AIIMS 2000 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है कि $|\overrightarrow A \times \overrightarrow B | = |\overrightarrow A \cdot \overrightarrow B |$ है।
सदिश गुणन और अदिश गुणन की परिभाषा का उपयोग करने पर:
$|\overrightarrow A | |\overrightarrow B | \sin \theta = |\overrightarrow A | |\overrightarrow B | \cos \theta$.
दोनों पक्षों को $|\overrightarrow A | |\overrightarrow B | \cos \theta$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $\overrightarrow A, \overrightarrow B \neq 0$):
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1$.
$\tan \theta = 1$.
चूंकि $\tan 45^\circ = 1$ होता है,इसलिए कोण $\theta = 45^\circ$ होगा।

(B) किसी पिंड के संतुलन में रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाले सभी बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए,अर्थात $\sum \vec{F} = 0$।
यदि केवल दो बल हैं,तो उन्हें एक-दूसरे को निरस्त करने के लिए परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि उन्हें संरेखीय (collinear) होना चाहिए।
चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि बल गैर-संरेखीय हैं,इसलिए दो बल संतुलन की स्थिति को संतुष्ट नहीं कर सकते।
इसलिए,सदिशों का एक बंद त्रिभुज बनाने के लिए कम से कम तीन गैर-संरेखीय बलों की आवश्यकता होती है,ताकि उनका परिणामी बल शून्य हो।
इसका एक उदाहरण $120^{\circ}$ के कोण पर कार्य करने वाले तीन समान बल हैं।
अतः,बलों की न्यूनतम संख्या $3$ है।

(B) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$d$ दूरी पर स्थित दो द्रव्यमानों $m_1$ और $m_2$ के बीच बल $F = \frac{G m_1 m_2}{d^2}$ होता है।
सूत्र को गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ के लिए व्यवस्थित करने पर,$G = \frac{F d^2}{m_1 m_2}$ प्राप्त होता है।
बल $F$ का विमीय सूत्र $[MLT^{-2}]$ है,दूरी $d$ के लिए $[L]$ है,और द्रव्यमान $m$ के लिए $[M]$ है।
इन मानों को $G$ के व्यंजक में रखने पर: $[G] = \frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M][M]} = \frac{[ML^3T^{-2}]}{[M^2]} = [M^{-1}L^3T^{-2}]$।

(B) $n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र $S_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ है।
दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 10\; m/s$,त्वरण $g = 10\; m/s^2$.
$3^{rd}$ सेकंड के लिए $(n=3)$:
$S_3 = 10 + \frac{10}{2}(2 \times 3 - 1) = 10 + 5(5) = 10 + 25 = 35\; m$.
$2^{nd}$ सेकंड के लिए $(n=2)$:
$S_2 = 10 + \frac{10}{2}(2 \times 2 - 1) = 10 + 5(3) = 10 + 15 = 25\; m$.
दूरियों का अनुपात $\frac{S_3}{S_2} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5}$ है।

(A) जब कोई व्यक्ति प्लेटफॉर्म से कूदना चाहता है,तो उसे गति के तीसरे नियम के अनुसार ऊपर की ओर संवेग प्राप्त करने के लिए प्लेटफॉर्म पर अतिरिक्त नीचे की ओर बल लगाना पड़ता है।
यह अतिरिक्त बल स्प्रिंग बैलेंस के पाठ्यांक को क्षण भर के लिए बढ़ा देता है।
जैसे ही व्यक्ति प्लेटफॉर्म छोड़ता है,संपर्क बल शून्य हो जाता है और परिणामस्वरूप,स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक शून्य हो जाता है।

(B) किसी पिंड का संवेग $p$ उसके द्रव्यमान $m$ और वेग $v$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित होता है,जिसे $p = mv$ द्वारा दिया जाता है।
यदि संवेग $p$ नियत है और पिंड का द्रव्यमान $m$ नियत माना जाता है,तो वेग $v = p/m$ भी नियत होना चाहिए।
चूंकि वेग नियत है,इसलिए त्वरण $a = dv/dt$ शून्य होना चाहिए।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $F = ma$ भी शून्य होना चाहिए।
अतः,यदि संवेग नियत है,तो वेग नियत होना चाहिए।

(A) घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W = f_k \times S$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f_k$ गतिज घर्षण बल है और $S$ विस्थापन है।
चूँकि सतह क्षैतिज है,अभिलंब बल $N = mg$ होगा।
घर्षण बल $f_k = \mu N = \mu mg$ है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 50\, kg$,दूरी $S = 1\, m$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.2$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8\, m/s^2$.
मान रखने पर: $W = 0.2 \times 50 \times 9.8 \times 1$.
$W = 10 \times 9.8 = 98\, J$.

(D) समान द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर में,टक्कर के बाद पिंडों के वेग आपस में बदल जाते हैं।
दिया गया है: द्रव्यमान $m_1$ का प्रारंभिक वेग $u_1 = +3 \, m/s$ और द्रव्यमान $m_2$ का प्रारंभिक वेग $u_2 = -5 \, m/s$ है।
चूंकि $m_1 = m_2$ है,इसलिए प्रत्यास्थ टक्कर के बाद,द्रव्यमान $m_1$ का अंतिम वेग $v_1 = u_2 = -5 \, m/s$ हो जाएगा और द्रव्यमान $m_2$ का अंतिम वेग $v_2 = u_1 = +3 \, m/s$ हो जाएगा।

(A) माना प्रारंभिक ऊँचाई $h_1 = 10\,m$ है और उछाल के बाद की ऊँचाई $h_2$ है।
चूंकि पिंड टक्कर के दौरान अपनी $20\%$ ऊर्जा खो देता है,इसलिए शेष ऊर्जा उसकी प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा का $80\%$ है।
अतः,$mgh_2 = 0.80 \times mgh_1$.
यह सरल होकर $\frac{h_2}{h_1} = 0.8$ देता है।
फर्श से उछलने वाले पिंड के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ का मान $e = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$e = \sqrt{0.8} \approx 0.894$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रत्यावस्थान गुणांक लगभग $0.89$ है।

(A) पृथ्वी की सतह पर पिंड का भार $W = mg = 72 \ N$ है।
पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$ है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यहाँ $h = \frac{R}{2}$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$g' = g \left( \frac{R}{R + \frac{R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{R}{\frac{3R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g$.
$h$ ऊँचाई पर पिंड का भार $W' = mg' = m \left( \frac{4}{9}g \right) = \frac{4}{9} W$ होगा।
$W = 72 \ N$ का मान रखने पर:
$W' = \frac{4}{9} \times 72 = 4 \times 8 = 32 \ N$.

