AIIMS 2016 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર લાગતા કુલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K$
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરતો હોવાથી,તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $0$ છે. તેથી,$K = W$.
અચળ પ્રવેગ $a$ અને અચળ બળ $F$ હેઠળ ગતિ કરતા પદાર્થ માટે,$x$ અંતર કાપવા માટે થયેલું કાર્ય $W$ નીચે મુજબ છે:
$W = F \cdot x$
અહીં $F = m \cdot a$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$K = (m \cdot a) \cdot x$
આ દર્શાવે છે કે $K \propto x$.
તેથી,ગતિઊર્જા $K$ અને અંતર $x$ વચ્ચેનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા હશે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતી ઉર્જા $P$ એ નિરપેક્ષ તાપમાનની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $P \propto T^4$.
સૌ પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવો:
$T_1 = -73 + 273 = 200 \ K$
$T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$
હવે,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતી ઉર્જાનો ગુણોત્તર શોધો:
$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$
$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{200}{600} \right)^4$
$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^4 = \frac{1}{81}$
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતી ઉર્જાનો ગુણોત્તર $1:81$ છે.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $2\pi$ અને $k$ અચળ હોવાથી,$T \propto \sqrt{M}$ મળે છે.
શરૂઆતમાં,$M_1 = M$ દળ માટે આવર્તકાળ $T_1 = T$ છે.
જ્યારે દળમાં $m$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવું દળ $M_2 = M + m$ અને નવો આવર્તકાળ $T_2 = \frac{5T}{3}$ થાય છે.
પ્રમાણસરતા $T \propto \sqrt{M}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5T/3}{T} = \sqrt{\frac{M + m}{M}}$.
$\frac{5}{3} = \sqrt{1 + \frac{m}{M}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{25}{9} = 1 + \frac{m}{M}$.
તેથી,$\frac{m}{M} = \frac{25}{9} - 1 = \frac{16}{9}$.

(A) ગતિ કરતા તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.5 \sin(10t - x)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 10 \ rad/s$
તરંગ સંખ્યા $k = 1 \ rad/m$
તરંગનો વેગ $v$ એ $t$ ના સહગુણક અને $x$ ના સહગુણકના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{10}{1} = 10 \ m/s$.

(B) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_1$ કક્ષામાં પ્રારંભિક ઊર્જા $E_1 = -\frac{GMm}{2R_1}$ છે.
$R_2$ કક્ષામાં અંતિમ ઊર્જા $E_2 = -\frac{GMm}{2R_2}$ છે.
જરૂરી કુલ ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta E = E_2 - E_1 = -\frac{GMm}{2R_2} - (-\frac{GMm}{2R_1}) = \frac{GMm}{2} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
આમ,જરૂરી વધારાની ગતિઊર્જા $\frac{GMm}{2} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.

(A) માપનમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા તે માપનની ચોકસાઈ સૂચવે છે,જે સીધી રીતે માપન સાધનના લઘુત્તમ માપ (least count) સાથે સંબંધિત છે. નાનું લઘુત્તમ માપ વધુ સચોટ માપન શક્ય બનાવે છે,જેનાથી સાર્થક અંકોની સંખ્યા વધે છે.
સાર્થક અંકો માપનની વિશ્વસનીયતા અને ચોકસાઈ વિશે માહિતી આપે છે,જે સાધનની વાંચન ક્ષમતાની ચોકસાઈ સાથે સમાન છે.
તેથી,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે,અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(C) $Assertion$ સાચું છે કારણ કે જ્યારે વાહન બેંકિંગવાળા રસ્તા પર શ્રેષ્ઠ ઝડપ $v = \sqrt{rg \tan \theta}$ થી ગતિ કરે છે,ત્યારે લંબબળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(N \sin \theta)$ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $(mv^2/r)$ પૂરું પાડવા માટે પૂરતો હોય છે.
આ ચોક્કસ કિસ્સામાં,વર્તુળાકાર માર્ગ જાળવી રાખવા માટે ઘર્ષણ બળની જરૂર પડતી નથી.
$Reason$ ખોટું છે કારણ કે બેંકિંગવાળા રસ્તા પર,વાહન લપસ્યા વિના આપમેળે અંદરની તરફ રહેતું નથી; પરંતુ બેંકિંગનો ખૂણો ખાસ કરીને એવી રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યો છે કે જેથી ચોક્કસ ઝડપે લપસવાનું ટાળી શકાય.

(A) $Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે. જો પર્વતના રસ્તાઓ સીધા ઉપર જતા હોત,તો ઢોળાવનો ખૂણો $\theta$ ખૂબ મોટો હોત. લપસતા અટકાવવા માટે જરૂરી ઘર્ષણ બળ $f = \mu mg \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $\theta$ વધે છે,તેમ $\cos \theta$ ઘટે છે,જેનાથી ઘર્ષણ બળ ઓછું થાય છે. આ ઓછા ઘર્ષણને કારણે વાહનના પૈડાં લપસી જવાની શક્યતા વધી જાય છે. વધુમાં,સીધા ઢોળાવ પર ચઢવા માટે એન્જિનની ઘણી વધારે શક્તિની જરૂર પડે છે,જે મોટાભાગના વાહનો માટે વ્યવહારુ નથી. તેથી,અસરકારક ઢોળાવ ઘટાડવા માટે રસ્તાઓ વળાંકવાળા બનાવવામાં આવે છે.

