AIIMS 2015 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ અને અવલોકનકાર એકબીજાથી દૂર જાય છે,ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $n'$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n' = n \left( \frac{v - v_O}{v + v_S} \right)$
અહીં,$v = 340\; m/s$ એ અવાજની ઝડપ છે,$v_O = 10\; m/s$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે,અને $v_S = 10\; m/s$ એ ઉદગમનો વેગ છે.
આપેલ છે કે $n' = 1950\; Hz$,કિંમતો મૂકતા:
$1950 = n \left( \frac{340 - 10}{340 + 10} \right)$
$1950 = n \left( \frac{330}{350} \right)$
$1950 = n \left( \frac{33}{35} \right)$
$n = 1950 \times \frac{35}{33} \approx 2068.18\; Hz$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,વાસ્તવિક આવૃત્તિ $2068\; Hz$ છે.

(A) કુલ કાર્ય નક્કી કરવા માટે,આપણે સૂક્ષ્મ સ્થળાંતર $dx$ માટે થયેલું સૂક્ષ્મ કાર્ય $dW$ નીચે મુજબ ગણીએ છીએ:
$dW = F \cdot dx = F dx \cos \theta$
અહીં બળ એ સ્થળાંતરની દિશામાં હોવાથી,$\theta = 0^{\circ}$,તેથી $\cos 0^{\circ} = 1$.
$dW = F dx = (10 + 0.5x) dx$
હવે,કુલ કાર્ય $W$ શોધવા માટે $x = 0$ થી $x = 2$ સુધી સંકલન કરતા:
$W = \int_{0}^{2} (10 + 0.5x) dx$
$W = [10x + 0.5 \frac{x^2}{2}]_{0}^{2}$
$W = [10x + 0.25x^2]_{0}^{2}$
$W = (10(2) + 0.25(2)^2) - (10(0) + 0.25(0)^2)$
$W = 20 + 0.25(4) = 20 + 1 = 21 \text{ એકમ}$.

(B) જ્યારે ધાતુના સળિયાને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું ઉષ્મીય પ્રસરણ થાય છે.
જેમ સળિયાની લંબાઈ વધે છે,તેમ દળનું વિતરણ પરિભ્રમણની ધરીથી દૂર જાય છે.
તેના લંબ દ્વિભાજકને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ $I = \frac{ML^2}{12}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લંબાઈ $(L)$ વધતી હોવાથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ વધે છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બાહ્ય ટોર્કની ગેરહાજરીમાં,કોણીય વેગમાન $(L_{ang} = I\omega)$ અચળ રહે છે.
તેથી,$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$.
આમ,$I$ વધતું હોવાથી,કોણીય વેગમાન અચળ રાખવા માટે કોણીય ઝડપ $(\omega)$ ઘટવી જોઈએ.

(C) સમાન ગતિમાં,પદાર્થ અચળ વેગ સાથે ગતિ કરે છે. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ સમયે $t$ પર તેના વેગનું મૂલ્ય સમાન રહે છે.
વેગ સમય સાથે બદલાતો ન હોવાથી,વેગ-સમયનો આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક સીધી રેખા મળે છે.
તેથી,$Assertion$ સાચું છે.
સમાન ગતિમાં વેગ અચળ હોય છે,તે સમયના વર્ગના પ્રમાણમાં વધતો નથી. તેથી,$Reason$ ખોટું છે.

(A) પહોળાઈ ધરાવતી નદીને પાર કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_y$ એ નદીના પ્રવાહને લંબ દિશામાં નદીની સાપેક્ષમાં હોડીના વેગનો ઘટક છે.
જો નદીની સાપેક્ષમાં બે હોડીઓના વેગના મૂલ્યો સમાન હોય $(v_1 = v_2 = v)$,અને તેઓ નદીના કિનારાને લંબ દિશા સાથે સમાન ખૂણે $\theta$ પર ગતિ કરતી હોય,તો તેમના લંબ ઘટકો $v_y = v \cos \theta$ થાય.
અહીં $v$ અને $\theta$ બંને હોડીઓ માટે સમાન હોવાથી,તેમના લંબ ઘટકો $v_y$ સમાન છે.
તેથી,બંને હોડીઓ નદીને સમાન સમય $t = \frac{d}{v \cos \theta}$ માં પાર કરશે,ભલે તેઓ નદીના પ્રવાહને કારણે અલગ-અલગ માર્ગે ગતિ કરતી હોય.
આમ,Assertion અને Reason બંને સાચા છે,અને Reason એ Assertion ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) બે સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થોની અથડામણ દરમિયાન,પદાર્થોમાં વિરૂપણ (deformation) થાય છે.
જેમ પદાર્થો વિરૂપ થાય છે,તેમ કણો વચ્ચેનું આંતરઆણ્વિય અંતર ઘટે છે,જેના પરિણામે તંત્રની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રની કુલ ઊર્જા અચળ રહેવી જોઈએ.
અથડામણના વિરૂપણના તબક્કા દરમિયાન સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા વધતી હોવાથી,આ ફેરફારને સરભર કરવા માટે તંત્રની ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ ઘટવી જોઈએ.
તેથી,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે,અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(B) આદર્શ વાયુની કુલ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર: $K = \frac{3}{2} nRT$ છે.
આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ હોવાથી,આપણે $nRT$ ની જગ્યાએ $PV$ મૂકી શકીએ છીએ.
તેથી,$K = \frac{3}{2} PV = 1.5 PV$.
આમ,$Assertion$ સાચું છે.
$Reason$ જણાવે છે કે વાયુના અણુઓ અથડાય છે અને તેમના વેગ બદલાય છે. આ વાયુના ગતિવાદનો એક મૂળભૂત ગુણધર્મ છે,પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે ગતિઊર્જા $PV$ સાથે આ ચોક્કસ ગુણોત્તરમાં કેમ સંબંધિત છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે,પરંતુ $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(D) ઉત્પ્લાવક બળ ઉત્પ્લાવકતા કેન્દ્ર પર લાગે છે,જે સ્થાનાંતરિત પ્રવાહીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે. આ બિંદુ પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સાથે ત્યારે જ સંપાત થાય છે જો પદાર્થ સમાંગ (એકસરખી ઘનતા ધરાવતો) હોય. પદાર્થ સમાંગ હોવો જરૂરી નથી,તેથી $Assertion$ ખોટું છે.
$Reason$ વિધાન એ મિકેનિક્સનો સામાન્ય સિદ્ધાંત છે: પદાર્થ પર લાગતા સમાન બળ ક્ષેત્ર (જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણ) માટે,પરિણામી બળ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગે છે. જોકે,ઉત્પ્લાવક બળ એ પદાર્થ પર લાગતું સમાન બળ ક્ષેત્ર નથી; તે પદાર્થની સપાટી પર લાગતા દબાણ બળોનું પરિણામી છે. આમ,$Reason$ પણ ખોટું છે.

(C) મેયરના સંબંધ મુજબ,$C_p - C_v = R$. $R > 0$ હોવાથી,$C_p > C_v$ થાય છે. આનું કારણ એ છે કે જ્યારે વાયુને અચળ દબાણે ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિસ્તરણ પામે છે અને બાહ્ય દબાણ સામે કાર્ય કરે છે. તેથી,આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉપરાંત આ કાર્ય કરવા માટે વધારાની ઉષ્માની જરૂર પડે છે. તેનાથી વિપરીત,અચળ કદ પર,વાયુ દ્વારા કોઈ કાર્ય થતું નથી,તેથી પૂરી પાડવામાં આવેલી તમામ ઉષ્માનો ઉપયોગ ફક્ત આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે થાય છે. આમ,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ વિપરીત વાત કરે છે (કે અચળ કદ પર વધારાની ઉષ્માની જરૂર પડે છે),તેથી કારણ ખોટું છે.

