Trigonometry Questions in Gujarati

(A) આપેલ પદાવલિ: $(1+\cot A)^{2}+(1-\cot A)^{2}$
$(a+b)^{2} = a^{2}+b^{2}+2ab$ અને $(a-b)^{2} = a^{2}+b^{2}-2ab$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$= (1 + \cot^{2} A + 2 \cot A) + (1 + \cot^{2} A - 2 \cot A)$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$= 1 + \cot^{2} A + 2 \cot A + 1 + \cot^{2} A - 2 \cot A$
$= 2 + 2 \cot^{2} A$
$2$ સામાન્ય લેતા:
$= 2(1 + \cot^{2} A)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cot^{2} A = \operatorname{cosec}^{2} A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \operatorname{cosec}^{2} A$

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\cot A \cdot \cot B - 1}{\cot B + \cot A}$
$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ મૂકતા:
$= \frac{\frac{1}{\tan A} \cdot \frac{1}{\tan B} - 1}{\frac{1}{\tan B} + \frac{1}{\tan A}}$
અંશ અને છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$= \frac{\frac{1 - \tan A \cdot \tan B}{\tan A \cdot \tan B}}{\frac{\tan A + \tan B}{\tan A \cdot \tan B}}$
$= \frac{1 - \tan A \cdot \tan B}{\tan A + \tan B}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}$.
તેથી,આ પદાવલિ $\frac{1}{\tan (A + B)}$ બરાબર થાય.
$= \cot (A + B)$

(D) આપેલ છે કે $\theta+\phi=\frac{2 \pi}{3}$ અને $\cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
કારણ કે $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2},$ આપણે જાણીએ છીએ કે $\theta = \frac{\pi}{6}$ (અથવા $30^{\circ}$).
$\theta$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\pi}{6} + \phi = \frac{2 \pi}{3}$
$\phi = \frac{2 \pi}{3} - \frac{\pi}{6}$
$\phi = \frac{4 \pi - \pi}{6} = \frac{3 \pi}{6} = \frac{\pi}{2}$
હવે,આપણે $\sin \phi$ શોધવાનું છે:
$\sin \phi = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1.$

(C) આપેલ છે કે $(1+\tan ^{2} \theta)=\frac{625}{49}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1+\tan ^{2} \theta=\sec ^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sec ^{2} \theta=\frac{625}{49}$ મળે.
વર્ગમૂળ લેતા,$\sec \theta=\frac{25}{7}$ (કારણ કે $\theta$ લઘુકોણ છે,તેથી $\sec \theta$ ધન છે).
તેથી,$\cos \theta=\frac{1}{\sec \theta}=\frac{7}{25}$.
$\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin \theta=\sqrt{1-\cos ^{2} \theta} = \sqrt{1-\left(\frac{7}{25}\right)^{2}}$.
$\sin \theta = \sqrt{1-\frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{625-49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.
હવે,$\sqrt{\sin \theta+\cos \theta} = \sqrt{\frac{24}{25}+\frac{7}{25}}$ ની ગણતરી કરતા.
$= \sqrt{\frac{31}{25}} = \frac{\sqrt{31}}{5}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\left[\frac{\sec ^{3} x-\tan ^{3} x}{\sec x-\tan x}\right]-2 \tan ^{2} x-\sec x \tan x$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + b^2 + ab)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \sec x$ અને $b = \tan x$ છે:
$= \frac{(\sec x - \tan x)(\sec^2 x + \tan^2 x + \sec x \tan x)}{\sec x - \tan x} - 2 \tan^2 x - \sec x \tan x$
$= (\sec^2 x + \tan^2 x + \sec x \tan x) - 2 \tan^2 x - \sec x \tan x$
$= \sec^2 x + \tan^2 x - 2 \tan^2 x + \sec x \tan x - \sec x \tan x$
$= \sec^2 x - \tan^2 x$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,સાદું રૂપ $1$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin \theta + \sin 5 \theta = \sin 3 \theta$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \frac{\theta + 5 \theta}{2} \cos \frac{5 \theta - \theta}{2} = \sin 3 \theta$
$2 \sin 3 \theta \cos 2 \theta = \sin 3 \theta$
પદોને ગોઠવતા:
$2 \sin 3 \theta \cos 2 \theta - \sin 3 \theta = 0$
$\sin 3 \theta (2 \cos 2 \theta - 1) = 0$
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\sin 3 \theta = 0$. કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,તેથી $0 < 3 \theta < \frac{3 \pi}{2}$. આમ $3 \theta = \pi$,જે $\theta = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ આપે છે.
કિસ્સો $2$: $2 \cos 2 \theta - 1 = 0 \implies \cos 2 \theta = \frac{1}{2} = \cos 60^{\circ}$.
$2 \theta = 60^{\circ} \implies \theta = 30^{\circ}$.
$0 < \theta < 90^{\circ}$ ની મર્યાદા તપાસતા,$30^{\circ}$ અને $60^{\circ}$ બંને માન્ય છે. જોકે,સામાન્ય રીતે સૌથી નાનું ધન મૂલ્ય લેવામાં આવે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$30^{\circ}$ સાચો જવાબ છે.

