Refraction Through Single Curved Surface Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે: વસ્તુ અંતર $u = -15\; cm$,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = +30\; cm$,હવા માટે વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 1$,કાચ માટે વક્રીભવનાંક $\mu_2 = 1.5$.
ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-15} = \frac{1.5 - 1}{30}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{15} = \frac{0.5}{30}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{60} - \frac{1}{15}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1 - 4}{60} = \frac{-3}{60} = -\frac{1}{20}$
$v = 1.5 \times (-20) = -30\; cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ ગોલીય સપાટીની ડાબી બાજુએ $30\; cm$ અંતરે રચાય છે.

(C) ગોળાકાર સપાટી પર વક્રીભવનનું સૂત્ર $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ છે.
અહીં,પ્રકાશ કાચ $(\mu_1 = 1.5)$ માંથી હવા $(\mu_2 = 1.0)$ માં જાય છે.
પદાર્થ કેન્દ્ર પર હોવાથી,અંતર $u = -6 \ cm$ છે.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -6 \ cm$ છે (કારણ કે વક્રતા કેન્દ્ર સપાટીની ડાબી બાજુએ છે).
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.0}{v} - \frac{1.5}{-6} = \frac{1.0 - 1.5}{-6}$.
$\frac{1}{v} + \frac{1.5}{6} = \frac{-0.5}{-6}$.
$\frac{1}{v} + 0.25 = \frac{0.5}{6}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} = \frac{1 - 3}{12} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$.
આમ,$v = -6 \ cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ આભાસી છે અને પદાર્થની બાજુએ જ સપાટીથી $6 \ cm$ અંતરે રચાય છે.

(A) આપેલ છે: ગોળાનો વ્યાસ = $4 \,cm$,તેથી ત્રિજ્યા $R = 2 \,cm$.
પ્રતિબિંબ અંતર $v = -1 \,cm$ (કારણ કે તે વસ્તુની બાજુએ જ રચાતું આભાસી પ્રતિબિંબ છે).
વસ્તુ જે માધ્યમમાં છે તેનો વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 1.5$ છે.
નિરીક્ષક જે માધ્યમમાં છે તેનો વક્રીભવનાંક $\mu_2 = 1$ છે.
ગોળાકાર સપાટી પર વક્રીભવનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
અહીં,પ્રકાશ કાચમાંથી હવામાં જાય છે અને સપાટી વસ્તુની સાપેક્ષમાં અંતર્ગોળ છે,તેથી $R = -2 \,cm$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{-1} - \frac{1.5}{u} = \frac{1 - 1.5}{-2}$
$-1 - \frac{1.5}{u} = \frac{-0.5}{-2}$
$-1 - \frac{1.5}{u} = 0.25$
$-\frac{1.5}{u} = 1.25$
$u = -\frac{1.5}{1.25} = -1.2 \,cm$.
આમ,સપાટીથી પરપોટાનું અંતર $1.2 \,cm$ છે.

(A) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ એક ગોળીય સપાટી પર વક્રીભવન પામીને $\mu_{1}$ થી $\mu_{2}$ માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$
અહીં પદાર્થ હવામાં $(\mu_{1} = 1.0)$ છે અને પ્રતિબિંબ કાચમાં $(\mu_{2} = 1.5)$ છે.
ચિહ્ન પ્રણાલી મુજબ,પદાર્થનું અંતર $u = -PO = -x$ અને પ્રતિબિંબનું અંતર $v = +OQ = +x$ (કારણ કે $PO = OQ = x$). વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ધન લેવામાં આવે છે કારણ કે વક્રતા કેન્દ્ર કાચની અંદર છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1.5}{x} - \frac{1}{-x} = \frac{1.5 - 1.0}{R}$
$\frac{1.5}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0.5}{R}$
$\frac{2.5}{x} = \frac{0.5}{R}$
$x = \frac{2.5}{0.5} R = 5 R$
તેથી,અંતર $PO = 5 R$ થાય.

(B) ગોળીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
અહીં,પ્રકાશ પદાર્થ $(\mu_1 = 2)$ માંથી હવામાં $(\mu_2 = 1)$ જાય છે.
ધ્રુવ $P$ એ ઉગમબિંદુ છે. વસ્તુ $O$ પદાર્થની અંદર $P$ થી $15 \, cm$ અંતરે છે,તેથી $u = -15 \, cm$.
બહિર્ગોળ સપાટી $APB$ (ડાબી બાજુથી જોતા) માટે વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -10 \, cm$ છે (ચિહ્ન પ્રણાલી મુજબ).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{v} - \frac{2}{-15} = \frac{1 - 2}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{2}{15} = \frac{-1}{-10} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{2}{15} = \frac{3 - 4}{30} = -\frac{1}{30}$
$v = -30 \, cm$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે પ્રતિબિંબ $I$ આભાસી છે અને $P$ ની ડાબી બાજુએ $30 \, cm$ અંતરે રચાય છે.

(D) ગોળાકાર સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$ છે.
અહીં,$n_1 = 1.0$ (હવા) અને $n_2 = 1.5$ (કાચ) છે.
પદાર્થ હવામાં $P$ પર છે,તેથી $u = -PO$. ધારો કે $PO = x$,તો $u = -x$.
પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે અને કાચમાં $Q$ પાસે રચાય છે,તેથી $v = +OQ$. $PO = OQ = x$ હોવાથી,$v = +x$.
વક્રતા કેન્દ્ર કાચની અંદર છે,તેથી વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ધન લેવી: $+R$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1.5}{x} - \frac{1.0}{-x} = \frac{1.5 - 1.0}{R}$
$\frac{1.5}{x} + \frac{1.0}{x} = \frac{0.5}{R}$
$\frac{2.5}{x} = \frac{0.5}{R}$
$x = \frac{2.5}{0.5} \times R = 5R$.
આમ,$PO$ નું અંતર $5R$ છે.

(A) ગોળાકાર સપાટી પર વક્રીભવન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
અહીં,$\mu_1 = 1$ (હવા માટે),$\mu_2 = 1.5$ (કાચ માટે),$u = -15 \, cm$,અને $R = +30 \, cm$ (કારણ કે વક્રતા કેન્દ્ર ધ્રુવની જમણી બાજુએ છે).
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-15} = \frac{1.5 - 1}{30}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{15} = \frac{0.5}{30}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{60} - \frac{1}{15} = \frac{1 - 4}{60} = -\frac{3}{60} = -\frac{1}{20}$
$v = 1.5 \times (-20) = -30 \, cm$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે પ્રતિબિંબ ધ્રુવની ડાબી બાજુએ $30 \, cm$ અંતરે રચાય છે.

