Critical Angle and Total Internal Reflection Questions in Hindi

(A) जब प्रकाश सघन माध्यम $A$ से विरल माध्यम $B$ में जाता है,तो क्रांतिक कोण $\theta$ के लिए स्नेल के नियम के अनुसार:
$n_A \sin \theta = n_B \sin 90^\circ$
चूंकि $\sin 90^\circ = 1$,इसलिए:
$n_A \sin \theta = n_B$
$\frac{n_A}{n_B} = \frac{1}{\sin \theta}$
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक $n$,माध्यम में प्रकाश की चाल $v$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(n = \frac{c}{v})$,अतः:
$\frac{n_A}{n_B} = \frac{v_B}{v_A}$
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{v_B}{v_A} = \frac{1}{\sin \theta}$
यहाँ $v_A = v$ दिया गया है,इसलिए:
$v_B = \frac{v_A}{\sin \theta} = \frac{v}{\sin \theta}$

(B) जब टैंक को $a$ त्वरण के साथ क्षैतिज रूप से त्वरित किया जाता है,तो द्रव के कणों पर एक छद्म बल (pseudo force) कार्य करता है। द्रव की मुक्त सतह क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर झुक जाती है,जहाँ $\tan \theta = a/g$ होता है।
सतह का अभिलंब ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाता है। चूंकि आपतित किरण ऊर्ध्वाधर है,इसलिए द्रव-वायु इंटरफ़ेस पर आपतन कोण $i$,$\theta$ के बराबर होता है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,आपतन कोण का मान क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए $(i > C)$।
इसलिए,$\sin i > \sin C$,जिसका अर्थ है $\sin i > 1/\mu$।
ज्यामिति से,$\tan \theta = a/g = 7.5/10 = 3/4$। अतः,$\sin \theta = 3/5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $i = \theta$,इसलिए $\sin i = 3/5$ होगा।
इस मान को असमिका में रखने पर: $3/5 > 1/\mu \implies \mu > 5/3$।
अतः,द्रव का न्यूनतम संभव अपवर्तनांक $5/3$ से थोड़ा अधिक है।

(D) अर्ध-शीर्ष कोण $\theta$ वाले शंकु द्वारा अंतरित ठोस कोण $\Omega = 2\pi(1 - \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु स्रोत के चारों ओर कुल ठोस कोण $4\pi$ स्टेरेडियन होता है।
बाहर निकलने वाली प्रकाश ऊर्जा का अंश क्रांतिक कोण $C$ द्वारा परिभाषित शंकु के ठोस कोण और कुल ठोस कोण $4\pi$ का अनुपात है।
ऊर्जा का अंश $= \frac{2\pi(1 - \cos C)}{4\pi} = \frac{1}{2}(1 - \cos C)$.
क्रांतिक कोण $C$ पर स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_w \sin C = \mu_a \sin 90^{\circ}$.
यहाँ $\mu_w = 4/3$ और $\mu_a = 1$ दिया गया है,इसलिए $\frac{4}{3} \sin C = 1$,अर्थात $\sin C = 3/4$.
अतः,$\cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \sqrt{1 - (3/4)^2} = \sqrt{1 - 9/16} = \sqrt{7/16} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
इस मान को अंश के सूत्र में रखने पर:
अंश $= \frac{1}{2}(1 - \frac{\sqrt{7}}{4}) = \frac{1}{2}(1 - \frac{2.646}{4}) = \frac{1}{2}(1 - 0.6615) = \frac{0.3385}{2} \approx 0.16925$.
प्रतिशत में बदलने पर,हमें लगभग $17\%$ प्राप्त होता है।

(A) कर्ण (hypotenuse) सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $i_{c}$ से अधिक होना चाहिए।
समकोण प्रिज्म की ज्यामिति के अनुसार,प्रकाश पहली सतह पर लंबवत प्रवेश करता है और कर्ण सतह पर $i = 45^{\circ}$ के कोण पर आपतित होता है।
$TIR$ के लिए शर्त $\sin i > \sin i_{c}$ है,जहाँ $\sin i_{c} = \frac{1}{\mu}$ होता है।
अतः,$\sin 45^{\circ} > \frac{1}{\mu}$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\mu}$,या $\mu > \sqrt{2} \approx 1.414$।
दिए गए अपवर्तनांकों की तुलना करने पर:
लाल के लिए: $\mu_{red} = 1.39 < 1.414$ ($TIR$ नहीं होगा,इसका अपवर्तन होगा)।
हरे के लिए: $\mu_{green} = 1.44 > 1.414$ ($TIR$ होगा)।
नीले के लिए: $\mu_{blue} = 1.47 > 1.414$ ($TIR$ होगा)।
चूंकि लाल प्रकाश अपवर्तित होता है और हरा तथा नीला प्रकाश पूर्ण आंतरिक परावर्तित होता है,इसलिए लाल रंग हरे और नीले रंगों से अलग हो जाता है।

(C) पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ के लिए,क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र $\mu_1 \sin C = \mu_2 \sin 90^{\circ}$ है।
यहाँ $\mu_1 = 1.4$ (द्रव) और $\mu_2 = 1$ (हवा) दिया गया है।
अतः,$1.4 \times \sin C = 1 \times 1 \Rightarrow \sin C = \frac{1}{1.4} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \approx 0.714$.
आपतन कोण का ज्या $\sin i = 0.8$ दिया गया है।
चूँकि $\sin i > \sin C$ है $(0.8 > 0.714)$,इसका अर्थ है कि $i > C$ है।
जब आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक होता है,तो प्रकाश किरण सीमा सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ का अनुभव करती है।

