Progression and Sequence Questions in Hindi

(B) माना कि $a = 486$ और $b = 2/3$ के बीच पाँच गुणोत्तर माध्य (Geometric Means) $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ डाले गए हैं।
परिणामी गुणोत्तर श्रेणी में कुल पदों की संख्या $n = 5 + 2 = 7$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का $n$ वाँ पद $T_n = ar^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$T_7 = 2/3$,इसलिए $486 \cdot r^{7-1} = 2/3$.
$r^6 = \frac{2}{3 \cdot 486} = \frac{2}{1458} = \frac{1}{729}$.
चूंकि $729 = 3^6$,इसलिए $r^6 = (1/3)^6$,जिससे हमें $r = 1/3$ प्राप्त होता है।
चौथा गुणोत्तर माध्य श्रेणी का पाँचवाँ पद है,$T_5 = ar^{5-1} = ar^4$.
$T_5 = 486 \cdot (1/3)^4 = 486 \cdot (1/81) = 6$.

(A) माना कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2 - 18x + 9 = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{9}{1} = 9$ होता है।
दो संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ का गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ $\sqrt{\alpha \beta}$ के रूप में परिभाषित होता है।
अतः,$G.M. = \sqrt{9} = 3$ होगा।

(B) $n$ संख्याओं $x_1, x_2, ..., x_n$ का गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ $(x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n)^{1/n}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,संख्याएँ $3^1, 3^2, 3^3, ..., 3^n$ हैं।
$G.M. = (3^1 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot ... \cdot 3^n)^{1/n}$
घातांक के नियम $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करने पर:
$G.M. = (3^{1+2+3+...+n})^{1/n}$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ होता है।
$G.M. = (3^{\frac{n(n+1)}{2}})^{1/n}$
$G.M. = 3^{\frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{1}{n}}$
$G.M. = 3^{\frac{n+1}{2}}$.

(D) माना कि $4$ और $\frac{1}{4}$ के बीच तीन गुणोत्तर माध्य $g_1, g_2, g_3$ हैं।
तब $4, g_1, g_2, g_3, \frac{1}{4}$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ बनाते हैं।
यहाँ,प्रथम पद $a = 4$ और पाँचवाँ पद $ar^4 = \frac{1}{4}$ है।
$a = 4$ रखने पर,हमें $4r^4 = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r^4 = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$।
अतः,$r = \frac{1}{2}$ (धनात्मक सार्व अनुपात लेने पर)।
तीनों गुणोत्तर माध्यों का गुणनफल $g_1 \times g_2 \times g_3 = (ar) \times (ar^2) \times (ar^3) = a^3 r^6$ होता है।
मान रखने पर,$4^3 \times (\frac{1}{2})^6 = 64 \times \frac{1}{64} = 1$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,$a$ और $b$ के बीच $n$ गुणोत्तर माध्यों का गुणनफल $(ab)^{n/2}$ होता है।
यहाँ,$a = 4, b = \frac{1}{4}, n = 3$ है।
गुणनफल $= (4 \times \frac{1}{4})^{3/2} = 1^{3/2} = 1$।

(B) माना $1$ और $64$ के बीच के दो गुणोत्तर माध्य $a$ और $b$ हैं।
तब अनुक्रम $1, a, b, 64$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ बनाता है।
माना सार्व अनुपात $r$ है।
तब $a = 1 \cdot r$,$b = 1 \cdot r^2$,और $64 = 1 \cdot r^3$ होगा।
$r^3 = 64$ से,हमें $r = \sqrt[3]{64} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 1 \cdot 4 = 4$ और $b = 1 \cdot 4^2 = 16$ होगा।
इस प्रकार,दो गुणोत्तर माध्य $4$ और $16$ हैं।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।
इसलिए,सार्व अनुपात $r$ को $\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = r$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अनुपात के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\left(\frac{b}{a}\right)^2 = \left(\frac{c}{b}\right)^2 = r^2$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{b^2}{a^2} = \frac{c^2}{b^2} = r^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि क्रमिक पदों का अनुपात $\frac{b^2}{a^2}$ और $\frac{c^2}{b^2}$ स्थिर $(r^2)$ है,इसलिए अनुक्रम $a^2, b^2, c^2$ भी गुणोत्तर श्रेणी में है।

(C) दिया गया है कि $x, G_1, G_2, y$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।
मान लीजिए कि $G.P.$ का सार्व अनुपात $r$ है।
तब,$G_1 = xr$,$G_2 = xr^2$,और $y = xr^3$ होगा।
अंतिम पद से,$r^3 = y/x$,इसलिए $r = (y/x)^{1/3}$ प्राप्त होता है।
अब,गुणनफल $G_1 G_2 = (xr)(xr^2) = x^2 r^3$ होगा।
$r^3 = y/x$ का मान रखने पर:
$G_1 G_2 = x^2 (y/x) = xy$।
वैकल्पिक रूप से,किसी भी $G.P.$ में,शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का गुणनफल स्थिर होता है और यह पहले और अंतिम पद के गुणनफल के बराबर होता है। अतः,$G_1 G_2 = x \cdot y$।