(C) વક્રીભવન એક ગોલીય સપાટી પર થાય છે. ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
અહીં,પ્રકાશ કાચમાંથી હવામાં જાય છે,તેથી $\mu_1 = 1.5$ અને $\mu_2 = 1$.
વસ્તુ (પરપોટો) કાચની અંદર છે,તેથી વસ્તુ અંતર $u = -3\; cm$.
બહિર્ગોળ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ઋણ લેવામાં આવે છે કારણ કે વક્રતા કેન્દ્ર આપાત પ્રકાશની બાજુએ છે,તેથી $R = -5\; cm$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1.5}{-3} = \frac{1 - 1.5}{-5}$
$\frac{1}{v} + 0.5 = \frac{-0.5}{-5}$
$\frac{1}{v} + 0.5 = 0.1$
$\frac{1}{v} = 0.1 - 0.5 = -0.4$
$v = -\frac{1}{0.4} = -2.5\; cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ આભાસી છે અને વસ્તુની બાજુએ જ સપાટીથી $2.5\; cm$ અંતરે રચાય છે.

(B) પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવન માટે:
સૂત્ર $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $\mu_1 = 1.25 = \frac{5}{4}$,$\mu_2 = 1.5 = \frac{3}{2}$,અને $u = -\infty$.
$\frac{3/2}{v_1} - \frac{5/4}{-\infty} = \frac{3/2 - 5/4}{R} \implies \frac{3}{2v_1} = \frac{1/4}{R} \implies v_1 = 6R$.
આ પ્રતિબિંબ બીજી સપાટી માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
કેન્દ્રથી આ પ્રતિબિંબનું અંતર $6R - R = 5R$ (કેન્દ્રની જમણી બાજુ) છે.
બીજી સપાટી માટે,વસ્તુ અંતર $u_2 = +(6R - 2R) = +4R$.
સૂત્ર $\frac{\mu_1}{v_2} - \frac{\mu_2}{u_2} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{-R}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\frac{5/4}{v_2} - \frac{3/2}{4R} = \frac{5/4 - 3/2}{-R} \implies \frac{5}{4v_2} - \frac{3}{8R} = \frac{-1/4}{-R} = \frac{1}{4R}$.
$\frac{5}{4v_2} = \frac{1}{4R} + \frac{3}{8R} = \frac{5}{8R} \implies v_2 = 2R$.
આ અંતર $v_2 = 2R$ બીજી સપાટીથી માપવામાં આવે છે.
તેથી કેન્દ્રથી અંતર $2R + R = 3R$ થશે.

(C) ગોળાકાર સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ છે.
અહીં,પ્રકાશ પાણીમાંથી હવામાં જાય છે. તેથી,$\mu_1 = \frac{4}{3}$ (પાણીનો વક્રીભવનાંક) અને $\mu_2 = 1$ (હવાનો વક્રીભવનાંક).
અવલોકનકાર બિંદુ $F$ પર છે. ગોળાનું કેન્દ્ર $C$ છે. ત્રિજ્યા $R = -10 \, cm$ (સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ,ધ્રુવ $F$ થી કેન્દ્ર તરફ માપતા).
વસ્તુ (માછલી) કેન્દ્ર $C$ થી જમણી તરફ $4 \, cm$ અંતરે છે. ધ્રુવ $F$ થી માછલીનું અંતર $u = -(10 + 4) = -14 \, cm$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{v} - \frac{4/3}{-14} = \frac{1 - 4/3}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{4}{42} = \frac{-1/3}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{2}{21} = \frac{1}{30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{2}{21} = \frac{7 - 20}{210} = \frac{-13}{210}$
$v = -\frac{210}{13} \approx -16.15 \, cm$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે પ્રતિબિંબ બિંદુ $F$ થી $16.15 \, cm$ અંતરે વસ્તુની બાજુએ જ રચાય છે.

(B) ગોળાકાર સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
જ્યારે છેડા $E$ થી જોવામાં આવે,ત્યારે પ્રકાશ પાણીમાંથી હવામાં જાય છે. તેથી,$\mu_1 = 4/3$,$\mu_2 = 1$. વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -10 \, cm$ (કારણ કે સપાટી વસ્તુની તરફ અંતર્ગોળ છે). વસ્તુનું અંતર $u = -(10 - 4) = -6 \, cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v} - \frac{4/3}{-6} = \frac{1 - 4/3}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{4}{18} = \frac{-1/3}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{2}{9} = \frac{1}{30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{2}{9} = \frac{3 - 20}{90} = -\frac{17}{90}$
$v = -\frac{90}{17} \approx -5.3 \, cm$
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે પ્રતિબિંબ આભાસી છે અને વસ્તુની જ બાજુએ સપાટી $E$ થી $5.3 \, cm$ અંતરે રચાય છે.

(C) વક્ર સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
અહીં,
$\mu_1 = 1.5$ (કાચનો વક્રીભવનાંક)
$\mu_2 = 1.0$ (હવાનો વક્રીભવનાંક)
$u = -3 \, cm$ (વસ્તુનું અંતર)
$R = -5 \, cm$ (વક્રતા ત્રિજ્યા,અંતર્ગોળ સપાટી માટે)
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.0}{v} - \frac{1.5}{-3} = \frac{1.0 - 1.5}{-5}$
$\frac{1}{v} + 0.5 = 0.1$
$\frac{1}{v} = -0.4$
$v = -2.5 \, cm$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકની કિંમત $2.59 \, cm$ છે.

(A) ગોલીય સપાટી માટે વક્રીભવનનું સૂત્ર: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
અહીં,$\mu_1 = 1$ (હવા),$\mu_2 = 1.5$ (માધ્યમનો વક્રીભવનાંક),$u = -OP$ અને $v = +OQ$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ માધ્યમની અંદર રચાય છે).
આપેલ છે કે $PO = OQ$,ધારો કે $OP = OQ = x$. તેથી,$u = -x$ અને $v = x$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1.5}{x} - \frac{1}{-x} = \frac{1.5 - 1}{R}$
$\frac{1.5}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0.5}{R}$
$\frac{2.5}{x} = \frac{0.5}{R}$
$x = \frac{2.5}{0.5} R = 5 R$.
તેથી,$PO = 5 R$.

(A) પ્રતિબિંબનું સ્થાન શોધવા માટે,આપણે ગોળાકાર સપાટી પરના વક્રીભવનનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
અહીં,પ્રકાશ પાણીમાંથી હવામાં જાય છે,તેથી $\mu_1 = \frac{4}{3}$ અને $\mu_2 = 1$ છે.
ગોળાકાર સપાટીની ત્રિજ્યા $R = -10 \, cm$ છે (ચિહ્ન પ્રણાલી મુજબ,કારણ કે કેન્દ્ર સપાટીની ડાબી બાજુએ છે).
માછલી કેન્દ્ર $C$ થી જમણી તરફ $4 \, cm$ અંતરે છે. ત્રિજ્યા $10 \, cm$ હોવાથી,સપાટી $E$ થી માછલીનું અંતર $u = -(10 - 4) = -6 \, cm$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{v} - \frac{4/3}{-6} = \frac{1 - 4/3}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{4}{18} = \frac{-1/3}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{2}{9} = \frac{1}{30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{2}{9} = \frac{3 - 20}{90} = \frac{-17}{90}$
$v = -\frac{90}{17} \approx -5.29 \, cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ વસ્તુની બાજુએ જ રચાય છે,જે સપાટી $E$ થી $5.29 \, cm$ અંતરે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $5.2 \, cm$ છે.

