AIIMS 2014 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) દોરીની લંબાઈ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે,$r = 1\,m$.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $n = \frac{\text{પરિભ્રમણની સંખ્યા}}{\text{સમય}} = \frac{22}{44} = 0.5\,Hz$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi n = 2\pi(0.5) = \pi\,rad/s$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \omega^2 r$.
કિંમતો મૂકતા,$a = (\pi)^2 \times 1 = \pi^2\,m/s^2$.
અચળ વર્તુળાકાર ગતિમાં,પ્રવેગ કેન્દ્રગામી હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેની દિશા હંમેશા ત્રિજ્યાની દિશામાં અને કેન્દ્ર તરફ હોય છે.

(A) $m$ દળ ધરાવતા ઉપગ્રહની પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$r = R_e + h$,જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઉપગ્રહની ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે કે $h = 6.4 \times 10^6 \ m$ અને $R_e \approx 6.4 \times 10^6 \ m$,તેથી $r = R_e + R_e = 2R_e$.
સંબંધ $g = \frac{GM}{R_e^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે $GM = gR_e^2$ લખી શકીએ.
આ કિંમતોને સ્થિતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = -\frac{(gR_e^2)m}{2R_e} = -\frac{1}{2}mgR_e = -0.5 \, mgR_e$.

(D) શરૂઆતમાં,બ્લોક સિક્કા સાથે તરે છે. તરવાના નિયમ મુજબ,બ્લોક અને સિક્કાનું કુલ વજન ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે,જે બ્લોકના ડૂબેલા ભાગ દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે. ધારો કે $M$ એ બ્લોકનું દળ છે અને $m$ એ સિક્કાનું દળ છે. કુલ વજન $(M+m)g$ છે. વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_{disp} = (M+m)/\rho_w$ છે,જ્યાં $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
જ્યારે સિક્કો પાણીમાં પડે છે,ત્યારે તે ડૂબી જાય છે (ધારી લઈએ કે તેની ઘનતા પાણી કરતા વધારે છે). હવે બ્લોકે માત્ર પોતાનું વજન $Mg$ જ ટેકવવાનું છે. બ્લોક દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું નવું કદ $V'_{disp} = M/\rho_w$ છે. કારણ કે $V'_{disp} < V_{disp}$,બ્લોકની ડૂબેલી ઊંડાઈ $l$ ઘટે છે.
$h$ ના સંદર્ભમાં,શરૂઆતમાં વિસ્થાપિત પાણીનું કુલ કદ $V_{disp} = (M+m)/\rho_w$ હતું. સિક્કો પડી ગયા પછી,બ્લોક $M/\rho_w$ કદનું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે અને સિક્કો તેના પોતાના કદ $V_c = m/\rho_c$ જેટલું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે. વિસ્થાપિત પાણીનું નવું કુલ કદ $V'_{total} = M/\rho_w + m/\rho_c$ છે. સિક્કાની ઘનતા $\rho_c > \rho_w$ હોવાથી,$m/\rho_c < m/\rho_w$ થાય છે. તેથી,$V'_{total} < V_{disp}$. જેમ વિસ્થાપિત પાણીનું કુલ કદ ઘટે છે,તેમ પાણીનું સ્તર $h$ પણ ઘટે છે. આમ,$l$ અને $h$ બંને ઘટે છે.

(A) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = \mu RT$ પરથી,આપણને $V = (\frac{\mu R}{P})T$ મળે છે.
$V-T$ આલેખનો ઢાળ $m = \tan \theta = \frac{V}{T} = \frac{\mu R}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે ઢાળ એ દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(m \propto \frac{1}{P})$,તેથી નાનો ઢાળ એ ઊંચા દબાણને અનુરૂપ છે.
આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $\theta_1 < \theta_2$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta_1 < \tan \theta_2$.
તેથી,$(\frac{V}{T})_1 < (\frac{V}{T})_2$.
જેમ કે $(\frac{V}{T}) \propto \frac{1}{P}$,તેથી $(\frac{1}{P})_1 < (\frac{1}{P})_2$,જે દર્શાવે છે કે $P_1 > P_2$.

(C) આંતરિક ઉર્જા $(U)$ એ અવસ્થા વિધેય (state function) છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું મૂલ્ય ફક્ત તંત્રની અવસ્થા (જે દબાણ,કદ અને તાપમાન જેવા ચલો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે) પર આધાર રાખે છે અને તે અવસ્થા સુધી પહોંચવા માટે અનુસરવામાં આવેલા માર્ગ પર આધાર રાખતું નથી.
કારણ કે બંને પ્રક્રિયાઓ $I$ અને $II$ એક જ પ્રારંભિક અવસ્થા $A$ થી શરૂ થાય છે અને એક જ અંતિમ અવસ્થા $B$ પર સમાપ્ત થાય છે,તેથી બંને પ્રક્રિયાઓ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,$\Delta U_I = \Delta U_{II}$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$R$ ત્રિજ્યા અને $T$ તાપમાન ધરાવતા ગોળાકાર પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P = \sigma (4\pi R^2) T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વી પર પ્રાપ્ત થતી વિકિરણ ઉર્જા $Q$ એ સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવરના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,$Q \propto R^2 T^4$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક ઉર્જા $Q_1 = k R^2 T^4$ છે અને અંતિમ ઉર્જા $Q_2 = k (2R)^2 (2T)^4$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને મળે છે $\frac{Q_2}{Q_1} = \left( \frac{2R}{R} \right)^2 \times \left( \frac{2T}{T} \right)^4$.
$\frac{Q_2}{Q_1} = (2)^2 \times (2)^4 = 4 \times 16 = 64$.
તેથી,પૃથ્વી પર પ્રાપ્ત થતી વિકિરણ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $64$ છે.

