AIIMS 2000 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $|\overrightarrow A \times \overrightarrow B | = |\overrightarrow A \cdot \overrightarrow B |$.
સદિશ ગુણાકાર અને અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$|\overrightarrow A | |\overrightarrow B | \sin \theta = |\overrightarrow A | |\overrightarrow B | \cos \theta$.
બંને બાજુને $|\overrightarrow A | |\overrightarrow B | \cos \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\overrightarrow A, \overrightarrow B \neq 0$):
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1$.
$\tan \theta = 1$.
આમ,$\tan 45^\circ = 1$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 45^\circ$ મળે.

(B) કોઈ પદાર્થ સંતુલનમાં રહે તે માટે,તેના પર લાગતા તમામ બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\sum \vec{F} = 0$.
જો માત્ર બે જ બળો હોય,તો તેઓ એકબીજાને નાબૂદ કરવા માટે સમાન મૂલ્યના અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેઓ રેખીય (collinear) હોવા જોઈએ.
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે બળો બિન-રેખીય છે,તેથી બે બળો સંતુલનની સ્થિતિને સંતોષી શકતા નથી.
તેથી,સદિશોનો બંધ ત્રિકોણ બનાવવા માટે ઓછામાં ઓછા ત્રણ બિન-રેખીય બળોની જરૂર પડે છે,જેથી તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય.
આનું ઉદાહરણ $120^{\circ}$ ના ખૂણે લાગતા ત્રણ સમાન બળો છે.
આમ,બળોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $3$ છે.

(B) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$d$ અંતરે રહેલા બે દળ $m_1$ અને $m_2$ વચ્ચે લાગતું બળ $F = \frac{G m_1 m_2}{d^2}$ છે.
સૂત્રને ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ માટે ગોઠવતા,$G = \frac{F d^2}{m_1 m_2}$ મળે છે.
બળ $F$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે,અંતર $d$ માટે $[L]$ છે,અને દળ $m$ માટે $[M]$ છે.
આ કિંમતો $G$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $[G] = \frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M][M]} = \frac{[ML^3T^{-2}]}{[M^2]} = [M^{-1}L^3T^{-2}]$.

(B) $n^{th}$ સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર સૂત્ર $S_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 10\; m/s$,પ્રવેગ $g = 10\; m/s^2$.
$3^{rd}$ સેકન્ડ માટે $(n=3)$:
$S_3 = 10 + \frac{10}{2}(2 \times 3 - 1) = 10 + 5(5) = 10 + 25 = 35\; m$.
$2^{nd}$ સેકન્ડ માટે $(n=2)$:
$S_2 = 10 + \frac{10}{2}(2 \times 2 - 1) = 10 + 5(3) = 10 + 15 = 25\; m$.
અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{S_3}{S_2} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5}$ છે.

(A) જ્યારે કોઈ માણસ પ્લેટફોર્મ પરથી કૂદકો મારવા માંગે છે,ત્યારે ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ ઉપરની તરફ વેગ મેળવવા માટે તેણે પ્લેટફોર્મ પર વધારાનું નીચેની તરફ બળ લગાડવું પડે છે.
આ વધારાના બળને કારણે સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ ક્ષણિક રીતે વધે છે.
જેમ માણસ પ્લેટફોર્મ છોડે છે,તેમ સંપર્ક બળ શૂન્ય થઈ જાય છે અને પરિણામે,સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ ઘટીને શૂન્ય થઈ જાય છે.

(B) પદાર્થનું વેગમાન $p$ એ તેના દળ $m$ અને વેગ $v$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $p = mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો વેગમાન $p$ અચળ હોય અને પદાર્થનું દળ $m$ અચળ માનવામાં આવે,તો વેગ $v = p/m$ પણ અચળ હોવો જોઈએ.
વેગ અચળ હોવાથી,પ્રવેગ $a = dv/dt$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F = ma$ પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,જો વેગમાન અચળ હોય,તો વેગ અચળ હોવો જોઈએ.

(A) ઘર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W = f_k \times S$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_k$ એ ગતિક ઘર્ષણ બળ છે અને $S$ એ સ્થાનાંતર છે.
સપાટી આડી હોવાથી,લંબબળ $N = mg$ થાય.
ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = \mu mg$ છે.
આપેલ છે: દળ $m = 50\, kg$,અંતર $S = 1\, m$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.2$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8\, m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 0.2 \times 50 \times 9.8 \times 1$.
$W = 10 \times 9.8 = 98\, J$.

