Progression and Sequence Questions in Hindi

(A) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 20$ और सार्व अंतर $d = 19\frac{1}{3} - 20 = -\frac{2}{3}$ है।
श्रेणी का $n$ वां पद $a_n = a + (n - 1)d = 20 + (n - 1)\left( -\frac{2}{3} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
योग अधिकतम होने के लिए,हम उन पदों को लेते हैं जब तक वे गैर-ऋणात्मक हों,अर्थात $a_n \ge 0$.
$20 - \frac{2}{3}(n - 1) \ge 0$
$20 \ge \frac{2}{3}(n - 1)$
$30 \ge n - 1$
$n \le 31$.
अतः,प्रथम $31$ पदों का योग अधिकतम है।
योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
$S_{31} = \frac{31}{2}[2(20) + (31 - 1)(-\frac{2}{3})]$
$S_{31} = \frac{31}{2}[40 + 30(-\frac{2}{3})]$
$S_{31} = \frac{31}{2}[40 - 20] = \frac{31}{2} \times 20 = 310$.

(A) $100$ और $1000$ के बीच $9$ से विभाज्य संख्याएँ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाती हैं।
$100$ से बड़ी $9$ से विभाज्य पहली संख्या $108$ है $(a = 108)$।
$1000$ से छोटी $9$ से विभाज्य अंतिम संख्या $999$ है $(l = 999)$।
सार्व अंतर $d = 9$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद के सूत्र $l = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$999 = 108 + (n - 1)9$
$891 = (n - 1)9$
$n - 1 = 99$
$n = 100$।
समांतर श्रेणी का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$S_{100} = \frac{100}{2}(108 + 999)$
$S_{100} = 50 \times 1107$
$S_{100} = 55350$।

(C) दिया गया है कि $m$ और $n$ पदों के योग का अनुपात $\frac{S_m}{S_n} = \frac{m^2}{n^2}$ है।
हम जानते हैं कि $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ होता है।
इसलिए,$\frac{\frac{m}{2}[2a + (m - 1)d]}{\frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]} = \frac{m^2}{n^2}$।
$\Rightarrow \frac{2a + (m - 1)d}{2a + (n - 1)d} = \frac{m}{n}$।
तिर्यक गुणा करने पर,$n[2a + (m - 1)d] = m[2a + (n - 1)d]$ प्राप्त होता है।
$2an + n(m - 1)d = 2am + m(n - 1)d$।
$2an + mnd - nd = 2am + mnd - md$।
$2an - 2am = nd - md$।
$2a(n - m) = d(n - m)$।
अतः,$d = 2a$।
$A.P.$ का $n$ वां पद $T_n = a + (n - 1)d$ होता है।
$m$ वें और $n$ वें पद का अनुपात $\frac{T_m}{T_n} = \frac{a + (m - 1)d}{a + (n - 1)d}$ होगा।
$d = 2a$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{a + (m - 1)2a}{a + (n - 1)2a} = \frac{a(1 + 2m - 2)}{a(1 + 2n - 2)} = \frac{2m - 1}{2n - 1}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=1}^n \log \left( \frac{a^r}{b^{r-1}} \right) = \log a + \log \left( \frac{a^2}{b} \right) + \log \left( \frac{a^3}{b^2} \right) + \dots + \log \left( \frac{a^n}{b^{n-1}} \right)$ है।
यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है जहाँ प्रथम पद $a_1 = \log a$ और $n$-वाँ पद $a_n = \log \left( \frac{a^n}{b^{n-1}} \right)$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $S_n = \frac{n}{2} \left[ \log a + \log \left( \frac{a^n}{b^{n-1}} \right) \right]$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणधर्म $\log x + \log y = \log(xy)$ का उपयोग करते हुए,$S_n = \frac{n}{2} \log \left( a \cdot \frac{a^n}{b^{n-1}} \right) = \frac{n}{2} \log \left( \frac{a^{n+1}}{b^{n-1}} \right)$ होता है।

(A) दिया गया समीकरण $(x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + \dots + (x + 28) = 155$ है।
यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है जहाँ प्रथम पद $a = (x + 1)$ और सार्व अंतर $d = 3$ है।
माना पदों की संख्या $n$ है। अंतिम पद $l = (x + 28)$ है।
$n$ वें पद का सूत्र $l = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $(x + 28) = (x + 1) + (n - 1)3$.
$27 = (n - 1)3 \Rightarrow n - 1 = 9 \Rightarrow n = 10$.
समांतर श्रेणी का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $155 = \frac{10}{2}[(x + 1) + (x + 28)]$.
$155 = 5(2x + 29)$.
$31 = 2x + 29$.
$2x = 2 \Rightarrow x = 1$.

(C) $4$ से विभाजित करने पर $1$ शेषफल देने वाली दो अंकों की संख्याएँ $4n + 1$ के रूप में होती हैं।
इस रूप की सबसे छोटी दो अंकों की संख्या $13$ है (क्योंकि $4 \times 3 + 1 = 13$) और सबसे बड़ी संख्या $97$ है (क्योंकि $4 \times 24 + 1 = 97$)।
ये संख्याएँ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती हैं: $13, 17, 21, \dots, 97$।
यहाँ,प्रथम पद $a = 13$,अंतिम पद $l = 97$,और सार्व अंतर $d = 4$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $l = a + (n - 1)d$।
$97 = 13 + (n - 1)4$
$84 = (n - 1)4$
$n - 1 = 21$
$n = 22$।
इन $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$S_{22} = \frac{22}{2}(13 + 97) = 11(110) = 1210$।