(B) પૃથ્વીનું વાતાવરણ એક ધાબળાની જેમ કામ કરે છે જે ગ્રીનહાઉસ અસર દ્વારા ગરમીને જકડી રાખે છે.
વાતાવરણની ગેરહાજરીમાં,પૃથ્વીની સપાટી દ્વારા ઉત્સર્જિત થતા ઇન્ફ્રારેડ કિરણોને રોકવા માટે કોઈ માધ્યમ રહેશે નહીં.
પરિણામે,બધી જ ગરમી અવકાશમાં જતી રહેશે,જેના કારણે સપાટીનું તાપમાન નોંધપાત્ર રીતે ઘટી જશે અને પૃથ્વી અતિશય ઠંડી બની જશે.
તેથી,$Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) શાફ્ટની ટોર્શનલ રિજિડિટી $C = \frac{\eta J}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\eta$ એ રિજિડિટી મોડ્યુલસ છે, $J$ એ પોલર મોમેન્ટ ઓફ ઇનર્શિયા છે, અને $L$ એ લંબાઈ છે।
આપેલ ટોર્ક $\tau$ માટે, વળનો ખૂણો $\theta = \frac{\tau L}{\eta J}$ છે।
પોલા શાફ્ટ માટે, દ્રવ્ય અક્ષથી દૂર વિતરિત થયેલું હોય છે, જે સમાન દળ માટે પોલર મોમેન્ટ ઓફ ઇનર્શિયા $J$ માં વધારો કરે છે।
સમાન દળ અને લંબાઈ માટે $J_{hollow} > J_{solid}$ હોવાથી, ચોક્કસ વળ $\theta$ ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી ટોર્ક પોલા શાફ્ટ માટે વધારે હોય છે।
તેથી, પોલો શાફ્ટ ટોર્શનમાં વધુ મજબૂત છે, અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે।

(A) બર્નુલીના સિદ્ધાંત પરથી મળતા સૂત્ર મુજબ,બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v$ નીચે મુજબ છે:
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 - (A_0/A)^2}}$
જ્યાં $h$ એ છિદ્રની ઉપર રહેલા પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે:
પાણીની કુલ ઊંચાઈ = $3\,m$
તળિયેથી છિદ્રની ઊંચાઈ = $52.5\,cm = 0.525\,m$
$h = 3 - 0.525 = 2.475\,m$
$A_0/A = 0.1$
$g = 10\,m/s^2$
આ કિંમતોને $v^2$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v^2 = \frac{2gh}{1 - (A_0/A)^2}$
$v^2 = \frac{2 \times 10 \times 2.475}{1 - (0.1)^2}$
$v^2 = \frac{49.5}{1 - 0.01}$
$v^2 = \frac{49.5}{0.99} = 50\,m^2/s^2$

(C) $6.02 \times 10^{23}$ સંખ્યાને એવોગેડ્રો આંક $(N_A)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,કોઈપણ પદાર્થનો એક મોલ હંમેશા $6.02 \times 10^{23}$ મૂળભૂત એકમો (પરમાણુઓ,અણુઓ અથવા આયનો) ધરાવે છે,પછી ભલે પદાર્થનું તાપમાન,દબાણ કે કદ ગમે તે હોય.
તેથી,વિધાન સાચું છે.
જોકે,મોલની વ્યાખ્યા $S.T.P.$ (પ્રમાણિત તાપમાન અને દબાણ) પરિસ્થિતિઓ પર આધારિત નથી.
$S.T.P.$ પરિસ્થિતિઓ ફક્ત ત્યારે જ સંબંધિત છે જ્યારે આદર્શ વાયુના એક મોલ દ્વારા રોકાયેલ કદની ગણતરી કરવામાં આવે ($S.T.P.$ પર તે $22.4 \ L$ હોય છે).
આમ,કારણ ખોટું છે.

(A) લાપ્લાસે ધ્વનિના પ્રસરણ દરમિયાન પ્રક્રિયાને સમોષ્મી (adiabatic) ગણીને ન્યૂટનના સૂત્રમાં સુધારો કર્યો હતો.
સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં,તંત્ર અને આસપાસ વચ્ચે ઉષ્માનું કોઈ વિનિમય થતું નથી.
આ ધારણા વ્યાજબી છે કારણ કે હવા ઉષ્માની મંદ વાહક છે અને ધ્વનિનો વેગ ઘણો વધારે હોવાથી સંઘનન અને વિઘનન ખૂબ ઝડપથી થાય છે,જેથી આ વિસ્તારો વચ્ચે ઉષ્માના વિનિમય માટે પૂરતો સમય મળતો નથી.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(D) બે સદિશોના સરવાળાનું માન $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ રીતે,બે સદિશોની બાદબાકીનું માન $|\vec{A}-\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|$,તેથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}-\vec{B}|^2$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા,$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ થાય.
બંને બાજુથી સમાન પદો $|\vec{A}|^2$ અને $|\vec{B}|^2$ ને દૂર કરતા,$2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = -2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$4|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = 0$ મળે.
સદિશો શૂન્યતર હોવાથી,$|\vec{A}| \neq 0$ અને $|\vec{B}| \neq 0$,તેથી $\cos \theta = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.

