Critical Angle and Total Internal Reflection Questions in Hindi

(B) लड़की केवल उन प्रकाश किरणों को देख सकती है जो अपवर्तित होकर $90^{\circ}$ या उससे कम के कोण पर कांच के स्लैब से बाहर निकलती हैं,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
पानी-हवा इंटरफेस पर स्नेल के नियम को लागू करने पर:
$n_w \sin r = n_a \sin 90^{\circ}$
$\frac{4}{3} \sin r = 1 \times 1$
$\sin r = \frac{3}{4}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan r = \frac{\sin r}{\sqrt{1 - \sin^2 r}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan r = \frac{3/4}{\sqrt{1 - (3/4)^2}} = \frac{3/4}{\sqrt{7/16}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$
समस्या की ज्यामिति के अनुसार,पूल के तल पर दिखाई देने वाले क्षेत्र की त्रिज्या $R = x + r_{slab}$ है,जहाँ $r_{slab} = 0.3 \,m$ (स्लैब की त्रिज्या) और $x = h \tan r$ है।
$x = 6 \times \frac{3}{\sqrt{7}} \approx 6 \times \frac{3}{2.645} \approx 6.8 \,m$.
तल पर दिखाई देने वाले गोलाकार क्षेत्र की कुल त्रिज्या $R = 6.8 + 0.3 = 7.1 \,m$ है।
क्षेत्रफल $A = \pi R^2 = \pi \times (7.1)^2 \approx 3.14 \times 50.41 \approx 158.3 \,m^2$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,क्षेत्रफल लगभग $160 \,m^2$ है।

(A) फलकों पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,प्रत्येक फलक पर आपतन कोण क्रांतिक कोण $\theta_c$ से अधिक होना चाहिए।
प्रिज्म की ज्यामिति से,दो फलकों पर आपतन कोण $(45^{\circ} + r)$ और $(45^{\circ} - r)$ हैं,जहाँ $r$ पहली सतह पर अपवर्तन कोण है।
दोनों फलकों पर $TIR$ होने के लिए: $45^{\circ} + r > \theta_c$ और $45^{\circ} - r > \theta_c$.
अधिक प्रतिबंधात्मक शर्त $45^{\circ} - r > \theta_c$ है।
चूंकि $\sin r = \frac{\sin 45^{\circ}}{\mu} = \frac{1}{\mu\sqrt{2}}$,इसलिए $r = \arcsin\left(\frac{1}{\mu\sqrt{2}}\right)$.
इसे $45^{\circ} - r > \theta_c$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $45^{\circ} - \theta_c > r$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का साइन लेने पर: $\sin(45^{\circ} - \theta_c) > \sin r$.
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर और यह जानते हुए कि $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$ और $\cos \theta_c = \frac{\sqrt{\mu^2-1}}{\mu}$:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{\mu^2-1}}{\mu} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\mu} > \frac{1}{\mu\sqrt{2}}$.
$\mu\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,हमें $\sqrt{\mu^2-1} - 1 > 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\sqrt{\mu^2-1} > 2$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\mu^2 - 1 > 4$,इसलिए $\mu^2 > 5$,या $\mu > \sqrt{5}$.

(C) सतह $BC$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $C$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
समद्विबाहु समकोण प्रिज्म की ज्यामिति से,प्रकाश किरण सतह $AB$ पर लंबवत प्रवेश करती है और सतह $BC$ पर $i = 45^{\circ}$ के आपतन कोण पर टकराती है।
$TIR$ होने के लिए शर्त $i \geq C$ है,जहाँ $C$ क्रांतिक कोण है।
इसलिए,$45^{\circ} \geq C$.
दोनों तरफ साइन (sine) लेने पर,$\sin 45^{\circ} \geq \sin C$.
हम जानते हैं कि $\sin C = \frac{1}{\mu}$,जहाँ $\mu$ प्रिज्म का अपवर्तनांक है।
अतः,$\sin 45^{\circ} \geq \frac{1}{\mu}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} \geq \frac{1}{\mu}$.
$\mu \geq \sqrt{2}$.
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए अपवर्तनांक $\mu$ का न्यूनतम मान लगभग $1.42$ है।

(D) ऑप्टिकल फाइबर का संख्यात्मक एपर्चर $(NA)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$NA = \sqrt{\mu_1^2 - \mu_2^2}$
जहाँ $\mu_1$ कोर का अपवर्तनांक है और $\mu_2$ क्लैडिंग का अपवर्तनांक है।
दिया गया है: $\mu_1 = 1.68$,$\mu_2 = 1.44$.
मान रखने पर:
$NA = \sqrt{(1.68)^2 - (1.44)^2}$
$NA = \sqrt{2.8224 - 2.0736}$
$NA = \sqrt{0.7488}$
$NA \approx 0.8653$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) प्रकाश प्रिज्म के छोटे फलक से अभिलंबवत प्रवेश करता है। ज्यामिति के अनुसार,कर्ण फलक पर आपतन कोण $i = 60^{\circ}$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण का मान प्रिज्म और द्रव के बीच के अंतरापृष्ठ के क्रांतिक कोण $C$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,$i \geq C$,जिसका अर्थ है $\sin i \geq \sin C$.
यहाँ,$i = 60^{\circ}$,इसलिए $\sin 60^{\circ} \geq \frac{\mu_{\text{liquid}}}{\mu_{\text{prism}}}$.
मान रखने पर: $\frac{\sqrt{3}}{2} \geq \frac{\mu_{\text{liquid}}}{1.50}$.
$\mu_{\text{liquid}} \leq 1.50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.50 \times 0.866 = 1.299 \approx 1.30$.
अतः,द्रव का अधिकतम अपवर्तनांक $1.30$ है।

(B) ऊर्ध्वाधर सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,ऊर्ध्वाधर सतह पर आपतन कोण $i'$,क्रांतिक कोण $C$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
यहाँ $\mu_1 = 1.0$ और $\mu_2 = 1.25 = \frac{5}{4}$ दिया गया है।
क्रांतिक कोण $C$ का मान $\sin C = \frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{1}{1.25} = \frac{4}{5}$ है।
अतः,$i' \ge C$,जिसका अर्थ है $\sin i' \ge \frac{4}{5}$।
किरण आरेख की ज्यामिति से,शीर्ष क्षैतिज सतह पर अपवर्तन कोण $r$ और ऊर्ध्वाधर सतह पर आपतन कोण $i'$ के बीच संबंध $r + i' = 90^{\circ}$ है,इसलिए $i' = 90^{\circ} - r$।
$TIR$ के लिए,$i' \ge C \implies 90^{\circ} - r \ge C \implies r \le 90^{\circ} - C$।
अधिकतम $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हमें अधिकतम $r$ की आवश्यकता है,जो $r = 90^{\circ} - C$ होने पर प्राप्त होता है।
क्षैतिज सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $1.0 \times \sin \theta = 1.25 \times \sin r$।
$\sin \theta_{\max} = 1.25 \times \sin(90^{\circ} - C) = 1.25 \times \cos C$।
चूँकि $\sin C = \frac{4}{5}$,इसलिए $\cos C = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \frac{3}{5}$।
अतः,$\sin \theta_{\max} = \frac{5}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{4}$।
इस प्रकार,$\theta_{\max} = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।

(B) क्रांतिक कोण $i_C$,अपवर्तनांक $\mu$ और दोनों माध्यमों में प्रकाश की चाल के बीच संबंध $\sin i_C = \frac{1}{\mu} = \frac{v_d}{v_r}$ है,जहाँ $v_d$ सघन माध्यम में प्रकाश की चाल है और $v_r$ विरल माध्यम में प्रकाश की चाल है।
दिया गया है: $i_C = 45^{\circ}$ और $v_r = 3 \times 10^8 \, m/s$.
मान रखने पर: $\sin 45^{\circ} = \frac{v_d}{3 \times 10^8}$.
चूँकि $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{v_d}{3 \times 10^8}$.
अतः,$v_d = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{2}} \approx 2.12 \times 10^8 \, m/s$.

(A) हवा में प्रकाश की गति $V_1 = \frac{x}{t_1}$ है।
सघन माध्यम में प्रकाश की गति $V_2 = \frac{10x}{t_2}$ है।
हवा के सापेक्ष माध्यम का अपवर्तनांक $n = \frac{V_1}{V_2} = \frac{x/t_1}{10x/t_2} = \frac{t_2}{10 t_1}$ द्वारा दिया जाता है।
क्रांतिक कोण $\theta_c$ को $\sin \theta_c = \frac{1}{n}$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।
$n$ का मान रखने पर,हमें $\sin \theta_c = \frac{1}{t_2 / (10 t_1)} = \frac{10 t_1}{t_2}$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रांतिक कोण $\theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{10 t_1}{t_2}\right)$ है।

(A) क्रांतिक कोण $\theta_c$ का सूत्र $\sin \theta_c = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu_1$ सघन माध्यम का अपवर्तनांक है और $\mu_2$ विरल माध्यम का अपवर्तनांक है।
दिया गया है $\theta_c = 45^{\circ}$।
मान रखने पर: $\sin 45^{\circ} = \frac{\mu_2}{\mu_1}$।
चूँकि $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\mu_2}{\mu_1}$।
अतः,पहले माध्यम और दूसरे माध्यम के अपवर्तनांक का अनुपात $\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{\sqrt{2}}{1}$ या $\sqrt{2}: 1$ है।

(C) जब प्रकाश की किरण सघन माध्यम (जल) से विरल माध्यम (हवा) में यात्रा करती है और आपतन कोण $\theta$ क्रांतिक कोण से कम होता है,तो आंशिक परावर्तन और आंशिक अपवर्तन होता है।
$1$. परावर्तित किरण जल माध्यम में अभिलंब के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
$2$. अपवर्तित किरण हवा माध्यम में अभिलंब के साथ $r$ कोण बनाती है। स्नेल के नियम के अनुसार,$n_w \sin \theta = n_a \sin r$। चूंकि $n_w > n_a$,इसलिए $\sin r > \sin \theta$,जिसका अर्थ है $r > \theta$।
$3$. परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण के बीच का कोण $\phi = 180^{\circ} - (\theta + r)$ है।
$4$. चूंकि $r > \theta$,इसलिए $\theta + r > 2\theta$ होगा।
$5$. अतः,$180^{\circ} - (\theta + r) < 180^{\circ} - 2\theta$।
$6$. इस प्रकार,परावर्तित और अपवर्तित किरणों के बीच का कोण $180^{\circ} - 2\theta$ से कम होता है।

(B) बिंदु स्रोत से आने वाली प्रकाश किरणें ऊपरी सतह से तभी बाहर निकलेंगी यदि ऊपरी सतह पर आपतन कोण क्रांतिक कोण $\theta_c$ से कम या उसके बराबर हो।
क्रांतिक कोण $\theta_c$ का सूत्र $\sin \theta_c = 1/\mu$ है।
यहाँ $\mu = 5/3$ दिया गया है,इसलिए $\sin \theta_c = 1 / (5/3) = 3/5$ है।
समस्या की ज्यामिति से,$\tan \theta_c = R / h$,जहाँ $h = 8 \text{ cm}$ स्लैब की मोटाई है।
चूँकि $\sin \theta_c = 3/5$ है,हम एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं जिसमें सम्मुख भुजा $3$ और कर्ण $5$ है। आसन्न भुजा $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ होगी।
अतः,$\tan \theta_c = 3/4$ है।
मान रखने पर,$3/4 = R / 8$ प्राप्त होता है।
$R = (3 \times 8) / 4 = 6 \text{ cm}$।
अतः,$R$ का मान $6$ है।

(C) जब प्रकाश की किरण सघन माध्यम (कांच) से विरल माध्यम (वायु) में जाती है,तो यह क्रांतिक कोण $\theta_c$ से कम आपतन कोण $\theta$ के लिए आंशिक परावर्तन और आंशिक संचरण का अनुभव करती है।
जैसे-जैसे $\theta$,$0$ से $\theta_c$ तक बढ़ता है,परावर्तित तीव्रता $(R)$ बढ़ती है और संचरित तीव्रता $(T)$ घटती है।
क्रांतिक कोण $\theta = \theta_c$ पर,अपवर्तन कोण $90^\circ$ हो जाता है,और संचरित तीव्रता शून्य हो जाती है।
$\theta \geq \theta_c$ आपतन कोण के लिए,पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है,जिसका अर्थ है कि सभी आपतित प्रकाश कांच के माध्यम में वापस परावर्तित हो जाते हैं। इस प्रकार,$\theta \geq \theta_c$ के लिए,परावर्तित तीव्रता $(R)$ $100\%$ हो जाती है और संचरित तीव्रता $(T)$ $0$ हो जाती है।
इस व्यवहार की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $(C)$ में दिया गया ग्राफ इन विशेषताओं को सही ढंग से दर्शाता है: $\theta_c$ तक $T$ घटता है और $R$ बढ़ता है,जिस बिंदु पर $R$ बढ़कर $100\%$ हो जाता है और सभी $\theta \geq \theta_c$ के लिए $T$ घटकर $0$ हो जाता है।

(B) अधिकतम समय के लिए,प्रकाश किरण को सभी सतहों पर न्यूनतम संभव कोण यानी क्रांतिक कोण $\theta_c$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ से गुजरना चाहिए।
$TIR$ के लिए,स्थिति $n_1 \sin \theta_c = n_2$ है।
$\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.44}{1.5} = 0.96$.
माध्यम $n_1$ में प्रकाश की गति $v = \frac{c}{n_1} = \frac{3 \times 10^8}{1.5} = 2 \times 10^8 \ m/s$ है।
मान लीजिए संरचना के अंदर किरण की कुल पथ लंबाई $D$ है। क्षैतिज लंबाई $L$ है। किरण सतह के अभिलंब के साथ $\theta_c$ कोण बनाती है। इसलिए,पथ का क्षैतिज घटक $D \sin \theta_c = L$ है।
अतः,$D = \frac{L}{\sin \theta_c}$.
लगा समय $t_{total} = \frac{D}{v} = \frac{L}{v \sin \theta_c} = \frac{9.6}{(2 \times 10^8) \times 0.96} = \frac{9.6}{1.92 \times 10^8} = 5 \times 10^{-8} \ s = 50 \times 10^{-9} \ s$.
इसलिए,$t = 50$.

(A) दिया गया है: $\sin \theta > \frac{1}{n_1}$.
$n_1-n_2$ इंटरफ़ेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $n_1 \sin \theta = n_2 \sin \theta_2$,इसलिए $\sin \theta_2 = \frac{n_1}{n_2} \sin \theta$.
$n_2$-हवा इंटरफ़ेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $n_2 \sin \theta_2 = 1 \cdot \sin \theta_3$,इसलिए $\sin \theta_3 = n_2 \sin \theta_2 = n_1 \sin \theta$.
चूँकि $\sin \theta > \frac{1}{n_1}$,हमारे पास $n_1 \sin \theta > 1$ है,जिसका अर्थ है $\sin \theta_3 > 1$. यह एक वास्तविक कोण $\theta_3$ के लिए असंभव है,जिसका अर्थ है कि किरण $n_2$-हवा इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती है।
$(A)$ यदि $n_2 = n_1$ है,तो $\sin \theta_3 = n_1 \sin \theta > 1$. किरण हवा में प्रवेश नहीं करती है। कथन $(A)$ गलत है।
$(B)$ यदि $n_2 < n_1$ है,तो किरण $n_2$-हवा इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती है। इसके बाद,$n_1-n_2$ इंटरफ़ेस पर,यदि आपतन कोण $\theta_2$ क्रांतिक कोण $\theta_c = \arcsin(n_1/n_2)$ से अधिक है,तो किरण $n_1$ में वापस परावर्तित हो जाएगी। चूँकि $n_2 < n_1$ है,इसलिए $n_2$-हवा इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन के बाद किरण हमेशा $n_1$ में वापस परावर्तित होगी। कथन $(B)$ सही है।
$(C)$ यदि $n_2 > n_1$ है,तो किरण $n_2$-हवा इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती है। इसके बाद किरण $n_1$ में वापस परावर्तित हो जाएगी। कथन $(C)$ सही है।
$(D)$ यदि $n_2 = 1$ है,तो किरण $n_2$-हवा इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती है और $n_1$ में वापस परावर्तित हो जाती है। कथन $(D)$ सही है।

(C) बिंदु स्रोत $S$ से आने वाली प्रकाश किरणें ब्लॉक की ऊपरी सतह पर क्रांतिक कोण $i_c$ पर आपतित होती हैं,जो वृत्ताकार चमकीले धब्बे की सीमा बनाती हैं।
समस्या की ज्यामिति से,वृत्ताकार धब्बे की त्रिज्या $r = D/2 = 11.54 / 2 = 5.77 \ mm$ है।
ब्लॉक की ऊँचाई $h = 10 \ mm$ है।
क्रांतिक कोण की परिभाषा के अनुसार,$\sin i_c = \frac{n_L}{n_B}$।
ऊँचाई $h$ और त्रिज्या $r$ द्वारा बने समकोण त्रिभुज से,$\sin i_c = \frac{r}{\sqrt{r^2 + h^2}}$।
$\sin i_c$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{n_L}{n_B} = \frac{r}{\sqrt{r^2 + h^2}}$
$n_L = n_B \times \frac{r}{\sqrt{r^2 + h^2}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$n_L = 2.72 \times \frac{5.77}{\sqrt{5.77^2 + 10^2}}$
$n_L = 2.72 \times \frac{5.77}{\sqrt{33.2929 + 100}}$
$n_L = 2.72 \times \frac{5.77}{\sqrt{133.2929}}$
$n_L = 2.72 \times \frac{5.77}{11.545} \approx 2.72 \times 0.5 = 1.36$।
अतः,द्रव का अपवर्तनांक $1.36$ है।

(C) $1.$ पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्त $\theta \geq c$ है,जहाँ $c$ क्रांतिक कोण है।
ज्यामिति से,$\theta = 90^{\circ} - r$,इसलिए $90^{\circ} - r \geq c \Rightarrow \cos r \geq \sin c$.
प्रवेश द्वार पर स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$n_m \sin i_m = n_1 \sin r$,और $\sin c = n_2/n_1$,हमें $\sin i_m = \frac{1}{n_m} \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ प्राप्त होता है। अतः,$NA = \frac{1}{n_m} \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$.
$S_1$ के लिए: $n_1^2 - n_2^2 = 45/16 - 9/4 = 9/16$. इसलिए $NA(S_1) = \frac{3}{4n_m}$.
$S_2$ के लिए: $n_1^2 - n_2^2 = 64/25 - 49/25 = 15/25 = 3/5$. इसलिए $NA(S_2) = \frac{\sqrt{15}}{5n_m}$.
$(A)$ की जाँच: $NA(S_1, \text{पानी}) = \frac{3/4}{4/3} = 9/16$. $NA(S_2, \text{द्रव}) = \frac{\sqrt{15}/5}{16/(3\sqrt{15})} = \frac{\sqrt{15}}{5} \cdot \frac{3\sqrt{15}}{16} = \frac{45}{80} = 9/16$. (सही)
$(C)$ की जाँच: $NA(S_1, \text{हवा}) = 3/4$. $NA(S_2, \text{द्रव}) = \frac{\sqrt{15}/5}{4/\sqrt{15}} = \frac{15}{20} = 3/4$. (सही)
अतः,विकल्प $(A)$ और $(C)$ सही हैं।
$2.$ जब अलग-अलग न्यूमेरिकल एपर्चर वाले दो ऑप्टिकल फाइबर को श्रेणी में जोड़ा जाता है,तो प्रकाश को दोनों फाइबर में पूर्ण आंतरिक परावर्तन की शर्त को पूरा करना होता है। सीमित कोण कम न्यूमेरिकल एपर्चर वाले फाइबर द्वारा निर्धारित होता है। इसलिए,संयुक्त $NA$ का मान $NA_2$ होगा।

(C) बिंदु $O$ पर स्थित सिक्के को बिंदु $E$ से देखने के लिए,प्रकाश किरण को द्रव की सतह पर बिंदु $B$ से बाहर निकलना चाहिए।
मान लीजिए कि अर्धगोलाकार पात्र की त्रिज्या $R$ है। किरण $O$ से $B$ तक यात्रा करती है।
सतह पर आपतन कोण $\theta$,$B$ पर अभिलंब और किरण $OB$ के बीच का कोण है।
चूंकि ऊपरी सतह का केंद्र,$O$ और $B$ द्वारा निर्मित त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,इसलिए कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
किरण के सतह से बाहर निकलने के लिए,आपतन कोण क्रांतिक कोण $c$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,$\theta \leq c$,जिसका अर्थ है $\sin \theta \leq \sin c$।
चूंकि $\sin c = \frac{1}{\mu}$,हमारे पास $\sin 45^{\circ} \leq \frac{1}{\mu}$ है।
$\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \frac{1}{\mu} \implies \mu \leq \sqrt{2}$।
हालाँकि,किरण के सतह को छूकर $E$ तक पहुँचने के लिए,हमें क्रांतिक स्थिति $\sin c = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\mu}$ की आवश्यकता है।
इसलिए,$\mu = \sqrt{2}$।

(C) $n_{dense}$ और $n_{rare}$ अपवर्तनांक वाले दो माध्यमों के बीच के इंटरफेस पर क्रांतिक कोण $\theta_C$ का सूत्र $\sin \theta_C = \frac{n_{rare}}{n_{dense}}$ है।
चूंकि $n_2 > n_1$,इसलिए $\sin \theta_{1C} = \frac{n_1}{n_2}$.
चूंकि $n_3 > n_1$,इसलिए $\sin \theta_{2C} = \frac{n_1}{n_3}$.
हमें दिया गया है कि $\sin \theta_{2C} - \sin \theta_{1C} = \frac{1}{2}$.
मान रखने पर: $\frac{n_1}{n_3} - \frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{2}$.
हम $\frac{n_1}{n_3} = \frac{n_1}{n_2} \cdot \frac{n_2}{n_3}$ लिख सकते हैं।
$\frac{n_2}{n_3} = \frac{2}{5}$ होने के कारण,$\frac{n_1}{n_2} \cdot \frac{2}{5} - \frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{2}$.
माना $x = \frac{n_1}{n_2} = \sin \theta_{1C}$.
$x(\frac{2}{5} - 1) = \frac{1}{2} \implies x(-\frac{3}{5}) = \frac{1}{2} \implies x = -\frac{5}{6}$.
$\sin \theta_{1C}$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए परिमाण को ध्यान में रखते हुए,$\sin \theta_{1C} = \frac{5}{6}$,अतः $\theta_{1C} = \sin^{-1}(\frac{5}{6})$.

(C) ऊपरी सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,उस सतह पर आपतन कोण का मान क्रांतिक कोण $\theta_C$ के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए।
ब्लॉक के अंदर बने त्रिभुज की ज्यामिति से,पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r$ और ऊपरी सतह पर आपतन कोण $\theta_C$ के लिए $r + \theta_C = 90^{\circ}$ होता है,इसलिए $r = 90^{\circ} - \theta_C$।
पहली सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\mu_1 \sin \theta = \mu_2 \sin r$।
$r = 90^{\circ} - \theta_C$ प्रतिस्थापित करने पर: $\sin \theta = \frac{\mu_2}{\mu_1} \sin(90^{\circ} - \theta_C) = \frac{\mu_2}{\mu_1} \cos \theta_C$।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,$\sin \theta_C = \frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{1.0}{1.25} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$।
अतः,$\cos \theta_C = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_C} = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \sqrt{1 - 16/25} = \sqrt{9/25} = 3/5$।
इस मान को $\sin \theta$ के समीकरण में रखने पर: $\sin \theta = \frac{1.25}{1.0} \times \frac{3}{5} = \frac{5}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{4}$।
इसलिए,$\theta = \sin^{-1}(3/4)$।

(B) हवा में प्रकाश की चाल $v_a = \frac{x}{t_1}$ है।
माध्यम में प्रकाश की चाल $v_m = \frac{10x}{t_2}$ है।
हवा के सापेक्ष माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = \frac{v_a}{v_m} = \frac{x/t_1}{10x/t_2} = \frac{t_2}{10t_1}$ है।
क्रांतिक कोण $\theta_C$ का सूत्र $\sin \theta_C = \frac{1}{\mu}$ होता है।
$\mu$ का मान रखने पर,$\sin \theta_C = \frac{1}{t_2 / 10t_1} = \frac{10t_1}{t_2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta_C = \sin^{-1}\left(\frac{10t_1}{t_2}\right)$।

(C) माना स्लैब का अपवर्तनांक $\mu$ है। पहली सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर (हवा से स्लैब में):
$1 \cdot \sin 60^{\circ} = \mu \cdot \sin r_1$,जहाँ $r_1$ अपवर्तन कोण है।
$\sin r_1 = \frac{\sin 60^{\circ}}{\mu} = \frac{\sqrt{3}}{2\mu}$.
स्लैब के अंदर,ऊर्ध्वाधर सतह पर आपतन कोण $i_2 = 90^{\circ} - r_1$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,$i_2 \ge C$ होना चाहिए,जहाँ $C$ क्रांतिक कोण है।
$\sin i_2 \ge \sin C = \frac{1}{\mu}$.
चूँकि $\sin(90^{\circ} - r_1) = \cos r_1$,इसलिए $\cos r_1 \ge \frac{1}{\mu}$.
$\cos r_1 = \sqrt{1 - \sin^2 r_1} = \sqrt{1 - \frac{3}{4\mu^2}} = \frac{\sqrt{4\mu^2 - 3}}{2\mu}$ का उपयोग करने पर।
इस मान को असमिका में रखने पर: $\frac{\sqrt{4\mu^2 - 3}}{2\mu} \ge \frac{1}{\mu}$.
$\sqrt{4\mu^2 - 3} \ge 2 \Rightarrow 4\mu^2 - 3 \ge 4 \Rightarrow 4\mu^2 \ge 7 \Rightarrow \mu \ge \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2} \approx 1.32$.
अतः,न्यूनतम अपवर्तनांक $1.32$ है।

(A) $h$ गहराई पर स्थित बिंदु स्रोत से आने वाला प्रकाश पानी की सतह पर केवल $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार क्षेत्र से ही बाहर आ सकता है। यह त्रिज्या $r = \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $h = 7 \ m$ और $\mu = \frac{4}{3}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $r = \frac{7}{\sqrt{(\frac{4}{3})^2 - 1}} = \frac{7}{\sqrt{\frac{16}{9} - 1}} = \frac{7}{\sqrt{\frac{7}{9}}} = \frac{7 \times 3}{\sqrt{7}} = 3\sqrt{7} \ m$.
डिस्क का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
$A = \pi (3\sqrt{7})^2 = \pi (9 \times 7) = 63\pi \ m^2$.

(C) तली में स्थित स्रोत $S$ से आने वाला प्रकाश पानी की सतह से तभी बाहर निकल सकता है यदि आपतन कोण क्रांतिक कोण $C$ से कम या उसके बराबर हो।
सतह पर बनने वाली वृत्ताकार डिस्क की त्रिज्या $r = h \tan C$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $\sin C = \frac{1}{\mu}$,इसलिए $\tan C = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ होता है।
दिए गए मान $h = 1 \ m$ और $\mu = \frac{4}{3}$ रखने पर:
$r = 1 \times \frac{1}{\sqrt{(\frac{4}{3})^2 - 1}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{16}{9} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{7}{9}}} = \frac{3}{\sqrt{7}} \ m$.
डिस्क का व्यास $D = 2r = 2 \times \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{6}{\sqrt{7}} \ m$ होगा।

(D) क्रांतिक कोण $\theta_C$ को सघन माध्यम में उस आपतन कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके लिए विरल माध्यम में अपवर्तन कोण $90^{\circ}$ होता है।
जब प्रकाश सघन माध्यम (गति $V_D$) से विरल माध्यम (गति $V_R$) में जाता है,तो अपवर्तनांक और गति के बीच संबंध $n = c/v$ होता है।
क्रांतिक कोण के लिए शर्त $\sin \theta_C = \frac{n_R}{n_D} = \frac{V_D}{V_R}$ है।
यहाँ $V_D = 1.8 \times 10^8 \ m/s$ और $V_R = 2.4 \times 10^8 \ m/s$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\sin \theta_C = \frac{1.8 \times 10^8}{2.4 \times 10^8} = \frac{1.8}{2.4} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.
अतः,$\theta_C = \sin^{-1}(\frac{3}{4})$.

(B) क्रांतिक कोण $i_c$ को $i_c = \sin^{-1}(1/n)$ द्वारा दिया जाता है।
कॉची के समीकरण के अनुसार,अपवर्तनांक $n$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(n \propto 1/\lambda)$।
बैंगनी,जामुनी और नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य हरे प्रकाश से कम होती है,इसलिए इन रंगों के लिए अपवर्तनांक $n$ हरे प्रकाश की तुलना में अधिक होता है।
चूंकि $i_c = \sin^{-1}(1/n)$ है,इसलिए उच्च अपवर्तनांक $n$ के परिणामस्वरूप क्रांतिक कोण $i_c$ छोटा होता है।
अतः,बैंगनी,जामुनी और नीले प्रकाश के लिए क्रांतिक कोण आपतन कोण (जो हरे प्रकाश के लिए क्रांतिक कोण के बराबर है) से कम होता है।
परिणामस्वरूप,ये रंग पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करेंगे।
इसके विपरीत,लाल,नारंगी और पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य हरे प्रकाश से अधिक होती है,जिसके परिणामस्वरूप अपवर्तनांक कम और क्रांतिक कोण बड़ा होता है,इसलिए वे हवा में बाहर निकल जाएंगे।

(C) पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,दो शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. प्रकाश किरण को सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाना चाहिए।
$2$. आपतन कोण $(i)$ का मान क्रांतिक कोण $(i_c)$ से अधिक होना चाहिए।

(D) क्रांतिक कोण $i_{c}$ का सूत्र $\sin i_{c} = \frac{1}{n}$ है,जहाँ $n$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $i_{c}$ तब न्यूनतम होता है जब अपवर्तनांक $n$ अधिकतम होता है।
कोशी के परिक्षेपण सूत्र के अनुसार,अपवर्तनांक $n$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(n \propto \frac{1}{\lambda^2})$।
चूंकि दिए गए विकल्पों में नीले रंग की तरंगदैर्ध्य सबसे कम है,इसलिए कांच में इसका अपवर्तनांक सबसे अधिक होता है।
अतः,नीले रंग के लिए क्रांतिक कोण $i_{c}$ न्यूनतम होता है।

(A) जब प्रकाश $n_1$ अपवर्तनांक वाले माध्यम से $n_2$ अपवर्तनांक वाले कम सघन माध्यम में जाता है,तो पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ के लिए क्रांतिक कोण $c$ का सूत्र है: $\sin c = \frac{n_2}{n_1}$,जहाँ $n_1 > n_2$ है।
अनुपात $\frac{n_2}{n_1}$ जितना छोटा होगा,$\sin c$ उतना ही छोटा होगा,और इसलिए क्रांतिक कोण $c$ भी उतना ही छोटा होगा।
विकल्पों में से,$TIR$ के लिए केवल वही स्थितियाँ मान्य हैं जिनमें पहले माध्यम का अपवर्तनांक दूसरे से अधिक है।
कांच से हवा के लिए $(n_{\text{glass}} \approx 1.5, n_{\text{air}} \approx 1.0)$: $\sin c = \frac{1.0}{1.5} = \frac{2}{3} \approx 0.667$,जिससे $c \approx 41.8^{\circ}$ प्राप्त होता है।
कांच से पानी के लिए $(n_{\text{glass}} \approx 1.5, n_{\text{water}} \approx 1.33)$: $\sin c = \frac{1.33}{1.5} \approx 0.887$,जिससे $c \approx 62.5^{\circ}$ प्राप्त होता है।
स्पष्ट है कि कांच से हवा में जाने पर क्रांतिक कोण छोटा होता है।
अतः,जब प्रकाश कांच से हवा में यात्रा करता है तो क्रांतिक कोण न्यूनतम होता है।

(A) पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ एक ऐसी घटना है जो तब होती है जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में यात्रा करता है।
$TIR$ होने के लिए, दो शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. प्रकाश किरण को प्रकाशीय रूप से सघन माध्यम से प्रकाशीय रूप से विरल माध्यम में जाना चाहिए।
$2$. आपतन कोण $(i)$ माध्यमों के दिए गए युग्म के लिए क्रांतिक कोण $(i_{C})$ से अधिक होना चाहिए।
इसलिए, सही कथन यह है कि किरण सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाती है और $i > i_{C}$।

(C) पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्तें निम्नलिखित हैं:
$1$) प्रकाश को सघन माध्यम से विरल माध्यम में यात्रा करनी चाहिए।
$2$) आपतन कोण $i$ का मान दोनों माध्यमों के लिए क्रांतिक कोण $i_C$ से अधिक होना चाहिए।

(D) माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = \frac{c}{v}$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है और $v$ माध्यम में प्रकाश की गति है।
यहाँ $c_1 = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ और $c_2 = 2 \times 10^8 \ m/s$ दिया गया है।
चूंकि $c_1 < c_2$,इसलिए अपवर्तनांक $\mu_1 > \mu_2$ होगा। अतः,माध्यम $1$ सघन माध्यम है और माध्यम $2$ विरल माध्यम है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन की स्थिति तब होती है जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाता है।
क्रांतिक कोण $\theta_C$ का सूत्र $\sin \theta_C = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ है।
चूंकि $\mu = \frac{c}{v}$,इसलिए $\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{c/c_2}{c/c_1} = \frac{c_1}{c_2}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर,$\sin \theta_C = \frac{1.5 \times 10^8}{2 \times 10^8} = \frac{1.5}{2} = \frac{3}{4}$।
अतः,$\theta_C = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।

(C) कांच का अपवर्तनांक $\mu_g = 1.5 = \frac{3}{2}$ है।
जल का अपवर्तनांक $\mu_w = 1.33 = \frac{4}{3}$ है।
जल के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक ${}_w\mu_g = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$ है।
क्रांतिक कोण $C$ के लिए सूत्र $\sin C = \frac{1}{{}_w\mu_g}$ है।
मान रखने पर,$\sin C = \frac{1}{9/8} = \frac{8}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रांतिक कोण $C = \sin^{-1}\left(\frac{8}{9}\right)$ होगा।

(C) प्रथम स्थिति में,$\theta$ कांच-हवा इंटरफेस के लिए क्रांतिक कोण है।
क्रांतिक कोण की परिभाषा के अनुसार,$\sin \theta = \frac{1}{\mu}$।
दूसरी स्थिति में,प्रकाश हवा से कांच में जाता है। स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{\sin i}{\sin r} = \mu$,जहाँ $i = \theta$ है।
इसलिए,$\sin r = \frac{\sin \theta}{\mu}$।
समीकरण में $\sin \theta = \frac{1}{\mu}$ रखने पर,हमें $\sin r = \frac{1/\mu}{\mu} = \frac{1}{\mu^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अपवर्तन कोण $r = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu^2}\right)$ होगा।

(D) कांच का अपवर्तनांक $\mu_g = \frac{3}{2}$ है और जल का अपवर्तनांक $\mu_w = \frac{4}{3}$ है।
जब प्रकाश सघन माध्यम (कांच) से विरल माध्यम (जल) में जाता है,तो क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र $\sin C = \frac{\mu_w}{\mu_g}$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin C = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$.
अतः,क्रांतिक कोण $C = \sin^{-1}\left(\frac{8}{9}\right)$ होगा।

(A) माध्यम का अपवर्तनांक उस माध्यम में प्रकाश की गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे $\mu = \frac{c}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई गति $v_{A} = 1.8 \times 10^{8} \ m/s$ और $v_{B} = 2.7 \times 10^{8} \ m/s$ है।
माध्यम $B$ के सापेक्ष माध्यम $A$ का अपवर्तनांक ${}_{B}\mu_{A} = \frac{\mu_{A}}{\mu_{B}} = \frac{v_{B}}{v_{A}}$ होता है।
मान रखने पर: ${}_{B}\mu_{A} = \frac{2.7 \times 10^{8}}{1.8 \times 10^{8}} = \frac{27}{18} = \frac{3}{2}$.
क्रांतिक कोण $C$ के लिए सूत्र $\sin C = \frac{1}{{}_{B}\mu_{A}}$ है।
इसलिए,$\sin C = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.
अतः,क्रांतिक कोण $C = \sin^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$ है।

(B) हवा के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक $\mu$ दिया गया है।
कांच से हवा में जाने वाली प्रकाश की किरण के लिए क्रांतिक कोण $\theta$ है।
क्रांतिक कोण की परिभाषा के अनुसार,$\mu = \frac{1}{\sin \theta}$,जिसका अर्थ है कि $\sin \theta = \frac{1}{\mu}$।
अब,मान लीजिए कि प्रकाश की एक किरण हवा से कांच की सतह पर $i = \theta$ आपतन कोण पर आपतित होती है।
माना $r$ कांच में संबंधित अपवर्तन कोण है।
स्नेल के नियम को लागू करने पर: $n_1 \sin i = n_2 \sin r$।
यहाँ,$n_1 = 1$ (हवा) और $n_2 = \mu$ (कांच) है।
$1 \cdot \sin \theta = \mu \cdot \sin r$।
समीकरण में $\sin \theta = \frac{1}{\mu}$ रखने पर:
$\frac{1}{\mu} = \mu \cdot \sin r$।
$\sin r = \frac{1}{\mu^2}$।
अतः,अपवर्तन कोण $r = \sin^{-1}(\frac{1}{\mu^2})$ होगा।

(C) परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण $i$ परावर्तन कोण $r$ के बराबर होता है,इसलिए $i = r$।
स्नेल के नियम के अनुसार,जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाता है,जिसका अपवर्तनांक $n$ है (जहाँ $n$ विरल माध्यम के सापेक्ष सघन माध्यम का अपवर्तनांक है,$n > 1$):
$\frac{\sin i}{\sin r^{\prime}} = \frac{1}{n}$
चूंकि $i = r$,हमें प्राप्त होता है $\frac{\sin r}{\sin r^{\prime}} = \frac{1}{n}$।
यह दिया गया है कि परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए एक सीधी रेखा पर कोणों का योग $r + 90^{\circ} + r^{\prime} = 180^{\circ}$ होता है।
अतः,$r^{\prime} = 90^{\circ} - r$।
इस मान को स्नेल के नियम में रखने पर:
$\frac{\sin r}{\sin(90^{\circ} - r)} = \frac{1}{n}$
$\frac{\sin r}{\cos r} = \frac{1}{n}$
$\tan r = \frac{1}{n}$
क्रांतिक कोण $i_c$ को $\sin i_c = \frac{1}{n}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin i_c = \tan r$।
इसलिए,$i_c = \sin^{-1}(\tan r)$।

(D) पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ तब होता है जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में यात्रा करता है।
$TIR$ होने के लिए दो शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. प्रकाश को प्रकाशीय रूप से सघन माध्यम से प्रकाशीय रूप से विरल माध्यम में जाना चाहिए।
$2$. आपतन कोण $(i)$ का मान माध्यमों के दिए गए युग्म के लिए क्रांतिक कोण $(i_{c})$ से अधिक होना चाहिए।
अतः,सही शर्त $i > i_{c}$ है।

(A) क्रांतिक कोण $\theta$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए अपवर्तन कोण $\frac{\pi}{2}$ होता है।
माध्यम $P$ और माध्यम $Q$ के बीच स्नेल के नियम का उपयोग करने पर:
$n_{P} \sin \theta = n_{Q} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)$
चूंकि $\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$,इसलिए $n_{P} \sin \theta = n_{Q}$।
इसका अर्थ है कि $\frac{n_{P}}{n_{Q}} = \frac{1}{\sin \theta}$।
अपवर्तनांक $n$ माध्यम में प्रकाश की गति $V$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(n = \frac{c}{V})$,इसलिए $\frac{n_{P}}{n_{Q}} = \frac{V_{Q}}{V_{P}}$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{V_{Q}}{V_{P}} = \frac{1}{\sin \theta}$
अतः,माध्यम $Q$ में प्रकाश की गति $V_{Q} = \frac{V_{P}}{\sin \theta}$ होगी।

(C) प्रकाश का पैच उन किरणों के कारण बनता है जो द्रव-वायु इंटरफेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरती हैं। क्रांतिक कोण $\theta_C$ पर आपतित किरणें अभिलंब के साथ $90^\circ$ के कोण पर बाहर निकलती हैं।
समस्या की ज्यामिति से,हमारे पास $\tan \theta_C = \frac{r}{h}$ है।
क्रांतिक कोण पर स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए:
$\mu \sin \theta_C = 1 \cdot \sin 90^\circ = 1$
$\sin \theta_C = \frac{1}{\mu}$
चूंकि $\sin \theta_C = \frac{1}{\mu}$,हम $\tan \theta_C = \frac{\sin \theta_C}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta_C}} = \frac{1/\mu}{\sqrt{1 - 1/\mu^2}} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ संबंध का उपयोग करके $\tan \theta_C$ ज्ञात कर सकते हैं।
$\tan \theta_C$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{r}{h} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$
$r = \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$
वृत्ताकार पैच का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}} \right)^2 = \frac{\pi h^2}{\mu^2 - 1}$ है।

(B) परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण '$i$' परावर्तन कोण '$r$' के बराबर होता है। अतः,$i = r$।
यह दिया गया है कि परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परावर्तन कोण और अपवर्तन कोण का योग $90^{\circ}$ है।
$i + r_1 = 90^{\circ} \implies r_1 = 90^{\circ} - i$।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,विरल माध्यम के सापेक्ष सघन माध्यम का अपवर्तनांक '$\mu$' $\mu = \frac{\sin r_1}{\sin i}$ द्वारा दिया जाता है।
$r_1 = 90^{\circ} - i$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu = \frac{\sin(90^{\circ} - i)}{\sin i} = \frac{\cos i}{\sin i} = \cot i$।
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक और क्रांतिक कोण '$C$' के बीच संबंध $\mu = \frac{1}{\sin C}$ है।
'$\mu$' के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\cot i = \frac{1}{\sin C}$।
अतः,$\tan i = \sin C$।
इसलिए,$i = \tan^{-1}(\sin C)$।

(D) क्रांतिक कोण $\theta$ सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाने वाले प्रकाश के लिए परिभाषित होता है। मान लीजिए माध्यम $A$ सघन माध्यम है और माध्यम $B$ विरल माध्यम है।
क्रांतिक कोण पर स्नेल के नियम के अनुसार,माध्यम $B$ के सापेक्ष माध्यम $A$ का अपवर्तनांक इस प्रकार दिया जाता है:
${}_{B}\mu_{A} = \frac{1}{\sin \theta}$
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक दोनों माध्यमों में प्रकाश की चाल का अनुपात होता है:
${}_{B}\mu_{A} = \frac{V_{B}}{V_{A}}$
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{V_{B}}{V_{A}} = \frac{1}{\sin \theta}$
अतः,माध्यम $B$ में प्रकाश की चाल है:
$V_{B} = \frac{V_{A}}{\sin \theta}$

(D) माध्यम '$Y$' के सापेक्ष माध्यम '$x$' का अपवर्तनांक इस प्रकार दिया जाता है: $n_{xy} = \frac{1}{\sin \theta}$.
साथ ही,अपवर्तनांक की परिभाषा के अनुसार: $n_{xy} = \frac{V_{Y}}{V_{x}}$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{V_{Y}}{V_{x}} = \frac{1}{\sin \theta}$.
अतः,माध्यम '$Y$' में प्रकाश की चाल: $V_{Y} = \frac{V_{x}}{\sin \theta}$ होगी।

(D) जब प्रकाश की किरण सघन माध्यम (अपवर्तनांक $n_1$) से विरल माध्यम (अपवर्तनांक $n_2$) में जाती है,तो क्रांतिक कोण $i_c$ के लिए सूत्र इस प्रकार है:
$\sin i_c = \frac{n_2}{n_1}$
दिया गया है:
$n_1 = 1.6$ (माध्यम $A$ का अपवर्तनांक)
$n_2 = 1.5$ (माध्यम $B$ का अपवर्तनांक)
मान रखने पर:
$\sin i_c = \frac{1.5}{1.6}$
$\sin i_c = \frac{15}{16}$
अतः,क्रांतिक कोण का मान है:
$i_c = \sin^{-1} \left(\frac{15}{16}\right)$
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(D) आयनोस्फीयर द्वारा रेडियो तरंगों का परावर्तन इसलिए होता है क्योंकि आयनोस्फीयर का अपवर्तनांक ऊंचाई के साथ घटता जाता है। जैसे-जैसे रेडियो तरंगें आयनोस्फीयर में प्रवेश करती हैं,उनका निरंतर अपवर्तन होता रहता है जब तक कि आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक न हो जाए,जिससे पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है। यह प्रक्रिया मृगतृष्णा (mirage) के निर्माण के दौरान वायुमंडल में होने वाले प्रकाश के पूर्ण आंतरिक परावर्तन के समान है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र $\sin C = \frac{1}{\mu}$ है,जहाँ $\mu$ विरल माध्यम के सापेक्ष सघन माध्यम का अपवर्तनांक है।
कोशी के समीकरण के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए जिस रंग की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होती है,उसका अपवर्तनांक सबसे कम होता है।
दृश्य प्रकाश में लाल रंग की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होती है,जिसके कारण लाल रंग के लिए अपवर्तनांक $\mu$ सबसे कम होता है।
चूंकि क्रांतिक कोण $C = \arcsin(1/\mu)$ अपवर्तनांक के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए सबसे कम $\mu$ का मान अधिकतम क्रांतिक कोण प्रदान करता है।
अतः,लाल रंग के लिए क्रांतिक कोण अधिकतम होता है।

(A) पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए, प्रकाश को सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाना चाहिए और आपतन कोण $\theta$ क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए।
माध्यम $M_{1}$ और $M_{2}$ में प्रकाश की गति $v_{1} = 1.5 \times 10^{8} \text{ m/s}$ और $v_{2} = 2 \times 10^{8} \text{ m/s}$ दी गई है।
चूंकि $v_{1} < v_{2}$, माध्यम $M_{1}$ माध्यम $M_{2}$ की तुलना में सघन है।
क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र $\sin C = \frac{v_{1}}{v_{2}}$ है।
मान रखने पर: $\sin C = \frac{1.5 \times 10^{8}}{2 \times 10^{8}} = \frac{1.5}{2} = \frac{3}{4}$।
अतः, $C = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए, आपतन कोण $\theta$ को शर्त $\theta > C$ को पूरा करना होगा।
इसलिए, $\theta > \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।

(C) जब प्रकाश की किरण पानी-हवा इंटरफ़ेस पर क्रांतिक कोण $(\theta_{c})$ पर आपतित होती है,तो अपवर्तित किरण इंटरफ़ेस के समानांतर हो जाती है।
दी गई गहराई $h = \sqrt{7} \ m$ और अपवर्तनांक $\mu = 4/3$ है।
गोलाकार चमकीले पैच की त्रिज्या $R$,$R = h \tan \theta_{c}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\sin \theta_{c} = 1/\mu$,इसलिए $\tan \theta_{c} = \frac{1}{\sqrt{\mu^{2}-1}}$ होता है।
मान रखने पर:
$R = \sqrt{7} \times \frac{1}{\sqrt{(4/3)^{2}-1}} = \sqrt{7} \times \frac{1}{\sqrt{16/9-1}} = \sqrt{7} \times \frac{1}{\sqrt{7/9}} = \sqrt{7} \times \frac{3}{\sqrt{7}} = 3 \ m$.