AIIMS 2011 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ટોર્ક $( \tau)$ ને બળ અને પરિભ્રમણની ધરીથી લંબ અંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$ \tau = \text{બળ} \times \text{અંતર}$.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2}]$ છે.
અંતરનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
તેથી,ટોર્કનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2}] \times [L] = [M L^2 T^{-2}]$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વિષુવવૃત્ત પરની વસ્તુ વજનરહિત જણાય તે માટે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
વિષુવવૃત્ત પર અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = g - R\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વજનરહિતતા માટે,$g' = 0$,જેનો અર્થ છે કે $g = R\omega^2$.
તેથી,કોણીય ઝડપ $\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$ થાય.
અહીં $g = 10\,m/s^2$ અને $R = 6400\,km = 6.4 \times 10^6\,m$ આપેલ છે.
$\omega = \sqrt{\frac{10}{6.4 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{0.64 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{64 \times 10^4}} = \frac{1}{8 \times 10^2} = \frac{1}{800} = 0.00125\,rad/s$.
આમ,$\omega = 1.25 \times 10^{-3}\,rad/s$.

(A) સાબુના પરપોટાને બે મુક્ત સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. તેથી,$r$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો બનાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = 2 \times (4\pi r^2 T) = 8\pi r^2 T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $r = 0.2\, m$ અને $T = 0.06\, N/m$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 8 \times \pi \times (0.2)^2 \times 0.06$.
$W = 8 \times \pi \times 0.04 \times 0.06$.
$W = 8 \times \pi \times 0.0024$.
$W = 0.0192\pi\,J$.
$W = 192\pi \times 10^{-4}\,J$.

(A) $r.m.s.$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં $v_{rms}$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$T \propto M$ મળે.
તેથી,$\frac{T_{N_2}}{T_{O_2}} = \frac{M_{N_2}}{M_{O_2}}$.
આપેલ છે કે $T_{O_2} = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \ K$.
$N_2$ નું આણ્વીય દળ $M_{N_2} = 28 \ g/mol$ અને $O_2$ માટે $M_{O_2} = 32 \ g/mol$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_{N_2}}{400} = \frac{28}{32}$.
$T_{N_2} = 400 \times \frac{28}{32} = 350 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_{N_2} = 350 - 273 = 77^{\circ}C$.

(C) $1$. પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(dV/dx)$ ના પરિમાણો $[M L T^{-3} A^{-1}]$ છે,અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E = F/q)$ ના પરિમાણો પણ $[M L T^{-3} A^{-1}]$ છે.
$2$. ટોર્ક $(\tau = r \times F)$ અને ગતિ ઉર્જા $(K = 1/2 mv^2)$ બંનેના પરિમાણો $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
$3$. પ્રકાશ વર્ષ એ અંતરનો એકમ છે જેના પરિમાણો $[L]$ છે,જ્યારે સમયગાળો એ સમયનો એકમ છે જેના પરિમાણો $[T]$ છે. કારણ કે $[L] \neq [T]$,આ જોડીના પરિમાણો સમાન નથી.
$4$. ઈમ્પીડન્સ $(Z)$ અને રિએક્ટન્સ $(X)$ બંનેના પરિમાણો અવરોધના પરિમાણો $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ જેટલા જ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ઊંચાઈ માટે ગતિનું સમીકરણ $y(t) = ut - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
આલેખ પરથી,દડો $t_1 = 1\,s$ અને $t_4 = 6\,s$ સમયે સમાન ઊંચાઈ પર છે. કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = t_1 + t_4 = 1 + 6 = 7\,s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટેનો સમય $t_{max} = \frac{T}{2} = 3.5\,s$ છે.
$t_{max} = 3.5\,s$ સમયે,વેગ શૂન્ય થાય છે,તેથી $u = gt_{max} = 7.5 \times 3.5 = 26.25\,m/s$.
$t = 2\,s$ સમયે ઊંચાઈ $y(2) = u(2) - \frac{1}{2}g(2)^2 = 26.25(2) - 0.5(7.5)(4) = 52.5 - 15 = 37.5\,m$ છે.
$t = 1\,s$ સમયે ઊંચાઈ $y(1) = u(1) - \frac{1}{2}g(1)^2 = 26.25(1) - 0.5(7.5)(1) = 26.25 - 3.75 = 22.5\,m$ છે.
ઊંચાઈ $h$ એ $t = 2\,s$ અને $t = 1\,s$ સમયની ઊંચાઈ વચ્ચેનો તફાવત છે: $h = y(2) - y(1) = 37.5 - 22.5 = 15\,m$.