(A) माना कि गुणोत्तर श्रेणी में तीन संख्याएँ $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि उनका गुणनफल $1728$ है,इसलिए:
$\left(\frac{a}{r}\right) \times a \times (ar) = 1728$
$a^3 = 1728$
$a = \sqrt[3]{1728} = 12$
चूंकि मध्य पद $a$ है,इसलिए मध्य संख्या $12$ है।

(B) माना $G.P.$ के तीन क्रमागत पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि पदों का गुणनफल $216$ है:
$\frac{a}{r} \times a \times ar = 216 \Rightarrow a^3 = 216 \Rightarrow a = 6$.
दिया गया है कि दो-दो पदों के गुणनफल का योग $156$ है:
$\frac{a}{r} \times a + a \times ar + \frac{a}{r} \times ar = 156$.
$a = 6$ रखने पर:
$\frac{36}{r} + 36r + 36 = 156$.
$\frac{36}{r} + 36r = 120$.
$12$ से भाग देने पर,$\frac{3}{r} + 3r = 10$ प्राप्त होता है।
$3 + 3r^2 = 10r \Rightarrow 3r^2 - 10r + 3 = 0$.
$(3r - 1)(r - 3) = 0$.
अतः,$r = 3$ या $r = \frac{1}{3}$।
यदि $r = 3$ है,तो पद $\frac{6}{3}, 6, 6 \times 3$ अर्थात $2, 6, 18$ हैं।
यदि $r = \frac{1}{3}$ है,तो पद $18, 6, 2$ हैं।
इसलिए,वे संख्याएँ $2, 6, 18$ हैं।

(A) गुणोत्तर श्रेणी के अनंत पदों का योग $(S_{\infty})$ ज्ञात करने का सूत्र: $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $r$ सार्व अनुपात है।
दिया गया है: $S_{\infty} = 4/3$ और $a = 3/4$.
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{4}{3} = \frac{3/4}{1 - r}$.
दोनों पक्षों को $(1 - r)$ से गुणा करने और सरल करने पर: $1 - r = \frac{3/4}{4/3} = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$.
अतः,$r = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16 - 9}{16} = 7/16$.

(B) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी (infinite geometric progression) है जिसका प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अनुपात $r = \alpha$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र $S = \frac{a}{1 - r}$ है,जहाँ $|r| < 1$ होता है।
दिया गया समीकरण: $3 + 3\alpha + 3{\alpha ^2} + \dots \infty = \frac{45}{8}$.
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{3}{1 - \alpha} = \frac{45}{8}$.
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{1 - \alpha} = \frac{15}{8}$.
वज्र गुणन (cross-multiplication) करने पर: $8 = 15(1 - \alpha)$.
$8 = 15 - 15\alpha$.
$15\alpha = 15 - 8$.
$15\alpha = 7$.
अतः,$\alpha = \frac{7}{15}$.

(D) एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ के योग का सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ है।
यह श्रेणी केवल तभी अभिसारी (convergent) होती है जब सार्व अनुपात $r$ का निरपेक्ष मान $1$ से कम हो,जिसे $|r| < 1$ या $-1 < r < 1$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यदि $|r| \ge 1$ है,तो पद शून्य के करीब नहीं पहुँचते हैं और श्रेणी का योग अस्तित्व में नहीं होता है (यह अपसारी है)।

(B) दी गई अनंत गुणोत्तर श्रेणी: $A = 1 + r^z + r^{2z} + r^{3z} + .......\infty$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $R = r^z$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1 - R}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $|R| < 1$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $A = \frac{1}{1 - r^z}$।
$r^z$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$1 - r^z = \frac{1}{A}$
$r^z = 1 - \frac{1}{A}$
$r^z = \frac{A - 1}{A}$
दोनों पक्षों का $z$-वाँ मूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है $r = \left( \frac{A - 1}{A} \right)^{1/z}$।

(A) दी गई श्रेणियाँ अनंत गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ हैं।
$x = 1 + a + a^2 + ... \infty$ के लिए,योग $x = \frac{1}{1 - a}$ है।
$a$ के लिए हल करने पर,$1 - a = \frac{1}{x}$,अतः $a = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$y = 1 + b + b^2 + ... \infty$ के लिए,योग $y = \frac{1}{1 - b}$ है।
$b$ के लिए हल करने पर,$1 - b = \frac{1}{y}$,अतः $b = 1 - \frac{1}{y} = \frac{y - 1}{y}$ प्राप्त होता है।
अभीष्ट श्रेणी $1 + ab + a^2b^2 + ... \infty$ है,जो स्वयं एक अनंत $G.P.$ है जिसका प्रथम पद $1$ और सार्व अनुपात $ab$ है।
इसका योग $\frac{1}{1 - ab}$ होता है।
$a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
योग $= \frac{1}{1 - (\frac{x - 1}{x})(\frac{y - 1}{y})} = \frac{1}{1 - \frac{(x - 1)(y - 1)}{xy}}$.
योग $= \frac{xy}{xy - (xy - x - y + 1)} = \frac{xy}{xy - xy + x + y - 1} = \frac{xy}{x + y - 1}$.