(D) દોરીમાં તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{T/\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે. દોરી માટે $T$ અને $\mu$ બંને સમાન હોવાથી,તેમાં ગતિ કરતા તમામ તરંગો માટે ઝડપ $v$ અચળ રહે છે.
જોકે,વેગ એ સદિશ રાશિ છે જેમાં ઝડપ અને દિશા બંનેનો સમાવેશ થાય છે. બે તરંગો એક જ દોરીમાં સમાન ઝડપ $v$ સાથે પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી શકે છે (દા.ત.,એક $+x$ દિશામાં અને બીજું $-x$ દિશામાં).
આમ,આ બે તરંગોના વેગ $+v$ અને $-v$ હશે,જે અલગ-અલગ છે. તેથી,વિધાન કે તેઓના વેગ અલગ હોઈ શકે નહીં તે ખોટું છે.
કારણ સાચું છે કે ઝડપ માત્ર દોરીના સ્થિતિસ્થાપક અને જડત્વના ગુણધર્મો પર આધાર રાખે છે,જે સમાન છે,પરંતુ વિધાન પોતે ખોટું છે.

(C) હૂકનો નિયમ માન્ય છે તેમ ધારતા,તણાવ $T$ એ વિસ્તરણ $\Delta \ell = \ell - \ell_{0}$ ના સમપ્રમાણમાં છે,જ્યાં $\ell_{0}$ એ મૂળ લંબાઈ છે.
$T = k(\ell - \ell_{0})$
આપેલ બે સ્થિતિઓ માટે:
$T_{1} = k(\ell_{1} - \ell_{0})$ --- $(1)$
$T_{2} = k(\ell_{2} - \ell_{0})$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{\ell_{1} - \ell_{0}}{\ell_{2} - \ell_{0}}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$T_{1}(\ell_{2} - \ell_{0}) = T_{2}(\ell_{1} - \ell_{0})$
$T_{1}\ell_{2} - T_{1}\ell_{0} = T_{2}\ell_{1} - T_{2}\ell_{0}$
$\ell_{0}$ માટે પદ ગોઠવતા:
$T_{2}\ell_{0} - T_{1}\ell_{0} = T_{2}\ell_{1} - T_{1}\ell_{2}$
$\ell_{0}(T_{2} - T_{1}) = T_{2}\ell_{1} - T_{1}\ell_{2}$
$\ell_{0} = \frac{T_{2}\ell_{1} - T_{1}\ell_{2}}{T_{2} - T_{1}}$

(C) પ્રથમ દડા માટે,કાપેલું અંતર $h = 122.5 \ m$ છે. ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2} g t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$122.5 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$t^2 = \frac{122.5 \times 2}{9.8} = 25$
$t = 5 \ s$.
બીજો દડો $2 \ s$ પછી ફેંકવામાં આવે છે,તેથી તેને પાણી સુધી પહોંચવા માટે માત્ર $(5 - 2) = 3 \ s$ નો સમય મળે છે.
બીજા દડા માટે ગતિના સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2} g t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$122.5 = u(3) + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3)^2$
$122.5 = 3u + 4.9 \times 9$
$122.5 = 3u + 44.1$
$3u = 122.5 - 44.1 = 78.4$
$u = \frac{78.4}{3} \approx 26.13 \ m/s$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિના ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
ધારો કે $k = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$. તેથી સમીકરણ $y = x \tan \theta - kx^2$ બને છે.
ગતિપથ $(P, Q)$ અને $(Q, P)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી:
$Q = P \tan \theta - kP^2$ --- $(1)$
$P = Q \tan \theta - kQ^2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$Q - P = (P - Q) \tan \theta - k(P^2 - Q^2)$
$-(P - Q) = (P - Q) \tan \theta - k(P - Q)(P + Q)$
$(P - Q)$ વડે ભાગતા:
$-1 = \tan \theta - k(P + Q) \implies k = \frac{\tan \theta + 1}{P + Q}$.
$k$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$Q = P \tan \theta - \left( \frac{\tan \theta + 1}{P + Q} \right) P^2$
$Q(P + Q) = P(P + Q) \tan \theta - P^2 \tan \theta - P^2$
$PQ + Q^2 + P^2 = PQ \tan \theta$
$\tan \theta = \frac{P^2 + Q^2 + PQ}{PQ}$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 40\,kg$,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_{s} = 0.5$,ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu_{k} = 0.4$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$.
બળ $P$ એ ગતિ શરૂ કરવા માટે પૂરતું છે,તેથી તે સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલું હશે:
$P = f_{s,max} = \mu_{s} N = \mu_{s} mg$.
જ્યારે પદાર્થ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે,ત્યારે તેના પર ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_{k}$ લાગે છે:
$f_{k} = \mu_{k} N = \mu_{k} mg$.
પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net}$:
$F_{net} = P - f_{k} = \mu_{s} mg - \mu_{k} mg = m(\mu_{s} - \mu_{k})g$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = ma$:
$ma = m(\mu_{s} - \mu_{k})g$.
તેથી,પ્રવેગ $a$:
$a = (\mu_{s} - \mu_{k})g$.
કિંમતો મૂકતા:
$a = (0.5 - 0.4) \times 10 = 0.1 \times 10 = 1\,m/s^2$.

(C) ધારો કે તકતીની સપાટી અને જમીન વચ્ચે લાગતું ઘર્ષણ બળ $f_r$ છે. તકતીની ગતિ માટે,બળના સમીકરણ મુજબ: $2F - f_r = ma$.
ટોર્ક (torque) ના સમીકરણ મુજબ,કેન્દ્રની સાપેક્ષે ટોર્ક $\tau = I\alpha$ થાય.
અહીં,$(F + f_r)r = I\alpha = (\frac{1}{2}mr^2)(\frac{a}{r}) = \frac{1}{2}mra$.
તેથી,$F + f_r = \frac{1}{2}ma$.
બળના સમીકરણ પરથી $ma = 2F - f_r$,તેથી $F + f_r = \frac{1}{2}(2F - f_r) = F - 0.5f_r$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $1.5f_r = 0$,એટલે કે $f_r = 0$. જો તકતી સ્થિર સંતુલનમાં હોય,તો કુલ બળ $2F$ ને સંતુલિત કરવા માટે ઘર્ષણ $f_r = 2F$ હોવું જોઈએ,તેથી $n = 2$.

(B) કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર એ તંત્ર પર લાગતા પરિણામી ટોર્ક જેટલો હોય છે,એટલે કે $\left|\frac{dL}{dt}\right| = \tau_{\text{net}}$.
કેન્દ્રથી $l$ અંતરે રહેલા દરેક દળ $m$ માટે,વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = l\sin\alpha$ છે.
દરેક દળ પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $F = mr\omega^2 = m(l\sin\alpha)\omega^2$ છે.
કેન્દ્રની સાપેક્ષે એક દળને કારણે લાગતું ટોર્ક $\tau = F \times r_{\perp}$ છે,જ્યાં $r_{\perp} = l\cos\alpha$ એ ભ્રમણાક્ષથી બળ સદિશનું લંબ અંતર છે.
તેથી,$\tau = (ml\sin\alpha\omega^2) \times (l\cos\alpha) = ml^2\omega^2\sin\alpha\cos\alpha$.
કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુએ આવા બે દળો હોવાથી,તેમના દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ટોર્ક એક જ દિશામાં હોય છે.
તેથી,પરિણામી ટોર્ક $\tau_{\text{net}} = 2\tau = 2ml^2\omega^2\sin\alpha\cos\alpha$ થાય.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\tau_{\text{net}} = ml^2\omega^2\sin 2\alpha$.
આમ,$\left|\frac{dL}{dt}\right| = ml^2\omega^2\sin 2\alpha$.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,જે તરંગલંબાઇ $\lambda_{\max}$ પર વિકિરણ તીવ્રતા મહત્તમ હોય છે તે કૃષ્ણ પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$\lambda_{\max} T = b$ (જ્યાં $b$ એ વીનનો અચળાંક છે).
પદાર્થ $O_1$ માટે: $\lambda_1 = 200\,nm$,તેથી $T_1 = \frac{b}{200}$.
પદાર્થ $O_2$ માટે: $\lambda_2 = 600\,nm$,તેથી $T_2 = \frac{b}{600}$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત પાવર (ઉત્સર્જક પાવર) $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાનની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$E \propto T^4$.
તેથી,$O_1$ દ્વારા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત પાવરનો $O_2$ ના પાવર સાથેનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4 = \left( \frac{b/200}{b/600} \right)^4 = \left( \frac{600}{200} \right)^4 = (3)^4 = 81$.
આમ,ગુણોત્તર $81:1$ છે.