(D) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,$r = R_e$,इसलिए $U_1 = -\frac{GMm}{R_e} = -mgR_e$ (चूँकि $g = \frac{GM}{R_e^2}$)।
सतह से $h = R_e$ ऊँचाई पर,केंद्र से दूरी $r = R_e + h = R_e + R_e = 2R_e$ होगी।
इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U_2 = -\frac{GMm}{2R_e}$ होगी।
$GM = gR_e^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U_2 = -\frac{(gR_e^2)m}{2R_e} = -\frac{1}{2}mgR_e$ प्राप्त होता है।

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पृथ्वी के लिए,$v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = 11.2 \, km/s$.
चंद्रमा के लिए,द्रव्यमान $M_m = \frac{M_e}{81}$ और त्रिज्या $R_m = \frac{R_e}{4}$ है।
चंद्रमा पर पलायन वेग $v_m = \sqrt{\frac{2GM_m}{R_m}} = \sqrt{\frac{2G(M_e/81)}{(R_e/4)}} = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e} \times \frac{4}{81}}$.
मान रखने पर,$v_m = \sqrt{\frac{4}{81}} \times \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = \frac{2}{9} \times 11.2 \, km/s$.
$v_m = 0.222 \times 11.2 \approx 2.488 \, km/s$,जो लगभग $2.5 \, km/s$ है।

(A) $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$r = R_e + h$,जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $h$ उपग्रह की ऊँचाई है।
दिया गया है कि $h = 6.4 \times 10^6 \ m$ और $R_e \approx 6.4 \times 10^6 \ m$,इसलिए $r = R_e + R_e = 2R_e$ है।
संबंध $g = \frac{GM}{R_e^2}$ का उपयोग करते हुए,हम $GM = gR_e^2$ लिख सकते हैं।
इन मानों को स्थितिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$U = -\frac{(gR_e^2)m}{2R_e} = -\frac{1}{2}mgR_e = -0.5 \, mgR_e$।

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $R$ के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto R^3$।
प्रथम उपग्रह के लिए दिया गया है: $T_1 = T$ और $R_1 = R$।
दूसरे उपग्रह के लिए: $R_2 = 4R$ और हमें $T_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^{3/2}$
मान रखने पर:
$\frac{T_2}{T} = \left( \frac{4R}{R} \right)^{3/2}$
$\frac{T_2}{T} = (4)^{3/2}$
$\frac{T_2}{T} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$
अतः,$T_2 = 8T$।

(C) आदर्श गैस का समतापीय आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $(K_i)$ गैस के दाब $(P)$ के बराबर होता है।
वायुमंडलीय दाब पर गैस के लिए,दाब $P = 1\,atm$ होता है।
हम जानते हैं कि $1\,atm = 1.013 \times 10^5\,N/m^2$ होता है।
अतः,समतापीय आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $K_i = 1.013 \times 10^5\,N/m^2$ होगा।

(B) जब एक रबर बैंड को खींचा जाता है,तो पदार्थ के आंतरिक प्रत्यास्थ बलों के विरुद्ध कार्य किया जाता है।
यह किया गया कार्य रबर बैंड में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
इसलिए,एक खींचे हुए रबर बैंड में उसकी बिना खींची हुई अवस्था की तुलना में बढ़ी हुई स्थितिज ऊर्जा होती है।

(B) साबुन की फिल्म का क्षेत्रफल बढ़ाने में किया गया कार्य $(W)$ का सूत्र $W = T \times \Delta A_{total}$ है।
चूंकि साबुन की फिल्म की दो सतहें होती हैं,इसलिए क्षेत्रफल में कुल परिवर्तन $\Delta A_{total} = 2 \times (A_{final} - A_{initial})$ होगा।
प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_i = 10 \, cm \times 6 \, cm = 60 \, cm^2 = 60 \times 10^{-4} \, m^2$.
अंतिम क्षेत्रफल $A_f = 10 \, cm \times 11 \, cm = 110 \, cm^2 = 110 \times 10^{-4} \, m^2$.
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_f - A_i = (110 - 60) \times 10^{-4} \, m^2 = 50 \times 10^{-4} \, m^2$.
क्षेत्रफल में कुल परिवर्तन $\Delta A_{total} = 2 \times 50 \times 10^{-4} \, m^2 = 100 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-2} \, m^2$.
दिया गया है $W = 3 \times 10^{-4} \, J$.
$W = T \times \Delta A_{total}$ का उपयोग करने पर,$T = \frac{W}{\Delta A_{total}} = \frac{3 \times 10^{-4}}{10^{-2}} = 3 \times 10^{-2} \, N/m$ प्राप्त होता है।

(A) साबुन की फिल्म का क्षेत्रफल बढ़ाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A \times 2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $2$ साबुन की फिल्म की दो सतहों को दर्शाता है।
प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = 10\;cm \times 6\;cm = 60\;cm^2 = 60 \times 10^{-4}\;m^2$.
अंतिम क्षेत्रफल $A_2 = 10\;cm \times 11\;cm = 110\;cm^2 = 110 \times 10^{-4}\;m^2$.
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = (110 - 60) \times 10^{-4}\;m^2 = 50 \times 10^{-4}\;m^2$.
दिया गया है $W = 2 \times 10^{-4}\;J$.
सूत्र $W = 2T \Delta A$ का उपयोग करने पर,$T = \frac{W}{2 \Delta A}$ प्राप्त होता है।
$T = \frac{2 \times 10^{-4}}{2 \times (50 \times 10^{-4})} = \frac{1}{50} = 0.02\;N/m = 2 \times 10^{-2}\;N/m$.