(C) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે. બિંદુવત સ્ત્રોત ગોળાની સપાટી પર $O$ બિંદુએ છે. પ્રકાશના કિરણો ગોળામાંથી પસાર થઈને વિરુદ્ધ સપાટી $P$ પરથી સમાંતર કિરણપુંજ તરીકે બહાર આવે છે.
ગોળાકાર સપાટી માટે વક્રીભવનનું સૂત્ર વાપરતા: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
અહીં,પ્રકાશ ગોળામાંથી (વક્રીભવનાંક $\mu$) હવા (વક્રીભવનાંક $1$) માં જાય છે.
તેથી,$\mu_1 = \mu$,$\mu_2 = 1$.
સપાટી $P$ થી વસ્તુનું અંતર $u$ એ ગોળાનો વ્યાસ છે,તેથી $u = -2R$.
પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે રચાય છે,તેથી $v = \infty$.
$P$ આગળ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ છે,પરંતુ વક્રતા કેન્દ્ર $P$ ની ડાબી બાજુએ હોવાથી,ત્રિજ્યા $-R$ લેવામાં આવે છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\infty} - \frac{\mu}{-2R} = \frac{1 - \mu}{-R}$.
$0 + \frac{\mu}{2R} = \frac{\mu - 1}{R}$.
$\frac{\mu}{2} = \mu - 1$.
$1 = \mu - \frac{\mu}{2} = \frac{\mu}{2}$.
$\mu = 2$.

(C) આપેલ છે: વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -10 \ cm$ (કારણ કે સપાટી માધ્યમ $X$ માં વસ્તુ તરફ અંતર્ગોળ છે),માધ્યમ $X$ (આપાત બાજુ) નો વક્રીભવનાંક $n_1 = 4/3$,અને માધ્યમ $Y$ (વક્રીભૂત બાજુ) નો વક્રીભવનાંક $n_2 = 3/2$.
ધારો કે વસ્તુને ધ્રુવથી $u = -x$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે.
ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3/2}{v} - \frac{4/3}{-x} = \frac{3/2 - 4/3}{-10}$.
$\frac{1.5}{v} + \frac{1.333}{x} = \frac{0.1667}{-10} = -0.01667$.
$\frac{1.5}{v} = -0.01667 - \frac{1.333}{x}$.
અહીં $x$ એ ધન અંતર હોવાથી,જમણી બાજુના બંને પદો ઋણ છે. તેથી,$v$ ઋણ હોવું જ જોઈએ.
$v$ નું ઋણ મૂલ્ય સૂચવે છે કે પ્રતિબિંબ વસ્તુની બાજુએ જ રચાય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રતિબિંબ હંમેશા આભાસી હોય છે.

(B) ગોળાકાર સપાટી પર વક્રીભવનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R_{surf}}$.
અહીં,પ્રકાશ બાળક (હવામાં,$\mu_1 = 1$) થી માછલી (પાણીમાં,$\mu_2 = 4/3$) તરફ જાય છે.
વસ્તુ (બાળકનું નાક) ગોળાકાર સપાટીના ધ્રુવ $P$ થી $u = -(2R - R) = -R$ અંતરે છે.
સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_{surf} = -R$ છે (કારણ કે તે આપાત પ્રકાશની દિશાની વિરુદ્ધ માપવામાં આવે છે).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4/3}{v} - \frac{1}{-R} = \frac{4/3 - 1}{-R}$
$\frac{4}{3v} + \frac{1}{R} = \frac{1/3}{-R}$
$\frac{4}{3v} = -\frac{1}{3R} - \frac{1}{R} = -\frac{4}{3R}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{R} \Rightarrow v = -R$.
આ પ્રતિબિંબ બાઉલની અંદર ધ્રુવ $P$ થી $R$ અંતરે રચાય છે. માછલી કેન્દ્રમાં ($P$ થી $R$ અંતરે) હોવાથી,કેન્દ્રથી પ્રતિબિંબનું કુલ અંતર $R + R = 2R$ થાય છે.

(C) ગોળીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ છે.
આપેલ છે: $\mu_1 = 1.5$,$\mu_2 = 4/3$,$R = -10\,cm$.
ધારો કે વસ્તુ અંતર $u = -x$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4/3}{v} - \frac{1.5}{-x} = \frac{4/3 - 1.5}{-10}$.
$\frac{4}{3v} + \frac{1.5}{x} = \frac{-1/6}{-10} = \frac{1}{60}$.
$\frac{4}{3v} = \frac{1}{60} - \frac{1.5}{x}$.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે $v > 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $\frac{1}{60} - \frac{1.5}{x} > 0$.
$\frac{1}{60} > \frac{1.5}{x} \implies x > 90\,cm$.

(D) ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$.
અહીં,$\mu_{1} = 1$,$\mu_{2} = 3/2$,$u = -\infty$,અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3/2}{v} - \frac{1}{-\infty} = \frac{3/2 - 1}{R} \Rightarrow \frac{3}{2v} = \frac{1/2}{R} \Rightarrow v = 3R$.
કિરણો ધ્રુવથી $v = 3R$ અંતરે કેન્દ્રિત થાય છે. સમરૂપ ત્રિકોણની મદદથી,પાયા પરના વ્યાસ $(d')$ અને કેન્દ્રબિંદુથી અંતર $(3R - R = 2R)$ નો ગુણોત્તર એ આપાત વ્યાસ $(d)$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $(3R)$ ના ગુણોત્તર જેટલો થાય છે:
$\frac{d'}{2R} = \frac{d}{3R} \Rightarrow d' = \frac{2}{3}d$.

(A) ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ છે.
અહીં,પ્રકાશ કાચમાંથી હવામાં જાય છે,તેથી $\mu_1 = 1.5$ અને $\mu_2 = 1.0$ છે.
અંતર્ગોળ સપાટી માટે,વક્રતા કેન્દ્ર વસ્તુની બાજુએ જ હોય છે,તેથી $R$ ઋણ લેવામાં આવે છે. ધારો કે $R = -|R|$.
સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $\frac{1.0}{v} - \frac{1.5}{u} = \frac{1.0 - 1.5}{-|R|} = \frac{-0.5}{-|R|} = \frac{0.5}{|R|}$.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,$v$ ધન હોવું જોઈએ (હવાની બાજુએ રચાયેલું). જોકે,અંતર્ગોળ સપાટી માટે,વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ ત્યારે જ શક્ય છે જો વસ્તુને એવી રીતે મૂકવામાં આવે કે વક્રીભવન પછી કિરણો કેન્દ્રિત થાય.
$v$ માટે ગોઠવતા: $\frac{1}{v} = \frac{0.5}{|R|} + \frac{1.5}{u} = \frac{0.5u + 1.5|R|}{u|R|}$.
આમ,$v = \frac{u|R|}{0.5u + 1.5|R|}$.
$v > 0$ માટે,આપણને $u > 3R$ ની શરત મળે છે જેથી વક્રીભવન પછી કિરણો કેન્દ્રિત થઈ શકે.

