Trigonometry Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $\sin x + \sin^2 x = 1.$
આનો અર્થ એ થાય કે $\sin x = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x.$
હવે,આપણે $\cos^8 x + 2\cos^6 x + \cos^4 x$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદાવલિમાં $\cos^2 x = \sin x$ મૂકતા:
$= (\cos^2 x)^4 + 2(\cos^2 x)^3 + (\cos^2 x)^2$
$= (\sin x)^4 + 2(\sin x)^3 + (\sin x)^2$
$= \sin^4 x + 2\sin^3 x + \sin^2 x$
$= (\sin^2 x + \sin x)^2.$
કારણ કે $\sin x + \sin^2 x = 1$ છે,તેથી પદાવલિ $(1)^2 = 1$ થશે.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$x \sin^3 \alpha + y \cos^3 \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$ --- $(i)$
$x \sin \alpha - y \cos \alpha = 0$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે $x \sin \alpha = y \cos \alpha$.
$x \sin \alpha = y \cos \alpha$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(x \sin \alpha) \sin^2 \alpha + y \cos^3 \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$
$(y \cos \alpha) \sin^2 \alpha + y \cos^3 \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$
$y \cos \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha$
કારણ કે $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,તેથી:
$y \cos \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$
જો $\cos \alpha \neq 0$ હોય,તો $y = \sin \alpha$.
$y = \sin \alpha$ ની કિંમત $x \sin \alpha = y \cos \alpha$ માં મૂકતા,આપણને મળે $x \sin \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$,જેનો અર્થ છે કે $x = \cos \alpha$.
તેથી,$x^2 + y^2 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.

(B) ધારો કે $x = (1 + \sin A)(1 + \sin B)(1 + \sin C)$ અને $y = (1 - \sin A)(1 - \sin B)(1 - \sin C)$.
આપેલ છે કે $x = y$.
બંને બાજુ $y$ વડે ગુણતા:
$xy = y^2$
$(1 + \sin A)(1 - \sin A)(1 + \sin B)(1 - \sin B)(1 + \sin C)(1 - \sin C) = y^2$
$(1 - \sin^2 A)(1 - \sin^2 B)(1 - \sin^2 C) = y^2$
$\cos^2 A \cos^2 B \cos^2 C = y^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$y = \pm \cos A \cos B \cos C$
કારણ કે $x = y$,તેથી દરેક બાજુ $\pm \cos A \cos B \cos C$ બરાબર થાય છે.

(A) આપેલ છે: $(\sec \alpha + \tan \alpha )(\sec \beta + \tan \beta )(\sec \gamma + \tan \gamma ) = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$ ... $(i)$
ધારો કે $x = (\sec \alpha - \tan \alpha )(\sec \beta - \tan \beta )(\sec \gamma - \tan \gamma )$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$(\sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha )(\sec^2 \beta - \tan^2 \beta )(\sec^2 \gamma - \tan^2 \gamma ) = x \cdot (\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma )$
કોઈપણ ખૂણા $\theta$ માટે $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ હોવાથી,ડાબી બાજુ $(1)(1)(1) = 1$ થશે.
તેથી,$1 = x \cdot (\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma )$.
$x = \frac{1}{\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma } = \cot \alpha \cot \beta \cot \gamma $.

(D) આપેલ છે કે $\sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3 = 3$.
સાઇન વિધેયનું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ હોવાથી,આ સમીકરણ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે દરેક પદ $1$ હોય.
તેથી,$\sin \theta_1 = 1$,$\sin \theta_2 = 1$,અને $\sin \theta_3 = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = \frac{\pi}{2}$.
હવે,આ કિંમતોને $\cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3$ માં મૂકતા:
$\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 + 0 + 0 = 0$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta$ નો વિસ્તાર $0 \le \sin^2 \theta \le 1$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\sin^2 \theta = \frac{x^2 + y^2 + 1}{2x}$ માટે,શરત $\frac{x^2 + y^2 + 1}{2x} \le 1$ નું પાલન થવું જોઈએ.
ધારો કે $x > 0$,તો $x^2 + y^2 + 1 \le 2x$ થાય.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x^2 - 2x + 1 + y^2 \le 0$ મળે છે.
આને $(x - 1)^2 + y^2 \le 0$ તરીકે લખી શકાય.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી આ અસમતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $(x - 1)^2 = 0$ અને $y^2 = 0$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $x = 1$ અને $y = 0$.
$x$ ની કિંમત $y$ ની કિંમત પર આધાર રાખે છે,તેથી આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ નિશ્ચિત નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ "આમાંથી કોઈ નહીં" છે.