(B) વર્તુળાકાર ગતિમાં,વેગ સદિશ હંમેશા વર્તુળાકાર પથના સ્પર્શક દિશામાં હોય છે,જેને સ્પર્શકીય (transverse) દિશા પણ કહેવામાં આવે છે.
સમાન પ્રવેગી વર્તુળાકાર ગતિ માટે,કણ બે પ્રકારના પ્રવેગ અનુભવે છે:
$1$. ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $(a_r = v^2/r)$,જે વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
$2$. સ્પર્શકીય પ્રવેગ $(a_t = dv/dt)$,જે સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
આમ,બંને ત્રિજ્યાવર્તી અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ હાજર હોવાથી,કુલ પ્રવેગ ત્રિજ્યાવર્તી અને સ્પર્શકીય બંને ઘટકો ધરાવે છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$
જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષેપણનો ખૂણો છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
જો પ્રારંભિક વેગ બમણો કરવામાં આવે,તો નવો વેગ $u' = 2u$ થાય.
નવી અવધિ $R'$ નીચે મુજબ મળે:
$R' = \frac{(2u)^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{4u^2 \sin(2\theta)}{g}$
$R' = 4 \times \left( \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} \right) = 4R$
તેથી,અવધિ મૂળ અવધિ કરતાં ચાર ગણી થાય છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H$,જ્યારે તેને પ્રારંભિક વેગ $u$ થી $\theta = 90^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે,ત્યારે તેનું સૂત્ર છે:
$H = \frac{u^2}{2g}$
આના પરથી,આપણે પ્રારંભિક વેગના વર્ગને આ રીતે લખી શકીએ:
$u^2 = 2gH$
મહત્તમ ક્ષૈતિજ અવધિ $R_{\max}$ માટે,પદાર્થને $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકવો જોઈએ. મહત્તમ ક્ષૈતિજ અવધિનું સૂત્ર છે:
$R_{\max} = \frac{u^2}{g}$
ઊંચાઈના સમીકરણમાંથી $u^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$R_{\max} = \frac{2gH}{g} = 2H$
તેથી,મહત્તમ ક્ષૈતિજ અંતર $2H$ છે.

(D) $1$. કેન્દ્રગામી બળ એ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા પદાર્થ પર લાગતું વાસ્તવિક બળ છે,જે વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે. તે વેગની દિશા બદલવા માટે જરૂરી છે.
$2$. કેન્દ્રત્યાગી બળ એ આભાસી બળ (pseudo force) છે જે અજડત્વીય (ભ્રમણ કરતા) સંદર્ભ ફ્રેમમાં પદાર્થ પર લાગતું જણાય છે. તે કેન્દ્રથી દૂરની દિશામાં લાગે છે.
$3$. આ બળો અલગ-અલગ સંદર્ભ ફ્રેમમાં લાગતા હોવાથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરી શકતા નથી. તેથી,$Assertion$ ખોટું છે.
$4$. $Newton$ ના ત્રીજા નિયમના સંદર્ભમાં કેન્દ્રત્યાગી બળ એ કેન્દ્રગામી બળની પ્રતિક્રિયા નથી. $Newton$ નો ત્રીજો નિયમ અલગ-અલગ પદાર્થો પર લાગતા સમાન પ્રકારના બળોને લાગુ પડે છે. કેન્દ્રગામી બળ વાસ્તવિક બળ છે,જ્યારે કેન્દ્રત્યાગી બળ આભાસી બળ છે. તેથી,$Reason$ પણ ખોટું છે.
$5$. આમ,$Assertion$ અને $Reason$ બંને ખોટા છે.

(A) માળી પર પાણી દ્વારા લાગતું બળ વેગમાનના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે,$F = \frac{dp}{dt} = v \frac{dm}{dt}$.
શરૂઆતમાં,બળ $F_1 = \frac{dm}{dt} \cdot v_1 = 4 \times 2 = 8\, N$ છે.
જ્યારે ઝડપ વધીને $3\, ms^{-1}$ થાય છે,ત્યારે નવું બળ $F_2 = \frac{dm}{dt} \cdot v_2 = 4 \times 3 = 12\, N$ થાય છે.
માળી દ્વારા અનુભવાતો બળનો ફેરફાર (આંચકો) $\Delta F = F_2 - F_1 = 12 - 8 = 4\, N$ છે.
પાણી હોઝપાઈપને પાછળની તરફ ધકેલે છે,તેથી વેગમાનમાં વધારો થવાને કારણે વધારાના પાછળના બળની જરૂર પડે છે,તેથી માળીને પાછળની દિશામાં $4\, N$ નો આંચકો અનુભવાય છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 150\, g = 0.150\, kg$. પ્રારંભિક વેગ $v_i = -40\, m/s$ (બેટની દિશાને ધન લેતા). અંતિમ વેગ $v_f = 60\, m/s$. સંપર્ક સમય $\Delta t = 5\, ms = 5 \times 10^{-3}\, s$.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta p = m(v_f - v_i) = 0.150 \times (60 - (-40)) = 0.150 \times 100 = 15\, kg \cdot m/s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ સરેરાશ બળ $F$:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{15}{5 \times 10^{-3}} = 3 \times 10^3\, N = 3000\, N$.

(A) બળ $\vec{F}$ એ સ્થિતિઊર્જા $U$ ના ઋણ ગ્રેડિયન્ટ સાથે સંબંધિત છે: $\vec{F} = -\nabla U = -\left( \frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k} \right)$.
આપેલ છે કે $U = \frac{1}{2}(x^2 - z^2)$,આપણે આંશિક વિકલન કરીએ:
$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}z^2 \right) = -\frac{1}{2}(2x) = -x$.
$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = 0$ (કારણ કે અહીં $y$ પર કોઈ આધાર નથી).
$F_z = -\frac{\partial U}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}z^2 \right) = -\frac{1}{2}(-2z) = z$.
આમ,બળ સદિશ $\vec{F} = F_x\hat{i} + F_y\hat{j} + F_z\hat{k} = -x\hat{i} + z\hat{k}$ થશે.