(D) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ પર લાગતા બળો તેનું વજન $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે અને હવાનો અવરોધ $F$ જે શિરોલંબ ઉપરની તરફ લાગે છે.
પરિણામી બળ $F_{net} = mg - F$ છે.
પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = g - \frac{F}{m}$ છે.
$M$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે,પ્રવેગ $a_M = g - \frac{F}{M}$ છે.
$m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે,પ્રવેગ $a_m = g - \frac{F}{m}$ છે.
$M > m$ હોવાથી,$\frac{F}{M} < \frac{F}{m}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $a_M > a_m$.
વધારે દળ $M$ ધરાવતો પદાર્થ વધુ પ્રવેગ ધરાવશે અને જમીન પર પહેલા પહોંચશે.
તેથી,$Assertion$ ખોટું છે કારણ કે તેઓ એકસાથે પહોંચતા નથી,અને $Reason$ પણ ખોટું છે કારણ કે પ્રવેગ સમાન નથી.

(D) મુક્ત પતન દરમિયાન,પદાર્થનું આભાસી વજન શૂન્ય થઈ જાય છે. આનું કારણ એ છે કે પદાર્થ અને જે સપાટી પર તે છે (અથવા સંદર્ભ ફ્રેમ) બંને $g$ જેટલા પ્રવેગથી નીચે તરફ ગતિ કરે છે. પદાર્થ પર લાગતું લંબબળ $N$ એ $N = m(g - a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મુક્ત પતનમાં $a = g$ હોવાથી,$N = m(g - g) = 0$ થાય છે. આમ,પદાર્થ ભારહીનતા અનુભવે છે.
જો કે,મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ પર લાગતો ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \; m/s^2$ છે,જે શૂન્ય નથી. તેથી,$Assertion$ સાચું છે,પરંતુ $Reason$ ખોટું છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે.
પ્રથમ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે: $\theta_1 = 60^\circ$. તેથી,$R_1 = \frac{u^2 \sin(2 \times 60^\circ)}{g} = \frac{u^2 \sin(120^\circ)}{g} = \frac{u^2 \sin(60^\circ)}{g} = \frac{u^2 \sqrt{3}}{2g}$.
બીજા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે: $\theta_2 = 30^\circ$. તેથી,$R_2 = \frac{u^2 \sin(2 \times 30^\circ)}{g} = \frac{u^2 \sin(60^\circ)}{g} = \frac{u^2 \sqrt{3}}{2g}$.
કારણ કે $\sin(2 \times 60^\circ) = \sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \sin(2 \times 30^\circ)$,જ્યારે ખૂણાઓનો સરવાળો $90^\circ$ હોય (કોટિકોણ),ત્યારે અવધિ સમાન મળે છે. તેથી,તેમની અવધિ સમાન હશે.

(A) ધારો કે દળ $m$ છે અને લિફ્ટનો ઉપરની દિશામાં પ્રવેગ $a$ છે.
દળ પર લાગતા બળો સ્પ્રિંગમાં તણાવ $R$ (જે સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ છે) જે ઉપરની તરફ લાગે છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ચોખ્ખું બળ એ દળ અને પ્રવેગના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$R - mg = ma$
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$R = m(g + a)$
અહીં $a > 0$ હોવાથી,રીડિંગ $R$ એ વાસ્તવિક વજન $mg$ કરતા વધારે છે.
તેથી,સ્પ્રિંગ બેલેન્સ તેના રીડિંગમાં વધારો દર્શાવશે.

(C) ગતિઊર્જા $E$ અને રેખીય વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{p^2}{2m}$ છે.
નાના ટકાવારી ફેરફારો માટે,આપણે વિકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ: $\frac{\Delta E}{E} = 2 \left( \frac{\Delta p}{p} \right)$.
અહીં $\frac{\Delta p}{p} = 5\% = 0.05$ આપેલ છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\frac{\Delta E}{E} = 2 \times 5\% = 10\%$ થાય.
ચોક્કસ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $E' = \frac{(1.05p)^2}{2m} = 1.1025 E$.
ટકાવારી વધારો $(1.1025 - 1) \times 100 = 10.25\%$ છે.