(D) આપેલ છે કે વાયુની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $\frac{5}{2} R$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f$ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) ધરાવતા વાયુ માટે:
$C_V = \frac{fR}{2}$ અને $C_P = \left(1 + \frac{f}{2}\right) R$.
કિસ્સો $1$: જો આપેલી વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V$ હોય,તો $\frac{fR}{2} = \frac{5}{2} R$,જેનો અર્થ છે કે $f = 5$. $f = 5$ ધરાવતો વાયુ દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ છે.
કિસ્સો $2$: જો આપેલી વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P$ હોય,તો $\left(1 + \frac{f}{2}\right) R = \frac{5}{2} R$. આનું સાદું રૂપ આપતા $1 + \frac{f}{2} = 2.5$,તેથી $\frac{f}{2} = 1.5$,જેનો અર્થ છે કે $f = 3$. $f = 3$ ધરાવતો વાયુ એકપરમાણ્વીય વાયુ છે.
પ્રશ્નમાં સ્પષ્ટતા નથી કે આ મૂલ્ય $C_P$ છે કે $C_V$,તેથી વાયુ એકપરમાણ્વીય અથવા દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય હોઈ શકે છે.

(B) $SHM$ માટે આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{v dv}{dx} = -\omega^2 x$.
સ્થાનાંતર $x$ પર વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુઓનું સંકલન કરીશું:
$\int_{v_0}^{v} v dv = \int_{0}^{x} -\omega^2 x dx$.
સંકલન કરતા:
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{v_0}^{v} = -\omega^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x}$.
$\frac{1}{2}(v^2 - v_0^2) = -\frac{\omega^2 x^2}{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$v^2 - v_0^2 = -\omega^2 x^2$.
$v$ માટે ગોઠવતા:
$v^2 = v_0^2 - \omega^2 x^2$.
વર્ગમૂળ લેતા:
$v = \sqrt{v_0^2 - \omega^2 x^2}$.

(A) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે જે બ્લોક $B$ ની દિશામાં છે.
બ્લોક $A$ ($m$ દળ) માટે: ઢાળ પરના બળો $T$ (ઉપરની તરફ) અને $mg \sin 45^{\circ}$ (નીચેની તરફ) છે. લંબબળ $N_A = mg \cos 45^{\circ}$ છે. ઘર્ષણ બળ $f_A = \mu_A N_A = (2/3) mg \cos 45^{\circ}$ છે.
$A$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $T - mg \sin 45^{\circ} - f_A = ma \implies T = ma + mg \sin 45^{\circ} + (2/3) mg \cos 45^{\circ}$.
બ્લોક $B$ ($2m$ દળ) માટે: ઢાળ પરના બળો $2mg \sin 45^{\circ}$ (નીચેની તરફ) અને $T$ (ઉપરની તરફ) છે. લંબબળ $N_B = 2mg \cos 45^{\circ}$ છે. ઘર્ષણ બળ $f_B = \mu_B N_B = (1/3) (2mg \cos 45^{\circ}) = (2/3) mg \cos 45^{\circ}$ છે.
$B$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $2mg \sin 45^{\circ} - T - f_B = 2ma \implies T = 2mg \sin 45^{\circ} - (2/3) mg \cos 45^{\circ} - 2ma$.
$T$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$ma + mg \sin 45^{\circ} + (2/3) mg \cos 45^{\circ} = 2mg \sin 45^{\circ} - (2/3) mg \cos 45^{\circ} - 2ma$
$3ma = mg \sin 45^{\circ} - (4/3) mg \cos 45^{\circ}$
અહીં $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = 1/\sqrt{2}$ હોવાથી,$3ma = mg(1/\sqrt{2}) - (4/3) mg(1/\sqrt{2}) = mg(1/\sqrt{2}) (1 - 4/3) = -mg/(3\sqrt{2})$.
પ્રવેગ ઋણ હોવાથી,તંત્ર ગતિ કરતું નથી અને સ્થિત ઘર્ષણ તેને સંતુલનમાં રાખે છે. તેથી,પ્રવેગ $0$ છે.

(B) પગલું $1$: બ્લોક પર લાગતા બળોને ઓળખો. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ નીચેની તરફ લાગે છે અને લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ સપાટીને લંબ રૂપે ગોળાના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે.
પગલું $2$: બળોને ઉર્ધ્વ અને સમક્ષિતિજ ઘટકોમાં વિભાજિત કરો. લંબ બળ $N$ અને ઉર્ધ્વ ધરી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
ઉર્ધ્વ સંતુલન: $N \cos \theta = mg$ (સમીકરણ $1$)
સમક્ષિતિજ ઘટક કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $N \sin \theta = m \omega^2 R$,જ્યાં $R$ એ બ્લોકના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે. વાટકાની ભૂમિતિ પરથી,$R = r \sin \theta$.
તેથી,$N \sin \theta = m \omega^2 (r \sin \theta)$ (સમીકરણ $2$)
પગલું $3$: સમીકરણો ઉકેલો. સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ વડે ભાગતા:
$\frac{N \sin \theta}{N \cos \theta} = \frac{m \omega^2 r \sin \theta}{mg}$
$\tan \theta = \frac{\omega^2 r \sin \theta}{g}$
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\omega^2 r \sin \theta}{g}$
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{\omega^2 r}{g}$
$\omega^2 = \frac{g}{r \cos \theta}$
$\omega = \sqrt{\frac{g}{r \cos \theta}}$

(A) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે અથડામણ પછી બ્લોક્સના વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે.
પ્રારંભિક વેગમાન = $mv + (2m)(0) = mv$.
અંતિમ વેગમાન = $m(0) + (2m)v_2 = 2mv_2$.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv = 2mv_2$,જે આપણને $v_2 = v/2$ આપે છે.
રિસ્ટિટ્યુશન ગુણાંક $e$ એ અલગ થવાના વેગ અને નજીક આવવાના વેગનો ગુણોત્તર છે.
નજીક આવવાનો વેગ = $v - 0 = v$.
અલગ થવાનો વેગ = $v_2 - 0 = v_2 = v/2$.
તેથી,$e = \frac{v/2}{v} = 0.5$.

(A) ગબડતા ગોળાની કુલ ગતિઊર્જા $(K)$ એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$K = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ઘન ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mR^2$ છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$v = R\omega$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતોને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
આપેલ છે: $m = 500\,g = 0.5\,kg$ અને $v = 0.02\,m/s$.
$K = \frac{7}{10} \times 0.5 \times (0.02)^2$
$K = 0.7 \times 0.5 \times 0.0004 = 0.35 \times 0.0004 = 0.00014\,J = 1.4 \times 10^{-4}\,J$.