(C) एक समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $(S_{2n} - S_n)$ का मान ज्ञात करना है।
$S_{2n} - S_n = \frac{2n}{2}\{2a + (2n - 1)d\} - \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\}$
$= n\{2a + 2nd - d\} - \frac{n}{2}\{2a + nd - d\}$
$= \frac{n}{2}\{4a + 4nd - 2d - 2a - nd + d\}$
$= \frac{n}{2}\{2a + 3nd - d\} = \frac{n}{2}\{2a + (3n - 1)d\}$
अब,$S_{3n} = \frac{3n}{2}\{2a + (3n - 1)d\}$ पर विचार करें।
अतः,$\frac{1}{3}S_{3n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3n}{2}\{2a + (3n - 1)d\} = \frac{n}{2}\{2a + (3n - 1)d\}$.
इस प्रकार,$(S_{2n} - S_n) = \frac{1}{3}S_{3n}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\log_{\sqrt{3}} x + \log_{\sqrt[4]{3}} x + \log_{\sqrt[6]{3}} x + \dots + \log_{\sqrt[16]{3}} x = 36$
गुणधर्म $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $\log_{3^{1/n}} x = n \log_3 x$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2 \log_3 x + 4 \log_3 x + 6 \log_3 x + \dots + 16 \log_3 x = 36$
$\log_3 x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(\log_3 x) (2 + 4 + 6 + \dots + 16) = 36$
समांतर श्रेणी $2 + 4 + 6 + \dots + 16$ का योग $\frac{n}{2}(a + l)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $n=8$,$a=2$,और $l=16$ है:
योग $= \frac{8}{2}(2 + 16) = 4 \times 18 = 72$.
अतः,$(\log_3 x) \times 72 = 36$
$\log_3 x = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}$
$x = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.

(A) समांतर श्रेणी के प्रथम $k$ पदों का योग ${S_k} = \frac{k}{2} \{2a + (k - 1)d\}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें अनुपात $\frac{S_{kn}}{S_n} = \frac{\frac{kn}{2} \{2a + (kn - 1)d\}}{\frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\}}$ दिया गया है।
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{S_{kn}}{S_n} = k \left\{ \frac{2a + (kn - 1)d}{2a + (n - 1)d} \right\} = k \left\{ \frac{(2a - d) + knd}{(2a - d) + nd} \right\}$.
इस व्यंजक के $n$ से स्वतंत्र होने के लिए,यदि $2a - d = 0$ हो,तो:
$\frac{S_{kn}}{S_n} = k \left\{ \frac{knd}{nd} \right\} = k^2$.
चूंकि $k^2$,$n$ से स्वतंत्र है,इसलिए शर्त $2a - d = 0$ है।

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \frac{n}{x} + y$ द्वारा दिया गया है।
$r$ पदों का योगफल ज्ञात करने के लिए,हम योगफल के सूत्र $S_r = \sum_{n=1}^{r} T_n$ का उपयोग करते हैं।
$S_r = \sum_{n=1}^{r} \left( \frac{n}{x} + y \right) = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{r} n + \sum_{n=1}^{r} y$।
प्रथम $r$ प्राकृतिक संख्याओं के योगफल के सूत्र के अनुसार,$\sum_{n=1}^{r} n = \frac{r(r + 1)}{2}$।
अतः,$S_r = \frac{1}{x} \left( \frac{r(r + 1)}{2} \right) + ry$।
$S_r = \left\{ \frac{r(r + 1)}{2x} \right\} + ry$।

(D) माना $S$,$1$ से $100$ तक के सभी पूर्णांकों का योग है।
$S = \frac{100}{2}(1 + 100) = 50 \times 101 = 5050$.
माना $S_1$,$100$ तक $3$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग है: $3, 6, 9, \dots, 99$.
$S_1 = 3(1 + 2 + 3 + \dots + 33) = 3 \times \frac{33 \times 34}{2} = 3 \times 33 \times 17 = 1683$.
माना $S_2$,$100$ तक $5$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग है: $5, 10, 15, \dots, 100$.
$S_2 = 5(1 + 2 + 3 + \dots + 20) = 5 \times \frac{20 \times 21}{2} = 5 \times 10 \times 21 = 1050$.
माना $S_3$,$100$ तक $3$ और $5$ दोनों से विभाज्य (अर्थात $15$ से विभाज्य) पूर्णांकों का योग है: $15, 30, 45, 60, 75, 90$.
$S_3 = 15(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 15 \times \frac{6 \times 7}{2} = 15 \times 21 = 315$.
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Inclusion-Exclusion Principle) का उपयोग करते हुए,$3$ या $5$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग $S_1 + S_2 - S_3 = 1683 + 1050 - 315 = 2418$ है।
अतः,$3$ या $5$ से विभाज्य न होने वाले पूर्णांकों का योग $S - (S_1 + S_2 - S_3) = 5050 - 2418 = 2632$ है।

(C) माना कि समांतर श्रेणी के पहले तीन पद $(a - d)$,$a$,और $(a + d)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,पहले और तीसरे पद का योग $12$ है:
$(a - d) + (a + d) = 12$
$2a = 12$
$a = 6$
अब,पहले और दूसरे पद का गुणनफल $24$ है:
$(a - d) \times a = 24$
समीकरण में $a = 6$ रखने पर:
$(6 - d) \times 6 = 24$
$6 - d = 4$
$d = 2$
अतः,पहला पद $(a - d) = 6 - 2 = 4$ है।