(D) આપેલ છે કે $\tan \theta - \cot \theta = a$ $(i)$ અને $\sin \theta + \cos \theta = b$ $(ii)$.
હવે,પદાવલિ $({b^2} - 1)^2({a^2} + 4)$ ધ્યાનમાં લો.
$b = \sin \theta + \cos \theta$ મૂકતા:
$b^2 - 1 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 - 1 = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta - 1 = 2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$.
તેથી,$(b^2 - 1)^2 = \sin^2 2\theta$.
$a = \tan \theta - \cot \theta$ મૂકતા:
$a^2 + 4 = (\tan \theta - \cot \theta)^2 + 4 = \tan^2 \theta + \cot^2 \theta - 2 + 4 = \tan^2 \theta + \cot^2 \theta + 2 = (\tan \theta + \cot \theta)^2$.
કારણ કે $\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2}{\sin 2\theta}$.
તેથી,$(a^2 + 4) = (\frac{2}{\sin 2\theta})^2 = \frac{4}{\sin^2 2\theta}$.
બંને ભાગનો ગુણાકાર કરતા:
$(b^2 - 1)^2(a^2 + 4) = \sin^2 2\theta \times \frac{4}{\sin^2 2\theta} = 4$.
વૈકલ્પિક રીતે,પદાવલિ $\theta$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,$\theta = 45^\circ$ લેતા,$a = 0$ અને $b = \sqrt{2}$ મળે છે. કિંમતો મૂકતા: $((\sqrt{2})^2 - 1)^2(0^2 + 4) = 4$.

(C) ધારો કે $x = \tan^2 \alpha$,$y = \tan^2 \beta$,અને $z = \tan^2 \gamma$.
આપેલ સમીકરણ $xy + yz + zx + 2xyz = 1$ છે.
આપણે $S = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$ નું મૂલ્ય શોધવું છે.
કારણ કે $\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$,તેથી $S = \frac{x}{1+x} + \frac{y}{1+y} + \frac{z}{1+z}$.
$S = \frac{x(1+y)(1+z) + y(1+x)(1+z) + z(1+x)(1+y)}{(1+x)(1+y)(1+z)}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $x(1+y+z+yz) + y(1+x+z+xz) + z(1+x+y+xy) = x+xy+xz+xyz + y+yx+yz+xyz + z+zx+zy+xyz = (x+y+z) + 2(xy+yz+zx) + 3xyz$.
નિત્યસમ $(1+x)(1+y)(1+z) = 1 + (x+y+z) + (xy+yz+zx) + xyz$ નો ઉપયોગ કરીને અને $xy+yz+zx = 1 - 2xyz$ મૂકતા:
$S = \frac{(x+y+z) + 2(1-2xyz) + 3xyz}{1 + (x+y+z) + (1-2xyz) + xyz} = \frac{x+y+z + 2 - 4xyz + 3xyz}{2 + x+y+z - xyz} = \frac{x+y+z + 2 - xyz}{2 + x+y+z - xyz} = 1$.

(A) આપેલ પદાવલિ $1^\circ$ થી $179^\circ$ સુધીના કોસાઇન મૂલ્યોનો ગુણાકાર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ખૂણાઓની શ્રેણીમાં $90^\circ$ નો સમાવેશ થાય છે.
કારણ કે $\cos 90^\circ = 0$ થાય છે,તેથી સમગ્ર ગુણાકાર શૂન્ય થઈ જશે કારણ કે કોઈપણ સંખ્યાનો શૂન્ય સાથેનો ગુણાકાર શૂન્ય જ મળે છે.
તેથી,$\cos 1^\circ \cdot \cos 2^\circ \cdot \cos 3^\circ \dots \cos 90^\circ \dots \cos 179^\circ = 0$.

(A) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$ અને $\cot(90^\circ - \theta) = \tan \theta$.
આપેલ પદાવલિ: $\frac{\cot 54^\circ}{\tan 36^\circ} + \frac{\tan 20^\circ}{\cot 70^\circ}$.
પગલું $1$: પ્રથમ પદના છેદને $\tan 36^\circ = \tan(90^\circ - 54^\circ) = \cot 54^\circ$ નો ઉપયોગ કરીને બદલો.
પગલું $2$: બીજા પદના છેદને $\cot 70^\circ = \cot(90^\circ - 20^\circ) = \tan 20^\circ$ નો ઉપયોગ કરીને બદલો.
પગલું $3$: આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cot 54^\circ}{\cot 54^\circ} + \frac{\tan 20^\circ}{\tan 20^\circ} = 1 + 1 = 2$.