(D) સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,અથડામણ પછી પદાર્થોના વેગની અદલાબદલી થાય છે.
આપેલ છે: દળ $m_1$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = +3 \, m/s$ અને દળ $m_2$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = -5 \, m/s$ છે.
અહીં $m_1 = m_2$ હોવાથી,સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી,દળ $m_1$ નો અંતિમ વેગ $v_1 = u_2 = -5 \, m/s$ થશે અને દળ $m_2$ નો અંતિમ વેગ $v_2 = u_1 = +3 \, m/s$ થશે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_1 = 10\,m$ છે અને ઉછળ્યા પછીની ઊંચાઈ $h_2$ છે.
અથડામણ દરમિયાન પદાર્થ તેની $20\%$ ઉર્જા ગુમાવે છે,તેથી બાકી રહેલી ઉર્જા તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જાના $80\%$ છે.
આમ,$mgh_2 = 0.80 \times mgh_1$.
આ સમીકરણ પરથી $\frac{h_2}{h_1} = 0.8$ મળે છે.
જમીન પરથી ઉછળતા પદાર્થ માટે પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક $e$ એ $e = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમત મૂકતા,$e = \sqrt{0.8} \approx 0.894$.
તેથી,પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક આશરે $0.89$ છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 72 \ N$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $h = \frac{R}{2}$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મુકતા:
$g' = g \left( \frac{R}{R + \frac{R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{R}{\frac{3R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g$.
$h$ ઊંચાઈએ પદાર્થનું વજન $W' = mg' = m \left( \frac{4}{9}g \right) = \frac{4}{9} W$ થશે.
$W = 72 \ N$ ની કિંમત મુકતા:
$W' = \frac{4}{9} \times 72 = 4 \times 8 = 32 \ N$.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$r = R_e$,તેથી $U_1 = -\frac{GMm}{R_e} = -mgR_e$ (કારણ કે $g = \frac{GM}{R_e^2}$).
સપાટીથી $h = R_e$ ઊંચાઈએ,કેન્દ્રથી અંતર $r = R_e + h = R_e + R_e = 2R_e$ થાય.
આ ઊંચાઈએ સ્થિતિઊર્જા $U_2 = -\frac{GMm}{2R_e}$ થશે.
$GM = gR_e^2$ મૂકતા,આપણને $U_2 = -\frac{(gR_e^2)m}{2R_e} = -\frac{1}{2}mgR_e$ મળે છે.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વી માટે,$v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = 11.2 \, km/s$.
ચંદ્ર માટે,દળ $M_m = \frac{M_e}{81}$ અને ત્રિજ્યા $R_m = \frac{R_e}{4}$ છે.
ચંદ્ર પર નિષ્ક્રમણ વેગ $v_m = \sqrt{\frac{2GM_m}{R_m}} = \sqrt{\frac{2G(M_e/81)}{(R_e/4)}} = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e} \times \frac{4}{81}}$.
કિંમતો મૂકતા,$v_m = \sqrt{\frac{4}{81}} \times \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = \frac{2}{9} \times 11.2 \, km/s$.
$v_m = 0.222 \times 11.2 \approx 2.488 \, km/s$,જે આશરે $2.5 \, km/s$ છે.

(A) $m$ દળ ધરાવતા ઉપગ્રહની પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$r = R_e + h$,જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઉપગ્રહની ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે કે $h = 6.4 \times 10^6 \ m$ અને $R_e \approx 6.4 \times 10^6 \ m$,તેથી $r = R_e + R_e = 2R_e$.
સંબંધ $g = \frac{GM}{R_e^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે $GM = gR_e^2$ લખી શકીએ.
આ કિંમતોને સ્થિતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = -\frac{(gR_e^2)m}{2R_e} = -\frac{1}{2}mgR_e = -0.5 \, mgR_e$.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto R^3$.
પ્રથમ ઉપગ્રહ માટે આપેલ છે: $T_1 = T$ અને $R_1 = R$.
બીજા ઉપગ્રહ માટે: $R_2 = 4R$ અને આપણે $T_2$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^{3/2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_2}{T} = \left( \frac{4R}{R} \right)^{3/2}$
$\frac{T_2}{T} = (4)^{3/2}$
$\frac{T_2}{T} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$
તેથી,$T_2 = 8T$.

(C) આદર્શ વાયુનો સમતાપી બલ્ક મોડ્યુલસ $(K_i)$ એ વાયુના દબાણ $(P)$ જેટલો હોય છે.
વાતાવરણીય દબાણે રહેલા વાયુ માટે,દબાણ $P = 1\,atm$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1\,atm = 1.013 \times 10^5\,N/m^2$.
તેથી,સમતાપી બલ્ક મોડ્યુલસ $K_i = 1.013 \times 10^5\,N/m^2$ થાય છે.

(B) જ્યારે રબર બેન્ડને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થના આંતરિક સ્થિતિસ્થાપક બળોની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં આવે છે.
આ કરેલું કાર્ય રબર બેન્ડમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જાના સ્વરૂપમાં સંગ્રહિત થાય છે.
તેથી,ખેંચાયેલું રબર બેન્ડ તેના ખેંચાયા વગરની સ્થિતિની તુલનામાં વધેલી સ્થિતિ ઉર્જા ધરાવે છે.

(B) સાબુના ફિલ્મનું ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $(W)$ નું સૂત્ર $W = T \times \Delta A_{total}$ છે.
સાબુના ફિલ્મને બે સપાટીઓ હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A_{total} = 2 \times (A_{final} - A_{initial})$ થાય.
પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_i = 10 \, cm \times 6 \, cm = 60 \, cm^2 = 60 \times 10^{-4} \, m^2$.
અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_f = 10 \, cm \times 11 \, cm = 110 \, cm^2 = 110 \times 10^{-4} \, m^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_f - A_i = (110 - 60) \times 10^{-4} \, m^2 = 50 \times 10^{-4} \, m^2$.
કુલ ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A_{total} = 2 \times 50 \times 10^{-4} \, m^2 = 100 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-2} \, m^2$.
આપેલ છે કે $W = 3 \times 10^{-4} \, J$.
$W = T \times \Delta A_{total}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$T = \frac{W}{\Delta A_{total}} = \frac{3 \times 10^{-4}}{10^{-2}} = 3 \times 10^{-2} \, N/m$ મળે છે.

(A) સાબુના પડનું ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = T \times \Delta A \times 2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $2$ એ સાબુના પડની બે સપાટીઓ દર્શાવે છે.
પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 10\;cm \times 6\;cm = 60\;cm^2 = 60 \times 10^{-4}\;m^2$.
અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 10\;cm \times 11\;cm = 110\;cm^2 = 110 \times 10^{-4}\;m^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = (110 - 60) \times 10^{-4}\;m^2 = 50 \times 10^{-4}\;m^2$.
આપેલ છે $W = 2 \times 10^{-4}\;J$.
સૂત્ર $W = 2T \Delta A$ નો ઉપયોગ કરતા,$T = \frac{W}{2 \Delta A}$ મળે.
$T = \frac{2 \times 10^{-4}}{2 \times (50 \times 10^{-4})} = \frac{1}{50} = 0.02\;N/m = 2 \times 10^{-2}\;N/m$.