(B) $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P$ को सूत्र $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\Delta P \propto \frac{1}{r}$।
मान लीजिए कि पहले बुलबुले की त्रिज्या $r_1 = r$ है और दूसरे बुलबुले की त्रिज्या $r_2 = 4r$ है।
उनके अतिरिक्त दबाव का अनुपात $\frac{\Delta P_1}{\Delta P_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{4r}{r} = \frac{4}{1}$ होगा।
अतः,सही अनुपात $4:1$ है।

(C) गोलाकार बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P$ का सूत्र $\Delta P = \frac{2T}{R}$ होता है।
दिया गया है:
पृष्ठ तनाव $T = 70 \times 10^{-3}\, N/m$
त्रिज्या $R = 1\, mm = 1 \times 10^{-3}\, m$
मान रखने पर:
$\Delta P = \frac{2 \times 70 \times 10^{-3}}{1 \times 10^{-3}}$
$\Delta P = 2 \times 70 = 140\, N/m^2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) किसी द्रव का आभासी प्रसार उसके वास्तविक प्रसार और पात्र के प्रसार के बीच का अंतर होता है।
कांच के पात्र का आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_{vessel})$ रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ से $\gamma_{vessel} = 3\alpha$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$\gamma_{vessel} = 3 \times 0.000009 = 0.000027 \text{ /}^{\circ}\text{C}$।
आभासी आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_{app})$ को $\gamma_{app} = \gamma_{real} - \gamma_{vessel}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$\gamma_{app} = 0.000597 - 0.000027 = 0.00057 \text{ /}^{\circ}\text{C}$।

(A) जब सिलेंडर में हवा को अचानक संपीड़ित किया जाता है,तो यह प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) होती है।
अचानक संपीड़न के कारण,गैस पर किया गया कार्य उसकी आंतरिक ऊर्जा को बढ़ा देता है,जिससे सिस्टम का तापमान काफी बढ़ जाता है।
संपीड़न के बाद,पिस्टन को एक निश्चित स्थिति में रखा जाता है,जिसका अर्थ है कि आयतन स्थिर रहता है।
चूंकि सिस्टम का तापमान आसपास के वातावरण से अधिक होता है,इसलिए ऊष्मीय संतुलन प्राप्त होने तक सिस्टम से आसपास के वातावरण में ऊष्मा का प्रवाह होता है।
जैसे-जैसे गैस का तापमान घटता है और आयतन स्थिर रहता है,आदर्श गैस नियम $(PV = nRT)$ के अनुसार,गैस का दबाव कम हो जाता है।

(C) तरल पदार्थों (जैसे हवा) में ऊष्मा स्थानांतरण का प्राथमिक तरीका संवहन (Convection) है। जब आग के पास की हवा गर्म होती है,तो वह कम घनी हो जाती है और उत्प्लावकता के कारण ऊपर उठती है। गर्म हवा की यह ऊपर उठती धारा महत्वपूर्ण मात्रा में गर्मी को ऊपर की ओर ले जाती है। इसलिए,आग के ठीक ऊपर का तापमान किनारों की तुलना में बहुत अधिक होता है,जहाँ हवा गर्म धाराओं द्वारा सक्रिय रूप से प्रतिस्थापित नहीं हो रही होती है। अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\max})$ और कृष्णिका के परम तापमान $(T)$ का गुणनफल नियत रहता है।
$\lambda_{\max} T = b$ (नियत)
अतः,$T \propto \frac{1}{\lambda_{\max}}$.
माना सूर्य के लिए तापमान और अधिकतम तरंगदैर्ध्य $T_S$ और $\lambda_S$ हैं,तथा उत्तर तारे के लिए $T_N$ और $\lambda_N$ हैं।
दिया गया है: $\lambda_S = 510\;nm$ और $\lambda_N = 350\;nm$.
सतह के तापमान का अनुपात:
$\frac{T_S}{T_N} = \frac{\lambda_N}{\lambda_S} = \frac{350}{510} \approx 0.686$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.69$ प्राप्त होता है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका की प्रति इकाई सतह क्षेत्र से प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा $E$ उसके परम तापमान $T$ की चतुर्थ घात के सीधे समानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,इसे $E = \sigma T^4$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक है।
अतः,उत्सर्जित विकिरण की मात्रा आदर्श गैस पैमाने पर तापमान की चतुर्थ घात के समानुपाती होती है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,ऊष्मा विकिरण की दर $H$ परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है $(H \propto T^4)$।
सबसे पहले,तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_A = 727 + 273 = 1000 \ K$
$T_B = 327 + 273 = 600 \ K$
विकिरित ऊष्मा की दरों का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{H_A}{H_B} = \left( \frac{T_A}{T_B} \right)^4$
$\frac{H_A}{H_B} = \left( \frac{1000}{600} \right)^4 = \left( \frac{10}{6} \right)^4 = \left( \frac{5}{3} \right)^4$
$\frac{H_A}{H_B} = \frac{5^4}{3^4} = \frac{625}{81}$
अतः,अनुपात $625:81$ है।

(A) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए,$T_1 = 2 \, s$ और द्रव्यमान $m_1 = m$ है।
अतः,$2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \implies 1 = \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
अंतिम स्थिति के लिए,द्रव्यमान में $2 \, kg$ की वृद्धि होती है,इसलिए $m_2 = m + 2$ है। आवर्तकाल में $1 \, s$ की वृद्धि होती है,इसलिए $T_2 = 2 + 1 = 3 \, s$ है।
अतः,$3 = 2\pi \sqrt{\frac{m+2}{k}}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{2} = \sqrt{\frac{m+2}{m}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{9}{4} = \frac{m+2}{m}$.
तिर्यक गुणा करने पर:
$9m = 4(m + 2) \implies 9m = 4m + 8$.
$5m = 8 \implies m = \frac{8}{5} \, kg = 1.6 \, kg$.

