Progression and Sequence Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि $A.P.$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$ वां पद $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$A.P.$ का $11$ वां पद $= a + 10d$.
$A.P.$ का $21$ वां पद $= a + 20d$.
प्रश्न के अनुसार,$2 \times (11$ वां पद$) = 7 \times (21$ वां पद$)$।
$2(a + 10d) = 7(a + 20d)$.
$2a + 20d = 7a + 140d$.
$5a + 120d = 0$.
$5$ से भाग देने पर,हमें $a + 24d = 0$ प्राप्त होता है।
$A.P.$ का $25$ वां पद $a_{25} = a + (25-1)d = a + 24d$ है।
चूंकि $a + 24d = 0$,इसलिए $25$ वां पद $0$ है।

(A) दिया गया है कि $x, y, z$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,इसलिए $2y = x + z$।
साथ ही,$\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2 \tan^{-1} y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} z$।
सूत्र $\tan^{-1} a + \tan^{-1} b = \tan^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan^{-1} \left( \frac{2y}{1-y^2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{x+z}{1-xz} \right)$।
इसका अर्थ है $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$।
$x+z = 2y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{2y}{1-xz}$।
यह समीकरण तब सत्य है यदि $2y = 0$ हो या $1-y^2 = 1-xz$ हो,जिसका अर्थ है $y^2 = xz$।
यदि $x, y, z$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ और गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ दोनों में हैं,तो $x = y = z$ होगा।

(B) यदि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं,तो सार्व अनुपात समान होता है,इसलिए $b/a = c/b$,जिसका अर्थ है $b^2 = ac$.
अब,व्यंजक $a(b^2 + c^2)$ पर विचार करें:
$a(b^2 + c^2) = ab^2 + ac^2$
चूंकि $b^2 = ac$,$b^2$ को $ac$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$a(ac) + ac^2 = a^2c + ac^2 = ac(a + c)$.
अब,व्यंजक $c(a^2 + b^2)$ पर विचार करें:
$c(a^2 + b^2) = ca^2 + cb^2$
चूंकि $b^2 = ac$,$b^2$ को $ac$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$ca^2 + c(ac) = ca^2 + ac^2 = ac(a + c)$.
चूंकि दोनों व्यंजक $ac(a + c)$ के बराबर हैं,इसलिए $a(b^2 + c^2) = c(a^2 + b^2)$ है।
वैकल्पिक रूप से,$a=1, b=2, c=4$ रखने पर,$a(b^2 + c^2) = 1(4 + 16) = 20$ और $c(a^2 + b^2) = 4(1 + 4) = 20$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) दिया गया अनुक्रम $\sqrt{2}, \sqrt{10}, 5\sqrt{2}, \dots$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = \sqrt{2}$ है।
सार्व अनुपात $r$ की गणना $r = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}$ के रूप में की जाती है।
गुणोत्तर श्रेणी का $n$ वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र $t_n = a \cdot r^{n-1}$ है।
$7$ वें पद $(n = 7)$ के लिए:
$t_7 = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5})^{7-1}$
$t_7 = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5})^6$
$t_7 = \sqrt{2} \cdot (5)^3$
$t_7 = \sqrt{2} \cdot 125 = 125\sqrt{2}$.

(C) मान लीजिए कि $G.P.$ का प्रथम पद $A$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
हम जानते हैं कि $G.P.$ का $n^{th}$ पद $T_n = A r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए पद हैं:
$T_4 = a = A r^3$
$T_7 = b = A r^6$
$T_{10} = c = A r^9$
अब,गुणनफल $ac$ पर विचार करें:
$ac = (A r^3) \times (A r^9) = A^2 r^{12}$
साथ ही,$b^2$ पर विचार करें:
$b^2 = (A r^6)^2 = A^2 r^{12}$
चूंकि $b^2 = A^2 r^{12}$ और $ac = A^2 r^{12}$ है,इसलिए $b^2 = ac$ सिद्ध होता है।
अतः,$a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं।

(B) दिया गया है कि प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अनुपात $r = -5$ है।
मान लीजिए कि $n^{th}$ पद $3125$ है।
$G.P.$ के $n^{th}$ पद का सूत्र $a_n = a r^{n-1}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $5(-5)^{n-1} = 3125$।
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर: $(-5)^{n-1} = 625$।
चूंकि $625 = (-5)^4$,इसलिए $(-5)^{n-1} = (-5)^4$।
घातांकों की तुलना करने पर,$n - 1 = 4$,जिससे $n = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$5^{th}$ पद $3125$ है।

(B) माना कि जोड़ी जाने वाली संख्या $x$ है।
तब,संख्याएँ $x + 2, x + 14, x + 62$ एक $G.P.$ में हैं।
तीन संख्याओं $a, b, c$ के $G.P.$ में होने के लिए शर्त $b^2 = ac$ है।
इस शर्त को लागू करने पर: $(x + 14)^2 = (x + 2)(x + 62)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $x^2 + 28x + 196 = x^2 + 64x + 124$.
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर: $28x + 196 = 64x + 124$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $196 - 124 = 64x - 28x$.
$72 = 36x$.
$x = 2$.
अतः,दी गई संख्याओं में $2$ जोड़ने पर $4, 16, 64$ प्राप्त होते हैं,जो $4$ के सार्व अनुपात के साथ एक $G.P.$ बनाते हैं।