(A) બે સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થોની અથડામણ દરમિયાન,પદાર્થોમાં વિરૂપણ (deformation) થાય છે.
જેમ પદાર્થો વિરૂપ થાય છે,તેમ કણો વચ્ચેનું આંતરઆણ્વિય અંતર ઘટે છે,જેના પરિણામે તંત્રની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રની કુલ ઊર્જા અચળ રહેવી જોઈએ.
અથડામણના વિરૂપણના તબક્કા દરમિયાન સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા વધતી હોવાથી,આ ફેરફારને સરભર કરવા માટે તંત્રની ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ ઘટવી જોઈએ.
તેથી,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે,અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(A) ગબડતા નળાકારનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ નળાકાર ઢાળ પર નીચે ગબડે છે,તેમ તેનો રેખીય વેગ $v$ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો કોણીય વેગ $\omega$ પણ વધે છે. $L = I\omega$ હોવાથી અને નળાકારની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ અચળ રહેતી હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય વધે છે. જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવતી કોણીય વેગમાન સદિશની દિશા નળાકારની પરિભ્રમણ અક્ષની દિશામાં હોય છે. જેમ નળાકાર ઢાળ પર નીચે ગબડે છે,તેમ તેની પરિભ્રમણ અક્ષનું અભિવિન્યાસ અચળ રહે છે. તેથી,કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય બદલાય છે,પરંતુ તેની દિશા સમાન રહે છે.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $F_{\text{ext}} = M a_{CM}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ચોખ્ખું બાહ્ય બળ $F_{\text{ext}} = 0$ હોય,તો $a_{CM} = 0$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{CM}$ અચળ રહે છે. જો તંત્ર શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,તો તે સ્થિર રહેશે. જો તે ગતિમાં હોય,તો તે અચળ વેગથી ગતિ ચાલુ રાખશે. આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કોઈ પણ દિશામાં ગતિ કરશે નહીં તે વિધાન માત્ર ત્યારે જ સાચું છે જો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોય.
$Reason$ જણાવે છે કે જો ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો રેખીય વેગમાન બદલાય છે. આ ખોટું છે કારણ કે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ $\frac{dP}{dt} = F_{\text{ext}}$. જો $F_{\text{ext}} = 0$ હોય,તો $\frac{dP}{dt} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે રેખીય વેગમાન $P$ સંરક્ષિત (અચળ) રહે છે,બદલાતું નથી.
તેથી,$Assertion$ સાચું છે (સ્થિર તંત્રના સંદર્ભમાં) પરંતુ $Reason$ સ્પષ્ટપણે ખોટું છે.

(C) મુક્ત પતન દરમિયાન,પદાર્થનું અસરકારક વજન શૂન્ય થઈ જાય છે. આનું કારણ એ છે કે પદાર્થ પર લાગતું લંબબળ શૂન્ય હોય છે,કારણ કે પદાર્થ અને સપાટી બંને સમાન દર $g$ થી નીચે તરફ પ્રવેગિત થાય છે. તેથી,પદાર્થ ભારહીનતા અનુભવે છે.
મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ પર લાગતો ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \ m/s^2$ છે,જે શૂન્ય નથી. તેથી,$Assertion$ સાચું છે,પરંતુ $Reason$ ખોટું છે.

(C) તે સાચું છે કે પડતા વરસાદના ટીપાં ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે. તેમની ગતિ દરમિયાન,ટીપાં વેગ પર આધારિત સ્નિગ્ધ બળ (વિસ્કસ ફોર્સ) અનુભવે છે જે વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. જેમ જેમ વેગ વધે છે તેમ આ બળ વધે છે. અંતે,આ સ્નિગ્ધ બળ અને ઉત્પ્લાવક બળ મળીને ટીપાં પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) ને સંતુલિત કરે છે. જ્યારે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થાય છે,ત્યારે પ્રવેગ શૂન્ય થાય છે અને ટીપું અચળ વેગથી નીચે પડે છે જેને ટર્મિનલ વેગ કહેવામાં આવે છે. $Reason$ વિધાન ખોટું છે કારણ કે તે દાવો કરે છે કે ગતિની દિશામાં અચળ બળ જરૂરી છે; જોકે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અચળ છે,પરંતુ ટર્મિનલ વેગ માટેની શરત એ બળોનું સંતુલન છે,માત્ર આ ચોક્કસ બળોની હાજરી નથી.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $W_{by} = \int_{V_i}^{V_f} P \, dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $PV = nRT$ હોવાથી,$P = nRT/V$ થાય.
આનું સંકલન કરતા,$W_{by} = nRT \int_{V_i}^{V_f} \frac{1}{V} dV = nRT \ln(V_f/V_i)$ મળે.
બોઈલના નિયમ મુજબ,$P_i V_i = P_f V_f$,તેથી $V_f/V_i = P_i/P_f$.
આમ,$W_{by} = nRT \ln(P_i/P_f) = -nRT \ln(P_f/P_i)$.
વાયુ પર થયેલ કાર્ય એ વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્યનું ઋણ મૂલ્ય છે: $W_{on} = -W_{by} = -nRT \ln(V_f/V_i) = nRT \ln(P_f/P_i)$.