(B) माध्यम $\mu_{1}$ और $\mu_{2}$ के इंटरफेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(T.I.R.)$ के लिए:
$i > C_{1} \Rightarrow \sin i > \sin C_{1}$ $..........(1)$
क्रांतिक कोण $C_{1}$ के लिए स्नेल के नियम का उपयोग करने पर:
$\mu_{1} \sin C_{1} = \mu_{2} \sin 90^{\circ}$
$\Rightarrow \sin C_{1} = \frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}$ $..........(2)$
$(1)$ और $(2)$ से:
$\sin i > \frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}$ $..........(3)$
माध्यम $\mu_{1}$ और $\mu_{3}$ के इंटरफेस पर $T.I.R.$ के लिए,आपतन कोण $(90^{\circ} - i)$ है:
$(90^{\circ} - i) > C_{2} \Rightarrow \sin(90^{\circ} - i) > \sin C_{2}$
$\Rightarrow \cos i > \sin C_{2}$
क्रांतिक कोण $C_{2}$ के लिए स्नेल के नियम का उपयोग करने पर:
$\mu_{1} \sin C_{2} = \mu_{3} \sin 90^{\circ}$
$\Rightarrow \sin C_{2} = \frac{\mu_{3}}{\mu_{1}}$ $..........(4)$
असमानता $\cos i > \sin C_{2}$ में $(4)$ का मान रखने पर:
$\cos i > \frac{\mu_{3}}{\mu_{1}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\cos^{2} i > \frac{\mu_{3}^{2}}{\mu_{1}^{2}}$
$1 - \sin^{2} i > \frac{\mu_{3}^{2}}{\mu_{1}^{2}}$
चूंकि $\sin i > \frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}$,इसलिए $\sin^{2} i > \frac{\mu_{2}^{2}}{\mu_{1}^{2}}$,जिसका अर्थ है $-\sin^{2} i < -\frac{\mu_{2}^{2}}{\mu_{1}^{2}}$.
इसलिए,$1 - \sin^{2} i > 1 - \frac{\mu_{2}^{2}}{\mu_{1}^{2}}$.
इन दोनों को मिलाने पर,हमें प्राप्त होता है $1 - \frac{\mu_{2}^{2}}{\mu_{1}^{2}} > \frac{\mu_{3}^{2}}{\mu_{1}^{2}}$
$\mu_{1}^{2} - \mu_{2}^{2} > \mu_{3}^{2}$.

(D) माना छड़ का अपवर्तनांक $n = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
छड़ की दीवार पर बिंदु $Q$ पर,प्रकाश किरण सतह को स्पर्श करते हुए निकलती है,जिसका अर्थ है कि अपवर्तन कोण $90^{\circ}$ है। माना $C$ क्रांतिक कोण है।
$Q$ पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $n \sin C = 1 \cdot \sin 90^{\circ} = 1$.
$\sin C = \frac{1}{n} = \frac{1}{2/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$C = 60^{\circ}$.
अब,सिरे के बिंदु $P$ पर अपवर्तन पर विचार करें। आपतन कोण $\theta$ है और अपवर्तन कोण $r = 90^{\circ} - C$ है।
$P$ पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $1 \cdot \sin \theta = n \cdot \sin(90^{\circ} - C) = n \cos C$.
मान रखने पर: $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \cos 60^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इसलिए,$\theta = \sin^{-1}\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.

(A) क्रांतिक कोण $\theta_c$ का सूत्र $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$ है।
कॉची के समीकरण के अनुसार,जैसे-जैसे तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ती है,अपवर्तनांक $\mu$ घटता है,जिसका अर्थ है कि आवृत्ति $f$ बढ़ने पर $\mu$ बढ़ता है।
हरे प्रकाश के लिए,आपतन कोण $\theta_c$ है।
यदि आवृत्ति हरे प्रकाश से कम है,तो तरंगदैर्ध्य अधिक होगी,इसलिए अपवर्तनांक $\mu$ कम होगा। परिणामस्वरूप,क्रांतिक कोण $\theta_c = \arcsin(1/\mu)$ आपतन कोण $\theta$ से बड़ा हो जाता है। चूंकि आपतन कोण अब क्रांतिक कोण से कम है,इसलिए प्रकाश के ये घटक हवा में अपवर्तित हो जाएंगे।
यदि आवृत्ति हरे प्रकाश से अधिक है,तो तरंगदैर्ध्य कम होगी,इसलिए अपवर्तनांक $\mu$ अधिक होगा। परिणामस्वरूप,क्रांतिक कोण $\theta_c$ आपतन कोण $\theta$ से छोटा हो जाता है। चूंकि आपतन कोण अब क्रांतिक कोण से अधिक है,इसलिए प्रकाश के ये घटक पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करेंगे।

(B) प्रकाश केवल $\theta_c$ अर्ध-शीर्ष कोण वाले शंकु के भीतर ही सतह से बाहर निकलता है,जहाँ $\theta_c$ क्रांतिक कोण है।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\mu \sin \theta_c = 1 \sin 90^{\circ} = 1$.
दिया गया है $\mu = \frac{5}{4}$,इसलिए $\frac{5}{4} \sin \theta_c = 1$,जिससे $\sin \theta_c = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos \theta_c = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_c} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
बाहर निकलने वाली प्रकाश ऊर्जा का अंश शंकु के ठोस कोण और गोले के कुल ठोस कोण $(4\pi)$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$\text{अंश} = \frac{2\pi(1 - \cos \theta_c)}{4\pi} = \frac{1 - \cos \theta_c}{2}$.
$\cos \theta_c$ का मान रखने पर: $\text{अंश} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{1}{5} = 0.2$.

(A) माना कांच का अपवर्तनांक $\mu$ है। जब प्रकाश किरण मध्य रेखा से $d$ दूरी पर होती है,तो यह वक्र सतह पर $\theta$ आपतन कोण पर आपतित होती है।
त्रिज्या $R$ और दूरी $d$ द्वारा निर्मित त्रिभुज की ज्यामिति से,हमें $\sin \theta = \frac{d}{R}$ प्राप्त होता है।
वक्र सतह पर आपतन कोण,आपतित किरण और अभिलंब के बीच का कोण है। आपतन बिंदु पर अभिलंब अर्ध-वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
ज्यामिति को देखने पर,अभिलंब और ऊर्ध्वाधर आपतित किरण के बीच का कोण $\theta$ ऐसा है कि $\sin \theta = \frac{d}{R}$।
प्रकाश के बेलन से बाहर न निकलने के लिए,इसे वक्र सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करना चाहिए। यह तब होता है जब आपतन कोण $\theta$ क्रांतिक कोण $C$ के बराबर होता है।
अतः,$\sin C = \frac{1}{\mu}$।
चूंकि $\sin \theta = \frac{d}{R}$ और $\theta = C$ है,इसलिए $\frac{d}{R} = \frac{1}{\mu}$।
अतः,अपवर्तनांक $\mu = \frac{R}{d}$ है।

(B) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब प्रकाश ध्रुवण कोण $(i_p)$ पर आपतित होता है,तो परावर्तित प्रकाश पूर्णतः ध्रुवित हो जाता है।
इस कोण पर,परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण एक-दूसरे के लंबवत होती हैं।
दिया गया आपतन कोण $i = 60^{\circ}$ है,जो कि ध्रुवण कोण $(i_p = 60^{\circ})$ है।
अपवर्तनांक $\mu$ का मान $\mu = \tan(i_p)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\mu = \tan(60^{\circ})$।
अतः,$\mu = \sqrt{3}$।