(C) प्रथम समांतर श्रेणी $(2, 5, 8, \dots)$ के लिए: प्रथम पद $a_1 = 2$, सार्व अंतर $d_1 = 3$ है। प्रथम $2n$ पदों का योग $S_{2n} = \frac{2n}{2} [2(2) + (2n - 1)3] = n [4 + 6n - 3] = n(6n + 1)$ है।
दूसरी समांतर श्रेणी $(57, 59, 61, \dots)$ के लिए: प्रथम पद $a_2 = 57$, सार्व अंतर $d_2 = 2$ है। प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2(57) + (n - 1)2] = \frac{n}{2} [114 + 2n - 2] = \frac{n}{2} [112 + 2n] = n(56 + n)$ है।
दिया गया है कि $S_{2n} = S_n$, इसलिए $n(6n + 1) = n(56 + n)$ है।
चूंकि $n \neq 0$, $n$ से विभाजित करने पर: $6n + 1 = 56 + n$ प्राप्त होता है।
$5n = 55$, जिससे $n = 11$ प्राप्त होता है।

(D) $250$ और $1000$ के बीच $3$ से विभाज्य संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं: $252, 255, \dots, 999$.
यहाँ,प्रथम पद $a = 252$,अंतिम पद $l = 999$,और सार्व अंतर $d = 3$ है।
$n$-वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $l = a + (n - 1)d$.
$999 = 252 + (n - 1)3$.
$747 = (n - 1)3$.
$n - 1 = 249$.
$n = 250$.
समांतर श्रेणी का योग $S_n$ ज्ञात करने का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ है।
$S_{250} = \frac{250}{2}(252 + 999)$.
$S_{250} = 125 \times 1251$.
$S_{250} = 156375$.

(B) $A.P.$ का $n$ वां पद $a_n = a + (n - 1)d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $7$ वां पद $a_7 = a + 6d = 40$ है।
$A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$n = 13$ के लिए,$S_{13} = \frac{13}{2}[2a + (13 - 1)d] = \frac{13}{2}[2a + 12d]$।
$2$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$S_{13} = \frac{13}{2} \times 2(a + 6d) = 13(a + 6d)$।
$a + 6d = 40$ का मान रखने पर,$S_{13} = 13 \times 40 = 520$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि ${a_1}, {a_2}, \dots, {a_{n+1}}$ एक $A.P.$ में हैं,जिसका सार्व अंतर $d = {a_{k+1}} - {a_k}$ है।
माना $S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{{{a_k}{a_{k+1}}}}$.
चूंकि ${a_{k+1}} - {a_k} = d$,हम लिख सकते हैं कि $\frac{1}{{{a_k}{a_{k+1}}}} = \frac{1}{d} \left( \frac{{a_{k+1}} - {a_k}}{{{a_k}{a_{k+1}}}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{{{a_k}}} - \frac{1}{{{a_{k+1}}}} \right)$.
इस मान को योग में रखने पर:
$S = \frac{1}{d} \left[ \left( \frac{1}{{{a_1}}} - \frac{1}{{{a_2}}} \right) + \left( \frac{1}{{{a_2}}} - \frac{1}{{{a_3}}} \right) + \dots + \left( \frac{1}{{{a_n}}} - \frac{1}{{{a_{n+1}}}} \right) \right]$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे:
$S = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{{{a_1}}} - \frac{1}{{{a_{n+1}}}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{{{a_{n+1}} - {a_1}}}{{{a_1}{a_{n+1}}}} \right)$.
चूंकि ${a_{n+1}} = {a_1} + nd$,इसलिए ${a_{n+1}} - {a_1} = nd$.
अतः,$S = \frac{1}{d} \left( \frac{nd}{{{a_1}{a_{n+1}}}} \right) = \frac{n}{{{a_1}{a_{n+1}}}}$.
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(B) प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = 5n^2 + 2n$ द्वारा दिया गया है।
दूसरा पद $(T_2)$ ज्ञात करने के लिए,हम संबंध $T_n = S_n - S_{n-1}$ का उपयोग करते हैं।
$n = 2$ के लिए,$T_2 = S_2 - S_1$ होगा।
सबसे पहले,$S_2$ की गणना करें: $S_2 = 5(2)^2 + 2(2) = 5(4) + 4 = 20 + 4 = 24$।
इसके बाद,$S_1$ की गणना करें: $S_1 = 5(1)^2 + 2(1) = 5 + 2 = 7$।
अतः,$T_2 = 24 - 7 = 17$।

(A) दिया गया है कि $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{2n}$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है जिसका सार्व अंतर $d$ है।
इसलिए,$a_2 - a_1 = a_4 - a_3 = \dots = a_{2n} - a_{2n - 1} = d$.
हमें योग $S = a_1^2 - a_2^2 + a_3^2 - a_4^2 + \dots + a_{2n - 1}^2 - a_{2n}^2$ का मान ज्ञात करना है।
वर्गों के अंतर के सूत्र $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ का उपयोग करने पर:
$S = (a_1 - a_2)(a_1 + a_2) + (a_3 - a_4)(a_3 + a_4) + \dots + (a_{2n - 1} - a_{2n})(a_{2n - 1} + a_{2n})$.
चूंकि विषम $k$ के लिए $a_k - a_{k+1} = -d$,इसलिए:
$S = -d(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{2n - 1} + a_{2n})$.
$2n$ पदों वाली समांतर श्रेणी का योग $\frac{2n}{2}(a_1 + a_{2n}) = n(a_1 + a_{2n})$ होता है।
अतः,$S = -d \cdot n(a_1 + a_{2n})$.
$n$-वें पद के सूत्र से,$a_{2n} = a_1 + (2n - 1)d$,इसलिए $d = \frac{a_{2n} - a_1}{2n - 1}$.
$d$ का मान $S$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$S = -\left( \frac{a_{2n} - a_1}{2n - 1} \right) \cdot n(a_1 + a_{2n}) = \frac{n(a_1 - a_{2n})(a_1 + a_{2n})}{2n - 1} = \frac{n}{2n - 1}(a_1^2 - a_{2n}^2)$.