(B) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P$,જેની ત્રિજ્યા $r$ છે,તે સૂત્ર $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\Delta P \propto \frac{1}{r}$.
ધારો કે પ્રથમ પરપોટાની ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે અને બીજા પરપોટાની ત્રિજ્યા $r_2 = 4r$ છે.
તેમના વધારાના દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta P_1}{\Delta P_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{4r}{r} = \frac{4}{1}$ થશે.
આમ,સાચો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(C) ગોળાકાર ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P$ એ સૂત્ર $\Delta P = \frac{2T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
પૃષ્ઠતાણ $T = 70 \times 10^{-3}\, N/m$
ત્રિજ્યા $R = 1\, mm = 1 \times 10^{-3}\, m$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta P = \frac{2 \times 70 \times 10^{-3}}{1 \times 10^{-3}}$
$\Delta P = 2 \times 70 = 140\, N/m^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) પ્રવાહીનું આભાસી પ્રસરણ એ તેના વાસ્તવિક પ્રસરણ અને પાત્રના પ્રસરણ વચ્ચેનો તફાવત છે.
કાચના પાત્રનો કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_{vessel})$ એ રેખીય પ્રસરણાંક $(\alpha)$ સાથે $\gamma_{vessel} = 3\alpha$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$\gamma_{vessel} = 3 \times 0.000009 = 0.000027 \text{ /}^{\circ}\text{C}$.
આભાસી કદ પ્રસરણાંક $(\gamma_{app})$ એ $\gamma_{app} = \gamma_{real} - \gamma_{vessel}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\gamma_{app} = 0.000597 - 0.000027 = 0.00057 \text{ /}^{\circ}\text{C}$.

(A) જ્યારે સિલિન્ડરમાં રહેલી હવાને અચાનક દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક (ઉષ્માઅવાહક) હોય છે.
અચાનક દબાણને કારણે,વાયુ પર થયેલ કાર્ય તેની આંતરિક ઉર્જામાં વધારો કરે છે,જેનાથી સિસ્ટમનું તાપમાન નોંધપાત્ર રીતે વધી જાય છે.
દબાણ કર્યા પછી,પિસ્ટનને નિશ્ચિત સ્થિતિમાં રાખવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે કદ અચળ રહે છે.
સિસ્ટમનું તાપમાન આસપાસના વાતાવરણ કરતા વધારે હોવાથી,થર્મલ સંતુલન પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી સિસ્ટમમાંથી આસપાસના વાતાવરણમાં ઉષ્માનું વહન થાય છે.
જેમ જેમ વાયુનું તાપમાન ઘટે છે અને કદ અચળ રહે છે,તેમ આદર્શ વાયુના નિયમ $(PV = nRT)$ મુજબ,વાયુનું દબાણ ઘટવું જોઈએ.

(C) પ્રવાહી (જેમ કે હવા) માં ગરમીના સ્થાનાંતરણની પ્રાથમિક રીત ઉષ્મા નયન (Convection) છે. જ્યારે આગની નજીકની હવા ગરમ થાય છે,ત્યારે તે ઓછી ઘનતાવાળી બને છે અને ઉત્પ્લાવકતાને કારણે ઉપર તરફ જાય છે. ગરમ હવાનો આ ઉપર જતો પ્રવાહ નોંધપાત્ર પ્રમાણમાં ગરમીને ઉપરની તરફ લઈ જાય છે. તેથી,આગની બરાબર ઉપરનું તાપમાન બાજુઓ કરતા ઘણું વધારે હોય છે,જ્યાં હવા ગરમ પ્રવાહો દ્વારા સક્રિયપણે બદલાતી નથી. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ (Wien's displacement law) મુજબ,મહત્તમ તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\max})$ અને કૃષ્ણ પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$\lambda_{\max} T = b$ (અચળ)
તેથી,$T \propto \frac{1}{\lambda_{\max}}$.
ધારો કે સૂર્ય માટે તાપમાન અને મહત્તમ તરંગલંબાઇ $T_S$ અને $\lambda_S$ છે,અને ઉત્તર તારા માટે $T_N$ અને $\lambda_N$ છે.
આપેલ છે: $\lambda_S = 510\;nm$ અને $\lambda_N = 350\;nm$.
સપાટીના તાપમાનનો ગુણોત્તર:
$\frac{T_S}{T_N} = \frac{\lambda_N}{\lambda_S} = \frac{350}{510} \approx 0.686$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.69$ મળે છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થની સપાટીના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતી કુલ ઉર્જા $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $E = \sigma T^4$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત વિકિરણનું પ્રમાણ આદર્શ વાયુ માપક્રમ પર તાપમાનની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ઉત્સર્જનનો દર $H$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(H \propto T^4)$.
સૌ પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવો:
$T_A = 727 + 273 = 1000 \ K$
$T_B = 327 + 273 = 600 \ K$
ઉત્સર્જિત ઉષ્માના દરનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{H_A}{H_B} = \left( \frac{T_A}{T_B} \right)^4$
$\frac{H_A}{H_B} = \left( \frac{1000}{600} \right)^4 = \left( \frac{10}{6} \right)^4 = \left( \frac{5}{3} \right)^4$
$\frac{H_A}{H_B} = \frac{5^4}{3^4} = \frac{625}{81}$
તેથી,ગુણોત્તર $625:81$ છે.