(B) प्रारंभ में,किरण $AB$ इंटरफेस पर हवा के साथ क्रांतिक कोण $\theta_c$ पर आपतित होती है। स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu \sin \theta_c = 1 \cdot \sin 90^\circ = 1$ है।
जब अपवर्तनांक $\mu_1$ वाला स्लैब रखा जाता है,तो किरण $AB$ इंटरफेस से गुजरती है और फिर $CD$ इंटरफेस पर $r_1$ आपतन कोण पर टकराती है। $CD$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,शर्त $\mu_1 \sin r_1 = 1 \cdot \sin 90^\circ = 1$ है।
स्लैब की ज्यामिति से,$CD$ पर आपतन कोण $(r_1)$ $AB$ पर अपवर्तन कोण $(r)$ से संबंधित है। चूँकि किरण $AB$ पर क्रांतिक कोण $\theta_c$ पर आपतित हो रही है,यह $\mu_1$ माध्यम में $r_1$ कोण पर अपवर्तित होगी ताकि $\mu \sin \theta_c = \mu_1 \sin r_1$ हो सके।
चूँकि $\mu \sin \theta_c = 1$ और $CD$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए $\mu_1 \sin r_1 = 1$ की आवश्यकता है,इसलिए $\mu_1 \sin r_1 = \mu \sin \theta_c = 1$ होना चाहिए।
$CD$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $r_1$ को $\mu_1$-हवा इंटरफेस के लिए क्रांतिक कोण से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। यह शर्त तब पूरी होती है जब $\mu_1 < \mu$ हो।

(C) पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,कोर-क्लैडिंग इंटरफेस पर आपतन कोण $\theta$,क्रांतिक कोण $\theta_{c}$ से अधिक होना चाहिए।
अतः,$\sin \theta > \sin \theta_{c}$।
कोर का अपवर्तनांक $\mu_{1} = 1.6$ और क्लैडिंग का $\mu_{2} = 1.5$ दिया गया है,इसलिए क्रांतिक कोण $\sin \theta_{c} = \frac{\mu_{2}}{\mu_{1}} = \frac{1.5}{1.6} = 0.9375$ है।
मुड़े हुए फाइबर की ज्यामिति से,यदि $r$ आंतरिक त्रिज्या है और $d = 0.05 \, mm$ कोर का व्यास है,तो बाहरी इंटरफेस पर आपतन कोण $\theta$ के लिए $\sin \theta = \frac{r}{r+d}$ संबंध प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{r}{r+d} > 0.9375$।
$r > 0.9375(r + 0.05)$।
$r > 0.9375r + 0.046875$।
$0.0625r > 0.046875$।
$r > \frac{0.046875}{0.0625} = 0.75 \, mm$।
विकल्पों में सबसे निकटतम मान $0.78 \, mm$ है।

(C) जब प्रकाश की किरण सघन माध्यम (पानी) से विरल माध्यम (हवा) में यात्रा करती है और आपतन कोण $\theta$ क्रांतिक कोण से कम होता है,तो परावर्तन और अपवर्तन दोनों होते हैं।
परावर्तन के नियम के अनुसार,परावर्तन कोण आपतन कोण के बराबर होता है,जो $\theta$ है।
स्नेल के नियम के अनुसार,अपवर्तन कोण $r$ आपतन कोण $\theta$ से बड़ा होता है क्योंकि प्रकाश सघन से विरल माध्यम में जा रहा है $(r > \theta)$।
परावर्तित किरण और सतह के बीच का कोण $90^o - \theta$ है।
अपवर्तित किरण और सतह के बीच का कोण $90^o - r$ है।
परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण के बीच का कोण $180^o - (\text{परावर्तन कोण} + \text{अपवर्तन कोण}) = 180^o - (\theta + r)$ है।
चूंकि $r > \theta$,इसलिए $\theta + r > 2\theta$ होता है।
अतः,$180^o - (\theta + r) < 180^o - 2\theta$।
इस प्रकार,उनके बीच का कोण $180^o - 2\theta$ से कम होगा।

(B) प्रकाश को सतह $B$ से बाहर निकलने के लिए,इसे आंतरिक वक्र सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ से गुजरना होगा।
मान लीजिए $i$ आंतरिक वक्र सतह पर आपतन कोण है।
$TIR$ के लिए,आपतन कोण $i$ क्रांतिक कोण $\theta_c$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
$\sin i \geq \sin \theta_c$
चित्र की ज्यामिति से,आंतरिक सतह पर प्रकाश किरण अभिलंब के साथ $i$ कोण बनाती है। आपतन बिंदु पर आंतरिक सतह का अभिलंब वक्रता केंद्र से होकर गुजरता है। वक्रता केंद्र,आपतन बिंदु और सतह $A$ के आंतरिक किनारे द्वारा निर्मित त्रिभुज पर विचार करने पर,हमें $\sin i = \frac{R}{R+d}$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक कोण $\theta_c$ का मान $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$ है।
$TIR$ होने के लिए,$\sin i \geq \sin \theta_c$,इसलिए $\frac{R}{R+d} \geq \frac{2}{3}$।
$3R \geq 2R + 2d$
$R \geq 2d$
$\frac{d}{R} \leq 0.5$।
अतः,$\frac{d}{R}$ का अधिकतम मान $0.5$ है।

(A) स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_2 \sin i = \mu_1 \sin r,$ जिसका अर्थ है $\sin r = \frac{\mu_2}{\mu_1} \sin i = \frac{1}{k} \sin i.$
$1$. $|r - i| = 0$ के लिए,हमारे पास $r = i$ है,जिसका अर्थ है $\sin r = \sin i,$ इसलिए $k = \frac{\mu_1}{\mu_2} = 1.$ अतः,$k_o = 1.$
$2$. $k = k_1$ पर,किरण पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ का अनुभव करती है या क्रांतिक कोण तक पहुँचती है,जिसका अर्थ है $r = \pi / 2.$ स्नेल के नियम से: $\sin(\pi / 2) = \frac{1}{k_1} \sin(\pi / 3) \Rightarrow 1 = \frac{1}{k_1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow k_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}.$
$3$. $k = k_1$ पर,$|r - i|$ का मान $|\pi / 2 - \pi / 3| = \pi / 6$ होता है। अतः,$\theta_1 = \pi / 6.$
$4$. जैसे $k \rightarrow \infty,$ वैसे $\sin r = \frac{1}{k} \sin i \rightarrow 0,$ इसलिए $r \rightarrow 0.$ तब $|r - i| \rightarrow |0 - \pi / 3| = \pi / 3.$ अतः,$\theta_2 = \pi / 3.$
इन परिणामों की तुलना विकल्पों से करने पर,विकल्प $A$ में $k_1 = 2/\sqrt{3}$ दिया गया है,जो गलत है क्योंकि $k_1 = \sqrt{3}/2$ है। इसलिए,गलत विकल्प $A$ है।