(C) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
$G.P.$ का दूसरा पद $ar = 2$ दिया गया है।
$G.P.$ के अनंत पदों का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = 8$ है,जहाँ $|r| < 1$ है।
$ar = 2$ से,हमें $a = \frac{2}{r}$ प्राप्त होता है।
इस मान को योग के सूत्र में रखने पर: $\frac{2/r}{1 - r} = 8$.
$\Rightarrow \frac{2}{r(1 - r)} = 8$.
$\Rightarrow 2 = 8r(1 - r)$.
$\Rightarrow 1 = 4r(1 - r)$.
$\Rightarrow 4r^2 - 4r + 1 = 0$.
यह एक द्विघात समीकरण है: $(2r - 1)^2 = 0$.
अतः,$r = \frac{1}{2}$.
अब,प्रथम पद $a$ ज्ञात करें: $a = \frac{2}{r} = \frac{2}{1/2} = 4$.
इस प्रकार,प्रथम पद $4$ है।

(A) माना कि $x = 0.4\overline{23} = 0.4232323...$
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए $10$ से गुणा करें: $10x = 4.232323...$
पुनरावर्ती भाग के बाद दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए $1000$ से गुणा करें: $1000x = 423.232323...$
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर:
$1000x - 10x = 423.232323... - 4.232323...$
$990x = 419$
अतः,$x = \frac{419}{990}$.

(D) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है: $y = x - x^2 + x^3 - x^4 + \dots \infty$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = x$ और सार्व अनुपात $r = -x$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $|r| < 1$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $y = \frac{x}{1 - (-x)}$.
$y = \frac{x}{1 + x}$.
अब,$x$ के लिए हल करने पर:
$y(1 + x) = x$
$y + yx = x$
$y = x - yx$
$y = x(1 - y)$
$x = \frac{y}{1 - y}$.

(B) दिया गया है $x = \sum_{n = 0}^\infty a^n = \frac{1}{1 - a}$.
$a$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $1 - a = \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$.
इसी प्रकार,$y = \sum_{n = 0}^\infty b^n = \frac{1}{1 - b}$,जो $b = \frac{y - 1}{y}$ देता है।
साथ ही,$z = \sum_{n = 0}^\infty (ab)^n = \frac{1}{1 - ab}$,जो $ab = \frac{z - 1}{z}$ देता है।
$a$ और $b$ के व्यंजकों को $ab$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{x - 1}{x}\right) \left(\frac{y - 1}{y}\right) = \frac{z - 1}{z}$.
$\frac{(x - 1)(y - 1)}{xy} = \frac{z - 1}{z}$.
$z(xy - x - y + 1) = xy(z - 1)$.
$xyz - xz - yz + z = xyz - xy$.
$-xz - yz + z = -xy$.
$xy + z = xz + yz$.

(C) माना $G.P.$ $a, ar, ar^2, \dots$ है जहाँ $|r| < 1$ है।
अनंत पदों का योग $x = \frac{a}{1 - r} \implies a = x(1 - r) \dots (i)$ है।
जब प्रत्येक पद का वर्ग किया जाता है,तो नई श्रेणी $a^2, a^2r^2, a^2r^4, \dots$ प्राप्त होती है,जो प्रथम पद $a^2$ और सार्व अनुपात $r^2$ वाली एक $G.P.$ है।
इस नई श्रेणी का योग $y = \frac{a^2}{1 - r^2} = \frac{a^2}{(1 - r)(1 + r)} \dots (ii)$ है।
समीकरण $(i)$ से $a = x(1 - r)$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$y = \frac{[x(1 - r)]^2}{(1 - r)(1 + r)} = \frac{x^2(1 - r)^2}{(1 - r)(1 + r)} = \frac{x^2(1 - r)}{1 + r}$ प्राप्त होता है।
$r$ के लिए हल करने पर:
$y(1 + r) = x^2(1 - r)$
$y + yr = x^2 - x^2r$
$yr + x^2r = x^2 - y$
$r(x^2 + y) = x^2 - y$
$r = \frac{x^2 - y}{x^2 + y}$।

(B) माना कि पहली श्रेणी $a + ar + ar^2 + \dots$ है,जहाँ $|r| < 1$ है।
इस अनंत $G.P.$ का योग $S_1 = \frac{a}{1-r} = 3$ है,इसलिए $a = 3(1-r)$ प्राप्त होता है।
पदों के वर्गों द्वारा बनी दूसरी श्रेणी $a^2 + a^2r^2 + a^2r^4 + \dots$ है।
इस अनंत $G.P.$ का योग $S_2 = \frac{a^2}{1-r^2} = 3$ है।
दूसरे समीकरण में $a = 3(1-r)$ रखने पर:
$\frac{[3(1-r)]^2}{1-r^2} = 3$
$\frac{9(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 3$
$\frac{3(1-r)}{1+r} = 1$
$3 - 3r = 1 + r$
$4r = 2 \implies r = \frac{1}{2}$.