(B) આપેલ પદાવલિ એ સમાંતર શ્રેણીમાં રહેલા ખૂણાઓના સાઈનનો સરવાળો છે: $S = \sum_{k=1}^{36} \sin(k \cdot 10^\circ)$.
સમાંતર શ્રેણીમાં ખૂણાઓના સાઈનનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર: $\sum_{k=1}^{n} \sin(a + (k-1)d) = \frac{\sin(n d / 2)}{\sin(d / 2)} \cdot \sin\left(a + \frac{(n-1)d}{2}\right)$.
અહીં,$a = 10^\circ$,$d = 10^\circ$,અને $n = 36$ છે.
$S = \frac{\sin(36 \cdot 10^\circ / 2)}{\sin(10^\circ / 2)} \cdot \sin\left(10^\circ + \frac{35 \cdot 10^\circ}{2}\right)$.
$S = \frac{\sin(180^\circ)}{\sin(5^\circ)} \cdot \sin(10^\circ + 175^\circ)$.
કારણ કે $\sin(180^\circ) = 0$ થાય છે,તેથી સમગ્ર પદાવલિનું મૂલ્ય $0$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $S = \cos 1^\circ + \cos 2^\circ + \dots + \cos 179^\circ + \cos 180^\circ$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$.
તેથી,$\cos 179^\circ = -\cos 1^\circ$,$\cos 178^\circ = -\cos 2^\circ$,વગેરે.
$1^\circ$ થી $179^\circ$ સુધીના પદોને $(\cos 1^\circ + \cos 179^\circ) + (\cos 2^\circ + \cos 178^\circ) + \dots + (\cos 89^\circ + \cos 91^\circ) + \cos 90^\circ$ તરીકે જોડી શકાય.
કારણ કે $\cos(180^\circ - \theta) + \cos \theta = 0$,દરેક જોડીનો સરવાળો $0$ થાય છે.
વળી,$\cos 90^\circ = 0$.
આમ,પ્રથમ $179$ પદોનો સરવાળો $0$ થાય છે.
બાકી રહેલું પદ $\cos 180^\circ = -1$ છે.
તેથી,કુલ સરવાળો $0 + (-1) = -1$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha = 22^\circ 30' = 22.5^\circ$.
આપણે $P = (1 + \cos \alpha)(1 + \cos 3\alpha)(1 + \cos 5\alpha)(1 + \cos 7\alpha)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અહીં $3\alpha = 67.5^\circ$,$5\alpha = 112.5^\circ = 180^\circ - 67.5^\circ$,અને $7\alpha = 157.5^\circ = 180^\circ - 22.5^\circ$ છે.
$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + \cos 5\alpha = 1 - \cos 67.5^\circ = 1 - \cos 3\alpha$
$1 + \cos 7\alpha = 1 - \cos 22.5^\circ = 1 - \cos \alpha$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$P = (1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)(1 + \cos 3\alpha)(1 - \cos 3\alpha)$
$P = (1 - \cos^2 \alpha)(1 - \cos^2 3\alpha) = \sin^2 \alpha \cdot \sin^2 3\alpha$
$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 22.5^\circ = \frac{1 - \cos 45^\circ}{2} = \frac{1 - 1/\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}}$
$\sin^2 67.5^\circ = \frac{1 - \cos 135^\circ}{2} = \frac{1 - (-1/\sqrt{2})}{2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2}}$
$P = \left( \frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}} \right) \left( \frac{\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2}} \right) = \frac{(\sqrt{2})^2 - 1^2}{8} = \frac{2 - 1}{8} = \frac{1}{8}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $6(\sin^6 \theta + \cos^6 \theta) - 9(\sin^4 \theta + \cos^4 \theta) + 4$
નિત્યસમ $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 - 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 1 - 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta$ અને $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= 6(1 - 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta) - 9(1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta) + 4$
$= 6 - 18\sin^2 \theta \cos^2 \theta - 9 + 18\sin^2 \theta \cos^2 \theta + 4$
$= 6 - 9 + 4$
$= 1$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\sin 15^\circ + \cos 105^\circ$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(90^\circ + \theta) = -\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\cos 105^\circ$ ને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$\cos 105^\circ = \cos(90^\circ + 15^\circ) = -\sin 15^\circ$
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin 15^\circ + (-\sin 15^\circ) = \sin 15^\circ - \sin 15^\circ = 0$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપણને પદાવલિ $\cos 105^\circ + \sin 105^\circ$ આપેલ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(90^\circ + \theta) = -\sin \theta$ અને $\sin(90^\circ + \theta) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 105^\circ = \cos(90^\circ + 15^\circ) = -\sin 15^\circ$
$\sin 105^\circ = \sin(90^\circ + 15^\circ) = \cos 15^\circ$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos 105^\circ + \sin 105^\circ = \cos 15^\circ - \sin 15^\circ$
$\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ અને $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ ની કિંમતોનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $E = \cos y \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) - \cos \left( \frac{\pi}{2} - y \right) \cos x + \sin y \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) + \cos x \sin \left( \frac{\pi}{2} - y \right)$.
નિત્યસમ $\cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta$ અને $\sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \cos y \sin x - \sin y \cos x + \sin y \sin x + \cos x \cos x$.
$E = \sin(x - y) + \cos(x - y)$.
$E = 0$ માટે,$\sin(x - y) + \cos(x - y) = 0$.
$\Rightarrow \sin(x - y) = -\cos(x - y)$.
$\Rightarrow \tan(x - y) = -1$.
$\Rightarrow x - y = n\pi - \frac{\pi}{4}$.
$\Rightarrow x = n\pi - \frac{\pi}{4} + y$,જ્યાં $n \in I$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\pi}{10} = 18^\circ$ અને $\frac{3\pi}{10} = 54^\circ$ થાય.
તેથી,પદાવલિ $\sin 18^\circ \sin 54^\circ$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 54^\circ = \cos(90^\circ - 54^\circ) = \cos 36^\circ$ થાય.
પ્રમાણિત કિંમતોનો ઉપયોગ કરતા: $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ અને $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ છે.
આ કિંમતોનો ગુણાકાર કરતા: $\left( \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \right) \left( \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \right) = \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{16} = \frac{5 - 1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x \sin 45^\circ \cos^2 60^\circ = \frac{\tan^2 60^\circ \csc 30^\circ}{\sec 45^\circ \cot^2 30^\circ}$
ત્રિકોણમિતીય કિંમતો મૂકતા: $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$,$\csc 30^\circ = 2$,$\sec 45^\circ = \sqrt{2}$,$\cot 30^\circ = \sqrt{3}$.
$x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{(\sqrt{3})^2 \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3})^2}$
$x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}$
$\frac{x}{4\sqrt{2}} = \frac{6}{3\sqrt{2}}$
$\frac{x}{4\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$
$x = 2 \cdot 4 = 8$.