(B) વિધાન $(A)$ સાચું છે. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણની વ્યાખ્યા મુજબ,ગતિઊર્જા અને રેખીય વેગમાન બંને સંરક્ષિત રહે છે. $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,જેમના પ્રારંભિક વેગ $u_1$ અને $u_2$ તથા અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે,પુનઃપ્રાપ્તિ ગુણાંક $e$ ને $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે $e = 1$ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $v_2 - v_1 = u_1 - u_2$. આ પુષ્ટિ કરે છે કે અથડામણ પછી અલગ થવાની સાપેક્ષ ઝડપ એ અથડામણ પહેલાં નજીક આવવાની સાપેક્ષ ઝડપ જેટલી જ હોય છે.
કારણ $(R)$ પણ સાચું છે. કોઈપણ અથડામણમાં (સ્થિતિસ્થાપક કે અસ્થિતિસ્થાપક),જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
જો કે,માત્ર રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ એ સમજાવતું નથી કે સાપેક્ષ ઝડપ શા માટે અચળ રહે છે; આ ગુણધર્મ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં ગતિઊર્જાના સંરક્ષણનું પરિણામ છે. તેથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) ભ્રમણકક્ષામાં રહેલા સ્પેસ સ્ટેશનની અંદરનો અવકાશયાત્રી પૃથ્વી તરફ સતત મુક્ત પતનની સ્થિતિમાં હોય છે કારણ કે તેમના પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે.
સ્પેસ સ્ટેશન અને અવકાશયાત્રી બંને સમાન પ્રવેગ (તે ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ) સાથે નીચે પડી રહ્યા હોવાથી,અવકાશયાત્રી પર ફ્લોર દ્વારા લાગતું લંબબળ શૂન્ય હોય છે.
આ સ્થિતિને વજનહીનતા તરીકે અનુભવવામાં આવે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે,અને કારણ $(R)$ એ વિધાન $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) વિધાન સાચું છે કારણ કે જ્યારે પાણી ઊભી રીતે ઉપરની તરફ વહે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ ગતિની વિરુદ્ધ કાર્ય કરે છે,જેના કારણે વેગ ઘટે છે. સાતત્યના સમીકરણ $(A_1v_1 = A_2v_2)$ મુજબ,જેમ વેગ $(v)$ ઘટે છે,તેમ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ વધવું જોઈએ,જેના કારણે પ્રવાહ ફેલાય છે. તેનાથી વિપરીત,જ્યારે નીચેની તરફ વહે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ વેગમાં વધારો કરે છે,જેના કારણે પ્રવાહ સાંકડો થાય છે.
કારણ પણ સાચું છે; સાતત્યનું સમીકરણ અદબનીય પ્રવાહી માટે દળ સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે,જે જણાવે છે કે કદ પ્રવાહ દર $(Q = Av)$ અચળ રહે છે.
પ્રવાહના આડછેદના ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર સીધો ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે વેગમાં થતા ફેરફારને આભારી છે,અને ક્ષેત્રફળ તથા વેગ વચ્ચેનો સંબંધ અચળ કદ પ્રવાહ દર દ્વારા સંચાલિત થાય છે,તેથી કારણ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(B) આદર્શ વાયુની કુલ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $(K)$ સૂત્ર $K = \frac{3}{2} nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = nRT$.
આને ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $K = \frac{3}{2} PV = 1.5 PV$ મળે છે.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે વાયુના અણુઓ અથડાય છે અને તેમના વેગ બદલાય છે. આ વાયુના ગતિવાદનો એક મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે,જે સાચું છે.
જો કે,અણુઓની અથડામણ એ કારણ નથી કે ગતિઊર્જા આ રીતે $PV$ સાથે સંબંધિત છે; $K = 1.5 PV$ નો સંબંધ તાપમાનની વ્યાખ્યા અને આદર્શ વાયુના નિયમ પરથી મેળવવામાં આવે છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ એ કુલ બાહ્ય બળ $(F_{ext})$ સાથે $F_{ext} = M a_{cm} = M (dv_{cm}/dt)$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
જો કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો $a_{cm} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v_{cm}$ અચળ છે.
$STATEMENT-1$ જણાવે છે કે કોઈ બાહ્ય ટોર્ક નથી. બાહ્ય ટોર્કની ગેરહાજરીનો અર્થ એ છે કે કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત છે,પરંતુ તેનો અર્થ એ નથી કે કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,પદાર્થ પર લાગતું કપલ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે પરંતુ ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય છે. આમ,જો ચોખ્ખું બળ હોય તો $v_{cm}$ બદલાઈ શકે છે,ભલે ચોખ્ખું ટોર્ક ન હોય.
તેથી,$STATEMENT-1$ ખોટું છે.
$STATEMENT-2$ એ મિકેનિક્સનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત (રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ) છે અને તે સાચું છે.
આમ,$STATEMENT-1$ ખોટું છે અને $STATEMENT-2$ સાચું છે.

(B) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી પ્રવેગ $a = qE/m$ થાય.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + (1/2)at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,અને કણો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા હોવાથી $(u = 0)$,$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $s = (1/2)(qE/m)t^2$ થાય.
ઇલેક્ટ્રોન માટે: $s = (1/2)(eE/m_e)t_1^2$.
પ્રોટોન માટે: $s = (1/2)(eE/m_p)t_2^2$.
બંને માટે અંતર $s$ સમાન હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$(1/2)(eE/m_e)t_1^2 = (1/2)(eE/m_p)t_2^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $t_1^2/m_e = t_2^2/m_p$ મળે છે.
તેથી,$t_2^2/t_1^2 = m_p/m_e$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને ગુણોત્તર $t_2/t_1 = (m_p/m_e)^{1/2}$ મળે છે.

(C) સોલેનોઇડનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ એ સૂત્ર $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે, $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે, અને $l$ એ સોલેનોઇડની લંબાઈ છે。
આપેલ છે કે નવા આંટાની સંખ્યા $N' = 2N$ અને નવી લંબાઈ $l' = 2l$ છે, જ્યારે ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ રહે છે。
નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$L' = \frac{\mu_0 (N')^2 A}{l'} = \frac{\mu_0 (2N)^2 A}{2l} = \frac{\mu_0 (4N^2) A}{2l} = 2 \left( \frac{\mu_0 N^2 A}{l} \right) = 2L$.
તેથી, ઇન્ડક્ટન્સ બમણું થાય છે。

(B) એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ભ્રમણ કરતી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = BA \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $e.m.f.$ એ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\phi$ નું સૂત્ર મૂકતા: $e = -\frac{d}{dt}(BA \cos(\omega t)) = BA\omega \sin(\omega t)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\theta) = \cos(\theta - \pi/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રેરિત $e.m.f.$ ને $e = BA\omega \cos(\omega t - \pi/2)$ તરીકે લખી શકાય.
ફ્લક્સની કળા $(\omega t)$ અને પ્રેરિત $e.m.f.$ ની કળા $(\omega t - \pi/2)$ ની સરખામણી કરતા,કળા તફાવત $\pi/2$ મળે છે.

(C) ડ્યુટેરોન માટે: વિદ્યુતભાર $q_d = e$,દળ $m_d = 2m_p = 2m$.
$\alpha -$ કણ માટે: વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = 2e$,દળ $m_{\alpha} = 4m_p = 4m$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$F_1 = eE$ અને $F_2 = 2eE$. કારણ કે $F_1 \neq F_2$,તેથી કારણ ખોટું છે.
હવે,$a = F/m$ નો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગની ગણતરી કરતા:
$a_1 = F_1 / m_d = (eE) / (2m) = eE / 2m$.
$a_2 = F_2 / m_{\alpha} = (2eE) / (4m) = eE / 2m$.
આમ $a_1 = a_2$ હોવાથી,વિધાન સાચું છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(D) અસમાન વિદ્યુતભાર વિતરણ અને $0$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતી પાતળી વર્તુળાકાર રીંગ માટે,અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{dq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કુલ વિદ્યુતભાર $\int dq = 0$ હોવાથી અને રીંગ પરના તમામ બિંદુઓ અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુથી સમાન અંતરે $r$ હોવાથી,અક્ષ પરના દરેક બિંદુએ સ્થિતિમાન $V$ ખરેખર $0$ થાય છે.
જોકે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ સ્થિતિમાનનો ઋણ પ્રચલન (gradient) છે,$\vec{E} = -\nabla V$. અક્ષ પર સ્થિતિમાન દરેક જગ્યાએ શૂન્ય હોવા છતાં,તેનો અર્થ એ નથી કે અક્ષની આસપાસના વિસ્તારમાં સ્થિતિમાન અચળ છે. વાસ્તવમાં,અક્ષ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સામાન્ય રીતે શૂન્ય હોતું નથી અને તે અક્ષને લંબ દિશામાં હોય છે. તેથી,વિધાન ખોટું છે અને કારણ સાચું છે.

(A) બલ્બનો પ્રકાશ એ વપરાતા પાવર દ્વારા નક્કી થાય છે,જે $P = I^2R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{dP}{P} = 2 \left( \frac{dI}{I} \right)$.
આપેલ છે કે પ્રવાહ $0.5\%$ જેટલો ઘટે છે,તેથી $\frac{dI}{I} = 0.5\%$.
આ કિંમતને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{dP}{P} = 2 \times 0.5\% = 1\%$.
આમ,બલ્બનો પ્રકાશ $1\%$ જેટલો ઘટે છે.
કારણ કે પાવર ખરેખર પ્રવાહના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે $(P \propto I^2)$,તેથી કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{(\mu_0 n I)^2}{2\mu_0} = \frac{1}{2} \mu_0 n^2 I^2$ છે.
ઉર્જા ઘનતા $u$ એ $I^2$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,પ્રવાહની દિશા ઉલટાવવાથી (એટલે કે $I$ ને $-I$ કરવાથી) $I^2$ ના મૂલ્યમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,સોલેનોઈડમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉર્જા અચળ રહે છે.
વિધાનમાં ઉર્જા ઘટે છે તેમ કહેવામાં આવ્યું છે,તેથી વિધાન ખોટું છે.
કારણ જણાવે છે કે ઉર્જા ઘનતા પ્રવાહના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,જે સાચું છે.
આમ,વિધાન ખોટું છે અને કારણ સાચું છે.