(B) माना कि $r$ एक $G.P.$ का सार्व अनुपात (common ratio) है।
अनंत तक का योग $S$ का सूत्र $S = \frac{a}{1 - r}$ है।
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $1 - r = \frac{a}{S}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = 1 - \frac{a}{S}$।
$G.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n$ का सूत्र $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ है।
$S = \frac{a}{1 - r}$ और $r = 1 - \frac{a}{S}$ को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$S_n = S(1 - r^n) = S\left[ {1 - {{\left( {1 - \frac{a}{S}} \right)}^n}} \right]$।

(D) माना $x = 0.14189189189...$
इसे $x = 0.14 + 0.00189189189...$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x = \frac{14}{100} + \frac{189}{99900}$
$x = \frac{14}{100} + \frac{189 \div 27}{99900 \div 27} = \frac{14}{100} + \frac{7}{3700}$
इन्हें जोड़ने के लिए,उभयनिष्ठ हर ज्ञात करें,जो $3700$ है:
$x = \frac{14 \times 37}{3700} + \frac{7}{3700} = \frac{518 + 7}{3700} = \frac{525}{3700}$
अंश और हर दोनों को $25$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{525 \div 25}{3700 \div 25} = \frac{21}{148}$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) दी गई श्रेणी $5.05 + 1.212 + 0.29088 + ... \infty$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है,जहाँ प्रथम पद $a = 5.05$ है।
सार्व अनुपात $r$ की गणना करने पर,$r = \frac{1.212}{5.05} = 0.24$ प्राप्त होता है।
चूँकि $|r| < 1$,अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ है।
मान रखने पर,$S_{\infty} = \frac{5.05}{1 - 0.24} = \frac{5.05}{0.76}$ प्राप्त होता है।
भाग देने पर,$S_{\infty} = 6.6447368... \approx 6.64474$ प्राप्त होता है।

(A) माना अनंत गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है,$\frac{a}{1-r} = 3$,अतः $a = 3(1-r)$ ..... $(i)$.
इसके पदों के वर्गों से बनी श्रेणी $a^2, a^2r^2, a^2r^4, .....$ है। यह भी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a^2$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
इस श्रेणी का योग $\frac{a^2}{1-r^2} = 3$ है ..... $(ii)$.
$(ii)$ में $a = 3(1-r)$ रखने पर:
$\frac{[3(1-r)]^2}{1-r^2} = 3$
$\frac{9(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 3$
$\frac{3(1-r)}{1+r} = 1$
$3 - 3r = 1 + r$
$4r = 2 \implies r = \frac{1}{2}$.
$r = \frac{1}{2}$ को $(i)$ में रखने पर:
$a = 3(1 - \frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$.
अतः श्रेणी $a, ar, ar^2, .....$ का मान $\frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16}, .....$ है।

(D) एक अनंत $G.P.$ के लिए,योग $S = \frac{a}{1-r} = 4$ और दूसरा पद $ar = \frac{3}{4}$ है।
पहले समीकरण से,$a = 4(1-r)$।
इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $4(1-r)r = \frac{3}{4}$।
$r(1-r) = \frac{3}{16} \implies r - r^2 = \frac{3}{16} \implies 16r^2 - 16r + 3 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(4r - 3)(4r - 1) = 0$।
अतः,$r = \frac{3}{4}$ या $r = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
यदि $r = \frac{3}{4}$ है,तो $a = 4(1 - 3/4) = 4(1/4) = 1$।
यदि $r = \frac{1}{4}$ है,तो $a = 4(1 - 1/4) = 4(3/4) = 3$।
संभावित जोड़े $(a, r)$ $(1, 3/4)$ और $(3, 1/4)$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $(d)$ सही है।

(D) सबसे पहले,अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $x = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots$ ज्ञात करें।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_1 = \frac{1}{4}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
योग $x = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$ है।
अब,$a = 0.2 = \frac{1}{5}$,$b = \sqrt{5} = 5^{1/2}$,और $x = \frac{1}{2}$ को व्यंजक $a^{\log_b x}$ में प्रतिस्थापित करें:
$a^{\log_b x} = (\frac{1}{5})^{\log_{\sqrt{5}} (1/2)} = (5^{-1})^{\log_{5^{1/2}} (2^{-1})}$.
गुणधर्म $\log_{b^n} x = \frac{1}{n} \log_b x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\log_{5^{1/2}} (2^{-1}) = \frac{1}{1/2} \log_5 (2^{-1}) = 2 \log_5 (2^{-1}) = \log_5 (2^{-1})^2 = \log_5 (2^{-2}) = \log_5 (1/4)$.
अतः,व्यंजक $(5^{-1})^{\log_5 (1/4)} = 5^{-\log_5 (1/4)} = 5^{\log_5 (1/4)^{-1}} = 5^{\log_5 4} = 4$ हो जाता है।

(A) माना कि दिया गया व्यंजक $S = {4^{1/3}} \cdot {4^{1/9}} \cdot {4^{1/27}} \cdots \infty$ है।
घातांक के नियम ${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m+n}}$ का उपयोग करने पर:
$S = {4^{(1/3 + 1/9 + 1/27 + \cdots \infty)}}$.
घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1/3$ और सार्व अनुपात $r = 1/3$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,घातांक का योग $\frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = {4^{1/2}} = \sqrt{4} = 2$.