(C) $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ ના અંતરાલ માટે,$\sin \theta$ ની કિંમત $0$ અને $1$ ની વચ્ચે હોય છે,એટલે કે $0 < \sin \theta < 1$.
ધારો કે $x = \sin \theta$. કારણ કે $0 < x < 1$,બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા આપણને $x^2 < x$ મળે છે.
તેથી,$\sin^{2} \theta < \sin \theta$,જેને $\sin \theta > \sin^{2} \theta$ તરીકે લખી શકાય છે.
ઉદાહરણ: ધારો કે $\theta = 30^{\circ}$.
$\sin 30^{\circ} = 0.5$ અને $\sin^{2} 30^{\circ} = (0.5)^{2} = 0.25$.
કારણ કે $0.5 > 0.25$,તેથી સાબિત થાય છે કે $\sin \theta > \sin^{2} \theta$.

(B) આપેલ છે: $\cos ^{2} x+\cos ^{4} x=1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{2} x = 1 - \cos ^{2} x$.
આપેલ સમીકરણ પરથી,$\cos ^{4} x = 1 - \cos ^{2} x$,જેનો અર્થ છે કે $\cos ^{4} x = \sin ^{2} x$.
હવે,પદાવલિ $\tan ^{2} x+\tan ^{4} x$ ને ધ્યાનમાં લો.
$= \tan ^{2} x (1 + \tan ^{2} x)$
$= \tan ^{2} x (\sec ^{2} x)$
$= \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x}$
$= \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{4} x}$
કારણ કે $\sin ^{2} x = \cos ^{4} x$,આપણે આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકીએ:
$= \frac{\cos ^{4} x}{\cos ^{4} x} = 1$.

(B) આપેલ છે: $\sec \theta + \tan \theta = m$ ....$(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ: $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \theta = 1$
$(a^{2} - b^{2}) = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$
આમાં $(i)$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\sec \theta - \tan \theta) \cdot m = 1 \Rightarrow \sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{m}$ ....$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2 \sec \theta = m + \frac{1}{m} = \frac{m^{2} + 1}{m} \Rightarrow \sec \theta = \frac{m^{2} + 1}{2m}$
કારણ કે $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$,તેથી $\cos \theta = \frac{2m}{m^{2} + 1}$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$2 \tan \theta = m - \frac{1}{m} = \frac{m^{2} - 1}{m} \Rightarrow \tan \theta = \frac{m^{2} - 1}{2m}$
હવે,$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta = \left( \frac{m^{2} - 1}{2m} \right) \cdot \left( \frac{2m}{m^{2} + 1} \right) = \frac{m^{2} - 1}{m^{2} + 1}$.

(C) આપેલ છે કે $\sin \left(\frac{A+B}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\frac{A+B}{2} = 60^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $A+B = 120^{\circ}$.
કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $A+B+C = 180^{\circ}$ થાય છે.
$A+B = 120^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $120^{\circ} + C = 180^{\circ}$ મળે છે,તેથી $C = 60^{\circ}$.
હવે,આપણે $\sin \frac{C}{2} = \sin \frac{60^{\circ}}{2} = \sin 30^{\circ}$ શોધવાનું છે.
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,અંતિમ જવાબ $\frac{1}{2}$ છે.

(B) આપેલ છે: $\sqrt{2} \tan 2 \theta = \sqrt{6}$
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\tan 2 \theta = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી:
$2 \theta = 60^{\circ}$
$\theta = 30^{\circ}$
હવે,$\theta = 30^{\circ}$ ની કિંમત $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta - 2 \tan^{2} \theta$ માં મૂકતા:
$= \sin 30^{\circ} + \sqrt{3} \cos 30^{\circ} - 2 \tan^{2} 30^{\circ}$
ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,અને $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} + \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - 2 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{2}$
$= \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 \left( \frac{1}{3} \right)$
$= \frac{4}{2} - \frac{2}{3}$
$= 2 - \frac{2}{3} = \frac{6-2}{3} = \frac{4}{3}$

(C) ધારો કે ઝાડ $AB$ છે અને તે $C$ બિંદુએથી તૂટે છે. ઉપરનો ભાગ $AC$ જમીન પર $D$ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
આપેલ છે: $BD = 10 \text{ m}$ અને $\angle BDC = 60^{\circ}$.
$\triangle BCD$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{BC}{BD} \implies \sqrt{3} = \frac{BC}{10} \implies BC = 10\sqrt{3} \text{ m}$.
વળી,$\cos 60^{\circ} = \frac{BD}{CD} \implies \frac{1}{2} = \frac{10}{CD} \implies CD = 20 \text{ m}$.
કારણ કે $AC = CD$,તેથી ઝાડની મૂળ ઊંચાઈ $AB = BC + AC = BC + CD = 10\sqrt{3} + 20 = 10(2 + \sqrt{3}) \text{ m}$ થાય.