(B) સરક્યા વિના ગબડતા પૈડા માટે,રીમ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ નો વેગ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનાંતરિત વેગ $(v)$ અને પરિભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતા સ્પર્શક વેગ ($v$,કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં) નો સદિશ સરવાળો છે.
સ્થાનાંતરિત વેગ સદિશ $\vec{v}_{cm} = v\hat{i}$ છે.
બિંદુ $P$ પર પરિભ્રમણ વેગ સદિશ $\vec{v}_{rot} = v\sin\theta\hat{i} + v\cos\theta\hat{j}$ છે (શિરોલંબ સાથેના $\theta$ ખૂણાની ભૂમિતિ મુજબ).
પરિણામી વેગ $\vec{v}_P = \vec{v}_{cm} + \vec{v}_{rot} = (v + v\sin\theta)\hat{i} + v\cos\theta\hat{j}$ છે.
તેનું મૂલ્ય $V_P = \sqrt{(v + v\sin\theta)^2 + (v\cos\theta)^2} = \sqrt{v^2(1 + \sin^2\theta + 2\sin\theta + \cos^2\theta)} = \sqrt{v^2(2 + 2\sin\theta)} = v\sqrt{2(1 + \sin\theta)}$ થાય.
જો કે,જો $\theta$ એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત હોય કે વેગના ઘટકો પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ $2v\cos(\theta/2)$ આપે,તો આપણે $v$ મૂલ્યના બે વેગનો સદિશ સરવાળો લઈએ જેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે: $V_P = \sqrt{v^2 + v^2 + 2v^2\cos\theta} = \sqrt{2v^2(1 + \cos\theta)} = \sqrt{2v^2(2\cos^2(\theta/2))} = 2v\cos(\theta/2)$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક બિંદુ $(r = R_0)$ પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા એ પૃથ્વીની સપાટી $(r = R)$ પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $(E_i)$ = પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા + પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા = $0 + \left( -\frac{GMm}{R_0} \right) = -\frac{GMm}{R_0}$.
અંતિમ ઉર્જા $(E_f)$ = અંતિમ ગતિ ઉર્જા + અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા = $\frac{1}{2}mv^2 + \left( -\frac{GMm}{R} \right)$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$-\frac{GMm}{R_0} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
$v^2$ માટે પદ ગોઠવતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = GMm\left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$.
$v^2 = 2GM\left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)$.
$v = \sqrt{2GM\left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_0} \right)}$.

(C) $Assertion$ (વિધાન) સાચું છે. હૂકના નિયમ મુજબ,સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં,પ્રતિબળ એ વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(Stress \propto Strain)$. જ્યારે કોઈ સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થ પર બાહ્ય બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં વિકૃતિ ઉદભવે છે,જેના પરિણામે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ આંતરિક પુનઃસ્થાપક બળ (પ્રતિબળ) ઉત્પન્ન થાય છે.
$Reason$ (કારણ) ખોટું છે. રબરને સૌથી વધુ સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થોમાંનું એક માનવામાં આવે છે કારણ કે તે વિરૂપક બળ દૂર કર્યા પછી તેના મૂળ આકારમાં પાછું આવી શકે છે. જો કોઈ પદાર્થ કાયમી વિકૃતિ અનુભવે અને તેના મૂળ આકારમાં પાછો ન આવે,તો તેને 'પ્લાસ્ટિક' પદાર્થ કહેવામાં આવે છે,જે રબરના ગુણધર્મથી વિપરીત છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(A) ધારો કે ટાંકીની કુલ ઊંચાઈ $H = 10\,m$ છે. છિદ્રો પાયાથી $h_1 = 3\,m$ અને $h_2 = 7\,m$ ઊંચાઈએ છે.
ઉપરની સપાટીથી છિદ્રોની ઊંડાઈ $y_1 = H - h_1 = 10 - 3 = 7\,m$ અને $y_2 = H - h_2 = 10 - 7 = 3\,m$ છે.
$y$ ઊંડાઈએ રહેલા છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીની સમક્ષિતિજ અવધિ (range) $R = 2\sqrt{y(H-y)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ છિદ્ર માટે $(y_1 = 7\,m)$: $R_1 = 2\sqrt{7(10-7)} = 2\sqrt{7 \times 3} = 2\sqrt{21}\,m$.
બીજા છિદ્ર માટે $(y_2 = 3\,m)$: $R_2 = 2\sqrt{3(10-3)} = 2\sqrt{3 \times 7} = 2\sqrt{21}\,m$.
અહીં $R_1 = R_2$ હોવાથી,બંને છિદ્રોમાંથી નીકળતું પાણી એક જ જગ્યાએ પડશે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$,બલ્ક મોડ્યુલસ $(K)$ અને રિજિડિટી મોડ્યુલસ $(\eta)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Y = 2\eta(1 + \sigma)$.
પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ માટે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$Y = 2\eta + 2\eta\sigma$
$Y - 2\eta = 2\eta\sigma$
$\sigma = \frac{Y - 2\eta}{2\eta}$
$\sigma = \frac{Y}{2\eta} - \frac{2\eta}{2\eta}$
$\sigma = \frac{0.5Y}{\eta} - 1$
આમ,$\sigma = \frac{0.5Y - \eta}{\eta}$ એ વિકલ્પ $D$ સાથે સુસંગત છે.