(A) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है,जिसका प्रथम पद $a = x$ और सार्व अनुपात $r = x$ है।
अनंत $G.P.$ के योग का सूत्र $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $y = \frac{x}{1 - x}$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के लिए हल करने पर:
$y(1 - x) = x$
$y - yx = x$
$y = x + yx$
$y = x(1 + y)$
$x = \frac{y}{1 + y}$.

(A) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है। $G.P.$ के अनंत पदों का योग $S = \frac{a}{1-r} = 3$ द्वारा दिया जाता है .....$(i)$
$G.P.$ के पद $a, ar, ar^2, \dots$ हैं। इन पदों के वर्ग $a^2, a^2r^2, a^2r^4, \dots$ हैं,जो एक नई $G.P.$ बनाते हैं जिसका प्रथम पद $a^2$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
पदों के वर्गों का योग $\frac{a^2}{1-r^2} = 3$ है .....(ii)
$(i)$ से,$a = 3(1-r)$। इस मान को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{[3(1-r)]^2}{1-r^2} = 3$
$\frac{9(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 3$
$\frac{3(1-r)}{1+r} = 1$
$3 - 3r = 1 + r$
$4r = 2 \Rightarrow r = 1/2$
$r = 1/2$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$a = 3(1 - 1/2) = 3(1/2) = 3/2$
अतः,प्रथम पद $3/2$ है और सार्व अनुपात $1/2$ है।

(A) दी गई गुणोत्तर श्रेणी $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}, \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}, \frac{1}{2}, \dots$ है।
प्रथम पद $a = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{2 - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{2}$ है।
सार्व अनुपात $r = \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)} \div \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)} = \frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
$S = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1) - 1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2 \cdot \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{2 + \sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)^3}{1 + \sqrt{2}} = \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)^2$।

(B) माना कि $G.P.$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
दिया गया है कि अनंत $G.P.$ का योग $S = \frac{a}{1-r} = 20$ .....$(i)$
पदों के वर्ग एक नई $G.P.$ बनाते हैं जिसका प्रथम पद $a^2$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
वर्गों का योग $S' = \frac{a^2}{1-r^2} = 100$ .....$(ii)$
समीकरण $(i)$ से,$a = 20(1-r)$ प्राप्त होता है।
इस मान को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{[20(1-r)]^2}{1-r^2} = 100$
$\frac{400(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 100$
$\frac{4(1-r)}{1+r} = 1$
$4 - 4r = 1 + r$
$5r = 3$
$r = 3/5$.

(C) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है। एक अनंत $G.P.$ का योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $|r| < 1$ है।
प्रथम पद के बाद शेष पदों का योग $S - a = \frac{a}{1-r} - a = a\left(\frac{1}{1-r} - 1\right) = a\left(\frac{1 - 1 + r}{1-r}\right) = \frac{ar}{1-r}$ है।
प्रश्न के अनुसार,प्रथम पद शेष पदों के योग का दोगुना है:
$a = 2 \left( \frac{ar}{1-r} \right)$.
दोनों पक्षों को $a$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $a \neq 0$):
$1 = \frac{2r}{1-r}$.
$1 - r = 2r$.
$1 = 3r$.
$r = 1/3$.

(A) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2}{x}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग परिमित होने के लिए,शर्त $|r| < 1$ का संतुष्ट होना आवश्यक है।
अतः,$|\frac{2}{x}| < 1$।
इसका तात्पर्य है $\frac{2}{|x|} < 1$,जिसका अर्थ है $|x| > 2$।
चूंकि पद धनात्मक हैं,हम $x > 2$ लेते हैं।

(C) माना कि $x = 0.5737373......$
इसे $x = 0.5 + 0.0737373......$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x = 0.5 + \frac{73}{1000} + \frac{73}{100000} + \frac{73}{10000000} + ...$
यह दूसरे पद से शुरू होने वाली एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसमें प्रथम पद $a = \frac{73}{1000}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{100}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
$x = 0.5 + \frac{73/1000}{1 - 1/100} = \frac{5}{10} + \frac{73/1000}{99/100} = \frac{1}{2} + \frac{73}{1000} \times \frac{100}{99} = \frac{1}{2} + \frac{73}{990}$.
$x = \frac{495 + 73}{990} = \frac{568}{990}$.