(C) ધારો કે $AB$ દીવાલ છે અને $AD$ એ નિસરણીની પ્રારંભિક સ્થિતિ છે. નિસરણીનો નીચેનો છેડો $D$ પર છે,જ્યાં $BD = 10 \, ft$ છે.
$\triangle ABD$ માં,$\angle ADB = 60^{\circ}$ અને $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
$\cos 60^{\circ} = \frac{BD}{AD} \implies \frac{1}{2} = \frac{10}{AD} \implies AD = 20 \, ft$.
$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BD} \implies \sqrt{3} = \frac{AB}{10} \implies AB = 10\sqrt{3} \, ft$.
જ્યારે નિસરણી લપસી જાય છે,ત્યારે નવી સ્થિતિ $EC$ છે,જ્યાં $EC = AD = 20 \, ft$ (નિસરણીની લંબાઈ સમાન રહે છે).
$\triangle EBC$ માં,$\angle ECB = 30^{\circ}$ અને $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
$\sin 30^{\circ} = \frac{EB}{EC} \implies \frac{1}{2} = \frac{EB}{20} \implies EB = 10 \, ft$.
નિસરણી દીવાલની ટોચ પરથી જેટલી નીચે લપસી છે તે અંતર $AE = AB - EB = 10\sqrt{3} - 10 = 10(\sqrt{3} - 1) \, ft$ છે.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,$AE = 10(1.732 - 1) = 10(0.732) = 7.32 \, ft$.

(C) ધારો કે $AC$ એ સ્તંભની ઊંચાઈ $= h \ m$ છે.
ધારો કે $B$ અને $D$ એ એક જ સમક્ષિતિજ રેખા પર આવેલા બે બિંદુઓ છે જેથી $\angle ABC = \theta$ અને $\angle ADC = \phi$ થાય.
$\triangle ADC$ માં,$\tan \phi = \frac{AC}{CD} = \frac{h}{CD}$,તેથી $CD = h \cot \phi$.
$\triangle ABC$ માં,$\tan \theta = \frac{AC}{CB} = \frac{h}{CB}$,તેથી $CB = h \cot \theta$.
બંને બિંદુઓ $B$ અને $D$ વચ્ચેનું અંતર $BD = CB - CD$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$BD = h \cot \theta - h \cot \phi = h(\cot \theta - \cot \phi)$.

(A) આપેલ છે: $\sin \theta + \sin^2 \theta = 1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sin \theta + (1 - \cos^2 \theta) = 1$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$\sin \theta - \cos^2 \theta = 0$
તેથી,$\sin \theta = \cos^2 \theta$.
હવે,બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\sin^2 \theta = (\cos^2 \theta)^2$
$\sin^2 \theta = \cos^4 \theta$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$1 - \cos^2 \theta = \cos^4 \theta$
પદોને ગોઠવતા:
$1 = \cos^2 \theta + \cos^4 \theta$
આમ,$\cos^2 \theta + \cos^4 \theta$ ની કિંમત $1$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\cos ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 60^{\circ}}+\frac{\cos ^{2} 60^{\circ}}{\sin ^{2} 45^{\circ}}-\frac{\tan ^{2} 30^{\circ}}{\cot ^{2} 45^{\circ}}-\frac{\sin ^{2} 30^{\circ}}{\cot ^{2} 30^{\circ}}$
ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો મૂકતા: $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$\cot 45^{\circ} = 1$,$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$.
$\Rightarrow \frac{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}}{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} + \frac{(\frac{1}{2})^{2}}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}} - \frac{(\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}}{(1)^{2}} - \frac{(\frac{1}{2})^{2}}{(\sqrt{3})^{2}}$
$\Rightarrow \frac{1/2}{3/4} + \frac{1/4}{1/2} - \frac{1/3}{1} - \frac{1/4}{3}$
$\Rightarrow (\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}) + (\frac{1}{4} \times 2) - \frac{1}{3} - \frac{1}{12}$
$\Rightarrow \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{12}$
લસાઅ $12$ લેતા: $\frac{8 + 6 - 4 - 1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.

(A) આપેલ છે: $x \cos \theta - \sin \theta = 1$
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $x \cos \theta = 1 + \sin \theta$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 \cos^2 \theta = (1 + \sin \theta)^2$
$x^2 (1 - \sin^2 \theta) = (1 + \sin \theta)^2$
$x^2 (1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta) = (1 + \sin \theta)^2$
કારણ કે $1 + \sin \theta \neq 0$,તેથી $(1 + \sin \theta)$ વડે ભાગતા:
$x^2 (1 - \sin \theta) = 1 + \sin \theta$
$x^2 - x^2 \sin \theta = 1 + \sin \theta$
$x^2 - 1 = x^2 \sin \theta + \sin \theta$
$x^2 - 1 = (1 + x^2) \sin \theta$
$x^2 - (1 + x^2) \sin \theta = 1$

(A) આપેલ પદાવલિ: $\tan 4^{\circ} \tan 43^{\circ} \tan 47^{\circ} \tan 86^{\circ}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 4^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 86^{\circ}) = \cot 86^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\tan 43^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 47^{\circ}) = \cot 47^{\circ}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\cot 86^{\circ} \times \tan 86^{\circ}) \times (\cot 47^{\circ} \times \tan 47^{\circ})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta \times \cot \theta = 1$:
$1 \times 1 = 1$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ છે.
આને અવયવ પાડતા $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ મળે.
આપેલ છે કે $\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,આ કિંમત નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}}(\sec \theta + \tan \theta) = 1 \implies \sec \theta + \tan \theta = \sqrt{3}$.
હવે,આપણી પાસે બે સમીકરણો છે:
$1) \sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$2) \sec \theta + \tan \theta = \sqrt{3}$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2 \sec \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{1+3}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \implies \sec \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
બીજા સમીકરણમાંથી પહેલું સમીકરણ બાદ કરતા: $2 \tan \theta = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \implies \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\sec \theta \cdot \tan \theta = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2}{3}$.