(D) બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,આદર્શ પ્રવાહીના ધારારેખી પ્રવાહ માટે,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો ધારારેખા પર અચળ રહે છે.
સમીકરણ $P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant}$ છે.
જો આપણે સમક્ષિતિજ પ્રવાહ $(h = \text{constant})$ ધ્યાનમાં લઈએ,તો $P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{constant}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે જો દબાણ $P$ વધે,તો સરવાળો અચળ રાખવા માટે વેગ $v$ ઘટવો જોઈએ,અને તેનાથી ઉલટું. આમ,વિધાન સાચું છે.
કારણ જણાવે છે કે એકમ દળ દીઠ કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે. બર્નુલીનું પ્રમેય જણાવે છે કે આદર્શ પ્રવાહી માટે એકમ કદ (અથવા દળ) દીઠ કુલ ઉર્જા અચળ હોય છે. તેથી,કારણ પણ સાચું છે અને તે વિધાન માટે ભૌતિક આધાર પૂરો પાડે છે.

(A) અસમદિગ્ધર્મી ઘન પદાર્થ માટે કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ એ ત્રણ પરસ્પર લંબ અક્ષો પરના રેખીય પ્રસરણાંકોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
આપેલ છે:
$\alpha_1 = 13 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
$\alpha_2 = 231 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
$\alpha_3 = 231 \times 10^{-7} \ K^{-1}$
સૂત્ર:
$\gamma = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$
ગણતરી:
$\gamma = (13 + 231 + 231) \times 10^{-7} \ K^{-1}$
$\gamma = 475 \times 10^{-7} \ K^{-1}$

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બધા વાયુઓ માટે $\gamma > 1$ હોવાથી, $T \propto V^{-(\gamma-1)}$ થાય.
એડિબેટિક વિસ્તરણમાં, કદ $V$ વધે છે, જેનો અર્થ છે કે તાપમાન $T$ ઘટવું જોઈએ. આમ, વિધાન સાચું છે.
જોકે, કારણ જણાવે છે કે કદ તાપમાનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(V \propto 1/T)$, જે ખોટું છે. સાચો સંબંધ $T \propto V^{-(\gamma-1)}$ છે.
તેથી, વિધાન સાચું છે પણ કારણ ખોટું છે.

(A) વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર છે.
તેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{k T}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 P}$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$T$ તાપમાન છે,$\sigma$ અણુનો વ્યાસ છે અને $P$ દબાણ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V} = \frac{M P}{R T}$ હોવાથી,આપણે સરેરાશ મુક્ત પથને ઘનતાના સંદર્ભમાં $\lambda = \frac{m}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 \rho}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ સંબંધો પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{P}$ અને $\lambda \propto \frac{1}{\rho}$.
તેથી,સરેરાશ મુક્ત પથ એ વાયુના દબાણ અને ઘનતા બંનેના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
વિધાનમાં જણાવ્યા મુજબ તે ઘનતાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે અને કારણમાં જણાવ્યા મુજબ તે દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી બંને સાચા છે.
વધુમાં,દબાણ અને ઘનતા વચ્ચેનો સંબંધ (અચળ તાપમાને) સમજાવે છે કે શા માટે સરેરાશ મુક્ત પથ બંને પર વ્યસ્ત રીતે આધાર રાખે છે,તેથી કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(B) $S.H.M.$ માટે આપેલ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $A = 2 \, cm$ અને $\omega = \frac{\pi}{2} \, rad/s$ છે.
વેગ $v = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા મળે છે.
પ્રવેગ $a = \frac{d^2y}{dt^2} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા મળે છે.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = |A\omega^2|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_{max} = 2 \times \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 = 2 \times \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} \, cm/s^2$.

(B) અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે કોઈ તંત્ર પર બાહ્ય આવર્તક બળ એવી રીતે લગાડવામાં આવે કે જેથી બાહ્ય બળની આવૃત્તિ તંત્રની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાતી હોય.
અનુનાદમાં બાહ્ય પ્રેરક બળનો સમાવેશ થતો હોવાથી,જે તંત્રને ચોક્કસ આવૃત્તિ પર દોલન કરવા માટે મજબૂર કરે છે,તે પ્રણોદિત દોલનનો એક વિશિષ્ટ કિસ્સો છે.
તેથી,અનુનાદ એ પ્રણોદિત દોલનનું ઉદાહરણ છે.

(A) $SHM$ માં,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ છે અને પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t)$ છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર,સ્થાનાંતર $x = 0$ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ $a = 0$ (ન્યૂનતમ મૂલ્ય) છે. આ બિંદુએ,વેગ $v = A\omega$ (મહત્તમ મૂલ્ય) હોય છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
$x = A \sin(\omega t)$ અને $v = A\omega \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ ની સરખામણી કરતા,તે સ્પષ્ટ છે કે વેગ એ સ્થાનાંતર કરતા $\frac{\pi}{2}$ ના કળા તફાવતથી આગળ છે. તેથી,કારણ પણ સાચું છે અને તે સમજાવે છે કે જ્યારે સ્થાનાંતર (અને તેથી પ્રવેગ) શૂન્ય હોય ત્યારે વેગ મહત્તમ કેમ હોય છે.

(C) બંધ ઓર્ગન પાઇપની આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = 256\, Hz$ અને લંબાઈ $L_1 = 25.4\, cm = 0.254\, m$ છે.
$256 = \frac{v}{4 \times 0.254} \implies v = 256 \times 4 \times 0.254 = 260.096\, m/s$.
જ્યારે લંબાઈમાં $2\, mm = 0.2\, cm$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવી લંબાઈ $L_2 = 25.4 + 0.2 = 25.6\, cm = 0.256\, m$ થાય.
નવી આવૃત્તિ $n_2 = \frac{v}{4L_2} = \frac{260.096}{4 \times 0.256} = \frac{260.096}{1.024} = 254\, Hz$.
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા $|n_1 - n_2| = |256 - 254| = 2\, Hz$ થશે.