(A) दिया गया समीकरण $y = 10\sin(0.01\pi x - 2\pi t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A\sin(kx - \omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें आयाम $A = 10 \ cm$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi \ rad/s$ प्राप्त होती है।
रस्सी में एक कण की अधिकतम अनुप्रस्थ गति का सूत्र $v_{\max} = A\omega$ है।
मान रखने पर,हमें $v_{\max} = 10 \times 2\pi$ प्राप्त होता है।
$v_{\max} = 20 \times 3.14159 = 62.83 \ cm/s$.
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $v_{\max} \approx 63 \ cm/s$ प्राप्त होता है।

(D) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = a \sin(kx - \omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = a \sin(0.01x - 2t)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
तरंग संख्या $k = 0.01 \, cm^{-1}$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \, rad/s$
तरंग के संचरण का वेग $v = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $v = \frac{2}{0.01} = 200 \, cm/s$.

(A) दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
$3$ निस्पंदों और $2$ प्रस्पंदों वाली एक अप्रगामी तरंग में $2$ लूप होते हैं।
दो चरम निस्पंदों के बीच की कुल लंबाई $L = 2 \times \frac{\lambda}{2} = \lambda$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि दो परमाणुओं (जो चरम निस्पंदों के रूप में कार्य करते हैं) के बीच की दूरी $1.21 \; \mathring{A}$ है,इसलिए $L = 1.21 \; \mathring{A}$।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 1.21 \; \mathring{A}$ है।

(B) डॉप्लर प्रभाव तब होता है जब स्रोत और प्रेक्षक के बीच उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश सापेक्ष वेग होता है।
इस प्रश्न में,वाहन प्रेक्षक और वाहन को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत दिशा में चल रहा है।
इसलिए,प्रेक्षक और स्रोत को जोड़ने वाली रेखा पर स्रोत के वेग का घटक $v_s \cos(90^{\circ}) = 0$ है।
चूंकि दृष्टि रेखा के अनुदिश कोई सापेक्ष गति नहीं है,इसलिए प्रेक्षक द्वारा अनुभव की गई आवृत्ति स्रोत की आवृत्ति के समान ही रहती है।
अतः,प्रेक्षित आवृत्ति $n' = n$ है।
यह दिया गया है कि प्रेक्षित आवृत्ति $n + n_1$ है,इसलिए $n + n_1 = n$,जिसका अर्थ है कि $n_1 = 0$।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य कृष्णिका के परम ताप के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\lambda_{max} \propto \frac{1}{T}$.
मान लीजिए $T_S$ और $\lambda_S$ सूर्य का तापमान और अधिकतम तरंगदैर्ध्य हैं,और $T_X$ और $\lambda_X$ तारे $X$ का तापमान और अधिकतम तरंगदैर्ध्य हैं।
दिया गया है: $\lambda_S = 510 \, nm$ और $\lambda_X = 350 \, nm$.
तापमान का अनुपात इस प्रकार है: $\frac{T_S}{T_X} = \frac{\lambda_X}{\lambda_S}$.
मान रखने पर: $\frac{T_S}{T_X} = \frac{350}{510} \approx 0.686$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,अनुपात $0.68$ प्राप्त होता है।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कोणीय गति $\omega$ स्थिर है,इसलिए किया गया कार्य न्यूनतम होगा जब जड़त्व आघूर्ण $I$ न्यूनतम हो।
मान लीजिए कि घूर्णन अक्ष $0.3 \ kg$ के द्रव्यमान से $x$ दूरी पर स्थित एक बिंदु से गुजरती है। तब $0.7 \ kg$ के द्रव्यमान से इसकी दूरी $(1.4 - x)$ होगी।
जड़त्व आघूर्ण $I = 0.3x^2 + 0.7(1.4 - x)^2$ है।
$I$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dI}{dx} = 0.3(2x) + 0.7(2)(1.4 - x)(-1) = 0$
$0.6x - 1.4(1.4 - x) = 0$
$0.6x - 1.96 + 1.4x = 0$
$2.0x = 1.96$
$x = 0.98 \ m$.
अतः,अक्ष को $0.3 \ kg$ के द्रव्यमान से $0.98 \ m$ की दूरी पर गुजरना चाहिए।

(A) ऊपर की गति के लिए,उच्चतम बिंदु पर अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए,गति के अंतिम सेकंड के लिए,उस अंतिम सेकंड की शुरुआत में प्रारंभिक वेग $u' = v - at = 0 - (-g)(1) = g$ होता है।
अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी $s = u't + \frac{1}{2}at^2 = g(1) + \frac{1}{2}(-g)(1)^2 = g - \frac{g}{2} = \frac{g}{2}$ है।
$g \approx 10 \ m/s^2$ लेने पर,हमें $s = \frac{10}{2} = 5 \ m$ प्राप्त होता है।
यह दूरी प्रक्षेपण के प्रारंभिक वेग से स्वतंत्र है।
Reason भी सही है क्योंकि गति सममित है; ऊपर की गति के अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी,स्थिर अवस्था $(u=0)$ से शुरू होने वाले मुक्त पतन (नीचे की गति) के पहले सेकंड में तय की गई दूरी के बराबर होती है।
अतः,Assertion और Reason दोनों सही हैं,और Reason,Assertion की सही व्याख्या है।