(A) આપેલ છે: $\tan A = n \tan B$ અને $\sin A = m \sin B$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી: $\frac{\sin A}{\cos A} = n \frac{\sin B}{\cos B} \Rightarrow \frac{\sin A}{\sin B} = n \frac{\cos A}{\cos B}$.
કારણ કે $\sin A = m \sin B$,તેથી $\frac{\sin A}{\sin B} = m$.
$\frac{\sin A}{\sin B}$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા,આપણને મળે $m = n \frac{\cos A}{\cos B}$,જેનો અર્થ છે $\cos B = \frac{n}{m} \cos A$.
વળી,$\sin A = m \sin B$ પરથી,$\sin B = \frac{1}{m} \sin A$.
નિત્યસમ $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{1}{m} \sin A)^2 + (\frac{n}{m} \cos A)^2 = 1$.
$\frac{1}{m^2} \sin^2 A + \frac{n^2}{m^2} \cos^2 A = 1$.
$\sin^2 A + n^2 \cos^2 A = m^2$.
$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$ મૂકતા:
$(1 - \cos^2 A) + n^2 \cos^2 A = m^2$.
$(n^2 - 1) \cos^2 A = m^2 - 1$.
તેથી,$\cos^2 A = \frac{m^2 - 1}{n^2 - 1}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\tan \theta - \cot \theta = 0$ છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\tan \theta = \cot \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta = \tan(90^{\circ} - \theta)$,તેથી $\tan \theta = \tan(90^{\circ} - \theta)$.
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા,$\theta = 90^{\circ} - \theta$,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = 90^{\circ}$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
હવે,$\theta = 45^{\circ}$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\tan(45^{\circ} + 15^{\circ})}{\tan(45^{\circ} - 15^{\circ})} = \frac{\tan 60^{\circ}}{\tan 30^{\circ}}$.
કારણ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ અને $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,
તેથી પદાવલિની કિંમત $\frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin A + \sin^2 A = 1$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\sin A = 1 - \sin^2 A$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે આને સમીકરણમાં મૂકીએ તો મળે: $\sin A = \cos^2 A$.
હવે,આપણે $\cos^2 A + \cos^4 A$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આ પદાવલિમાં $\cos^2 A = \sin A$ મૂકતા,આપણને મળે: $\cos^2 A + (\cos^2 A)^2 = \sin A + (\sin A)^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin A + \sin^2 A = 1$,તેથી આ પદાવલિની કિંમત $1$ થશે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $7 \sin^{2} \theta + 3 \cos^{2} \theta = 4$.
નિત્યસમ $\cos^{2} \theta = 1 - \sin^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$7 \sin^{2} \theta + 3(1 - \sin^{2} \theta) = 4$
$7 \sin^{2} \theta + 3 - 3 \sin^{2} \theta = 4$
$4 \sin^{2} \theta = 4 - 3$
$4 \sin^{2} \theta = 1$
$\sin^{2} \theta = 1/4$
$\theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\sin \theta = 1/2$.
આમ,$\theta = 30^{\circ}$.
તેથી,$\tan \theta = \tan 30^{\circ} = 1/\sqrt{3}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $5 \cos \theta + 12 \sin \theta = 13$.
બંને બાજુ $13$ વડે ભાગતા:
$\frac{5}{13} \cos \theta + \frac{12}{13} \sin \theta = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ છે. આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\cos \alpha \cos \theta + \sin \alpha \sin \theta = \cos(\theta - \alpha) = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણે $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ અને $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ લઈ શકીએ.
તેથી $\cos \alpha \cos \theta + \sin \alpha \sin \theta = 1 \implies \cos(\theta - \alpha) = 1$.
અહીં $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ હોવાથી,$\theta = \alpha$ થાય.
તેથી,$\sin \theta = \sin \alpha = \frac{12}{13}$.