(B) माना $\mu_1 = \frac{4}{\sqrt{3}}$ छड़ का अपवर्तनांक है और $\mu_2 = 2$ आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक है।
ग्रेजिंग किरण के लिए छड़ और आसपास के माध्यम के इंटरफेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$\mu_1 \sin(90^{\circ} - r) = \mu_2 \sin(90^{\circ})$
$\mu_1 \cos r = \mu_2$
$\frac{4}{\sqrt{3}} \cos r = 2$
$\cos r = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
अतः,$r = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,छड़ की आपतित सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर (बाहरी माध्यम को हवा मानते हुए,$\mu = 1$):
$1 \cdot \sin \theta = \mu_1 \sin r$
$\sin \theta = \frac{4}{\sqrt{3}} \sin 30^{\circ}$
$\sin \theta = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
इसलिए,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$।

(B) माना $\mu_g = \frac{3}{2}$ और $\mu_w = \frac{4}{3}$ है। कांच-पानी इंटरफ़ेस पर आपतन कोण $i = \alpha + \theta$ है,जहाँ $\alpha$ पहली सतह पर अपवर्तन कोण है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,$i > i_C$,जहाँ $\sin i_C = \frac{\mu_w}{\mu_g} = \frac{4/3}{3/2} = \frac{8}{9}$ है।
अतः,$\sin(\alpha + \theta) > \frac{8}{9}$ है।
पहली सतह पर,स्नेल के नियम से: $1 \cdot \sin(90^\circ - \theta) = \mu_g \sin \alpha \implies \cos \theta = \frac{3}{2} \sin \alpha \implies \sin \alpha = \frac{2}{3} \cos \theta$ है।
तब $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{4}{9} \cos^2 \theta}$ है।
$\sin(\alpha + \theta) = \sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta > \frac{8}{9}$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{2}{3} \cos \theta) \cos \theta + (\sqrt{1 - \frac{4}{9} \cos^2 \theta}) \sin \theta > \frac{8}{9}$ है।
माना $x = \cos \theta$,तो $\sin \theta = \sqrt{1 - x^2}$ है।
$\frac{2}{3} x^2 + \sqrt{1 - \frac{4}{9} x^2} \sqrt{1 - x^2} > \frac{8}{9}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर,हमें $x^2 < \frac{17}{21}$ प्राप्त होता है।
अतः $\cos \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{\frac{17}{21}}$ है।

(C) $i < C$ के लिए,प्रकाश का अपवर्तन होता है। विचलन कोण $D = r - i$ है,जहाँ $\mu \sin i = \sin r$,इसलिए $D = \sin^{-1}(\mu \sin i) - i$। यह एक अरेखीय वक्र है।
$i = C$ पर,$r = \pi/2$,इसलिए $D = \pi/2 - C$।
$i > C$ के लिए,पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है। विचलन कोण $D = \pi - 2i$ है। यह ऋणात्मक ढाल वाला एक रैखिक फलन है।
$i = C$ पर,$D = \pi - 2C$। $i = \pi/2$ पर,$D = 0$।
इस प्रकार,ग्राफ $i < C$ के लिए एक वक्र और $i > C$ के लिए एक सीधी रेखा दिखाता है,जिसमें $i = C$ पर असंततता है।

(C) मान लीजिए कि मकड़ी गोले के ऊपरी ध्रुव पर है। मक्खी से आने वाली प्रकाश किरणें गोले की सतह पर अपवर्तन के बाद मकड़ी तक पहुँच सकती हैं।
कांच-वायु इंटरफ़ेस के लिए क्रांतिक कोण $\phi_c$ का मान $\sin \phi_c = \frac{1}{\mu_g} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\phi_c = 45^{\circ}$।
किसी किरण के गोले से बाहर निकलने और मकड़ी तक पहुँचने के लिए,सतह पर आपतन कोण क्रांतिक कोण से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
गोले की ज्यामिति से,गोले के केंद्र पर दृष्टि शंकु द्वारा अंतरित कोण $2\phi_c = 90^{\circ}$ है।
अर्ध-शीर्ष कोण $\theta$ वाले शंकु द्वारा अंतरित ठोस कोण $\Omega = 2\pi(1 - \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,अर्ध-शीर्ष कोण $\theta = \phi_c = 45^{\circ}$ है।
इसलिए,$\Omega = 2\pi(1 - \cos 45^{\circ}) = 2\pi(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 2\pi - \sqrt{2}\pi \approx 0.586\pi$।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $\Omega = \frac{\pi}{2}$ है।

(C) माना ऊपरी सतह पर अपवर्तन कोण $r$ है। स्नेल के नियम के अनुसार:
$1 \cdot \sin(i) = \mu \cdot \sin(r) \implies \sin(r) = \frac{\sin(i)}{\mu}$
ऊर्ध्वाधर सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,उस सतह पर आपतन कोण क्रांतिक कोण $C$ के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए। ऊर्ध्वाधर सतह पर आपतन कोण $(90^\circ - r)$ है।
अतः,$90^\circ - r \ge C$,जहाँ $\sin(C) = \frac{1}{\mu}$ है।
न्यूनतम अपवर्तनांक के लिए,हम सीमांत स्थिति लेते हैं: $\sin(90^\circ - r) = \sin(C) = \frac{1}{\mu}$।
$\cos(r) = \frac{1}{\mu} \implies \cos^2(r) = \frac{1}{\mu^2}$।
$\sin^2(r) + \cos^2(r) = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{\sin(i)}{\mu}\right)^2 + \frac{1}{\mu^2} = 1$
$\sin^2(i) + 1 = \mu^2$
$\mu = \sqrt{1 + \sin^2(i)}$

(B) प्रश्न बताता है कि $A$ से $B$ की ओर भेजे गए संकेत बिंदु $C$ पर पहुँचते हैं। इसका अर्थ है कि संकेत बिंदु $B$ पर काँच-निर्वात इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करते हैं।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $\theta$ क्रांतिक कोण $\theta_C$ से अधिक होना चाहिए।
वृत्त की ज्यामिति से,$B$ पर आपतन कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
अतः,$\theta > \theta_C \implies 45^{\circ} > \sin^{-1}(1/\mu)$।
$\sin 45^{\circ} > 1/\mu \implies 1/\sqrt{2} > 1/\mu \implies \mu > \sqrt{2}$।
चूँकि काँच में प्रकाश की गति $v = c/\mu$ है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ है,हमें प्राप्त होता है:
$v < c/\sqrt{2} = (3 \times 10^8) / 1.414 \approx 2.12 \times 10^8 \,m/s$।
इसलिए,गति $v$ का मान $2.12 \times 10^8 \,m/s$ से कम होना चाहिए। दिए गए विकल्पों में से,$2.4 \times 10^8 \,m/s$ इस सीमा से अधिक है और इसलिए यह काँच में संकेतों की गति नहीं हो सकती है।

(D) क्रांतिक कोण का सूत्र $\theta_c = \sin^{-1}(1/n)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
कॉशी के परिक्षेपण सूत्र के अनुसार,अपवर्तनांक $n$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
दृश्य स्पेक्ट्रम $VIBGYOR$ में,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बैंगनी से लाल रंग की ओर बढ़ती है।
इसलिए,अपवर्तनांक $n$ बैंगनी प्रकाश के लिए अधिकतम और लाल प्रकाश के लिए न्यूनतम होता है।
चूंकि $\theta_c$,$n$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए क्रांतिक कोण $\theta_c$ उस रंग के लिए न्यूनतम होगा जिसका अपवर्तनांक अधिकतम है।
अतः,बैंगनी प्रकाश के लिए क्रांतिक कोण न्यूनतम होता है।

(B) माना एयर-कोर इंटरफेस पर आपतन कोण $\theta$ है और कोर के अंदर अपवर्तन कोण $r$ है।
एयर-कोर इंटरफेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$1 \times \sin \theta = n_1 \times \sin r$
$\sin r = \frac{\sin \theta}{n_1}$ .........$(i)$
कोर-क्लैडिंग इंटरफेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,आपतन कोण $i$ क्रांतिक कोण $\theta_c$ से अधिक होना चाहिए।
ज्यामिति से,$i = 90^\circ - r$ है।
अतः,$90^\circ - r > \theta_c \implies \cos r > \sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1}$ .........$(ii)$
$\sin^2 r + \cos^2 r = 1$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\cos r = \sqrt{1 - \sin^2 r}$।
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{1 - \left(\frac{\sin \theta}{n_1}\right)^2} > \frac{n_2}{n_1}$
$1 - \frac{\sin^2 \theta}{n_1^2} > \frac{n_2^2}{n_1^2}$
$n_1^2 - \sin^2 \theta > n_2^2$
$\sin^2 \theta < n_1^2 - n_2^2$
$\sin \theta < \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$
इस प्रकार,अधिकतम स्वीकार्य कोण $\theta = \sin^{-1} \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ है।

(A) दिया गया है: आपतन कोण $i = 45^{\circ}$,विचलन कोण $\delta = 15^{\circ}$।
चूंकि प्रकाश किरण वायु से कांच में प्रवेश करती है,अपवर्तन कोण $r = i - \delta = 45^{\circ} - 15^{\circ} = 30^{\circ}$ होगा।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,वायु के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक $\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \sqrt{2}$ है।
क्रांतिक कोण $\theta_{c}$ का मान $\sin \theta_{c} = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\theta_{c} = 45^{\circ}$ होगा।

(D) स्नेल के नियम के अनुसार,अपवर्तनांक का अनुपात $\frac{\mu_R}{\mu_D} = \frac{\sin i}{\sin r}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि आपतन कोण $i = A$ है और परावर्तित तथा अपवर्तित किरणों के बीच का कोण $90^o$ है। परावर्तित किरण अभिलंब के साथ $A$ कोण बनाती है,इसलिए परावर्तित किरण और सतह के बीच का कोण $90^o - A$ है। परावर्तित और अपवर्तित किरणों के बीच का कोण $90^o$ है,इसलिए अपवर्तित किरण और सतह के बीच का कोण $180^o - 90^o - (90^o - A) = A$ होगा। इस प्रकार,अपवर्तन कोण $r = 90^o - A$ प्राप्त होता है।
इन मानों को स्नेल के नियम में रखने पर: $\frac{\mu_R}{\mu_D} = \frac{\sin A}{\sin(90^o - A)} = \frac{\sin A}{\cos A} = \tan A$.
हम जानते हैं कि क्रांतिक कोण $\theta_C$ के लिए $\sin \theta_C = \frac{\mu_R}{\mu_D}$ होता है।
अतः,$\tan A = \sin \theta_C$,जिसका अर्थ है कि $A = \tan^{-1}(\sin \theta_C)$।

(D) दिया गया है,अपवर्तनांक $\mu = \frac{4}{3}$.
गोताखोर की गहराई $h = 15 \, cm$.
मान लीजिए $R$ वृत्ताकार क्षितिज की त्रिज्या है।
बाहरी दुनिया से आने वाला प्रकाश पानी में प्रवेश करता है और गोताखोर की आँखों तक तभी पहुँचता है यदि आपतन कोण क्रांतिक कोण $C$ से कम या उसके बराबर हो।
स्नेल के नियम के अनुसार,$\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
समस्या की ज्यामिति से,$\tan C = \frac{R}{h}$.
चूंकि $\sin C = \frac{3}{4}$,इसलिए $\cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \sqrt{1 - (3/4)^2} = \sqrt{1 - 9/16} = \sqrt{7/16} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
अतः,$\tan C = \frac{\sin C}{\cos C} = \frac{3/4}{\sqrt{7}/4} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
इस प्रकार,$R = h \tan C = 15 \times \frac{3}{\sqrt{7}} \, cm = \frac{15 \times 3}{\sqrt{7}} \, cm$.

(B) माध्यम में प्रकाश का वेग $v = \frac{d}{t} = \frac{3.0 \times 10^{-2} \ m}{0.2 \times 10^{-9} \ s} = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ है।
हवा के सापेक्ष माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{1.5 \times 10^8 \ m/s} = 2$ है।
क्रांतिक कोण $C$ का मान $\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{2}$ है,जिसका अर्थ है $C = 30^o$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ तब होता है जब आपतन कोण $i > C$ हो।
स्थिति $(A)$ के लिए,$i = 20^o < 30^o$,इसलिए यह अपवर्तित होगी।
स्थिति $(B)$ के लिए,$i = 40^o > 30^o$,इसलिए यह पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करेगी।
अतः,किरण केवल स्थिति $(B)$ में पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करेगी।

(D) बिंदु $A$ पर,स्नेल के नियम के अनुसार:
$1 \cdot \sin 45^{\circ} = \mu \cdot \sin r$
$\sin r = \frac{1}{\mu \sqrt{2}}$ ..... $(i)$
बिंदु $B$ पर,ऊर्ध्वाधर फलक पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i_1$ क्रांतिक कोण $C$ के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए।
$\sin i_1 = \frac{1}{\mu}$
त्रिभुज की ज्यामिति से,$i_1 = 90^{\circ} - r$ है।
अतः,$\sin(90^{\circ} - r) = \frac{1}{\mu} \Rightarrow \cos r = \frac{1}{\mu}$ ..... $(ii)$
सर्वसमिका $\sin^2 r + \cos^2 r = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{1}{\mu \sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\mu}\right)^2 = 1$
$\frac{1}{2\mu^2} + \frac{1}{\mu^2} = 1$
$\frac{1 + 2}{2\mu^2} = 1$
$\frac{3}{2\mu^2} = 1 \Rightarrow \mu^2 = \frac{3}{2}$
$\mu = \sqrt{\frac{3}{2}}$

(C) $1$. प्रकाश किरण $AB$ सतह पर लंबवत आपतित होती है,इसलिए यह बिना विचलन के प्रिज्म में प्रवेश करती है और $AC$ सतह से टकराती है।
$2$. मान लीजिए $AC$ सतह पर आपतन कोण $i$ है। प्रिज्म की ज्यामिति से,$AC$ सतह के अभिलंब और आपतित किरण के बीच का कोण प्रिज्म के कोण $\theta$ के बराबर होता है। अतः,$i = \theta$।
$3$. $AC$ सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,आपतन कोण कांच-पानी इंटरफ़ेस के लिए क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए।
$4$. $TIR$ के लिए शर्त $i > C$ है,जिसका अर्थ है $\sin i > \sin C$।
$5$. चूंकि $i = \theta$,इसलिए $\sin \theta > \sin C$।
$6$. क्रांतिक कोण $C$ का मान $\sin C = \frac{\mu_{\text{water}}}{\mu_{\text{glass}}} = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$ द्वारा दिया जाता है।
$7$. अतः,पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्त $\sin \theta > \frac{8}{9}$ है।

(D) प्रकाश फलक $AB$ पर लंबवत प्रवेश करता है,इसलिए यह फलक $AC$ तक पहुँचने तक बिना विचलित हुए चलता है। फलक $AC$ पर आपतन कोण $45^{\circ}$ है।
प्रकाश को फलक $AC$ से बाहर निकलने के लिए,इसका पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ नहीं होना चाहिए।
$TIR$ न होने की शर्त: $\theta < c$,जहाँ $c$ क्रांतिक कोण है।
$\sin \theta < \sin c \Rightarrow \sin 45^{\circ} < \frac{1}{\mu}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} < \frac{1}{\mu} \Rightarrow \mu < \sqrt{2} \approx 1.414$.
दिए गए अपवर्तनांकों की तुलना करने पर:
लाल: $\mu = 1.39 < 1.414$ (बाहर निकलेगा)
हरा: $\mu = 1.44 > 1.414$ ($TIR$ होगा)
नीला: $\mu = 1.47 > 1.414$ ($TIR$ होगा)
अतः,फलक $AC$ से केवल लाल रंग का प्रकाश बाहर निकलेगा।

(A) दिया गया है: लंबाई $L = 2\,m$,व्यास $d = 20 \times 10^{-6}\,m$,आपतन कोण $\theta_1 = 40^\circ$। मान लीजिए कि फाइबर कोर का अपवर्तनांक $n = 1.31$ है।
प्रवेश द्वार पर स्नेल के नियम के अनुसार:
$1 \cdot \sin(40^\circ) = n \cdot \sin(\theta_2)$
$\sin(\theta_2) = \frac{\sin(40^\circ)}{1.31} \approx \frac{0.6428}{1.31} \approx 0.4907$
अब,$\cos(\theta_2) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta_2)} = \sqrt{1 - (0.4907)^2} \approx \sqrt{1 - 0.2408} \approx \sqrt{0.7592} \approx 0.8713$
$\tan(\theta_2) = \frac{\sin(\theta_2)}{\cos(\theta_2)} \approx \frac{0.4907}{0.8713} \approx 0.5632$
दो क्रमिक परावर्तनों के बीच किरण द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $x$,$\tan(\theta_2) = \frac{d}{x}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $x = \frac{d}{\tan(\theta_2)}$।
परावर्तनों की संख्या $N$,$N = \frac{L}{x} = \frac{L \cdot \tan(\theta_2)}{d}$ द्वारा प्राप्त होती है।
$N = \frac{2 \times 0.5632}{20 \times 10^{-6}} = \frac{1.1264}{20 \times 10^{-6}} = 0.05632 \times 10^6 = 56320$.
यह मान $57000$ के सबसे निकट है।

(D) मान लीजिए कि $C$ घन $(\mu_2)$ और द्रव $(\mu_1)$ के बीच के इंटरफेस के लिए क्रांतिक कोण है।
बिंदु $E$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ के लिए,फलक $BC$ पर आपतन कोण $i'$,क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए।
अतः,$i' > C$.
ज्यामिति से,फलक $AB$ पर अपवर्तन कोण $r$,$i'$ से $r = 90^\circ - i'$ द्वारा संबंधित है।
चूंकि $i' > C$,हमारे पास $90^\circ - r > C$,या $r < 90^\circ - C$ है।
फलक $AB$ पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\mu_1 \sin \theta = \mu_2 \sin r$.
चूंकि $\sin$ एक वर्धमान फलन है,$\sin r < \sin(90^\circ - C) = \cos C$.
इसलिए,$\mu_1 \sin \theta < \mu_2 \cos C$.
हम जानते हैं कि $\sin C = \frac{\mu_1}{\mu_2}$,इसलिए $\cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \sqrt{1 - \frac{\mu_1^2}{\mu_2^2}} = \frac{\sqrt{\mu_2^2 - \mu_1^2}}{\mu_2}$.
इस मान को असमिका में रखने पर: $\mu_1 \sin \theta < \mu_2 \left( \frac{\sqrt{\mu_2^2 - \mu_1^2}}{\mu_2} \right) = \sqrt{\mu_2^2 - \mu_1^2}$.
$\sin \theta < \frac{\sqrt{\mu_2^2 - \mu_1^2}}{\mu_1} = \sqrt{\frac{\mu_2^2}{\mu_1^2} - 1}$.
अतः,$\theta < \sin^{-1} \sqrt{\frac{\mu_2^2}{\mu_1^2} - 1}$.

(B) $1$. प्रकाश किरण $AB$ फलक पर लंबवत आपतित होती है,इसलिए यह बिना विचलित हुए प्रिज्म में प्रवेश करती है।
$2$. $AC$ फलक पर आपतन कोण $i$,$AC$ फलक के अभिलंब और आपतित किरण के बीच का कोण है। त्रिभुज की ज्यामिति से,$i = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$3$. $AC$ फलक पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,आपतन कोण क्रांतिक कोण $i_C$ से अधिक होना चाहिए,अर्थात $i > i_C$।
$4$. $TIR$ के लिए शर्त $\sin i > \sin i_C$ है।
$5$. यहाँ,$\sin i_C = \frac{\mu_{liquid}}{\mu_{glass}} = \frac{\mu}{3/2} = \frac{2\mu}{3}$।
$6$. मान रखने पर: $\sin 60^{\circ} > \frac{2\mu}{3}$।
$7$. $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{2\mu}{3} \Rightarrow \mu < \frac{3\sqrt{3}}{4}$।

(A) कांच-पानी के इंटरफेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$\mu_g \sin i = \mu_w \sin r$
यहाँ $\mu_w = \frac{4}{3}$ दिया गया है,इसलिए $\mu_g \sin i = \frac{4}{3} \sin r$ --- $(1)$
पानी-हवा के इंटरफेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर,जहाँ किरण सतह के साथ रगड़ती हुई निकलती है (अपवर्तन कोण $90^\circ$ है):
$\mu_w \sin r = \mu_{air} \sin 90^\circ$
$\frac{4}{3} \sin r = 1 \times 1 = 1$
$\sin r = \frac{3}{4}$
$\sin r = \frac{3}{4}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\mu_g \sin i = \frac{4}{3} \times \frac{3}{4} = 1$
$\mu_g = \frac{1}{\sin i}$

(A) माना आपतन कोण $i$ है। परावर्तन के नियम के अनुसार,परावर्तन कोण $r$ आपतन कोण के बराबर होता है,इसलिए $r = i$ है।
दिया गया है कि परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परावर्तन कोण $r$,परावर्तित किरण और सतह के बीच का कोण,और अपवर्तन कोण $r'$ का योग $180^{\circ}$ होता है। चूंकि परावर्तित किरण और सतह के बीच का कोण $(90^{\circ} - r)$ है,इसलिए $r + 90^{\circ} + r' = 180^{\circ}$ होता है,जिसे सरल करने पर $r' = 90^{\circ} - r$ प्राप्त होता है।
सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\mu \sin i = 1 \cdot \sin r'$,जहाँ $\mu$ विरल माध्यम के सापेक्ष सघन माध्यम का अपवर्तनांक है।
$i = r$ और $r' = 90^{\circ} - r$ को स्नेल के नियम में रखने पर:
$\mu \sin r = \sin(90^{\circ} - r)$
$\mu \sin r = \cos r$
$\mu = \frac{\cos r}{\sin r} = \cot r$
क्रांतिक कोण $\theta_c$ का सूत्र $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$ होता है।
$\mu = \cot r$ रखने पर:
$\sin \theta_c = \frac{1}{\cot r} = \tan r$
$\theta_c = \sin^{-1}(\tan r)$.

(A) टंकी के तल पर स्थित बिंदु स्रोत से प्रकाश सतह से तभी बाहर निकल पाएगा यदि आपतन कोण क्रांतिक कोण $C$ से कम या उसके बराबर हो।
पानी की सतह पर वृत्ताकार क्षेत्रफल की त्रिज्या $r$ को $r = h \tan C$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $h = 80 \, cm = 0.8 \, m$ है।
चूँकि $\sin C = \frac{1}{\mu}$, इसलिए $\tan C = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ होता है।
अतः, $r = \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$.
यहाँ $\mu = 1.33 \approx \frac{4}{3}$ दिया गया है, इसलिए $r = \frac{0.8}{\sqrt{(\frac{4}{3})^2 - 1}} = \frac{0.8}{\sqrt{\frac{16}{9} - 1}} = \frac{0.8}{\sqrt{\frac{7}{9}}} = \frac{0.8 \times 3}{\sqrt{7}} = \frac{2.4}{2.646} \approx 0.907 \, m$.
सतह का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (0.907)^2 \approx 3.14 \times 0.8226 \approx 2.58 \, m^2$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, क्षेत्रफल लगभग $2.6 \, m^2$ प्राप्त होता है।

(D) सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण का मान क्रांतिक कोण $\theta_c$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
अपवर्तनांक $\mu = 2$ दिया गया है,इसलिए क्रांतिक कोण $\theta_c$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\sin \theta_c = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{2}$
$\theta_c = 30^{\circ}$
यह सुनिश्चित करने के लिए कि $AB$ खंड से कोई प्रकाश न गुजरे,स्रोत $S$ से निकलने वाली और $AB$ सतह से टकराने वाली किसी भी प्रकाश किरण का आपतन कोण $\theta_c = 30^{\circ}$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि स्रोत $S$ को ऐसे क्षेत्र में स्थित होना चाहिए कि $S$ पर $AB$ खंड द्वारा बनाया गया कोण क्रांतिक कोण से कम या उसके बराबर हो,या अधिक स्पष्ट रूप से,$S$ से $AB$ तक पहुँचने वाली किरणें $\ge \theta_c$ के कोण पर टकरानी चाहिए। आरेखों में छायांकित क्षेत्र उन बिंदुओं के समूह को दर्शाता है जहाँ यह स्थिति पूरी होती है। ज्यामिति के आधार पर,सही निरूपण विकल्प $D$ द्वारा दिया गया है।

(D) क्रांतिक कोण $i_C$ और सघन माध्यम $(I)$ का विरल माध्यम $(II)$ के सापेक्ष अपवर्तनांक $\mu$ के बीच का संबंध $\sin i_C = \frac{1}{\mu}$ है।
दिया गया है $\tan i_C = \frac{5}{9}$।
हम जानते हैं कि $\sin i_C = \frac{\tan i_C}{\sqrt{1 + \tan^2 i_C}}$।
$\tan i_C$ का मान रखने पर:
$\sin i_C = \frac{5/9}{\sqrt{1 + (5/9)^2}} = \frac{5/9}{\sqrt{1 + 25/81}} = \frac{5/9}{\sqrt{106/81}} = \frac{5/9}{\sqrt{106}/9} = \frac{5}{\sqrt{106}}$।
चूंकि $\sin i_C = \frac{1}{\mu}$,इसलिए $\frac{1}{\mu} = \frac{5}{\sqrt{106}}$।
अतः,$\mu = \frac{\sqrt{106}}{5}$।

(B) माना कि कांच का अपवर्तनांक $\mu_g$ है और जल का अपवर्तनांक $\mu_w = 4/3$ है। कांच-जल इंटरफ़ेस पर आपतन कोण $i$ है। स्नेल के नियम के अनुसार:
$\mu_g \sin i = \mu_w \sin r$
जल-वायु इंटरफ़ेस पर,प्रकाश की किरण क्रांतिक कोण पर आपतित होती है,जिसका अर्थ है कि वायु में अपवर्तन कोण $90^{\circ}$ है। जल-वायु इंटरफ़ेस पर आपतन कोण $r$ है। स्नेल के नियम के अनुसार:
$\mu_w \sin r = \mu_{air} \sin 90^{\circ}$
चूंकि $\mu_{air} = 1$,इसलिए $\mu_w \sin r = 1$ है।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर:
$\mu_g \sin i = 1$
अतः,$\mu_g = \frac{1}{\sin i}$।

(C) मान लीजिए कि पहली सतह ($\mu_2$ और $\mu_1$ के बीच) पर आपतन कोण $i$ है। पहली सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,आपतन कोण क्रांतिक कोण $c_1$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
$\sin c_1 = \frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow c_1 = 45^{\circ}$। अतः,$i \ge 45^{\circ}$।
अब,दूसरी सतह ($\mu_2$ और $\mu_3$ के बीच) पर $TIR$ होने के लिए,उस सतह पर आपतन कोण क्रांतिक कोण $c_2$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
$\sin c_2 = \frac{\mu_3}{\mu_2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow c_2 = 60^{\circ}$।
चूंकि प्रकाश किरण $\mu_2$ से $\mu_3$ की ओर जा रही है,दूसरी सतह पर आपतन कोण $i$ होगा (एकांतर कोण होने के कारण)। अतः,$i \ge 60^{\circ}$।
दोनों शर्तों को पूरा करने के लिए,$i$ का न्यूनतम मान $60^{\circ}$ होना चाहिए।

(C) पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए $(i > C)$।
यहाँ $i = 45^o$ दिया गया है,इसलिए $45^o > C$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\sin 45^o > \sin C$।
हम जानते हैं कि $\sin C = \frac{1}{\mu}$,इसलिए $\sin 45^o > \frac{1}{\mu}$।
$\sin 45^o = \frac{1}{\sqrt{2}}$ रखने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\mu}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\mu > \sqrt{2}$ मिलता है।
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$ है,इसलिए हमें $\mu > 1.414$ की आवश्यकता है।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $\mu = 1.5$ इस शर्त को पूरा करता है।

(C) माना प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu$ है। पहली सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$1 \times \sin 45^{\circ} = \mu \times \sin(90^{\circ} - \theta)$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \mu \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}\mu}$
दूसरी सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,आपतन कोण $\theta$ क्रांतिक कोण $C$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए:
$\theta \geq C \Rightarrow \sin \theta \geq \sin C = \frac{1}{\mu}$
सर्वसमिका $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}\mu}\right)^2} \geq \frac{1}{\mu}$
$\sqrt{1 - \frac{1}{2\mu^2}} \geq \frac{1}{\mu}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1 - \frac{1}{2\mu^2} \geq \frac{1}{\mu^2}$
$1 \geq \frac{1}{\mu^2} + \frac{1}{2\mu^2} = \frac{3}{2\mu^2}$
$\mu^2 \geq \frac{3}{2} \Rightarrow \mu \geq \sqrt{\frac{3}{2}}$
अतः,न्यूनतम अपवर्तनांक $\sqrt{\frac{3}{2}}$ है।

(A) ऑप्टिकल फाइबर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ के सिद्धांत पर कार्य करता है।
जब प्रकाश ऑप्टिकल फाइबर के कोर (क्रोड) में क्रांतिक कोण से अधिक कोण पर प्रवेश करता है,तो यह कोर-क्लैडिंग इंटरफेस पर बार-बार पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरता है।
यह प्रकाश संकेत को तीव्रता में न्यूनतम हानि के साथ लंबी दूरी तक फाइबर के माध्यम से यात्रा करने की अनुमति देता है।

(A) बाहरी दुनिया का प्रकाश मछली तक तभी पहुँचता है यदि आपतन कोण क्रांतिक कोण $\theta_{c}$ से कम या उसके बराबर हो।
$\mu = \frac{4}{3}$ अपवर्तनांक वाले पानी के लिए,क्रांतिक कोण $\theta_{c}$ का मान $\sin \theta_{c} = \frac{1}{\mu} = \frac{3}{4}$ होता है।
प्रश्न की ज्यामिति के अनुसार,वृत्ताकार क्षितिज की त्रिज्या $R$ और गहराई $h = 12 \, cm$ के बीच संबंध $R = h \tan \theta_{c}$ है।
चूंकि $\sin \theta_{c} = \frac{3}{4}$,इसलिए $\cos \theta_{c} = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_{c}} = \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ होगा।
अतः,$\tan \theta_{c} = \frac{\sin \theta_{c}}{\cos \theta_{c}} = \frac{3/4}{\sqrt{7}/4} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
मान रखने पर,$R = 12 \times \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{36}{\sqrt{7}} \, cm$ प्राप्त होता है।

(B) पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $i_{c}$ से अधिक होना चाहिए।
दिया गया है,$i = 45^{\circ}$।
इसलिए,$i > i_{c} \Rightarrow 45^{\circ} > i_{c}$।
दोनों तरफ साइन (sine) लेने पर,$\sin 45^{\circ} > \sin i_{c}$।
हम जानते हैं कि क्रांतिक कोण $\sin i_{c} = \frac{1}{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रिज्म का अपवर्तनांक है।
इस मान को असमिका में रखने पर,हमें $\sin 45^{\circ} > \frac{1}{n}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए असमिका $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{n}$ हो जाती है।
दोनों तरफ व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है,इसलिए $n > \sqrt{2}$।