(D) माना $x = 0.037037037...$
यह एक आवर्ती दशमलव है जिसे एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी के रूप में लिखा जा सकता है:
$x = 0.037 + 0.000037 + 0.000000037 + ...$
$x = \frac{37}{10^3} + \frac{37}{10^6} + \frac{37}{10^9} + ...$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{37}{1000}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{1000}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$x = \frac{37/1000}{1 - 1/1000} = \frac{37/1000}{999/1000} = \frac{37}{999}$.
वैकल्पिक रूप से,$x = \frac{37}{999} = \frac{1}{27}$.
चूंकि $\frac{37}{999}$ विकल्प $D$ में दिया गया है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(A) दिया गया है कि $3 + x, 9 + x, 21 + x$ $G.P.$ में हैं।
तीन संख्याओं $a, b, c$ के $G.P.$ में होने के लिए शर्त $b^2 = ac$ होती है।
इस शर्त को लागू करने पर: $(9 + x)^2 = (3 + x)(21 + x)$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $81 + x^2 + 18x = 63 + 21x + 3x + x^2$
समीकरण को सरल करने पर: $81 + 18x = 63 + 24x$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $81 - 63 = 24x - 18x$
$18 = 6x$
$x = 3$
सत्यापन: यदि $x = 3$ है,तो संख्याएँ $3+3=6, 9+3=12, 21+3=24$ होंगी। चूँकि $12/6 = 2$ और $24/12 = 2$,सार्व अनुपात समान है,जो पुष्टि करता है कि वे $G.P.$ में हैं।

(B) एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ के योग का सूत्र इस प्रकार है:
$s = \frac{a}{1 - r}$
जहाँ $a$ पहला पद है और $r$ सार्व अनुपात है (जहाँ $|r| < 1$ है)।
$r$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$s(1 - r) = a$
$1 - r = \frac{a}{s}$
$r = 1 - \frac{a}{s}$
$r = \frac{s - a}{s}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दी गई श्रेणी $9 - 3 + 1 - \frac{1}{3} + .....$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 9$ है।
सार्व अनुपात $r = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के अनंत पदों का योगफल ज्ञात करने का सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ है,जहाँ $|r| < 1$ हो।
मान रखने पर,$S_{\infty} = \frac{9}{1 - (-1/3)} = \frac{9}{1 + 1/3} = \frac{9}{4/3} = \frac{9 \times 3}{4} = \frac{27}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $a^2 + b^2 + 16c^2 = 6ab + 12bc + 8ac$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a^2 + b^2 + 16c^2 - 6ab - 12bc - 8ac = 0$.
यदि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं,तो $b^2 = ac$ होता है।
अतः $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(C) माना कि दिया गया व्यंजक $P = (32)(32)^{1/6}(32)^{1/36} \dots \infty$ है।
चूँकि आधार समान हैं, हम घातांकों को जोड़ सकते हैं: $P = (32)^{1 + 1/6 + 1/36 + \dots \infty}$।
घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी (infinite geometric series) है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 1/6$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र $S = a / (1 - r)$ होता है।
मान रखने पर, $S = 1 / (1 - 1/6) = 1 / (5/6) = 6/5$।
अतः, $P = (32)^{6/5}$।
चूँकि $32 = 2^5$, हमारे पास $P = (2^5)^{6/5} = 2^{(5 \times 6/5)} = 2^6$ है।
$2^6 = 64$ होता है।

(C) दिया गया है कि $H.P.$ का $m$ वाँ पद $n$ है और $n$ वाँ पद $m$ है।
संगत $A.P.$ के लिए,$m$ वाँ पद $\frac{1}{n}$ और $n$ वाँ पद $\frac{1}{m}$ होगा।
मान लीजिए कि इस $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
अतः,$a + (m - 1)d = \frac{1}{n}$ --- $(i)$
और,$a + (n - 1)d = \frac{1}{m}$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ में से (ii) को घटाने पर:
$(m - n)d = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} = \frac{m - n}{mn}$
इस प्रकार,$d = \frac{1}{mn}$.
$d$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a + (m - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1}{n}$
$a = \frac{1}{n} - \frac{m - 1}{mn} = \frac{m - m + 1}{mn} = \frac{1}{mn}$.
$A.P.$ का $r$ वाँ पद $T_r = a + (r - 1)d = \frac{1}{mn} + (r - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1 + r - 1}{mn} = \frac{r}{mn}$ होगा।
अतः,$H.P.$ का $r$ वाँ पद $A.P.$ के $r$ वें पद का व्युत्क्रम अर्थात $\frac{mn}{r}$ होगा।

(D) माना कि जोड़ी जाने वाली संख्या $x$ है। नई संख्याएँ $(13 + x), (15 + x), (19 + x)$ होंगी।
चूँकि ये संख्याएँ $H.P.$ में हैं,इसलिए इनके व्युत्क्रम $A.P.$ (समांतर श्रेणी) में होंगे।
अतः,$\frac{1}{15 + x} - \frac{1}{13 + x} = \frac{1}{19 + x} - \frac{1}{15 + x}$.
$\Rightarrow \frac{(13 + x) - (15 + x)}{(15 + x)(13 + x)} = \frac{(15 + x) - (19 + x)}{(19 + x)(15 + x)}$.
$\Rightarrow \frac{-2}{(15 + x)(13 + x)} = \frac{-4}{(19 + x)(15 + x)}$.
$\Rightarrow \frac{1}{13 + x} = \frac{2}{19 + x}$.
$\Rightarrow 19 + x = 2(13 + x)$.
$\Rightarrow 19 + x = 26 + 2x$.
$\Rightarrow x = 19 - 26 = -7$.
अतः,जोड़ी जाने वाली संख्या $-7$ है।