(A) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે,$T_1 = 2 \, s$ અને દળ $m_1 = m$ છે.
તેથી,$2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \implies 1 = \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
અંતિમ સ્થિતિ માટે,દળમાં $2 \, kg$ નો વધારો થાય છે,તેથી $m_2 = m + 2$. આવર્તકાળમાં $1 \, s$ નો વધારો થાય છે,તેથી $T_2 = 2 + 1 = 3 \, s$.
તેથી,$3 = 2\pi \sqrt{\frac{m+2}{k}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{2} = \sqrt{\frac{m+2}{m}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{9}{4} = \frac{m+2}{m}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$9m = 4(m + 2) \implies 9m = 4m + 8$.
$5m = 8 \implies m = \frac{8}{5} \, kg = 1.6 \, kg$.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = 10\sin(0.01\pi x - 2\pi t)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A\sin(kx - \omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $A = 10 \ cm$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi \ rad/s$ મળે છે.
દોરડામાં રહેલા કણની મહત્તમ લંબગત ઝડપનું સૂત્ર $v_{\max} = A\omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $v_{\max} = 10 \times 2\pi$ મળે છે.
$v_{\max} = 20 \times 3.14159 = 62.83 \ cm/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $v_{\max} \approx 63 \ cm/s$ મળે છે.

(D) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \sin(kx - \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = a \sin(0.01x - 2t)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
તરંગ સંખ્યા $k = 0.01 \, cm^{-1}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \, rad/s$
તરંગના પ્રસરણનો વેગ $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $v = \frac{2}{0.01} = 200 \, cm/s$.

(A) બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
$3$ નિસ્પંદ બિંદુઓ અને $2$ પ્રસ્પંદ બિંદુઓ ધરાવતા સ્થિત તરંગમાં $2$ લૂપ હોય છે.
બે અંતિમ નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેની કુલ લંબાઈ $L = 2 \times \frac{\lambda}{2} = \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બે અણુઓ (જે અંતિમ નિસ્પંદ બિંદુઓ તરીકે કાર્ય કરે છે) વચ્ચેનું અંતર $1.21 \; \mathring{A}$ છે,તેથી $L = 1.21 \; \mathring{A}$.
આમ,તરંગલંબાઈ $\lambda = 1.21 \; \mathring{A}$ થાય.

(B) ડોપ્લર અસર ત્યારે જ જોવા મળે છે જ્યારે ઉદગમ અને અવલોકનકાર વચ્ચે તેમને જોડતી રેખા પર સાપેક્ષ વેગ હોય.
આ પ્રશ્નમાં,વાહન અવલોકનકાર અને વાહનને જોડતી રેખાને લંબ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યું છે.
તેથી,અવલોકનકાર અને ઉદગમને જોડતી રેખા પર ઉદગમના વેગનો ઘટક $v_s \cos(90^{\circ}) = 0$ થાય છે.
દ્રષ્ટિરેખા પર કોઈ સાપેક્ષ ગતિ ન હોવાથી,અવલોકનકારને સંભળાતી આવૃત્તિ એ ઉદગમની આવૃત્તિ જેટલી જ રહે છે.
આમ,અવલોકિત આવૃત્તિ $n' = n$ છે.
આપેલ છે કે અવલોકિત આવૃત્તિ $n + n_1$ છે,તેથી $n + n_1 = n$,જેનો અર્થ છે કે $n_1 = 0$.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઉત્સર્જન તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ એ કૃષ્ણ પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\lambda_{max} \propto \frac{1}{T}$.
ધારો કે $T_S$ અને $\lambda_S$ એ સૂર્યનું તાપમાન અને મહત્તમ તરંગલંબાઈ છે,અને $T_X$ અને $\lambda_X$ એ તારા $X$ નું તાપમાન અને મહત્તમ તરંગલંબાઈ છે.
આપેલ છે: $\lambda_S = 510 \, nm$ અને $\lambda_X = 350 \, nm$.
તાપમાનનો ગુણોત્તર આ મુજબ મળે છે: $\frac{T_S}{T_X} = \frac{\lambda_X}{\lambda_S}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_S}{T_X} = \frac{350}{510} \approx 0.686$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ગુણોત્તર $0.68$ મળે છે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કાર્ય $W = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય ઝડપ $\omega$ અચળ હોવાથી,કાર્ય ન્યૂનતમ ત્યારે જ થાય જ્યારે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ન્યૂનતમ હોય.
ધારો કે પરિભ્રમણ અક્ષ $0.3 \ kg$ ના દળથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. તો $0.7 \ kg$ ના દળથી તેનું અંતર $(1.4 - x)$ થશે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 0.3x^2 + 0.7(1.4 - x)^2$ છે.
$I$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dI}{dx} = 0.3(2x) + 0.7(2)(1.4 - x)(-1) = 0$
$0.6x - 1.4(1.4 - x) = 0$
$0.6x - 1.96 + 1.4x = 0$
$2.0x = 1.96$
$x = 0.98 \ m$.
આમ,અક્ષ $0.3 \ kg$ ના દળથી $0.98 \ m$ ના અંતરેથી પસાર થવી જોઈએ.