(A) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ સૂત્ર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2} R$ છે.
આપેલ છે: $n = 2\, mol$,$\Delta T = 10\, K$ (કારણ કે $10\,^{\circ}C$ નો ફેરફાર એ $10\, K$ ના ફેરફારને સમાન છે),અને $R = 8.31\, J/mol\cdot K$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta U = 2 \times \left( \frac{3}{2} \times 8.31 \right) \times 10$
$\Delta U = 3 \times 8.31 \times 10$
$\Delta U = 24.93 \times 10 = 249.3\, J$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આંતરિક ઊર્જામાં થતો આશરે ફેરફાર $250\, J$ છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બધા વાયુઓ માટે $\gamma > 1$ હોવાથી, $T \propto V^{-(\gamma-1)}$ થાય.
એડિબેટિક વિસ્તરણમાં, કદ $V$ વધે છે, જેનો અર્થ છે કે તાપમાન $T$ ઘટવું જોઈએ. આમ, વિધાન સાચું છે.
જોકે, કારણ જણાવે છે કે કદ તાપમાનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(V \propto 1/T)$, જે ખોટું છે. સાચો સંબંધ $T \propto V^{-(\gamma-1)}$ છે.
તેથી, વિધાન સાચું છે પણ કારણ ખોટું છે.

(B) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ $x(t) = x_m \cos(\omega t + \phi)$ છે.
$t = 0$ સમયે,$x = -x_m$,તેથી $-x_m = x_m \cos(\phi)$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\phi) = -1$,તેથી $\phi = \pi$.
સમીકરણ $x(t) = x_m \cos(\omega t + \pi) = -x_m \cos(\omega t)$ બને છે.
આપણે $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યારે $x = +x_m$ હોય.
તેથી,$x_m = -x_m \cos(\omega t)$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\omega t) = -1$.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\omega t = \pi$ (પ્રથમ વખત).
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $\frac{2\pi}{T} \cdot t = \pi$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \frac{T}{2} = 0.50\, T$ મળે છે.

(A) સ્થિત તરંગ માટે આપેલ સમીકરણ $y = a \sin bx \sin \omega t$ છે.
સ્થિત તરંગના પ્રમાણિત સમીકરણ $y = R \sin \left( \frac{2 \pi x}{\lambda} \right) \sin \omega t$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2 \pi}{\lambda} = b$
આથી,તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબ મળે:
$\lambda = \frac{2 \pi}{b}$
સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈના અડધા જેટલું હોય છે,એટલે કે $\frac{\lambda}{2}$.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
અંતર $= \frac{\lambda}{2} = \frac{2 \pi / b}{2} = \frac{\pi}{b}$.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T \propto r^{3/2}$.
કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે,જે $r = R_{E} + h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ સપાટીથી ઊંચાઈ છે.
પ્રથમ ઉપગ્રહ માટે: $r_1 = R_{E} + 6 R_{E} = 7 R_{E}$ અને $T_1 = 24 \; h$.
બીજા ઉપગ્રહ માટે: $r_2 = R_{E} + 2.5 R_{E} = 3.5 R_{E}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2} = \left( \frac{3.5 R_{E}}{7 R_{E}} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$.
તેથી,$T_2 = T_1 \times \frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{24}{2 \sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6 \sqrt{2} \; h$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M B_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{B_H}}$,અથવા $B_H \propto \frac{1}{T^2}$.
પ્રથમ સ્થળે,આવૃત્તિ $40 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ છે,તેથી આવર્તકાળ $T_1 = \frac{60}{40} = 1.5 \,s$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_H)_1 = 0.1 \times 10^{-5} \,T = 10^{-6} \,T$ છે.
બીજા સ્થળે,આવર્તકાળ $T_2 = 2.5 \,s$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{(B_H)_2}{(B_H)_1} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(B_H)_2 = (B_H)_1 \times \left( \frac{1.5}{2.5} \right)^2$
$(B_H)_2 = 10^{-6} \times \left( \frac{3}{5} \right)^2 = 10^{-6} \times \frac{9}{25} = 10^{-6} \times 0.36 = 0.36 \times 10^{-6} \,T$.