(A) આપેલ છે કે $x = \sin 130^\circ + \cos 130^\circ$.
નિત્યસમ $\sin A = \cos(90^\circ - A)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin 130^\circ = \cos(90^\circ - 130^\circ) = \cos(-40^\circ) = \cos 40^\circ$ મળે.
તેથી,$x = \cos 40^\circ + \cos 130^\circ$.
સરવાળામાંથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = 2 \cos(\frac{40^\circ + 130^\circ}{2}) \cos(\frac{40^\circ - 130^\circ}{2})$
$x = 2 \cos(85^\circ) \cos(-45^\circ) = 2 \cos 85^\circ \cos 45^\circ$.
કારણ કે $85^\circ$ એ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $\cos 85^\circ > 0$ અને $\cos 45^\circ > 0$ થાય.
આમ,$x > 0$ મળે.

(B) આપણે ત્રિકોણમિતીય રિડક્શન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. $\sin (270^\circ + A) = -\cos A$
$2$. $\sin (270^\circ - A) = -\cos A$
$3$. $\cos (180^\circ + A) = -\cos A$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos A + (-\cos A) - (-\cos A) + (-\cos A)$
$= \cos A - \cos A + \cos A - \cos A$
$= 0$

(B) આપેલ પદાવલિ: $E = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} + \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}}$
છેદ સમાન કરતા:
$E = \frac{(1 - \cos \alpha) + (1 + \cos \alpha)}{\sqrt{(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)}}$
$E = \frac{2}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}} = \frac{2}{\sqrt{\sin^2 \alpha}} = \frac{2}{|\sin \alpha|}$
અહીં $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\alpha$ ત્રીજા ચરણમાં છે.
ત્રીજા ચરણમાં $\sin \alpha$ ની કિંમત ઋણ હોય છે.
તેથી,$|\sin \alpha| = -\sin \alpha$.
આમ,$E = \frac{2}{-\sin \alpha} = -\frac{2}{\sin \alpha}$.

(A) આપણે $\tan(A+B)$ અને $\tan(A-B)$ ના વિસ્તરણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\tan \left( \frac{\pi }{4} + \theta \right) = \frac{\tan(\pi/4) + \tan \theta}{1 - \tan(\pi/4)\tan \theta} = \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta}$
$\tan \left( \frac{\pi }{4} - \theta \right) = \frac{\tan(\pi/4) - \tan \theta}{1 + \tan(\pi/4)\tan \theta} = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$
હવે,બંને પદોની બાદબાકી કરતા:
$\frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} - \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} = \frac{(1 + \tan \theta)^2 - (1 - \tan \theta)^2}{(1 - \tan \theta)(1 + \tan \theta)}$
$= \frac{(1 + 2\tan \theta + \tan^2 \theta) - (1 - 2\tan \theta + \tan^2 \theta)}{1 - \tan^2 \theta}$
$= \frac{4\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$
$= 2 \left( \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \right)$
કારણ કે $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$,તેથી આ પદ $2\tan 2\theta$ બને છે.