(A) पृथ्वी पर,हाइड्रोजन से भरा गुब्बारा ऊपर उठता है क्योंकि उत्प्लावन बल (buoyant force) गुब्बारे के वजन से अधिक होता है।
चंद्रमा पर कोई वायुमंडल नहीं है,जिसका अर्थ है कि उत्प्लावन बल प्रदान करने के लिए वहां कोई हवा नहीं है।
इसलिए,गुब्बारा केवल चंद्रमा के गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में मुक्त पतन (free fall) करेगा।
चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण $\frac{g}{6}$ है,जहां $g$ पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि गुब्बारा मुक्त पतन में है,इसलिए इसका त्वरण चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण के बराबर होगा,जो $\frac{g}{6}$ है।
अतः,$Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं,और $Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या करता है।

(B) बहिःस्राव का वेग टोरिसेली के नियम द्वारा दिया जाता है: $v = \sqrt{2gh}$।
टंकी के तल पर कुल दाब,वायुमंडलीय दाब $(P_{atm})$ और जल स्तंभ के कारण गेज दाब $(h\rho g)$ का योग होता है।
दिया गया है,$P_{total} = P_{atm} + h\rho g = 3 \, atm$।
चूंकि $P_{atm} = 1 \, atm$,इसलिए गेज दाब $h\rho g = 3 \, atm - 1 \, atm = 2 \, atm$ होगा।
मान रखने पर: $h\rho g = 2 \times 10^5 \, N/m^2$।
$gh = \frac{2 \times 10^5}{\rho} = \frac{2 \times 10^5}{10^3} = 200 \, m^2/s^2$।
अब,वेग के सूत्र में $gh$ का मान रखने पर:
$v = \sqrt{2 \times (gh)} = \sqrt{2 \times 200} = \sqrt{400} \, m/s$।

(B) एक एकल-परमाणुक (monoatomic) गैस परमाणु में स्वतंत्रता की $3$ कोटियाँ होती हैं क्योंकि यह केवल $X-$,$Y-$ और $Z-$ अक्षों के अनुदिश स्थानांतरीय गति कर सकता है। एक बिंदु-समान परमाणु के लिए घूर्णन और कंपन संबंधी स्वतंत्रता की कोटियाँ नहीं होती हैं।
अतः,अभिकथन सही है।
समीकरण $\frac{C_P}{C_V} = \gamma$ मोलर विशिष्ट ऊष्मा के अनुपात के लिए एक मानक ऊष्मागतिक संबंध है,जो कि स्वयं में सही है।
हालाँकि,स्वतंत्रता की कोटि का मान अणु की संरचना (एकल-परमाणुक,द्वि-परमाणुक,आदि) द्वारा निर्धारित होता है,न कि विशिष्ट ऊष्मा के अनुपात $\gamma$ द्वारा। इसलिए,कारण अभिकथन की सही व्याख्या नहीं है।

(B) किसी माध्यम में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ प्रत्यास्थता गुणांक है और $\rho$ माध्यम का घनत्व है।
ध्वनि गैसों की तुलना में ठोस पदार्थों में तेजी से यात्रा करती है क्योंकि ठोस पदार्थों की प्रत्यास्थता $(E)$ गैसों की तुलना में काफी अधिक होती है।
हालाँकि यह सच है कि ठोस पदार्थों का घनत्व आमतौर पर गैसों से अधिक होता है,लेकिन घनत्व वेग सूत्र के हर (denominator) में आता है $(v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}})$। इसलिए,उच्च घनत्व वास्तव में ध्वनि की गति को कम करने की प्रवृत्ति रखता है।
ठोस पदार्थों में ध्वनि तेजी से यात्रा करती है क्योंकि इसका मुख्य कारण ठोस पदार्थों की बहुत अधिक प्रत्यास्थता है,जो उनके उच्च घनत्व के प्रभाव से कहीं अधिक है। अतः,कारण एक सत्य कथन है,लेकिन यह अभिकथन की सही व्याख्या नहीं है।

(A) $r$ त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र पर स्थित आवेश $q$ के कारण वृत्त के किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वृत्त के सभी बिंदुओं के लिए त्रिज्या $r$ स्थिर है, इसलिए परिधि पर प्रत्येक बिंदु पर विद्युत विभव समान होता है।
अतः, यह वृत्त एक समविभव पृष्ठ के रूप में कार्य करता है।
दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $\Delta V$ होने पर, आवेश $q_0$ को स्थानांतरित करने में किया गया कार्य $W = q_0 \Delta V$ होता है।
जब आवेश को वृत्त के चारों ओर एक बार घुमाया जाता है, तो प्रारंभिक और अंतिम बिंदु समान होते हैं, इसलिए $\Delta V = 0$.
इस प्रकार, किया गया कार्य $W = 1 \times 0 = 0\,\text{इकाई}$ है।

(C) जब संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(30)$ लेने पर: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{10 + 3 + 2}{30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
अतः,$C_{eq} = 2\,\mu F$.
स्रोत द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = 2\,\mu F \times 100\,V = 200\,\mu C$.
श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है और यह स्रोत द्वारा प्रदान किए गए कुल आवेश के बराबर होता है।
इस प्रकार,$15\,\mu F$ के संधारित्र पर आवेश $200\,\mu C$ है।

(B) माना कि दिए गए संधारित्र की धारिता $C = 8\,\mu F$ और वोल्टेज रेटिंग $V = 250\,V$ है। आवश्यक संयुक्त संधारित्र की धारिता $C' = 16\,\mu F$ और वोल्टेज रेटिंग $V' = 1000\,V$ है।
माना कि संधारित्रों की $m$ पंक्तियाँ समानांतर क्रम में जुड़ी हैं,और प्रत्येक पंक्ति में $n$ संधारित्र श्रेणी क्रम में जुड़े हैं।
श्रेणी क्रम की प्रत्येक पंक्ति में प्रत्येक संधारित्र पर विभवांतर $V = \frac{V'}{n}$ होता है।
मान रखने पर: $250 = \frac{1000}{n} \implies n = 4$।
नेटवर्क की तुल्य धारिता $C' = \frac{mC}{n}$ होती है।
मान रखने पर: $16 = \frac{m \times 8}{4} \implies 16 = 2m \implies m = 8$।
आवश्यक कुल संधारित्रों की संख्या $N = n \times m = 4 \times 8 = 32$ है।
वैकल्पिक रूप से,सूत्र का उपयोग करते हुए: $N = \frac{C'}{C} \times \left( \frac{V'}{V} \right)^2 = \frac{16}{8} \times \left( \frac{1000}{250} \right)^2 = 2 \times (4)^2 = 2 \times 16 = 32$।