(C) બંદૂકને પકડી રાખવા માટે જરૂરી બળ એ છોડવામાં આવતી ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
બળ માટેનું સૂત્ર $F = n \cdot m \cdot v$ છે,જ્યાં:
$n$ એ દર સેકન્ડે છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા છે $(4 \, s^{-1})$,
$m$ એ દરેક ગોળીનું દળ છે $(20 \, g = 0.02 \, kg)$,
$v$ એ ગોળીનો વેગ છે $(300 \, m/s)$.
કિંમતો મૂકતા:
$F = 4 \times 0.02 \, kg \times 300 \, m/s$
$F = 4 \times 6 = 24 \, N$.
તેથી,બંદૂકને પકડી રાખવા માટે જરૂરી બળ $24 \, N$ છે.

(C) ધારો કે માણસ $v$ જેટલી અચળ ઝડપે દોડે છે. ધારો કે બસને પકડવા માટે લાગતો સમય $t$ છે.
$t$ સમયમાં બસ દ્વારા કાપેલું અંતર $s_b = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times t^2 = 1.5 t^2$ છે.
બસ સુધી પહોંચવા માટે માણસે કાપવું પડતું કુલ અંતર $s_m = 6 + s_b = 6 + 1.5 t^2$ છે.
માણસ $v$ જેટલી અચળ ઝડપે દોડે છે,તેથી તેણે કાપેલું અંતર $s_m = v t$ છે.
$s_m$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $v t = 6 + 1.5 t^2$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $1.5 t^2 - v t + 6 = 0$ મળે છે.
માણસ બસને પકડી શકે તે માટે,સમય $t$ નું મૂલ્ય વાસ્તવિક હોવું જોઈએ. આ માટે દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય અથવા તેનાથી મોટો હોવો જોઈએ $(D \ge 0)$.
$D = (-v)^2 - 4(1.5)(6) \ge 0$
$v^2 - 36 \ge 0$
$v^2 \ge 36 \implies v \ge 6\,m s^{-1}$.
આમ,જરૂરી લઘુત્તમ ઝડપ $6\,m s^{-1}$ છે.

(D) ધારો કે દોરી $P$ માં તણાવ $T_P$ છે,દોરી $R$ માં તણાવ $T_R$ છે,અને દોરી $Q$ માં તણાવ $T_Q$ છે. $M = 60\,kg$ દળ દોરી $Q$ દ્વારા લટકાવેલ છે,તેથી $T_Q = Mg = 60 \times 10 = 600\,N$.
જંકશન પોઈન્ટ પર,બળો સંતુલનમાં છે. બળોને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $T_R \cos 30^{\circ} - T_P = 0 \implies T_P = T_R \cos 30^{\circ}$
શિરોલંબ ઘટક: $T_R \sin 30^{\circ} - T_Q = 0 \implies T_R \sin 30^{\circ} = 600\,N$
શિરોલંબ ઘટકના સમીકરણ પરથી,$T_R = \frac{600}{\sin 30^{\circ}} = \frac{600}{0.5} = 1200\,N$.
હવે,$T_R$ ની કિંમત સમક્ષિતિજ ઘટકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T_P = 1200 \times \cos 30^{\circ} = 1200 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 600 \times 1.732 = 1039.2\,N$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,દોરી $P$ માં તણાવ $103.9\,N$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) સાદા લોલકની દોરીમાં મહત્તમ તણાવ તેના દોલનના સૌથી નીચલા બિંદુએ જોવા મળે છે.
સૌથી નીચલા બિંદુએ,તણાવ $T$ એ $T = mg + \frac{mv^2}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ સૌથી નીચલા બિંદુએ વેગ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,મહત્તમ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_0$ પરની સ્થિતિ ઉર્જા સૌથી નીચલા બિંદુએ ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$mgl(1 - \cos \theta_0) = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gl(1 - \cos \theta_0)$
$v^2$ ની કિંમત તણાવના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T_{\max} = mg + \frac{m(2gl(1 - \cos \theta_0))}{l}$
$T_{\max} = mg + 2mg(1 - \cos \theta_0)$
નાના ખૂણાઓ માટે,આપણે $\cos \theta_0 \approx 1 - \frac{\theta_0^2}{2}$ અંદાજનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$T_{\max} = mg + 2mg(1 - (1 - \frac{\theta_0^2}{2}))$
$T_{\max} = mg + 2mg(\frac{\theta_0^2}{2})$
$T_{\max} = mg(1 + \theta_0^2)$

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ છે,જ્યાં $l$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા કૃત્રિમ ઉપગ્રહની અંદર,ઉપગ્રહ અને તેની અંદરની દરેક વસ્તુ ભારહીનતાની સ્થિતિમાં હોય છે,જેનો અર્થ છે કે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_{eff} = 0$ છે.
સૂત્રમાં $g_{eff} = 0$ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $T \rightarrow \infty$.
તેથી,લોલકનો આવર્તકાળ અનંત હોય છે.