(B) આપણે પૂરક અને સંબંધિત ખૂણાઓ માટેના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\sin (\pi + \theta ) = -\sin \theta $
$\sin (\pi - \theta ) = \sin \theta $
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (-\sin \theta )(\sin \theta ) \csc^2 \theta $
$= -\sin^2 \theta \cdot \frac{1}{\sin^2 \theta }$
$= -1$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot(A) = \tan(90^\circ - A)$.
પ્રથમ પદ માટે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\cot(45^\circ + \theta) = \tan(90^\circ - (45^\circ + \theta)) = \tan(45^\circ - \theta)$.
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cot(45^\circ + \theta) \cot(45^\circ - \theta) = \tan(45^\circ - \theta) \cot(45^\circ - \theta)$.
કોઈપણ ખૂણા $x$ માટે $\tan(x) \cot(x) = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\tan(45^\circ - \theta) \cot(45^\circ - \theta) = 1$.

(A) આપણે ત્રિકોણમિતીય ન્યૂનતમ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. $\cot (180^\circ + A) = \cot A$ (કારણ કે તે ત્રીજા ચરણમાં છે જ્યાં $\cot$ ધન છે).
$2$. $\cot (90^\circ + A) = -\tan A$ (કારણ કે તે બીજા ચરણમાં છે જ્યાં $\cot$ ઋણ છે).
$3$. $\cot (360^\circ - A) = -\cot A$ (કારણ કે તે ચોથા ચરણમાં છે જ્યાં $\cot$ ઋણ છે).
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan A + \cot A - \tan A - \cot A$
$= (\tan A - \tan A) + (\cot A - \cot A)$
$= 0 + 0 = 0$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\tan \theta \sin \left( \frac{\pi }{2} + \theta \right) \cos \left( \frac{\pi }{2} - \theta \right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \left( \frac{\pi }{2} + \theta \right) = \cos \theta$
$\cos \left( \frac{\pi }{2} - \theta \right) = \sin \theta$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \tan \theta \cdot \cos \theta \cdot \sin \theta$
$= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \cos \theta \cdot \sin \theta$
$= \sin^2 \theta$
કારણ કે $\sin^2 \theta$ એ આપેલા કોઈ પણ વિકલ્પની કિંમત સાથે મેળ ખાતું નથી,તેથી સાચો જવાબ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(A) ધારો કે બે ભાગ $A$ અને $B$ છે જેથી $A + B = \theta$ અને $A - B = \phi$.
આપેલ છે કે $\tan A = k \tan B$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\tan A}{\tan B} = k$.
સાઇન અને કોસાઇન વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\sin A \cos B}{\cos A \sin B} = k$.
યોગ-વિયોગ (componendo and dividendo) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{k + 1}{k - 1} = \frac{\sin A \cos B + \cos A \sin B}{\sin A \cos B - \cos A \sin B}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{k + 1}{k - 1} = \frac{\sin(A + B)}{\sin(A - B)} = \frac{\sin \theta}{\sin \phi}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{k + 1}{k - 1} \sin \phi$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x = y \cos \frac{2\pi}{3} = z \cos \frac{4\pi}{3}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \frac{2\pi}{3} = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$ અને $\cos \frac{4\pi}{3} = \cos(240^\circ) = -\frac{1}{2}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $x = y(-\frac{1}{2}) = z(-\frac{1}{2})$ મળે છે.
ધારો કે $x = y(-\frac{1}{2}) = z(-\frac{1}{2}) = k$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
તેથી $x = k$,$y = -2k$,અને $z = -2k$ થાય.
હવે,$xy + yz + zx$ પદાવલિની ગણતરી કરીએ:
$xy + yz + zx = (k)(-2k) + (-2k)(-2k) + (-2k)(k)$
$= -2k^2 + 4k^2 - 2k^2$
$= 0$.