(C) આપેલ પદાવલિ $E = \cos 41^{\circ} \cdot \cos 42^{\circ} \cdot \cos 43^{\circ} \cdot \cos 44^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} \cdot \cos 46^{\circ} \cdot \cos 47^{\circ} \cdot \cos 48^{\circ} \cdot \cos 49^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$,તેથી પદોને આ રીતે લખી શકાય:
$E = \cos 41^{\circ} \cdot \cos 42^{\circ} \cdot \cos 43^{\circ} \cdot \cos 44^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} \cdot \sin 44^{\circ} \cdot \sin 43^{\circ} \cdot \sin 42^{\circ} \cdot \sin 41^{\circ}$.
સમાન ખૂણાવાળા પદોને સાથે લેતા:
$E = (\sin 41^{\circ} \cos 41^{\circ}) \cdot (\sin 42^{\circ} \cos 42^{\circ}) \cdot (\sin 43^{\circ} \cos 43^{\circ}) \cdot (\sin 44^{\circ} \cos 44^{\circ}) \cdot \cos 45^{\circ}$.
નિત્યસમ $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin(2\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{2^4} \sin 82^{\circ} \cdot \sin 84^{\circ} \cdot \sin 86^{\circ} \cdot \sin 88^{\circ} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$.
જો પ્રશ્નમાં $\cos 90^{\circ}$ નો સમાવેશ થતો હોત,તો જવાબ $0$ આવત. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,જો આ શ્રેણીમાં $\cos 90^{\circ}$ હોવાનું માનવામાં આવે,તો સાચો જવાબ $0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$x = a \sin \theta - b \cos \theta$ ..... $(1)$
$y = a \cos \theta + b \sin \theta$ ..... $(2)$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$x^{2} = (a \sin \theta - b \cos \theta)^{2} = a^{2} \sin^{2} \theta + b^{2} \cos^{2} \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta$ ..... $(3)$
$y^{2} = (a \cos \theta + b \sin \theta)^{2} = a^{2} \cos^{2} \theta + b^{2} \sin^{2} \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta$ ..... $(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$x^{2} + y^{2} = a^{2} \sin^{2} \theta + b^{2} \cos^{2} \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta + a^{2} \cos^{2} \theta + b^{2} \sin^{2} \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta$
$x^{2} + y^{2} = a^{2} (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) + b^{2} (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,તેથી:
$x^{2} + y^{2} = a^{2}(1) + b^{2}(1)$
$x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$

(D) ધારો કે ટેલિગ્રાફના થાંભલાની મૂળ ઊંચાઈ $AB$ છે. તે $C$ બિંદુએથી વળે છે. ઉપરનો ભાગ $A$ જમીન પર $D$ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
આપેલ છે: $BD = 10 \sqrt{3} \text{ m}$ અને $\angle BDC = 30^{\circ}$.
$\Delta BCD$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{BC}{BD}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{10 \sqrt{3}} \implies BC = 10 \text{ m}$.
ફરીથી,$\Delta BCD$ માં,$\sin 30^{\circ} = \frac{BC}{CD}$.
$\frac{1}{2} = \frac{10}{CD} \implies CD = 20 \text{ m}$.
થાંભલાની કુલ ઊંચાઈ $AB = BC + CD$ છે (કારણ કે $AC = CD$ છે,કારણ કે ઉપરનો ભાગ જમીનને સ્પર્શે છે).
$AB = 10 + 20 = 30 \text{ m}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(\operatorname{cosec} a - \sin a)(\sec a - \cos a)(\tan a + \cot a)$
પગલું $1$: બધા ત્રિકોણમિતીય વિધેયોને $\sin a$ અને $\cos a$ માં ફેરવો.
$= \left(\frac{1}{\sin a} - \sin a\right) \left(\frac{1}{\cos a} - \cos a\right) \left(\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\cos a}{\sin a}\right)$
પગલું $2$: દરેક કૌંસનું સાદું રૂપ આપો.
$= \left(\frac{1 - \sin^2 a}{\sin a}\right) \left(\frac{1 - \cos^2 a}{\cos a}\right) \left(\frac{\sin^2 a + \cos^2 a}{\sin a \cos a}\right)$
પગલું $3$: નિત્યસમ $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$ નો ઉપયોગ કરો.
$= \left(\frac{\cos^2 a}{\sin a}\right) \left(\frac{\sin^2 a}{\cos a}\right) \left(\frac{1}{\sin a \cos a}\right)$
પગલું $4$: પદોનો ગુણાકાર કરો.
$= \frac{\cos^2 a \cdot \sin^2 a}{\sin a \cdot \cos a \cdot \sin a \cdot \cos a} = \frac{\sin^2 a \cdot \cos^2 a}{\sin^2 a \cdot \cos^2 a} = 1$

(D) આપેલ છે કે $\tan \theta + \cot \theta = 5.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\tan \theta + \cot \theta)^2 = 5^2$
બીજગણિતના નિત્યસમ $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta + 2 \tan \theta \cot \theta = 25$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta \cot \theta = 1$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ થશે:
$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta + 2(1) = 25$
$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta = 25 - 2$
$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta = 23$

(C) આપેલ પદાવલિ: $\sin A \cos A(\tan A - \cot A)$
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ અને $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$ મૂકતા:
$= \sin A \cos A \left( \frac{\sin A}{\cos A} - \frac{\cos A}{\sin A} \right)$
કૌંસની અંદર લસાઅ લેતા:
$= \sin A \cos A \left( \frac{\sin^{2} A - \cos^{2} A}{\sin A \cos A} \right)$
અંશ અને છેદમાંથી $\sin A \cos A$ ઉડાડતા:
$= \sin^{2} A - \cos^{2} A$
નિત્યસમ $\cos^{2} A = 1 - \sin^{2} A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sin^{2} A - (1 - \sin^{2} A)$
$= \sin^{2} A - 1 + \sin^{2} A$
$= 2\sin^{2} A - 1$

(C) આપેલ છે:
$n = \frac{\cos \alpha}{\sin \beta} \implies \cos \alpha = n \sin \beta \quad (1)$
$m = \frac{\cos \alpha}{\cos \beta} \implies \cos \alpha = m \cos \beta \quad (2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$n \sin \beta = m \cos \beta$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$n^2 \sin^2 \beta = m^2 \cos^2 \beta$
નિત્યસમ $\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n^2 (1 - \cos^2 \beta) = m^2 \cos^2 \beta$
$n^2 - n^2 \cos^2 \beta = m^2 \cos^2 \beta$
$n^2 = (m^2 + n^2) \cos^2 \beta$
તેથી,$\cos^2 \beta = \frac{n^2}{m^2 + n^2}$.

