QUADRATIC EQUATION Questions in Hindi

(D) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}-5x+6=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2}-3x-2x+6=0$
$x(x-3)-2(x-3)=0$
$(x-3)(x-2)=0$
अतः,मूल $x = 3$ और $x = 2$ हैं।
समीकरण $II$ के लिए: $2y^{2}-15y+27=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2y^{2}-6y-9y+27=0$
$2y(y-3)-9(y-3)=0$
$(2y-9)(y-3)=0$
अतः,मूल $y = \frac{9}{2} = 4.5$ और $y = 3$ हैं।
मानों की तुलना करने पर:
जब $x = 3$ है,तो $y$ का मान $4.5$ या $3$ हो सकता है। यहाँ $x \le y$ है।
जब $x = 2$ है,तो $y$ का मान $4.5$ या $3$ हो सकता है। यहाँ $x < y$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $x \le y$ प्राप्त होता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $2x^{2} + x - 1 = 0$
गुणनखंड विधि का उपयोग करने पर: $2x^{2} + 2x - x - 1 = 0 \Rightarrow 2x(x + 1) - 1(x + 1) = 0 \Rightarrow (2x - 1)(x + 1) = 0$.
अतः,मूल $x = \frac{1}{2}$ और $x = -1$ हैं।
समीकरण $II$ के लिए: $2y^{2} - 3y + 1 = 0$
गुणनखंड विधि का उपयोग करने पर: $2y^{2} - 2y - y + 1 = 0 \Rightarrow 2y(y - 1) - 1(y - 1) = 0 \Rightarrow (2y - 1)(y - 1) = 0$.
अतः,मूल $y = \frac{1}{2}$ और $y = 1$ हैं।
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = \frac{1}{2}$ है,तो $y$ का मान $\frac{1}{2}$ (बराबर) या $1$ $(x < y)$ हो सकता है।
यदि $x = -1$ है,तो $y$ का मान $\frac{1}{2}$ या $1$ $(x < y)$ हो सकता है।
सभी स्थितियों में,$x \le y$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरण:
$8x + 7y = 135$ ---$(1)$
$5x + 6y = 99$ ---$(2)$
हल करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $5$ से और समीकरण $(2)$ को $8$ से गुणा करें:
$40x + 35y = 675$ ---$(3)$
$40x + 48y = 792$ ---$(4)$
समीकरण $(4)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(40x + 48y) - (40x + 35y) = 792 - 675$
$13y = 117$
$y = 9$
$y = 9$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$8x + 7(9) = 135$
$8x + 63 = 135$
$8x = 72$
$x = 9$
चूंकि $x = 9$ और $y = 9$ है,इसलिए $x = y$ है।

(D) चरण $1$: समीकरण $I$ से $x$ का मान ज्ञात करें।
$x^{2} = 64 \Rightarrow x = \pm 8$.
अतः,$x = 8$ या $x = -8$.
चरण $2$: समीकरण $II$ से $y$ का मान ज्ञात करें।
$2y^{2} + 25y + 72 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2y^{2} + 16y + 9y + 72 = 0$.
$2y(y + 8) + 9(y + 8) = 0$.
$(2y + 9)(y + 8) = 0$.
अतः,$y = -8$ या $y = -4.5$.
चरण $3$: $x$ और $y$ के मानों की तुलना करें।
यदि $x = 8$ है,तो $x > y$ (क्योंकि $8 > -8$ और $8 > -4.5$)।
यदि $x = -8$ है,तो $x = y$ (जब $y = -8$) और $x < y$ (जब $y = -4.5$)।
चूंकि चुनी गई मानों के आधार पर संबंध बदल रहा है,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$7x + 3y = 26$ --- $(1)$
$2x + 17y = -41$ --- $(2)$
$x$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $7$ से गुणा करें:
$(7x + 3y = 26) \times 2 \Rightarrow 14x + 6y = 52$ --- $(3)$
$(2x + 17y = -41) \times 7 \Rightarrow 14x + 119y = -287$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(4)$ को घटाने पर:
$(14x + 6y) - (14x + 119y) = 52 - (-287)$
$-113y = 339$
$y = -3$
$y = -3$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$7x + 3(-3) = 26$
$7x - 9 = 26$
$7x = 35$
$x = 5$
मानों की तुलना करने पर,$x = 5$ और $y = -3$ प्राप्त होता है। चूँकि $5 > -3$,इसलिए $x > y$ है।

(C) चरण $1$: $x$ के लिए हल करें।
$x = \sqrt[3]{2197} = 13$.
चरण $2$: $y$ के लिए हल करें।
$y^2 = 169 \Rightarrow y = \pm 13$.
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
चूंकि $x = 13$ और $y$ का मान $13$ या $-13$ हो सकता है,इसलिए $x = 13$ और $y = 13$ (अर्थात $x = y$) या $x = 13$ और $y = -13$ (अर्थात $x > y$) है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $x \ge y$ प्राप्त होता है।

(C) समीकरण $I$ के लिए: $x = \sqrt{1764} = 42$.
समीकरण $II$ के लिए: $y^2 = 1764$,जिसका अर्थ है कि $y = \pm \sqrt{1764} = \pm 42$.
मानों की तुलना करने पर:
यदि $y = 42$ है,तो $x = y$ है।
यदि $y = -42$ है,तो $x > y$ है।
इन परिणामों को मिलाने पर,हमें $x \ge y$ प्राप्त होता है।