(B) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.02 \sin \left( \frac{2\pi t}{0.01} - \frac{2\pi x}{0.30} \right)$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{0.01} \text{ rad/s}$ અને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{0.30} \text{ rad/m}$ મળે છે.
તરંગના પ્રસરણનો વેગ $v$ એ $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{2\pi / 0.01}{2\pi / 0.30} = \frac{0.30}{0.01} = 30 \text{ m/s}$.

(D) ધ્વનિ તરંગો માટે ડોપ્લર અસર માધ્યમ પર આધાર રાખે છે. સૂત્ર $f' = f \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ માધ્યમમાં ધ્વનિની ઝડપ છે,$v_o$ એ અવલોકનકારની ઝડપ છે અને $v_s$ એ સ્ત્રોતની ઝડપ છે.
માધ્યમ એક ચોક્કસ સંદર્ભ ફ્રેમ પૂરી પાડે છે,તેથી આ અસર સ્ત્રોત અને અવલોકનકારના સંદર્ભમાં સંમિત નથી. તેથી,વિધાન ખોટું છે.
સ્થિર અવલોકનકારના સંદર્ભમાં સ્ત્રોતની ગતિ એ સ્થિર સ્ત્રોતના સંદર્ભમાં અવલોકનકારની ગતિ કરતા ભૌતિક રીતે અલગ છે કારણ કે એક કિસ્સામાં માધ્યમ સ્થિર છે અને બીજામાં તે અવલોકનકારની સાપેક્ષમાં ગતિ કરે છે. આમ,કારણ સાચું છે.

(D) આપેલ સર્કિટનું વિશ્લેષણ નોડ્સને ઓળખીને કરી શકાય છે. બધા કેપેસિટર $C_1, C_2, C_3, C_4$ નું મૂલ્ય $6\,\mu F$ છે.
સર્કિટનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તે બિંદુઓ $A, B, C,$ અને $D$ વચ્ચે વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી રચના બનાવે છે.
ખાસ કરીને,કેપેસીટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{C_1}{C_3} = \frac{6}{6} = 1$ અને $\frac{C_2}{C_4} = \frac{6}{6} = 1$ છે.
ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,મધ્ય કેપેસિટર $C_5$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય છે,તેથી તેમાંથી કોઈ વિદ્યુતભાર વહેતો નથી.
આમ,$C_5$ ને સર્કિટમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
હવે,સર્કિટમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે: એકમાં $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે,અને બીજીમાં $C_3$ અને $C_4$ શ્રેણીમાં છે.
ઉપરની શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $(C_{upper})$ = $\frac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3\,\mu F$.
નીચેની શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $(C_{lower})$ = $\frac{C_3 \times C_4}{C_3 + C_4} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3\,\mu F$.
આ બે શાખાઓ સમાંતર હોવાથી,કુલ અસરકારક કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_{upper} + C_{lower} = 3 + 3 = 6\,\mu F$ થાય છે.

(C) આ પરિપથમાં બે અલગ લૂપ છે જે $2\,\Omega$ ના અવરોધ દ્વારા જોડાયેલા છે.
ધારો કે $2\,\Omega$ અવરોધની ડાબી બાજુના નોડ પરનું પોટેન્શિયલ $V_1$ છે અને જમણી બાજુના નોડ પરનું પોટેન્શિયલ $V_2$ છે.
ડાબી લૂપ માટે,વિદ્યુતપ્રવાહ $10\,V$ ની બેટરીમાંથી $5\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે. $2\,\Omega$ ના અવરોધ દ્વારા પરિપથ પૂર્ણ કરવા માટે કોઈ રસ્તો નથી (ડાબી લૂપની જમણી બાજુએ પરિપથ ખુલ્લો છે),તેથી ડાબી બાજુથી $2\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
તે જ રીતે,જમણી લૂપ માટે,વિદ્યુતપ્રવાહ $20\,V$ ની બેટરીમાંથી $10\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે. જમણી લૂપની ડાબી બાજુએ પરિપથ ખુલ્લો હોવાથી,જમણી બાજુથી $2\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,$2\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $0\,A$ છે.

(A) સોફ્ટ આયર્ન અત્યંત ફેરોમેગ્નેટિક છે અને તેની ચુંબકીય પરમિએબિલિટી (magnetic permeability) ઊંચી અને રિટેન્ટિવિટી (retentivity) ઓછી હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે તેને સરળતાથી ચુંબકીય બનાવી શકાય છે અને તેમાંથી ચુંબકત્વ દૂર કરી શકાય છે,જે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટના કોર માટે એક આવશ્યક ગુણધર્મ છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટના કોર માટે સોફ્ટ આયર્ન સૌથી યોગ્ય પદાર્થ છે.