(C) દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ પથ્થરને વર્તુળાકાર ગતિમાં રાખવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
આપેલ દળ $m = 0.3\,kg$,ત્રિજ્યા $R = 1.5\,m$,અને વેગ $v = 6\,m s^{-1}$ છે.
કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F_c = \frac{mv^2}{R}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{0.3 \times (6)^2}{1.5}$
$T = \frac{0.3 \times 36}{1.5}$
$T = \frac{10.8}{1.5} = 7.2\,N$.
તેથી,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $7.2\,N$ છે.

(C) ધારો કે બંને દડા $t$ સેકન્ડ પછી મળે છે.
ટોચ પરથી નીચે ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે:
કાપેલું અંતર $s_1 = \frac{1}{2} g t^2$ છે.
તળિયેથી ઉપર ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે:
કાપેલું અંતર $s_2 = u t - \frac{1}{2} g t^2$ છે,જ્યાં $u = 40\,m/s$ છે.
ઇમારતની કુલ ઊંચાઈ $100\,m$ હોવાથી,બંને દડા દ્વારા કાપવામાં આવેલા અંતરનો સરવાળો ઇમારતની ઊંચાઈ જેટલો થવો જોઈએ:
$s_1 + s_2 = 100$
સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{1}{2} g t^2 + (40 t - \frac{1}{2} g t^2) = 100$
$40 t = 100$
$t = \frac{100}{40} = 2.5\,s$.
આમ,બંને દડા $2.5\,s$ પછી મળશે.

(C) કણનું સ્થાનાંતર સમીકરણ $y = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.25 \sin(200t)$ સાથે સરખાવતા:
કંપવિસ્તાર $A = 0.25 \ cm$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200 \ rad \ s^{-1}$
કણનો વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} [0.25 \sin(200t)] = 0.25 \times 200 \cos(200t) = 50 \cos(200t)$
મહત્તમ ઝડપ $v_{max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\cos(200t) = 1$ હોય:
$v_{max} = A \omega = 0.25 \times 200 = 50 \ cm \ s^{-1}$.

(D) દળ-સ્પ્રિંગ તંત્રની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = 4 \ Hz$,તેથી $4 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$.
જ્યારે $k$ અચળાંક ધરાવતી બે સમાન સ્પ્રિંગોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq}$ એ $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k} = \frac{2}{k}$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k_{eq} = \frac{k}{2}$.
નવી આવૃત્તિ $f_2$ એ $f_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eq}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k/2}{m}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \right)$ દ્વારા મળે છે.
પ્રારંભિક આવૃત્તિનું મૂલ્ય મૂકતા,$f_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \times 4 = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ Hz$.

(B) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ અને તેના વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $KE = \frac{p^2}{2m}$.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $p_i$ છે. તો પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = \frac{p_i^2}{2m}$ થશે.
વેગમાનમાં $50 \%$ નો વધારો થતા,અંતિમ વેગમાન $p_f = p_i + 0.50 p_i = 1.5 p_i$ થશે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_f = \frac{p_f^2}{2m} = \frac{(1.5 p_i)^2}{2m} = \frac{2.25 p_i^2}{2m} = 2.25 KE_i$ થશે.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{KE_f - KE_i}{KE_i} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2.25 KE_i - KE_i}{KE_i} \times 100 = 1.25 \times 100 = 125 \%$.

(A) કુલંબના નિયમ મુજબ,શૂન્યાવકાશ અથવા હવામાં બે વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતું બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ છે.
જ્યારે આ વિદ્યુતભારોને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે બળ $F_m = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ થાય છે.
તેથી,માધ્યમમાં લાગતું બળ અને હવામાં લાગતા બળ વચ્ચેનો સંબંધ $F_m = \frac{F}{K}$ છે.
અહીં $K = 2$ આપેલ હોવાથી,નવું બળ $F_m = \frac{F}{2}$ થશે.

(D) વાહકમાંથી વહેતા સ્થાયી પ્રવાહ $i$ માટે,વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ વાહકના દરેક આડછેદ પર પ્રવાહ $i$ અચળ રહેવો જોઈએ.
પ્રવાહ ઘનતા $j = \frac{i}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે. જેમ કે $A$ લંબાઈ સાથે બદલાય છે,તેથી $j$ અચળ નથી.
ઓમના નિયમના સૂક્ષ્મ સ્વરૂપ મુજબ,$j = \sigma E$. કારણ કે $j$ બદલાય છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ પણ લંબાઈ સાથે બદલાશે.
વધુમાં,ડ્રિફ્ટ વેગ ${v_d} = \frac{j}{ne} = \frac{i}{Ane}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $A$ બદલાતું હોવાથી,ડ્રિફ્ટ વેગ ${v_d}$ પણ અચળ રહેતો નથી.
તેથી,વાહકની લંબાઈ સાથે માત્ર પ્રવાહ $i$ જ અચળ રહે છે.

(C) ડીપનો ખૂણો $\phi$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઉર્ધ્વ ઘટક $B_V$ અને સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ સાથે નીચે મુજબના સૂત્રથી સંબંધિત છે: $\tan \phi = \frac{B_V}{B_H}$.
આપેલ છે કે સમક્ષિતિજ અને ઉર્ધ્વ ઘટકો સમાન છે,તેથી $B_V = B_H$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $\tan \phi = \frac{B_H}{B_H} = 1$.
તેથી,$\tan \phi = 1$ હોવાથી,ડીપનો ખૂણો $\phi = \tan^{-1}(1) = 45^o$ થશે.