(B) समीकरण $I: 3x^2 + 5x - 2 = 0$ के लिए
गुणनखंड करने पर: $3x^2 + 6x - x - 2 = 0$
$3x(x + 2) - 1(x + 2) = 0$
$(3x - 1)(x + 2) = 0$
अतः,$x = 1/3$ या $x = -2$ है।
समीकरण $II: 2y^2 - 7y + 5 = 0$ के लिए
गुणनखंड करने पर: $2y^2 - 2y - 5y + 5 = 0$
$2y(y - 1) - 5(y - 1) = 0$
$(2y - 5)(y - 1) = 0$
अतः,$y = 5/2 = 2.5$ या $y = 1$ है।
मानों की तुलना करने पर:
$x_1 = 0.33, x_2 = -2$
$y_1 = 2.5, y_2 = 1$
सभी स्थितियों में,$x < y$ है।

(A) समीकरण $I$ के लिए: $5x^{2} + 2x - 3 = 0$
मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हुए: $5x^{2} + 5x - 3x - 3 = 0$
$5x(x + 1) - 3(x + 1) = 0$
$(5x - 3)(x + 1) = 0$
अतः,$x = 0.6$ या $x = -1$.
समीकरण $II$ के लिए: $2y^{2} + 7y + 6 = 0$
मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हुए: $2y^{2} + 4y + 3y + 6 = 0$
$2y(y + 2) + 3(y + 2) = 0$
$(2y + 3)(y + 2) = 0$
अतः,$y = -1.5$ या $y = -2$.
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = 0.6$ है,तो $x > y$ (क्योंकि $0.6 > -1.5$ और $0.6 > -2$ है)।
यदि $x = -1$ है,तो $x > y$ (क्योंकि $-1 > -1.5$ और $-1 > -2$ है)।
सभी स्थितियों में,$x > y$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए:
$7x + 4y = 3$ --- $(1)$
$5x + 3y = 3$ --- $(2)$
$y$ को विलोपित करने के लिए समीकरण $(1)$ को $3$ से और समीकरण $(2)$ को $4$ से गुणा करने पर:
$21x + 12y = 9$ --- $(3)$
$20x + 12y = 12$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(4)$ को घटाने पर:
$(21x - 20x) + (12y - 12y) = 9 - 12$
$x = -3$
$x = -3$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$7(-3) + 4y = 3$
$-21 + 4y = 3$
$4y = 24$
$y = 6$
मानों की तुलना करने पर,हमें $x = -3$ और $y = 6$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-3 < 6$,इसलिए $x < y$ सही उत्तर है।

(B) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}+5x-6=0$
गुणनखंड करने पर: $x^{2}+6x-x-6=0$
$x(x+6)-1(x+6)=0$
$(x-1)(x+6)=0$
अतः,$x = 1$ या $x = -6$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $2y^{2}-11y+15=0$
गुणनखंड करने पर: $2y^{2}-6y-5y+15=0$
$2y(y-3)-5(y-3)=0$
$(2y-5)(y-3)=0$
अतः,$y = 2.5$ या $y = 3$ है।
मानों की तुलना करने पर:
$x=1$ के लिए: $1 < 2.5$ और $1 < 3$ (अर्थात $x < y$)।
$x=-6$ के लिए: $-6 < 2.5$ और $-6 < 3$ (अर्थात $x < y$)।
सभी स्थितियों में,$x < y$ प्राप्त होता है।

(A) सबसे पहले,समीकरण $II$ का उपयोग करके $y$ का मान ज्ञात करें:
$y = \sqrt[3]{17576} = \sqrt[3]{26^3} = 26$
इसके बाद,$x$ का मान ज्ञात करने के लिए $y$ के मान को समीकरण $I$ में रखें:
$7x = 4(26) + 85$
$7x = 104 + 85$
$7x = 189$
$x = 189 / 7 = 27$
मानों की तुलना करने पर,हमें $x = 27$ और $y = 26$ प्राप्त होता है।
चूंकि $27 > 26$,इसलिए $x > y$ सही उत्तर है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}-25=0 \Rightarrow x^{2}=25 \Rightarrow x = 5, -5$.
समीकरण $II$ के लिए: $4y^{2}-24y+35=0$.
गुणनखंड विधि का उपयोग करने पर: $4y^{2}-14y-10y+35=0$.
$2y(2y-7)-5(2y-7)=0 \Rightarrow (2y-5)(2y-7)=0$.
अतः,$y = 2.5$ या $y = 3.5$.
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = 5$ है,तो $x > 2.5$ और $x > 3.5$ $(x > y)$।
यदि $x = -5$ है,तो $x < 2.5$ और $x < 3.5$ $(x < y)$।
चूंकि हमें अलग-अलग संबंध ($x > y$ और $x < y$) प्राप्त होते हैं,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(A) समीकरण $I$ के लिए: $4x^2 - 43x + 105 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $4x^2 - 28x - 15x + 105 = 0$
$4x(x - 7) - 15(x - 7) = 0$
$(4x - 15)(x - 7) = 0$
अतः,$x_1 = \frac{15}{4} = 3.75$ और $x_2 = 7$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $7y^2 - 29y + 30 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $7y^2 - 14y - 15y + 30 = 0$
$7y(y - 2) - 15(y - 2) = 0$
$(7y - 15)(y - 2) = 0$
अतः,$y_1 = \frac{15}{7} \approx 2.14$ और $y_2 = 2$ है।
मानों की तुलना करने पर:
$x_1 = 3.75$ और $x_2 = 7$
$y_1 \approx 2.14$ और $y_2 = 2$
चूंकि $x$ के सभी मान $y$ के सभी मानों से बड़े हैं $(3.75 > 2.14, 3.75 > 2, 7 > 2.14, 7 > 2)$,इसलिए निष्कर्ष निकलता है कि $x > y$ है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}+13x+40=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2}+8x+5x+40=0$
$x(x+8)+5(x+8)=0$
$(x+5)(x+8)=0$
अतः,मूल $x = -5$ और $x = -8$ हैं।
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}+7y+10=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $y^{2}+5y+2y+10=0$
$y(y+5)+2(y+5)=0$
$(y+2)(y+5)=0$
अतः,मूल $y = -2$ और $y = -5$ हैं।
मानों की तुलना करने पर:
जब $x = -5$ है,तो $y$ का मान $-2$ या $-5$ हो सकता है। यहाँ $x \le y$ है।
जब $x = -8$ है,तो $y$ का मान $-2$ या $-5$ हो सकता है। यहाँ $x < y$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $x \le y$ प्राप्त होता है।