(A) $LCR$ સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ એ રેઝોનન્સ સમયે ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ અથવા કેપેસિટર $(V_C)$ પરના વોલ્ટેજ અને અવરોધક $(V_R)$ પરના વોલ્ટેજના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$Q = \frac{V_L}{V_R} = \frac{I \cdot X_L}{I \cdot R} = \frac{X_L}{R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,
આમ,ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q = \frac{\omega L}{R}$ થાય છે.

(A) ઓસિલેટર એ એક એવું સર્કિટ છે જે કોઈપણ ઇનપુટ સિગ્નલ વગર સતત,પુનરાવર્તિત,અલ્ટરનેટિંગ વેવફોર્મ ઉત્પન્ન કરે છે.
તે પોઝિટિવ ફીડબેક ધરાવતા એમ્પ્લીફાયર તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ ગોઠવણીમાં,આઉટપુટ સિગ્નલનો એક ભાગ મૂળ સિગ્નલ સાથે સમાન કળામાં (in phase) ઇનપુટમાં પાછો મોકલવામાં આવે છે.
આ પોઝિટિવ ફીડબેક ઇનપુટને મજબૂત બનાવે છે,જે સર્કિટને અનિશ્ચિત સમય સુધી ઓસિલેશન જાળવી રાખવા દે છે,જો બાર્કહૌસેન માપદંડ (લૂપ ગેઇન $A\beta = 1$ અને ફેઝ શિફ્ટ $360^{\circ}$ અથવા $0^{\circ}$) સંતોષાય તો.

(B) પદ $\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા દર્શાવે છે.
ઉર્જા ઘનતા એટલે એકમ કદ દીઠ ઉર્જા.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1L^2T^{-2}]$ છે.
કદનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^3]$ છે.
તેથી,ઉર્જા ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[M^1L^2T^{-2}]}{[L^3]} = [M^1L^{-1}T^{-2}]$ થાય.
આમ,$\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1L^{-1}T^{-2}]$ છે.

(D) વિદ્યુત સ્થાનાંતર સદિશ $\vec D$ એ માધ્યમની પરમિટિવિટી $\varepsilon$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\vec D = \varepsilon \vec E$
આપણે જાણીએ છીએ કે માધ્યમની પરમિટિવિટી $\varepsilon$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ અને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$\varepsilon = K\varepsilon_0$
આ કિંમતને $\vec D$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec D = (K\varepsilon_0)\vec E$
તેથી,વિદ્યુત સ્થાનાંતર સદિશ $K\varepsilon_0\vec E$ છે.

(A) ટ્રાન્સમિટ થયેલ પાવર $P = VI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $I$ એ પ્રવાહ છે.
આમ,પ્રવાહ $I = P/V$ થાય.
અવરોધ $R$ ને કારણે ટ્રાન્સમિશન લાઈનોમાં પાવરનો વ્યય $P_{loss} = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P_{loss} = (P/V)^2 R = (P^2 / V^2) R$ મળે છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે અચળ પાવર $P$ અને અવરોધ $R$ માટે,પાવરનો વ્યય $P_{loss}$ એ વોલ્ટેજના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(P_{loss} \propto 1/V^2)$.
તેથી,વોલ્ટેજ $V$ વધારીને,ટ્રાન્સમિશન દરમિયાન પાવરનો વ્યય નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકાય છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્રથી મોટા અંતરે $(x \gg R)$ તેની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_{\text{axis}} = \frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2 x^{3}}$
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ કોઈલની ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે:
$B \propto R^{2}$
જો ત્રિજ્યા $R$ ને બમણી કરવામાં આવે $(R' = 2R)$,તો નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B'$ નીચે મુજબ થશે:
$B' \propto (2R)^{2} = 4R^{2}$
તેથી,$B' = 4B$.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર મૂળ મૂલ્ય કરતા ચાર ગણું થઈ જશે.

(A) ચુંબકીય બળરેખાઓ કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા દર્શાવે છે.
જો બે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ એક બિંદુએ છેદે,તો તેનો અર્થ એ થાય કે તે એક જ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની બે અલગ-અલગ દિશાઓ છે.
અવકાશમાં કોઈપણ આપેલ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા અનન્ય હોવી જોઈએ,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓનું છેદવું ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.

(A) ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી પેરામેગ્નેટિક પદાર્થોની જેમ તાપમાન સાથે સરળ રેખીય સંબંધ ધરાવતી નથી.
તેના બદલે,તાપમાન વધવાની સાથે તે જટિલ રીતે ઘટે છે.
ક્યુરીનો નિયમ જણાવે છે કે સસેપ્ટિબિલિટી $\chi \propto 1/T$ છે.
ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો આ નિયમનું પાલન ત્યારે જ કરવાનું શરૂ કરે છે જ્યારે તેમને તેમના ક્યુરી તાપમાન $(T_C)$ થી ઉપર ગરમ કરવામાં આવે છે,જ્યાં તેઓ પેરામેગ્નેટિક અવસ્થામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,વિધાન કે તેઓ ક્યુરીના નિયમનું પાલન કરતા નથી (તેમની ફેરોમેગ્નેટિક અવસ્થામાં) તે સાચું છે,અને કારણ ક્યુરી પોઈન્ટ પર થતા ફેરફારને સમજાવે છે.