(A) આપણને પદાવલિ આપેલી છે: $\tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \tan 3^{\circ} \cdots \tan 89^{\circ}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $46^{\circ}$ થી $89^{\circ}$ સુધીના પદોને આ રીતે લખી શકીએ:
$\tan 89^{\circ} = \cot 1^{\circ}$,$\tan 88^{\circ} = \cot 2^{\circ}$,...,$\tan 46^{\circ} = \cot 44^{\circ}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (\tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \cdots \tan 44^{\circ}) \cdot \tan 45^{\circ} \cdot (\tan 46^{\circ} \cdots \tan 88^{\circ} \tan 89^{\circ})$
$= (\tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \cdots \tan 44^{\circ}) \cdot 1 \cdot (\cot 44^{\circ} \cdots \cot 2^{\circ} \cot 1^{\circ})$
કારણ કે $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,દરેક જોડી $(\tan \theta \cdot \cot \theta)$ નો ગુણાકાર $1$ થાય છે.
$= 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1 = 1$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{2} \theta + \frac{1}{\tan^{2} \theta} = 2$.
ધારો કે $x = \tan^{2} \theta$. તો સમીકરણ $x + \frac{1}{x} = 2$ બને છે.
$x$ વડે ગુણતા,આપણને $x^{2} + 1 = 2x$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^{2} - 2x + 1 = 0$ થાય છે.
આ એક પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે: $(x - 1)^{2} = 0$,તેથી $x = 1$.
કિંમત પાછી મૂકતા,$\tan^{2} \theta = 1$.
$\theta$ એ લઘુકોણ હોવાથી,$\tan \theta = 1$.
તેથી,$\theta = 45^{\circ}$.

(A) ધારો કે ટાવર $A$ ની ઊંચાઈ $AP = 45 \, m$ અને ટાવર $B$ ની ઊંચાઈ $BQ = 15 \, m$ છે. ધારો કે ટાવરના પાયા વચ્ચેનું અંતર $RO = d$ છે.
$\Delta PRO$ માં,ટાવર $B$ ના તળિયે $(R)$ થી ટાવર $A$ ની ટોચ $(P)$ નો ઉત્સેધકોણ $60^{\circ}$ છે.
$\tan 60^{\circ} = \frac{AP}{RO} = \frac{45}{d}$
$\sqrt{3} = \frac{45}{d} \implies d = \frac{45}{\sqrt{3}} = 15\sqrt{3} \, m$.
હવે,$\Delta QOR$ માં,ટાવર $A$ ના તળિયે $(O)$ થી ટાવર $B$ ની ટોચ $(Q)$ નો ઉત્સેધકોણ $\theta$ છે.
$\tan \theta = \frac{BQ}{RO} = \frac{15}{15\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
કારણ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\theta = 30^{\circ}$ મળે.
તેથી,$\sin \theta = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

(D) આ પદનું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $\theta$ માટે અનુકૂળ કિંમત મૂકી શકીએ છીએ. ધારો કે $\theta = 0^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 0^{\circ} = 0$ અને $\cos 0^{\circ} = 1$,આપણે આ કિંમતો પદમાં મૂકીએ:
$= 3(0^{4} + 1^{4}) + 2(0^{6} + 1^{6}) + 12(0^{2})(1^{2})$
$= 3(0 + 1) + 2(0 + 1) + 12(0)(1)$
$= 3(1) + 2(1) + 0$
$= 3 + 2 = 5$.
વૈકલ્પિક રીતે,નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^{4} \theta + \cos^{4} \theta = 1 - 2\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$
$\sin^{6} \theta + \cos^{6} \theta = 1 - 3\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$
આ કિંમતો મૂકતા:
$= 3(1 - 2\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta) + 2(1 - 3\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta) + 12\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$
$= 3 - 6\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta + 2 - 6\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta + 12\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$
$= 3 + 2 + (-6 - 6 + 12)\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$
$= 5 + 0 = 5$.

