ષેત્રફળના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^o - 60^o = 30^o$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\phi = 2.0 \times 0.5 \times \cos(30^o)$.
$\phi = 1.0 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \, Wb$.

(C) આપેલ સમાંતર $LCR$ સર્કિટમાં,રેઝોનન્સ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ $(X_L = X_C)$ ની બરાબર હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $LC$ શાખાનો ઇમ્પિડન્સ શૂન્ય થઈ જાય છે (આદર્શ ઘટકો ધારતા).
જોકે,અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ $V$ અને અવરોધ $R$ દ્વારા નક્કી થાય છે,જે $I = V/R$ છે.
ચૂકવણી કે $R$ એ $LC$ સંયોજન સાથે સમાંતરમાં હોવાથી,$R$ પરનો વોલ્ટેજ સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $V$ જેટલો જ રહે છે.
તેથી,અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{max} = V/R$ છે,જે આ સર્કિટ માટે શક્ય મહત્તમ મૂલ્ય છે અને તે મર્યાદિત છે.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં પીક પ્રવાહ $I_{\max} = \frac{\varepsilon_{\max}}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$.
શુદ્ધ અવરોધક ઘટકમાં,પ્રવાહ આવૃત્તિથી સ્વતંત્ર છે,પરંતુ શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ પર આધાર રાખે છે.
જેમ $\omega$ વધે છે,તેમ પદ $(\omega L - \frac{1}{\omega C})^2$ બદલાય છે. ખાસ કરીને,પ્રવાહ $I_{\max}$ રેઝોનન્સ $(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}})$ પર તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે અને રેઝોનન્સથી બંને દિશામાં દૂર જતાં ઘટે છે.
તેથી,વિધાન કે પ્રવાહ હંમેશા કોણીય આવૃત્તિ વધવાથી વધે છે તે ખોટું છે.
આપેલ કારણ પીક પ્રવાહ માટેનું સાચું સૂત્ર છે,પરંતુ તે ખોટા વિધાનને સમર્થન આપતું નથી.
આમ,વિધાન ખોટું છે અને કારણ સાચું છે.

(C) કોશીના સમીકરણ મુજબ,દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે,જ્યાં $\mu$ એ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ જાંબલી પ્રકાશ કરતા વધારે હોવાથી $(\lambda_R > \lambda_V)$,લાલ પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક જાંબલી પ્રકાશ કરતા ઓછો હોય છે $(\mu_R < \mu_V)$.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\frac{1}{f} \propto (\mu - 1)$.
જેથી $\mu_V > \mu_R$ હોવાથી,$(\mu_V - 1) > (\mu_R - 1)$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{f_V} > \frac{1}{f_R}$,જેનો અર્થ છે કે $f_V < f_R$.

(C) બહિર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ધન લેવામાં આવે છે $(f = +26 \ cm)$. વસ્તુ અંતર $u$ હંમેશા ઋણ લેવામાં આવે છે $(u = -26 \ cm)$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{-26} = \frac{1}{26}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{26} + \frac{1}{26} = \frac{2}{26} = \frac{1}{13}$.
આમ,$v = +13 \ cm$.
પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $13 \ cm$ અંતરે રચાય છે,અનંત અંતરે નહીં. તેથી,વિધાન સાચું છે.
કારણમાં જણાવેલ છે કે સમીકરણ $v = \infty$ આપે છે,જે સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ ગાણિતિક રીતે ખોટું છે. તેથી,કારણ ખોટું છે.

(A) ફ્રિન્જ વિઝિબિલિટી $(V)$ એ વ્યતિકરણ ભાતમાં રહેલા કોન્ટ્રાસ્ટનું માપ છે.
તે મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાના તફાવત અને તેમના સરવાળાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$

(C) શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda' D'}{d'}$ છે.
આપેલ છે: $\lambda' = 3\lambda$,$D' = 3D$,અને $d' = d/3$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\beta = \frac{(3\lambda)(3D)}{d/3} = \frac{9\lambda D}{d/3} = 27 \frac{\lambda D}{d}$.
$x = 1/3 \ m$ અંતરમાં શલાકાઓની સંખ્યા $n = \frac{x}{\beta}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$n = \frac{1/3}{27 \lambda D / d} = \frac{d}{81 \lambda D}$.