(B) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 10t^2 - 50t + 250$ છે.
ફેરાડેના ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શનના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $(e)$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ફ્લક્સનું વિકલન કરતા:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(10t^2 - 50t + 250) = 20t - 50$.
તેથી,પ્રેરિત $emf$ $e = -(20t - 50) = 50 - 20t$ છે.
$t = 3 \ s$ સમયે,પ્રેરિત $emf$:
$e = 50 - 20(3) = 50 - 60 = -10 \ V$ થાય.

(D) લેન્ઝનો નિયમ જણાવે છે કે પ્રેરિત $emf$ ની દિશા હંમેશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
આ નિયમ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.
જો પ્રેરિત $emf$ ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારને મદદ કરતું હોત,તો તે કોઈપણ બાહ્ય કાર્ય વિના ઉર્જામાં વધારો કરત,જે અશક્ય છે.
તેથી,વિધાન ખોટું છે અને કારણ સાચું છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેના કંપનોને પરિણામે ઉત્પન્ન થતા તરંગો છે. $\beta -$ કિરણો એ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય દરમિયાન ઉત્સર્જિત થતા ઝડપથી ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન (વીજભારિત કણો) નો પ્રવાહ છે. તેઓ દળ અને વીજભાર ધરાવતા દ્રવ્યના કણોના બનેલા હોવાથી,તેઓ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો નથી.

(D) વિધાન ખોટું છે કારણ કે પર્યાવરણીય નુકસાન,ખાસ કરીને ક્લોરોફ્લોરોકાર્બન $(CFCs)$ ના ઉત્સર્જનને કારણે સ્ટ્રેટોસ્ફિયરમાં ઓઝોન સ્તરનું ક્ષય (ઘટાડો) થાય છે,વધારો નહીં.
કારણ પણ ખોટું છે કારણ કે ઓઝોન સ્તર એક કવચ તરીકે કાર્ય કરે છે જે હાનિકારક અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(UV)$ કિરણોત્સર્ગને શોષી લે છે. તેથી,ઓઝોનનું ક્ષય થવાથી પૃથ્વી પર પહોંચતા $UV$ કિરણોત્સર્ગમાં વધારો થાય છે,ઉલટું નહીં.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલનની શરત એ છે કે આપાતકોણ $(i)$ એ નિર્ગમન કોણ $(e)$ ની બરાબર હોવો જોઈએ.
સમબાજુ પ્રિઝમમાં,આ સંમિતિ સૂચવે છે કે પ્રિઝમની અંદરનું વક્રીભૂત કિરણ $(QR)$ પ્રિઝમના પાયાને સમાંતર હોવું જોઈએ.
પ્રિઝમ સમક્ષિતિજ સપાટી પર મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,પ્રિઝમનો પાયો સમક્ષિતિજ છે.
તેથી,લઘુત્તમ વિચલન માટે,પ્રિઝમની અંદરનું કિરણ $QR$ સમક્ષિતિજ હોવું જોઈએ.

(B) સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $i_{c}$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
આપેલ છે કે,$i = 45^{\circ}$.
તેથી,$i > i_{c} \Rightarrow 45^{\circ} > i_{c}$.
બંને બાજુ સાઈન (sine) લેતા,$\sin 45^{\circ} > \sin i_{c}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્રાંતિકોણ $\sin i_{c} = \frac{1}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક છે.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા,આપણને $\sin 45^{\circ} > \frac{1}{n}$ મળે છે.
કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી અસમતા $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{n}$ બને છે.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા અસમતાની નિશાની બદલાઈ જાય છે,તેથી $n > \sqrt{2}$.

(A) ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ નું સૂત્ર $\theta_c = \sin^{-1} \left( \frac{1}{\mu} \right)$ છે.
કોશીના વિક્ષેપના સૂત્ર મુજબ,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે (દ્રશ્ય પ્રકાશ માટે $\mu \propto \frac{1}{\lambda}$).
જાંબલી રંગની તરંગલંબાઈ દ્રશ્ય પ્રકાશમાં સૌથી ઓછી હોવાથી,જાંબલી રંગ માટે વક્રીભવનાંક $\mu$ સૌથી વધુ હોય છે.
જેમ કે $\theta_c = \sin^{-1} \left( \frac{1}{\mu} \right)$,તેથી $\mu$ નું મૂલ્ય વધતા $\theta_c$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
આમ,જાંબલી રંગ માટે ક્રાંતિકોણ ન્યૂનતમ હોય છે. વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ એ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રશ્યક્ષેત્ર $L$ અચળ હોવાથી,શલાકાઓની કુલ સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{L}{\beta}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$n \propto \frac{1}{\beta} \propto \frac{1}{\lambda}$.
અહીં $\lambda_1 = 4000 \text{ } \mathring{A}$ માટે $n_1 = 10$ આપેલ છે અને $\lambda_2 = 5000 \text{ } \mathring{A}$ માટે $n_2$ શોધવાનું છે.
સંબંધ $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10 \times 4000 = n_2 \times 5000$.
$n_2 = \frac{10 \times 4000}{5000} = 8$.
આમ,મળતી શલાકાઓની સંખ્યા $8$ છે.

