एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म PQR क | vedclass

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Question

(A) फलकों पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,प्रत्येक फलक पर आपतन कोण क्रांतिक कोण $	heta_c$ से अधिक होना चाहिए।प्रिज्म की ज्यामिति से,दो फ

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$\mu > \sqrt{5}$

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(A) फलकों पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,प्रत्येक फलक पर आपतन कोण क्रांतिक कोण $	heta_c$ से अधिक होना चाहिए।प्रिज्म की ज्यामिति से,दो फलकों पर आपतन कोण $(45^{\circ} + r)$ और $(45^{\circ} - r)$ हैं,जहाँ $r$ पहली सतह पर अपवर्तन कोण है।दोनों फलकों पर $TIR$ होने के लिए: $45^{\circ} + r > 	heta_c$ और $45^{\circ} - r > 	heta_c$.अधिक प्रतिबंधात्मक शर्त $45^{\circ} - r > 	heta_c$ है।चूंकि $\sin r = \frac{\sin 45^{\circ}}{\mu} = \frac{1}{\mu\sqrt{2}}$,इसलिए $r = \arcsin\left(\frac{1}{\mu\sqrt{2}}ight)$.इसे $45^{\circ} - r > 	heta_c$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $45^{\circ} - 	heta_c > r$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का साइन लेने पर: $\sin(45^{\circ} - 	heta_c) > \sin r$.सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर और यह जानते हुए कि $\sin 	heta_c = \frac{1}{\mu}$ और $\cos 	heta_c = \frac{\sqrt{\mu^2-1}}{\mu}$:$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{\mu^2-1}}{\mu} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\mu} > \frac{1}{\mu\sqrt{2}}$.$\mu\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,हमें $\sqrt{\mu^2-1} - 1 > 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\sqrt{\mu^2-1} > 2$ हो जाता है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\mu^2 - 1 > 4$,इसलिए $\mu^2 > 5$,या $\mu > \sqrt{5}$.

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