(B) $A.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = 3n^2 + 5n$ द्वारा दिया गया है।
हम जानते हैं कि $m$-वां पद $T_m = S_m - S_{m-1}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $T_m = 164$,इसलिए:
$164 = (3m^2 + 5m) - [3(m-1)^2 + 5(m-1)]$
$164 = (3m^2 + 5m) - [3(m^2 - 2m + 1) + 5m - 5]$
$164 = 3m^2 + 5m - [3m^2 - 6m + 3 + 5m - 5]$
$164 = 3m^2 + 5m - [3m^2 - m - 2]$
$164 = 3m^2 + 5m - 3m^2 + m + 2$
$164 = 6m + 2$
$6m = 162$
$m = 27$.

(D) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र है: ${S_n} = \frac{n}{2} \{ 2a + (n - 1)d \}$,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है।
दिया गया व्यंजक: ${S_n} = nP + \frac{1}{2}n(n - 1)Q$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: ${S_n} = \frac{n}{2} \{ 2P + (n - 1)Q \}$.
मानक सूत्र के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि सार्व अंतर $d = Q$ है।
वैकल्पिक रूप से,हम पदों का उपयोग करके सार्व अंतर ज्ञात कर सकते हैं:
${S_1} = P + 0 = P$
${S_2} = 2P + \frac{1}{2}(2)(1)Q = 2P + Q$
${T_1} = {S_1} = P$
${T_2} = {S_2} - {S_1} = (2P + Q) - P = P + Q$
सार्व अंतर $d = {T_2} - {T_1} = (P + Q) - P = Q$.

(B) दिया गया है कि ${S_{2n}} = 3{S_n}$।
$A.P.$ के $n$ पदों के योग के सूत्र ${S_n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2n}{2}[2a + (2n - 1)d] = 3 \times \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$
$2[2a + (2n - 1)d] = 3[2a + (n - 1)d]$
$4a + 4nd - 2d = 6a + 3nd - 3d$
$nd + d = 2a$
$2a = (n + 1)d$।
अब,हमें अनुपात $\frac{{{S_{3n}}}}{{{S_n}}}$ ज्ञात करना है:
$\frac{{{S_{3n}}}}{{{S_n}}} = \frac{\frac{3n}{2}[2a + (3n - 1)d]}{\frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]} = 3 \times \frac{2a + (3n - 1)d}{2a + (n - 1)d}$।
$2a = (n + 1)d$ का मान रखने पर:
$= 3 \times \frac{(n + 1)d + (3n - 1)d}{(n + 1)d + (n - 1)d} = 3 \times \frac{(n + 1 + 3n - 1)d}{(n + 1 + n - 1)d} = 3 \times \frac{4nd}{2nd} = 3 \times 2 = 6$।

(D) दिया गया है कि $A.P.$ क्रमागत पूर्णांकों से बनी है,इसलिए सार्व अंतर $d = 1$ है।
प्रथम पद $a = p^2 + 1$ है।
पदों की संख्या $n = 2p + 1$ है।
$A.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$S_{2p+1} = \frac{2p + 1}{2} [2(p^2 + 1) + (2p + 1 - 1)(1)]$
$S_{2p+1} = \frac{2p + 1}{2} [2p^2 + 2 + 2p]$
$S_{2p+1} = (2p + 1)(p^2 + p + 1)$
हम जानते हैं कि $(p + 1)^3 = p^3 + 3p^2 + 3p + 1$ होता है।
$p^3 + (p + 1)^3$ का विस्तार करने पर: $p^3 + p^3 + 3p^2 + 3p + 1 = 2p^3 + 3p^2 + 3p + 1$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$(2p + 1)(p^2 + p + 1)$ का गुणा करने पर: $2p^3 + 2p^2 + 2p + p^2 + p + 1 = 2p^3 + 3p^2 + 3p + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,योग $p^3 + (p + 1)^3$ है।

(B) माना प्रथम पद $a = 11$ और सार्व अंतर $d$ है।
प्रथम चार पदों का योग: $a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 56$.
$a = 11$ रखने पर: $11 + (11 + d) + (11 + 2d) + (11 + 3d) = 56$.
$44 + 6d = 56 \Rightarrow 6d = 12 \Rightarrow d = 2$.
$n$ पदों वाली $A.P.$ के अंतिम चार पद $a_{n-3}, a_{n-2}, a_{n-1}, a_n$ हैं।
ये पद $(11 + (n-4)2), (11 + (n-3)2), (11 + (n-2)2), (11 + (n-1)2)$ हैं।
योग $= 44 + 2(4n - 10) = 112$.
$44 + 8n - 20 = 112$.
$8n + 24 = 112$.
$8n = 88 \Rightarrow n = 11$.

(D) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 7 - 3 = 4$ है।
दिया गया योग $S_n = 406$ है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$406 = \frac{n}{2}[2(3) + (n - 1)4]$
$406 = \frac{n}{2}[6 + 4n - 4]$
$406 = \frac{n}{2}[4n + 2]$
$406 = n(2n + 1)$
$2n^2 + n - 406 = 0$
द्विघात सूत्र $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-406)}}{2(2)}$
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 3248}}{4}$
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{3249}}{4}$
$n = \frac{-1 \pm 57}{4}$
चूंकि पदों की संख्या $n$ हमेशा धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए धनात्मक मान लेने पर:
$n = \frac{56}{4} = 14$.
अतः,पदों की संख्या $14$ है।