(A) આપેલ છે: $\sec \theta + \tan \theta = 2 + \sqrt{5} \quad \dots(1)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,જેને $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{\sec \theta + \tan \theta} = \frac{1}{2 + \sqrt{5}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{2 + \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} - 2}{5 - 4} = \sqrt{5} - 2 \quad \dots(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(\sec \theta + \tan \theta) + (\sec \theta - \tan \theta) = (2 + \sqrt{5}) + (\sqrt{5} - 2)$
$2 \sec \theta = 2 \sqrt{5} \implies \sec \theta = \sqrt{5}$.
કારણ કે $\sec \theta = \frac{\text{કર્ણ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{\sqrt{5}}{1}$,તેથી $\text{કર્ણ} = \sqrt{5}$ અને $\text{પાસેની બાજુ} = 1$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$\text{સામેની બાજુ} = \sqrt{(\text{કર્ણ})^2 - (\text{પાસેની બાજુ})^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\cos 24^{\circ} + \cos 55^{\circ} + \cos 125^{\circ} + \cos 204^{\circ} + \cos 300^{\circ}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $(\cos 24^{\circ} + \cos 204^{\circ}) + (\cos 55^{\circ} + \cos 125^{\circ}) + \cos 300^{\circ}$.
નિત્યસમ $\cos(180^{\circ} + \theta) = -\cos \theta$ અને $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 204^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 24^{\circ}) = -\cos 24^{\circ}$.
$\cos 125^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 55^{\circ}) = -\cos 55^{\circ}$.
છેલ્લા પદ માટે,$\cos 300^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\cos 24^{\circ} - \cos 24^{\circ}) + (\cos 55^{\circ} - \cos 55^{\circ}) + \frac{1}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે: $\frac{\sec \theta+\tan \theta}{\sec \theta-\tan \theta} = 2 \frac{51}{79} = \frac{2 \times 79 + 51}{79} = \frac{158 + 51}{79} = \frac{209}{79}$.
યોગ-વિયોગની રીત $(C \& D)$ વાપરતા:
$\frac{(\sec \theta+\tan \theta) + (\sec \theta-\tan \theta)}{(\sec \theta+\tan \theta) - (\sec \theta-\tan \theta)} = \frac{209 + 79}{209 - 79}$.
$\frac{2 \sec \theta}{2 \tan \theta} = \frac{288}{130}$.
$\frac{1}{\cos \theta} \times \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{144}{65}$.
$\frac{1}{\sin \theta} = \frac{144}{65}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{65}{144}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\tan A + \cot A = 2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot A = \frac{1}{\tan A}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$\tan A + \frac{1}{\tan A} = 2$ મળે.
ધારો કે $\tan A = x$,તો $x + \frac{1}{x} = 2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 2x + 1 = 0$ થાય.
આ $(x - 1)^2 = 0$ છે,તેથી $x = 1$.
આમ,$\tan A = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cot A = 1$.
હવે,આપણે $\tan^{10} A + \cot^{10} A$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કિંમતો મૂકતા,$(1)^{10} + (1)^{10} = 1 + 1 = 2$ મળે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $1 + \cos^{2} \theta = 3 \sin \theta \cos \theta$.
બંને બાજુને $\cos^{2} \theta$ વડે ભાગતા (કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે $\cos \theta \neq 0$):
$\frac{1}{\cos^{2} \theta} + \frac{\cos^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} = 3 \frac{\sin \theta \cos \theta}{\cos^{2} \theta}$.
$\sec^{2} \theta + 1 = 3 \tan \theta$.
નિત્યસમ $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1 + \tan^{2} \theta) + 1 = 3 \tan \theta$.
$\tan^{2} \theta - 3 \tan \theta + 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(\tan \theta - 1)(\tan \theta - 2) = 0$.
તેથી,$\tan \theta = 1$ અથવા $\tan \theta = 2$.
જો $\tan \theta = 1$ હોય,તો $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = 1$.
જો $\tan \theta = 2$ હોય,તો $\cot \theta = \frac{1}{2} = 0.5$.
પ્રશ્નમાં પૂર્ણાંક મૂલ્ય પૂછવામાં આવ્યું હોવાથી,સાચું મૂલ્ય $1$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\sin ^{2} 22^{\circ}+\sin ^{2} 68^{\circ}+\cot ^{2} 30^{\circ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(90^{\circ}-\theta) = \cos \theta$.
તેથી,$\sin 22^{\circ} = \sin(90^{\circ}-68^{\circ}) = \cos 68^{\circ}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos ^{2} 68^{\circ} + \sin ^{2} 68^{\circ} + \cot ^{2} 30^{\circ}$
નિત્યસમ $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + \cot ^{2} 30^{\circ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી $\cot ^{2} 30^{\circ} = (\sqrt{3})^{2} = 3$.
આમ,કુલ મૂલ્ય $1 + 3 = 4$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan(4\theta - 50^{\circ}) = \cot(50^{\circ} - \theta)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ: $\tan(A) = \cot(90^{\circ} - A)$.
ડાબી બાજુએ આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\tan(4\theta - 50^{\circ}) = \cot(90^{\circ} - (4\theta - 50^{\circ}))$.
કોટિ-કોણના પદનું સાદું રૂપ આપતા: $90^{\circ} - 4\theta + 50^{\circ} = 140^{\circ} - 4\theta$.
તેથી,$\cot(140^{\circ} - 4\theta) = \cot(50^{\circ} - \theta)$.
ખૂણાઓને સરખાવતા: $140^{\circ} - 4\theta = 50^{\circ} - \theta$.
પદોને ગોઠવતા: $140^{\circ} - 50^{\circ} = 4\theta - \theta$.
$90^{\circ} = 3\theta$.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$.

(C) આપેલ છે કે $5 \sin \theta = 3$,તેથી $\sin \theta = 3/5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$.
કિંમત મૂકતા,$\cos \theta = \sqrt{1 - (3/5)^2} = \sqrt{1 - 9/25} = \sqrt{16/25} = 4/5$.
હવે,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{4/5} = 3/4$.
તેમજ,$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = 5/4$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{\sec \theta - \tan \theta}{\sec \theta + \tan \theta} = \frac{5/4 - 3/4}{5/4 + 3/4} = \frac{2/4}{8/4} = 2/8 = 1/4$.