(C) પ્રથમ ગોળીય સપાટી પર વક્રીભવન માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$.
અહીં,$\mu_{1} = 1$ (હવા),$\mu_{2} = \mu$ (ગોળો),$u = -x = -2R$,અને પ્રતિબિંબ $I$ એ સામેની સપાટીના ધ્રુવ પર રચાય છે,તેથી પ્રથમ ધ્રુવથી પ્રતિબિંબ અંતર $v = 2R$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\mu}{2R} - \frac{1}{-2R} = \frac{\mu - 1}{R}$
$\frac{\mu}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{\mu - 1}{R}$
બંને બાજુ $2R$ વડે ગુણતા:
$\mu + 1 = 2(\mu - 1)$
$\mu + 1 = 2\mu - 2$
$\mu = 3$.

(B) ગોળાની અંદર પ્રકાશનું કિરણ મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બહાર નીકળે તે માટે,વસ્તુ ચોક્કસ અંતરે હોવી જોઈએ. જ્યારે વસ્તુને પ્રથમ સપાટીથી $R$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રતિબિંબ બીજી સપાટીથી $R$ અંતરે રચાય છે.
પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવનનું સૂત્ર વાપરતા:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R_1}$
અહીં,$\mu_1 = 1$ (હવા),$\mu_2 = \mu$ (ગોળો),$u = -R$,અને ગોળાની અંદર વક્રીભૂત કિરણ મુખ્ય અક્ષને સમાંતર હોવાથી,$v = \infty$ થાય.
$\frac{\mu}{\infty} - \frac{1}{-R} = \frac{\mu - 1}{R}$
$0 + \frac{1}{R} = \frac{\mu - 1}{R}$
$1 = \mu - 1$
$\mu = 2$

(D) પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવન માટે (હવામાંથી ગોળામાં):
સૂત્ર $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\mu_1 = 1$,$\mu_2 = \mu$,$u = -x$,અને $v$ એ પ્રથમ વક્રીભવન પછી પ્રતિબિંબનું સ્થાન છે.
અંતિમ પ્રતિબિંબ બીજી સપાટીના ધ્રુવ પર મેળવવા માટે,પ્રથમ વક્રીભવન પછી કિરણો બીજા ધ્રુવ તરફ નિર્દેશિત હોવા જોઈએ.
ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરતા,પ્રથમ સપાટી પરનું વક્રીભવન એવું હોવું જોઈએ કે કિરણો બીજા ધ્રુવ પર કેન્દ્રિત થાય.
સૂત્ર લાગુ કરતા: $\frac{\mu}{v} - \frac{1}{-x} = \frac{\mu - 1}{R}$.
કિરણો બીજા ધ્રુવ સુધી પહોંચે તે માટે,પ્રથમ સપાટી દ્વારા રચાયેલ પ્રતિબિંબ પ્રથમ ધ્રુવથી $2R$ અંતરે હોવું જોઈએ,તેથી $v = 2R$.
$v = 2R$ મૂકતા: $\frac{\mu}{2R} + \frac{1}{x} = \frac{\mu - 1}{R}$.
$x$ માટે ગોઠવતા: $\frac{1}{x} = \frac{\mu - 1}{R} - \frac{\mu}{2R} = \frac{2\mu - 2 - \mu}{2R} = \frac{\mu - 2}{2R}$.
આમ,$x = \frac{2R}{\mu - 2}$.
વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ કરતા:
જો $\mu$ વધે,તો છેદ વધે છે,તેથી $x$ ઘટે છે (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
જો $\mu = 1$ થાય,તો $x$ અવ્યાખ્યાયિત/અનંત બને છે (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
ભૌતિક પદાર્થ માટે વક્રીભવનાંક $\mu \ge 1$ હોવો જોઈએ (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
તેથી,બધા વિધાનો સાચા છે.

(D) ગોલીય સપાટી માટે વક્રીભવનનું સૂત્ર: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ છે.
આપેલ આકૃતિમાં, વક્રતા કેન્દ્ર $C$ ધ્રુવની ડાબી બાજુએ છે, તેથી $R$ ઋણ છે (ધારો કે $R = -|R|$).
તેથી, $\frac{\mu_2}{v} = \frac{\mu_1}{u} + \frac{\mu_2 - \mu_1}{-|R|}$.
કિસ્સો $(A)$: જો $\mu_2 > \mu_1$ હોય, તો $\mu_2 - \mu_1 > 0$ થાય. વાસ્તવિક વસ્તુ માટે, $u < 0$ (ધારો કે $u = -|u|$). તેથી $\frac{\mu_2}{v} = -\frac{\mu_1}{|u|} - \frac{\mu_2 - \mu_1}{|R|}$. જમણી બાજુના બંને પદો ઋણ હોવાથી, $v$ ઋણ મળે, જેનો અર્થ છે કે માત્ર આભાસી પ્રતિબિંબ જ રચાય છે.
કિસ્સો $(C)$: જો $\mu_1 > \mu_2$ હોય, તો $\mu_2 - \mu_1 < 0$ થાય. ધારો કે $\mu_1 - \mu_2 = k > 0$. તેથી $\frac{\mu_2}{v} = \frac{\mu_1}{u} + \frac{k}{|R|}$. આભાસી વસ્તુ માટે, $u > 0$. અહીં, જમણી બાજુના બંને પદો ધન હોવાથી, $v$ ધન મળે, જેનો અર્થ છે કે માત્ર વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ જ રચાય છે. આમ, આભાસી પ્રતિબિંબ રચી શકાતું નથી.
તેથી, $(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) એક ગોળીય સપાટી માટે વક્રીભવનનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
આકૃતિ $A$ માટે,$u = -x$ અને $R = +R$. તેથી,$\frac{\mu_2}{v} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R} - \frac{\mu_1}{x} = \frac{x(\mu_2 - \mu_1) - R\mu_1}{xR}$.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,$v$ ધન હોવું જોઈએ. આ $\mu_1, \mu_2, x,$ અને $R$ ના મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે. તે તમામ પરિસ્થિતિઓ માટે વાસ્તવિક હોવાની ખાતરી નથી. તેથી,આપેલા વિધાનોમાંથી કોઈ પણ સાર્વત્રિક રીતે સાચું નથી.

(D) ગોલીય સપાટી માટે વક્રીભવનનું સૂત્ર $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ છે.
આકૃતિ $A$ માટે,વસ્તુ અંતર $u = -x$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ધન $(+R)$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\mu_2}{v} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R} - \frac{\mu_1}{x} = \frac{x(\mu_2 - \mu_1) - R\mu_1}{xR}$.
આભાસી પ્રતિબિંબ માટે,$v < 0$. તેથી,$\frac{\mu_2}{v} < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{x(\mu_2 - \mu_1) - R\mu_1}{xR} < 0$.
કારણ કે $x, R > 0$,તેથી $x(\mu_2 - \mu_1) - R\mu_1 < 0$,અથવા $x(\mu_2 - \mu_1) < R\mu_1$ હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જો $\mu_2 < \mu_1$ હોય,તો $(\mu_2 - \mu_1)$ ઋણ છે. અસમતા $x(\text{ઋણ}) < R\mu_1$ એ કોઈપણ $x > 0$ માટે હંમેશા સાચી છે. આમ,જો $\mu_2 < \mu_1$ હોય તો હંમેશા આભાસી પ્રતિબિંબ રચાય છે.
કિસ્સો $2$: જો $\mu_2 > \mu_1$ હોય,તો $x < \frac{R\mu_1}{\mu_2 - \mu_1}$. આ શરત $x$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,બંને વિધાનો $(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.

(D) ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ છે.
આકૃતિ $B$ માં અંતર્ગોળ સપાટી માટે,ધ્રુવ ઉગમબિંદુ પર છે,પ્રકાશ ડાબેથી જમણે ગતિ કરે છે,તેથી સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ $u = -x$ અને $R = -R$ લેતા.
સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{-x} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{-R} \implies \frac{\mu_2}{v} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{R} - \frac{\mu_1}{x}$.
આભાસી પ્રતિબિંબ માટે,$v < 0$ હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જો $\mu_2 > \mu_1$ હોય,તો $\frac{\mu_2}{v} = -\frac{(\mu_2 - \mu_1)}{R} - \frac{\mu_1}{x}$. બંને પદો ઋણ હોવાથી,$v$ હંમેશા ઋણ મળે છે,તેથી $x$ ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે આભાસી પ્રતિબિંબ રચાય છે.
કિસ્સો $2$: જો $\mu_2 < \mu_1$ હોય,તો ધારો કે $\mu_1 - \mu_2 = \Delta\mu > 0$. તો $\frac{\mu_2}{v} = \frac{\Delta\mu}{R} - \frac{\mu_1}{x}$. આભાસી પ્રતિબિંબ માટે,$v < 0$ હોવાથી,$\frac{\Delta\mu}{R} - \frac{\mu_1}{x} < 0 \implies \frac{\Delta\mu}{R} < \frac{\mu_1}{x} \implies x < \frac{\mu_1 R}{\Delta\mu} = \frac{\mu_1 R}{\mu_1 - \mu_2}$.
આમ,વિધાન $(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(D) વસ્તુ $O$ એ વિસ્તાર $BCEF$ ના મધ્યબિંદુ પર છે. અંતર $DE = 20 \, cm$ છે. $O$ મધ્યબિંદુ પર હોવાથી,વક્ર સપાટી $D$ થી $O$ નું અંતર $u = -10 \, cm$ થશે.
વક્રીભવન વક્ર સપાટી $D$ પર થાય છે જેની વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -10 \, cm$ છે (કારણ કે વક્રતા કેન્દ્ર $D$ ની ડાબી બાજુએ છે).
ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
અહીં,$\mu_1 = 2.0$ (માધ્યમ જ્યાં વસ્તુ છે),$\mu_2 = 1.0$ (હવા),$u = -10 \, cm$,અને $R = -10 \, cm$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{v} - \frac{2}{-10} = \frac{1 - 2}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{1}{5} = \frac{-1}{-10} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{5} = \frac{1 - 2}{10} = -\frac{1}{10}$
$v = -10 \, cm$.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રતિબિંબ બિંદુ $D$ ની ડાબી બાજુએ $10 \, cm$ અંતરે રચાય છે.

(C) વસ્તુને ગોળાના કેન્દ્ર $C$ પર મૂકવામાં આવી છે.
ગોળાકાર સપાટી પર વક્રીભવન માટે,કેન્દ્રમાંથી નીકળતા પ્રકાશના કિરણો સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે (આપાતકોણ $i = 0^{\circ}$).
વક્રીભવનના નિયમો અનુસાર,જ્યારે પ્રકાશ સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,ત્યારે તે વિચલિત થયા વિના સીધો પસાર થાય છે.
તેથી,કિરણો કેન્દ્રમાંથી જ આવતા હોય તેવું લાગે છે.
આમ,પ્રતિબિંબ ગોળાના કેન્દ્ર પર રચાય છે.
સપાટીથી પ્રતિબિંબનું અંતર ગોળાની ત્રિજ્યા જેટલું એટલે કે $6 \, cm$ છે.

(C) ધારો કે નળાકારનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$ છે. કિરણ ટેબલને સમાંતર બહાર આવે છે,જેનો અર્થ છે કે તે વક્ર સપાટીમાંથી આડું બહાર આવે છે.
પ્રથમ સપાટી (સમતલ ઊભી સપાટી) માટે,વક્રીભવનનું સૂત્ર $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R_{curv}}$ છે.
અહીં,$\mu_1 = 1$,$\mu_2 = 1.5$,$u = -mR$,અને $R_{curv} = \infty$. તેથી,$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-mR} = 0$,જે $v = -1.5mR$ આપે છે. આ સમતલ સપાટીની ડાબી બાજુએ બનતું આભાસી પ્રતિબિંબ છે.
બીજી સપાટી (વક્ર સપાટી) માટે,પ્રકાશ નળાકાર $(\mu_1 = 1.5)$ માંથી હવા $(\mu_2 = 1)$ માં જાય છે. આ સપાટી માટે વસ્તુ એ પ્રથમ સપાટી દ્વારા બનેલું પ્રતિબિંબ છે,જે $u' = -(v + R) = -(1.5mR + R)$ અંતરે છે. વક્રતા ત્રિજ્યા $R_{curv} = -R$ છે (કારણ કે કેન્દ્ર ડાબી બાજુ છે).
બહાર નીકળતું કિરણ અક્ષને સમાંતર છે,તેથી પ્રતિબિંબ અંતર $v' = \infty$.
$\frac{1}{\infty} - \frac{1.5}{-(1.5mR + R)} = \frac{1 - 1.5}{-R}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\frac{1.5}{1.5mR + R} = \frac{-0.5}{-R} = \frac{0.5}{R}$.
$\frac{1.5}{R(1.5m + 1)} = \frac{0.5}{R} \implies 1.5 = 0.5(1.5m + 1) \implies 3 = 1.5m + 1 \implies 1.5m = 2 \implies m = 2/1.5 = 4/3$.

(C) જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમ (કાચ) માંથી પાતળા માધ્યમ (હવા) માં જાય છે,ત્યારે વક્રીભવનને કારણે વસ્તુ તેની મૂળ સ્થિતિ કરતા થોડી ઉપર દેખાય છે.
ગોળાકાર સપાટી માટે,વક્રીભવનનું સૂત્ર $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$ છે.
અહીં,$n_1 = \mu$ (કાચનો વક્રીભવનાંક),$n_2 = 1$ (હવાનો વક્રીભવનાંક),$u = -x$ (જ્યાં $x$ એ સપાટીથી $P$ નું અંતર છે),અને $R = -r$ (ગોળાની ત્રિજ્યા) છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{1}{v} - \frac{\mu}{-x} = \frac{1 - \mu}{-r}$ મળે છે.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને જાણવા મળે છે કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક વસ્તુ $P$ કરતા સપાટીની નજીક રચાય છે.
અવલોકનકાર જમણી બાજુ હોવાથી,$P$ માંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો સપાટી પર વક્રીભવન પામે છે અને તે અવલોકનકાર તરફ ખસેડાયેલા બિંદુમાંથી આવતા હોય તેવું લાગે છે (એટલે કે $O$ ની જમણી તરફ અને સપાટીની નજીક).
તેથી,બિંદુ $P$ અવલોકનકાર તરફ ખસેડાયેલું દેખાય છે.

(A) બહિર્ગોળ સપાટી (ત્રિજ્યા $R$) પર પ્રથમ વક્રીભવન માટે:
સૂત્ર $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\mu_1 = 1$,$\mu_2 = \mu$,$u = -2R$,અને $R_1 = +R$.
$\frac{\mu}{v_1} - \frac{1}{-2R} = \frac{\mu - 1}{R} \implies \frac{\mu}{v_1} = \frac{\mu - 1}{R} - \frac{1}{2R} = \frac{2\mu - 3}{2R} \implies v_1 = \frac{2\mu R}{2\mu - 3}$.
અંતર્ગોળ સપાટી (ત્રિજ્યા $R/2$) પર બીજા વક્રીભવન માટે:
વસ્તુ અંતર $u_2 = v_1 - 3R = \frac{2\mu R}{2\mu - 3} - 3R = \frac{2\mu R - 6\mu R + 9R}{2\mu - 3} = \frac{R(9 - 4\mu)}{2\mu - 3}$.
અહીં $\mu_1 = \mu$,$\mu_2 = 1$,અને $R_2 = +R/2$.
સૂત્ર $\frac{1}{v_f} - \frac{\mu}{u_2} = \frac{1 - \mu}{R/2} = \frac{2(1 - \mu)}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\frac{1}{v_f} = \frac{2(1 - \mu)}{R} + \frac{\mu(2\mu - 3)}{R(9 - 4\mu)} = \frac{10\mu^2 - 29\mu + 18}{R(9 - 4\mu)}$.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,$v_f > 0$ હોવું જોઈએ. તેથી $\frac{(10\mu - 9)(\mu - 2)}{9 - 4\mu} > 0$.
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને $2 < \mu < 2.25$ મળે છે.

(C) જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમ (કાચ) માંથી પાતળા માધ્યમ (હવા) માં જાય છે,ત્યારે તે લંબથી દૂર જાય છે.
ગોળાકાર સપાટી માટે,વક્રીભવનનું સૂત્ર $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$ છે.
અહીં,$n_1 = \mu$ (કાચનો વક્રીભવનાંક),$n_2 = 1$ (હવાનો વક્રીભવનાંક),$u = -x$ (જ્યાં $x$ એ સપાટીથી $P$ નું અંતર છે),અને $R = -R_{sphere}$ (કારણ કે સપાટી વસ્તુ તરફ અંતર્ગોળ છે).
નાના ખૂણાઓ માટે (લંબરૂપે જોતા),પ્રતિબિંબ $I$ એ વસ્તુ $P$ કરતા સપાટીની નજીક રચાય છે.
આપેલ ઉકેલની આકૃતિમાં જોયા મુજબ,$P$ માંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો સપાટી પર વક્રીભવન પામે છે અને બિંદુ $I$ માંથી આવતા દેખાય છે જે $P$ અને ગોળાની સપાટીની વચ્ચે સ્થિત છે.
તેથી,બિંદુ $P$ અવલોકનકાર તરફ ખસેલું દેખાય છે,એટલે કે $P$ અને અવલોકનકારની વચ્ચે.

(A) ગોલીય સપાટી દ્વારા વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{n_{2}}{v} - \frac{n_{1}}{u} = \frac{n_{2} - n_{1}}{R}$
આપેલ છે:
$n_{1} = 1$ (પ્રથમ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક)
$n_{2} = 3/2$ (બીજા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક)
$u = -50 \, cm$ (વસ્તુ અંતર,સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ)
$R = +10 \, cm$ (વક્રતા ત્રિજ્યા,કારણ કે સપાટી આપાત પ્રકાશની સાપેક્ષે બહિર્ગોળ છે)
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3/2}{v} - \frac{1}{-50} = \frac{3/2 - 1}{10}$
$\frac{3}{2v} + \frac{1}{50} = \frac{0.5}{10} = \frac{1}{20}$
$\frac{3}{2v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{50} = \frac{5 - 2}{100} = \frac{3}{100}$
$\frac{3}{2v} = \frac{3}{100}$
$2v = 100$
$v = +50 \, cm$

(D) આપાત કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર છે,તેથી વસ્તુ અંતર $u = -\infty$ છે.
કિરણો ગોળાની પાછળની સપાટી પર કેન્દ્રિત થાય છે,તેથી પ્રતિબિંબ અંતર $v = 2R$ (ગોળાનો વ્યાસ) છે.
ગોળાકાર સપાટી પર વક્રીભવનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R_{surface}}$.
અહીં,$\mu_1 = 1$ (હવા),$\mu_2 = \mu$ (ક્રિસ્ટલ),$u = -\infty$,$v = 2R$,અને પ્રથમ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\mu}{2R} - \frac{1}{-\infty} = \frac{\mu - 1}{R}$.
કારણ કે $\frac{1}{\infty} = 0$,આપણને મળે છે: $\frac{\mu}{2R} = \frac{\mu - 1}{R}$.
બંને બાજુ $R$ વડે ગુણતા: $\frac{\mu}{2} = \mu - 1$.
પદોને ગોઠવતા: $1 = \mu - \frac{\mu}{2} = \frac{\mu}{2}$.
તેથી,$\mu = 2$.

(B) ગોલીય સપાટી માટે વક્રીભવનનું સૂત્ર વાપરતા: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
આપેલ છે: $\mu_1 = 1$ (હવા),$\mu_2 = 1.5$ (કાચ),$R = +20 \, cm$ (બહિર્ગોળ સપાટી),અને $u = -100 \, cm$ (પ્રકાશનું ઉદગમ સપાટીની આગળ છે).
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-100} = \frac{1.5 - 1}{20}$.
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{100} = \frac{0.5}{20}$.
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{40} - \frac{1}{100}$.
$\frac{1.5}{v} = \frac{5 - 2}{200} = \frac{3}{200}$.
$v = \frac{1.5 \times 200}{3} = \frac{300}{3} = 100 \, cm$.
પ્રતિબિંબ સપાટીથી $100 \, cm$ ના અંતરે રચાશે.

(D) ગોળાકાર સપાટી પર વક્રીભવનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$
અહીં,પ્રકાશ હવા $(\mu_{1} = 1)$ માંથી ગોળા $(\mu_{2} = \mu)$ માં પ્રવેશે છે.
વસ્તુ અનંત અંતરે છે $(u = -\infty)$,અને પ્રતિબિંબ વ્યાસના બીજા છેડે રચાય છે,તેથી પ્રતિબિંબ અંતર $v = 2R$ છે.
પ્રથમ સપાટી માટે વક્રતા ત્રિજ્યા $R = +R$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\mu}{2R} - \frac{1}{-\infty} = \frac{\mu - 1}{R}$
$\frac{\mu}{2R} - 0 = \frac{\mu - 1}{R}$
$\frac{\mu}{2} = \mu - 1$
$1 = \mu - \frac{\mu}{2}$
$1 = \frac{\mu}{2}$
$\mu = 2$

(C) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે. પ્રકાશનો સ્ત્રોત સપાટી પર છે,તેથી બીજી સપાટીથી વસ્તુ અંતર $u = -2R$ (ગોળાનો વ્યાસ) થશે.
ગોળાકાર સપાટી પર વક્રીભવનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R'}$
અહીં,$\mu_1 = \mu$ (ગોળાનો વક્રીભવનાંક),$\mu_2 = 1$ (હવાનો વક્રીભવનાંક),$v = \infty$ (કારણ કે બહાર આવતું કિરણ સમાંતર છે),$u = -2R$,અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R' = -R$ (કારણ કે વક્રતા કેન્દ્ર બીજી સપાટીની ડાબી બાજુએ છે).
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\infty} - \frac{\mu}{-2R} = \frac{1 - \mu}{-R}$
$0 + \frac{\mu}{2R} = \frac{\mu - 1}{R}$
$\frac{\mu}{2} = \mu - 1$
$\mu = 2\mu - 2$
$\mu = 2$

(D) એક ગોળીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$ છે.
અહીં,$\mu_{1} = 1$ (હવા),$\mu_{2} = 1.34$ (આંખનું માધ્યમ),$R = 7.8 \, mm = 0.78 \, cm$,અને $u = -\infty$ (સમાંતર કિરણ).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.34}{v} - \frac{1}{-\infty} = \frac{1.34 - 1}{0.78}$
$\frac{1.34}{v} - 0 = \frac{0.34}{0.78}$
$v = \frac{1.34 \times 0.78}{0.34} \approx 3.074 \, cm$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $v \approx 3.1 \, cm$ મળે છે.

(D) એક વક્ર સપાટી માટે,વક્રીભવનનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
આપેલ છે: $\mu_1 = 1$,$\mu_2 = 1.5$,$R = +10 \, cm$ (કારણ કે સપાટી પાતળા માધ્યમ તરફ બહિર્ગોળ છે),અને સમાંતર આપાત કિરણો માટે,$u = \infty$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{\infty} = \frac{1.5 - 1}{10}$
$\frac{1.5}{v} - 0 = \frac{0.5}{10}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{20}$
$v = 1.5 \times 20 = 30 \, cm$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ સમાંતર આપાત કિરણો માટે પ્રતિબિંબ અંતર હોવાથી,$f = 30 \, cm$.

(B) ગોળીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ છે.
અહીં,વસ્તુ અંતર $u = -2.0 \, m$,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = +2.0 \, m$,અને પ્રથમ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 1.0$ (હવા) છે.
ઉપરના ભાગ માટે,$\mu_2 = 1.6$:
$\frac{1.6}{v_1} - \frac{1.0}{-2.0} = \frac{1.6 - 1.0}{2.0} \Rightarrow \frac{1.6}{v_1} + 0.5 = 0.3 \Rightarrow \frac{1.6}{v_1} = -0.2 \Rightarrow v_1 = -8.0 \, m$.
નીચેના ભાગ માટે,$\mu_2 = 2.0$:
$\frac{2.0}{v_2} - \frac{1.0}{-2.0} = \frac{2.0 - 1.0}{2.0} \Rightarrow \frac{2.0}{v_2} + 0.5 = 0.5 \Rightarrow \frac{2.0}{v_2} = 0 \Rightarrow v_2 = \infty$.
પ્રતિબિંબો વચ્ચેનું અંતર $|v_2 - v_1| = |\infty - (-8.0)| = \infty$ છે.

(A) આપેલ છે: $\mu_{1} = 1.0$,$\mu_{2} = 1.5$,$R = +20 \, cm$ (કારણ કે વક્રતા કેન્દ્ર $C$ ધ્રુવ $P$ ની જમણી બાજુ છે),અને $u = -25 \, cm$ (કારણ કે વસ્તુ $S$ ધ્રુવ $P$ ની ડાબી બાજુ છે).
ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1.0}{-25} = \frac{1.5 - 1.0}{20}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{25} = \frac{0.5}{20}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{40} - \frac{1}{25}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{5 - 8}{200} = \frac{-3}{200}$
$v = \frac{1.5 \times 200}{-3} = -100 \, cm$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ ધ્રુવ $P$ ની ડાબી બાજુ $100 \, cm$ અંતરે રચાય છે.

(A) વક્રીભવનાંક $\mu$ ધરાવતા માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $V = \frac{c}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
પ્રથમ માધ્યમ માટે,$\mu_1 = 4/3$,તેથી ઝડપ $V_1 = \frac{c}{4/3} = \frac{3c}{4}$ છે.
અંતર $AB = 7 \text{ cm}$ છે. લાગતો સમય $t_1 = \frac{AB}{V_1} = \frac{7}{3c/4} = \frac{28}{3c}$ છે.
બીજા માધ્યમ માટે,$\mu_2 = 3/2$,તેથી ઝડપ $V_2 = \frac{c}{3/2} = \frac{2c}{3}$ છે.
અંતર $BC = 3 \text{ cm}$ છે. લાગતો સમય $t_2 = \frac{BC}{V_2} = \frac{3}{2c/3} = \frac{9}{2c}$ છે.
સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \frac{28/3c}{9/2c} = \frac{28}{3} \times \frac{2}{9} = \frac{56}{27}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $56 : 27$ છે.