(B) दिया गया है कि पदों की संख्या $n = 15$,प्रथम पद $a = 5$,और योग $S_{15} = 390$ है।
समांतर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए: $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$।
मान रखने पर: $390 = \frac{15}{2} [2(5) + (15 - 1)d]$।
$390 = \frac{15}{2} [10 + 14d]$।
$390 = 15(5 + 7d)$।
$26 = 5 + 7d$।
$7d = 21$,अतः $d = 3$।
$15$ पदों वाली समांतर श्रेणी का मध्य पद $\frac{15+1}{2} = 8$ वाँ पद है।
$n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
$n = 8$ के लिए: $a_8 = 5 + (8 - 1)(3) = 5 + 7(3) = 5 + 21 = 26$।

(A) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ के $n$ पदों के योगफल का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$S_{10} = 4 \times S_5$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{10}{2}[2a + (10 - 1)d] = 4 \times \frac{5}{2}[2a + (5 - 1)d]$
$5[2a + 9d] = 4 \times 2.5[2a + 4d]$
$5[2a + 9d] = 10[2a + 4d]$
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर:
$2a + 9d = 2[2a + 4d]$
$2a + 9d = 4a + 8d$
$a:d$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$9d - 8d = 4a - 2a$
$d = 2a$
$\frac{a}{d} = \frac{1}{2}$
अतः,प्रथम पद और सार्व अंतर का अनुपात $1:2$ है।

(B) माना कि $A.P.$ में तीन संख्याएँ $(a - d)$,$a$,और $(a + d)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,संख्याओं का योग $18$ है:
$(a - d) + a + (a + d) = 18$
$3a = 18$
$a = 6$
उनके वर्गों का योग $158$ है:
$(a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = 158$
$(6 - d)^2 + 6^2 + (6 + d)^2 = 158$
$(36 - 12d + d^2) + 36 + (36 + 12d + d^2) = 158$
$108 + 2d^2 = 158$
$2d^2 = 50$
$d^2 = 25$
$d = \pm 5$
यदि $d = 5$ है,तो संख्याएँ $(6 - 5), 6, (6 + 5)$ अर्थात $1, 6, 11$ हैं।
यदि $d = -5$ है,तो संख्याएँ $(6 - (-5)), 6, (6 + (-5))$ अर्थात $11, 6, 1$ हैं।
दोनों ही स्थितियों में,सबसे बड़ी संख्या $11$ है।

(A) अंश एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_1 = 3$ और सार्व अंतर $d_1 = 2$ है। $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d_1] = \frac{n}{2}[6 + (n-1)2] = \frac{n}{2}[2n + 4] = n(n+2)$ है।
हर एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_2 = 5$,सार्व अंतर $d_2 = 3$ और $10$ पद हैं। योग $S_{10} = \frac{10}{2}[2(5) + (10-1)3] = 5[10 + 27] = 5 \times 37 = 185$ है।
अनुपात $7$ दिया गया है,इसलिए $\frac{n(n+2)}{185} = 7$ है।
$n^2 + 2n = 1295$.
$n^2 + 2n - 1295 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(n + 37)(n - 35) = 0$.
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 35$।

(B) माना कि अनुक्रम $\frac{1}{3}, A_1, A_2, \frac{1}{24}$ है। यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है जिसमें $n=4$ पद हैं।
सार्व अंतर $d$ का सूत्र $d = \frac{b-a}{n+1}$ है,जहाँ $a = \frac{1}{3}$,$b = \frac{1}{24}$,और $n=2$ (माध्यों की संख्या)।
$d = \frac{\frac{1}{24} - \frac{1}{3}}{2+1} = \frac{\frac{1-8}{24}}{3} = \frac{-7/24}{3} = -\frac{7}{72}$.
अब,$A_1 = a + d = \frac{1}{3} - \frac{7}{72} = \frac{24-7}{72} = \frac{17}{72}$.
$A_2 = A_1 + d = \frac{17}{72} - \frac{7}{72} = \frac{10}{72} = \frac{5}{36}$.
अतः,उनके मान $\frac{17}{72}$ और $\frac{5}{36}$ हैं।

(C) दिया गया है कि $\frac{a^{n + 1} + b^{n + 1}}{a^n + b^n} = \frac{a + b}{2}$.
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$2(a^{n + 1} + b^{n + 1}) = (a + b)(a^n + b^n)$
$2a^{n + 1} + 2b^{n + 1} = a^{n + 1} + ab^n + ba^n + b^{n + 1}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a^{n + 1} - ab^n - ba^n + b^{n + 1} = 0$
$a^n(a - b) - b^n(a - b) = 0$
$(a^n - b^n)(a - b) = 0$
चूंकि $a \neq b$,इसलिए $a^n - b^n = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a^n = b^n$.
अतः,$(a/b)^n = 1 = (a/b)^0$.
इसलिए,$n = 0$.

(D) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि एक संख्या दूसरी का व्युत्क्रम है,इसलिए $a = \frac{1}{b}$ या $ab = 1$ है।
दोनों संख्याओं का समांतर माध्य $\frac{a + b}{2} = \frac{13}{12}$ दिया गया है।
इसका अर्थ है कि $a + b = \frac{13}{6}$ है।
समीकरण में $b = \frac{1}{a}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a + \frac{1}{a} = \frac{13}{6}$ प्राप्त होता है।
$6a$ से गुणा करने पर,$6a^2 - 13a + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $6a^2 - 9a - 4a + 6 = 0 \Rightarrow 3a(2a - 3) - 2(2a - 3) = 0$।
$(3a - 2)(2a - 3) = 0$।
अतः,$a = \frac{2}{3}$ या $a = \frac{3}{2}$ है।
यदि $a = \frac{3}{2}$ है,तो $b = \frac{2}{3}$ है। यदि $a = \frac{2}{3}$ है,तो $b = \frac{3}{2}$ है।
इसलिए,वे संख्याएँ $\frac{3}{2}$ और $\frac{2}{3}$ हैं।