(C) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ કણનું દળ છે અને $v$ એ તેનો વેગ છે.
આપેલ છે કે તમામ કણો માટે વેગ $v$ સમાન છે,તેથી સંબંધ $\lambda \propto \frac{1}{m}$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે સૌથી ઓછું દળ ધરાવતા કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ મહત્તમ હશે.
દળની સરખામણી કરતા: $m_{\beta} < m_{proton} \approx m_{neutron} < m_{\alpha}$.
$\beta$-કણ (ઇલેક્ટ્રોન) નું દળ આપેલા વિકલ્પોમાં સૌથી ઓછું હોવાથી,તેની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ મહત્તમ હશે.

(D) શરૂઆતનું ન્યુક્લિયસ $^7_7X^{15}$ છે.
$\alpha$-કણ એ હિલિયમનું ન્યુક્લિયસ છે,જેને $^2_2He^4$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પરમાણુ દ્વારા $\alpha$-કણનું શોષણ કરવાની પ્રક્રિયા: $^7_7X^{15} + ^2_2He^4 \to ^{19}_9Y^*$.
ત્યારબાદ,પરિણામી ન્યુક્લિયસ એક પ્રોટોન $(^1_1H^1)$ નું ઉત્સર્જન કરે છે:
$^{19}_9Y^* \to ^1_1H^1 + ^{18}_8Z$.
દળ ક્રમાંકની સરખામણી કરતા: $15 + 4 = 1 + A \implies A = 18$.
પરમાણુ ક્રમાંકની સરખામણી કરતા: $7 + 2 = 1 + Z \implies Z = 8$.
આમ,પરિણામી નીપજનો દળ ક્રમાંક $18$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $8$ હશે.

(D) ધારો કે સપાટી $1$ થી હવાના પરપોટાનું અંતર $x$ છે. તો સપાટી $2$ થી તેનું અંતર $(15 - x)$ થશે.
આભાસી ઊંડાઈના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\mu}$.
જ્યારે સપાટી $1$ પરથી જોવામાં આવે: $6 = \frac{x}{\mu} \Rightarrow x = 6\mu$ .....$(i)$
જ્યારે સપાટી $2$ પરથી જોવામાં આવે: $4 = \frac{15 - x}{\mu} \Rightarrow 15 - x = 4\mu$ .....$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $x$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$15 - 6\mu = 4\mu$
$15 = 10\mu$
$\mu = \frac{15}{10} = 1.5$.

(A) આપેલ છે કે બીજા માધ્યમમાં વેગ $(v_2)$ એ પ્રથમ માધ્યમ $(v_1)$ કરતા બમણો છે,તેથી $v_2 = 2v_1$.
વક્રીભવનાંક $\mu$ એ વેગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(\mu = c/v)$,વક્રીભવનાંકનો ગુણોત્તર $\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{v_2}{v_1} = 2$ થાય.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય. અહીં,$\mu_1 > \mu_2$ છે.
ક્રાંતિકોણ $C$ નું સૂત્ર $\sin C = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\sin C = \frac{1}{2}$ મળે.
તેથી,$C = \arcsin(0.5) = 30^o$.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ. આમ,$i > 30^o$.

(C) આપેલ છે કે બે તરંગોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{1}$ છે.
ધારો કે બે તરંગોના કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ છે. તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{9}{1}} = \frac{3}{1}$ થશે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{3 + 1}{3 - 1} \right)^2 = \left( \frac{4}{2} \right)^2 = (2)^2 = \frac{4}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(D) ઝેનર ડાયોડનું મહત્તમ પાવર ડિસિપેશન $(P)$ $364 \;mW = 364 \times 10^{-3} \;W$ આપેલ છે.
બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $(V_Z)$ $9.1 \;V$ આપેલ છે.
ડાયોડ વહન કરી શકે તેવો મહત્તમ પ્રવાહ $(I_{Z_{\max}})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:
$I_{Z_{\max}} = \frac{P}{V_Z}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I_{Z_{\max}} = \frac{364 \times 10^{-3} \;W}{9.1 \;V}$
$I_{Z_{\max}} = 40 \times 10^{-3} \;A$
મિલીએમ્પીયર $(mA)$ માં ફેરવતા:
$I_{Z_{\max}} = 40 \;mA$.

(D) સામાન્ય ગોઠવણ (normal adjustment) માં,અંતિમ પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે રચાય છે.
ટેલિસ્કોપની લંબાઈ $(L)$ એ ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_o)$ અને આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_e)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
આપેલ છે:
$f_o = 200 \; cm$
$f_e = 4 \; cm$
સૂત્ર:
$L = f_o + f_e$
ગણતરી:
$L = 200 \; cm + 4 \; cm = 204 \; cm$

(C) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાતમાં પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે. પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે $n = 1$ લેતા,$a \sin \theta = \lambda$ મળે.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ થાય.
આમ,$a (\frac{1}{2}) = \lambda$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2 \lambda$ ..... $(i)$.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત $a \sin \theta' = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1$ લેતા $a \sin \theta' = \frac{3}{2} \lambda$ મળે.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $a = 2 \lambda$ ની કિંમત આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2 \lambda) \sin \theta' = \frac{3}{2} \lambda$.
બંને બાજુ $2 \lambda$ વડે ભાગતા,$\sin \theta' = \frac{3}{4}$ મળે.
તેથી,$\theta' = \sin^{-1} \left( \frac{3}{4} \right)$.