(B) પહોળાઈની એક સ્લિટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિવર્તન ભાતમાં,ન્યૂનતમ (minima) માટેની શરત $a \sin \theta = n\lambda$ છે (જ્યાં $n = \pm 1, \pm 2, \dots$).
ગૌણ અધિકતમ (secondary maxima) ન્યૂનતમની વચ્ચેના ભાગમાં જોવા મળે છે.
ગૌણ અધિકતમ માટેની શરત $a \sin \theta = (2n + 1)\frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ ગૌણ અધિકતમનો ક્રમ દર્શાવે છે.

(A) ઊર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,આપાત ફોટોનની ઊર્જાનો ઉપયોગ હાઇડ્રોજન પરમાણુના આયનીકરણ માટે થાય છે અને બાકીની ઊર્જા ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $(E)$ = $15.0\, eV$.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં હાઇડ્રોજન પરમાણુની આયનીકરણ ઊર્જા $(E_i)$ = $13.6\, eV$.
ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા $(K)$ = $E - E_i$.
$K = 15.0\, eV - 13.6\, eV = 1.4\, eV$.

(C) ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ માં થતો ફેરફારનો દર એ ઉત્પાદન દર અને ક્ષય દરનો તફાવત છે: $\frac{dN}{dt} = n - \lambda N$.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dN}{n - \lambda N} = dt$ મળે છે.
બંને બાજુ $t = 0$ $(N = N_0)$ થી $t = t$ $(N = N)$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{N_0}^{N} \frac{dN}{n - \lambda N} = \int_{0}^{t} dt$.
આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$-\frac{1}{\lambda} [\ln(n - \lambda N)]_{N_0}^{N} = t$.
$-\frac{1}{\lambda} \ln\left( \frac{n - \lambda N}{n - \lambda N_0} \right) = t$.
$\ln\left( \frac{n - \lambda N}{n - \lambda N_0} \right) = -\lambda t$.
$\frac{n - \lambda N}{n - \lambda N_0} = e^{-\lambda t}$.
$n - \lambda N = (n - \lambda N_0) e^{-\lambda t}$.
$\lambda N = n - (n - \lambda N_0) e^{-\lambda t}$.
$N = \frac{n}{\lambda} - \left( \frac{n}{\lambda} - N_0 \right) e^{-\lambda t} = \frac{n}{\lambda} + \left( N_0 - \frac{n}{\lambda} \right) e^{-\lambda t}$.

(A) કોઈપણ કણની આયનીકરણ શક્તિ તેના વીજભાર અને વેગ પર આધાર રાખે છે. $\alpha$-કણો ભારે હોય છે અને પ્રમાણમાં ધીમે ગતિ કરે છે,જેના કારણે તેઓ પદાર્થ સાથે વધુ આંતરક્રિયા કરે છે અને તેમની આયનીકરણ શક્તિ વધારે હોય છે.
$\beta$-કણો ઘણા હલકા (ઇલેક્ટ્રોન) હોય છે અને ખૂબ જ ઊંચી ઝડપે ગતિ કરે છે,જેના પરિણામે પરમાણુઓ સાથે તેમની આંતરક્રિયાનો સમય ઓછો હોય છે અને તેથી તેમની આયનીકરણ શક્તિ ઓછી હોય છે.
$\beta$-કણો માધ્યમના પરમાણુઓ સાથે ઓછી વાર આંતરક્રિયા કરતા હોવાથી,તેઓ તેમની ઉર્જા ધીમે ધીમે ગુમાવે છે,જે તેમને $\alpha$-કણોની સરખામણીમાં ઘણી વધારે ભેદન શક્તિ આપે છે.
દળનો તફાવત એક પરિબળ છે,પરંતુ આયનીકરણ અને ભેદન શક્તિમાં તફાવતનું મુખ્ય કારણ દળ,વીજભાર અને વેગનું સંયોજન છે. તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે,અને દળનો તફાવત એ અવલોકન કરેલા ભૌતિક ગુણધર્મો માટેનું મૂળભૂત કારણ છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે $NAND$ ગેટ છે.
ધારો કે પ્રથમ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $X = \overline{A \cdot B}$ છે.
આ આઉટપુટ $X$ બીજા $NAND$ ગેટ માટે ઇનપુટ તરીકે કાર્ય કરે છે. બીજા $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટ $X$ સાથે જોડાયેલા હોવાથી, તેનું આઉટપુટ $Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X}$ દ્વારા મળે છે.
$X$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$ મળે છે.
$Y = A \cdot B$ સમીકરણ $AND$ ગેટનું લોજિક ફંક્શન દર્શાવે છે.
તેથી, આપેલ સર્કિટ $AND$ ગેટનું કાર્ય કરે છે.

(C) આકાશ તરંગ પ્રસરણ આયનોસ્ફિયર દ્વારા રેડિયો તરંગોના પરાવર્તન પર આધાર રાખે છે. આયનોસ્ફિયર ફક્ત $30\, MHz$ સુધીની આવૃત્તિ ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોને જ પરાવર્તિત કરી શકે છે. $30\, MHz$ થી વધુ આવૃત્તિ માટે,તરંગો આયનોસ્ફિયરમાંથી પસાર થઈને અવકાશમાં જતાં રહે છે અને પૃથ્વી પર પાછા પરાવર્તિત થતા નથી. તેથી,$30\, MHz$ થી વધુ આવૃત્તિઓ માટે આકાશ તરંગ પ્રસરણ શક્ય નથી.