(A) ઉપરની ગતિ માટે,મહત્તમ ઊંચાઈ પર અંતિમ વેગ $v = 0$ હોય છે.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને,ગતિની છેલ્લી સેકન્ડ માટે,તે છેલ્લી સેકન્ડની શરૂઆતમાં પ્રારંભિક વેગ $u' = v - at = 0 - (-g)(1) = g$ થાય છે.
છેલ્લી સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર $s = u't + \frac{1}{2}at^2 = g(1) + \frac{1}{2}(-g)(1)^2 = g - \frac{g}{2} = \frac{g}{2}$ છે.
$g \approx 10 \ m/s^2$ લેતા,આપણને $s = \frac{10}{2} = 5 \ m$ મળે છે.
આ અંતર પ્રક્ષેપણના પ્રારંભિક વેગથી સ્વતંત્ર છે.
Reason પણ સાચું છે કારણ કે ગતિ સંમિત છે; ઉપરની ગતિની છેલ્લી સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર એ સ્થિર સ્થિતિ $(u=0)$ થી શરૂ થતા મુક્ત પતન (નીચેની ગતિ) ની પ્રથમ સેકન્ડમાં કપાયેલા અંતર જેટલું જ હોય છે.
આમ,Assertion અને Reason બંને સાચા છે,અને Reason એ Assertion ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) પૃથ્વી પર,હાઇડ્રોજનથી ભરેલો ફુગ્ગો ઉપર જાય છે કારણ કે ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) એ ફુગ્ગાના વજન કરતા વધારે હોય છે.
ચંદ્ર પર કોઈ વાતાવરણ નથી,જેનો અર્થ છે કે ત્યાં ઉત્પ્લાવક બળ આપવા માટે હવા નથી.
તેથી,ફુગ્ગો ફક્ત ચંદ્રના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હેઠળ મુક્ત પતન (free fall) કરશે.
ચંદ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ $\frac{g}{6}$ છે,જ્યાં $g$ એ પૃથ્વી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
ફુગ્ગો મુક્ત પતનમાં હોવાથી,તેનો પ્રવેગ ચંદ્ર પરના ગુરુત્વપ્રવેગ જેટલો એટલે કે $\frac{g}{6}$ હશે.
આમ,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે,અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(B) બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ (velocity of efflux) ટોર્સેલીના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \sqrt{2gh}$.
ટાંકીના તળિયે કુલ દબાણ એ વાતાવરણીય દબાણ $(P_{atm})$ અને પાણીના સ્તંભને કારણે લાગતા ગેજ દબાણ $(h\rho g)$ નો સરવાળો છે.
આપેલ છે કે,$P_{total} = P_{atm} + h\rho g = 3 \, atm$.
અહીં $P_{atm} = 1 \, atm$ હોવાથી,ગેજ દબાણ $h\rho g = 3 \, atm - 1 \, atm = 2 \, atm$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $h\rho g = 2 \times 10^5 \, N/m^2$.
$gh = \frac{2 \times 10^5}{\rho} = \frac{2 \times 10^5}{10^3} = 200 \, m^2/s^2$.
હવે,વેગના સૂત્રમાં $gh$ ની કિંમત મૂકતા:
$v = \sqrt{2 \times (gh)} = \sqrt{2 \times 200} = \sqrt{400} \, m/s$.

(B) એક મોનોએટોમિક ગેસ પરમાણુ પાસે $3$ સ્વતંત્રતાના અંશો હોય છે કારણ કે તે ફક્ત $X-$,$Y-$ અને $Z-$ અક્ષો પર સ્થાનાંતરિત ગતિ કરી શકે છે. એક બિંદુ જેવા પરમાણુ માટે પરિભ્રમણ અને કંપનશીલ સ્વતંત્રતાના અંશો હોતા નથી.
તેથી,વિધાન સાચું છે.
સમીકરણ $\frac{C_P}{C_V} = \gamma$ એ મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માના ગુણોત્તર માટેનું પ્રમાણિત થર્મોડાયનેમિક સંબંધ છે,જે પણ સાચું છે.
જો કે,સ્વતંત્રતાના અંશોનું મૂલ્ય અણુના બંધારણ (મોનોએટોમિક,ડાયટોમિક,વગેરે) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,વિશિષ્ટ ઉષ્માના ગુણોત્તર $\gamma$ દ્વારા નહીં. તેથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) માધ્યમમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ માધ્યમની ઘનતા છે.
ધ્વનિ વાયુઓ કરતા ઘન પદાર્થોમાં વધુ ઝડપથી મુસાફરી કરે છે કારણ કે ઘન પદાર્થોની સ્થિતિસ્થાપકતા $(E)$ વાયુઓ કરતા ઘણી વધારે હોય છે.
જોકે એ સાચું છે કે ઘન પદાર્થો સામાન્ય રીતે વાયુઓ કરતા વધુ ઘનતા ધરાવે છે,પરંતુ ઘનતા વેગના સૂત્રના છેદમાં આવે છે $(v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}})$. તેથી,ઉચ્ચ ઘનતા વાસ્તવમાં ધ્વનિની ઝડપ ઘટાડવાનું વલણ ધરાવે છે.
ઘન પદાર્થોમાં ધ્વનિ ઝડપથી મુસાફરી કરે છે તેનું મુખ્ય કારણ ઘન પદાર્થોની ઘણી વધારે સ્થિતિસ્થાપકતા છે,જે તેમની ઉચ્ચ ઘનતાની અસર કરતા ઘણી વધારે છે. આમ,કારણ એ સાચું વિધાન છે,પરંતુ તે વિધાન માટેની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના કેન્દ્ર પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે વર્તુળના કોઈપણ બિંદુ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળ પરના તમામ બિંદુઓ માટે ત્રિજ્યા $r$ અચળ હોવાથી, પરિઘ પરના દરેક બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન હોય છે.
તેથી, આ વર્તુળ એક સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ તરીકે વર્તે છે.
બે બિંદુઓ વચ્ચે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V$ હોય, તો વિદ્યુતભાર $q_0$ ને ખસેડવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q_0 \Delta V$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભારને વર્તુળની આસપાસ એકવાર ફેરવવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુ સમાન હોય છે, તેથી $\Delta V = 0$.
આમ, કરવામાં આવતું કાર્ય $W = 1 \times 0 = 0\,\text{એકમ}$ થાય છે.

(C) જ્યારે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$.
લસાઅ $(30)$ લેતા: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{10 + 3 + 2}{30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$C_{eq} = 2\,\mu F$.
સ્ત્રોત દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V = 2\,\mu F \times 100\,V = 200\,\mu C$.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે અને તે સ્ત્રોત દ્વારા આપવામાં આવેલા કુલ વિદ્યુતભાર જેટલો હોય છે.
આમ,$15\,\mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $200\,\mu C$ છે.