(B) दिया गया है कि $(p + q)^{th}$ पद $m = ar^{p+q-1}$ है और $(p - q)^{th}$ पद $n = ar^{p-q-1}$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{m}{n} = \frac{ar^{p+q-1}}{ar^{p-q-1}} = r^{(p+q-1) - (p-q-1)} = r^{2q}$.
अतः,$r^{2q} = \frac{m}{n}$,जिसका अर्थ है $r = (\frac{m}{n})^{1/(2q)}$.
$p^{th}$ पद $T_p = ar^{p-1}$ है।
हम $m$ को $T_p \cdot r^q$ और $n$ को $T_p \cdot r^{-q}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$m$ और $n$ का गुणा करने पर: $m \cdot n = (T_p \cdot r^q) \cdot (T_p \cdot r^{-q}) = T_p^2 \cdot r^0 = T_p^2$.
इसलिए,$T_p = \sqrt{mn}$.
वैकल्पिक विधि: $G.P.$ में,$p^{th}$ पद अपने से समान दूरी पर स्थित पदों का गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) होता है। चूँकि $(p+q)$ और $(p-q)$ पद $p$ से समान दूरी ($q$ दूरी) पर हैं,इसलिए $p^{th}$ पद $\sqrt{mn}$ होगा।

(A) माना कि $G.P.$ के पद $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ हैं,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।
दिया गया है कि प्रत्येक पद अपने बाद आने वाले दो पदों के योग के बराबर है,इसलिए:
$T_n = T_{n+1} + T_{n+2}$
सामान्य पद के सूत्र $T_n = ar^{n-1}$ का उपयोग करने पर:
$ar^{n-1} = ar^n + ar^{n+1}$
चूंकि $a > 0$ और $r > 0$ है,इसलिए दोनों पक्षों को $ar^{n-1}$ से विभाजित करने पर:
$1 = r + r^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$r^2 + r - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
चूंकि $G.P.$ के पद धनात्मक हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ भी धनात्मक होना चाहिए।
अतः,हम ऋणात्मक मान को छोड़ देते हैं:
$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

(D) दिया गया है कि $x, 2x + 2, 3x + 3$ एक $G.P.$ में हैं।
तीन पदों $a, b, c$ के $G.P.$ में होने के लिए शर्त $b^2 = ac$ होती है।
अतः,$(2x + 2)^2 = x(3x + 3)$.
पदों का विस्तार करने पर: $4(x + 1)^2 = 3x(x + 1)$.
स्थिति $1$: यदि $x + 1 = 0$,तो $x = -1$। श्रेणी $-1, 0, 0$ बनती है,जो $G.P.$ नहीं है क्योंकि सार्व अनुपात अपरिभाषित है।
स्थिति $2$: यदि $x + 1 \neq 0$,तो $(x + 1)$ से भाग देने पर: $4(x + 1) = 3x$.
$4x + 4 = 3x \Rightarrow x = -4$.
श्रेणी के पद $x = -4$,$2(-4) + 2 = -6$,$3(-4) + 3 = -9$ हैं।
सार्व अनुपात $r = \frac{-6}{-4} = 1.5$.
चौथा पद $T_4 = ar^3 = (-4)(1.5)^3 = (-4)(3.375) = -13.5$।

(A) $G.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{S_3}{S_6} = \frac{125}{152}$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{a(r^3 - 1)/(r - 1)}{a(r^6 - 1)/(r - 1)} = \frac{125}{152}$।
इसे सरल करने पर $\frac{r^3 - 1}{r^6 - 1} = \frac{125}{152}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r^6 - 1 = (r^3 - 1)(r^3 + 1)$,इसलिए $\frac{r^3 - 1}{(r^3 - 1)(r^3 + 1)} = \frac{125}{152}$।
$\frac{1}{r^3 + 1} = \frac{125}{152}$।
$r^3 + 1 = \frac{152}{125}$।
$r^3 = \frac{152}{125} - 1 = \frac{152 - 125}{125} = \frac{27}{125}$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$r = \sqrt[3]{\frac{27}{125}} = \frac{3}{5}$।

(B) दिया गया है कि $x, y, z$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं,इसलिए $y^2 = xz$ होगा।
माना $a^x = b^y = c^z = m$ है।
दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर,हमें प्राप्त होता है $x \log a = y \log b = z \log c = \log m$।
अतः,$x = \log_a m$,$y = \log_b m$,और $z = \log_c m$।
चूंकि $x, y, z$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए सार्व अनुपात समान होगा,अतः $\frac{y}{x} = \frac{z}{y}$।
$x, y, z$ के मानों को लघुगणक के रूप में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\log_b m}{\log_a m} = \frac{\log_c m}{\log_b m}$।
इसे सरल करने पर,$\frac{\ln a}{\ln b} = \frac{\ln b}{\ln c}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\log_b a = \log_c b$।

(B) माना कि $G.P.$ का प्रथम पद $A$ है और सार्व अनुपात $R$ है।
$p$ वाँ पद $a = A R^{p-1}$ ---$(i)$
$q$ वाँ पद $b = A R^{q-1}$ ---(ii)
$r$ वाँ पद $c = A R^{r-1}$ ---(iii)
अब,व्यंजक $E = a^{q - r} b^{r - p} c^{p - q}$ पर विचार करें।
$a, b$ और $c$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$E = (A R^{p-1})^{q-r} (A R^{q-1})^{r-p} (A R^{r-1})^{p-q}$
$E = A^{(q-r) + (r-p) + (p-q)} \cdot R^{(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)}$
$A$ का घातांक ज्ञात करने पर:
$(q-r) + (r-p) + (p-q) = 0$
$R$ का घातांक ज्ञात करने पर:
$(pq - pr - q + r) + (qr - qp - r + p) + (rp - rq - p + q) = 0$
अतः,$E = A^0 \cdot R^0 = 1 \cdot 1 = 1$.

(C) माना कि $G.P.$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
$G.P.$ के पद $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \dots$ हैं।
दिया गया है कि तीसरा पद $4$ है,इसलिए $ar^2 = 4$ है।
प्रथम $5$ पदों का गुणनफल $P = a \times (ar) \times (ar^2) \times (ar^3) \times (ar^4)$ है।
$P = a^5 \times r^{(1+2+3+4)} = a^5 \times r^{10}$।
$P = (ar^2)^5$।
$ar^2 = 4$ का मान रखने पर,हमें $P = 4^5$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि $G.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
$G.P.$ का $n$ वां पद $T_n = ar^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $T_5 = ar^4 = \frac{1}{3}$ --- $(i)$
दिया गया है $T_9 = ar^8 = \frac{16}{243}$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{ar^8}{ar^4} = \frac{16/243}{1/3}$
$r^4 = \frac{16}{243} \times 3 = \frac{16}{81}$
$r^4 = (\frac{2}{3})^4$,जिसका अर्थ है $r = \frac{2}{3}$ (धनात्मक मूल लेने पर)।
$r = \frac{2}{3}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a(\frac{2}{3})^4 = \frac{1}{3}$
$a(\frac{16}{81}) = \frac{1}{3}$
$a = \frac{1}{3} \times \frac{81}{16} = \frac{27}{16}$
अब,$4$ था पद $T_4 = ar^3$:
$T_4 = \frac{27}{16} \times (\frac{2}{3})^3$
$T_4 = \frac{27}{16} \times \frac{8}{27} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

(B) दी गई श्रेणी $2 \times 4 + 4 \times 6 + 6 \times 8 + \dots$ है।
इस श्रेणी का ${n^{th}}$ पद ${T_n} = (2n) \times (2n + 2) = 4n(n + 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
${20^{th}}$ पद ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र में $n = 20$ प्रतिस्थापित करते हैं:
${T_{20}} = 4 \times 20 \times (20 + 1)$
${T_{20}} = 80 \times 21$
${T_{20}} = 1680$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना $G.P.$ का प्रथम पद $A$ है और सार्व अनुपात $R$ है।
तब,$a = A R^{p-1}$,$b = A R^{q-1}$,और $c = A R^{r-1}$ होगा।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left( \frac{c}{b} \right)^p \left( \frac{b}{a} \right)^r \left( \frac{a}{c} \right)^q = \left( \frac{A R^{r-1}}{A R^{q-1}} \right)^p \left( \frac{A R^{q-1}}{A R^{p-1}} \right)^r \left( \frac{A R^{p-1}}{A R^{r-1}} \right)^q$
$= (R^{r-q})^p (R^{q-p})^r (R^{p-r})^q$
$= R^{pr - pq + qr - pr + pq - qr}$
$= R^0 = 1$.

(D) $G.P.$ का $n$-वाँ पद $l = a r^{n-1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ प्रथम पद है,$r$ सार्व अनुपात है और $l$ अंतिम पद है।
दोनों पक्षों को $a$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{l}{a} = r^{n-1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर,$\log\left(\frac{l}{a}\right) = \log(r^{n-1})$ प्राप्त होता है।
$\log(x/y) = \log x - \log y$ और $\log(x^k) = k \log x$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\log l - \log a = (n-1) \log r$ प्राप्त होता है।
$n$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,$n-1 = \frac{\log l - \log a}{\log r}$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 1 + \frac{\log l - \log a}{\log r}$ होगा।

(C) दिया गया है कि $\log _x a, a^{x/2}, \log _b x$ एक $G.P.$ में हैं।
$G.P.$ के गुणधर्म के अनुसार,मध्य पद का वर्ग चरम पदों के गुणनफल के बराबर होता है:
$(a^{x/2})^2 = (\log _x a) \cdot (\log _b x)$
$a^x = \frac{\log a}{\log x} \cdot \frac{\log x}{\log b}$
$a^x = \frac{\log a}{\log b} = \log _b a$
दोनों पक्षों में $\log _a$ लेने पर:
$x = \log _a(\log _b a)$
आधार परिवर्तन सूत्र $\log _b a = \frac{\log _e a}{\log _e b}$ का उपयोग करने पर:
$x = \log _a\left( \frac{\log _e a}{\log _e b} \right)$
लघुगणक के गुणधर्म $\log (m/n) = \log m - \log n$ का उपयोग करने पर:
$x = \log _a(\log _e a) - \log _a(\log _e b)$.

(A) माना समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के मूल $\frac{A}{R}, A, AR$ हैं,जहाँ $A$ और $R$ स्थिरांक हैं।
चूंकि मूल $G.P.$ में हैं,उनका गुणनफल $\frac{A}{R} \cdot A \cdot AR = A^3 = -\frac{d}{a}$ है।
अतः,$A = -\left(\frac{d}{a}\right)^{1/3}$।
चूंकि $A$ समीकरण का एक मूल है,यह $aA^3 + bA^2 + cA + d = 0$ को संतुष्ट करेगा।
$A^3 = -\frac{d}{a}$ और $A = -\left(\frac{d}{a}\right)^{1/3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a\left(-\frac{d}{a}\right) + b\left(-\frac{d}{a}\right)^{2/3} + c\left(-\frac{d}{a}\right)^{1/3} + d = 0$.
$-d + b\left(\frac{d}{a}\right)^{2/3} - c\left(\frac{d}{a}\right)^{1/3} + d = 0$.
$b\left(\frac{d}{a}\right)^{2/3} = c\left(\frac{d}{a}\right)^{1/3}$.
दोनों पक्षों का घन करने पर:
$b^3 \cdot \frac{d^2}{a^2} = c^3 \cdot \frac{d}{a}$.
दोनों पक्षों को $a^2$ से गुणा करने पर:
$b^3d^2 = c^3ad$.
$d$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $d \neq 0$):
$b^3d = c^3a$।

(A) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का $n$वाँ पद $T_n = ar^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $T_{10} = ar^9 = 9$ और $T_4 = ar^3 = 4$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{ar^9}{ar^3} = \frac{9}{4} \Rightarrow r^6 = \frac{9}{4}$।
हमें $7$वाँ पद $T_7 = ar^6$ ज्ञात करना है।
$ar^3 = 4$ से,$a = \frac{4}{r^3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_7 = \left(\frac{4}{r^3}\right)r^6 = 4r^3$।
चूँकि $r^6 = \frac{9}{4}$,इसलिए $r^3 = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ होगा।
अतः,$T_7 = 4 \times \frac{3}{2} = 6$।
वैकल्पिक रूप से,एक गुणोत्तर श्रेणी के लिए,$7$वाँ पद $4$थे और $10$वें पद का गुणोत्तर माध्य होता है क्योंकि $7$,$4$ और $10$ का औसत है: $T_7 = \sqrt{T_4 \times T_{10}} = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6$।

(B) $G.P.$ का $n^{th}$ पद $T_n = ar^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $r$ सार्व अनुपात है।
दिया गया है $T_6 = 32$,अतः $ar^5 = 32$ .....$(i)$
दिया गया है $T_8 = 128$,अतः $ar^7 = 128$ .....$(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{ar^7}{ar^5} = \frac{128}{32}$
$r^2 = 4$
$r = \pm 2$
चूंकि दिए गए विकल्पों में $2$ शामिल है,इसलिए सार्व अनुपात $2$ है।

(A) दी गई गुणोत्तर श्रेणी $5, - \frac{5}{2}, \frac{5}{4}, - \frac{5}{8}, \dots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अनुपात $r = \frac{-5/2}{5} = -\frac{1}{2}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = ar^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $T_n = \frac{5}{1024}$,अतः:
$\frac{5}{1024} = 5 \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1}$
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{1024} = \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1}$
चूँकि $1024 = 2^{10}$,हम $\frac{1}{1024} = \left( -\frac{1}{2} \right)^{10}$ लिख सकते हैं क्योंकि $(-1)^{10} = 1$ होता है।
अतः,$\left( -\frac{1}{2} \right)^{10} = \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1}$.
घातों की तुलना करने पर,$10 = n - 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $n = 11$।

(C) माना कि पहला पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
$G.P.$ के पद $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ हैं।
तीसरा पद $ar^2$ है और पहला पद $a$ है।
दिया गया है कि तीसरा पद पहले पद का वर्ग है: $ar^2 = a^2$।
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए हमें $a = r^2$ प्राप्त होता है।
दूसरा पद $ar = 8$ है।
$a = r^2$ को दूसरे पद के समीकरण में रखने पर: $(r^2)r = 8 \Rightarrow r^3 = 8 \Rightarrow r = 2$।
अतः $a = r^2 = 2^2 = 4$।
$6$ वां पद $T_6 = ar^5$ है।
$T_6 = 4 \times 2^5 = 4 \times 32 = 128$।

(B) माना कि $G.P.$ के $9$ पद $\frac{a}{r^4}, \frac{a}{r^3}, \frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2, ar^3, ar^4$ हैं।
दिया गया है कि पाँचवाँ पद $a = 2$ है।
इन $9$ पदों का गुणनफल:
$P = \left(\frac{a}{r^4}\right) \times \left(\frac{a}{r^3}\right) \times \left(\frac{a}{r^2}\right) \times \left(\frac{a}{r}\right) \times a \times (ar) \times (ar^2) \times (ar^3) \times (ar^4)$
$P = a^9$
$a = 2$ का मान रखने पर:
$P = 2^9 = 512$.

(D) माना कि अनंत $G.P.$ श्रेणी $a, ar, ar^2, \dots, \infty$ है।
अनंत $G.P.$ का योग $S = \frac{a}{1 - r} = 9$ होता है।
इससे हमें $a = 9(1 - r)$ प्राप्त होता है $\dots(i)$।
पहले दो पदों का योग $a + ar = 5$ है,जिसे $a(1 + r) = 5$ के रूप में लिखा जा सकता है $\dots(ii)$।
समीकरण $(i)$ से $a$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$9(1 - r)(1 + r) = 5$
$9(1 - r^2) = 5$
$1 - r^2 = \frac{5}{9}$
$r^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$
$r = \pm \frac{2}{3}$।
चूंकि दिए गए विकल्पों में $2/3$ मौजूद है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) दी गई श्रेणी $3 + 4\frac{1}{2} + 6\frac{3}{4} + \dots = 3 + \frac{9}{2} + \frac{27}{4} + \dots$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अनुपात $r = \frac{9/2}{3} = \frac{3}{2}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योगफल $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$n = 5$ पदों के लिए:
$S_5 = \frac{3 \left[ (\frac{3}{2})^5 - 1 \right]}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{3 \left[ \frac{243}{32} - 1 \right]}{\frac{1}{2}}$
$S_5 = 6 \left[ \frac{243 - 32}{32} \right] = 6 \left[ \frac{211}{32} \right] = \frac{3 \times 211}{16} = \frac{633}{16}$
मिश्रित भिन्न में बदलने पर: $\frac{633}{16} = 39\frac{9}{16}$.

(A) दी गई श्रेणी $0.9 + 0.09 + 0.009 + \dots$ के $100$ पदों तक है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है,जहाँ प्रथम पद $a = 0.9 = \frac{9}{10}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{0.09}{0.9} = 0.1 = \frac{1}{10}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}$ है।
मान $a = \frac{9}{10}$,$r = \frac{1}{10}$,और $n = 100$ रखने पर:
$S_{100} = \frac{9}{10} \left( \frac{1 - (\frac{1}{10})^{100}}{1 - \frac{1}{10}} \right)$
$S_{100} = \frac{9}{10} \left( \frac{1 - (\frac{1}{10})^{100}}{\frac{9}{10}} \right)$
$S_{100} = 1 - \left( \frac{1}{10} \right)^{100}$.

(A) माना कि $x = 0.2343434...$
पुनरावृत्त भाग को अलग करने के लिए $10$ से गुणा करने पर: $10x = 2.343434...$
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए $1000$ से गुणा करने पर: $1000x = 234.343434...$
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर: $1000x - 10x = 234.343434... - 2.343434...$
$990x = 232$
$x = \frac{232}{990}$

(B) माना $G.P.$ के तीन पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि पदों का गुणनफल $216$ है:
$(\frac{a}{r}) \cdot a \cdot (ar) = 216$
$a^3 = 216$
$a = 6$
दिया गया है कि पदों का योग $19$ है:
$\frac{a}{r} + a + ar = 19$
$a = 6$ रखने पर:
$\frac{6}{r} + 6 + 6r = 19$
$\frac{6}{r} + 6r = 13$
$r$ से गुणा करने पर:
$6 + 6r^2 = 13r$
$6r^2 - 13r + 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$6r^2 - 9r - 4r + 6 = 0$
$3r(2r - 3) - 2(2r - 3) = 0$
$(3r - 2)(2r - 3) = 0$
अतः,$r = \frac{2}{3}$ या $r = \frac{3}{2}$।

(B) माना $S_n = 6 + 66 + 666 + \dots$ $n$ पदों तक।
$S_n = 6(1 + 11 + 111 + \dots \text{ } n \text{ पदों तक})$
$S_n = \frac{6}{9}(9 + 99 + 999 + \dots \text{ } n \text{ पदों तक})$
$S_n = \frac{2}{3}((10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1))$
$S_n = \frac{2}{3}((10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \dots + 1 \text{ } n \text{ पदों तक}))$
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = a(r^n - 1)/(r - 1)$ का उपयोग करने पर:
$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} - n \right)$
$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right)$
$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9} \right)$
$S_n = \frac{2(10^{n+1} - 9n - 10)}{27}$.

(D) माना कि $G.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,प्रत्येक पद उसके पिछले दो पदों का योग है,अतः: $T_n = T_{n-1} + T_{n-2}$.
सामान्य पद के सूत्र $T_n = ar^{n-1}$ का उपयोग करने पर: $ar^{n-1} = ar^{n-2} + ar^{n-3}$.
दोनों पक्षों को $ar^{n-3}$ से विभाजित करने पर ($a > 0$ और $r > 0$ होने के कारण): $r^2 = r + 1$.
इस समीकरण को व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $r^2 - r - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$r = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि श्रेणी के पद धनात्मक हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ भी धनात्मक होना चाहिए। अतः,हम धनात्मक मान लेते हैं: $r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

(B) माना कि $G.P.$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
प्रश्न के अनुसार,प्रत्येक पद अपने पिछले पद का दोगुना है,इसलिए $r = 2$ है।
प्रथम दो पदों का योग $a + ar = 1$ दिया गया है।
समीकरण में $r = 2$ रखने पर:
$a + a(2) = 1$
$3a = 1$
$a = 1/3$।
अतः,प्रथम पद $1/3$ है।

(A) दिया गया है कि $G.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = 255$ (चूंकि $r > 1$) .....$(i)$
$n^{th}$ पद $a_n = ar^{n-1} = 128$ .....$(ii)$
सार्व अनुपात $r = 2$ .....$(iii)$
समीकरण $(ii)$ में $r = 2$ रखने पर:
$a(2^{n-1}) = 128$ .....$(iv)$
समीकरण $(i)$ में $r = 2$ रखने पर:
$\frac{a(2^n - 1)}{2 - 1} = 255 \Rightarrow a(2^n - 1) = 255$ .....$(v)$
समीकरण $(v)$ को समीकरण $(iv)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a(2^n - 1)}{a(2^{n-1})} = \frac{255}{128}$
$\frac{2^n - 1}{2^{n-1}} = \frac{255}{128}$
$\frac{2^n}{2^{n-1}} - \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{255}{128}$
$2 - \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{255}{128}$
$\frac{1}{2^{n-1}} = 2 - \frac{255}{128} = \frac{256 - 255}{128} = \frac{1}{128}$
चूंकि $128 = 2^7$,इसलिए $2^{n-1} = 2^7$,जिसका अर्थ है $n - 1 = 7$,अतः $n = 8$.
समीकरण $(iv)$ में $n = 8$ रखने पर:
$a(2^{8-1}) = 128$
$a(2^7) = 128$
$a(128) = 128$
$a = 1$.

(C) श्रेणी का $k$-वां पद $T_k = 1 + x + x^2 + \dots + x^{k-1} = \frac{1 - x^k}{1 - x}$ द्वारा दिया जाता है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1 - x^k}{1 - x}$ है।
$S_n = \frac{1}{1 - x} \left[ \sum_{k=1}^{n} 1 - \sum_{k=1}^{n} x^k \right]$.
$S_n = \frac{1}{1 - x} \left[ n - \frac{x(1 - x^n)}{1 - x} \right]$.
$S_n = \frac{n(1 - x) - x(1 - x^n)}{(1 - x)^2}$.

(B) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है। $G.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योगफल $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $S_6 = 9 \times S_3$.
सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{a(r^6 - 1)}{r - 1} = 9 \times \frac{a(r^3 - 1)}{r - 1}$.
यदि $r \neq 1$ है,तो हम दोनों पक्षों से $\frac{a}{r - 1}$ को काट सकते हैं:
$r^6 - 1 = 9(r^3 - 1)$.
सर्वसमिका $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x = r^3$:
$(r^3 - 1)(r^3 + 1) = 9(r^3 - 1)$.
चूंकि $r \neq 1$,इसलिए $r^3 - 1 \neq 0$,अतः हम $(r^3 - 1)$ से भाग दे सकते हैं:
$r^3 + 1 = 9$.
$r^3 = 8$.
$r = 2$.

(C) मान लीजिए $S$ वह संख्या है जिसमें $91$ बार $1$ आता है। इसे एक गुणोत्तर श्रेणी के रूप में लिखा जा सकता है: $S = 1 + 10 + 10^2 + \dots + 10^{90}$.
गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र का उपयोग करते हुए,$S = \frac{10^{91} - 1}{10 - 1} = \frac{10^{91} - 1}{9}$.
चूंकि $91 = 7 \times 13$,हम $10^{91} - 1 = (10^{13})^7 - 1$ लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $x^n - 1 = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + 1)$ का उपयोग करते हुए,$(10^{13})^7 - 1 = (10^{13} - 1)( (10^{13})^6 + (10^{13})^5 + \dots + 1)$.
अतः,$S = \frac{10^{13} - 1}{9} \times (10^{78} + 10^{65} + \dots + 1)$.
चूंकि $S$,$1$ से बड़ी दो पूर्णांक संख्याओं का गुणनफल है,इसलिए यह एक भाज्य संख्या है और अभाज्य नहीं है।

(B) दिया गया अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है क्योंकि क्रमागत पदों का अनुपात स्थिर है।
यहाँ,प्रथम पद $a = a_1 = 2$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योगफल ज्ञात करने का सूत्र $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ है।
$n = 20$ के लिए,हमें प्राप्त होता है:
$S_{20} = \frac{2(1 - (1/3)^{20})}{1 - 1/3}$
$S_{20} = \frac{2(1 - 1/3^{20})}{2/3}$
$S_{20} = 2 \times \frac{3}{2} \times (1 - \frac{1}{3^{20}})$
$S_{20} = 3 \left( 1 - \frac{1}{3^{20}} \right)$.

(C) हमारे पास समीकरण $1 + a + a^2 + a^3 + \dots + a^x = (1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)$ है।
बायां पक्ष $x+1$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका योग $\frac{1 - a^{x+1}}{1 - a}$ होता है।
अतः,$\frac{1 - a^{x+1}}{1 - a} = (1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)$.
दोनों पक्षों को $(1 - a)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 - a^{x+1} = (1 - a)(1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)$.
सर्वसमिका $(1 - a)(1 + a) = (1 - a^2)$ का उपयोग करने पर:
$1 - a^{x+1} = (1 - a^2)(1 + a^2)(1 + a^4)$.
$(1 - a^2)(1 + a^2) = (1 - a^4)$ का उपयोग करने पर:
$1 - a^{x+1} = (1 - a^4)(1 + a^4)$.
$(1 - a^4)(1 + a^4) = (1 - a^8)$ का उपयोग करने पर:
$1 - a^{x+1} = 1 - a^8$.
घातांकों की तुलना करने पर,$x + 1 = 8$,जिससे $x = 7$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: $a_1 = 3$,$a_n = 96$,और $S_n = 189$।
गुणोत्तर श्रेणी में,$n$-वां पद $a_n = a_1 r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $3 r^{n-1} = 96 \Rightarrow r^{n-1} = 32$ ..... $(i)$।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1} = 189$ है।
हम $S_n = \frac{a_1 r^n - a_1}{r - 1} = \frac{r(a_1 r^{n-1}) - a_1}{r - 1} = 189$ लिख सकते हैं।
$a_1 r^{n-1} = 96$ और $a_1 = 3$ रखने पर: $\frac{r(96) - 3}{r - 1} = 189$।
$96r - 3 = 189(r - 1) \Rightarrow 96r - 3 = 189r - 189$।
$186 = 93r \Rightarrow r = 2$।
$(i)$ से,$2^{n-1} = 32 = 2^5$।
अतः,$n - 1 = 5 \Rightarrow n = 6$।

(A) माना प्रथम पद $a$,सार्व अनुपात $r = 3$ और पदों की संख्या $n$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = a r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $T_n = 486$,अतः $a(3)^{n-1} = 486$ है। दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर,हमें $a(3)^n = 1458$ प्राप्त होता है .....$(i)$.
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S_n = 728$ और $r = 3$,अतः $728 = \frac{a(3^n - 1)}{3 - 1}$ है।
$728 = \frac{a(3^n) - a}{2}$.
$1456 = a(3^n) - a$ .....$(ii)$.
समीकरण $(i)$ से $a(3^n)$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$1456 = 1458 - a$.
$a = 1458 - 1456 = 2$.
अतः,प्रथम पद $2$ है।

(D) दिया गया है कि $n$ धनात्मक संख्याओं $x_1, x_2, \dots, x_n$ का गुणनफल $1$ है,अर्थात $x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n = 1$.
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM-GM)$ असमिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्याओं के समूह के लिए,समांतर माध्य हमेशा गुणोत्तर माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है।
$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge (x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n)^{1/n}$.
गुणनफल का मान रखने पर:
$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge (1)^{1/n} = 1$.
अतः,$x_1 + x_2 + \dots + x_n \ge n$.
इसका अर्थ है कि इन $n$ धनात्मक संख्याओं का योग कभी भी $n$ से कम नहीं हो सकता है।

(A) माना $G.P.$ में तीन संख्याएँ $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि उनका गुणनफल $1728$ है,इसलिए $(\frac{a}{r}) \cdot a \cdot (ar) = 1728$,जिसका अर्थ है $a^3 = 1728$,अतः $a = 12$ है।
दिया गया है कि उनका योग $38$ है,इसलिए $\frac{a}{r} + a + ar = 38$ है।
$a = 12$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{12}{r} + 12 + 12r = 38$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर,$\frac{6}{r} + 6 + 6r = 19$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $6r^2 - 13r + 6 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण $6r^2 - 9r - 4r + 6 = 0$ को हल करने पर,हमें $3r(2r - 3) - 2(2r - 3) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $(3r - 2)(2r - 3) = 0$ है।
अतः,$r = \frac{2}{3}$ या $r = \frac{3}{2}$ है।
यदि $r = \frac{3}{2}$ है,तो संख्याएँ $\frac{12}{3/2}, 12, 12(\frac{3}{2}) = 8, 12, 18$ हैं।
यदि $r = \frac{2}{3}$ है,तो संख्याएँ $\frac{12}{2/3}, 12, 12(\frac{2}{3}) = 18, 12, 8$ हैं।
दोनों स्थितियों में,संख्याएँ $8, 12, 18$ हैं। सबसे बड़ी संख्या $18$ है।

(B) माना योगफल $S_n = 3 + 33 + 333 + \dots + n$ पद है।
हम $S_n = 3(1 + 11 + 111 + \dots + n \text{ पद})$ लिख सकते हैं।
$9$ से गुणा और भाग करने पर:
$S_n = \frac{3}{9}(9 + 99 + 999 + \dots + n \text{ पद})$
$S_n = \frac{1}{3}[(10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1)]$
$S_n = \frac{1}{3}[(10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \dots + n \text{ पद})]$
पहला भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a = 10$,$r = 10$ और $n$ पद हैं। इसका योग $\frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} = \frac{10(10^n - 1)}{9}$ है।
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right]$
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9} \right]$
$S_n = \frac{1}{27}(10^{n+1} - 9n - 10)$.