(A) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
$a$ और $b$ के बीच का समांतर माध्य $A = \frac{a+b}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
माना कि $A_1, A_2, \dots, A_n$ $a$ और $b$ के बीच के $n$ समांतर माध्य हैं। तब $a, A_1, A_2, \dots, A_n, b$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं जिसमें $n+2$ पद हैं।
सार्व अंतर $d = \frac{b-a}{n+1}$ है।
$n$ समांतर माध्यों का योग $S = A_1 + A_2 + \dots + A_n$ है।
चूंकि $A_1, A_2, \dots, A_n$ समांतर श्रेणी में हैं,उनका योग $S = \frac{n}{2}(A_1 + A_n)$ होगा।
यहाँ,$A_1 = a + d = \frac{an + b}{n+1}$ और $A_n = b - d = \frac{bn + a}{n+1}$ है।
अतः,$S = \frac{n}{2} \left( \frac{an + b + bn + a}{n+1} \right) = \frac{n}{2} \left( \frac{(a+b)(n+1)}{n+1} \right) = \frac{n(a+b)}{2}$.
चूंकि $A = \frac{a+b}{2}$,इसलिए हमें $S = nA$ प्राप्त होता है।

(B) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याएँ $1, 2, 3, \dots, n$ हैं।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने का सूत्र $S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$ है।
समांतर माध्य को प्रेक्षणों के योग को प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।
अतः, $\text{समांतर माध्य} = \frac{S_n}{n} = \frac{\frac{n(n + 1)}{2}}{n} = \frac{n + 1}{2}$।

(A) मान लीजिए कि $a$ और $b$ के बीच $n$ समांतर माध्य $A_1, A_2, \dots, A_n$ हैं।
ये माध्य एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जिसमें $a$ पहला पद है और $b$ $(n+2)$-वां पद है।
$n$ समांतर माध्यों का योग सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(A_1 + A_n)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $A_1 = a + d$ और $A_n = b - d$ है,जहाँ $d$ सार्व अंतर है,इसलिए $A_1 + A_n = a + b$ होता है।
अतः,योग $\frac{n}{2}(a + b)$ है।

(B) परिणामी श्रेणी में $n + 2$ पद होंगे,जहाँ प्रथम पद $a = 2$ और अंतिम पद $l = 38$ है।
समांतर श्रेणी के योग का सूत्र $S_m = \frac{m}{2}(a + l)$ है,जहाँ $m$ पदों की कुल संख्या है।
यहाँ,$m = n + 2$,$a = 2$,और $l = 38$ है।
दिया गया है कि योग $200$ है,इसलिए:
$200 = \frac{n + 2}{2}(2 + 38)$
$200 = \frac{n + 2}{2}(40)$
$200 = 20(n + 2)$
दोनों पक्षों को $20$ से विभाजित करने पर:
$10 = n + 2$
$n = 10 - 2 = 8$.
अतः,$n$ का मान $8$ है।

(B) किसी श्रेणी का माध्य सभी पदों के योग को पदों की कुल संख्या से विभाजित करके निकाला जाता है।
दी गई श्रेणी: $a, a + nd, a + 2nd$ है।
पदों की संख्या = $3$ है।
पदों का योग = $a + (a + nd) + (a + 2nd) = 3a + 3nd$ है।
माध्य = $\frac{3a + 3nd}{3} = \frac{3(a + nd)}{3} = a + nd$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है $f(x + y, x - y) = xy$.
मान लीजिए $u = x + y$ और $v = x - y$ है।
$x$ और $y$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{u + v}{2}$ और $y = \frac{u - v}{2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को फलन की परिभाषा में रखने पर,हमें $f(u, v) = \left( \frac{u + v}{2} \right) \left( \frac{u - v}{2} \right) = \frac{u^2 - v^2}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{4}$ और $f(y, x) = \frac{y^2 - x^2}{4}$ है।
$f(x, y)$ और $f(y, x)$ का समांतर माध्य $\frac{f(x, y) + f(y, x)}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2 - y^2}{4} + \frac{y^2 - x^2}{4} \right) = \frac{1}{2} (0) = 0$ है।

(B) दिया गया है कि $\log 2, \log (2^n - 1)$ और $\log (2^n + 3)$ $A.P.$ में हैं।
$A.P.$ के गुणधर्म के अनुसार,यदि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,तो $2b = a + c$ होता है।
इसलिए,$2 \log (2^n - 1) = \log 2 + \log (2^n + 3)$।
लघुगणक के गुणधर्म $\log a + \log b = \log (ab)$ और $n \log a = \log (a^n)$ का उपयोग करने पर:
$\log (2^n - 1)^2 = \log [2(2^n + 3)]$।
दोनों पक्षों से लघुगणक हटाने पर:
$(2^n - 1)^2 = 2(2^n + 3)$।
मान लीजिए $x = 2^n$ है। तो $(x - 1)^2 = 2(x + 3)$।
$x^2 - 2x + 1 = 2x + 6$।
$x^2 - 4x - 5 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 5)(x + 1) = 0$।
अतः,$x = 5$ या $x = -1$।
चूंकि $x = 2^n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $2^n = 5$।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$n = \log_2 5$।