(B) ધારો કે આપેલ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 8\,\mu F$ અને વોલ્ટેજ રેટિંગ $V = 250\,V$ છે. જરૂરી સંયુક્ત કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C' = 16\,\mu F$ અને વોલ્ટેજ રેટિંગ $V' = 1000\,V$ છે.
ધારો કે કેપેસિટરોની $m$ હરોળ સમાંતર જોડાણમાં છે,અને દરેક હરોળમાં $n$ કેપેસિટરો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
શ્રેણી હરોળમાં દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{V'}{n}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $250 = \frac{1000}{n} \implies n = 4$.
નેટવર્કનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C' = \frac{mC}{n}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $16 = \frac{m \times 8}{4} \implies 16 = 2m \implies m = 8$.
જરૂરી કુલ કેપેસિટરોની સંખ્યા $N = n \times m = 4 \times 8 = 32$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $N = \frac{C'}{C} \times \left( \frac{V'}{V} \right)^2 = \frac{16}{8} \times \left( \frac{1000}{250} \right)^2 = 2 \times (4)^2 = 2 \times 16 = 32$.

(A) કિર્ચોફનો પ્રથમ નિયમ,જેને કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે વિદ્યુત પરિપથમાં કોઈ જંકશન પર મળતા પ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $\Sigma i = 0$.
આ નિયમ સૂચવે છે કે જંકશનમાં પ્રવેશતો કુલ વીજભાર તેટલા જ સમયગાળામાં જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા કુલ વીજભાર જેટલો જ હોવો જોઈએ.
જંકશન પર વિદ્યુતભારનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,તેથી આ નિયમ વીજભાર સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(A) પરિપથમાં પ્રવાહ $i$ શોધવા માટે,આપણે લૂપ પર કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરીએ છીએ.
બિંદુ $A$ થી શરૂ કરીને અને ઉપરની શાખામાં ઘડિયાળની દિશામાં આગળ વધતા:
$-10i + 5 - 20i - 2 = 0$
પદોને જોડતા:
$-30i + 3 = 0$
$30i = 3$
$i = \frac{3}{30} = 0.1 \, A$
તેથી,પરિપથમાં પ્રવાહ $0.1 \, A$ છે.

(D) ધારો કે દરેક હીટર વાયરનો અવરોધ $R$ છે.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = R + R = 2R$ થાય છે.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય છે.
અચળ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ માટે,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H$ એ $H = \frac{V^2}{R_{eq}} \cdot t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$H \propto \frac{1}{R_{eq}}$.
શ્રેણીમાં $(H_s)$ અને સમાંતરમાં $(H_p)$ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{H_s}{H_p} = \frac{R_p}{R_s} = \frac{R/2}{2R} = \frac{1}{4}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M B_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{B_H}}$,અથવા $B_H \propto \frac{1}{T^2}$.
પ્રથમ સ્થળે,આવૃત્તિ $40 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ છે,તેથી આવર્તકાળ $T_1 = \frac{60}{40} = 1.5 \,s$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_H)_1 = 0.1 \times 10^{-5} \,T = 10^{-6} \,T$ છે.
બીજા સ્થળે,આવર્તકાળ $T_2 = 2.5 \,s$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{(B_H)_2}{(B_H)_1} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(B_H)_2 = (B_H)_1 \times \left( \frac{1.5}{2.5} \right)^2$
$(B_H)_2 = 10^{-6} \times \left( \frac{3}{5} \right)^2 = 10^{-6} \times \frac{9}{25} = 10^{-6} \times 0.36 = 0.36 \times 10^{-6} \,T$.

(B) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરમાં,કોઈલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$,પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ અને વિચલન કોણ $\theta$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$B = B_H \tan \theta$
આપેલ છે:
$B_H = 0.34 \times 10^{-4} \, T$
$\theta = 30^\circ$
કિંમતો મૂકતા:
$B = (0.34 \times 10^{-4}) \times \tan 30^\circ$
કારણ કે $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$:
$B = 0.34 \times 10^{-4} \times 0.577$
$B \approx 0.196 \times 10^{-4} \, T$
$B = 1.96 \times 10^{-5} \, T$

(C) કોઈપણ પદાર્થની ચુંબકીય પરમીએબિલિટી $(\mu)$ એટલે કે જ્યારે તેને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે ત્યારે તેની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને પસાર થવા દેવાની ક્ષમતા.
ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે, $\mu < \mu_0$ હોય છે.
પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે, $\mu > \mu_0$ હોય છે.
ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો માટે, $\mu \gg \mu_0$ હોય છે.
તેથી, ચુંબકીય પરમીએબિલિટી ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો માટે મહત્તમ હોય છે.

(C) ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નિર્બળ રીતે અપાકર્ષાય છે. જ્યારે તેમને અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ એક એવું બળ અનુભવે છે જે તેમને ચુંબકીય ક્ષેત્રની ઓછી તીવ્રતા ધરાવતા વિસ્તાર તરફ ધકેલે છે. તેથી,ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થ ચુંબકીય ક્ષેત્રના પ્રબળ ભાગથી નિર્બળ ભાગ તરફ ગતિ કરે છે.

(B) ડાયનેમો આર્મેચરમાં પ્રેરિત $e.m.f.$ $(e)$ નું સૂત્ર $e = N B A \omega \sin(\omega t)$ છે, જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે, $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે, $A$ એ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\omega$ એ કોણીય (પરિભ્રમણ) ગતિ છે。
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પ્રેરિત $e.m.f.$ એ પરિભ્રમણ ગતિના સીધા પ્રમાણમાં છે, એટલે કે $e \propto \omega$.
જો પરિભ્રમણ ગતિ $\omega$ બમણી $(2\omega)$ કરવામાં આવે, તો પ્રેરિત $e.m.f.$ પણ મૂળ મૂલ્ય કરતા બમણું થઈ જશે。

(D) ટ્રાન્સફોર્મર મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે, જેના માટે ગૌણ ગૂંચળામાં ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e.m.f.)$ ઉત્પન્ન કરવા માટે બદલાતા ચુંબકીય ફ્લક્સની જરૂર હોય છે.
લેકલાન્ચે કોષ અચળ ડાયરેક્ટ કરંટ $(dc)$ પૂરો પાડે છે, તેથી પ્રાથમિક ગૂંચળામાંથી વહેતો પ્રવાહ અચળ રહે છે.
અચળ પ્રવાહ અચળ ચુંબકીય ફ્લક્સ ઉત્પન્ન કરે છે, જે સમય સાથે બદલાતું નથી.
ફેરાડેના ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શનના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત $e.m.f.$ ત્યારે જ ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય $(\frac{d\phi}{dt} \neq 0)$.
તેથી, $dc$ ઇનપુટ માટે, ગૌણ ગૂંચળામાં પ્રેરિત $e.m.f.$ $0 \, V$ હશે.