(A) किरचॉफ का प्रथम नियम,जिसे किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ भी कहा जाता है,यह बताता है कि विद्युत परिपथ में किसी जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है,अर्थात् $\Sigma i = 0$।
यह नियम दर्शाता है कि जंक्शन में प्रवेश करने वाला कुल आवेश उसी समय अंतराल में जंक्शन से बाहर निकलने वाले कुल आवेश के बराबर होना चाहिए।
चूंकि जंक्शन पर विद्युत आवेश न तो उत्पन्न किया जा सकता है और न ही नष्ट,इसलिए यह नियम आवेश संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।

(A) परिपथ में धारा $i$ ज्ञात करने के लिए,हम लूप पर किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करते हैं।
बिंदु $A$ से शुरू करके और ऊपरी शाखा में दक्षिणावर्त दिशा में चलते हुए:
$-10i + 5 - 20i - 2 = 0$
पदों को संयोजित करने पर:
$-30i + 3 = 0$
$30i = 3$
$i = \frac{3}{30} = 0.1 \, A$
अतः,परिपथ में धारा $0.1 \, A$ है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक हीटर तार का प्रतिरोध $R$ है।
जब श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_s = R + R = 2R$ होता है।
जब समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होता है।
स्थिर विभवांतर $V$ के लिए,उत्पन्न ऊष्मा $H$ का मान $H = \frac{V^2}{R_{eq}} \cdot t$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$H \propto \frac{1}{R_{eq}}$।
श्रेणीक्रम $(H_s)$ और समांतर क्रम $(H_p)$ में उत्पन्न ऊष्मा का अनुपात $\frac{H_s}{H_p} = \frac{R_p}{R_s} = \frac{R/2}{2R} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,अनुपात $1:4$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबक के दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M B_H}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुंबकीय आघूर्ण है।
इसका अर्थ है $T \propto \frac{1}{\sqrt{B_H}}$,या $B_H \propto \frac{1}{T^2}$।
पहले स्थान पर,आवृत्ति $40 \text{ दोलन/मिनट}$ है,इसलिए आवर्तकाल $T_1 = \frac{60}{40} = 1.5 \,s$ है। चुंबकीय क्षेत्र $(B_H)_1 = 0.1 \times 10^{-5} \,T = 10^{-6} \,T$ है।
दूसरे स्थान पर,आवर्तकाल $T_2 = 2.5 \,s$ है।
अनुपात $\frac{(B_H)_2}{(B_H)_1} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(B_H)_2 = (B_H)_1 \times \left( \frac{1.5}{2.5} \right)^2$
$(B_H)_2 = 10^{-6} \times \left( \frac{3}{5} \right)^2 = 10^{-6} \times \frac{9}{25} = 10^{-6} \times 0.36 = 0.36 \times 10^{-6} \,T$.

(B) एक स्पर्शज्या गैल्वेनोमीटर में,कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$,पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $B_H$ और विक्षेप कोण $\theta$ से निम्न सूत्र द्वारा संबंधित है:
$B = B_H \tan \theta$
दिया गया है:
$B_H = 0.34 \times 10^{-4} \, T$
$\theta = 30^\circ$
मान रखने पर:
$B = (0.34 \times 10^{-4}) \times \tan 30^\circ$
चूंकि $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$:
$B = 0.34 \times 10^{-4} \times 0.577$
$B \approx 0.196 \times 10^{-4} \, T$
$B = 1.96 \times 10^{-5} \, T$

(C) किसी पदार्थ की चुंबकीय पारगम्यता $(\mu)$ उसकी वह क्षमता है जिसके द्वारा वह बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखे जाने पर अपने भीतर चुंबकीय क्षेत्र को धारण करता है।
प्रतिचुंबकीय पदार्थों के लिए, $\mu < \mu_0$ होता है।
अनुचुंबकीय पदार्थों के लिए, $\mu > \mu_0$ होता है।
लौहचुंबकीय पदार्थों के लिए, $\mu \gg \mu_0$ होता है।
अतः, चुंबकीय पारगम्यता लौहचुंबकीय पदार्थों के लिए अधिकतम होती है।

(C) प्रतिचुंबकीय पदार्थ चुंबकीय क्षेत्रों द्वारा दुर्बल रूप से प्रतिकर्षित होते हैं। जब उन्हें एक असमान चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो वे एक बल का अनुभव करते हैं जो उन्हें कम चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता वाले क्षेत्र की ओर धकेलता है। इसलिए,एक प्रतिचुंबकीय पदार्थ चुंबकीय क्षेत्र के मजबूत भाग से कमजोर भाग की ओर गति करता है।

(B) डायनेमो आर्मेचर में प्रेरित $e.m.f.$ $(e)$ का सूत्र $e = N B A \omega \sin(\omega t)$ है, जहाँ $N$ फेरों की संख्या है, $B$ चुंबकीय क्षेत्र है, $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है और $\omega$ कोणीय (घूर्णन) गति है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि प्रेरित $e.m.f.$ घूर्णन गति के सीधे आनुपातिक है, अर्थात $e \propto \omega$।
यदि घूर्णन गति $\omega$ को दोगुना $(2\omega)$ कर दिया जाए, तो प्रेरित $e.m.f.$ भी मूल मान का दोगुना हो जाएगा।