(A) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E$ એ અંદર રહેલા વિદ્યુતભાર $q_{enc}$ સાથે $\Phi_E = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પરિસ્થિતિ $1$ માટે:
કુલ બહાર જતું ફ્લક્સ = $6$ એકમ.
કુલ અંદર આવતું ફ્લક્સ = $2 + 7 + 15 + 8 = 32$ એકમ.
કુલ ફ્લક્સ $\Phi_{E1} = \text{બહાર} - \text{અંદર} = 6 - 32 = -26$ એકમ.
કુલ ફ્લક્સ ઋણ હોવાથી,અંદરનો વિદ્યુતભાર ઋણ છે.
પરિસ્થિતિ $2$ માટે:
કુલ બહાર જતું ફ્લક્સ = $9$ એકમ.
કુલ અંદર આવતું ફ્લક્સ = $7 + 6 + 5 + 3 + 2 = 23$ એકમ.
કુલ ફ્લક્સ $\Phi_{E2} = \text{બહાર} - \text{અંદર} = 9 - 23 = -14$ એકમ.
કુલ ફ્લક્સ ઋણ હોવાથી,અંદરનો વિદ્યુતભાર ઋણ છે.

(A) ધારો કે $+q$ વિદ્યુતભારથી જે અંતરે સ્થિતિમાન શૂન્ય છે તે અંતર $x$ (મીટરમાં) છે.
આ બિંદુએ કુલ સ્થિતિમાન $V$ એ બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{x} + \frac{-3q}{1-x} \right) = 0$
અહીં $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \neq 0$ હોવાથી:
$\frac{q}{x} - \frac{3q}{1-x} = 0$
$\frac{1}{x} = \frac{3}{1-x}$
$1 - x = 3x$
$1 = 4x$
$x = \frac{1}{4} \, m = 0.25 \, m = 25 \, cm$.
આમ,જરૂરી અંતર $25 \, cm$ છે.

(C) વિધાન સાચું છે કારણ કે જો બે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો એકબીજાને છેદે,તો છેદબિંદુ પાસે વિદ્યુત સ્થિતિમાનના બે અલગ-અલગ મૂલ્યો મળે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
કારણ ખોટું છે કારણ કે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો હંમેશા એકબીજાને સમાંતર હોવા જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો કેન્દ્રીય ગોળાઓ હોય છે,અને રેખીય વિદ્યુતભાર માટે તે સમઅક્ષીય નળાકારો હોય છે. વિદ્યુતભારના વિતરણના આધારે તેનો આકાર ગમે તે હોઈ શકે છે.

(D) ધારો કે $0\,^oC$ તાપમાને બંને અવરોધોનું મૂલ્ય $R_0$ છે.
$t$ તાપમાને,અવરોધો $R_1 = R_0(1 + \alpha_1 t)$ અને $R_2 = R_0(1 + \alpha_2 t)$ થશે.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2$ થાય.
$R_{eq} = R_0(1 + \alpha_1 t) + R_0(1 + \alpha_2 t) = 2R_0 + R_0(\alpha_1 + \alpha_2)t$.
$R_{eq} = 2R_0 \left( 1 + \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} t \right)$.
$0\,^oC$ તાપમાને સમતુલ્ય અવરોધ $R'_{0} = 2R_0$ હોવાથી,$R_{eq} = R'_{0}(1 + \alpha_{eq} t)$ લખી શકાય.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,સમતુલ્ય તાપમાન ગુણાંક $\alpha_{eq} = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$ મળે છે.

(B) $V$ વોલ્ટેજ ધરાવતી બેટરી દ્વારા $R$ સમતુલ્ય અવરોધ ધરાવતી સર્કિટને આપવામાં આવતો પાવર $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{V^2}{R}$.
$R$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $R = \frac{V^2}{P}$.
આપેલ કિંમતો $V = 100\,V$ અને $P = 40\,W$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $R = \frac{100^2}{40} = \frac{10000}{40} = 250\,\Omega$.
તેથી,સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ $250\,\Omega$ છે.

(C) આપેલ છે:
$B = 2 \times 10^{-3} \, Wb/m^2$
$E = 1.0 \times 10^4 \, V/m$
ઇલેક્ટ્રોનનો માર્ગ વિચલિત થતો ન હોવાથી,વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સમાન હોવા જોઈએ:
$qE = qvB \Rightarrow v = \frac{E}{B}$
$v = \frac{1.0 \times 10^4}{2 \times 10^{-3}} = 0.5 \times 10^7 = 5 \times 10^6 \, m/s$
જો વિદ્યુત ક્ષેત્ર દૂર કરવામાં આવે,તો ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય બળને કારણે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરશે જે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{mv^2}{r} = qvB \Rightarrow r = \frac{mv}{qB}$
$m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$ અને $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ લેતા:
$r = \frac{9.1 \times 10^{-31} \times 5 \times 10^6}{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-3}}$
$r = \frac{45.5 \times 10^{-25}}{3.2 \times 10^{-22}} = 14.218 \times 10^{-3} \, m \approx 1.43 \, cm$
આમ,ઝડપ $5 \times 10^6 \, m/s$ અને ત્રિજ્યા $1.43 \, cm$ છે.