(C) કોઈપણ સમયે $t$ પર રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$
જ્યાં $N_0$ એ $t = 0$ સમયે રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા છે અને $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
આ સમીકરણ ઘાતાંકીય ક્ષય વિધેય દર્શાવે છે,જે $y = a e^{-kx}$ સ્વરૂપમાં છે.
જેમ $t$ વધે છે,તેમ $N$ પ્રારંભિક મૂલ્ય $N_0$ થી ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે અને જેમ $t \to \infty$ થાય તેમ તે શૂન્યની નજીક પહોંચે છે.
તેથી,સાચો આલેખ તે છે જે $N$-અક્ષ પરના ધન મૂલ્યથી શરૂ થતો ઘાતાંકીય ક્ષય વક્ર દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(B) કણ ${}_{-1}e^{0}$ ને $\beta^{-}$ કણ (ઇલેક્ટ્રોન) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને $\bar{\nu}$ ને એન્ટિન્યુટ્રિનો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આ પ્રક્રિયામાં,એક ન્યુટ્રોન પ્રોટોનમાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેમાં એક ઇલેક્ટ્રોન અને એક એન્ટિન્યુટ્રિનો ઉત્સર્જિત થાય છે.
આ પ્રક્રિયામાં $\beta^{-}$ કણનું ઉત્સર્જન થતું હોવાથી,તેને $\beta^{-}$ ક્ષય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(A) ન્યુક્લિયર ક્ષય પ્રક્રિયામાં, ઉર્જા મુક્ત થાય છે કારણ કે નીપજોનું કુલ દળ પિતૃ ન્યુક્લિયસના દળ કરતાં ઓછું હોય છે. આ દળ તફાવત, જેને દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તે આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત $E = \Delta m c^2$ મુજબ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉર્જા મુક્ત થતી હોવાથી, ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું પાલન કરવા માટે નીપજોની કુલ સ્થિર દળ ઉર્જા પિતૃ ન્યુક્લિયસની સ્થિર દળ ઉર્જા કરતાં ઓછી હોવી જોઈએ.
તેથી, વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે, અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુનું ન્યુક્લિયસ $(_{1}^{1}H)$ માત્ર એક પ્રોટોનનું બનેલું હોય છે.
ન્યુક્લિયર બંધન ઉર્જા એટલે ન્યુક્લિયસને તેના ઘટક પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન (ન્યુક્લિયોન્સ) માં વિભાજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા.
હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસમાં માત્ર એક જ ન્યુક્લિયોન (પ્રોટોન) હોવાથી,તેની સાથે બંધન કરવા માટે અન્ય કોઈ ન્યુક્લિયોન હોતા નથી,અને તેથી તેને જકડી રાખવા માટે કોઈ ન્યુક્લિયર બળ કાર્ય કરતું નથી.
તેથી,હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા અને દળ ક્ષતિ શૂન્ય છે.
વિધાન સાચું છે અને કારણ એ સમજાવે છે કે શા માટે બંધન ઉર્જા શૂન્ય છે (માત્ર એક ન્યુક્લિયોનની હાજરીને કારણે),તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) $NAND$ ગેટ એ $AND$ ગેટના આઉટપુટ સાથે $NOT$ ગેટને જોડીને બનાવવામાં આવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં,વિકલ્પ $D$ માં $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટ દર્શાવેલ છે,જે $NAND$ ગેટનું પ્રમાણિત નિરૂપણ છે.

(B) $NAND$ ગેટ ત્યારે જ $0$ આઉટપુટ આપે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $1$ હોય. અન્યથા,તે $1$ આઉટપુટ આપે છે.
$A$ અને $B$ માટેના ઇનપુટ વેવફોર્મ પરથી:
- $t = 0$ થી $2 \ s$ માટે: $A=0, B=0 \implies Y=1$.
- $t = 2$ થી $4 \ s$ માટે: $A=1, B=0 \implies Y=1$.
- $t = 4$ થી $6 \ s$ માટે: $A=0, B=0 \implies Y=1$.
- $t = 6$ થી $8 \ s$ માટે: $A=1, B=1 \implies Y=0$.
- $t > 8 \ s$ માટે: $A=0, B=0 \implies Y=1$.
આ ક્રમ $(1, 1, 1, 0, 1)$ ને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ વેવફોર્મ આ આઉટપુટ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) ફોટો-ડાયોડ એ રિવર્સ બાયસ ધરાવતો $p-n$ જંકશન ડાયોડ છે. $p-n$ જંકશન પર એક જંકશન વિદ્યુતક્ષેત્ર અસ્તિત્વ ધરાવે છે,જે સંતુલન સ્થિતિમાં ચાર્જ કેરિયર્સને જંકશનની આરપાર વહેવા દેતું નથી.
જ્યારે આવા $p-n$ ડાયોડને $h
u > E_{g}$ ઉર્જા ધરાવતા પ્રકાશના ફોટોન દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ડિપ્લેશન લેયરમાં (અથવા જંકશનની નજીક) ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડીઓ ઉત્પન્ન થાય છે. આ ચાર્જ કેરિયર્સ જંકશન ફિલ્ડ દ્વારા અલગ પડે છે અને જંકશનની આરપાર વહે છે,જેના પરિણામે રિવર્સ સેચ્યુરેશન કરંટમાં ફેરફાર થાય છે.
કારણ કે રિવર્સ કરંટ આ ફોટો-ઉત્તેજિત કેરિયર્સના નિર્માણ પ્રત્યે અત્યંત સંવેદનશીલ હોય છે,તેથી કરંટમાં થતો ફેરફાર સીધો આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના પ્રમાણમાં હોય છે. આમ,આ ઉપકરણ ફોટો-ડિટેક્ટર તરીકે કાર્ય કરે છે.

(D) દરેક સિગ્નલની બેન્ડવિડ્થ $5\, kHz$ છે. કુલ $12$ સિગ્નલો હોવાથી,સિગ્નલની કુલ બેન્ડવિડ્થ $12 \times 5\, kHz = 60\, kHz$ થશે.
$N$ સિગ્નલો માટે,તેમની વચ્ચે જરૂરી ગાર્ડ બેન્ડની સંખ્યા $N-1$ હોય છે.
અહીં,$N = 12$ છે,તેથી જરૂરી ગાર્ડ બેન્ડની સંખ્યા $12 - 1 = 11$ થશે.
દરેક ગાર્ડ બેન્ડની બેન્ડવિડ્થ $1\, kHz$ છે.
તેથી,કુલ ગાર્ડ બેન્ડવિડ્થ $11 \times 1\, kHz = 11\, kHz$ થશે.
મલ્ટિપ્લેક્સ કરેલા સિગ્નલની કુલ બેન્ડવિડ્થ એ સિગ્નલની બેન્ડવિડ્થ અને ગાર્ડ બેન્ડવિડ્થનો સરવાળો છે:
કુલ બેન્ડવિડ્થ $= 60\, kHz + 11\, kHz = 71\, kHz$.