(D) ट्रांसफार्मर अन्योन्य प्रेरण (mutual induction) के सिद्धांत पर कार्य करता है, जिसके लिए द्वितीयक कुंडली में विद्युत वाहक बल $(e.m.f.)$ प्रेरित करने के लिए बदलते चुंबकीय फ्लक्स की आवश्यकता होती है।
चूंकि लेक्लांशे सेल एक स्थिर दिष्ट धारा $(dc)$ प्रदान करता है, इसलिए प्राथमिक कुंडली से बहने वाली धारा स्थिर रहती है।
स्थिर धारा एक स्थिर चुंबकीय फ्लक्स उत्पन्न करती है, जो समय के साथ नहीं बदलता है।
फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित $e.m.f.$ केवल तभी उत्पन्न होता है जब चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है $(\frac{d\phi}{dt} \neq 0)$।
इसलिए, $dc$ इनपुट के लिए, द्वितीयक कुंडली में प्रेरित $e.m.f.$ $0 \, V$ होगा।

(B) $LR$ श्रेणी परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ होता है।
यहाँ,$X_L$ प्रेरणिक प्रतिघात (Inductive Reactance) है,जिसे $X_L = \omega L$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूँकि कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f$ होती है,इसलिए $X_L$ के व्यंजक में इसे प्रतिस्थापित करने पर हमें $X_L = 2\pi fL$ प्राप्त होता है।
अब,$X_L$ का मान प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर,हमें $Z = \sqrt{R^2 + (2\pi fL)^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$Z = \sqrt{R^2 + 4\pi^2 f^2 L^2}$।

(D) प्रकाश की कण प्रकृति को प्रकाश-विद्युत प्रभाव (photoelectric effect) द्वारा प्रदर्शित किया जाता है,जहाँ प्रकाश फोटॉन की एक धारा के रूप में व्यवहार करता है। इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति को इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपी द्वारा प्रदर्शित किया जाता है,जहाँ उच्च रिज़ॉल्यूशन प्राप्त करने के लिए इलेक्ट्रॉन बीम एक विशिष्ट तरंगदैर्ध्य (डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य) वाली तरंग के रूप में व्यवहार करती है। इस प्रकार,इन घटनाओं द्वारा दोनों प्रकृतियाँ प्रदर्शित होती हैं।

(C) न्यूट्रिनो एक प्राथमिक उप-परमाणु कण है जो केवल दुर्बल परमाणु बल और गुरुत्वाकर्षण के माध्यम से परस्पर क्रिया करता है। इसका कोई विद्युत आवेश नहीं होता (यह आवेशहीन है) और इसमें $1/2$ का आंतरिक कोणीय संवेग (स्पिन) होता है। इसलिए,सही विवरण यह है कि यह आवेशहीन है और इसमें स्पिन होता है।

(B) क्षय नियतांक $\lambda$ का मान $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{20} = 0.03465 \ min^{-1}$ है।
पदार्थ के क्षय के लिए आवश्यक समय $t$ का सूत्र $t = \frac{2.303}{\lambda} \log_{10} \left( \frac{N_0}{N} \right)$ है।
$33\%$ विघटन के लिए,शेष मात्रा $N = N_0 - 0.33N_0 = 0.67N_0$ है। अतः,$t_1 = \frac{2.303}{0.03465} \log_{10} \left( \frac{100}{67} \right) \approx 66.46 \times 0.1739 \approx 11.56 \ min$.
$67\%$ विघटन के लिए,शेष मात्रा $N = N_0 - 0.67N_0 = 0.33N_0$ है। अतः,$t_2 = \frac{2.303}{0.03465} \log_{10} \left( \frac{100}{33} \right) \approx 66.46 \times 0.4815 \approx 32.00 \ min$.
समय का अंतर $\Delta t = t_2 - t_1 = 32.00 - 11.56 = 20.44 \ min \approx 20 \ min$ है।

(B) $N$-प्रकार का अर्धचालक बनाने के लिए,हमें जर्मेनियम $(Ge)$ जैसे शुद्ध अर्धचालक में एक पंचसंयोजी (pentavalent) अशुद्धि ($5$ संयोजी इलेक्ट्रॉन वाला तत्व) मिलानी पड़ती है।
जब एक पंचसंयोजी परमाणु (जैसे फास्फोरस,आर्सेनिक या एंटीमनी) मिलाया जाता है,तो इसके $4$ संयोजी इलेक्ट्रॉन पड़ोसी जर्मेनियम परमाणुओं के साथ सहसंयोजक बंध बनाते हैं,जबकि $5$वां इलेक्ट्रॉन विद्युत चालन के लिए मुक्त रहता है।
इसलिए,अशुद्धि परमाणु की संयोजकता $5$ होनी चाहिए।

(C) अर्धचालकों में,वर्जित ऊर्जा अंतराल (forbidden energy gap) (चालन बैंड और संयोजी बैंड के बीच का ऊर्जा अंतर) आमतौर पर $1 \, eV$ की कोटि का होता है। उदाहरण के लिए,सिलिकॉन का बैंड गैप लगभग $1.1 \, eV$ है और जर्मेनियम का बैंड गैप लगभग $0.7 \, eV$ है।