(A) ધારો કે બે ઉદગમોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે,જેથી $\frac{I_1}{I_2} = \alpha$. $I \propto A^2$ હોવાથી,આપણને $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\alpha}$ મળે છે.
વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{max} = (A_1 + A_2)^2$ અને $I_{min} = (A_1 - A_2)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $\frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
$I_{max}$ અને $I_{min}$ ના પદો મૂકતા:
$\frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2 - (A_1 - A_2)^2}{(A_1 + A_2)^2 + (A_1 - A_2)^2}$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$= \frac{(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2) - (A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2)}{(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2) + (A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2)}$
$= \frac{4A_1A_2}{2(A_1^2 + A_2^2)} = \frac{2A_1A_2}{A_1^2 + A_2^2}$
અંશ અને છેદને $A_2^2$ વડે ભાગતા:
$= \frac{2(A_1/A_2)}{(A_1/A_2)^2 + 1}$
$\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\alpha}$ હોવાથી,આ કિંમત મૂકતા:
$= \frac{2\sqrt{\alpha}}{(\sqrt{\alpha})^2 + 1} = \frac{2\sqrt{\alpha}}{\alpha + 1}$.

(C) $1$. પ્રકાશનું કિરણ $AB$ સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,તેથી તે વિચલન વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે અને $AC$ સપાટી પર અથડાય છે.
$2$. ધારો કે $AC$ સપાટી પર આપાતકોણ $i$ છે. પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,$AC$ સપાટીના લંબ અને આપાત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો પ્રિઝમના ખૂણા $\theta$ જેટલો થાય છે. તેથી,$i = \theta$.
$3$. $AC$ સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ કાચ-પાણીના આંતરપૃષ્ઠ માટેના ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
$4$. $TIR$ માટેની શરત $i > C$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin i > \sin C$.
$5$. કારણ કે $i = \theta$,તેથી $\sin \theta > \sin C$.
$6$. ક્રાંતિકોણ $C$ નું મૂલ્ય $\sin C = \frac{\mu_{\text{water}}}{\mu_{\text{glass}}} = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$ દ્વારા મળે છે.
$7$. તેથી,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરત $\sin \theta > \frac{8}{9}$ છે.

(B) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટ માટે ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ નું સૂત્ર: $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $Q^2 = \frac{1}{R^2} \cdot \frac{L}{C}$,જેનો અર્થ છે કે $L = Q^2 R^2 C$.
આપેલ કિંમતો: $Q = 0.4$,$R = 2 \, k\Omega = 2 \times 10^3 \, \Omega$,અને $C = 0.1 \, \mu F = 0.1 \times 10^{-6} \, F$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = (0.4)^2 \times (2 \times 10^3)^2 \times (0.1 \times 10^{-6})$
$L = 0.16 \times 4 \times 10^6 \times 0.1 \times 10^{-6}$
$L = 0.16 \times 4 \times 0.1$
$L = 0.064 \, H$.

(A) ધ્રુવીય ડાયઇલેક્ટ્રિક એવા અણુઓનું બનેલું હોય છે જે કાયમી વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવે છે.
બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં,ઉષ્મીય આંદોલનને કારણે આ ડાયપોલ યાદચ્છિક રીતે ગોઠવાયેલા હોય છે.
આ યાદચ્છિક ગોઠવણીને કારણે,આપેલ કદમાં રહેલા તમામ અણુઓની ડાયપોલ મોમેન્ટનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે.
તેથી,એકમ કદ દીઠ ચોખ્ખી ડાયપોલ મોમેન્ટ (પોલરાઇઝેશન $\vec{P}$) શૂન્ય હોય છે.
કારણ કે કારણ એ યોગ્ય રીતે સમજાવે છે કે યાદચ્છિક ગોઠવણી વ્યક્તિગત ડાયપોલ મોમેન્ટના નિરસન તરફ દોરી જાય છે,તેથી કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) ઓહ્મના નિયમના સૂક્ષ્મ સ્વરૂપ $\vec J = \sigma \vec E$ પરથી,જ્યાં $\sigma$ એ વાહકતા છે. $\sigma$ એ ધન અદિશ રાશિ હોવાથી,પ્રવાહ ઘનતા $\vec J$ હંમેશા વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ ની દિશામાં હોય છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
કારણ વિશે વાત કરીએ તો,જ્યારે કોઈ બિંદુવત વિદ્યુતભારને સ્થિત-વિદ્યુતક્ષેત્રમાં સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે,ત્યારે તે માત્ર ત્યારે જ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખા પર ગતિ કરે છે જો તે રેખા સીધી હોય. જો વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ વક્ર હોય,તો વિદ્યુતભાર તે રેખાના માર્ગને અનુસરશે નહીં કારણ કે વેગ સદિશ અને બળ સદિશ (જે રેખાને સ્પર્શક હોય છે) એકરેખસ્થ રહેશે નહીં. તેથી,કારણ ખોટું છે.