(B) माना कि $A.P.$ के चार पद $(a - 3d), (a - d), (a + d), (a + 3d)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार, दो चरम पदों का योग $8$ है:
$(a - 3d) + (a + 3d) = 8$
$2a = 8 \Rightarrow a = 4$.
दो मध्य पदों का गुणनफल $15$ है:
$(a - d)(a + d) = 15$
$a^2 - d^2 = 15$.
$a = 4$ का मान समीकरण में रखने पर:
$4^2 - d^2 = 15$
$16 - d^2 = 15$
$d^2 = 1 \Rightarrow d = 1$ (श्रेणी के लिए धनात्मक मान लेने पर)।
चार पद इस प्रकार हैं:
$a - 3d = 4 - 3(1) = 1$
$a - d = 4 - 1 = 3$
$a + d = 4 + 1 = 5$
$a + 3d = 4 + 3(1) = 7$
अतः, श्रेणी के पद $1, 3, 5, 7$ हैं। सबसे बड़ी संख्या $7$ है।

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $(a - d)$,$a$,और $(a + d)$ हैं,जहाँ $d > 0$ है।
चूँकि त्रिभुज समकोण है,कर्ण सबसे बड़ी भुजा होगी,जो कि $(a + d)$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है:
$(a + d)^2 = a^2 + (a - d)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$a^2 + d^2 + 2ad = a^2 + a^2 - 2ad + d^2$
समीकरण को सरल करने पर:
$2ad = a^2 - 2ad$
$a^2 - 4ad = 0$
$a(a - 4d) = 0$
चूँकि $a$ एक भुजा की लंबाई है,इसलिए $a \neq 0$,अतः $a = 4d$ प्राप्त होता है।
अब भुजाओं $(a - d, a, a + d)$ में $a = 4d$ रखने पर:
$(4d - d) : 4d : (4d + d) = 3d : 4d : 5d = 3:4:5$.

(A) माना $A.P.$ में तीन संख्याएँ $(a - d), a, (a + d)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,इन संख्याओं का योग $33$ है:
$(a - d) + a + (a + d) = 33$
$3a = 33$
$a = 11$
इन संख्याओं का गुणनफल $792$ है:
$(a - d) \cdot a \cdot (a + d) = 792$
$a(a^2 - d^2) = 792$
$11(11^2 - d^2) = 792$
$121 - d^2 = 72$
$d^2 = 121 - 72 = 49$
$d = 7$ (अनुक्रम के लिए धनात्मक मान लेने पर)।
अतः संख्याएँ $(11 - 7), 11, (11 + 7)$ अर्थात $4, 11, 18$ हैं।
इस प्रकार,सबसे छोटी संख्या $4$ है।

(C) दिया गया है कि $a, b, c, d, e, f$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
माना कि सार्व अंतर $K$ है।
तब,$b - a = c - b = d - c = e - d = f - e = K$ होगा।
हमें $e - c$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $d - c = K$ और $e - d = K$,इसलिए $e - d = d - c$ होगा।
दोनों पक्षों में $d$ जोड़ने पर,हमें $e = 2d - c$ प्राप्त होता है।
अतः,$e - c = (2d - c) - c = 2d - 2c = 2(d - c)$।
वैकल्पिक रूप से,$A.P.$ के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$e = c + 2K$ और $d = c + K$ है।
इस प्रकार,$e - c = (c + 2K) - c = 2K$।
चूंकि $d - c = K$,इसलिए $2K = 2(d - c)$।
अतः,$e - c = 2(d - c)$।

(B) माना समांतर श्रेणी की तीन संख्याएँ $(a - d)$,$a$,और $(a + d)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,इन संख्याओं का योग $15$ है:
$(a - d) + a + (a + d) = 15$
$3a = 15$
$a = 5$
उनके वर्गों का योग $83$ है:
$(a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = 83$
$(a^2 - 2ad + d^2) + a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) = 83$
$3a^2 + 2d^2 = 83$
$a = 5$ का मान समीकरण में रखने पर:
$3(5^2) + 2d^2 = 83$
$3(25) + 2d^2 = 83$
$75 + 2d^2 = 83$
$2d^2 = 8$
$d^2 = 4$
$d = \pm 2$
यदि $d = 2$ है,तो संख्याएँ $(5 - 2), 5, (5 + 2)$ अर्थात $3, 5, 7$ हैं।
यदि $d = -2$ है,तो संख्याएँ $(5 - (-2)), 5, (5 + (-2))$ अर्थात $7, 5, 3$ हैं।
दोनों ही स्थितियों में,संख्याओं का समूह ${3, 5, 7}$ है।

(B) माना कि चार समांतर माध्य $A_1, A_2, A_3$ और $A_4$ हैं।
अतः,अनुक्रम $3, A_1, A_2, A_3, A_4, 23$ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाता है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 3$ और छठा पद $T_6 = 23$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n-1)d$ होता है।
$n = 6$ के लिए,हमें प्राप्त होता है $23 = 3 + (6-1)d$.
$23 = 3 + 5d$
$20 = 5d$
$d = 4$.
अब,हम माध्यों की गणना करते हैं:
$A_1 = a + d = 3 + 4 = 7$
$A_2 = a + 2d = 3 + 8 = 11$
$A_3 = a + 3d = 3 + 12 = 15$
$A_4 = a + 4d = 3 + 16 = 19$
अतः,चार समांतर माध्य $7, 11, 15, 19$ हैं।

(A) माना कि $A.P.$ के तीन क्रमागत पद $(a - d)$,$a$,और $(a + d)$ हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,इन पदों का योग $51$ है:
$(a - d) + a + (a + d) = 51$
$3a = 51$
$a = 17$
प्रथम पद $(a - d)$ और अंतिम पद $(a + d)$ का गुणनफल $273$ है:
$(a - d)(a + d) = 273$
$a^2 - d^2 = 273$
$a = 17$ रखने पर:
$17^2 - d^2 = 273$
$289 - d^2 = 273$
$d^2 = 289 - 273 = 16$
$d = \pm 4$
यदि $d = 4$ है,तो पद $(17 - 4), 17, (17 + 4)$ अर्थात $13, 17, 21$ हैं।
यदि $d = -4$ है,तो पद $(17 - (-4)), 17, (17 + (-4))$ अर्थात $21, 17, 13$ हैं।
दोनों ही स्थितियों में श्रेणी समान है। अतः,संख्याएँ $21, 17, 13$ हैं।