(A) વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવતો હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{v} = 0$ છે.
તેથી,પ્રારંભિક ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ થાય છે.
વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ કણ પર લાગે છે,જે તેને વિદ્યુત ક્ષેત્રની દિશામાં પ્રવેગિત કરે છે.
જેમ જેમ કણ વેગ $\vec{v}$ પ્રાપ્ત કરે છે,તેમ તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર રહે છે કારણ કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર એકબીજાને સમાંતર છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને વેગ સમાંતર હોવાથી,$\vec{v} \parallel \vec{B}$,તેથી તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ હંમેશા શૂન્ય રહે છે.
આમ,સમગ્ર ગતિ દરમિયાન ચુંબકીય બળ શૂન્ય રહે છે.
કણ માત્ર વિદ્યુત બળનો અનુભવ કરે છે,જેના કારણે તે વિદ્યુત ક્ષેત્રની દિશામાં સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહની ગેરહાજરીમાં,વાહકમાં રહેલા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન વાયુના અણુઓની જેમ યાદચ્છિક ગતિમાં હોય છે.
તેમનો સરેરાશ વેગ શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની પાસે કોઈ ચોક્કસ દિશામાં ચોખ્ખો (net) વેગ હોતો નથી.
પરિણામે,ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ ચોખ્ખું ચુંબકીય બળ લાગતું નથી.
જ્યારે પ્રવાહ પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન એક ચોક્કસ દિશામાં ડ્રિફ્ટ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે,અને પરિણામે,તેમના પર ચુંબકીય બળ લાગે છે (જો ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઘટક પ્રવાહની દિશાને લંબ હોય તો).

(A) ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી પેરામેગ્નેટિક પદાર્થોની જેમ તાપમાન સાથે સરળ રેખીય સંબંધ ધરાવતી નથી.
તેના બદલે,તાપમાન વધવાની સાથે તે જટિલ રીતે ઘટે છે.
ક્યુરીનો નિયમ જણાવે છે કે સસેપ્ટિબિલિટી $\chi \propto 1/T$ છે.
ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો આ નિયમનું પાલન ત્યારે જ કરવાનું શરૂ કરે છે જ્યારે તેમને તેમના ક્યુરી તાપમાન $(T_C)$ થી ઉપર ગરમ કરવામાં આવે છે,જ્યાં તેઓ પેરામેગ્નેટિક અવસ્થામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,વિધાન કે તેઓ ક્યુરીના નિયમનું પાલન કરતા નથી (તેમની ફેરોમેગ્નેટિક અવસ્થામાં) તે સાચું છે,અને કારણ ક્યુરી પોઈન્ટ પર થતા ફેરફારને સમજાવે છે.

(A) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ સર્કિટમાં વહેતા પ્રવાહ $I$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $\phi = LI$,જ્યાં $L$ એ આત્મ-પ્રેરકત્વ છે.
પ્રથમ,આપણે આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ શોધીએ:
$L = \frac{\phi_1}{I_1} = \frac{0.8\,Wb}{2.0\,A} = 0.4\,H$.
હવે,જ્યારે પ્રવાહ $I_2 = 1.5\,A$ હોય ત્યારે ફ્લક્સ $\phi_2$ ની ગણતરી કરીએ:
$\phi_2 = L \times I_2 = 0.4\,H \times 1.5\,A = 0.6\,Wb$.
ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2 = 0.8\,Wb - 0.6\,Wb = 0.2\,Wb$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ ઉદ્ભવતું $emf$ $|e| = \frac{|\Delta \phi|}{\Delta t}$ છે.
$|e| = \frac{0.2\,Wb}{0.1\,s} = 2.0\,V$.

(A) વિધાન લેન્ઝના નિયમનું વર્ણન કરે છે,જે જણાવે છે કે પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
લેન્ઝનો નિયમ એ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે. જો પ્રેરિત પ્રવાહ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારને મદદ કરતો હોત,તો તે ઉર્જામાં અનંત વધારો તરફ દોરી જાત,જે ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન છે.
તેથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $V = V_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $i = i_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ છે.
અહીં,$V_0 = 200 \text{ V}$,$i_0 = 50 \text{ mA} = 50 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.05 \text{ A}$ છે.
ફેઝ તફાવત $\phi = \phi_1 - \phi_2 = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$ છે.
સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \frac{i_0}{\sqrt{2}} \cos \phi = \frac{V_0 i_0}{2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{200 \times 0.05}{2} \cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{10}{2} \times \frac{1}{2} = 5 \times 0.5 = 2.5 \text{ W}$.

(C) લાગુ કરેલ વોલ્ટેજ $V_c$ નો કંપનવિસ્તાર $A.C.$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિથી સ્વતંત્ર છે,તેથી તે સમાન રહે છે.
કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_c = \frac{1}{2\pi f C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ આવૃત્તિ $f$ ઘટે છે,તેમ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_c$ વધે છે.
પ્રવાહનો કંપનવિસ્તાર $I_c = \frac{V_c}{X_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $V_c$ અચળ છે અને $X_c$ વધે છે,તેથી પ્રવાહ $I_c$ નો કંપનવિસ્તાર ઘટશે.