(D) $N-$ प्रकार का अर्धचालक प्राप्त करने के लिए,जर्मेनियम (समूह $14$ का तत्व) जैसे आंतरिक अर्धचालक में एक पंचसंयोजी (pentavalent) अशुद्धि (समूह $15$ का तत्व) मिलाई जानी चाहिए।
पंचसंयोजी अशुद्धियों में $5$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं।
जब इन्हें जर्मेनियम क्रिस्टल जालक में मिलाया जाता है,तो $4$ इलेक्ट्रॉन पड़ोसी जर्मेनियम परमाणुओं के साथ सहसंयोजक बंध बनाते हैं और $5$वां इलेक्ट्रॉन एक मुक्त आवेश वाहक (इलेक्ट्रॉन) बन जाता है।
फास्फोरस $(P)$ और आर्सेनिक $(As)$ दोनों पंचसंयोजी तत्व हैं।
इसलिए,जर्मेनियम में फास्फोरस या आर्सेनिक के साथ डोपिंग करने से $N-$ प्रकार का अर्धचालक प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) फॉरवर्ड बायस्ड $P-N$ जंक्शन में,विभव प्राचीर (potential barrier) कम हो जाता है,जिससे बहुसंख्यक आवेश वाहक आसानी से जंक्शन को पार कर सकते हैं। इस प्रक्रिया को डिफ्यूजन कहा जाता है,जो धारा प्रवाह के लिए प्रमुख तंत्र बन जाता है।
रिवर्स बायस्ड $P-N$ जंक्शन में,विभव प्राचीर बढ़ जाता है,जो बहुसंख्यक आवेश वाहकों को जंक्शन पार करने से रोकता है। हालाँकि,अल्पसंख्यक आवेश वाहक अवक्षय क्षेत्र (depletion region) में मौजूद विद्युत क्षेत्र के कारण जंक्शन को पार कर सकते हैं। इस प्रक्रिया को ड्रिफ्ट कहा जाता है,जो छोटी रिवर्स सैचुरेशन धारा के लिए प्रमुख तंत्र बन जाता है।

(C) दिया गया है कि दो तरंगों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{1}$ है।
माना कि दो तरंगों के आयाम $A_1$ और $A_2$ हैं। चूँकि तीव्रता $I \propto A^2$ होती है,आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{9}{1}} = \frac{3}{1}$ होगा।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$.
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{3 + 1}{3 - 1} \right)^2 = \left( \frac{4}{2} \right)^2 = (2)^2 = \frac{4}{1}$.
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(C) साइक्लोट्रॉन इस सिद्धांत पर कार्य करता है कि दोलनशील विद्युत क्षेत्र की आवृत्ति कण की साइक्लोट्रॉन आवृत्ति से मेल खाती है,जो $f = \frac{qB}{2\pi m}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m)$ बहुत कम होता है,इसलिए त्वरित होने पर यह बहुत तेजी से गति प्राप्त कर लेता है।
सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार,जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन की गति प्रकाश की गति के करीब पहुंचती है,उसका सापेक्ष द्रव्यमान काफी बढ़ जाता है $(m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}})$।
द्रव्यमान में इस वृद्धि के कारण साइक्लोट्रॉन आवृत्ति बदल जाती है,जिससे $a.c.$ स्रोत की आवृत्ति और Dees में इलेक्ट्रॉन की घूर्णन आवृत्ति के बीच बेमेल हो जाता है।
परिणामस्वरूप,इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र के साथ चरण (phase) से बाहर हो जाता है और प्रभावी रूप से त्वरित नहीं हो पाता है। अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण कथन की सही व्याख्या है।

(C) दिया गया है: हवा के सापेक्ष हीरे का अपवर्तनांक $\mu_d = \sqrt{6}$। हवा के सापेक्ष द्रव का अपवर्तनांक $\mu_l = \sqrt{3}$।
द्रव के सापेक्ष हीरे का अपवर्तनांक $\mu = \frac{\mu_d}{\mu_l} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए। क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र $\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$C = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दिया गया आपतन कोण $i = 30^{\circ}$,क्रांतिक कोण $C = 45^{\circ}$ से कम है,इसलिए पूर्ण आंतरिक परावर्तन नहीं होगा। अतः,कथन गलत है।
कारण बताता है कि $\mu = \frac{1}{\sin C}$,जो क्रांतिक कोण के लिए सही सूत्र है,जहाँ $\mu$ विरल माध्यम के सापेक्ष सघन माध्यम का अपवर्तनांक है। अतः,कारण सही है।

(C) कथन सही है: डूबता हुआ सूर्य लाल दिखाई देता है क्योंकि सूर्यास्त के समय, सूर्य का प्रकाश वायुमंडल में लंबी दूरी तय करता है। इस यात्रा के दौरान, अधिकांश छोटी तरंगदैर्घ्य (नीला और बैंगनी) वायुमंडलीय कणों द्वारा प्रकीर्णित हो जाती हैं, जिससे केवल लंबी तरंगदैर्घ्य (लाल) हमारी आंखों तक पहुंच पाती है।
कारण गलत है: रेले के प्रकीर्णन नियम के अनुसार, प्रकीर्णित प्रकाश की तीव्रता $(I)$ उसकी तरंगदैर्घ्य $(\lambda)$ की चौथी घात के व्युत्क्रमानुपाती होती है, अर्थात $I \propto 1/\lambda^4$। इसलिए, प्रकीर्णन तरंगदैर्घ्य के व्युत्क्रमानुपाती होता है, न कि समानुपाती।

(D) सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार,किसी कण का द्रव्यमान उसकी गति $v$ के साथ $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ के रूप में बढ़ता है।
हालाँकि,किसी कण का विद्युत आवेश एक अपरिवर्तनीय राशि है और यह उसकी गति के साथ नहीं बदलता है।
इसलिए,कथन गलत है क्योंकि आवेश स्थिर रहता है,जबकि कारण सही है क्योंकि यह सापेक्ष द्रव्यमान परिवर्तन का सटीक वर्णन करता है।

(B) फोटॉन का संवेग $p = \frac{h}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $p = mc$ (जहाँ $m$ फोटॉन का आपेक्षिक द्रव्यमान है और $c$ प्रकाश की गति है), इसलिए $mc = \frac{h}{\lambda}$, जिसका अर्थ है $m = \frac{h}{c\lambda}$। अतः, एक गतिमान फोटॉन का द्रव्यमान $m$ उसकी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है। कथन सही है।
कारण कहता है $E = mc^2$। यद्यपि यह आइंस्टीन का द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध है, यह एक स्थिर कण की ऊर्जा या द्रव्यमान के ऊर्जा समतुल्य को दर्शाता है। यह फोटॉन के द्रव्यमान और उसकी तरंगदैर्ध्य के बीच के संबंध की व्याख्या नहीं करता है। इसलिए, कारण कथन की सही व्याख्या नहीं है।