(D) चरण $1$: $x$ के लिए हल करें।
$x = \sqrt[3]{2197} = 13$.
चरण $2$: $y$ के लिए द्विघात समीकरण को हल करें।
$2y^2 - 54y + 364 = 0$.
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$y^2 - 27y + 182 = 0$.
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $182$ हो और योग $-27$ हो। ये संख्याएँ $-13$ और $-14$ हैं।
$(y - 13)(y - 14) = 0$.
अतः,$y = 13$ या $y = 14$.
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
$x = 13$.
$y = 13$ या $14$.
मानों की तुलना करने पर,$x = 13$ और $y = 13$ या $14$ प्राप्त होता है। दोनों स्थितियों में,$x \le y$ संतुष्ट होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिए गए समीकरण:
$13x - 8y = -81$ ---$(1)$
$15x - 5y = -65$ ---$(2)$
$y$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(1)$ को $5$ से और समीकरण $(2)$ को $8$ से गुणा करें:
$(13x - 8y) \times 5 = -81 \times 5 \Rightarrow 65x - 40y = -405$
$(15x - 5y) \times 8 = -65 \times 8 \Rightarrow 120x - 40y = -520$
दूसरे परिणाम में से पहले परिणाम को घटाने पर:
$(120x - 40y) - (65x - 40y) = -520 - (-405)$
$55x = -115$
$x = -115 / 55 \approx -2.09$
$x$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$15(-2.09) - 5y = -65$
$-31.35 - 5y = -65$
$-5y = -65 + 31.35$
$-5y = -33.65$
$y = 6.73$
$x$ और $y$ की तुलना करने पर:
$x \approx -2.09$ और $y \approx 6.73$
अतः,$-2.09 < 6.73$,यानी $x < y$.

(B) चरण $1$: $x$ के लिए हल करें।
$x = \sqrt{172}$। चूंकि $13^2 = 169$ और $14^2 = 196$ है,इसलिए $x$ का मान लगभग $13.11$ है।
चरण $2$: $y$ के लिए द्विघात समीकरण को हल करें।
$y^{2} - 29y + 210 = 0$।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $210$ हो और योग $29$ हो। ये संख्याएँ $14$ और $15$ हैं ($14 \times 15 = 210$ और $14 + 15 = 29$)।
अतः,$(y - 14)(y - 15) = 0$।
इससे $y = 14$ या $y = 15$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
चूंकि $x \approx 13.11$ है और $y$ का मान $14$ या $15$ है,यह स्पष्ट है कि दोनों स्थितियों में $x < y$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) समीकरण $I$ के लिए: $676 x^{2} - 1 = 0$
$676 x^{2} = 1$
$x^{2} = \frac{1}{676}$
$x = \pm \frac{1}{26}$
अतः,$x = \frac{1}{26} \approx 0.0384$ या $x = -\frac{1}{26} \approx -0.0384$.
समीकरण $II$ के लिए: $y = \frac{1}{\sqrt[3]{13824}}$
चूंकि $24^{3} = 13824$,इसलिए $\sqrt[3]{13824} = 24$.
अतः,$y = \frac{1}{24} \approx 0.0416$.
मानों की तुलना करने पर:
$x = 0.0384$ या $-0.0384$ और $y = 0.0416$.
दोनों ही स्थितियों में,$x < y$ है।

(A) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}+12x+36=0$
इसे $(x+6)^{2}=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$x = -6, -6$.
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}+15y+56=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $y^{2}+8y+7y+56=0$
$y(y+8)+7(y+8)=0$
$(y+7)(y+8)=0$
अतः,$y = -7, -8$.
मानों की तुलना करने पर:
चूंकि $x = -6$ और $y$ के मान $-7$ और $-8$ हैं,हम देखते हैं कि $-6 > -7$ और $-6 > -8$ है।
अतः,$x > y$.

(A) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}+12x+36=0$
इसे $(x+6)^{2}=0$ के रूप में लिखा जा सकता है,अतः $x = -6, -6$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}+15y+56=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $y^{2}+7y+8y+56=0$
$y(y+7)+8(y+7)=0$
$(y+7)(y+8)=0$,अतः $y = -7, -8$ है।
मानों की तुलना करने पर:
$x = -6$
$y = -7$ या $-8$
चूंकि $-6 > -7$ और $-6 > -8$,इसलिए $x > y$ प्राप्त होता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $2x^2 - 3x - 35 = 0$
गुणनखंड करने पर: $2x^2 - 10x + 7x - 35 = 0$
$2x(x - 5) + 7(x - 5) = 0$
$(2x + 7)(x - 5) = 0$
अतः,$x = 5$ या $x = -3.5$.
समीकरण $II$ के लिए: $y^2 - 7y + 6 = 0$
गुणनखंड करने पर: $y^2 - 6y - y + 6 = 0$
$y(y - 6) - 1(y - 6) = 0$
$(y - 1)(y - 6) = 0$
अतः,$y = 1$ या $y = 6$.
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = 5$ है,तो $x > y$ (जब $y = 1$) और $x < y$ (जब $y = 6$) होता है।
चूंकि संबंध मानों के आधार पर बदलता है,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(B) समीकरण $I$ के लिए: $12x^2 - 47x + 40 = 0$
मध्य पद को विभाजित करने पर: $12x^2 - 32x - 15x + 40 = 0$
$4x(3x - 8) - 5(3x - 8) = 0$
$(4x - 5)(3x - 8) = 0$
अतः,$x = \frac{5}{4} = 1.25$ और $x = \frac{8}{3} \approx 2.67$।
समीकरण $II$ के लिए: $4y^2 + 3y - 10 = 0$
मध्य पद को विभाजित करने पर: $4y^2 + 8y - 5y - 10 = 0$
$4y(y + 2) - 5(y + 2) = 0$
$(4y - 5)(y + 2) = 0$
अतः,$y = \frac{5}{4} = 1.25$ और $y = -2$।
मानों की तुलना करने पर:
$x_1 = 1.25, x_2 = 2.67$
$y_1 = 1.25, y_2 = -2$
यहाँ $x_1 = y_1$,$x_2 > y_1$,और $x_1, x_2 > y_2$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x \ge y$।

(C) चरण $1$: $x$ के लिए हल करें।
$x = \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{576}} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} \approx 0.666$.
चरण $2$: द्विघात समीकरण $3y^2 + y - 2 = 0$ को हल करें।
गुणनखंड विधि का उपयोग करते हुए: $3y^2 + 3y - 2y - 2 = 0$.
$3y(y + 1) - 2(y + 1) = 0$.
$(3y - 2)(y + 1) = 0$.
अतः,$y = \frac{2}{3}$ या $y = -1$.
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
$x = \frac{2}{3}$.
$y$ के मान $\frac{2}{3}$ और $-1$ हैं।
चूंकि $x = \frac{2}{3}$ और $y$ के मान $\frac{2}{3}$ या $-1$ हैं,हम देख सकते हैं कि $x \ge y$ (क्योंकि $x$,$y$ के एक मान के बराबर है और दूसरे मान से बड़ा है)।

(C) दिए गए समीकरण $8x^2 - 49x + 45 = 0$ और $8y^2 - y - 9 = 0$ हैं।
पहले समीकरण के लिए: $8x^2 - 40x - 9x + 45 = 0$
$8x(x - 5) - 9(x - 5) = 0$
$(8x - 9)(x - 5) = 0$
अतः,$x_1 = 5$ और $x_2 = 1.125$ है।
दूसरे समीकरण के लिए: $8y^2 - 9y + 8y - 9 = 0$
$y(8y - 9) + 1(8y - 9) = 0$
$(y + 1)(8y - 9) = 0$
अतः,$y_1 = 1.125$ और $y_2 = -1$ है।
मानों की तुलना करने पर: $x = \{5, 1.125\}$ और $y = \{1.125, -1\}$।
चूंकि $x_1 > y_1$,$x_1 > y_2$,$x_2 = y_1$,और $x_2 > y_2$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x \ge y$।

(C) दिए गए समीकरण:
$I. 42x - 17y = -67$
$II. 7x - 12y = -26$
$x$ को विलुप्त करने के लिए समीकरण $(II)$ को $6$ से गुणा करें:
$6 \times (7x - 12y) = 6 \times (-26)$
$42x - 72y = -156$ $(III)$
समीकरण $(I)$ में से समीकरण $(III)$ को घटाने पर:
$(42x - 17y) - (42x - 72y) = -67 - (-156)$
$42x - 17y - 42x + 72y = -67 + 156$
$55y = 89$
$y = \frac{89}{55} \approx 1.618$
$y = \frac{89}{55}$ का मान समीकरण $(II)$ में रखने पर:
$7x - 12(\frac{89}{55}) = -26$
$7x - \frac{1068}{55} = -26$
$7x = \frac{1068}{55} - 26$
$7x = \frac{1068 - 1430}{55}$
$7x = -\frac{362}{55}$
$x = -\frac{362}{385} \approx -0.94$
मानों की तुलना करने पर,$x \approx -0.94$ और $y \approx 1.618$ प्राप्त होता है।
अतः,$-0.94 < 1.618$,अर्थात $x < y$।

(A) चरण $1$: समीकरण $I$ को $x$ के लिए हल करें।
$2.3x - 20.01 = 0$
$2.3x = 20.01$
$x = \frac{20.01}{2.3} = 8.7$
चरण $2$: $x$ के मान का उपयोग करके समीकरण $II$ को $y$ के लिए हल करें।
$2.9y - x = 0$
$2.9y = x$
$2.9y = 8.7$
$y = \frac{8.7}{2.9} = 3$
चरण $3$: $x$ और $y$ के मानों की तुलना करें।
चूंकि $x = 8.7$ और $y = 3$ है,इसलिए यह स्पष्ट है कि $x > y$।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}-26x+168=0$
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $26$ और गुणनफल $168$ हो। ये संख्याएँ $12$ और $14$ हैं।
$x^{2}-12x-14x+168=0$
$x(x-12)-14(x-12)=0$
$(x-12)(x-14)=0$
अतः,$x = 12$ या $x = 14$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}-25y+156=0$
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $25$ और गुणनफल $156$ हो। ये संख्याएँ $12$ और $13$ हैं।
$y^{2}-12y-13y+156=0$
$y(y-12)-13(y-12)=0$
$(y-12)(y-13)=0$
अतः,$y = 12$ या $y = 13$ है।
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x=12$ और $y=12$ है,तो $x=y$ है।
यदि $x=12$ और $y=13$ है,तो $xयदि $x=14$ और $y=12$ है,तो $x>y$ है।
चूंकि हमें अलग-अलग परिणाम प्राप्त होते हैं ($x=y$,$xy$),इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(B) समीकरण $I$ के लिए: $2x^2 + 13x - 7 = 0$
गुणनखंड विधि का उपयोग करने पर: $2x^2 + 14x - x - 7 = 0$
$2x(x + 7) - 1(x + 7) = 0$
$(2x - 1)(x + 7) = 0$
अतः,$x = 0.5$ या $x = -7$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $2y^2 - 5y + 3 = 0$
गुणनखंड विधि का उपयोग करने पर: $2y^2 - 2y - 3y + 3 = 0$
$2y(y - 1) - 3(y - 1) = 0$
$(2y - 3)(y - 1) = 0$
अतः,$y = 1.5$ या $y = 1$ है।
मानों की तुलना करने पर:
जब $x = 0.5$ है,तो $x < y$ (क्योंकि $0.5 < 1$ और $0.5 < 1.5$ है)।
जब $x = -7$ है,तो $x < y$ (क्योंकि $-7 < 1$ और $-7 < 1.5$ है)।
अतः,सभी स्थितियों में $x < y$ प्राप्त होता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2} + 12x + 32 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2} + 8x + 4x + 32 = 0$
$x(x + 8) + 4(x + 8) = 0$
$(x + 4)(x + 8) = 0$
अतः,$x = -4$ या $x = -8$.
समीकरण $II$ के लिए: $2y^{2} + 15y + 27 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2y^{2} + 6y + 9y + 27 = 0$
$2y(y + 3) + 9(y + 3) = 0$
$(2y + 9)(y + 3) = 0$
अतः,$y = -4.5$ या $y = -3$.
मानों की तुलना करने पर:
जब $x = -4$ है,तो $x > y$ (क्योंकि $-4 > -4.5$) और $x < y$ (क्योंकि $-4 < -3$)।
जब $x = -8$ है,तो $x < y$ (क्योंकि $-8 < -4.5$ और $-8 < -3$)।
चूंकि चुने गए मानों के आधार पर संबंध बदल जाता है,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}-82x+781=0$.
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $781$ और योग $82$ हो। ये संख्याएँ $71$ और $11$ हैं।
अतः,$(x-71)(x-11)=0$,जिससे $x = 71$ या $x = 11$ प्राप्त होता है।
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}=5041$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$y = \pm \sqrt{5041} = \pm 71$.
अतः,$y = 71$ या $y = -71$.
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = 71$ और $y = 71$ है,तो $x = y$ है।
यदि $x = 71$ और $y = -71$ है,तो $x > y$ है।
यदि $x = 11$ और $y = 71$ है,तो $x < y$ है।
चूंकि हमें चुनी गई मानों के आधार पर अलग-अलग संबंध ($x = y$,$x > y$,और $x < y$) प्राप्त होते हैं,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $3x^2 - 7x - 20 = 0$
मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हुए: $3x^2 - 12x + 5x - 20 = 0$
$3x(x - 4) + 5(x - 4) = 0$
$(3x + 5)(x - 4) = 0$
अतः,$x = 4$ या $x = -5/3 \approx -1.67$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $y^2 - 8y + 16 = 0$
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(y - 4)^2 = 0$
अतः,$y = 4$ है।
मानों की तुलना करने पर:
जब $x = 4$ है,तो $x = y$ है।
जब $x = -1.67$ है,तो $x < y$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $x \le y$ प्राप्त होता है।

(A) समीकरण $I$ के लिए: $9x^{2} - 114x + 361 = 0$.
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है: $(3x - 19)^{2} = 0$.
$x$ के लिए हल करने पर: $3x = 19$,अतः $x = \frac{19}{3} \approx 6.33$.
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2} = 36$.
वर्गमूल लेने पर: $y = \pm 6$,अतः $y = 6$ या $y = -6$.
मानों की तुलना करने पर:
यदि $y = 6$ है,तो $x = 6.33 > 6$.
यदि $y = -6$ है,तो $x = 6.33 > -6$.
दोनों स्थितियों में,$x > y$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए समीकरण $9x^2 - 29x + 22 = 0$ और $y^2 - 7y + 12 = 0$ हैं।
प्रथम समीकरण के लिए: $9x^2 - 29x + 22 = 0$
$9x^2 - 18x - 11x + 22 = 0$
$9x(x - 2) - 11(x - 2) = 0$
$(9x - 11)(x - 2) = 0$
अतः,$x = 2$ या $x = 11/9 \approx 1.22$ है।
दूसरे समीकरण के लिए: $y^2 - 7y + 12 = 0$
$y^2 - 4y - 3y + 12 = 0$
$y(y - 4) - 3(y - 4) = 0$
$(y - 3)(y - 4) = 0$
अतः,$y = 3$ या $y = 4$ है।
मानों की तुलना करने पर:
$x$ के मान ${1.22, 2}$ हैं और $y$ के मान ${3, 4}$ हैं।
चूंकि $x$ के सभी मान $y$ के सभी मानों से छोटे हैं,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x < y$।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $3x^2 - 4x - 32 = 0$
गुणनखंड विधि का उपयोग करने पर: $3x^2 - 12x + 8x - 32 = 0$
$3x(x - 4) + 8(x - 4) = 0$
$(3x + 8)(x - 4) = 0$
अतः,$x = 4$ या $x = -8/3 \approx -2.67$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $2y^2 - 17y + 36 = 0$
गुणनखंड विधि का उपयोग करने पर: $2y^2 - 9y - 8y + 36 = 0$
$y(2y - 9) - 4(2y - 9) = 0$
$(y - 4)(2y - 9) = 0$
अतः,$y = 4$ या $y = 9/2 = 4.5$ है।
मानों की तुलना करने पर:
$x = \{4, -2.67\}$
$y = \{4, 4.5\}$
चूंकि $4 \le 4$,$4 \le 4.5$,$-2.67 \le 4$,और $-2.67 \le 4.5$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x \le y$।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}+14x+49=0$
इसे $(x+7)^{2}=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$x = -7$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}+9y=0$
$y$ को कॉमन लेने पर,हमें $y(y+9)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = 0$ या $y = -9$ है।
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = -7$ और $y = 0$ है,तो $x < y$ है।
यदि $x = -7$ और $y = -9$ है,तो $x > y$ है।
चूंकि संबंध $y$ के मान पर निर्भर करता है,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(C) समीकरण $I$ के लिए: $35x^{2} - 53x + 20 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $35x^{2} - 28x - 25x + 20 = 0$
$7x(5x - 4) - 5(5x - 4) = 0$
$(7x - 5)(5x - 4) = 0$
अतः,$x = \frac{5}{7} \approx 0.714$ या $x = \frac{4}{5} = 0.8$.
समीकरण $II$ के लिए: $56y^{2} - 97y + 42 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $56y^{2} - 49y - 48y + 42 = 0$
$7y(8y - 7) - 6(8y - 7) = 0$
$(7y - 6)(8y - 7) = 0$
अतः,$y = \frac{6}{7} \approx 0.857$ या $y = \frac{7}{8} = 0.875$.
मानों की तुलना करने पर:
$x$ के मान ${0.714, 0.8}$ हैं और $y$ के मान ${0.857, 0.875}$ हैं।
चूंकि $x$ के सभी मान $y$ के सभी मानों से छोटे हैं,इसलिए $x < y$ सही उत्तर है।

(A) चरण $1$: समीकरण $I$ में $x$ का मान ज्ञात करें।
$x = \sqrt[3]{4913} = 17$.
चरण $2$: $y$ का मान ज्ञात करने के लिए $x$ का मान समीकरण $II$ में रखें।
$13y + 3(17) = 246$
$13y + 51 = 246$
$13y = 246 - 51$
$13y = 195$
$y = \frac{195}{13} = 15$.
चरण $3$: $x$ और $y$ के मानों की तुलना करें।
चूंकि $x = 17$ और $y = 15$ है,इसलिए यह स्पष्ट है कि $x > y$।

(D) समीकरण $I$ से: $x^{2} = 3481 \Rightarrow x = \pm 59$.
समीकरण $II$ से: $3y^{2} = \sqrt[3]{216000}$.
चूंकि $60^{3} = 216000$,इसलिए $3y^{2} = 60 \Rightarrow y^{2} = 20 \Rightarrow y = \pm \sqrt{20} \approx \pm 4.47$.
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = 59$ है,तो $x > y$ ($59 > 4.47$ और $59 > -4.47$ होने के कारण)।
यदि $x = -59$ है,तो $x < y$ ($-59 < 4.47$ और $-59 < -4.47$ होने के कारण)।
चूंकि हमें $x$ के अलग-अलग मानों के लिए अलग-अलग परिणाम मिलते हैं,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(A) समीकरण $I$ के लिए: $20 x^{2}-67 x+56=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $20 x^{2}-35 x-32 x+56=0$
$5 x(4 x-7)-8(4 x-7)=0$
$(5 x-8)(4 x-7)=0$
अतः,$x = \frac{8}{5} = 1.6$ या $x = \frac{7}{4} = 1.75$
समीकरण $II$ के लिए: $56 y^{2}-67 y+20=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $56 y^{2}-32 y-35 y+20=0$
$8 y(7 y-4)-5(7 y-4)=0$
$(8 y-5)(7 y-4)=0$
अतः,$y = \frac{5}{8} = 0.625$ या $y = \frac{4}{7} \approx 0.57$
मानों की तुलना करने पर: $x_1 = 1.6, x_2 = 1.75$ और $y_1 = 0.625, y_2 = 0.57$
चूंकि $x$ के दोनों मान $y$ के दोनों मानों से बड़े हैं,इसलिए $x > y$ निष्कर्ष निकलता है।

(D) समीकरण $I$ से,$x^{2} = 14641$,जिसका अर्थ है $x = \pm \sqrt{14641} = \pm 121$।
अतः,$x$ का मान $121$ या $-121$ हो सकता है।
समीकरण $II$ से,$y = \sqrt{14641} = 121$।
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = 121$ है,तो $x = y$।
यदि $x = -121$ है,तो $x < y$।
इन दोनों स्थितियों को मिलाने पर,हमें $x \le y$ प्राप्त होता है।

(B) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2} - 13x + 42 = 0$.
मध्य पद को विभाजित करने पर: $x^{2} - 7x - 6x + 42 = 0$.
$x(x - 7) - 6(x - 7) = 0$.
$(x - 6)(x - 7) = 0$.
अतः,$x = 6$ या $x = 7$.
समीकरण $II$ के लिए: $y = \sqrt[4]{1296}$.
चूंकि $6^{4} = 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296$,इसलिए $y = 6$.
मानों की तुलना करने पर:
जब $x = 6$,तो $x = y$.
जब $x = 7$,तो $x > y$.
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $x \ge y$ प्राप्त होता है।

(C) समीकरण $I$ के लिए: $15x^2 - 46x + 35 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $15x^2 - 25x - 21x + 35 = 0$
$5x(3x - 5) - 7(3x - 5) = 0$
$(5x - 7)(3x - 5) = 0$
अतः,$x = 7/5 = 1.4$ या $x = 5/3 \approx 1.67$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $4y^2 - 15y + 14 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $4y^2 - 8y - 7y + 14 = 0$
$4y(y - 2) - 7(y - 2) = 0$
$(4y - 7)(y - 2) = 0$
अतः,$y = 7/4 = 1.75$ या $y = 2$ है।
मानों की तुलना करने पर:
$x = 1.4, 1.67$
$y = 1.75, 2$
सभी स्थितियों में,$x < y$ है।

(A) दिए गए समीकरण:
$(i) 7x + 6y + 4z = 122$
$(ii) 4x + 5y + 3z = 88$
$(iii) 9x + 2y + z = 78$
चरण $1$: समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ का उपयोग करके $z$ को विलुप्त करें।
समीकरण $(iii)$ को $3$ से गुणा करने पर: $27x + 6y + 3z = 234$
इसमें से $(ii)$ घटाने पर: $(27x + 6y + 3z) - (4x + 5y + 3z) = 234 - 88$
$23x + y = 146 \dots (iv)$
चरण $2$: समीकरण $(i)$ और $(iii)$ का उपयोग करके $z$ को विलुप्त करें।
समीकरण $(iii)$ को $4$ से गुणा करने पर: $36x + 8y + 4z = 312$
इसमें से $(i)$ घटाने पर: $(36x + 8y + 4z) - (7x + 6y + 4z) = 312 - 122$
$29x + 2y = 190 \dots (v)$
चरण $3$: $(iv)$ और $(v)$ का उपयोग करके $x$ और $y$ का मान ज्ञात करें।
समीकरण $(iv)$ को $2$ से गुणा करने पर: $46x + 2y = 292$
इसमें से $(v)$ घटाने पर: $(46x + 2y) - (29x + 2y) = 292 - 190$
$17x = 102 \Rightarrow x = 6$
$x = 6$ को $(iv)$ में रखने पर: $23(6) + y = 146 \Rightarrow 138 + y = 146 \Rightarrow y = 8$
चरण $4$: $(iii)$ का उपयोग करके $z$ का मान ज्ञात करें।
$9(6) + 2(8) + z = 78 \Rightarrow 54 + 16 + z = 78 \Rightarrow 70 + z = 78 \Rightarrow z = 8$
अतः,$x = 6, y = 8, z = 8$। इसलिए,$x < y = z$।

(C) समीकरण $(II)$ को $2$ से गुणा करें और उसमें से समीकरण $(I)$ को घटाएं:
$2 \times (4x + 3y = 59) \Rightarrow 8x + 6y = 118$
$(8x + 6y = 118) - (7x + 6y = 110) \Rightarrow x = 8$
$x = 8$ का मान समीकरण $(I)$ में रखने पर:
$7(8) + 6y = 110$
$56 + 6y = 110$
$6y = 110 - 56 = 54$
$y = 9$
$x = 8$ का मान समीकरण $(III)$ में रखने पर:
$8 + z = 15$
$z = 7$
मानों की तुलना करने पर: $x = 8, y = 9, z = 7$। अतः,$x < y$ और $y > z$,जिसका अर्थ है कि $x < y > z$।