(C) કોઈલનું ઇન્ડક્ટન્સ $L$ એ આંટાઓની સંખ્યા $N$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં અને કોઈલની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. જ્યારે કોઈલને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગમાં આંટાઓની સંખ્યા $N/2$ થાય છે અને લંબાઈ $l/2$ થાય છે.
$L \propto N^2/l$ હોવાથી,દરેક ભાગ માટે નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L' = \frac{(N/2)^2}{l/2} = \frac{N^2/4}{l/2} = \frac{1}{2} \frac{N^2}{l} = L/2$ થશે.
જ્યારે બે ઇન્ડક્ટર $L_1$ અને $L_2$ ને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$ છે.
અહીં,$L_1 = L_2 = L/2$ છે.
તેથી,$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L/2} + \frac{1}{L/2} = \frac{2}{L} + \frac{2}{L} = \frac{4}{L}$.
આમ,$L_{eq} = L/4$ મળે છે.

(A) ટ્રાન્સમિશન લાઇન દ્વારા ટ્રાન્સમિટ થતો પાવર $P = VI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $I$ એ પ્રવાહ છે.
અવરોધ $R$ ને કારણે ટ્રાન્સમિશન લાઇનમાં થતો પાવર વ્યય $P_{\text{loss}} = I^2R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = \frac{P}{V}$ મૂકતા, આપણને $P_{\text{loss}} = (\frac{P}{V})^2 R = \frac{P^2 R}{V^2}$ મળે છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $P_{\text{loss}} \propto \frac{1}{V^2}$.
તેથી, વોલ્ટેજ $V$ વધારીને, પાવર વ્યય $P_{\text{loss}}$ નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકાય છે.
આમ, વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે, અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ નું સૂત્ર $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે.
ડાયરેક્ટ કરંટ $(DC)$ માટે,આવૃત્તિ $f$ નું મૂલ્ય $0$ હોય છે.
સૂત્રમાં $f = 0$ મૂકતા,આપણને $X_{C} = \frac{1}{2 \pi (0) C} = \infty$ મળે છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $DC$ માટે અનંત હોવાથી,કેપેસિટર ડાયરેક્ટ કરંટના પ્રવાહને અનંત અવરોધ આપે છે,જે તેને સ્થાયી અવસ્થામાં બ્લોક કરે છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટેનું આપેલ સમીકરણ $B_y = B_m \sin(kz - \omega t)$ છે.
તરંગ સમીકરણ $f(kz - \omega t)$ માં,$(kz - \omega t)$ પદ દર્શાવે છે કે તરંગ ધન $z-$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો પ્રકૃતિમાં લંબગત હોય છે,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને પ્રસરણની દિશા $\vec{k}$ પરસ્પર લંબ હોય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y-$ અક્ષ પર દોલન કરે છે અને તરંગ $z-$ અક્ષ પર પ્રસરણ પામે છે,તેથી વિદ્યુત ક્ષેત્ર $x-$ અક્ષ પર દોલન કરવું જોઈએ (કારણ કે $\vec{E} \propto \vec{B} \times \vec{k}$).
તેથી,તરંગના પ્રસરણની દિશા $+z-$ અક્ષ છે અને વિદ્યુત સદિશ $x-$ અક્ષ પર દોલન કરે છે.

(A) વિચલન વગરના વિભાજન માટે,સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
વિચલન વગરના વિભાજન માટેની શરત $\delta_1 + \delta_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન $\delta = (\mu - 1)A$ છે.
તેથી,$(\mu_1 - 1)A_1 + (\mu_2 - 1)A_2 = 0$.
અહીં $A_1 = 6^{\circ}$,$\mu_1 = 1.54$,અને $\mu_2 = 1.72$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(1.54 - 1) \times 6^{\circ} + (1.72 - 1) \times A_2 = 0$.
$0.54 \times 6^{\circ} + 0.72 \times A_2 = 0$.
$3.24^{\circ} + 0.72 \times A_2 = 0$.
$A_2 = -\frac{3.24}{0.72} = -4.5^{\circ}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રિઝમ $P_2$ ને $P_1$ ની સાપેક્ષ ઉલટો રાખવો જોઈએ. ખૂણાનું મૂલ્ય $4.5^{\circ}$ છે,જે $4^{\circ} 30^{\prime}$ થાય છે.

(A) પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta = i + e - A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ વિચલન $\delta$ (જ્યાં $\delta > \delta_{min}$) માટે,આપાતકોણ $i$ અને નિર્ગમન કોણ $e$ ના બે શક્ય મૂલ્યો હોય છે,જેથી $i_1 = e_2$ અને $i_2 = e_1$ થાય. આ પ્રકાશની પ્રતિવર્તીતાના સિદ્ધાંતનું સીધું પરિણામ છે,જે જણાવે છે કે જો પ્રકાશના કિરણનો માર્ગ ઉલટાવવામાં આવે,તો તે તેના મૂળ માર્ગ પર પાછું ફરે છે. આમ,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(B) લાયમન શ્રેણી ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તરોમાંથી ધરા સ્થિતિ $(n_f = 1)$ માં થતા સંક્રમણોને અનુરૂપ છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌથી ઓછી ઊર્જા ધરાવતો ફોટોન સૌથી ઓછા ઊર્જા તફાવતને અનુરૂપ છે,જે પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 2)$ થી ધરા સ્થિતિ $(n_f = 1)$ માં થતા સંક્રમણ માટે જોવા મળે છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
આમ,$\lambda = \frac{4}{3R}$.
$R \approx 1.097 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$ લેતા,$\lambda = \frac{4}{3 \times 1.097 \times 10^7} \approx 1.216 \times 10^{-7} \text{ m} = 121.6 \text{ nm}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $122 \text{ nm}$ મળે છે.