(C) ક્યુરીના નિયમ મુજબ,પેરામેગ્નેટિક પદાર્થની ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $\chi = C/T$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જેમ તાપમાન $T$ ઘટે છે,તેમ સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ વધે છે,જેના પરિણામે સમાન બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે વધુ ચુંબકીયકરણ જોવા મળે છે.
આનું કારણ એ છે કે નીચા તાપમાને,પરમાણુ ડાયપોલ્સના સંરેખણને વિક્ષેપિત કરતી અસ્તવ્યસ્ત ઉષ્મીય ગતિ ઘટે છે,જેથી બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે તેમને સંરેખિત કરવાનું સરળ બને છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે કારણ કે પેરામેગ્નેટિક પદાર્થોમાં ચુંબકીયકરણ તાપમાન પર મજબૂત રીતે આધાર રાખે છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$W$ પહોળાઈના પડદા પર જોઈ શકાતી પ્રકાશિત શલાકાઓની સંખ્યા $N = \frac{W}{\beta} = \frac{Wd}{\lambda D}$ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે શલાકાઓની સંખ્યા $N$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(N \propto \frac{1}{\lambda})$.
જો તરંગલંબાઈ $\lambda$ બમણી કરવામાં આવે,તો શલાકાઓની સંખ્યા $N$ અડધી થઈ જશે,એટલે કે તે ઘટશે.
તેથી,વિધાન ખોટું છે કારણ કે શલાકાઓની સંખ્યા વધવાને બદલે ઘટે છે.
કારણ પણ ખોટું છે કારણ કે શલાકાઓની સંખ્યા તરંગલંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,સમપ્રમાણમાં નથી.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા છે.

(D) ફોટોઈલેક્ટ્રિક સંતૃપ્ત પ્રવાહ માત્ર આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધાર રાખે છે,જે એકમ સમયમાં આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા દર્શાવે છે.
તે આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિથી સ્વતંત્ર છે.
આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ વધારવાથી ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા વધે છે,પરંતુ તે એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યામાં ફેરફાર કરતું નથી.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા છે.

(B) વિધાન સાચું છે કારણ કે એકરંગી પ્રકાશના સ્ત્રોત માટે પણ, ધાતુના ઊંડા સ્તરોમાંથી ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોન બહાર નીકળતા પહેલા અથડામણને કારણે ઊર્જા ગુમાવે છે, જેના પરિણામે $0$ થી $K_{max}$ સુધીની ગતિઊર્જા મળે છે.
કારણ પણ સાચું છે કારણ કે આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $K_{max} = h\nu - \Phi$ મુજબ, જો આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઈ અલગ-અલગ હોય (અને તેથી આવૃત્તિ $\nu$ અલગ હોય), તો ઈલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ઊર્જા બદલાશે.
જો કે, કારણ એ વિધાન માટે સાચી સમજૂતી નથી કારણ કે ગતિઊર્જામાં તફાવતનું મુખ્ય કારણ (એકરંગી પ્રકાશ માટે પણ) ધાતુની અંદરની વિવિધ ઊંડાઈએથી ઈલેક્ટ્રોનના બહાર નીકળતી વખતે થતો ઊર્જાનો વ્યય છે.

(A) શોષણ સંક્રમણમાં,નીચા ઉર્જા સ્તરમાં રહેલો ઇલેક્ટ્રોન ફોટોનનું શોષણ કરે છે અને ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરમાં કૂદકો મારે છે. $A, B, C$ ઉર્જા સ્તરો ધરાવતી સિસ્ટમ માટે (જ્યાં $A < B < C$),શોષણ ફક્ત ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $A$ થી $B$ અથવા $A$ થી $C$ સુધી જ થઈ શકે છે. આમ,$2$ શક્ય શોષણ સંક્રમણો છે.
ઉત્સર્જન સંક્રમણમાં,ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરમાં રહેલો ઇલેક્ટ્રોન ફોટોન ઉત્સર્જિત કરીને નીચા ઉર્જા સ્તરમાં આવે છે. સમાન સ્તરો માટે,ઉત્સર્જન $C \rightarrow B$,$C \rightarrow A$,અને $B \rightarrow A$ થી થઈ શકે છે. આમ,$3$ શક્ય ઉત્સર્જન સંક્રમણો છે.
$2 < 3$ હોવાથી,શોષણ સંક્રમણોની સંખ્યા ઉત્સર્જન સંક્રમણોની સંખ્યા કરતા ઓછી છે. કારણ યોગ્ય રીતે સમજાવે છે કે શોષણ નીચા સ્તરથી શરૂ થવા માટે પ્રતિબંધિત છે,જ્યારે ઉત્સર્જન કોઈપણ બે સ્તરો વચ્ચે થઈ શકે છે જ્યાં પ્રારંભિક સ્થિતિ અંતિમ સ્થિતિ કરતા ઉચ્ચ હોય છે.

(C) વિધાન સાચું છે કારણ કે ભારે ન્યુક્લિયસના ન્યુક્લિયર વિખંડન અને હલકા ન્યુક્લિયસના ન્યુક્લિયર સંલયનમાં ઉર્જા મુક્ત થાય છે,કારણ કે પ્રક્રિયકોની તુલનામાં નીપજ ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જામાં વધારો થાય છે.
કારણ ખોટું છે કારણ કે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાનો આલેખ દર્શાવે છે કે ભારે ન્યુક્લિયસ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ વધવાની સાથે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ઘટે છે (જે તેમને અસ્થિર બનાવે છે અને વિખંડન માટે પ્રેરે છે),જ્યારે હલકા ન્યુક્લિયસ માટે,ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $Z$ વધવાની સાથે વધે છે (જે તેમને વધુ સ્થિર અવસ્થા પ્રાપ્ત કરવા માટે સંલયન માટે પ્રેરે છે).

(A) અર્ધવાહકોમાં કન્ડક્શન બેન્ડ અને વેલેન્સ બેન્ડ વચ્ચેનો ઉર્જા ગેપ નાનો $(\approx 1 \ eV)$ હોય છે.
તાપમાનમાં વધારો થવાને કારણે,વેલેન્સ બેન્ડમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન ઉષ્મીય ઉર્જા મેળવે છે અને આ નાના ઉર્જા ગેપને ઓળંગીને કન્ડક્શન બેન્ડમાં જઈ શકે છે.
જેમ જેમ વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યા વધે છે,તેમ અર્ધવાહકની વાહકતા વધે છે.
વાહકતા એ અવરોધના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,અર્ધવાહકનો અવરોધ ઘટે છે.
તેથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) કોઈપણ પદાર્થની મેગ્નેટિક પરમીએબિલિટી $\mu$ એ મેગ્નેટિક ફ્લક્સ ડેન્સિટી $B$ અને મેગ્નેટાઇઝિંગ ક્ષેત્ર $H$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\mu = \frac{B}{H}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ માટે,જેમ જેમ મેગ્નેટાઇઝિંગ ક્ષેત્ર $H$ વધે છે,તેમ મેગ્નેટિક ફ્લક્સ ડેન્સિટી $B$ શરૂઆતમાં વધે છે પરંતુ અંતે તે મેગ્નેટિક સેચ્યુરેશન (સંતૃપ્ત) અવસ્થા પ્રાપ્ત કરે છે.
જેમ $B$ એક અચળ સેચ્યુરેશન મૂલ્યની નજીક પહોંચે છે અને $H$ સતત વધતું રહે છે,તેમ ગુણોત્તર $\mu = \frac{B}{H}$ ઘટે છે. તેથી,મેગ્નેટાઇઝિંગ ક્ષેત્રમાં વધારો થવાથી ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થની પરમીએબિલિટી ઘટે છે.