(D) दी गई श्रेणी $2, 2\frac{1}{2}, 3\frac{1}{3}, \dots$ एक $H.P.$ में है।
इनके व्युत्क्रम (reciprocals) लेने पर,श्रेणी $\frac{1}{2}, \frac{2}{5}, \frac{3}{10}, \dots$ एक $A.P.$ (समांतर श्रेणी) में होगी।
यहाँ,प्रथम पद $a = \frac{1}{2}$ है।
सार्व अंतर $d = \frac{2}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4-5}{10} = -\frac{1}{10}$ है।
$A.P.$ का $n$ वाँ पद $T_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$A.P.$ के $5$ वें पद के लिए: $T_5 = \frac{1}{2} + (5-1)(-\frac{1}{10}) = \frac{1}{2} - \frac{4}{10} = \frac{5-4}{10} = \frac{1}{10}$।
चूँकि $H.P.$,$A.P.$ का व्युत्क्रम होता है,इसलिए $H.P.$ का $5$ वाँ पद $\frac{1}{10}$ का व्युत्क्रम,यानी $10$ होगा।

(C) चूंकि ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots, {a_n}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \dots, \frac{1}{a_n}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।
माना इस $A.P.$ का सार्व अंतर $d$ है।
तब,$\frac{1}{a_{k+1}} - \frac{1}{a_k} = d$,जिसका अर्थ है $\frac{a_k - a_{k+1}}{a_k a_{k+1}} = d$,या $a_k - a_{k+1} = d(a_k a_{k+1})$।
इसे $k=1$ से $n-1$ तक जोड़ने पर:
$\sum_{k=1}^{n-1} (a_k - a_{k+1}) = d \sum_{k=1}^{n-1} (a_k a_{k+1})$
$(a_1 - a_2) + (a_2 - a_3) + \dots + (a_{n-1} - a_n) = d \sum_{k=1}^{n-1} (a_k a_{k+1})$
$a_1 - a_n = d \sum_{k=1}^{n-1} (a_k a_{k+1})$
$A.P.$ के लिए,$n$-वां पद $\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + (n-1)d$ है,इसलिए $d = \frac{1/a_n - 1/a_1}{n-1} = \frac{a_1 - a_n}{(n-1)a_1 a_n}$।
$d$ का मान योग के समीकरण में रखने पर:
$a_1 - a_n = \frac{a_1 - a_n}{(n-1)a_1 a_n} \sum_{k=1}^{n-1} (a_k a_{k+1})$
$\sum_{k=1}^{n-1} (a_k a_{k+1}) = (n-1)a_1 a_n$।

(B) दिया गया है कि $x, y, z$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,इसलिए मध्य पद $y$,$x$ और $z$ का हरात्मक माध्य है,अर्थात $y = \frac{2xz}{x + z}$।
हमें व्यंजक $E = \log(x + z) + \log(x - 2y + z)$ का मान ज्ञात करना है।
लघुगणक के गुणधर्म $\log(a) + \log(b) = \log(ab)$ का उपयोग करने पर,$E = \log[(x + z)(x - 2y + z)]$।
व्यंजक में $y = \frac{2xz}{x + z}$ का मान रखने पर:
$E = \log\left[(x + z)\left(x - 2\left(\frac{2xz}{x + z}\right) + z\right)\right]$
$E = \log\left[(x + z)\left(x + z - \frac{4xz}{x + z}\right)\right]$
$E = \log\left[(x + z)^2 - 4xz\right]$
$E = \log(x^2 + 2xz + z^2 - 4xz)$
$E = \log(x^2 - 2xz + z^2) = \log(x - z)^2$
लघुगणक के गुणधर्म $\log(a^n) = n\log(a)$ का उपयोग करने पर,$E = 2\log(x - z)$।

(A) माना कि संगत $A.P.$ (समांतर श्रेणी) $a, a+d, a+2d, \dots$ है,ताकि $H.P.$ का $n^{th}$ पद $1/(a+(n-1)d)$ हो।
दिया गया है कि $H.P.$ का ${5^{th}}$ पद $1/45$ है,इसलिए $A.P.$ का ${5^{th}}$ पद $a + 4d = 45$ $(i)$ होगा।
दिया गया है कि $H.P.$ का ${11^{th}}$ पद $1/69$ है,इसलिए $A.P.$ का ${11^{th}}$ पद $a + 10d = 69$ $(ii)$ होगा।
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 10d) - (a + 4d) = 69 - 45$
$6d = 24 \implies d = 4$.
$d = 4$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$a + 4(4) = 45 \implies a + 16 = 45 \implies a = 29$.
अब,$A.P.$ का ${16^{th}}$ पद $a + 15d = 29 + 15(4) = 29 + 60 = 89$ होगा।
अतः,$H.P.$ का ${16^{th}}$ पद $1/89$ होगा।