(B) વાયરનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
અવરોધકતા $\rho$ એ દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે વાયરના ભૌમિતિક આકાર પર આધાર રાખતું નથી.
જ્યારે વાયરને વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તેની લંબાઈ $L$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને અવરોધકતા $\rho$ બદલાતા નથી.
તેથી,વિદ્યુત અવરોધ $R$ સમાન રહે છે.
જોકે કારણનું વિધાન એક સાચી ભૌતિક હકીકત છે (અવરોધ એ અવરોધકતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે),તે એ સમજાવતું નથી કે વાયરને વાળવાથી અવરોધ કેમ બદલાતો નથી (જેનું કારણ ભૌમિતિક પરિમાણો અચળ રહેવાનું છે). આમ,બંને સાચા છે,પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહની ગેરહાજરીમાં,વાહકમાં રહેલા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન વાયુના અણુઓની જેમ યાદચ્છિક ગતિમાં હોય છે.
તેમનો સરેરાશ વેગ શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની પાસે કોઈ ચોક્કસ દિશામાં ચોખ્ખો (net) વેગ હોતો નથી.
પરિણામે,ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ ચોખ્ખું ચુંબકીય બળ લાગતું નથી.
જ્યારે પ્રવાહ પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન એક ચોક્કસ દિશામાં ડ્રિફ્ટ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે,અને પરિણામે,તેમના પર ચુંબકીય બળ લાગે છે (જો ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઘટક પ્રવાહની દિશાને લંબ હોય તો).

(C) ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર $(G)$ સાથે સમાંતરમાં એક નાનો અવરોધ જેને શંટ $(S)$ કહેવાય છે,તે જોડવામાં આવે છે.
આ એટલા માટે કરવામાં આવે છે જેથી એમીટરનો અવરોધ ખૂબ જ ઓછો રહે,જેથી તે પરિપથમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર કર્યા વિના પ્રવાહ માપી શકે.
જ્યારે કોઈ નાના અવરોધને મોટા અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનનો સમતુલ્ય અવરોધ હંમેશા સૌથી નાના વ્યક્તિગત અવરોધ કરતા પણ ઓછો હોય છે.
તેથી,કારણ ખોટું છે કારણ કે સમાંતર જોડાણ સંયોજનના કુલ અવરોધમાં વધારો કરવાને બદલે ઘટાડો કરે છે.

(C) મૂવિંગ કોઈલ ગેલ્વેનોમીટરની સંવેદનશીલતા $S = \frac{N B A}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ આંટાની સંખ્યા છે,$B$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$A$ ક્ષેત્રફળ છે અને $k$ ટોર્સનલ અચળાંક છે.
કોઈલની અંદર નરમ લોખંડની કોર મૂકવાથી,નરમ લોખંડની ઊંચી ચુંબકીય પરમીએબિલિટીને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે,જેનાથી સંવેદનશીલતા વધે છે.
નરમ લોખંડ એ ઊંચી ચુંબકીય પરમીએબિલિટી અને ઓછી રિટેન્ટિવિટી ધરાવતો ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ છે,જેનો અર્થ છે કે તેને સરળતાથી મેગ્નેટાઈઝ અને ડીમેગ્નેટાઈઝ કરી શકાય છે.
કારણનું વિધાન દાવો કરે છે કે નરમ લોખંડને 'સરળતાથી મેગ્નેટાઈઝ કે ડીમેગ્નેટાઈઝ કરી શકાતું નથી',જે વૈજ્ઞાનિક રીતે ખોટું છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં પીક પ્રવાહ $I_{\max} = \frac{\varepsilon_{\max}}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$.
શુદ્ધ અવરોધક ઘટકમાં,પ્રવાહ આવૃત્તિથી સ્વતંત્ર છે,પરંતુ શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ પર આધાર રાખે છે.
જેમ $\omega$ વધે છે,તેમ પદ $(\omega L - \frac{1}{\omega C})^2$ બદલાય છે. ખાસ કરીને,પ્રવાહ $I_{\max}$ રેઝોનન્સ $(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}})$ પર તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે અને રેઝોનન્સથી બંને દિશામાં દૂર જતાં ઘટે છે.
તેથી,વિધાન કે પ્રવાહ હંમેશા કોણીય આવૃત્તિ વધવાથી વધે છે તે ખોટું છે.
આપેલ કારણ પીક પ્રવાહ માટેનું સાચું સૂત્ર છે,પરંતુ તે ખોટા વિધાનને સમર્થન આપતું નથી.
આમ,વિધાન ખોટું છે અને કારણ સાચું છે.

(B) રેડિયો તરંગો એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે,જે પ્રકૃતિમાં લંબગત (transverse) હોય છે. માત્ર લંબગત તરંગોનું જ ધ્રુવીભવન થઈ શકે છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
હવામાં ધ્વનિ તરંગો એ સંગત તરંગો છે,જેનું ધ્રુવીભવન થઈ શકતું નથી. તેથી,કારણ પણ સાચું છે.
જોકે,ધ્વનિ તરંગો સંગત છે તે હકીકત એ સમજાવતી નથી કે રેડિયો તરંગોનું ધ્રુવીભવન શા માટે થઈ શકે છે. આમ,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,ધરા સ્થિતિ $n_1 = 1$ છે.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ (સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ) માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 1$ સુધી થાય છે:
$\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \implies \lambda_{min} = \frac{1}{R}$.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ (સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ) માટે,સંક્રમણ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ સુધી થાય છે:
$\frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{max} = \frac{4}{3R}$.
લઘુત્તમ અને મહત્તમ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{min}}{\lambda_{max}} = \frac{1/R}{4/3R} = \frac{3}{4}$ થાય છે.
વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ લાયમન શ્રેણીના ઉદભવની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(A) કોમન એમિટર કોન્ફિગરેશનનો ઇનપુટ ઇમ્પિડન્સ $Z_{in} = \left| \frac{\Delta V_{BE}}{\Delta i_B} \right|_{V_{CE} = \text{constant}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કોમન એમિટર ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં, પ્રવાહ વહેવા માટે બેઝ-એમિટર જંકશનને ફોરવર્ડ બાયસ કરવામાં આવે છે.
બેઝ-એમિટર જંકશન ફોરવર્ડ બાયસ્ડ હોવાથી, બેઝ-એમિટર વોલ્ટેજ $\Delta V_{BE}$ માં નાના ફેરફાર માટે બેઝ કરંટ $\Delta i_B$ પ્રમાણમાં મોટો હોય છે.
જેથી $Z_{in} = \frac{\Delta V_{BE}}{\Delta i_B}$ હોવાથી, વોલ્ટેજમાં નાનો ફેરફાર અને કરંટમાં મોટો ફેરફાર હોવાને કારણે ઇનપુટ ઇમ્પિડન્સ ઓછો મળે છે.
તેથી, વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) વોલ્ટમીટર માટે,તેમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_g$ એ $V = I_g G$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ વોલ્ટમીટરનો અવરોધ છે.
શરૂઆતમાં,$5 \text{ V}$ ની રેન્જ માટે:
$5 = I_g \times 20000 \quad \dots(i)$
રેન્જ વધારીને $20 \text{ V}$ કરવા માટે,આપણે વોલ્ટમીટર સાથે શ્રેણીમાં વધારાનો અવરોધ $R$ જોડીએ છીએ. નવો કુલ અવરોધ $(G + R)$ થાય છે.
$20 \text{ V}$ ની નવી રેન્જ માટે:
$20 = I_g \times (G + R) \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{20}{5} = \frac{I_g(G + R)}{I_g G}$
$4 = \frac{G + R}{G}$
$4G = G + R$
$R = 3G$
અહીં $G = 20000\,\Omega$ આપેલ છે,તેથી:
$R = 3 \times 20000 = 60000\,\Omega$
આમ,$60000\,\Omega$ નો વધારાનો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડવો આવશ્યક છે.

(B) આપેલ છે: કોષોની કુલ સંખ્યા $(n) = 10$.
દરેક કોષનું પોટેન્શિયલ $= E$; દરેક કોષનો આંતરિક અવરોધ $= r$.
શ્રેણી પરિપથનું કુલ $EMF$ $= 10E$.
પરિપથનો કુલ આંતરિક અવરોધ $= 10r$.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I) = \frac{\text{કુલ EMF}}{\text{કુલ અવરોધ}} = \frac{10E}{10r} = \frac{E}{r}$.
ત્રણ કોષોને સમાંતર જોડેલ આદર્શ વોલ્ટમીટર તે ત્રણ કોષો વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ તફાવત માપે છે.
$3$ કોષો વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ તફાવત $(V) = I \times (3r)$ દ્વારા મળે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,$V = \left(\frac{E}{r}\right) \times 3r = 3E$.
તેથી,વોલ્ટમીટર $3E$ વાંચશે.

(A) કોમન એમિટર ટ્રાન્ઝિસ્ટર એમ્પ્લીફાયરનો વોલ્ટેજ ગેઇન $(A_v)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_{in}}$, જ્યાં $\beta$ એ કરંટ ગેઇન છે, $R_L$ એ લોડ અવરોધ છે, અને $R_{in}$ એ ઇનપુટ અવરોધ છે।
આપેલ છે: $\beta = 50$, $R_L = 5 \, k\Omega = 5000 \, \Omega$, અને ઇનપુટ પીક વોલ્ટેજ $V_{in} = 5 \, mV = 0.005 \, V$.
ધારો કે ઇનપુટ અવરોધ $R_{in} = 1 \, k\Omega$ છે (જે આપેલ સંદર્ભમાં ગુણોત્તર દ્વારા સૂચિત છે), તો વોલ્ટેજ ગેઇન નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$A_v = 50 \times \frac{5 \, k\Omega}{1 \, k\Omega} = 50 \times 5 = 250$.

(A) $1$. આ પરિપથ એક $OR$ ગેટ,એક $NOT$ ગેટ અને એક $AND$ ગેટનો બનેલો છે.
$2$. $OR$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y' = A + B$ થાય.
$3$. ઇનપુટ $B$ ને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{B}$ થાય.
$4$. $AND$ ગેટ $Y'$ અને $\overline{B}$ ને ઇનપુટ તરીકે લે છે.
$5$. તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $D = Y' \cdot \overline{B} = (A + B) \cdot \overline{B}$ થાય.