(A) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ સંબંધ $\phi = L \times I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ આત્મ-પ્રેરકત્વ છે અને $I$ એ કોઈલમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = 50\,mH = 50 \times 10^{-3}\,H$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 8\,mA = 8 \times 10^{-3}\,A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\phi = (50 \times 10^{-3}\,H) \times (8 \times 10^{-3}\,A)$
$\phi = 400 \times 10^{-6}\,Wb$
$\phi = 4 \times 10^{-4}\,Wb$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ તારના ચાર ભાગો દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
$1$. $O$ તરફ અથવા $O$ થી દૂર જતા બે સીધા ભાગો $O$ પર શૂન્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે કારણ કે પ્રવાહ ઘટક અને સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ છે.
$2$. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો આંતરિક વર્તુળાકાર ચાપ કેન્દ્ર પર $270^\circ$ (અથવા $\frac{3\pi}{2}$ રેડિયન) નો ખૂણો આંતરે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} \theta = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} \times \frac{3\pi}{2} = \frac{3\mu_0 i}{8R}$ (નીચેની તરફ) છે.
$3$. $2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો બાહ્ય વર્તુળાકાર ચાપ કેન્દ્ર પર $90^\circ$ (અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન) નો ખૂણો આંતરે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 i}{4\pi (2R)} \theta = \frac{\mu_0 i}{8\pi R} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\mu_0 i}{16R}$ (નીચેની તરફ) છે.
$4$. કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{3\mu_0 i}{8R} + \frac{\mu_0 i}{24R} = \frac{5\mu_0 i}{12R}$ (નીચેની તરફ) થાય છે.

(D) બુલિયન બીજગણિતના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,પદાવલિને નીચે મુજબ સરળ બનાવી શકાય છે:
$P + \overline{P}Q = (P + \overline{P}) \cdot (P + Q)$
કારણ કે $(P + \overline{P}) = 1$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$1 \cdot (P + Q) = P + Q$
પદાવલિ $P + Q$ એ $OR$ ગેટનું આઉટપુટ દર્શાવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવી શકીએ છીએ:

$P$	$Q$	$\overline{P}$	$\overline{P}Q$	$P + \overline{P}Q$
$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
$1$	$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$1$	$0$	$0$	$1$

$P + \overline{P}Q$ માટેની આઉટપુટ કોલમ $OR$ ગેટના સત્યતા કોષ્ટક સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) જ્યારે $150\,\Omega$ અવરોધ ધરાવતું વોલ્ટમીટર $A$ અને $B$ વચ્ચેના $100\,\Omega$ અવરોધ સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{AB} = \frac{150 \times 100}{150 + 100} = \frac{15000}{250} = 60\,\Omega$
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq}$ એ $R_{AB}$ અને $B$ તથા $C$ વચ્ચેના અવરોધ $(R_{BC} = 100\,\Omega)$ નો સરવાળો છે:
$R_{eq} = R_{AB} + R_{BC} = 60 + 100 = 160\,\Omega$
પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{50}{160} = 0.3125\,A$
$B$ અને $C$ વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ:
$V_{BC} = I \times R_{BC} = 0.3125 \times 100 = 31.25\,V$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $31\,V$ મળે છે.

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $(R)$ અને તેના દળ ક્રમાંક $(A)$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = R_0 A^{1/3}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ એ પ્રાયોગિક અચળાંક છે.
આપેલ દળ ક્રમાંક $A_1 = 216$ અને $A_2 = 64$ માટે,આપણે તેમની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ શોધી શકીએ છીએ:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 A_1^{1/3}}{R_0 A_2^{1/3}} = \left( \frac{A_1}{A_2} \right)^{1/3}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{216}{64} \right)^{1/3}$
કારણ કે $216 = 6^3$ અને $64 = 4^3$ છે:
$\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{6^3}{4^3} \right)^{1/3} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2}$ એ $3:2$ છે.

(A) સેમિકન્ડક્ટરની વાહકતા $\sigma$ એ $\sigma = e(n\mu_{n} + p\mu_{p})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માસ એક્શનના નિયમ મુજબ,$np = n_{i}^{2}$,તેથી $n = \frac{n_{i}^{2}}{p}$.
આ કિંમતને વાહકતાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\sigma = e\left(\frac{n_{i}^{2}}{p}\mu_{n} + p\mu_{p}\right)$.
ન્યૂનતમ વાહકતા શોધવા માટે,આપણે $\sigma$ નું $p$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{d\sigma}{dp} = e\left(-\frac{n_{i}^{2}}{p^{2}}\mu_{n} + \mu_{p}\right) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{n_{i}^{2}}{p^{2}}\mu_{n} = \mu_{p}$.
$p$ માટે ઉકેલતા,આપણને $p^{2} = n_{i}^{2} \frac{\mu_{n}}{\mu_{p}}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p = n_{i} \sqrt{\frac{\mu_{n}}{\mu_{p}}}$.

(A) બે સમાંતર પ્રવાહધારિત તાર વચ્ચે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળ $F/l = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\mu_0$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\mu_0 = \frac{2\pi r F}{l I_1 I_2}$ મળે છે.
પરિમાણો આ મુજબ છે: $[r] = [L]$,$[F] = [MLT^{-2}]$,$[l] = [L]$,અને $[I] = [QT^{-1}]$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $[\mu_0] = \frac{[L][MLT^{-2}]}{[L][QT^{-1}]^2}$.
$[\mu_0] = \frac{[MLT^{-2}]}{[Q^2T^{-2}]} = [MLQ^{-2}]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) એક આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240\,eV\cdot nm}{400\,nm} = 3.1\,eV$ છે.
આ ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવતા: $E = 3.1 \times 1.6 \times 10^{-19}\,J = 4.96 \times 10^{-19}\,J$.
દર સેકન્ડે આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{P}{E} = \frac{1.55 \times 10^{-3}\,W}{4.96 \times 10^{-19}\,J} = 3.125 \times 10^{15}\,\text{ફોટોન/સેકન્ડ}$.
માત્ર $10\%$ ફોટોન ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્પન્ન કરતા હોવાથી,દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $N_e = 0.10 \times n = 0.10 \times 3.125 \times 10^{15} = 3.125 \times 10^{14}\,\text{ઈલેક્ટ્રોન/સેકન્ડ}$.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ $I = N_e \times e = 3.125 \times 10^{14} \times 1.6 \times 10^{-19}\,A = 5.0 \times 10^{-5}\,A$.
$\mu A$ માં ફેરવતા: $I = 50\,\mu A$.

(A) કિરચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
લૂપ $ABCDA$ માટે,$2i_1 + 5(i_1 + i_2) = 12$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $7i_1 + 5i_2 = 12 \dots (1)$ મળે છે.
લૂપ $EBCFE$ માટે,$2i_2 + 5(i_1 + i_2) = 12$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $5i_1 + 7i_2 = 12 \dots (2)$ મળે છે.
હવે,સમીકરણ $(1)$ ને $7$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $5$ વડે ગુણતા:
$49i_1 + 35i_2 = 84 \dots (3)$
$25i_1 + 35i_2 = 60 \dots (4)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા $24i_1 = 24$ મળે છે,તેથી $i_1 = 1\,A$.
$i_1 = 1\,A$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,$7(1) + 5i_2 = 12$,તેથી $5i_2 = 5$,જેનો અર્થ છે કે $i_2 = 1\,A$.
આમ,$5\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $i_1 + i_2 = 1 + 1 = 2\,A$ છે.

(C) આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ, $C = 250\,\mu F = 250 \times 10^{-6}\,F$
ઇન્ડક્ટન્સ, $L = 0.16\,mH = 0.16 \times 10^{-3}\,H$
અવરોધ, $R = 20\,\Omega$
$LC$ સર્કિટ માટે અનુનાદ આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$
કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{250 \times 10^{-6} \times 0.16 \times 10^{-3}}}$
$f = \frac{1}{6.28 \times \sqrt{40 \times 10^{-9}}}$
$f = \frac{1}{6.28 \times 20 \times 10^{-5}}$
$f \approx 796\,Hz$
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મુજબ, ગણતરી કરતા $f \approx 796\,Hz$ મળે છે. પ્રશ્નમાં એકમોમાં તફાવત હોઈ શકે છે.