(B) $LR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે.
અહીં,$X_L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે,જે $X_L = \omega L$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f$ હોવાથી,આપણે $X_L$ ના સૂત્રમાં આ કિંમત મૂકતા $X_L = 2\pi fL$ મળે છે.
હવે,$X_L$ ની કિંમત ઈમ્પીડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^2 + (2\pi fL)^2}$ મળે છે.
તેથી,$Z = \sqrt{R^2 + 4\pi^2 f^2 L^2}$.

(D) પ્રકાશની કણ પ્રકૃતિ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં પ્રકાશ ફોટોનના પ્રવાહ તરીકે વર્તે છે. ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિ ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપી દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન બીમ ઉચ્ચ રિઝોલ્યુશન મેળવવા માટે ચોક્કસ તરંગલંબાઇ (ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ) ધરાવતા તરંગ તરીકે વર્તે છે. આમ,આ ઘટનાઓ દ્વારા બંને પ્રકૃતિઓ પ્રદર્શિત થાય છે.

(C) ન્યુટ્રિનો એ એક પ્રાથમિક સબએટોમિક કણ છે જે ફક્ત નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા જ આંતરક્રિયા કરે છે. તે વિદ્યુતભાર રહિત છે (તેના પર કોઈ વીજભાર નથી) અને તે $1/2$ જેટલું આંતરિક કોણીય વેગમાન (સ્પિન) ધરાવે છે. તેથી,સાચું વર્ણન એ છે કે તે વીજભાર રહિત છે અને સ્પિન ધરાવે છે.

(B) ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{20} = 0.03465 \ min^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થના ક્ષય માટે જરૂરી સમય $t$ એ $t = \frac{2.303}{\lambda} \log_{10} \left( \frac{N_0}{N} \right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$33\%$ વિઘટન માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0 - 0.33N_0 = 0.67N_0$ છે. તેથી,$t_1 = \frac{2.303}{0.03465} \log_{10} \left( \frac{100}{67} \right) \approx 66.46 \times 0.1739 \approx 11.56 \ min$.
$67\%$ વિઘટન માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0 - 0.67N_0 = 0.33N_0$ છે. તેથી,$t_2 = \frac{2.303}{0.03465} \log_{10} \left( \frac{100}{33} \right) \approx 66.46 \times 0.4815 \approx 32.00 \ min$.
સમયનો તફાવત $\Delta t = t_2 - t_1 = 32.00 - 11.56 = 20.44 \ min \approx 20 \ min$ છે.

(B) $N$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટર બનાવવા માટે,આપણે જર્મેનિયમ $(Ge)$ જેવા શુદ્ધ સેમિકન્ડક્ટરમાં પેન્ટાવેલેન્ટ અશુદ્ધિ ($5$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતું તત્વ) ઉમેરવી પડે છે.
જ્યારે પેન્ટાવેલેન્ટ પરમાણુ (જેમ કે ફોસ્ફરસ,આર્સેનિક અથવા એન્ટિમની) ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે તેના $4$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન પાડોશી જર્મેનિયમ પરમાણુઓ સાથે સહસંયોજક બંધ બનાવે છે,જ્યારે $5$મો ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુત વહન માટે મુક્ત રહે છે.
તેથી,અશુદ્ધિ પરમાણુની સંયોજકતા $5$ હોવી જોઈએ.

(C) અર્ધવાહકોમાં,ફોરબિડન એનર્જી ગેપ (કન્ડક્શન બેન્ડ અને વેલેન્સ બેન્ડ વચ્ચેનું ઉર્જા અંતર) સામાન્ય રીતે $1 \, eV$ ના ક્રમનું હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે,સિલિકોનનો બેન્ડ ગેપ આશરે $1.1 \, eV$ છે અને જર્મેનિયમનો બેન્ડ ગેપ આશરે $0.7 \, eV$ છે.

(D) $N-$ પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટર મેળવવા માટે,જર્મેનિયમ (જે સમૂહ $14$ નું તત્વ છે) જેવા આંતરિક સેમિકન્ડક્ટરમાં પેન્ટાવેલેન્ટ અશુદ્ધિ (સમૂહ $15$ નું તત્વ) ઉમેરવી પડે છે.
પેન્ટાવેલેન્ટ અશુદ્ધિઓમાં $5$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
જ્યારે તેને જર્મેનિયમ સ્ફટિક લેટીસમાં ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે $4$ ઇલેક્ટ્રોન પડોશી જર્મેનિયમ પરમાણુઓ સાથે સહસંયોજક બંધ બનાવે છે અને $5$મો ઇલેક્ટ્રોન મુક્ત વિદ્યુતભાર વાહક (ઇલેક્ટ્રોન) તરીકે કાર્ય કરે છે.
ફોસ્ફરસ $(P)$ અને આર્સેનિક $(As)$ બંને પેન્ટાવેલેન્ટ તત્વો છે.
તેથી,જર્મેનિયમમાં ફોસ્ફરસ અથવા આર્સેનિકનું ડોપિંગ કરવાથી $N-$ પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટર મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) ફોરવર્ડ બાયસ્ડ $P-N$ જંકશનમાં,પોટેન્શિયલ બેરિયર ઘટે છે,જે મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સને જંકશન ઓળંગવા માટે સરળ બનાવે છે. આ પ્રક્રિયાને ડિફ્યુઝન કહેવામાં આવે છે,જે પ્રવાહ માટેનું મુખ્ય મિકેનિઝમ બને છે.
રિવર્સ બાયસ્ડ $P-N$ જંકશનમાં,પોટેન્શિયલ બેરિયર વધે છે,જે મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સને જંકશન ઓળંગતા અટકાવે છે. જોકે,માઇનોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ ડિપ્લેશન રિજનમાં હાજર વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે જંકશન ઓળંગી શકે છે. આ પ્રક્રિયાને ડ્રિફ્ટ કહેવામાં આવે છે,જે નાના રિવર્સ સેચ્યુરેશન પ્રવાહ માટેનું મુખ્ય મિકેનિઝમ બને છે.