(B) दिया गया है कि $\frac{1}{p + q}, \frac{1}{r + p}, \frac{1}{q + r}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
$A.P.$ के गुणधर्म के अनुसार,क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होता है:
$\frac{1}{r + p} - \frac{1}{p + q} = \frac{1}{q + r} - \frac{1}{r + p}$
$\Rightarrow \frac{(p + q) - (r + p)}{(r + p)(p + q)} = \frac{(r + p) - (q + r)}{(q + r)(r + p)}$
$\Rightarrow \frac{q - r}{p + q} = \frac{p - q}{q + r}$
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$(q - r)(q + r) = (p - q)(p + q)$
$q^2 - r^2 = p^2 - q^2$
$2q^2 = p^2 + r^2$
यह स्थिति दर्शाती है कि $p^2, q^2, r^2$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(D) माना $d$ एक $A.P.$ का सार्व अंतर है।
तब,$\log_y x = 1 + d \implies x = y^{1+d}$
$\log_z y = 1 + 2d \implies y = z^{1+2d}$
$-15 \log_x z = 1 + 3d \implies \log_x z = -\frac{1+3d}{15} \implies z = x^{-(1+3d)/15}$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $x = y^{1+d} = (z^{1+2d})^{1+d} = z^{(1+2d)(1+d)}$.
साथ ही,$z = x^{-(1+3d)/15} \implies x = z^{-15/(1+3d)}$.
$z$ के घातांकों की तुलना करने पर: $(1+2d)(1+d) = -\frac{15}{1+3d}$.
$(1+d)(1+2d)(1+3d) = -15$.
गुणनफल का विस्तार करने पर: $(1 + 3d + 2d^2)(1 + 3d) = 1 + 3d + 3d + 9d^2 + 2d^2 + 6d^3 = 6d^3 + 11d^2 + 6d + 1 = -15$.
$6d^3 + 11d^2 + 6d + 16 = 0$.
$d = -2$ की जाँच करने पर: $6(-8) + 11(4) + 6(-2) + 16 = -48 + 44 - 12 + 16 = 0$.
अतः,$d = -2$ एक हल है।
$d = -2$ के लिए: $\log_y x = 1 - 2 = -1 \implies x = y^{-1}$.
$\log_z y = 1 + 2(-2) = -3 \implies y = z^{-3}$.
चूंकि $x = y^{-1}$ और $y = z^{-3}$,इसलिए $x = (z^{-3})^{-1} = z^3$.
अतः,दिए गए सभी विकल्प सही हैं।

(B) माना पूर्णांक $n$ है। पूर्णांक और उसके घन के बीच का अंतर $n^3 - n$ द्वारा दिया जाता है।
हम इस व्यंजक का गुणनखंड इस प्रकार कर सकते हैं: $n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$।
यह तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है: $(n - 1)$,$n$,और $(n + 1)$।
किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,कम से कम एक संख्या $2$ का गुणज होती है और ठीक एक संख्या $3$ का गुणज होती है।
चूंकि $2$ और $3$ सह-अभाज्य (coprime) हैं,इसलिए उनका गुणनफल $2 \times 3 = 6$ किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल को विभाजित करेगा।
अतः,$n^3 - n$ हमेशा $6$ से विभाज्य होता है।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,इसलिए हमारे पास गुणधर्म है कि $2b = a + c$.
अब,दी गई व्यंजक $(a + 2b - c)(2b + c - a)(c + a - b)$ में $2b = a + c$ प्रतिस्थापित करने पर:
$1$. पहला पद: $(a + 2b - c) = (a + (a + c) - c) = 2a$.
$2$. दूसरा पद: $(2b + c - a) = ((a + c) + c - a) = 2c$.
$3$. तीसरा पद: $(c + a - b) = (2b - b) = b$ (चूंकि $a + c = 2b$).
इन पदों का गुणा करने पर:
$(2a) \times (2c) \times (b) = 4abc$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) माना समांतर श्रेणी में चार संख्याएँ $A_1, A_2, A_3, A_4$ हैं।
दिया गया है कि $A_1 + A_4 = 8$ $(i)$ और $A_2 \times A_3 = 15$ $(ii)$.
समांतर श्रेणी में,शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग स्थिर होता है और यह प्रथम और अंतिम पद के योग के बराबर होता है।
इसलिए,$A_2 + A_3 = A_1 + A_4 = 8$ $(iii)$.
$(ii)$ और $(iii)$ से,हमें $A_2 + \frac{15}{A_2} = 8$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $A_2^2 - 8A_2 + 15 = 0$ मिलता है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर,हमें $(A_2 - 3)(A_2 - 5) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $A_2 = 3$ या $A_2 = 5$.
यदि $A_2 = 3$ है,तो $A_3 = 5$. यदि $A_2 = 5$ है,तो $A_3 = 3$.
गुणधर्म $A_2 = \frac{A_1 + A_3}{2}$ का उपयोग करके,हमें $A_1 = 2A_2 - A_3$ प्राप्त होता है।
$A_2 = 3$ और $A_3 = 5$ के लिए,$A_1 = 2(3) - 5 = 1$. तब $A_4 = 8 - 1 = 7$.
श्रेणी $1, 3, 5, 7$ है। सबसे छोटी संख्या $1$ है।