(B) ક્યુરી-વેઇસનો નિયમ ક્યુરી તાપમાન $T_c$ થી ઉપરના તાપમાને ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થની ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ નું તાપમાન $T$ સાથેનું વર્તન દર્શાવે છે:
$\chi = \frac{C}{T - T_c}$
જ્યાં $C$ એ ક્યુરી અચળાંક છે.
જેમ જેમ $T$ એ $T_c$ થી વધે છે,તેમ છેદ $(T - T_c)$ વધે છે,જેના કારણે ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ ઘટે છે. સંબંધ $\chi \propto \frac{1}{T - T_c}$ એ એક હાયપરબોલિક વક્ર દર્શાવે છે જે તાપમાન વધવાની સાથે ઘટે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,વિકલ્પ $(B)$ માં આપેલો આલેખ આ વ્યસ્ત સંબંધને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે જ્યાં $T > T_c$ માટે $T$ વધવાની સાથે $\chi$ ઘટે છે.

(C) સ્ફટિક દ્વારા વિવર્તન માટે બ્રેગનો નિયમ નીચે મુજબ છે:
$n\lambda = 2d \sin\theta$
જ્યાં $n$ એ વિવર્તનનો ક્રમ છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$d$ એ આંતર-પરમાણ્વીય અંતર છે અને $\theta$ એ ગ્લેન્સિંગ એંગલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin\theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,તેથી સમીકરણ $n\lambda \leq 2d$ બને છે.
પ્રથમ ક્રમના વિવર્તન $(n=1)$ માટે,શરત $\lambda \leq 2d$ થાય છે.
તેથી,વિવર્તન થવા માટે તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $2d$ કરતા નાની અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.

(A) જ્યારે તાર $v$ જેટલા તત્કાલીન વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તારમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય ઈ.એમ.એફ. (e.m.f.) $\varepsilon = Bvl$ છે.
તાર $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટર સાથે જોડાયેલ હોવાથી,કેપેસિટર પર સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $q = C\varepsilon = CBvl$ થાય.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i$ એ કેપેસિટર પરના વિદ્યુતભારના ફેરફારનો દર છે:
$i = \frac{dq}{dt} = CBl \frac{dv}{dt} = CBla$,જ્યાં $a$ એ તારનો પ્રવેગ છે.
આ પ્રવાહને કારણે તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = Bil = (CBla)Bl = CB^2 l^2 a$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,તાર પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - F_m = ma$ છે.
$F_m$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$F - CB^2 l^2 a = ma$
$F = ma + CB^2 l^2 a = a(m + CB^2 l^2)$
તેથી,પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે:
$a = \frac{F}{m + CB^2 l^2}$

(B) ઉભી સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,ઉભી સપાટી પર આપાતકોણ $i'$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
અહીં $\mu_1 = 1.0$ અને $\mu_2 = 1.25 = \frac{5}{4}$ આપેલ છે.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{1}{1.25} = \frac{4}{5}$ છે.
તેથી,$i' \ge C$,જેનો અર્થ છે કે $\sin i' \ge \frac{4}{5}$.
કિરણ આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,ઉપરની આડી સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r$ અને ઉભી સપાટી પર આપાતકોણ $i'$ વચ્ચેનો સંબંધ $r + i' = 90^{\circ}$ છે,તેથી $i' = 90^{\circ} - r$.
$TIR$ માટે,$i' \ge C \implies 90^{\circ} - r \ge C \implies r \le 90^{\circ} - C$.
મહત્તમ $\theta$ શોધવા માટે,આપણને મહત્તમ $r$ ની જરૂર છે,જે $r = 90^{\circ} - C$ હોય ત્યારે મળે છે.
આડી સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $1.0 \times \sin \theta = 1.25 \times \sin r$.
$\sin \theta_{\max} = 1.25 \times \sin(90^{\circ} - C) = 1.25 \times \cos C$.
કારણ કે $\sin C = \frac{4}{5}$,તેથી $\cos C = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \frac{3}{5}$.
તેથી,$\sin \theta_{\max} = \frac{5}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{4}$.
આમ,$\theta_{\max} = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(C) વ્યક્તિ હાયપરમેટ્રોપિયા (દૂરદ્રષ્ટિની ખામી) થી પીડાય છે કારણ કે તેનું નજીકનું બિંદુ સામાન્ય $25\,cm$ થી ખસીને $40\,cm$ થઈ ગયું છે.
$25\,cm$ ના અંતરે રાખેલું પુસ્તક વાંચવા માટે,લેન્સે વસ્તુનું આભાસી પ્રતિબિંબ વ્યક્તિના નજીકના બિંદુ $v = -40\,cm$ પર રચવું જોઈએ.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{1}{-0.4} - \frac{1}{-0.25}$.
$P = -2.5 + 4.0 = 1.5\,D$.
આમ,લેન્સનો જરૂરી પાવર $1.5\,D$ છે.

(A) ઇલેક્ટ્રિક ફ્લક્સ $\phi_E$ એ ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $E$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\phi_E = E \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $E$ નો એકમ $N/C$ અથવા $V/m$ છે. બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે અને વિદ્યુતભારનું પારિમાણિક સૂત્ર $[IT]$ છે.
આમ,ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $E$ નું પરિમાણ $E = \frac{[MLT^{-2}]}{[IT]} = [MLT^{-3} I^{-1}]$ થાય છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નું પરિમાણ $[L^2]$ છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રિક ફ્લક્સ $\phi_E$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $\phi_E = [MLT^{-3} I^{-1}] \times [L^2] = [ML^3 T^{-3} I^{-1}]$ થાય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ એ પેરાક્સિયલ એપ્રોક્સિમેશનનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે,જે ધારે છે કે કિરણો મુખ્ય અક્ષની નજીક છે અને અરીસાનું એપર્ચર વક્રતા ત્રિજ્યાની તુલનામાં નાનું છે. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
પરાવર્તનના નિયમો (આપાતકોણ = પરાવર્તનકોણ) એ ઓપ્ટિક્સના મૂળભૂત નિયમો છે અને તે કોઈપણ પરાવર્તક સપાટી માટે માન્ય છે,પછી તે સપાટ હોય કે ગોલીય,કદને ધ્યાનમાં લીધા વગર. તેથી,કારણ $(R)$ ખોટું છે.

(C) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ અજ્ઞાત અવરોધ છે અને $S$ એ પ્રમાણિત અવરોધ છે.
જ્યારે અજ્ઞાત અવરોધ $R$ ને ઊંચા તાપમાનવાળા પાત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો અવરોધ વધે છે કારણ કે ધાતુઓનો અવરોધ તાપમાન સાથે વધે છે $(R_t = R_0(1 + \alpha \Delta T))$.
નલ પોઈન્ટની સ્થિતિ $(l)$ સમાન રાખવા માટે,ગુણોત્તર $\frac{R}{S}$ અચળ રહેવો જોઈએ.
જેમ કે $R$ વધ્યો છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{R}{S}$ ને અચળ રાખવા માટે $S$ માં પણ વધારો કરવો પડે.
વિધાનમાં જણાવવામાં આવ્યું છે કે $S$ ઘટાડવો જોઈએ,જે ખોટું છે.
તેથી,વિધાન ખોટું છે,જ્યારે કારણ સાચું છે.

$(A)$ ન્યુક્લિયર બળ એ વિદ્યુતભારથી સ્વતંત્ર છે, જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ બે ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન-પ્રોટોન, પ્રોટોન-ન્યુટ્રોન, અથવા ન્યુટ્રોન-ન્યુટ્રોન) વચ્ચેનું પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ આપેલ અંતરે લગભગ સમાન હોય છે.
જોકે, બે પ્રોટોનના કિસ્સામાં, તેમના ધન વિદ્યુતભારને કારણે તેમની વચ્ચે વધારાનું સ્થિત-વિદ્યુતીય અપાકર્ષણ બળ લાગે છે.
ન્યુક્લિયર બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે અને સ્થિત-વિદ્યુતીય બળ અપાકર્ષી પ્રકારનું હોવાથી, બે પ્રોટોન વચ્ચેનું ચોખ્ખું બળ $f_{pp} = f_{\text{nuclear}} - f_{\text{electrostatic}}$ થાય છે.
પ્રોટોન-ન્યુટ્રોન અથવા ન્યુટ્રોન-ન્યુટ્રોન જોડી માટે, કોઈ સ્થિત-વિદ્યુતીય અપાકર્ષણ હોતું નથી, તેથી ચોખ્ખું બળ ફક્ત આકર્ષી ન્યુક્લિયર બળ જ હોય છે $(f_{pn} = f_{nn} = f_{\text{nuclear}})$.
તેથી, $f_{pp} < f_{pn} = f_{nn}$.
વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે, અને કારણ એ સમજાવે છે કે પ્રોટોન વચ્ચેનું ચોખ્ખું બળ શા માટે ઓછું છે.

(D) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય મોમેન્ટ $(\mu)$ નું સૂત્ર $\mu = \frac{e}{2m} L$ છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે.
$L = \frac{nh}{2\pi}$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\mu = \frac{e}{2m} \left( \frac{nh}{2\pi} \right) = \frac{enh}{4\pi m}$.
આ દર્શાવે છે કે $\mu \propto n$. જેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ વધે છે,તેમ ચુંબકીય મોમેન્ટ $(\mu)$ વધે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે કારણ કે તે જણાવે છે કે ચુંબકીય મોમેન્ટ ઘટે છે.
કારણ $(R)$ પણ ખોટું છે કારણ કે તે $\mu \propto n$ જણાવે છે,જે પ્રમાણસરતાની દ્રષ્ટિએ ગાણિતિક રીતે સાચું છે,પરંતુ વિધાન પોતે જ ખોટું છે અને સંબંધ વધારો સૂચવે છે,ઘટાડો નહીં. જોકે,પ્રમાણિત વિધાન-કારણ પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં,વિધાન ખોટું હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$M$ દળનો પ્રારંભિક કણ સ્થિર હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
તેથી,પરિણામી બે કણો સમાન અને વિરુદ્ધ વેગમાન ધરાવતા હોવા જોઈએ: $|p_1| = |p_2| = p$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને કણો સમાન મૂલ્યનું વેગમાન $p$ ધરાવતા હોવાથી,તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{p}$ અને $\lambda_2 = \frac{h}{p}$ થશે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 1$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે ગુણોત્તર એકમ છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
જોકે,કારણ $(R)$ જણાવે છે કે આપણે રેખીય વેગમાન સંરક્ષણ લાગુ કરી શકતા નથી,જે ખોટું છે કારણ કે બાહ્ય બળની ગેરહાજરીમાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણ હંમેશા લાગુ પડે છે. તેથી,કારણ ખોટું છે.

(C) ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિ એટલે બે પદાર્થો વચ્ચેનું લઘુત્તમ કોણીય અંતર જે ટેલિસ્કોપ દ્વારા અલગ જોઈ શકાય છે તેના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિનું સૂત્ર $RP = \frac{a}{1.22 \lambda}$ છે,જ્યાં $a$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના એપર્ચરનો વ્યાસ છે અને $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $RP \propto a$. તેથી,વિભેદન શક્તિ વધારવા માટે,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનું એપર્ચર $(a)$ મોટું હોવું જોઈએ.
વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે મોટું એપર્ચર વિવર્તનની મર્યાદા ઘટાડે છે,જે વધુ સારી વિભેદન ક્ષમતા આપે છે.
કારણ $(R)$ માં સૂત્ર $\frac{2 a }{1.22 \lambda}$ આપેલું છે,જે ખોટું છે કારણ કે સાચું સૂત્ર $\frac{a}{1.22 \lambda}$ છે.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે,પરંતુ કારણ $(R)$ ખોટું છે.

(C) શ્રેણી $R-L$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \theta = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = 2 \pi f$ છે.
જો આવૃત્તિ $f$ બમણી કરવામાં આવે,તો $\omega$ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$ વધે છે.
કારણ કે $\cos \theta = \frac{R}{Z}$,જેમ $Z$ વધે છે,તેમ પાવર ફેક્ટર $\cos \theta$ ઘટે છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ માં આપેલ સૂત્ર $\cos \theta = \frac{2R}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$ છે,જે ખોટું છે કારણ કે અંશમાં $2$ નો ગુણાંક ખોટો છે. તેથી,કારણ $(R)$ ખોટું છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકત્વના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવેગી ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનો સ્ત્રોત છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં,વિદ્યુતભારનો વેગ સદિશ સતત દિશા બદલે છે,ભલે તેની ઝડપ અચળ રહેતી હોય. વેગમાં થતો આ ફેરફાર સૂચવે છે કે વિદ્યુતભાર કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અનુભવે છે.
વિદ્યુતભાર પ્રવેગી ગતિમાં હોવાથી,તે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના સ્વરૂપમાં વિદ્યુતચુંબકીય ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરશે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,જ્યારે ગજિયા ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ આડા ગૂંચળા તરફ નીચે પડે છે,ત્યારે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં વધારો થાય છે. આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,ગૂંચળું એવો પ્રવાહ પ્રેરિત કરે છે કે જેથી ગૂંચળાની ઉપરની સપાટી ઉત્તર ધ્રુવ તરીકે વર્તે.
આ પ્રેરિત ઉત્તર ધ્રુવ ચુંબકના નીચે પડતા ઉત્તર ધ્રુવને અપાકર્ષે છે,જેનાથી ઉપરની તરફ અપાકર્ષણ બળ લાગે છે. આ બળ નીચે તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો વિરોધ કરે છે,પરિણામે ચોખ્ખો પ્રવેગ $a < g$ મળે છે.
ગૂંચળાની ઉપરની સપાટી ઉત્તર ધ્રુવ તરીકે વર્તતી હોવાથી,ગૂંચળામાં પ્રેરિત પ્રવાહ એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ (ઉપરથી જોતા) હોવો જોઈએ,ક્લોકવાઇઝ નહીં. તેથી,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ છે.
અચળ સ્થિતિમાન $V$ માટે,અંતર $r$ અચળ હોવું જોઈએ. આ બિંદુવત વિદ્યુતભારને કેન્દ્ર તરીકે ધરાવતો ગોળો દર્શાવે છે. તેથી,બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે ગોલીય સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ શક્ય છે. આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
ગોલીય કેપેસિટરની અંદર,વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી હોય છે અને સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો કેપેસિટરની પ્લેટો સાથે કેન્દ્રિત ગોલીય કવચ હોય છે. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.
વિધાન ખોટું હોવાથી અને કારણ સાચું હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) વિધાન સાચું છે. જ્યારે અનિયમિત લૂપમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહે છે,ત્યારે એકબીજાની નજીકના તારના ભાગોમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે. ચુંબકીય બળના નિયમ મુજબ,વિરુદ્ધ દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતા બે સમાંતર તાર એકબીજાને અપાકર્ષે છે. આ અપાકર્ષણ બળ અનિયમિત લૂપના તમામ ભાગો પર કાર્ય કરે છે,જે તારના ભાગોને બહારની તરફ ધકેલે છે જેથી ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય અને અંતે તે વર્તુળાકાર આકાર ધારણ કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
કારણ પણ સાચું છે. વિદ્યુતચુંબકત્વનો આ એક મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે કે વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતા સમાંતર પ્રવાહો એકબીજા પર અપાકર્ષણ બળ લગાડે છે.
તારના ભાગો વચ્ચેનું અપાકર્ષણ બળ એ ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળમાં વધારાનું સીધું કારણ હોવાથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(D) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ તે સપાટી દ્વારા વિદ્યુતભારના સ્થાન પર આંતરાતા ઘનકોણ (solid angle) પર આધાર રાખે છે.
$b$ બાજુવાળા ચોરસ માટે,જેના કેન્દ્રથી $d = h/4$ ઊંચાઈ પર $q$ વિદ્યુતભાર છે,ચોરસ દ્વારા આંતરાતો ઘનકોણ $\Omega = 4 \arcsin \left( \frac{b^2}{b^2 + 4d^2} \right)$ છે.
ફ્લક્સ $\phi = \frac{q \Omega}{4\pi \epsilon_0}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં ઘનકોણ $\Omega$ એ બાજુની લંબાઈ $b$ અને ઊંચાઈ $d$ ના ગુણોત્તર પર આધાર રાખે છે,તેથી ફ્લક્સ બાજુની લંબાઈ $b$ પર આધાર રાખે છે. આમ,$Assertion$ ખોટું છે.
ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $q_{enclosed} / \epsilon_0$ છે,જે ગૌસિયન સપાટીના આકાર કે કદથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,$Reason$ સાચું છે.
આથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.