(C) આપેલ છે કે બે તરંગોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{1}$ છે.
ધારો કે બે તરંગોના કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ છે. તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{9}{1}} = \frac{3}{1}$ થશે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{3 + 1}{3 - 1} \right)^2 = \left( \frac{4}{2} \right)^2 = (2)^2 = \frac{4}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(C) સાયક્લોટ્રોન એ સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે કે દોલિત વિદ્યુતક્ષેત્રની આવૃત્તિ એ કણની સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાય છે,જે $f = \frac{qB}{2\pi m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m)$ ખૂબ જ ઓછું હોવાથી,તે પ્રવેગિત થતી વખતે ખૂબ જ ઝડપથી ગતિ પ્રાપ્ત કરે છે.
સાપેક્ષવાદના સિદ્ધાંત મુજબ,જેમ ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ પ્રકાશની ઝડપની નજીક પહોંચે છે,તેમ તેનું સાપેક્ષ દળ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે $(m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}})$.
દળમાં આ વધારાને કારણે સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ બદલાય છે,જેના પરિણામે $a.c.$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ અને Dees માં ઇલેક્ટ્રોનની ભ્રમણ આવૃત્તિ વચ્ચે અસંગતતા સર્જાય છે.
પરિણામે,ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે ફેઝમાં રહેતું નથી અને તેને અસરકારક રીતે પ્રવેગિત કરી શકાતું નથી. આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) આપેલ છે: હીરાનો હવાની સાપેક્ષમાં વક્રીભવનાંક $\mu_d = \sqrt{6}$. પ્રવાહીનો હવાની સાપેક્ષમાં વક્રીભવનાંક $\mu_l = \sqrt{3}$.
પ્રવાહીની સાપેક્ષમાં હીરાનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\mu_d}{\mu_l} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$ થાય.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ. ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
આમ,$C = 45^{\circ}$ મળે.
અહીં આપેલ આપાતકોણ $i = 30^{\circ}$ એ ક્રાંતિકોણ $C = 45^{\circ}$ કરતા ઓછો હોવાથી,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થશે નહીં. તેથી,વિધાન ખોટું છે.
કારણ જણાવે છે કે $\mu = \frac{1}{\sin C}$,જે ક્રાંતિકોણ માટેનું સાચું સૂત્ર છે,જ્યાં $\mu$ એ પાતળા માધ્યમની સાપેક્ષમાં ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે. તેથી,કારણ સાચું છે.

(C) વિધાન સાચું છે: આથમતો સૂર્ય લાલ દેખાય છે કારણ કે સૂર્યાસ્ત સમયે, સૂર્યનો પ્રકાશ વાતાવરણમાં લાંબુ અંતર કાપે છે. આ મુસાફરી દરમિયાન, મોટાભાગની ટૂંકી તરંગલંબાઈઓ (વાદળી અને જાંબલી) વાતાવરણીય કણો દ્વારા વિખેરાઈ જાય છે, જેના કારણે માત્ર લાંબી તરંગલંબાઈ (લાલ) આપણી આંખો સુધી પહોંચે છે.
કારણ ખોટું છે: રેલેના પ્રકીર્ણનના નિયમ મુજબ, પ્રકીર્ણન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા $(I)$ તેની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ની ચતુર્થ ઘાતના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $I \propto 1/\lambda^4$. તેથી, પ્રકીર્ણન એ તરંગલંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, સમપ્રમાણમાં નહીં.

(D) સાપેક્ષવાદના સિદ્ધાંત મુજબ,કણનું દળ તેની ઝડપ $v$ સાથે $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ સૂત્ર મુજબ વધે છે.
જોકે,કણનો વિદ્યુતભાર એ અચળ રાશિ છે અને તે તેની ઝડપ સાથે બદલાતો નથી.
તેથી,વિધાન ખોટું છે કારણ કે વિદ્યુતભાર અચળ રહે છે,જ્યારે કારણ સાચું છે કારણ કે તે સાપેક્ષવાદી દળમાં થતા ફેરફારનું સચોટ વર્ણન કરે છે.

(B) ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। કારણ કે $p = mc$ (જ્યાં $m$ એ ફોટોનનું સાપેક્ષ દળ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે), તેથી $mc = \frac{h}{\lambda}$, જે સૂચવે છે કે $m = \frac{h}{c\lambda}$। આમ, ગતિશીલ ફોટોનનું દળ $m$ તેની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે। તેથી વિધાન સાચું છે.
કારણ જણાવે છે કે $E = mc^2$। જોકે આ આઈન્સ્ટાઈનનો દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાનો સંબંધ છે, તે સ્થિર કણની ઉર્જા અથવા દળના ઉર્જા સમતુલ્યને દર્શાવે છે। તે ફોટોનના દળ અને તેની તરંગલંબાઈ વચ્ચેના સંબંધને સમજાવતું નથી। તેથી, કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી।