यदि {a_1}, {a_2}, dots, {a_{n+1}} एक A.P. (सम | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि ${a_1}, {a_2}, \dots, {a_{n+1}}$ एक $A.P.$ में हैं,जिसका सार्व अंतर $d = {a_{k+1}} - {a_k}$ है।माना $S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{{{

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$\frac{n}{{{a_1}{a_{n+1}}}}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि ${a_1}, {a_2}, \dots, {a_{n+1}}$ एक $A.P.$ में हैं,जिसका सार्व अंतर $d = {a_{k+1}} - {a_k}$ है।माना $S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{{{a_k}{a_{k+1}}}}$.चूंकि ${a_{k+1}} - {a_k} = d$,हम लिख सकते हैं कि $\frac{1}{{{a_k}{a_{k+1}}}} = \frac{1}{d} \left( \frac{{a_{k+1}} - {a_k}}{{{a_k}{a_{k+1}}}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{{{a_k}}} - \frac{1}{{{a_{k+1}}}} \right)$.इस मान को योग में रखने पर:$S = \frac{1}{d} \left[ \left( \frac{1}{{{a_1}}} - \frac{1}{{{a_2}}} \right) + \left( \frac{1}{{{a_2}}} - \frac{1}{{{a_3}}} \right) + \dots + \left( \frac{1}{{{a_n}}} - \frac{1}{{{a_{n+1}}}} \right) \right]$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे:$S = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{{{a_1}}} - \frac{1}{{{a_{n+1}}}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{{{a_{n+1}} - {a_1}}}{{{a_1}{a_{n+1}}}} \right)$.चूंकि ${a_{n+1}} = {a_1} + nd$,इसलिए ${a_{n+1}} - {a_1} = nd$.अतः,$S = \frac{1}{d} \left( \frac{nd}{{{a_1}{a_{n+1}}}} \right) = \frac{n}{{{a_1}{a_{n+1}}}}$.इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

यदि ${a_1}, {a_2}, \dots, {a_{n+1}}$ एक $A.P.$ (समांतर श्रेणी) में हैं,तो $\frac{1}{{{a_1}{a_2}}} + \frac{1}{{{a_2}{a_3}}} + \dots + \frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$ का मान क्या है?

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