(D) चरण $1$: $x$ के लिए हल करें।
$x = \sqrt{(36)^{1/2} \times (1296)^{1/4}} = \sqrt{6 \times 6} = \sqrt{36} = 6$.
चरण $2$: $y$ के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें।
दिए गए समीकरण:
$(ii) \quad 2y + 3z = 33$
$(iii) \quad 6y + 5z = 71$
समीकरण $(ii)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$6y + 9z = 99$
इस परिणाम से समीकरण $(iii)$ को घटाने पर:
$(6y + 9z) - (6y + 5z) = 99 - 71$
$4z = 28 \Rightarrow z = 7$.
$z = 7$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$2y + 3(7) = 33$
$2y + 21 = 33$
$2y = 12 \Rightarrow y = 6$.
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
चूंकि $x = 6$ और $y = 6$,इसलिए $x = y$ है।

(D) समीकरण $(I)$ को $5$ से और समीकरण $(II)$ को $8$ से गुणा करने पर:
$40x + 35y = 675$
$40x + 48y = 792$
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर:
$(40x + 48y) - (40x + 35y) = 792 - 675$
$13y = 117 \Rightarrow y = 9$
$y = 9$ का मान समीकरण $(I)$ में रखने पर:
$8x + 7(9) = 135 \Rightarrow 8x + 63 = 135 \Rightarrow 8x = 72 \Rightarrow x = 9$
$y = 9$ का मान समीकरण $(III)$ में रखने पर:
$9(9) + 8z = 121 \Rightarrow 81 + 8z = 121 \Rightarrow 8z = 40 \Rightarrow z = 5$
मानों की तुलना करने पर: $x = 9, y = 9, z = 5$।
अतः,$x = y > z$।

(D) समीकरण $I$ से: $(x+y)^{3} = 1331 \implies x+y = \sqrt[3]{1331} = 11$।
अतः,$y = 11-x$।
इसे समीकरण $III$ में प्रतिस्थापित करने पर: $x(11-x) = 28 \implies 11x - x^{2} = 28$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $x^{2} - 11x + 28 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2} - 7x - 4x + 28 = 0 \implies x(x-7) - 4(x-7) = 0 \implies (x-7)(x-4) = 0$।
इस प्रकार,$x = 7$ या $x = 4$।
यदि $x = 7$ है,तो $y = 11-7 = 4$।
यदि $x = 4$ है,तो $y = 11-4 = 7$।
अब,समीकरण $II$ का उपयोग करते हुए: $x-y+z = 0 \implies z = y-x$।
स्थिति $1$: यदि $x = 7, y = 4$ है,तो $z = 4-7 = -3$।
स्थिति $2$: यदि $x = 4, y = 7$ है,तो $z = 7-4 = 3$।
चूंकि $x$ का मान $y$ से बड़ा या छोटा हो सकता है,इसलिए $x$ और $y$ के बीच कोई निश्चित संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$I. x + 3y + 4z = 96$
$II. 2x + 8z = 80$
$III. 2x + 6y = 120$
समीकरण $(III)$ से,$2x = 120 - 6y$,अतः $x = 60 - 3y$।
$x$ का मान समीकरण $(II)$ में रखने पर:
$2(60 - 3y) + 8z = 80$
$120 - 6y + 8z = 80$
$8z - 6y = -40 \Rightarrow 4z - 3y = -20 \Rightarrow 3y = 4z + 20 \Rightarrow y = \frac{4z + 20}{3}$।
$x$ और $y$ का मान समीकरण $(I)$ में रखने पर:
$(60 - 3y) + 3y + 4z = 96$
$60 + 4z = 96$
$4z = 36 \Rightarrow z = 9$।
अब,$y$ ज्ञात करें:
$y = \frac{4(9) + 20}{3} = \frac{36 + 20}{3} = \frac{56}{3} \approx 18.67$।
अब,$x$ ज्ञात करें:
$x = 60 - 3(18.67) = 60 - 56 = 4$।
मानों की तुलना करने पर: $x = 4, y = 18.67, z = 9$।
अतः,$x < z < y$,जिसका अर्थ है कि $x < y$ और $y > z$। इसलिए,$x < y > z$।

(B) समीकरण $I$ के लिए: मान लीजिए $k = \frac{3x}{3x+7}$। तब $k - \frac{1}{k} = 14 \implies k^2 - 14k - 1 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $k = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 4}}{2} = 7 \pm 5\sqrt{2}$।
चूंकि $k = \frac{3x}{3x+7}$,$x$ के लिए हल करने पर,$x$ के दोनों मूल ऋणात्मक होंगे क्योंकि परिणामी द्विघात समीकरण $126x^2 + 336x + 49 = 0$ में अचर पद और मध्य पद दोनों धनात्मक हैं।
समीकरण $II$ के लिए: मान लीजिए $m = \frac{y}{18y-5}$। तब $m - \frac{1}{m} = 2 \implies m^2 - 2m - 1 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $m = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$।
$y$ के लिए हल करने पर,$y$ के मूल धनात्मक प्राप्त होते हैं क्योंकि परिणामी द्विघात समीकरण $359y^2 - 190y + 25 = 0$ में अचर पद धनात्मक और मध्य पद ऋणात्मक है।
अतः,$x$ के सभी मान ऋणात्मक हैं और $y$ के सभी मान धनात्मक हैं,इसलिए $x < y$ है।