(A) આપેલ છે કે $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2},$ એટલે કે $\alpha$ ત્રીજા ચરણમાં છે.
પદાવલિનું સાદુરૂપ આપતા: $\sqrt{4\sin^4 \alpha + \sin^2 2\alpha} + 4\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right)$
$= \sqrt{4\sin^4 \alpha + 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} + 2 \left[ 2\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right) \right]$
$= \sqrt{4\sin^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)} + 2 \left[ 1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \right]$
$= \sqrt{4\sin^2 \alpha} + 2(1 + \sin \alpha) = 2|\sin \alpha| + 2 + 2\sin \alpha$
કારણ કે $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2},$ $\sin \alpha$ ઋણ છે,તેથી $|\sin \alpha| = -\sin \alpha$.
તેથી,પદાવલિ $= 2(-\sin \alpha) + 2 + 2\sin \alpha = 2$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $S = \sin ^2 \frac{\pi }{8} + \sin ^2 \frac{3\pi }{8} + \sin ^2 \frac{5\pi }{8} + \sin ^2 \frac{7\pi }{8}$
નિત્યસમ $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \frac{5\pi }{8} = \sin(\pi - \frac{3\pi }{8}) = \sin \frac{3\pi }{8}$
$\sin \frac{7\pi }{8} = \sin(\pi - \frac{\pi }{8}) = \sin \frac{\pi }{8}$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$S = \sin ^2 \frac{\pi }{8} + \sin ^2 \frac{3\pi }{8} + \sin ^2 \frac{3\pi }{8} + \sin ^2 \frac{\pi }{8}$
$S = 2(\sin ^2 \frac{\pi }{8} + \sin ^2 \frac{3\pi }{8})$
$\sin^2 \theta + \sin^2(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
અહીં $\frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$ હોવાથી,$\sin \frac{3\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{8}$ થાય.
$S = 2(\sin ^2 \frac{\pi }{8} + \cos ^2 \frac{\pi }{8}) = 2(1) = 2$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(\sec A + \tan A - 1)(\sec A - \tan A + 1) - 2\tan A$
પ્રથમ ભાગને આ રીતે લખતા: $(\sec A + (\tan A - 1))(\sec A - (\tan A - 1)) - 2\tan A$
નિત્યસમ $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = \sec A$ અને $y = \tan A - 1$ છે:
$= \sec^2 A - (\tan A - 1)^2 - 2\tan A$
$= \sec^2 A - (\tan^2 A - 2\tan A + 1) - 2\tan A$
$= \sec^2 A - \tan^2 A + 2\tan A - 1 - 2\tan A$
કારણ કે $\sec^2 A - \tan^2 A = 1$:
$= 1 - 1 = 0$

(B) આપેલ છે કે $\tan A = \frac{1}{2}$ અને $\tan B = \frac{1}{3}$.
આપણે સૂત્ર જાણીએ છીએ $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan(A + B) = \frac{1/2 + 1/3}{1 - (1/2)(1/3)} = \frac{5/6}{1 - 1/6} = \frac{5/6}{5/6} = 1$.
તેથી,$\tan(A + B) = 1$ હોવાથી $A + B = 45^\circ$ થાય.
આથી,$2A = 90^\circ - 2B$.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા: $\cos 2A = \cos(90^\circ - 2B)$.
નિત્યસમ $\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos 2A = \sin 2B$ મળે છે.

(D) આપણે ત્રિકોણમિતીય ન્યૂનતમ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. $\cos (270^\circ + \theta) = \sin \theta$
$2$. $\cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta$
$3$. $\sin (270^\circ - \theta) = -\cos \theta$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos (270^\circ + \theta) \cos (90^\circ - \theta) - \sin (270^\circ - \theta) \cos \theta$
$= (\sin \theta)(\sin \theta) - (-\cos \theta)(\cos \theta)$
$= \sin^2 \theta + \cos^2 \theta$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી અંતિમ મૂલ્ય $1$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\cos(\alpha - \beta) = 1$. કારણ કે $-\pi < \alpha, \beta < \pi$,તફાવત માટેનો વિસ્તાર $-2\pi < \alpha - \beta < 2\pi$ છે.
$\cos(\alpha - \beta) = 1$ માટે,$\alpha - \beta$ ની શક્ય કિંમત $0$ છે.
આમ,$\alpha - \beta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \beta$.
બીજા સમીકરણમાં $\alpha = \beta$ મૂકતા: $\cos(\alpha + \alpha) = \cos(2\alpha) = \frac{1}{e}$.
કારણ કે $-\pi < \alpha < \pi$,આપણી પાસે $-2\pi < 2\alpha < 2\pi$ છે.
અંતરાલ $(-2\pi, 2\pi)$ માં,સમીકરણ $\cos(2\alpha) = \frac{1}{e}$ (જ્યાં $0 < \frac{1}{e} < 1$) માટે $2\alpha$ ના ચાર અલગ-અલગ ઉકેલો મળે છે.
તેથી,$(\alpha, \beta)$ ની કુલ $4$ ક્રમયુક્ત જોડીઓ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\sin A = \frac{1}{\sqrt{10}}$ અને $\sin B = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
અહીં $A$ અને $B$ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
તે જ રીતે,$\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
સૂત્ર $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(A + B) = \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) + \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$
$\sin(A + B) = \frac{2}{\sqrt{50}} + \frac{3}{\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\sin(A + B) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$A + B = \frac{\pi}{4}$ મળે.