(D) दिया गया है: प्रथम पद $a = 7$,अंतिम पद $l = a r^{n-1} = 448$,और $n$ पदों का योग $S_n = 889$ है।
$G.P.$ के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ है।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $S_n = \frac{a r^n - a}{r - 1} = \frac{(a r^{n-1})r - a}{r - 1}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $889 = \frac{448r - 7}{r - 1}$.
दोनों पक्षों को $(r - 1)$ से गुणा करने पर: $889(r - 1) = 448r - 7$.
$889r - 889 = 448r - 7$.
$889r - 448r = 889 - 7$.
$441r = 882$.
$r = \frac{882}{441} = 2$.
अतः,सार्व अनुपात $2$ है।

(A) माना कि प्रथम पद $a$ है, पदों की संख्या $n$ है और सार्व अनुपात $r = 3$ है।
$G.P.$ का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = 364$ द्वारा दिया जाता है।
अंतिम पद $l = ar^{n-1} = 243$ है।
योग के सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $S_n = \frac{ar^{n-1} \cdot r - a}{r - 1} = 364$.
$ar^{n-1} = 243$ और $r = 3$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\frac{243 \cdot 3 - a}{3 - 1} = 364$
$\frac{729 - a}{2} = 364$
$729 - a = 728$
$a = 1$.
अब, अंतिम पद के सूत्र $ar^{n-1} = 243$ का उपयोग करने पर:
$1 \cdot 3^{n-1} = 243$
$3^{n-1} = 3^5$
$n - 1 = 5$
$n = 6$.
अतः, पदों की संख्या $6$ है।

(C) यदि दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के बीच $n$ गुणोत्तर माध्य $g_1, g_2, \dots, g_n$ डाले जाते हैं,तो अनुक्रम $a, g_1, g_2, \dots, g_n, b$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ बनाता है।
मान लीजिए कि इस $G.P.$ का सार्व अनुपात $r$ है। इस अनुक्रम में पदों की कुल संख्या $n+2$ है।
अतः,अंतिम पद $b$ को $b = a \cdot r^{(n+2)-1} = a \cdot r^{n+1}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $r = \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{1}{n+1}}$ प्राप्त होता है।
$n^{th}$ गुणोत्तर माध्य $g_n = a \cdot r^n$ है।
$r$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g_n = a \left( \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{1}{n+1}} \right)^n = a \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{n}{n+1}}$ प्राप्त होता है।

(B) और $b$ के बीच का गुणोत्तर माध्य $\sqrt{ab} = (ab)^{1/2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{a^{n + 1} + b^{n + 1}}{a^n + b^n} = (ab)^{1/2}$ है।
तिर्यक गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $a^{n + 1} + b^{n + 1} = (ab)^{1/2}(a^n + b^n)$।
$a^{n + 1} + b^{n + 1} = a^{n + 1/2}b^{1/2} + a^{1/2}b^{n + 1/2}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a^{n + 1} - a^{n + 1/2}b^{1/2} + b^{n + 1} - a^{1/2}b^{n + 1/2} = 0$।
$a^{n + 1/2}(a^{1/2} - b^{1/2}) - b^{n + 1/2}(a^{1/2} - b^{1/2}) = 0$।
$(a^{n + 1/2} - b^{n + 1/2})(a^{1/2} - b^{1/2}) = 0$।
चूंकि $a \neq b$,इसलिए $a^{1/2} - b^{1/2} \neq 0$,अतः $a^{n + 1/2} - b^{n + 1/2} = 0$ होना चाहिए।
$a^{n + 1/2} = b^{n + 1/2}$।
$(a/b)^{n + 1/2} = 1 = (a/b)^0$।
घातांकों की तुलना करने पर,$n + 1/2 = 0$,जिससे $n = -1/2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $G$,$x$ और $y$ का गुणोत्तर माध्य है,इसलिए $G = \sqrt{xy}$,जिसका अर्थ है $G^2 = xy$।
व्यंजक में $G^2 = xy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{G^2 - x^2} + \frac{1}{G^2 - y^2} = \frac{1}{xy - x^2} + \frac{1}{xy - y^2}$
$= \frac{1}{x(y - x)} + \frac{1}{y(x - y)}$
$= \frac{1}{x(y - x)} - \frac{1}{y(y - x)}$
$= \frac{1}{y - x} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right)$
$= \frac{1}{y - x} \left( \frac{y - x}{xy} \right)$
$= \frac{1}{xy} = \frac{1}{G^2}$।

(C) मान लीजिए कि $2$ और $32$ के बीच तीन गुणोत्तर माध्य $g_1, g_2, g_3$ हैं।
तब अनुक्रम $2, g_1, g_2, g_3, 32$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ बनाता है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 2$ और पाँचवाँ पद $ar^4 = 32$ है।
समीकरण $ar^4 = 32$ में $a = 2$ रखने पर,हमें $2r^4 = 32$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r^4 = 16$।
चूँकि $16 = 2^4$,इसलिए $r = 2$ प्राप्त होता है।
तीसरा गुणोत्तर माध्य अनुक्रम का चौथा पद है,जो $g_3 = ar^3$ है।
मान रखने पर,$g_3 = 2 \times (2)^3 = 2 \times 8 = 16$।