(B) આપેલ છે: $\sec \theta + \tan \theta = p$ ......... $(1)$
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ: $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$
આને આ રીતે અવયવ પાડી શકાય: $(\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta - \tan \theta) = 1$
સમીકરણ $(1)$ ની કિંમત નિત્યસમમાં મૂકતા: $p(\sec \theta - \tan \theta) = 1$
તેથી: $\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{p}$ ......... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(\sec \theta + \tan \theta) + (\sec \theta - \tan \theta) = p + \frac{1}{p}$
$2 \sec \theta = p + \frac{1}{p}$
$\sec \theta = \frac{1}{2}(p + \frac{1}{p})$

(C) આપેલ પદાવલિ: $2 \sin ^{2} \theta + 3 \cos ^{2} \theta$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{2} \theta = 1 - \cos ^{2} \theta$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$2(1 - \cos ^{2} \theta) + 3 \cos ^{2} \theta$
$= 2 - 2 \cos ^{2} \theta + 3 \cos ^{2} \theta$
$= \cos ^{2} \theta + 2$
કારણ કે $\cos ^{2} \theta$ નો વિસ્તાર $[0, 1]$ છે,તેથી $\cos ^{2} \theta$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે.
તેથી,પદાવલિની ન્યૂનતમ કિંમત $0 + 2 = 2$ થાય.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\sin ^{2} 30^{\circ} \cos ^{2} 45^{\circ}+5 \tan ^{2} 30^{\circ}+\frac{3}{2} \sin ^{2} 90^{\circ}-3 \cos ^{2} 90^{\circ}$
ત્રિકોણમિતીય કિંમતો મૂકતા: $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$\sin 90^{\circ} = 1$,$\cos 90^{\circ} = 0$.
$= \left[\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\right] + 5\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2} + \frac{3}{2}(1)^{2} - 3(0)^{2}$
$= \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}\right) + 5\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{3}{2} - 0$
$= \frac{1}{8} + \frac{5}{3} + \frac{3}{2}$
$8, 3, 2$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $24$ લેતા:
$= \frac{3 + 40 + 36}{24} = \frac{79}{24}$
મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $\frac{79}{24} = 3 \frac{7}{24}$.

(A) આપણને આપેલ છે કે $\cos ^{2} \theta - \sin ^{2} \theta = \frac{1}{3}$.....$(1)$
આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ કે $\cos ^{2} \theta + \sin ^{2} \theta = 1$.....$(2)$
આપણે $\cos ^{4} \theta - \sin ^{4} \theta$ ની કિંમત શોધવાની છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ:
$\cos ^{4} \theta - \sin ^{4} \theta = (\cos ^{2} \theta - \sin ^{2} \theta)(\cos ^{2} \theta + \sin ^{2} \theta)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ માંથી કિંમતો મૂકતા:
$\cos ^{4} \theta - \sin ^{4} \theta = (\frac{1}{3}) \times (1)$
$\cos ^{4} \theta - \sin ^{4} \theta = \frac{1}{3}$

(C) આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{11}}.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta = 1 + \frac{1}{11} = \frac{12}{11}.$
તે જ રીતે,$\operatorname{cosec}^{2} \theta = 1 + \cot^{2} \theta = 1 + (\frac{1}{\tan \theta})^{2} = 1 + (\sqrt{11})^{2} = 1 + 11 = 12.$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\operatorname{cosec}^{2} \theta - \sec ^{2} \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta + \sec ^{2} \theta} = \frac{12 - \frac{12}{11}}{12 + \frac{12}{11}}.$
અંશ અને છેદને $12$ વડે ભાગતા:
$\frac{1 - \frac{1}{11}}{1 + \frac{1}{11}} = \frac{\frac{10}{11}}{\frac{12}{11}} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}.$

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{4} - \cot \frac{\pi}{3} \sec \frac{\pi}{6} + \frac{5 \tan \frac{\pi}{4}}{12 \sin \frac{\pi}{2}}$
પ્રમાણિત ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો મૂકતા:
$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$,$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$\sec \frac{\pi}{6} = \frac{2}{\sqrt{3}}$,$\tan \frac{\pi}{4} = 1$,$\sin \frac{\pi}{2} = 1$
આ મૂલ્યોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{2}{\sqrt{3}} \right) + \frac{5 \times 1}{12 \times 1}$
$= \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2\sqrt{2}} \right) - \frac{2}{3} + \frac{5}{12}$
$= \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{5}{12}$
$= \frac{3 - 8 + 5}{12} = \frac{0}{12} = 0$

(B) આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{3}{5}.$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}.$
$\cos \theta = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}.$
હવે,અન્ય ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર શોધીએ:
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}.$
$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{4}{3}.$
$\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{5}{3}.$
આ કિંમતોને પદાવલિ $\frac{\tan \theta + \cos \theta}{\cot \theta + \operatorname{cosec} \theta}$ માં મૂકતા:
અંશ: $\frac{3}{4} + \frac{4}{5} = \frac{15 + 16}{20} = \frac{31}{20}.$
છેદ: $\frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3.$
પરિણામ: $\frac{31/20}{3} = \frac{31}{60}.$