(C) આપેલ છે કે $\tan A = 2\tan B + \cot B.$
આપણે $2\tan (A - B)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સૂત્ર $\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$2\tan (A - B) = 2 \left( \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \right).$
$\tan A = 2\tan B + \cot B$ ને પદમાં મૂકતા:
$2\tan (A - B) = 2 \left( \frac{(2\tan B + \cot B) - \tan B}{1 + (2\tan B + \cot B)\tan B} \right)$
$= 2 \left( \frac{\tan B + \cot B}{1 + 2\tan^2 B + \cot B \tan B} \right)$
કારણ કે $\cot B \tan B = 1,$
$= 2 \left( \frac{\tan B + \cot B}{1 + 2\tan^2 B + 1} \right) = 2 \left( \frac{\tan B + \cot B}{2 + 2\tan^2 B} \right)$
$= 2 \left( \frac{\tan B + \cot B}{2(1 + \tan^2 B)} \right) = \frac{\tan B + \cot B}{\sec^2 B}$
$= \frac{\tan B}{\sec^2 B} + \frac{\cot B}{\sec^2 B} = \frac{\sin B}{\cos B} \cdot \cos^2 B + \frac{\cos B}{\sin B} \cdot \cos^2 B$
$= \sin B \cos B + \frac{\cos^3 B}{\sin B} = \frac{\sin^2 B \cos B + \cos^3 B}{\sin B}$
$= \frac{\cos B (\sin^2 B + \cos^2 B)}{\sin B} = \frac{\cos B (1)}{\sin B} = \cot B.$

(D) આપેલ છે: $\sin A + \sin B = C$ અને $\cos A + \cos B = D$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{\sin A + \sin B}{\cos A + \cos B} = \frac{C}{D}$
સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}}{2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}} = \frac{C}{D}$
$\tan \frac{A + B}{2} = \frac{C}{D}$
હવે,ટેન્જન્ટના પદોમાં ડબલ એંગલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin (A + B) = \frac{2 \tan \frac{A + B}{2}}{1 + \tan^2 \frac{A + B}{2}}$
$\tan \frac{A + B}{2} = \frac{C}{D}$ મૂકતા:
$\sin (A + B) = \frac{2(C/D)}{1 + (C/D)^2} = \frac{2C/D}{(D^2 + C^2)/D^2} = \frac{2CD}{C^2 + D^2}$.

(A) આપેલ છે કે $\sin A = \sin B$ અને $\cos A = \cos B$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\sin^2 A + \cos^2 A = \sin^2 B + \cos^2 B$
$1 = 1$ (આ હંમેશા સાચું છે).
વૈકલ્પિક રીતે,$\cos A = \cos B$ અને $\sin A = \sin B$ લો.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $\cos A - \cos B = 0$ અને $\sin A - \sin B = 0$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$-2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} = 0$
$2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} = 0$
બંને શરતો સંતોષવા માટે,$\sin \frac{A-B}{2} = 0$ હોવું જોઈએ.

(B) ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C - \sin D = 2 \cos \left( \frac{C+D}{2} \right) \sin \left( \frac{C-D}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 50^\circ - \sin 70^\circ + \sin 10^\circ$
$= 2 \cos \left( \frac{50^\circ + 70^\circ}{2} \right) \sin \left( \frac{50^\circ - 70^\circ}{2} \right) + \sin 10^\circ$
$= 2 \cos(60^\circ) \sin(-10^\circ) + \sin 10^\circ$
કારણ કે $\sin(-\theta) = -\sin \theta$ અને $\cos 60^\circ = 1/2$:
$= 2 \left( \frac{1}{2} \right) (-\sin 10^\circ) + \sin 10^\circ$
$= -\sin 10^\circ + \sin 10^\circ = 0.$

(B) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A + B) \cdot \cos(A - B)$.
$A = 48^\circ$ અને $B = 12^\circ$ મૂકતા:
$\cos^2 48^\circ - \sin^2 12^\circ = \cos(48^\circ + 12^\circ) \cdot \cos(48^\circ - 12^\circ)$
$= \cos(60^\circ) \cdot \cos(36^\circ)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ અને $\cos(36^\circ) = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$.
તેથી,પદાવલિ $\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \right) = \frac{\sqrt{5} + 1}{8}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે: $A - B = \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા: $\tan(A - B) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
સૂત્ર $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} = 1$.
$\tan A - \tan B = 1 + \tan A \tan B$.
$\tan A - \tan B - \tan A \tan B = 1$.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા:
$1 + \tan A - \tan B - \tan A \tan B = 1 + 1$.
$(1 + \tan A) - \tan B(1 + \tan A) = 2$.
$(1 + \tan A)(1 - \tan B) = 2$.
કારણ કે $y = (1 + \tan A)(1 - \tan B)$,તેથી $y = 2$.
તેથી,$(y + 1)^{y + 1} = (2 + 1)^{2 + 1} = 3^3 = 27$.