(A) ગોળાકાર સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ છે.
અહીં,પ્રકાશ પાણી $(\mu_1 = 4/3)$ માંથી હવામાં $(\mu_2 = 1)$ જાય છે.
આપાત કિરણપુંજ સમાંતર હોવાથી,વસ્તુ અંતર $u = \infty$ છે.
પ્રથમ સપાટી માટે વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -2 \, cm$ છે (ચિહ્ન પ્રણાલી મુજબ,કારણ કે વક્રતા કેન્દ્ર સપાટીની ડાબી બાજુએ છે).
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v} - \frac{4/3}{\infty} = \frac{1 - 4/3}{-2}$.
$\frac{1}{v} - 0 = \frac{-1/3}{-2} = \frac{1}{6}$.
તેથી,$v = 6 \, cm$.
પ્રતિબિંબ પ્રથમ સપાટીથી પ્રકાશના પ્રસરણની દિશામાં $6 \, cm$ અંતરે રચાય છે.

(B) ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{n_{2}}{v} - \frac{n_{1}}{u} = \frac{n_{2} - n_{1}}{R}$
આપેલ છે:
$n_{1} = 1$ (પાતળા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક)
$n_{2} = 2$ (ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક)
$u = -20 \, cm$ (વસ્તુ અંતર,સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ)
$R = +10 \, cm$ (બહિર્ગોળ સપાટી માટે વક્રતા ત્રિજ્યા)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{v} - \frac{1}{-20} = \frac{2 - 1}{10}$
$\frac{2}{v} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10}$
$\frac{2}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20}$
$\frac{2}{v} = \frac{2 - 1}{20} = \frac{1}{20}$
$v = 40 \, cm$
અહીં $v$ ધન હોવાથી,પ્રતિબિંબ ધ્રુવથી $40 \, cm$ અંતરે ઘટ્ટ માધ્યમની અંદર રચાય છે.

(B) ગોળીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ છે.
અહીં,પ્રકાશ કાચમાંથી હવામાં જાય છે,તેથી $\mu_1 = 1.5$ અને $\mu_2 = 1$ છે.
વસ્તુ કેન્દ્રની ડાબી બાજુ $1.5\, cm$ અંતરે છે. ગોળાની ત્રિજ્યા $5.0\, cm$ હોવાથી,વસ્તુ ગોળાની ડાબી સપાટીથી $5.0 - 1.5 = 3.5\, cm$ અંતરે છે.
ડાબી સપાટીને ધ્રુવ તરીકે લેતા,$u = -3.5\, cm$ અને $R = -5.0\, cm$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1.5}{-3.5} = \frac{1 - 1.5}{-5.0}$
$\frac{1}{v} + \frac{1.5}{3.5} = \frac{-0.5}{-5.0}$
$\frac{1}{v} + \frac{3}{7} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{3}{7} = \frac{7 - 30}{70} = -\frac{23}{70}$
$v = -\frac{70}{23} \approx -3.04\, cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ ધ્રુવ (સપાટી) ની ડાબી બાજુએ રચાય છે. કેન્દ્રથી અંતર $5.0 - 3.04 = 1.96\, cm \approx 2.0\, cm$ કેન્દ્રની ડાબી બાજુએ મળે છે.

(B) ગોળાકાર સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$ છે.
અહીં,પ્રકાશ હવામાંથી $(\mu_{1} = 1)$ ગોળામાં $(\mu_{2} = \mu)$ જાય છે.
વસ્તુ અનંત અંતરે છે,તેથી $u = -\infty$.
પ્રતિબિંબ દૂરની સપાટી પર રચાય છે,તેથી પ્રથમ સપાટીથી અંતર વ્યાસ જેટલું એટલે કે $v = 2r$ થાય.
પ્રથમ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R = r$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\mu}{2r} - \frac{1}{-\infty} = \frac{\mu - 1}{r}$
$\frac{1}{\infty} = 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{\mu}{2r} = \frac{\mu - 1}{r}$
બંને બાજુ $r$ વડે ગુણતા:
$\frac{\mu}{2} = \mu - 1$
$\mu = 2\mu - 2$
$\mu = 2$.

(B) એક ગોળીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$\mu_{1} = \frac{4}{3} \approx 1.33$
$\mu_{2} = 1.6$
$u = -200 \, cm$ (સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ વસ્તુ અંતર ઋણ લેવામાં આવે છે)
$R = +20 \, cm$ (બહિર્ગોળ સપાટી માટે વક્રતા ત્રિજ્યા ધન હોય છે)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.6}{v} - \frac{4/3}{-200} = \frac{1.6 - 4/3}{20}$
$\frac{1.6}{v} + \frac{4}{600} = \frac{1.6 - 1.333}{20}$
$\frac{1.6}{v} + \frac{1}{150} = \frac{0.2666}{20}$
$\frac{1.6}{v} + 0.00666 = 0.01333$
$\frac{1.6}{v} = 0.01333 - 0.00666 = 0.00666$
$\frac{1.6}{v} = \frac{1}{150}$
$v = 1.6 \times 150 = 240 \, cm$.
આમ,પ્રતિબિંબ વક્રીભવનકારક સપાટીથી $240 \, cm$ ના અંતરે રચાય છે.

(B) આપેલ છે: $u = -100\; cm$,$n_1 = 1$ (હવા),$n_2 = 1.5$ (કાચ),$R = +20\; cm$ (બહિર્ગોળ સપાટી).
ગોળીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર વાપરતા:
$\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-100} = \frac{1.5 - 1}{20}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{100} = \frac{0.5}{20}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{0.5}{20} - \frac{1}{100}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{2.5 - 1}{100} = \frac{1.5}{100}$
$v = 100\; cm$.
પ્રતિબિંબ કાચની સપાટીથી $100\; cm$ અંતરે આપાત પ્રકાશની દિશામાં રચાશે.

(N/A) ગોલીય સપાટીના એક અત્યંત સૂક્ષ્મ ભાગને સમતલ તરીકે ગણી શકાય છે અને સપાટીના દરેક બિંદુ પર વક્રીભવનના નિયમો લાગુ પાડી શકાય છે.
આપાત બિંદુએ દોરેલો લંબ એ તે બિંદુએ ગોલીય સપાટીને દોરેલા સ્પર્શકને લંબ હોય છે અને તેથી તે હંમેશા વક્રતા કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
જ્યારે પ્રકાશ આવી બે સપાટીઓમાંથી પસાર થાય છે (જેમ કે લેન્સમાં),ત્યારે પ્રથમ સપાટી દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ બીજી સપાટી માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. બંને સપાટીઓ માટે ક્રમશઃ વક્રીભવનનું સૂત્ર $n_2/v - n_1/u = (n_2 - n_1)/R$ લાગુ પાડતા,આપણે લેન્સ મેકરનું સૂત્ર મેળવી શકીએ છીએ.