(B) यदि किसी अनुक्रम के पदों के व्युत्क्रम समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हों,तो वह अनुक्रम हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ कहलाता है।
यहाँ $H.P.$ का प्रथम पद $1/7$ है,इसलिए संगत $A.P.$ का प्रथम पद $a = 7$ होगा।
$H.P.$ का दूसरा पद $1/9$ है,इसलिए $A.P.$ का दूसरा पद $a + d = 9$ होगा।
सार्व अंतर $d$ की गणना करने पर: $d = 9 - 7 = 2$.
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ होता है।
$A.P.$ के $12$ वें पद के लिए: $T_{12} = 7 + (12 - 1) \times 2 = 7 + 11 \times 2 = 7 + 22 = 29$.
चूँकि $H.P.$ का $12$ वाँ पद $A.P.$ के $12$ वें पद का व्युत्क्रम होता है,इसलिए $H.P.$ का $12$ वाँ पद $1/29$ होगा।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ $H.P.$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $A.P.$ में हैं।
मान लीजिए $\frac{1}{a} = p - q$,$\frac{1}{b} = p$,और $\frac{1}{c} = p + q$,जहाँ $p, q > 0$ और $p > q$ है।
तब $a = \frac{1}{p-q}$,$b = \frac{1}{p}$,और $c = \frac{1}{p+q}$ होगा।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3a + 2b}{2a - b} = \frac{\frac{3}{p-q} + \frac{2}{p}}{\frac{2}{p-q} - \frac{1}{p}} = \frac{3p + 2(p-q)}{2p - (p-q)} = \frac{5p - 2q}{p + q}$
इसी प्रकार,$\frac{3c + 2b}{2c - b} = \frac{\frac{3}{p+q} + \frac{2}{p}}{\frac{2}{p+q} - \frac{1}{p}} = \frac{3p + 2(p+q)}{2p - (p+q)} = \frac{5p + 2q}{p - q}$
इनका योग करने पर: $\frac{5p - 2q}{p + q} + \frac{5p + 2q}{p - q} = \frac{(5p - 2q)(p - q) + (5p + 2q)(p + q)}{p^2 - q^2} = \frac{5p^2 - 7pq + 2q^2 + 5p^2 + 7pq + 2q^2}{p^2 - q^2} = \frac{10p^2 + 4q^2}{p^2 - q^2} = 10 + \frac{14q^2}{p^2 - q^2}$.
चूँकि $p > q > 0$,इसलिए $p^2 - q^2 > 0$,अतः व्यंजक का मान $10$ से अधिक है।

(A) यदि $a, b, c, d$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।
माना सार्व अंतर $k$ है। तब $\frac{1}{b} = \frac{1}{a} + k$,$\frac{1}{c} = \frac{1}{a} + 2k$,और $\frac{1}{d} = \frac{1}{a} + 3k$ होगा।
वैकल्पिक रूप से,$H.P.$ के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$b = \frac{2ac}{a+c}$ और $c = \frac{2bd}{b+d}$ प्राप्त होता है।
$b = \frac{2ac}{a+c}$ से,$\frac{1}{b} = \frac{a+c}{2ac} = \frac{1}{2c} + \frac{1}{2a}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $2ac = b(a+c) = ab + bc$।
इसी प्रकार,$c = \frac{2bd}{b+d}$ से,$2bd = c(b+d) = bc + cd$ प्राप्त होता है।
इनका योग करने पर,$ab + 2bc + cd = 2ac + 2bd$ प्राप्त होता है।
यदि हम $a=1, b=1/2, c=1/3, d=1/4$ रखें,तो $ab+bc+cd = (1)(1/2) + (1/2)(1/3) + (1/3)(1/4) = 1/2 + 1/6 + 1/12 = 9/12 = 3/4$ होगा।
चूंकि $3ad = 3(1)(1/4) = 3/4$ है,इसलिए सही उत्तर $3ad$ है।

(D) माना कि हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ $H_1, H_2, H_3, \dots$ है। इसकी संगत समांतर श्रेणी $(A.P.)$ $\frac{1}{H_1}, \frac{1}{H_2}, \frac{1}{H_3}, \dots$ होगी।
दिया गया है कि $H.P.$ का $7$ वाँ पद $8$ है,अतः संगत $A.P.$ का $7$ वाँ पद $\frac{1}{8}$ होगा।
दिया गया है कि $H.P.$ का $8$ वाँ पद $7$ है,अतः संगत $A.P.$ का $8$ वाँ पद $\frac{1}{7}$ होगा।
माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$a + 6d = \frac{1}{8}$ --- $(1)$
$a + 7d = \frac{1}{7}$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर: $d = \frac{1}{7} - \frac{1}{8} = \frac{8-7}{56} = \frac{1}{56}$.
$d$ का मान $(1)$ में रखने पर: $a + 6(\frac{1}{56}) = \frac{1}{8} \implies a + \frac{3}{28} = \frac{1}{8} \implies a = \frac{1}{8} - \frac{3}{28} = \frac{7-6}{56} = \frac{1}{56}$.
$A.P.$ का $15$ वाँ पद $a + 14d = \frac{1}{56} + 14(\frac{1}{56}) = \frac{15}{56}$ होगा।
अतः,$H.P.$ का $15$ वाँ पद $A.P.$ के $15$ वें पद का व्युत्क्रम होगा,जो कि $\frac{56}{15}$ है।