(B) $\sin 75^\circ$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $75^\circ$ ને બે પ્રમાણિત ખૂણાઓના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ: $45^\circ + 30^\circ$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ)$
$= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$
$= (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2})$
$= \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.

(B) આપણને $\tan \alpha = \frac{m}{m + 1}$ અને $\tan \beta = \frac{1}{2m + 1}$ આપેલ છે.
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{m}{m + 1} + \frac{1}{2m + 1}}{1 - (\frac{m}{m + 1})(\frac{1}{2m + 1})}$
$= \frac{\frac{m(2m + 1) + 1(m + 1)}{(m + 1)(2m + 1)}}{\frac{(m + 1)(2m + 1) - m}{(m + 1)(2m + 1)}}$
$= \frac{2m^2 + m + m + 1}{2m^2 + m + 2m + 1 - m}$
$= \frac{2m^2 + 2m + 1}{2m^2 + 2m + 1} = 1$
$\tan(\alpha + \beta) = 1$ હોવાથી,$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ થાય.

(B) આપણે સરવાળા માટે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
ધારો કે $A = 20^\circ$ અને $B = 40^\circ$.
તેથી,$\tan(20^\circ + 40^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\sqrt{3} = \frac{\tan 20^\circ + \tan 40^\circ}{1 - \tan 20^\circ \tan 40^\circ}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$\sqrt{3}(1 - \tan 20^\circ \tan 40^\circ) = \tan 20^\circ + \tan 40^\circ$.
$\sqrt{3} - \sqrt{3} \tan 20^\circ \tan 40^\circ = \tan 20^\circ + \tan 40^\circ$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \sqrt{3} \tan 20^\circ \tan 40^\circ = \sqrt{3}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{1}{4} [\sqrt{3} \cos 23^\circ - \sin 23^\circ]$
કૌંસની અંદર $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= \frac{1}{2} [\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 23^\circ - \frac{1}{2} \sin 23^\circ]$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{1}{2} [\cos 30^\circ \cos 23^\circ - \sin 30^\circ \sin 23^\circ]$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} \cos(30^\circ + 23^\circ)$
$= \frac{1}{2} \cos 53^\circ$
આમ,$\frac{1}{2} \cos 53^\circ$ એ આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ નથી,તેથી સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 75^\circ = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 + 1/\sqrt{3}}{1 - 1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 1 + 2\sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
કારણ કે $\cot 75^\circ = \frac{1}{\tan 75^\circ} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$.
તેથી,$\tan 75^\circ - \cot 75^\circ = (2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

(B) આપણને $\tan A = - \frac{1}{2}$ અને $\tan B = - \frac{1}{3}$ આપેલ છે.
સરવાળા માટેના ટેન્જન્ટનું સૂત્ર વાપરતા: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan(A + B) = \frac{-\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 - (-\frac{1}{2})(-\frac{1}{3})} = \frac{-\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = -1$.
કારણ કે $\tan(A + B) = -1$,અને $A$ તથા $B$ ના બીજા અને ચોથા ચરણમાં મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેતા,આપણને $A + B = \frac{3\pi}{4}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $X = \frac{\cot A}{1 + \cot A} \cdot \frac{\cot B}{1 + \cot B}$.
તેને ટેન્જન્ટ સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $X = \frac{1/\tan A}{1 + 1/\tan A} \cdot \frac{1/\tan B}{1 + 1/\tan B} = \frac{1}{\tan A + 1} \cdot \frac{1}{\tan B + 1} = \frac{1}{1 + \tan A + \tan B + \tan A \tan B}$.
આપેલ છે કે $A + B = 225^\circ$,તેથી $\tan(A + B) = \tan(225^\circ) = 1$.
સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan A + \tan B = 1 - \tan A \tan B$ મળે છે.
આ કિંમતને $X$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$X = \frac{1}{1 + (1 - \tan A \tan B) + \tan A \tan B} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ છે: $\sin A = \frac{4}{5}$ ($A$ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $\cos A$ ધન છે) અને $\cos B = -\frac{12}{13}$ ($B$ ત્રીજા ચરણમાં છે,તેથી $\sin B$ ઋણ છે).
પગલું $1$: $\cos A$ શોધો.
$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
પગલું $2$: $\sin B$ શોધો.
$\sin B = -\sqrt{1 - \cos^2 B} = -\sqrt{1 - (-\frac{12}{13})^2} = -\sqrt{1 - \frac{144}{169}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.
પગલું $3$: સૂત્ર $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરો.
$\cos(A + B) = (\frac{3}{5})(-\frac{12}{13}) - (\frac{4}{5})(-\frac{5}{13})$
$= -\frac{36}{65} + \frac{20}{65}$
$= -\frac{16}{65}$.