(A) રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,ધરા સ્થિતિ $n_{1} = 1$ છે.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ (સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ) માટે,$n_{2} = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = R \implies \lambda_{min} = \frac{1}{R}$.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ (સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ) માટે,$n_{2} = 2$:
$\frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{max} = \frac{4}{3R}$.
ન્યૂનતમ અને મહત્તમ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{min}}{\lambda_{max}} = \frac{1/R}{4/3R} = \frac{3}{4}$ છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ લાયમન શ્રેણીના સંક્રમણોની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(D) પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ ${}^{231}Ac_{89}$ છે.
ઉત્સર્જિત $\alpha$ કણોની કુલ સંખ્યા = $4 + 1 = 5$.
ઉત્સર્જિત $\beta^-$ કણોની કુલ સંખ્યા = $2 + 1 = 3$.
દરેક $\alpha$ ક્ષય દળ ક્રમાંક $A$ માં $4$ નો ઘટાડો કરે છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $2$ નો ઘટાડો કરે છે.
દરેક $\beta^-$ ક્ષય દળ ક્રમાંક $A$ માં કોઈ ફેરફાર કરતું નથી અને પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $1$ નો વધારો કરે છે.
અંતિમ દળ ક્રમાંક $A' = 231 - (5 \times 4) = 231 - 20 = 211$.
અંતિમ પરમાણુ ક્રમાંક $Z' = 89 - (5 \times 2) + (3 \times 1) = 89 - 10 + 3 = 82$.
પરમાણુ ક્રમાંક $82$ ધરાવતું તત્વ લેડ $(Pb)$ છે.
તેથી,પરિણામી આઇસોટોપ ${}^{211}Pb_{82}$ છે.

(D) $p-n$ જંકશનના નિર્માણ દરમિયાન,$p-$વિસ્તારમાંથી હોલ્સ $n-$વિસ્તારમાં અને $n-$વિસ્તારમાંથી ઇલેક્ટ્રોન $p-$વિસ્તારમાં પ્રસરણ પામે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન હોલ સાથે મળે છે,ત્યારે તેઓ એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરે છે,જેના પરિણામે જંકશન પર એક પાતળું સ્તર બને છે જે મુક્ત વીજભાર વાહકોથી મુક્ત હોય છે. આને ડેપ્લેશન લેયર કહેવામાં આવે છે.
પ્રસરણ પ્રક્રિયાને કારણે,અચલ આયનીકૃત પરમાણુઓ બાકી રહે છે: $p-$બાજુ પર ઋણ આયનો અને $n-$બાજુ પર ધન આયનો.
આ અચલ વીજભારોનું સંચય જંકશન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર અને પોટેન્શિયલ તફાવત બનાવે છે,જેને પોટેન્શિયલ બેરિયર કહેવામાં આવે છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે $NAND$ ગેટ છે.
ધારો કે પ્રથમ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $X = \overline{A \cdot B}$ છે.
આ આઉટપુટ $X$ બીજા $NAND$ ગેટ માટે ઇનપુટ તરીકે કાર્ય કરે છે. બીજા $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટ $X$ સાથે જોડાયેલા હોવાથી, તેનું આઉટપુટ $Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X}$ દ્વારા મળે છે.
$X$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$ મળે છે.
$Y = A \cdot B$ સમીકરણ $AND$ ગેટનું લોજિક ફંક્શન દર્શાવે છે.
તેથી, આપેલ સર્કિટ $AND$ ગેટનું કાર્ય કરે છે.

(A) $NAND$ અને $NOR$ ગેટને યુનિવર્સલ ગેટ અથવા ડિજિટલ બિલ્ડિંગ બ્લોક્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આનું કારણ એ છે કે કોઈપણ લોજિક ગેટ,જેમ કે $AND, OR, NOT, XOR,$ અથવા $XNOR$,ફક્ત $NAND$ ગેટ અથવા ફક્ત $NOR$ ગેટનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય છે.
વિધાન જણાવે છે કે તેઓ બિલ્ડિંગ બ્લોક્સ છે અને કારણ યોગ્ય રીતે સમજાવે છે કે તેઓ અન્ય તમામ મૂળભૂત અથવા જટિલ ગેટ બનાવી શકે છે,તેથી કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda_{R}$ એ જાંબલી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda_{V}$ કરતા વધારે છે (એટલે કે $\lambda_{R} > \lambda_{V}$).
કારણ કે $\beta$ એ $\lambda$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(\beta \propto \lambda)$,તેથી $\beta_{R} > \beta_{V}$ થાય.
જ્યારે પ્રકાશના સ્ત્રોતને લાલથી બદલીને જાંબલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે ફ્રિન્જની પહોળાઈ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે ક્રમિક ફ્રિન્જ રેખાઓ એકબીજાની નજીક આવશે.